2010年部分省市中考数学试题分类汇编(共28专题)17.四边形(平行四边形,矩形,菱形,正方形)

2010年部分省市中考数学试题分类汇编

平行四边形、 矩形、菱形与正方形

1. (2010重庆市潼南县) 如图24,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，

连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△AB E ≌△DAF ； （2）若∠AGB =30°，求EF 的长. 解：（1）∵四边形ABCD 是正方形

∴AB=AD

在△ABE 和△DAF 中

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA AB ∴△ABE ≌△DAF -----------------------4分

（2）∵四边形ABCD 是正方形

∴∠1+∠4=900

∵∠3=∠4

∴∠1+∠3=900

∴∠AFD=900

----------------------------6分 在正方形ABCD 中， AD ∥BC

∴∠1=∠AGB=300

在Rt △ADF 中，∠AFD=900 AD=2

∴AF=3 DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE ≌△ADF ∴AE=DF=1

∴EF=AF-AE=13- -----------------------------------------10分

2. （2010年青岛）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．

（1）求证：BE = DF ；

（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF

是什么特殊四边形？并证明你的结论．

【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝AD ,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF ，

∴R t R t ABE AD F △≌△． ∴BE ＝DF ．

（2）四边形AEMF 是菱形．

∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC ． ∵BE ＝DF ，

题图

24A

D B

E F

O

C

M

第21题图

∴BC －BE = DC －DF . 即C E C F =． ∴O E O F =． ∵OM = OA ，

∴四边形AEMF 是平行四边形． ∵AE = AF ，

∴平行四边形AEMF 是菱形．

3.（2010福建龙岩中考）20.（10分）

如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的点，且BE =DF . （1）请你写出图中所有的全等三角形

（2）试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明.

4．（2010年益阳市）如图7，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．

(1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长．

【关键词】菱形性质、等边三角形、

【答案】解:⑴ 在菱形ABCD 中,AD AB =，︒=∠60A

∴ABD ∆为等边三角形 ∴︒=∠60ABD

⑵由（1）可知4==AB BD

又∵O 为BD 的中点 ∴2=OB 又∵AB OE ⊥，及︒=∠60ABD ∴︒=∠30BOE ∴1=BE

5.（2010年山东省青岛市）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．

（1）求证：BE = DF ；

（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什

么特殊四边形？并证明你的结论．

E

7

图

【关键词】菱形的判定 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝AD ,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF ，

∴R t R t ABE AD F △≌△． ∴BE ＝DF ．

（2）四边形AEMF 是菱形．

∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC ． ∵BE ＝DF ，

∴BC －BE = DC －DF . 即C E C F =． ∴O E O F =． ∵OM = OA ，

∴四边形AEMF 是平行四边形． ∵AE = AF ，

∴平行四边形AEMF 是菱形．

6. (2010年浙江省绍兴市) (1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分

别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,∠AOF ＝90°. 求证：BE ＝CF .

(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,

BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长.

(3) 已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，EF ,GH 交于点O ,

∠FOH ＝90°,EF ＝4. 直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；

②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n

的代数式表示).

【答案】(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD 为正方形，

∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°，

∴ ∠EAB +∠AEB =90°. ∵ ∠EOB =∠AOF ＝90°,

∴ ∠FBC +∠AEB =90°，∴ ∠EAB =∠FBC ， ∴ △ABE ≌△BCF ， ∴ BE =CF ． (2) 解：如图2,过点A 作AM //GH 交BC 于M ，

第23题图1

第23题图3

第23题图 4

第23题图1

第23题图2

O ′N

A

D B

E

F

O

C

第21题图