高中数学必修四 2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义练习教师版精品

合集下载

高一数学必修4同步练习：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义

2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．若|a |＝2，|b |＝14，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( )A.32B.34C.14D.24 [答案] C[解析] a ·b ＝|a ||b |cos60°＝2×14×12＝14.2．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝23，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 [答案] A[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝231×4＝32.又0≤θ≤π，∴θ＝π6.3．设a 、b 、c 是三个向量，有下列命题： ①若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ③a ·0＝0；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] A[解析] ①中，a ·b －a ·c ＝a ·(b －c )＝0，又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b －c )，即①不正确；②中，a·b＝0⇔a⊥b或a＝0或b＝0，即②不正确；③中，a·0＝0，即③不正确；④中，左边＝9a2－6a·b＋6b·a－4b2＝9|a|2－4|b|2＝右边，即④正确．4．已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为()①a·b＝±|a||b|⇔a∥b；②a，b反向⇔a·b＝－|a||b|；③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.A．1 B．2 C．3 D．4[分析]由题目可知：a、b、c是三个非零向量，欲判定四个命题的真假，可从平面向量数量积的概念、性质及向量的线性运算等方面考虑．(1)，(2)，(4)从数量积入手，(3)从a＋b，a－b的几何意义入手分析，可得正确选项．[答案] C[解析]①∵a·b＝|a||b|cosθ，∴由a·b＝±|a||b|及a、b为非零向量可得cosθ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且反之也成立，故命题①是真命题．②当a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cosπ＝－|a||b|，且反之也成立，故命题②是真命题．③当a⊥b，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b 为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故命题③是真命题．④当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a ·c |≠|b ·c |，反过来由|a ·c |＝|b ·c |也推不出|a |＝|b |.故命题④是假命题．综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题． 5．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．3 C.32 D ．3[答案] A[解析] a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝－32.6．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[答案] D[解析] 由PA →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA .同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．7．已知a 、b 是非零向量，且(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6 [答案] B[解析] 由(a －2b )·a ＝0及(b －2a )·b ＝0得，a 2＝b 2＝2|a ||b |cos θ，∴cos θ＝12，θ＝π3.[点评] 数量积运算满足多项式乘法法则及以下乘法公式 (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2， (a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2， a 2－b 2＝(a ＋b )·(a －b )， |a |2＝a 2＝a ·a .8．如右图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是()A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→ [答案] A[分析] 先搞清所涉及的两个向量的夹角，再用数量积的概念进行计算，最后比较大小．[解析] 设正六边形的边长是1，则P 1P 2→·P 1P 3→＝1×3×cos30°＝32；P 1P 2→·P 1P 4→＝1×2×cos60°＝1；P 1P 2→·P 1P 5→＝1×3×cos90°＝0；P 1P 2→·P 1P 6→＝1×1×cos120°＝－12.9．已知△ABC 中，若AB 2→＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形[答案] C[解析] 由AB 2→－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0， ∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，则BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →，所以△ABC 是直角三角形，故选C.10．如右图，O ，A ，B 是平面上的三点，向量OA →＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )等于( )A ．1B ．3C ．5D ．6 [答案] D[解析] 由图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP →＝OC →＋CP →＝12(OA→＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP →·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12(42－22)＝6. 二、填空题11．已知|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为60°，则向量a 在向量b 方向上的投影是________．[答案] 2[解析] 向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos60°＝4×12＝2.12．(2011～2012·北京东城高三第一学期期末)已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________；|2a －b |＝________.[解析] 由于a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －1＝2，则a ·b ＝3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.因为|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝28，所以|2a －b |＝27.13．已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于________．[答案] －25[解析] 由条件知∠ABC ＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.[点评] 注意AB →与BC →的夹角不是角B ，应是π－B .14．下列判断：①a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a 、b 、c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a 、b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |；④|a ||b |<a ·b ；⑤a ·a ·a ＝|a |3；⑥a 2＋b 2≥2a ·b ；⑦向量a ，b 满足a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a 、b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的投影长，其中正确的是________．[分析] 利用平面向量数量积的概念、性质及向量的线性运算等方面逐一判断．[答案] ①②⑥[解析] 由于a 2≥0，b 2≥0，所以，a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ·c ＝－b ·c ，所以|a ·c |＝|b ·c |，②正确；a ，b 共线⇔a ·b ＝±|a ||b |，所以③不正确；对于④，应有|a ||b |≥a ·b ，所以④不正确；对于⑤，应该是a ·a ·a ,\s\up16(→))＝|a |2a ，所以⑤不正确； ⑥a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ·b ，故正确；当a 与b 的夹角为0时，也有a ·b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的投影，而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．三、解答题15．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15b ； (3)(3b －2a )·(4a ＋b )．[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos120°＝－60.(2)(3a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15b ＝35a ·b )＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.16．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？[分析] 可利用两个非零向量垂直的等价条件即数量积为零进行求解．[解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )， ∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0， ∴k ＝1415.∴当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．17．(09·天津文)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16C B →＋23C A →，求MA →·MB→. [解析] ∵CM →＝16C B →＋23C A →，∴MA →＝C A →－CM →＝13C A →－16C B →，M B →＝C B →－CM →＝56C B →－23C A →. ∴MA →·MB →＝－29C A →2－536C B →2＋718C A →·C B → ＝－29×12－536×12＋718×12×12＝－2.18．(探究题)设平面内两向量a 与b 互相垂直，且|a |＝2，|b |＝1，又k 与t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )；(2)求函数k ＝f (t )的最小值．[分析] 由x ⊥y ，得x ·y ＝0，即可得到函数关系式k ＝f (t )，从而利用函数的性质求最小值．[解析] (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.又x ⊥y ，所以x ·y ＝0，即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0.因为|a |＝2，|b |＝1，所以－4k ＋t 2－3t ＝0，即k ＝14(t 2－3t )．(2)由(1)知，k ＝14(t 2－3t )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－916，即函数k ＝f (t )的最小值为－916.。

