【精品】2017-2018年重庆市育才中学高二上学期数学期末试卷(文科)与答案

2017-2018学年重庆市育才中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）cos1050°=（）A．B．C．﹣ D．﹣2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．＞B．|a|＞|b|C．﹣＞D．a2＞b23．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）4．（5分）已知l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若α⊥β，l⊥α，则l∥βC．若l⊥m，m⊥α，则l∥αD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β5．（5分）直线ax+2y﹣1=0与直线2x+ay+2=0平行．则实数a的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣26．（5分）在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）程序框图如图所示，当A=时，输出的k的值为（）A．23 B．24 C．25 D．268．（5分）已知圆O1的方程为x2+y2=4，圆O2的方程为（x﹣a）2+y2=1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是（）A．{1，﹣1}B．{3，﹣3}C．{1，﹣1，3，﹣3}D．{5，﹣5，3，﹣3} 9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36πB．30πC．29πD．20π10．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过点P（1，3），Q（2，5），当n∈N*时，a n=，记数列{a n}的前n项和为S n，当S n=时，n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．411．（5分）三棱锥A﹣BCD内接于半径为的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A ﹣BCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点F作渐近线的垂线．设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线y2=2px（p＞0）于点Q，其中该抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，若P为FQ中点，则双曲线的离心率的平方为（）A．B．C．+1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）某车间需要确定加工零件的加工时间，进行了若干次试验．根据收集到的数据（如表）：由最小二乘法求得回归直线方程，则的值为．14．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z=3x+2y+1的最小值为．15．（5分）已知a＞0，b＞0若不等式﹣﹣≤0，恒成立，则m的最大值为．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=3，a9=a4+10．（1）求{a n}的通项公式，（2）记b n=，且数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜．18．（12分）天宇中学在2017年的航天知识竞赛中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩分成六组进行统计，制成如图所示的频率分布直方图：（1）求这40位学生笔试成绩的众数和中位数的估计值，（2）若从笔试成绩在[90，110）内的学生中任意抽取2人接受A教官进行面试，求成绩在[90，100）中至少有一人接受A教官面试的概率．19．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=2•．（1）求函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间，（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（）=2，a+b=4，c=，求S△ABC的值．20．（12分）如图，已知BD为圆C的直径，其中半径为1，点C和点D为线段BE的三等分点，点A为弧的中点，平面ABD外的一点H满足DH⊥平面ABD，且CH=．（1）求证：AC⊥EH，（2）求点C到平面AEH的距离．21．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（2，m）到焦点F的距离为2．（1）求抛物线C的标准方程及实数m的值，（2）过焦点F的直线l交抛物线C为点M，N，若=λ，当λ∈[﹣5，3]时，求直线斜率k的取值范围．22．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（，0），A，B是顶点，F是焦点，P是E上一动点，当点P运动到某一使PF⊥x轴的位置时，有AB∥OP．（1）求椭圆E的方程，（2）设直线BP的斜率为k，Q是椭圆E上的另一点，且QB⊥PB，是否存在某一点P，使得以PQ为直径的圆经过点F，若存在，求出直线BP的方程，若不存在，请说明理由．2017-2018学年重庆市育才中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）cos1050°=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：cos1050=cos（3×360°﹣30°）=cos30°=，故选：A．2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．＞B．|a|＞|b|C．﹣＞D．a2＞b2【解答】解：a＜b＜0，则|a|＞|b|；可得a2＞b2，﹣＞；﹣==＜0，即＜，则A不成立，B，C，D成立，故选：A．3．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【解答】解：由题意，抛物线的焦点在y上，开口向下，且2p=，∴．∴抛物线的焦点坐标是（0，﹣）．故选：B．4．（5分）已知l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若α⊥β，l⊥α，则l∥βC．