2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期22.2、用函数观点看一元二次方程学案12

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人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿

人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级数学上册第22章的第2节，这一节内容是在学生已经学习了函数、方程等基础知识的基础上进行讲解的。

二次函数和一元二次方程是中学数学中的重要内容，也是高考的必考内容。

本节内容主要介绍了二次函数的定义、性质以及一元二次方程的解法。

通过本节内容的学习，使学生能够掌握二次函数和一元二次方程的基本概念和性质，能够运用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程等概念已经有了初步的认识。

但是，对于二次函数和一元二次方程的性质和应用可能还不是很清楚。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握二次函数和一元二次方程的概念和性质。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解二次函数的定义和性质，掌握一元二次方程的解法，能够运用二次函数和一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，培养学生的动手能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义和性质，一元二次方程的解法。

2.教学难点：二次函数和一元二次方程的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学模具、实物模型等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数和一元二次方程的概念。

2.讲解：讲解二次函数的定义和性质，演示一元二次方程的解法。

3.实践：让学生动手操作，进行实验和探究，加深对二次函数和一元二次方程的理解。

4.应用：通过解决实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识。

5.总结：对本节内容进行总结，强化学生的记忆。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数和一元二次方程的概念和性质。

九年级数学： 22.2用函数观点看一元二次方程(二)说课稿

22.2用函数观点看一元二次方程（二）大家好，今天我说课的题目是《用函数观点看一元二次方程》一、教材分析1、地位和作用本节课是新人教版九年级下册第22章二次函数的第二节，是学生在学习和掌握了二次函数的图象和性质以及一元二次方程的基础上来研究二次函数与一元二次方程的关系。

本节课和八年级上册第十一章一次函数中的第三节：用函数观点看方程（组）与不等式比较类似，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生。

通过本节课的学习，学生可以进一步加深对二次函数的图象和性质的理解，是后面学习二次函数与实际问题的基础，同时让学生进一步体会数形结合思想，也是以后高中学习一元二次不等式的基础。

2、教材内容在这节课中，首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系，然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系，最后通过例题介绍用函数的图象求一元二次方程的根的方法。

二、学情分析根据学生现状，在八年级时已接触过用函数观点看方程（组）与不等式，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生，且二次函数和一元二次方程是初中数学的难点问题。

因此，在教学中，我抓住这些特点，从学生已学的知识入手，引导学生在充分理解函数和一元二次方程关系的基础上，体会数形结合的思想。

三、教学目标四、教学重点难点知识技建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象，体会数与形的完美结合．五、教学设计说明二次函数为一元二次方程的求解提供了一个强有力的工具，寻找一元二次方程与二次函数的关系，是解二次方程的关键．本节课从实际问题出发，利用二次函数及图象特征探讨一元二次方程根的问题．这样设计，既激发了学生学习热情，同时使学生积极主动地投入到探究活动中．在探究一元二次方程与二次函数的关系中，教师引导学生，帮助学生建立数与形的结合，体会数形结合的思想．通过例题巩固用函数图象判断方程根的情况，提高学生的解题能力，激发他们对问题的探索精神，并且体会函数在方程中的应用．最后师生共同总结归纳，加深对二次函数与一元二次方程的理解与应用，提高应用数学的能力．以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。

人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》

人教版数学九年级上册教学设计22.2《二次函数与一元二次方程》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.2节《二次函数与一元二次方程》是本册教材的重要内容，主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系。

通过本节课的学习，学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法，从而更好地解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数和方程的基础知识，对于函数的概念、图像和性质有一定的了解。

但是，对于二次函数与一元二次方程之间的联系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实例演示如何运用二次函数解决实际问题。

三. 教学目标1.理解二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的关系。

2.学会运用二次函数的性质解决实际问题。

3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的关系。

2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现、总结二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.运用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图像和一元二次方程的解法，帮助学生更好地理解知识点。

3.结合实际例子，让学生亲自动手操作，运用二次函数解决实际问题。

4.采用小组讨论、合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件和教学素材。

2.准备一些实际问题，用于让学生运用二次函数解决。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用数学知识解决实际问题。

例如，假设一个物体从静止开始做匀加速直线运动，已知初速度为0，加速度为2m/s²，求物体运动5秒后的位移。

2.呈现（10分钟）呈现二次函数y=ax²+bx+c的图像，同时呈现相应的一元二次方程ax²+bx+c=0的解法。

人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》教学设计

人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.2.1节《二次函数与一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是难点内容。

