高二数学人教A版必修5二元一次不等式组与平面区
高中数学第三章不等式3.3.1二元一次不等式组与平面区域课件新人教A版必修5
则有
该不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示
≥ 0,
≥ 0.
(含边界).
-19-
二元一次不等式(组)与
平面区域
探究一
探究二
课前篇自主预习
探究三
思维辨析
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
反思感悟用二元一次不等式组表示实际问题的步骤
1.先根据问题的需要选取起关键作用且关联较多的两个量,并用字
(1)定义:我们把含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等
式称为二元一次不等式;把由几个二元一次不等式组成的不等式组
称为二元一次不等式组.
(2)解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),
所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的
解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是,二元一次
课堂篇探究学习
当堂检测
用二元一次不等式(组)表示实际问题
例3投资生产A产品时,每生产100 吨需要资金200 万元,需场地200
平方米;投资生产B产品时,每生产100 吨需要资金300 万元,需场地
100 平方米.现某单位可使用资金1 400 万元,场地900 平方米,用数
学关系式和图形表示上述要求.
(1,0)作为测试点.
-6-
二元一次不等式(组)与
平面区域
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
3.做一做:
(1)判断正误.
①不等式Ax+By+C>0是二元一次不等式.(
)
②点(1,3)在不等式2x-y-2<0所表示的平面区域内. (
)
人教新课标版数学高二A必修5学案二元一次不等式(组)与平面区域(一)
3．3.1二元一次不等式(组)与平面区域(一)明目标、知重点 1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax ＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．[情境导学]上节我们用一元二次不等式表示了生活中一种量的不等关系，在现实生活和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，怎样表示现实生活中存在的一些不等关系？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一二元一次不等式(组)的有关概念问题一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？思考1 假设信贷部用于企业投资的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元．那么x 和y 应满足哪些不等关系？答 分析题意，我们可得到以下式子 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25 000 000，12x ＋10y ≥3 000 000，x ≥0，y ≥0.思考2 思考1中得出的不等关系有什么特点？答 未知数x 和y 要同时满足4个不等式组成的不等式组，每一个不等式最多含有两个未知数，并且未知数的次数是1次．小结 (1)我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；(2)我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组；(3)满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x ，y )，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．思考3 有序实数对可以看成直角坐标系内点的坐标．二元一次不等式(组)的解集可以看成什么？答 可以看成直角坐标系内的点构成的集合． 探究点二 二元一次不等式表示的平面区域思考1 在平面内画一条直线x －y ＝6，这条直线将平面分为几个部分？答 在直角坐标系中，所有点被直线x －y ＝6分成三类：一类是在直线x －y ＝6上的点；二类是在直线x －y ＝6左上方的区域内的点；三类是在直线x －y ＝6右下方的区域内的点． 思考2 如下图，设点P (x ，y 1)是直线上的点，选取点A (x ，y 2)满足不等式x －y <6.你能完成下面的表格吗？横坐标x －3 －2 －1 0 1 2 3 点P 的纵坐标y 1 点A 的纵坐标y 2答横坐标x－3－2－10123点P的纵坐标y1－9－8－7－6－5－4－3点A的纵坐标y2>－9>－8>－7>－6>－5>－4>－3思考3当点A与点P有相同的横坐标时，他们的纵坐标有什么关系？直线l左上方点的坐标与不等式x－y<6有什么关系？直线l右下方点的坐标呢？答当点A与点P有相同的横坐标时，点A的纵坐标大于点P的纵坐标．即x－y2<6.在直角坐标系中，以二元一次不等式x－y<6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式x－y<6.因此，在直角坐标系中，不等式x－y<6表示直线x－y ＝6左上方的平面区域．类似地，不等式x－y>6表示直线x－y＝6右下方的平面区域．小结一般地，在直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，表示区域不包括边界．而不等式Ax＋By＋C≥0表示区域时则包括边界，把边界画成实线．思考4如何判断二元一次不等式表示哪个平面区域？答对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得符号都相同，所以只需在直线的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号确定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．例1画出x＋4y<4表示的平面区域．解先作出边界x＋4y＝4，因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋4y－4，因为0＋4×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方．如下图所示．反思与感悟画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是，当C≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点．跟踪训练1不等式x－2y＋6>0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的()A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方答案B解析在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，观察图象知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.例2用平面区域表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y<－3x＋12，x<2y的解集．分析由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分．解不等式y<－3x＋12即3x＋y－12<0，表示的平面区域在直线3x＋y－12＝0的左下方；不等式x<2y即x－2y<0，表示的是直线x－2y＝0左上方的区域．