若l⊥m，m⊥α，则l∥αD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β【解答】解：由l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知：在A中，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故A错误；在B中，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故B错误；在C中，若l⊥m，m⊥α，则l与α相交、平行或l⊂α，故C错误；在D中，若l⊥α，l∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．5．（5分）直线ax+2y﹣1=0与直线2x+ay+2=0平行．则实数a的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2【解答】解：由a2﹣4=0，解得a=±2，经过验证：a=±2都满足条件．故选：D．6．（5分）在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：记事件A={△PBC的面积超过}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）=1﹣=．故选：D．7．（5分）程序框图如图所示，当A=时，输出的k的值为（）A．23 B．24 C．25 D．26【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算S=+++…+=的值，∵A=，退出循环的条件为S≥A，当k=24时，=满足条件，故输出k=24，故选：B．8．（5分）已知圆O1的方程为x2+y2=4，圆O2的方程为（x﹣a）2+y2=1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是（）A．{1，﹣1}B．{3，﹣3}C．{1，﹣1，3，﹣3}D．{5，﹣5，3，﹣3}【解答】解：∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，内切时，|a|=1，外切时，|a|=3，∴实数a的取值集合是{1，﹣1，3，﹣3}．故选：C．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36πB．30πC．29πD．20π【解答】解：由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角边分别为2，3的直角三角形，棱柱的高为4，所以外接球的直径为，所以表面积为：；故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过点P（1，3），Q（2，5），当n∈N*时，a n=，记数列{a n}的前n项和为S n，当S n=时，n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：∵函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过点P（1，3），Q（2，5），∴解得a=2，b=1，∴∴f（x）=2x+1，∴f（n）=2n+1，∴a n===﹣，∴S n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=，即2n=64，解得n=6，故选：B．11．（5分）三棱锥A﹣BCD内接于半径为的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A ﹣BCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=××4×h×4，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为，则四面体ABCD的体积的最大值为V=××4×2×4=．故选：C．12．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点F作渐近线的垂线．设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线y2=2px（p＞0）于点Q，其中该抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，若P为FQ中点，则双曲线的离心率的平方为（）A．B．C．+1 D．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；由P为FQ的中点，设F（c，0），由双曲线的渐近线方程为y=x，…①可设直线FP的方程为y=﹣（x﹣c），…②由①②解得P（，）；由中点坐标公式可得Q（﹣c，），代入抛物线的方程可得=2p•（﹣c）；…③由题意可得c=，即2p=4c，代入③中，有c4﹣a2c2﹣a4=0，由e=可得e4﹣e2﹣1=0，解得e2=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）某车间需要确定加工零件的加工时间，进行了若干次试验．根据收集到的数据（如表）：由最小二乘法求得回归直线方程，则的值为54.9．【解答】解：计算=×（10+20+30+40+50）=30，=×（62+68+75+81+89）=75，回归直线方程过样本中心点（，），∴=﹣0.67=75﹣0.67×30=54.9．故答案为：54.9．14．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z=3x+2y+1的最小值为3．【解答】解：画出可行域，将z=3x+2y+1变形为y=﹣x﹣z+，画出直线y=﹣x﹣z+，平移至A（0，1）时，纵截距最小，z最小故z的最小值是z=3×0+2×1+1=3．故答案为：3．15．（5分）已知a＞0，b＞0若不等式﹣﹣≤0，恒成立，则m的最大值为16．【解答】解：不等式﹣﹣≤0恒成立，即为m≤（3a+b）（+），（a，b＞0），由（3a+b）（+）=10++≥10+2=16，当且仅当=，即a=b时，取得等号．即有m≤16．则m的最大值为16．故答案为：16．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为6．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），∵∠APB=90°，∴，∴=（a+m）（a﹣m）+b2=0，∴m2=a2+b2=|OP|2，∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．故答案为：6．