高中数学必修四2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

r a
r b

1
r [(a

r b)2

uur (a

r b)2
]
4
有时也将上式写成: 4a b (a b)2 (a b)2 .
答案: 1 33
8
4.两个半径分别为 r1, r2 的圆 M , N ,公共弦 AB 3 ,则 AM AB AN AB ____.
答案:9.
5.在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P, AP 3 , 且 AP AC = _ __.
答案:18.
知识拓展
极化恒等式:设 a, b 是两个平面向量，则根据向量的运算可得:
ar
r b
|
ar
r || b
| cos
这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
rr
a 与b的夹角的范围
rr a b的正负
0,

2

2
正0

2
,

负
数量积符号由cos的符号所决定.
问题4：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？
r b cos120o
2 3 ( 1) 3
2
（2）ar 2
r2 b

r a
2

r2 b

49

5
3
rr 2a b

rr a 3b
r2 r r r2 2a 5a b 3b
2
2
2 a 5 a b cos120o 3b 8 15 27 34
求a=2m+n,b=2n-3m的夹角？

高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义优化练习新人教A版必修4

所以a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－3×5＋4×(－12)＝－63.
答案：－63
9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解析：①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
解析：(1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝ .因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，
所以|a＋3b|＝ .
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝，
所以cosθ＝＝＝，
故 · ＝( ＋ )·
＝ ·( － )
＝ ·( － )
＝ · ＋－
＝ | || |cos 120°＋ | |2－ | |2
＝ ×2×1× ＋ ×1－ ×22＝－ .
答案：－
8．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.
解析：将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．2B．－2
C．4D．－4
解析：记向量a与b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ＝－12，即6×3cosθ＝－12，所以cosθ＝－，所以a在b方向上的投影为|a|cosθ＝6× ＝－4.