取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集．反思与感悟在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．跟踪训练2画出下列不等式组所表示的平面区域．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x－2y≤3，x＋y≤3，x≥0，y≥0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x－y<2，2x＋y≥1，x＋y<2.解(1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方区域；x ≥0表示y 轴及其右边区域； y ≥0表示x 轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．(2)x －y <2，即x －y －2<0，表示直线x －y －2＝0左上方的区域； 2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方区域； x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方区域． 综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示．1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)答案 D解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内，故选D.2．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6>0，x <0.B.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0.C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6>0，x ≤0.D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6<0，x <0. 答案 C解析 观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2上方，且不包含直线y ＝－2，故可得不等式y >－2.又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0，故可得不等式x ≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)、点(0,3)，故可得直线3x －2y ＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O (0,0)在阴影部分，故可得不等式3x －2y ＋6>0.观察选项可知选C.3．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6) B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案 A解析 由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0， 即(a ＋1)(a －6)<0，∴－1<a <6.4．画出下面二元一次不等式表示的平面区域． (1)x －2y ＋4≥0；(2)y >2x . 解 (1)画出直线x －2y ＋4＝0，∵0－2×0＋4＝4>0，∴x －2y ＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界． (2)画出直线y －2x ＝0， ∵0－2×1＝－2<0，∴y －2x >0(即y >2x )表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．[呈重点、现规律]1．对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B >0时，(1)Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；(2)Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．一、基础过关1．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k＝73.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x＋3y≤12，x－y>－1，y≥0表示的平面区域内整点的个数是()A．2个B．4个C．6个D．8个答案C解析画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(3,0)共6个．3．直线2x＋y－10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个答案B解析画出可行域如图阴影部分所示．∵直线过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0)．4．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的平面区域为()答案B解析不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x－y>0，x＋2y－2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x－y<0，x＋2y－2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.5．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．答案－1<a≤0解析根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a＋1≤0，无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a＋1>0，∴－1<a≤0.综上所述，－1<a≤0.6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤1，x－y≤1，－x＋y≤1，－x－y≤1表示的平面区域的形状为_____________________________．答案正方形解析如图所示的阴影部分，不等式组表示的平面区域是边长为2的正方形．7．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0，x＋y－3<0表示的平面区域．解不等式x>0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集合(不含边界)．不等式y>0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含边界)．不等式x ＋y －3<0表示直线x ＋y －3＝0左下方的点的集合(不含边界)． 所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．8．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域．解 先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O (0，0)，代入x －y ＋5，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x －y ＋5>0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合． 所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分． 