第02章 静电场(2)

S
0
式中 q 为闭合面 S 中的自由电荷，q 为闭合面S 中的束缚电荷。那么

令
D 0E P
S
( 0 E P ) d S q
，求得

D dS q
S
此处定义的D 称为电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移
的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。上式又 称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微 分形式为
各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？
发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部
是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质 内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因
极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以证明
这些极化电荷产生的电位为
2-4 介质的极化
导体中的电子通常称为自由电子，它们所携带的电荷称为自由 电荷。介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。 在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化。 通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极
化。














求得
D 2n D 1n
q S
s
式中 s 为边界上存在的表面自由电荷的面密度。考虑到在两种介质 形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此
D 1n D 2n
此式表明，在两种介质边界上电位移的法向分量相等，或者说，电 位移的法向分量是连续的。 对于各向同性的线性介质，得
1 E 1n 2 E 2 n
导体的表面上。因为导体中不可能存在静电场，因此导体中的电位梯
度为零，这就意味着导体中电位不随空间变化。所以，处于静电平衡 状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。
既然导体中的电场强度为零，导体表面的外侧不可能存在电场强
度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导体的表面，即
en E 0
外加场Ea
合成场Ea+ Es
介 质
二次场Es
极 化
介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电 偶极子。为了衡量介质的极化程度，我们定义，单位体积中
电矩的矢量和称为极化强度，以 P 表示，即
P

N
pi
i1
V
p i为体积 V 中第 i 个电偶极子的电矩，N 为V 中电偶极子 式中
E, D 介质 导体
en
导体表面存在的表面自由电荷面密度为 en D S
或写为
En
S
式中 为导体周围介质的介电常数。 已知导体表面是一个等位面，因
n
En
，求得表面电位与电荷的关系为
n

S
考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表面束缚电 荷面密度为
D1t D 2t
1
2
此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电位
移的切向分量是不连续的。
为了讨论电位移的法向分量变化规律，
en
2 1
D1
h S
D2
在边界上围绕某点作一个圆柱面，其高度 为h，端面为S。那么根据介质中的高
斯定律，得知电位移通过该圆柱面的通量
等于圆柱面包围的自由电荷，即
性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性介质。
空间各点极化率相同（即介质参数与位置无关）的介质称为均 匀介质，否则，称为非均匀介质。 介质参数（极化率）与场强的大小无关称为线性介质，否则，
称为非线性介质。
因此，若极化率是一个正实常数，则适用于线性均匀且各向同 性的介质。若前述矩阵的各个元素都是一个正实常数，则适用于线 性均匀各向异性的介质。 极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否则称为运动媒质。 介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、 静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。
Px e 11 P y 0 e 21 P z e 31
e 12 e 22 e 32
e 13 E x e 23 E y e 33 E z

这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特
此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向 不一定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某 些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向有
关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与空间坐标无关。线
性介质的介电常数与电场强度的大小无关。静止媒质的介电常 数与时间无关。
对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得
D
介质中微分形式的高斯定律表明，某点电位移的散度等于 该点自由电荷的体密度。 电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向 等于该点电位移的方向，这些曲线称为电位移线，电位移线起
始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。
已知各向同性介质的极化强度
P ε0 e E

E dl
l

2 1
E dl

3 2
E dl

4 3
E dl

1 4
E dl
为了求出边界上的场量关系，必须令 h 0，则线积分

3 2
E dl

1 4
E dl 0
为了求出边界上某点的场量关系，必须令 l 足够短，以 致于在l内可以认为场量是均匀的，则上述环量为
81
3.3 2.6
各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为
D x 11 D y 21 D 31 z
12 22 32
23
33
13 E x
Ey E z
缚电荷。
2-6 静电场的边界条件
两种介质的边界条件
由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发 生突变，这种变化规律称为静电场的边界条件。为了方便起见，
通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。
4 1
E2 E1
2
1
l
et3 h
2
为了讨论边界上某点电场强度的切向分量的变化规律，围 绕该点且紧贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其长度为l，高 度为h，则电场强度沿该矩形曲线的环量为
，求得
D ε 0 E ε 0 e E 0 (1 e ) E
令
0 (1 e )
则
D εE
式中 称为介质的介电常数。已知极化率 e 为正实数，因此，
一切介质的介电常数均大于真空的介电常数。
实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对 介电常数，以 r 表示，其定义为

E dl

2 1
E1 d l

4 3
E 2 d l E1t Δ l E 2 t Δ l
式中E1t 和 E2t 分别表示介质①和②中电场强度与边界平行的切向 分量。已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得
E 1t E 2t
此式表明，在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向 分量相等，或者说，电场强度的切向分量是连续的。 对于各向同性的线性介质，得

q E dS
S

E

此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式
仍然成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。
介质中束缚电荷的分布特性
由于
P ( r ) ( r )
所以有
e 0 r P e 0 E e E D r 1 e e D 1 e 1 e
的数目。这里 V 应理解为物理无限小的体积。 实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其 极化强度P 与介质中的合成电场强度 E 成正比，即
P 0eE
式中e 称为极化率，它是一个正实数。
显然，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。
极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。 极化率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。有些介 质并不是这样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相 应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类 介质的极化强度 P与电场强度 E 的关系可用下列矩阵表示
( r ) P ( r )
右式又可写为积分形式
q
P dS
SHale Waihona Puke 由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表
面束缚电荷是等值异性的。
2-5 介质中的静电场
在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为

1 E dS ( q q )
腔中也不可能存在静电场。这就意味着封闭的导体腔可以屏蔽外部静电场，

则上述通量应为
D dS q
S
令 h 0 ，则通过侧面的通量为零，又考虑到 S 必须足够小，
D d S D 2 n S D1 n S

S
式中D1t 及 D2t 分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。 边界法线的方向 en 规定为由介质①指向介质②。
Ea


无极分子
有极分子