人教版高一数学必修四2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件

因为我们青春所以我们选择行动我们要给希望插上翅膀
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
思考1：如何计算这个力F所做的功？ W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
思考2 力做功的大小与哪些量有关？答与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
思考3 用文字语言表达功的计算公式 W=|F| |S|cosθ 答：功是力与位移的大小及其夹角的余弦的乘积
(2)b 在 a 方向上的投影为a|a·b| ，a 在 b 方向上的投影为a|b·b| .
合作探究
2、平面向量的数量积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)c
a
(1)当a⊥b时，求a与b的数量积.
(2)当a∥b时，求a与b的数量积. (3)当a与b的夹角为60°时，求a与b的数量积. （4）当a·b=10时，求a与b的夹角.
反思与感解析答案
解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a|·|b|cos 60°
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.

2.4.1[平面向量数量积的物理背景及其含义]课件(苏教版必修4)

2.4.1 平面向量数量积的
物理背景及其含义
学法指导
• • • • 1.多动脑筋 2.数形结合 3.总结基本题型 4.限时训练
复习：数乘
b a
(1)| b | | | | a | (2)当 0时 a , b同向;
当 0时 a , b反向.
复习：向量的夹角
a
O
a b
O
θ
θ
例题：
a 8, b 7, C 60，求 BC CA 在△ABC中，
解：
| BC | 8 | CA | 7
A
7
B
60
120

120
8
C
BC CA | BC | | CA | cos120 1 8 7 ( ) 28 2
例题：
a 4, b 9, C 30，求 BC CA 在△ABC中，
• 总结规律：a, b反向 a b | a || b |
a和a的夹角为 0， cos0 1 练习
(1) | a | 2， a a 2 2 4 (2) | a | 10， a a 10 10 100 (3) | a | 8， a a 8 8 64
a | a |2
2
作业
• A.小结 • B.P121 A1（前两个）， A2
1. 2.
3.
a· b=|a| |b| cosθ
数量积几何意义重要性质
b
0
Oa
0
b
O
a