二、能力提升9．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( ) A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min ＝4. 10．下列平面区域所对应的二元一次不等式(组)分别为：(1) (2)(3)(1)___________________；(2)___________________；(3)____________________．答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，－1≤y ≤1；(2)x ＋y ≤1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y >0，x ≤1.11．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数m 的值为________．答案 －3解析 由点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离d ＝|4m －9＋1|5＝4，得m ＝7或m ＝－3.又点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，当m ＝－3时，点P 的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m ＝7时，点P 的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去．综上，m ＝－3.12．在△ABC 中，A (3，－1)、B (－1,1)、C (1,3)，写出△ABC 区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组．解如图所示，可求得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0. 由于△ABC 区域在直线AB 右上方，∴x ＋2y －1≥0；在直线BC 右下方，∴x －y ＋2≥0；在直线AC 左下方，∴2x ＋y －5≤0.∴△ABC 区域可表示为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.三、探究与拓展13．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，y ≥2，6x ＋7y ≤50的整数解．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．把x ＝3代入6x ＋7y ≤50，得y ≤327，又∵y ≥2， ∴整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；把x ＝4代入6x ＋7y ≤50，得y≤26，7∴整点有(4,2)，(4,3)．，把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤207∴整点有(5,2)；把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤8，与y≥2不符．7∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．。
人教a版必修五课件：二元一次不等式(组)与平面区域(62页)
2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定 有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的 同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
新知初探
1．二元一次不等式及其解集的意义 (1)二元一次不等式 含有两 个未知数，并且含未知数的项的最高次数是 1 的不等式称为二元一次不等式． 二元一次不等式的一般形式是Ax＋By＋C>0，Ax＋By ＋C<0，Ax＋By＋C≥0，Ax＋By＋C≤0，其中A，B不同 时为零．
(2)二元一次不等式组 由几个 二元一次不等式 组成的不等式组称为二元一次 不等式组． (3)二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对 (x，y)，所以这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一 次不等式(组)的解集．一个二元一次不等式，它的解是一些 数对(x，y)，因此，它的解集不能用数轴上一个区间表示， 而应是平面上的一个区域．
By＋C＝0划分平面成两个半平面的区域，分别由不等式Ax ＋By＋C>0与Ax＋By＋C<0决定．因此，如同前面所学平面 内的直线可以视为二元一次方程的几何表示一样，半平面 就是二元一次不等式的几何表示．
思考感悟
1．每一个二元一次不等式(组)都能表示平面上的一个 区域吗？ 提示：不一定．当不等式组的解集为空集时，不等式 组不表示任何图形．
7 答案：4
类型三 [例3]
点与平面区域的关系 已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有
人教A版高中数学必修五 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
•
的公共部分。
•O
•X
•解： 不等式ｘ－ｙ＋５≥０表示
• 直线ｘ－ｙ＋５＝０上及右 • 下方的点的集合，
•x+y=0
•ｘ＋ｙ≥０表示直线ｘ＋ｙ＝０上及
•
右上方的点的集合，
课堂练习：
1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线
x – 2y + 6 = 0的（ B ）
（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方
x-y-6=0
x - y -6 < 0 x-y-6 > 0
二元一次不等式
x 4y4 0
y
3x
12
0
二元一次不等式组
•思考：
•1、x-y-6=0的解集表示的什么图形 ？
•探究：
•1、x-y-6<0的解集表示的什么图形 ？ •2、x-y-6 >0的解集表示的什么图形？
思考：如何判断某个点P（x，y） 在不在直线x-y-6=0上呢？
思考：通过这几组点的位置你发现 了什么规律？
直线同侧 点同号
y
x- y -6=0
x-y-6<0
•（7，2） •（7，1）
6 O
•（3，0）•（7，0）
•（-1，-2）
x
•（3，-3）
6 •（3，-5）
•（-1，-7）
x-y-6>0
•（-1，-8）
• 二元一次不等式x-y-6 > 0的解集
表示的是什么图形？ • 二元一次不等式x-y-6<0的解集
例题示范：
例1：画出不等式 x + 4y- 4<0 表示的平面区域
解：(1)直线定界:先画边界直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线）
2020版人教A数学必修5 课件：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
即时训练3-1:某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和 漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又木工、漆工 每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
[目标导航]
1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面 课标要求 区域. 3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面 区域表示二元一次不等式组的解.
x y 2 1 0,
x ky k 0
(2)将图中阴影部分表示的平面区域,用不等式表示出来.