本节主要介绍二次函数的性质，以及如何从二次函数图像上找到一元二次方程的根。

教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数和方程的基础知识，具备一定的逻辑思维能力和探究能力。

但是对于二次函数与一元二次方程之间的联系，还需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。

学生在学习过程中可能对一些概念和性质的理解存在困难，需要教师耐心引导和讲解。

三. 教学目标1.理解二次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.能够从二次函数图像上找到一元二次方程的根。

3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.二次函数的性质和图像。

2.二次函数与一元二次方程之间的关系。

3.如何从二次函数图像上找到一元二次方程的根。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.利用多媒体课件和实物模型，直观展示二次函数的图像和性质。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和操作中掌握知识。

六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。

2.练习题和答案。

3.小组合作学习的指导方案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示二次函数的图像，引导学生观察和描述二次函数的性质。

2.呈现（10分钟）提出问题：二次函数与一元二次方程之间有什么关系？如何从二次函数图像上找到一元二次方程的根？3.操练（10分钟）让学生分组操作，利用实物模型和多媒体课件进行探究，尝试解答问题。

4.巩固（10分钟）教师引导学生总结二次函数的性质和一元二次方程的解法，加深学生对知识的理解。

5.拓展（10分钟）出示一些有关二次函数与一元二次方程的应用题，让学生小组合作解决问题，提高学生的应用能力。

新人教版九年级数学上册《 22.2 二次函数与一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质》精品课教案_20

信息技术应用------探索二次函数的性质作者姓名学校学科数学年级/班级九年级一班教材版本2011人教版课标分析教材分析学情分析二次函数的图象是它性质的直观体现，学生能正确画出函数图象，是观察并用来研究函数性质等问题的前提。

现代信息技术的合理应用，可以适度的让画函数图象更快更准确，同时让学生体会到信息技术是一种有效的认知工具，可以为学生进行自主探究提供强有力的平台，呈现以往教材和教学手段难以呈现的内容。

本章二次函数是已学过的一次函数等内容为基础的，也是一种非常基本的初等函数，是进一步学习函数知识的重要环节。

函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，学习初中阶段的函数知识，起到承上启下的作用，为学生进入高中及以后学习，奠定基础。

本节课《信息技术应用——探索二次函数性质》，位于22.2《二次函数与一元二次方程》后，介绍了利用画图软件画二次函数的图象，探究它的性质，以及利用图象解一元二次方程等内容。

通过与信息技术的有机结合，轻松快速的画出需要的二次函数图象，让抽象的问题具体化，让复杂的问题简单化，更有利于学生对知识的理解和加深。

九年级学生理解能力、理性思维都有了一定的发展，但直接面对中考的压力，具有少言甚至不言，课堂积极性不高等特点。

为了充分调动学生学习的积极性，我查阅资料，上网学习，结合课本内容，利用画图软件、信息技术教学平台、电子白板、微课、课件等各具特色的功能，精心编排设计，让学生多动手操作，多进行探究，极大提高了学生本节课的学习兴趣。

给学生带来了一节信息技术与数学课堂高度融合的“信息技术数学课”，同时让学生体会到科技对我们学习的巨大影响，激发好好学习的动力。

教学设计教学目标信息技术应用------探索二次函数的性质知识目标：1.借助计算机画图软件探索二次函数y=ax²+bx+c的增减性。

2.借助计算机软件画二次函数图象解一元二次方程。

技能目标：1.初步学会使用老师教的计算机画图软件。

人教版数学九年级上册课件全套：22-2-用函数观点看一元二次方程

问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞
行时间？
h
15
O1
3
t1=t2=2 当球飞行2秒时，它的高度为20米
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果h
（3）解方程 20.5=20t+5t2
O
t
t2−4t+4.1=0 因为(−4)2−4×4.1<0,所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5米
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
【解析】选B.可画出图象，由表和图象可知二次函数图象的对称轴是x=2由图象知y1<y2.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.由一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况可确定二次函数 y=ax2+bx+c与x轴交点的个数情况； 2.用图象法求一元二次方程的近似根.
-0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解
x的范围是( C )
A.3<X<3.23
B.3.23<X<3.24
C.3.24<X<3.25
D.3.25<X<3.26
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 x1=0，x2=5 .