2
b
Oa

b
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s
F θ S
力F所做的功W可用下式计算

人教版高中数学必修4学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

第二章平面向量2．4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系． 2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．基础梳理一、向量的数量积的概念1．已知非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ()0≤θ≤π叫做a 与b 的夹角．练习：(1)当θ＝0时，a 与b 同向；(2)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ＝π2时，a 与b 垂直，记a ⊥b ．2．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||a ||b cos_θ叫做a 与b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝||a ||b cos_θ，其中θ是a 与b 的夹角，||a cos_θ叫做向量a 在b 方向上的投影．3．“投影”的概念：作图定义：||a cos θ 叫做向量a 在b 方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0时投影为||a ；当θ＝π时投影为－||a .4．零向量与任意向量的数量积为0．思考应用1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？请完成下表.解析：向量的数量积的结果是一个数量，而线性运算的结果是一个向量．影响数量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.1．设a 与b 均为非空向量：(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝||a ||b ，当a 与b 反向时，a ·b ＝－||a ||b ，特别地a ·a ＝||a 2或||a(3)cos θ＝a ·b|a ||b |．(4)||a ·b ≤||a ||b ． 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||b cos_θ的乘积．3．向量的数量积满足下列运算律：已知向量a ，b ，c 与实数λ， (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)()λa ·b ＝λ(a ·b ) ＝ a ·(λb ) (结合律)． (3)()a ＋b ·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．思考应用2．判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a ·b |＝|a ||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.解析：上述8个命题中只有①③⑧正确．对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0. 对于②：应有0·a ＝0.对于④：由数量积定义有|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a ·b |＝|a ||b |.对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0.对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零．对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)·c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a .若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.自测自评1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5，8)，则(a＋b)·b等于(C)A．－34 B．34C．55 D．－55解析：a＋b＝(－3，5)，∴(a＋b)·b＝(－3，5)·(－5，8)＝15＋40＝55.故选C.2．已知a·b＝12，且||a＝3，||b＝5，则b在a方向上的投影为4．3．设i，j是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2i－j)·(－3i＋2j)等于(A)A．－92 B.92C．－8 D．8解析：(2i－j)·(－3i＋2j)＝－6i2＋7i·j－2j2＝－6|i|2＋7|i||j|cos 60°－2|j|2＝－6＋72－2＝－92.故选A.4．已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC→·CA →＝－20．基础提升1．下列命题正确的是(B ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．a ·b ＝b ·aC ．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )解析：a ·b ＝0⇔a ⊥b ，a 与b 不一定是零向量，故A 错；对于C ，a 与b 的夹角可以为π，故C 错；a ·b ∈R ，b ·c ∈R ，a 与c 不一定共线，故D 错，故选B.2．若||a ＝4，||b ＝3，a 与b 的夹角为120°，则a ·b 为(B ) A ．6 B ．－6 C ．－6 2 D ．6 2 3．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则(D ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a ＝b 或(a －b )⊥c解析：由a ·c ＝b ·c ，得(a －b )·c ＝0.∵c ≠0， ∴a －b ＝0或(a －b )⊥c .故选D.4．在△ABC 中，若⎝⎛⎭⎫CA →＋CB →·⎝⎛⎭⎫CA →－CB →＝0，则△ABC 为(C ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于(D ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 解析：因为∠C ＝90°，所以AC→·CB →＝0，所以AB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →＋CB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →2＋AC →·CB →＝16，故选D.巩固提高6．若向量a ，b 满足：|a |＝1， (a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝(B ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22解析：∵(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，|a |＝1， ∴⎩⎨⎧（a ＋b ）·a ＝0，（2a ＋b ）·b ＝0，∴⎩⎨⎧a ·b ＝－a 2＝－1①，2a ·b ＋b 2＝0②；∴把①代入②得－2＋b 2＝0；∴b 2＝2∴|b |2＝ 2.故选B.7．已知|a |＝|b |＝5，a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25＋2×252＋25＝75，(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝25－2×252＋25＝25.∴|a ＋b |＝53，|a －b |＝5.8．已知a ，b 的夹角为120°，且||a ＝1，||b ＝2，当向量a ＋λb 与λa ＋b 夹角为钝角时，求λ的取值范围．解析：∵||a ＝1，||b ＝2，a 与b 的夹角为120°， ∴a ·b ＝||a ||b cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－1.∵向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角，∴⎝⎛⎭⎫a ＋λb ·⎝⎛⎭⎫λa ＋b <0.又⎝⎛⎭⎫a ＋λb ·⎝⎛⎭⎫λa ＋b ＝λa 2＋⎝⎛⎭⎫λ2＋1a ·b ＋λb 2， ∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0. 解得λ<5－212或λ>5＋212.∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，5－212∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋212，＋∞. 9．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状．解析：如下图所示，a ·b ＝||a ||b cos ⎝⎛⎭⎫π－C ＝－||a ||b cos C ，b ·c ＝||b ||c cos ⎝⎛⎭⎫π－A ＝－||b ||c cos A ， c ·a ＝||c ||a cos ⎝⎛⎭⎫π－B ＝－||c ||a cos B . ∵a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，∴－||a ||b cos C ＝－||b ||c cos A ，||a cos C ＝||c cos A ，作BD ⊥AC 于D ，则|CD→|＝a cos C ，|AD →|＝|c |cos A ， ∴|CD→|＝|AD →|. ∴D 为AC 的中点，∴|AB →|＝|BC →|. 同理可证|AB→|＝|AC →|. ∴△ABC 为正三角形．10．如下图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求： (1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB→·DA →.解析：(1)因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →的夹角是0°. 所以AD→·BC →＝|AD |→·|BC |→cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB→|·|CD →|·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)因为AB →与AD →的夹角为60°，所以AB →与DA →的夹角为120°，所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →|·cos 120°＝4×3×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－6.1．两向量的数量积是一个数，而不是向量． 2．向量的数量积不满足结合律． 3．计算长度||a ＝a ·a ，||a ±b ＝()a ±b 2＝a 2±2a ·b ＋b 2；求向量夹角cos θ＝a ·b||a ||b ；证明垂直a ·b ＝0⇔a ⊥b ，数量积这三公式可解决长度、角度、垂直等问题．。