(2)解:由图(1)可知,其边界所在的直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为 1,故边界所在的直线 方程为 x+y-1=0, 将原点(0,0)代入直线方程 x+y-1=0 的左边,得 0+0-1<0, 故所求的不等式为 x+y-1≤0;
思考1:不等式2x-3y>0是二元一次不等式吗? 答案:是,符合二元一次不等式的两个特征. 2.二元一次不等式表示的平面区域
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
二元一次不等式Ax+By+C>0 所有点组成的平面区域,我们把直线画 成 虚线 ,以表示区域 不包括 边界
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
y
1)
0,
表示的平面区
域的面积等于( )
2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第三章 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
解 先画直线 x－y＋6＝0(画成实线)， 不等式 x－y＋6≥0 表 示直线 x－y＋6＝0 上及右下方的点的集合.画直线 x＋y＝ 0(画成实线)，不等式 x＋y≥0 表示直线 x＋y＝0 上及右上方 的点的集合． 画直线 x＝3(画成实线)， 不等式 x≤3 表示直线 x＝3 上及左方的点的集合．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.1
小结
本 讲 栏 目 开 关
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面
点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部 分，但要注意是否包含边界．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.1
x<3， 2y≥x， 跟踪训练 1 画出不等式组 表示的平面区域． 3x＋2y≥6， 3y<x＋9
本 讲 栏 目 开 关
3.3.1
3.3.1
【学习目标】
二元一次不等式(组)与平面区域
1．了解二元一次不等式表示的平面区域．
本 讲 栏 目 开 关
2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域． 【学法指导】 1．要善于从特例入手，探究二元一次不等式与对应平面区 域的关系．归纳总结出一般结论： “同侧同号，同号同 侧，异侧异号，异号异侧”． 2．准确、规范、熟练地画出二元一次不等式(组)所表示的平 面区域是学好本单元的关键所在．熟练掌握 “直线定边 界，特殊点定区域”的要领．
本 讲 栏 目 开 关
所有点组成的平面区域． 2．在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定边 界、特殊点定区域”的方法来画区域．取点时，若直线不 过原点，一般用“原点定区域”；若直线过原点，则取点 (1,0)即可．总之，尽量减少运算量． 3．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
高中数学《3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域》教案2 新人教A版必修5
3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2）
高二数学教·学案
【学习目标】
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情感态度与价值观：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【学习重点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示.
【学习难点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）.
【授课类型】新授课
高二数学教·学案
课后反思：。
高中数学 必修5 25.二元一次不等式组表示的平面区域
25.二元一次不等式组表示的平面区域教学目标 班级______ 姓名__________1.能熟练应用二元一次不等式的性质解决问题.2.能熟练的画出二元一次不等式组表示的平面区域.3.掌握二元一次不等式组表示的平面区域相关的面积计算.教学过程一、二元一次不等式的性质.1.两点同侧：直线同侧的点坐标满足同一不等式.对于直线0=++C By Ax 同侧的任意两点，把它们的坐标代入多项式C By Ax ++，所得的值符号相同；即在直线0=++C By Ax 同侧任取两点),(11y x 、),(22y x ，则有0))((2211>++++C By Ax C By Ax .2.两点异侧：异侧的点满足不同的不等式.对于直线0=++C By Ax 异侧的任意两点，把它们的坐标代入多项式C By Ax ++，所得的值符号相反.即在直线0=++C By Ax 两侧各任取一点),(11y x 、),(22y x ，则有0))((2211<++++C By Ax C By Ax .二、二元一次不等式组表示的平面区域.1.画二元一次不等式所表示的平面区域：（1）特殊点法；（2）标准式法.2.注意事项：（1）画二元一次不等式所表示的平面区域要注意：①是否取等；②取左取右.（2）二元一次不等式组要求各不等式同时成立，作图时取各不等式区域的公共部分.（3）作图要精确，画直线时，尽可能找特殊点（如直线与坐标轴的交点）.三、与二元一次不等式组表示的平面区域相关的面积计算.1.要求面积的区域一般是封闭的区域，面积可求.2.规则图形可直接用面积公式求解：高底三角形⨯⨯=21S ，高下底）（上底梯形⨯+=21S . 3.若平面区域为不规则图形，可将区域分解成几个规则的图形，然后求解.四、例题分析.1.利用二元一次不等式的性质求参数的值.例1：已知点)1,3(A 和)6,4(-B 在直线023=+-a y x 的异侧，求a 的取值范围.练1：已知点)2,1(-P 以及它关于原点对称的点Q 均在不等式012>++by x 表示的平面区域内，求b 的取值范围.2.画二元一次不等式组表示的平面区域.例2：画出不等式组 10≤≤x ，表示的平面区域.10≤≤y ，1≤+y x ，3.面积计算问题.例3：画出不等式组 012≥-+y x ，表示的平面区域，并计算该区域的面积. 052≤-+y x ，2+≤x y ，作业：画出不等式组 05≥+-y x ，表示的平面区域.01>++y x ，3≤x ，。