九年级数学人教版第二十二章二次函数22.2用函数观点看一元二次方程(同步课本知识图文结合例题详解)

多少飞行时间？
20.5 h
（3）解方程 20.5=20t+5t2
O
t
t24t+4.1=0 因为(4)244.1<0,所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5米
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?
九年级数学第22章二次函数
（4）球从飞出到落地要用多少时间？ h
O
t
九年级数学第22章二次函数
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 x1=0，x2=5 .金华中考）若二次函数y=-x2+2x+k
y
的部分图象如图所示，且关于x的一元二
次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一 O 1 3 x 个解x2= -1 ；
九年级数学第22章二次函数
4．（绥化中考）抛物线
y x2 4x m 2
与x轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此抛物线与x轴
的另一个交点的坐标是（3，0） .
九年级数学第22章二次函数
5. （济宁中考）已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数的图象上，则当1<x1<2,3<x2<4时，y1 与y2的大小关系正确的是（） A.y1 >y2 B. y1 < y2 C. y1 ≥y2 D.y1 ≤ y2
没有交点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

人教版九年级数学上册 22.2 用函数观点看1元2次方程精品导学案新人教版

用函数观点看一元二次方程学习目标：1、知识和技能：1.二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；2、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；3.会用估算方法估计一元二次方程的根.2、过程和方法：经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，进一步理解体会方程与函数之间的联系.3、情感、态度、价值观：通过探究二次函数图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况的关系，进一步体会数形结合思想.学习重点：一元二次方程与二次函数之间的联系。

学习难点：二次函数图像与x轴交点个数和一元二次方程的根的个数之间的关系。

导学方法：课时：导学过程课前预习：阅读 22.2 用函数观点看一元二次方程内容解决<<导学案>>自主测评内容。

课堂导学：情境导入：当y取一个确定的值时二次函数就变成一个一元二次方程，本节课我们学习二次函数与一元二次方程的关系。

2、出示任务、自主学习：1.二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；2、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；3.会用估算方法估计一元二次方程的根.3、合作探究：（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△=_______0；（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有_____个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0；（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴_____公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．三、展示反馈：利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为_______ ____；（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为____ ______；（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为_____ _____；（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为___ _____；（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为___ _____；（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为__ ______．四、学习小结：学生自主完成。

人教版九年级数学上册《22.2.2 利用函数的图象解一元二次方程》教学课件

知2－练
1 抛物线y＝ax2＋bx＋ c(a<0)如图，则关于x的不等式ax2＋bx ＋c>0的解集是( C ) A．x<2 B．x>－3 C．－3<x<1 D．x<－3或x>1
知2－练
2 如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋ bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( C ) A．b2＞4ac B．ax2＋bx＋c≥－6 C．若点(－2，m)，(－5，n) 在抛物线上，则m＞n D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－1
人教版九年级数学上册
第二十二章二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
第2课时用函数的图象解一元二次方程（不等式）
1 课堂讲解用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次不等式的解集
2 课时流程
逐点导讲练
二次方程有着紧密联系，我们是否可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根呢？
知2－讲
解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5 ＝－(x2－4x＋4)＋9＝－(x－2)2＋9.
∴抛物线的顶点坐标为(2，9)，对称轴为直线x＝2. 令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0， ∴x1＝5，x2＝－1，
∴抛物线与x轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．令x＝0，则y＝5，即抛物线与y轴的交点为(0，5). 由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为(4，5)．
如何利用函数图象解一元二次不等式呢？
归纳
知2－讲
画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式 ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：

九年级数学上册 22.2用函数的观点看一元二次方程11_1-5

远远地看到同伴们还在第一个T梁上，还在继续向梁头走。他的任务我们接手干了，好在不多，一百多立方米，又多忙活了一星期。， “这有什么，咱们一家人难得相见
第22章：二次函数
22.2 二次函数与一元一次方程
学目标：
1.了解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.理解一元二次方程根的几何意义，会灵活运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图象与x轴的交点问题。
问题1：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
h 15
O1
3
t
你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m？
解：（1）解方程 15=20t-5t2 T2-4t+3=0 t1=1,t2=3
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？
父亲主要是想把这年的年味提到一个崭新的层次上，兔肉炖绿萝卜，那是“鲜死神仙”，老家就这样说，嘴角还要咂摸一下，似乎正咬着兔肉呢。那茶园、果园遍布于山峰之上的翠绿，在白云雾笼之中尽显着江南水乡山峰峰峦之美。我从他忧郁的眼神里，常常能感受到有着一种“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的情怀。
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人教版九年级数学上册教案-22.2 二次函数与一元二次方程4带教学反思