高中数学人教版必修4课件2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义1

(3)实数运算满足消去律：若 bc＝ca，c≠0，则有 b＝a.在向量数量积的运算中，若 a·b＝a·c(a≠0)，则向量 c，b 在向量 a 方向上的投影相同，因此由 a·b＝a·c(a≠0)不能得到 b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，而 a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线.
类题通法
向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a|＝ a·a，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝ a±b2＝ a2±2a·b＋b2.
活学活用
已知向量 a、b 满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解：由已知，|a＋b|＝4， ∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*) ∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(*)式得 4＋2a·b＋9＝16，即 2a·b＝3. 又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝ 10.
3.两个向量的夹角和垂直问题
[例 3] (1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且 |a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
(2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直， a－4b 与 7a－2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角．
2.与向量的模有关的问题
[例 2] (1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ 10，则|b|＝________.
(2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b 的夹角为π3，以 a，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．

高中数学人教版必修4课件2-4-1平面向量数量积和物理背景及其含义2

|a||b| • (5)|a·b|≤________.
|a||b|
预习效果
1．若|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a·b 等于( )
A．12
B．14
C．1
D．2
• [答案] C • [解析] a·b＝|a|·|b|cos<a，b>
• ＝2×1×cos60°＝1.
2．已知△ABC 是边长为 1 的正三角形，则A→B在B→C方向上
2．向量在轴上的正射影 (1)已知向量 a 和轴 l 如图所示，作O→A＝ a，过点 O、A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1、A1，则向量O→1A1叫做向量 a 在轴 l 上的__正__射__影__(简称射影)． (2)a 在轴 l 上的正射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上的数量或在轴 l 的方向上的数量，记作 al，al＝__|a_|_·c_o_s_α___. (3)射影的坐标是数量，当 α 为锐角时，al 为正值；当 α 为钝角时，al 为负值；当 α＝0 时，al＝__|a_|_____；当 α＝π 时， al＝__－__|a_|___.
⑥a 在 l 上的数量为向量； ⑦〈a，l〉＝－π2. 其中正确的是________．
• [分析] 利用射影、射影的数量以及向量夹角的定义解题．
• [解析] a在l上的射影为向量．这个向量的坐标叫做数量． • 故①②不正确，③正确，④⑥不正确，⑤正确，由向量夹角
的范围可知⑦不正确． • 故选③⑤. • [答案] ③⑤
• 4．向量数量积的性质
• (1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝___|a_|_·c_o_s_〈__a_，__e_〉.
• (2)a⊥b⇔___a_·b_＝__0_； • (3)a·a＝|a|2或|a|＝___a_·_a___； • (4)cos<a，b>＝___a_·_b____(a≠0，b≠0)；