高二人教A版必修5系列教案：二元一次不等式组与平面区域
二元一次不等式（組）與平面區域一、教學目標:1．初步體會從實際情景中抽象出二元一次不等式組的過程。
2．瞭解二元一次不等式（組）的相關概念，並能畫出二元一次不等式（組）表示的平面區域。
3．培養學生觀察、分析數學圖形的能力，在問題的解決中滲透集合、化歸、類比、數形結合的數學思想。
二、教學重點與難點:1．重點：探究、運用二元一次不等式（組）來表示平面區域。
2．難點：如何確定不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直線Ax+By+C=0的哪一側區域。
三、教學準備:教具：直尺、多媒體設備。
四、教學過程:(一)、創設情境 激發興趣問題1：我們班計畫用少於100元的錢購買單價分別為2元和1元的大、小彩球裝點聯歡晚會的會場，根據需要，大球數不少於10個，小球數不少於20個，請你給出幾種不同的購買方案？答：大球10個、小球20個；大球20個、小球30個；大球30個、小球30個；大球35個、小球29個等等；提問：這個問題中存在一些不等關係，我們應該用什麼不等式模型來刻畫它們呢？學生列式: 設購買大球x 個，小球y 個⎪⎩⎪⎨⎧≥≥<-+201001002y x y x （x,y ∈N +） 學生通過思考，相繼得到許多不同的解：⎩⎨⎧==2010y x ，⎩⎨⎧==3020y x ，⎩⎨⎧==3030y x ，⎩⎨⎧==2935y x ……上述各個解都滿足01002<-+y x 。
提問1：大家認識這個不等式2x+y<100嗎？該怎樣稱呼它？（如學生不知道，可以問學生x-10>0如何稱呼？）我們把含有兩個未知數，並且未知數的次數是1的不等式稱為二元一次不等式。
提問2：我們該怎樣稱呼 ⎩⎨⎧><+8y -x 1002y x 我們把幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。
把x=10,y=20代入代數式2x+y-100,滿足01002<-+y x ， x=20,y=30代入代數式2x+y-100滿足01002<-+y x ，象這樣滿足二元一次不等式（組）的x 和y 的取值構成有序數對（x ，y ）（舉例說明）,所有這樣的有序數對（x ，y ）構成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集，有序實數對可以看作是直角坐標系平面內點的座標，於是二元一次不等式（組）的解集就可以看成直角坐標系內點構成的集合。
高中数学人教A版必修五课件：二元一次不等式组与平面区域
x2y 0
2
M
y3
o
2
4A 6
8x
x4
x2y8 0
举一反三
;y-1 ≤ 0
y y=2x
y ≥ -1
求z=2x-y最大值与最小值 。
解：①作可行域（如图）
x+y=1 x-y=0
1
②由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动 直线y=2x，若直线截距-z取得最大值， 则z取得最小值；截距-z取得最小值，
资源
A种配件 B种配件 所需时间
甲产品 (1件)
4 0 1
乙产品 (1件)
0 4 2
设甲、乙两种产品分别生产x、y件.
资源限额
≤16 ≤12 ≤8
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组：
x 2 y 8,
44
x y
16, 12,
y
x
0,
4
y3
y 0.
2
o
2
4
y
例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域
（1）x +4y>4
x+4y=4
x+4y>4
变式： （2）x-y-4<0 （3）x-y-4>0
o x+4y<4
x
y
o
x-y-4=0
x
x-y-4>0
题型二：画二元一次不等式组表示的区域
y 例2、画出不等式组表示的平面区域。
x-y+5≥0 x+y≥0
x≤3
5
分析：由于画所二求元平一面次区不域等的式点组的表坐
题型四：综合应用
x-y+5≥0
人教A版高中数学高二必修5课件二元一次不等式(组)与平面区域
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
8
(2)y>2x.
解 画出直线y－2x＝0，
∵0－2×1＝－2<0， ∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0) 的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界.
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
9
规律方法 应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画 平面区域，先画直线Ax＋By＋C＝0，取点代入Ax＋By＋C 验证.在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”； 若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算. 画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包 括边界，则把边界画成虚线.