22.2 二次函数与一元二次方程（2）教学目标：1．知识与能力：复习巩固用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解.2．方法与过程：让学生体验函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的交点的横坐标是方程x 2＝bx ＋c 的解的探索过程，掌握用函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象交点的方法求方程ax 2＝bx ＋c 的解.3．情感、态度与价值观：提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想.教学重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点. 教学难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.教学方法：学生学法教学过程：一、复习巩固1．如何运用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c 的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y ＝x 2＋x －1的图象，求方程x 2＋x －1＝0的解.(精确到0.1)(2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解.二、探索问题已知抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8和直线y 2＝mx ＋1相交于点P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式； (2)当x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点P(3，4m)在直线y 2＝mx ＋1上，所以有4m ＝3m ＋1，解得m ＝1 所以y 1＝x ＋1，P(3，4). 因为点P(3，4)在抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8上，所以有 4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10(2)依题意，得⎩⎨⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎨⎧x 2＝1.5y2＝2.5 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).五、小结：如何用画函数图象的方法求方程的解?六、作业：~。

九年级数学上册 22.2.2 利用函数的图象解一元二次方程课后作业2 (新版)新人教版

利用函数的图象解一元二次方程一、教材题目：P47 T2（2）、T3、T52．用函数的图象求下列方程的解：(2)－x2－6x－9＝0.3．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－112x2＋23x＋53.(1)画出上述函数的图象；(2)观察图象，指出铅球推出的距离．(第3题）5．画出函数y＝x2－2x－3的图象，利用图象回答：(1)方程x2－2x－3＝0的解是什么；(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.二.补充:来源于《点拨》3．设二次函数y＝x2＋bx＋c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，当x≥3时，总有y≥0，那么c的取值范围是( )A．c＝3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤35．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m ＝0的根为________；不等式－x2＋2x＋m＞0的解集是__________；当x__________时，y 随x的增大而减小．(第5题)7．〈易错题〉二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．12. 已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象经过两点P(1，a)，Q(2，10a)．(1)如果a，b，c都是整数，且c<b<8a，求a，b，c的值；(2)设二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C.如果关于x 的方程x2＋bx－c＝0的两个根都是整数，求△ABC的面积．答案教材2．解： (2)图象略．方程的解为x 1＝x 2＝－3.3．解：(1)函数图象如图．(第3题)(2)由图象可知，铅球推出的距离为10 m .5．解：图象如图．(第5题)(1)方程的解为x 1＝－1，x 2＝3.(2)当x ＜－1或x ＞3时，函数值大于0.(3)当－1＜x ＜3时，函数值小于0.点拨3.A5．x ＝－1或x ＝3；－1＜x ＜3；＞1点拨：由题意可知方程的一个根为3，设方程的另一个根为x ，则x ＋32＝1，∴x ＝－1，∴－x 2＋2x ＋m ＝0的根为x ＝－1或x ＝3，∴不等式－x 2＋2x ＋m ＞0的解集是－1＜x ＜3，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小．7．解：(1)观察图象，抛物线与x 轴交于两点(1，0)、(3，0)，故方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1＝1，x 2＝3.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为1＜x ＜3.(3)因为抛物线的对称轴为直线x ＝2，且开口向下，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，所以自变量x 的取值范围为x ＞2.(4)若使方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与直线y ＝k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当k ＜2时才能满足条件．方法规律：此题运用了数形结合思想，利用图象来解题．注意第一问中求的是根而不是点的坐标．对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)和方程ax 2＋bx ＋c ＝0及不等式ax 2＋bx ＋c ＞0之间的关系理解透彻是做此题的关键．12．解：因点P(1，a)、Q(2，10a)在二次函数y ＝x 2＋bx －c 的图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋b －c ＝a ，4＋2b －c ＝10a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝9a －3，c ＝8a －2. (1)由c ＜b ＜8a 知⎩⎪⎨⎪⎧8a －2＜9a －3，9a －3＜8a ，解得1＜a ＜3.又a 为整数，所以a ＝2，所以b ＝9a －3＝15，c ＝8a －2＝14.(2)设m ，n 是方程的两个整数根，且m ≤n.由根与系数的关系可得m ＋n ＝－b ＝3－9a ，mn ＝－c ＝2－8a ，消去a ，得9mn －8(m ＋n)＝－6，两边同时乘9，得81mn －72(m ＋n)＝－54，分解因式，得(9m －8)(9n －8)＝10. 所以⎩⎪⎨⎪⎧9m －8＝1，9n －8＝10，或⎩⎪⎨⎪⎧9m －8＝2，9n －8＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧9m －8＝－10，9n －8＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧9m －8＝－5，9n －8＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝109，n ＝139，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－29，n ＝79，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝23，又m ，n 是整数，所以m ＝1，n ＝2. 因此，b ＝－(m ＋n)＝－3，c ＝－mn ＝－2，二次函数的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.易求得点A 、B 的坐标为(1，0)和(2，0)，点C 的坐标为(0，2)，所以△ABC 的面积为12×(2－1)×2＝1.。