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=3，a9=a4+10．（1）求{a n}的通项公式，（2）记b n=，且数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，a9=a4+10．∴a1+d=3，a1+8d=a1+3d+10，联立解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）证明：∵b n===，∴数列{b n}的前n项和为S n==＜．∴S n＜．18．（12分）天宇中学在2017年的航天知识竞赛中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩分成六组进行统计，制成如图所示的频率分布直方图：（1）求这40位学生笔试成绩的众数和中位数的估计值，（2）若从笔试成绩在[90，110）内的学生中任意抽取2人接受A教官进行面试，求成绩在[90，100）中至少有一人接受A教官面试的概率．【解答】解：（1）∵频率分布直方图中[110，120]对应的小矩形最高，∴这40位学生笔试成绩的众数是：=115，∵[80，110）对应的频率是：（0.005+0.010+0.020]×10=0.35，[110，120）对应的频率是：0.030×10=0.3，∴中位数的估计值为：=115．（2）笔试成绩在[90，110）内的学生有：40×（0.010+0.020）×10=12，其中，成绩在[90，100）中的学生有：40×0.010×10=4人，成绩在[100，110）中的学生有：40×0.020×10=8人，从笔试成绩在[90，110）内的学生中任意抽取2人接受A教官进行面试，基本事件总数n==66，成绩在[90，100）中至少有一人接受A教官面试的概率：p=1﹣=．19．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=2•．（1）求函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间，（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（）=2，a+b=4，c=，求S△ABC的值．【解答】解：（1）向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=2•．=2（sinxcosx+），=2sin（2x+）+，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k=0和1时，在[0，π]上的单调递增区间为：．（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（）=2，所以：，解得：C=．由于：a+b=4，c=，所以：c2=a2+b2﹣2abcosC，所以：ab=1，则：．20．（12分）如图，已知BD为圆C的直径，其中半径为1，点C和点D为线段BE的三等分点，点A为弧的中点，平面ABD外的一点H满足DH⊥平面ABD，且CH=．（1）求证：AC⊥EH，（2）求点C到平面AEH的距离．【解答】（1）证明：∵点A为弧的中点，点C为圆心，∴AC⊥BD，∵DH⊥平面ABD，AC⊂平面ABD，∴DH⊥AC，又DH∩BD=D，∴AC⊥EH．（2）解：在Rt△CDH中，DH==2．过点D作DM⊥EA，垂足为M，连接MH，过点D作DG⊥MH，垂足为G点，则DM=DEsin∠MED==1×=．在Rt△DMH中，MH===．∴DG===．∵点D为线段CE的中点，∴点C到平面AEH的距离h=2DG=．21．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（2，m）到焦点F的距离为2．（1）求抛物线C的标准方程及实数m的值，（2）过焦点F的直线l交抛物线C为点M，N，若=λ，当λ∈[﹣5，3]时，求直线斜率k的取值范围．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（2，m）到焦点F的距离为2．∴4=2pm，m+=2，联立解得：p=2，m=1．∴抛物线C的标准方程为：x2=4y，实数m=1．（2）直线l的方程为：y=kx+1．设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：x2﹣4kx﹣4=0，△＞0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∵=λ，∴λ=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=x1x2﹣2（x1+x2）+k2x1x2=﹣4（1+k2）﹣8k∈[﹣5，3]，即，解得：≤k≤．∴直线斜率k的取值范围是．22．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（，0），A，B是顶点，F是焦点，P是E上一动点，当点P运动到某一使PF⊥x轴的位置时，有AB∥OP．（1）求椭圆E的方程，（2）设直线BP的斜率为k，Q是椭圆E上的另一点，且QB⊥PB，是否存在某一点P，使得以PQ为直径的圆经过点F，若存在，求出直线BP的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得a=，设F（c，0），A（﹣，0），B（0，b），由PF⊥x轴的位置时，有AB∥OP，可得P（c，），且=，b2+c2=2，解得b=c=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设P（m，n），Q（s，t），F（1，0），B（0，1），假设存在某一点P，使得以PQ为直径的圆经过点F，可得QF⊥PF，即有k QF•k PF=﹣1，即•=﹣1，即nt=﹣（1﹣m）（1﹣s），①又QB⊥PB，即有k QB•k PB=﹣1，即•=﹣1，即（1﹣n）（1﹣t）=﹣ms，②①﹣②化为m+s=n+t，若m+s=0，则m=﹣s，n=﹣t，可得m2+n2=1，联立m2+2n2=2，解得n2=1，m=0，则P与B或Q与B重合，矛盾，不成立，则m+s≠0，又m2+2s2=2，s2+2t2=2，相减可得（m﹣s）（m+s）+2（n﹣t）（n+t）=0，化为m+s=2t﹣2n，联立m+s=n+t，解得s=，t=，代入s2+2t2=2，化简可得m=n（n≠0），解得m=n=±，则k==1﹣或1+．则存在点P，且直线BP的方程为y=（1﹣）x+1或y=（1+）x +1．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx第21页（共21页）①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。