28
1234
2.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
29
y≥－2
A.3x－2y＋6>0
x<0
y≥－2
B.3x－2y＋6≥0 x≤0
y>－2
C.3x－2y＋6>0 x≤0
y>－2
D.3x－2y＋6<0
x<0
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
第三章——
3．3 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
[学习目标]
1.了解二元一次不等式表示的平面区域. 2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
人教新课标版数学高二A必修5课件二元一次不等式组与平面区域二
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的 对应性.对于A>0的直线l：Ax＋By＋C＝0，Ax＋By＋C>0对 应直线l右侧的平面；Ax＋By＋C<0对应直线l左侧的平面. 2.由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、 多边形以及扇形域和带状域等.
x≤a
表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( )
A.3 2＋2
B.－3 2＋2
C.－5
明目标、知重点
D.1
解析 区域如图，
易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－a). S△ABC＝12 |BC|·|a＋2| ＝(a＋2)2＝9， 由题意得a＝1. 答案 D
明目标、知重点
123
123
20≤x＋y≤30， 把上面的四个不等式合在一起，得到x＋2y≤40，
x≥0， y≥0.
明目标、知重点
用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分)．
明目标、知重点
例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲 种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮 乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷 酸 盐 10 吨 ， 硝 酸 盐 66 吨 ， 在 此 基 础 上 生 产 这 两 种 混 合 肥 料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面 区域． 解 设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，
x－y＋6≥0，
∴S△ABC＝12×
12 × 2
122＝36.故不等式组x＋y≥0，
x≤3
高二人教A版必修5系列教案：二元一次不等式(组)与平面区域
一、知識與技能1.使學生瞭解並會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域；2.能畫出二元一次不等式（組）所表示的平面區域.二、過程與方法1.培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想；2.提高學生“建模”和解決實際問題的能力；3.本節新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是為了分散難點，層層遞進，突出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全有可能由學生主動去探求新知，得出結論.三、情感態度與價值觀1.通過本節教學著重培養學生掌握“數形結合”的數學思想，儘管側重於用“數”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數”，培養學生觀察、聯想、猜測、歸納等數學能力；2.結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇於創新.會求二元一次不等式（組）表示平面的區域.如何把實際問題轉化為線性規劃問題，並給出解答.師 在現實和數學中，我們會遇到各種不同的不等關係，需要用不同的數學模型來刻畫和研究它們.前面我們學習了一元二次不等式及其解法，這裏我們將學習另一種不等關係的模型.先看一個實際例子.一家銀行的信貸部計畫年初投入25 000 000元用於企業和個人貸款，希望這筆貸款資金至少可帶來30 000元的效益，其中從企業貸款中獲益12%，從個人貸款中獲益10%，那麼，信貸部應該如何分配資金呢？師 這個問題中存在一些不等關係，我們應該用什麼不等式模型來刻畫它們呢？生 設用於企業貸款的資金為x 元，用於個人貸款的資金為y 元，由資金總數為25 000 000元，得到x +y ≤25 000 000.①師 由於預計企業貸款創收12%，個人貸款創收10%.共創收30 000元以上，所以(12%)x +(10%)y ≥30 000，即12x +10y ≥3 000 000.②師 最後考慮到用於企業貸款和個人貸款的資金數額都不能是負數，於是生 x ≥0,y ≥0.③師 將①②③合在一起，得到分配資金應該滿足的條件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+.0,0,30000001012,25000000y x y x y x 師 我們把含有兩個未知數，且未知數的次數是1的不等式（組）稱為二元一次不等式（組）. 