九年级数学上册 22.2 用函数观点看一元二次方程课件 (新版)新人教版

有 1 个交点，即有两个相等的实数根；
（3）当△＜0时抛物线 yax2 bxc与X轴
有 0 个交点，即没有实数根. 2、学习反思：_______________________
yax2 bxc
五、强化训练
利用函数图象求方程 x22x20 的
实数根（结果保留小数点后一位）.
解：作 yx22x2 的图象，它与x轴的公
识点一
三、研读课文
用图象法解一元二次方程
思考下列二次函数的图象与X轴有公共点吗？如果
知识
有，公共点的横坐标是多少？当X取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
点（1）yx2 x2 ；（2） yx2 6x9；
二（3）y x2 x1 .
三、研读课文
用图象法解一元二次方程
解：这三个二次函数的图象如下图，观察图象：
知
y x2 x1
识
点
yx2 x2
yx2 6x9
二
三、研读课文
用图象法解一元二次方程
可以看出：
（1）二次函数 yx2 x2的图象与x轴有__2_个交点
知，即当函数值为0时，它们的横坐标是 -2， 1.则
识
一元二次方程的根的判别式△＝__12 -4x_1_x_(-＞2)0，所
识温馨提示：二次函数与一元二次方程关系，例如，
点一
已知二次函数y x2 4x 的函数值为3，求自变量
的值，可以看作解一元二次方程_x_2___4_x____3___
.
反x之2，4解x一元3二次方程
又可以看作已知y二次函x2数4x___ ____ 的函数值为3
时自变量的值.
三、研读课文

九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程用图象法求一元二次方程的根素材 (新版)新人教版

用图象法求一元二次方程的根学习了二次函数之后，可以利用图象求一元二次方程的根。

下面介绍几种具体的方法：方法一：直接画出函数y=ax 2+bx+c 的图象，那么图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0的根.其步骤一般为：〔1〕作出二次函数y=ax 2+bx+c 的图象；〔2〕观察图象与x 轴交点的个数；〔3〕假设图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.方法二：先将方程变形为ax 2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax 2+bx 和直线y=-c 的图象，那么图象交点的横坐标就是方程的根. 方法三：可将方程化为a c x a b x ++2=0，移项后为ac x a b x --=2.设y=x 2和y=a c x a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x 2和直线y=a c x a b --的图象，那么图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.例：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，根据图象解答以下问题：〔1〕写出方程20ax bx c ++=的两个根．〔2〕写出不等式20ax bx c ++>的解集．〔3〕写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．〔4〕假设方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：〔1〕观察图象，抛物线与x 轴交于两点〔1，0〕、〔3，0〕故方程20ax bx c ++=的两个根11x =，23x = .〔2〕不等式20ax bx c ++>，反映在函数图象上，应为图象在x 轴上方的局部，因此不等式20ax bx c ++>的解集应为13x <<.〔3〕因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下，所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x >〔4〕假设使方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，也就是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当2k <才能满足条件.点评：可以看到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和方程20ax bx c ++=及不等式20ax bx c ++>之间都有密切的联系。

九年级数学上册 22.2用函数的观点看一元二次方程22_1-5

课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
一元二次方程
ax2+bx+c= 0的根
一元二次方程ax2+bx+c= 0
根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的实数根没有交点没有实数根b2–4ac> 0 b2–4ac = 0 b2–4ac < 0
随堂练习
1.不与x 轴相交的抛物线是（）
A. y = 2x 2–3
B. y =－2 x 2+ 3
C. y = －x 2–3x
D. y =－2(x +1)2－3
2.若抛物线y = ax 2+bx +c ，当a >0，c <0时，图象与x 轴交点情况是
（）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点
D. 不能确定
D C
3. 如果关于x 的一元二次方程x 2－2x +m =0有两个相等的实数根，
则m =＿＿＿，此时抛物线y=x 2－2x +m 与x 轴有＿＿个交点.
4.已知抛物线y =x 2–8x + c 的顶点在x 轴上，则c =＿＿.
11165.若抛物线y =x 2+ bx + c 的顶点在第一象限,则方程x 2+ bx + c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.b 2－4ac < 0。