滿足二元一次不等式（組）的x 和y 的取值構成有序數對(x ,y )，所有這樣的有序數對(x ,y )構成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集.有序數對可以看成直角坐標平面內點的座標.於是，二元一次不等式（組）的解集就可以看成直角坐標系內的點構成的集合.師 我們知道，在平面直角坐標系中，以二元一次方程x +y -1=0的解為座標的點的集合{(x ,y )|x +y -1=0}是經過點（0，1）和（1，0）的一條直線l ，那麼，以二元一次不等式（即含有兩個未知數，且未知數的最高次數都是1的不等式）x +y -1＞0的解為座標的點的集合A ={(x ,y )|x +y -1＞0}是什麼圖形呢？點題板書課題新課學習師二元一次方程x＋y－1＝0有無數組解，每一組解是一對實數，它們在座標平面上表示一個點，這些點的集合組成點集{(x，y)|x＋y－1＝0}，它在座標平面上表示一條直線.以二元一次不等式x＋y－1＞0的解為座標的點，也拼成一個點集.如x＝3，y＝2時，x＋y－1＞0，點(3，2)的座標滿足不等式x＋y－1＞0.(3，2)是二元一次不等式x＋y－1＞0的解集中的一個元素.我們把二元一次不等式x＋y－1＞0的解為座標的點拼成的點集記為{(x，y)|x＋y－1＞0}.請同學們猜想一下，這個點集在座標平面上表示什麼呢？生x＋y－1＞0表示直線l：x＋y－1＝0右上方的所有點拼成的平面區域.師事實上，在平面直角坐標系中，所有的點被直線x＋y－1＝0分為三類：在直線x＋y－1＝0上；在直線x＋y－1＝0右上方的平面區域內；在直線x＋y－1＝0左下方的平面區域內.如(2，2)點的座標代入x＋y－1中，x＋y－1＞0，(2，2)點在直線x＋y－1＝0的右上方.(－1，2)點的座標代入x＋y－1中，x＋y－1＝0，(－1，2)點在直線x＋y－1＝0上.(1，－1)點的座標代入x＋y－1中，x＋y －1＜0，(1，-1)點在直線x＋y－1＝0的左下方.因此，我們猜想，對直線x＋y－1＝0右上方的點(x，y)，x＋y－1＞0成立；對直線x＋y－1＝0左下方的點(x，y)，x＋y－1＜0成立.師下麵對這一猜想進行一下推證.生在直線l：x＋y－1＝0上任取一點P(x0，y0)，過點P作平行於x軸的直線y＝y0，這時這條平行線上在P點右側的任意一點都有x＞x0，y＝y0兩式相加.x＋y＞x0＋y0，則x＋y－1＞x0＋y0－1,P點在直線x＋y－1＝0上，x0＋y0－1＝0.所以x＋y－1＞0.因為點P(x0，y0)是直線x＋y－1＝0上的任意一點，所以對於直線x＋y－1＝0的右上方的任意點(x，y),x＋y－1＞0都成立.同理，對於直線x＋y－1＝0左下方的任意點(x，y)，x＋y－1＜0都成立.所以點集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直線x＋y－1＝0右上方的平面區域，點集{(x，y)|x＋y－1＜0}是直線x＋y－1＝0左下方的平面區域.師一般來講，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0的某一側所有點組成的平面區域.如何讓快速、準確的判斷？生由於對在直線Ax＋By＋C＝0同一側的所有點(x，y)，實數Ax＋By＋C的符號相同，所以只需在此直線的某一側取一個特殊點(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、負就可判斷Ax＋By＋C＞0表示直線哪一側的平面區域.師當C≠0時，我們常把原點作為這個特殊點去進行判斷.如把(0，0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.說明：x＋y－1＜0表示直線x＋y－1＝0左下方原點所在的區域，就是說不等式所表示的區域與原點在直線x＋y－1＝0的同一側.如果C＝0，直線過原點，原點座標代入無法進行判斷，則可另選一個易計算的點去進行判斷.師提醒同學們注意，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的區域，應當理解為{(x，y)|Ax＋By＋C＞0}∪{(x，y)|Ax＋By＋C＝0}.這個區域包括邊界直線，應把邊界直線畫為實線.師另外同學們還應當明確有關區域的一些稱呼.（1）A為直線l右上方的平面區域(2)B為直線l左下方的平面區域(3)C為直線l左上方的平面區域(4)D為直線l右下方的平面區域歸納總結師二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面區域.（1）結論：二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角坐標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域.把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線，若畫不等式ax+by+c≥0表示的平面區域時，此區域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線.（2）判斷方法：由於對在直線ax+by+c=0同一側的所有點(x,y)，把它的座標(x,y)代入ax+by+c，所得的實數的符號都相同，故只需在這條直線的某一側取一個特殊點(x0,y0)，以ax0+by0+c的正負情況便可判斷ax+by+c＞0表示這一直線哪一側的平面區域，特殊地，當c≠0時，常把原點作為此特殊點.。