人教A版高中数学必修四 2-4-1 平面向量数量积的物理背

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（检测教师版）时间:40分钟总分：60分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．给出以下五个结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：①②③显然正确；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：C解析：由题意，知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3. 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1 B.77 C ．－1 D.277 答案：A解析：设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ.又cos θ＝a －2b a |a －2b |·|a |＝a 2－2a ·b |a －2b |·|a |＝1|a －2b |，故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1. 4．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝0，则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案：D解析：设向量a 与b 的夹角为θ，则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝1＋1×2×cos θ＝1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°，选D. 5．若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3答案：B解析：由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k－12＝0，解得k ＝6.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16 答案：D解析：AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝|AC →|2＝16二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B ，已知AB ＝10米，F 与水平方向的夹角为60°，|F |＝5牛顿，物体从A 至B 力F 所做的功W ＝__________.答案：25焦耳解析：由物理知识知W ＝F·s ＝|F|·|s|cos θ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．8．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．答案：等边三角形解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝2e 2－3e 1，求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12， |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7，|b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e 1·e 2＝7，故|b |＝7，且a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12，所以a 与b 的夹角为120°. 10．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ，b 的夹角为60°.(1)若(2a －b )·(a ＋b )；(2)若(a ＋b )⊥(λa －2b )，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1×4×12＝2. ∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a ＋b )⊥(λa －2b )，∴(a ＋b )·(λa －2b )＝0，∴λa 2＋(λ－2)a ·b －2b 2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.。

高一数学必修四课件加习题精选：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

B
B
B
b
b
b
θ┐
O a B1 A
(1)
┐θ B1 O
(2)
a ┓θ a
AO
A
(B1)
（3）
当为锐角时
投影为正值;
当为钝角时
投影为负值;
当为直角时
投影为0;
│b│cosθ叫做向量 b 在向量 a方向上的投影，
a │00:2│7 cosθ叫做向量 a在向量 b 方向上的投影.8
A1 B b
B b
O
a
A
【解析】 (1)因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2
00:27
20
5．已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.求： (1)|2a－b|； (2)(a－2b)·(a＋b)；(3)a与a＋b的夹角； (4)若(a－b)⊥(λa＋b)，求λ的值．
(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2
B1 O a A
b cos 0
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b
a
B
O
A
b cos b
00:27
b cos b
10
平面向量数量积的几何意义:
B
b
O | b | cos
a b a b cos
a
A
rr r
r rr
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的
r
方向上的投影数量 b cos的乘积.
00:27
11
3．已知向量 a，b 满足|a|＝4，a·(a－b)＝12，则向量 b 在向量 a 方向上的投影等于________．

人教版高中数学必修四 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义练习【教师版】

平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题．若＝，＝，·＝－，则与的夹角是()．°．°．°．°【答案】【解析】设与的夹角为θ，·＝θ＝××θ＝－θ＝θ＝°．故选。

．已知两个非零向量，满足＋＝－，则下面结论正确的是()．∥．⊥．＝．＋＝－【答案】【解析】＋＝＋·＋，－＝－·＋，因为＋＝－，所以＋·＋＝－·＋，即·＝－·，所以·＝，⊥．故选．．已知＝，＝，·＝－，则向量在向量方向上的投影是()．－．．－．【答案】【解析】设向量·夹角为θ，则θ＝，则在方向上的投影为θ＝×＝－．．已知平面向量，满足＝，＝，与的夹角为°，若(－)⊥，则实数的值为() ．．．．【答案】【解析】∵(－)⊥，∴(－)·＝，∴－··＝－××× °＝，∴＝．．在△中，若＝，则△是()．等边三角形．锐角三角形．钝角三角形．直角三角形【答案】【解析】因为＝·＋·＋·＝·(－)＋·＝·＋·，所以·＝，即⊥，所以三角形为直角三角形，选．二、填空题．如图所示，在平行四边形中，⊥，垂足为，且＝，则·＝．【答案】【解析】设与交于点，设∠＝θ，则·＝·＝θ＝＝×＝．．已知向量，夹角为°，且＝，－＝，则＝．【答案】【解析】由－＝，得－－＝，解得＝．．已知向量，满足(＋)·(－)＝－，且＝，＝，则与的夹角为．【答案】【解析】∵(＋)·(－)＝－，∴＋·－＝－．∴＋·－×＝－．∴·＝．∴〈，〉＝．∴〈，〉＝．三、解答题．已知向量＝(α，α)，＝(β，β)，且≠±，求＋与－的夹角．【答案】【解析】易知(＋)·(－)＝－＝，又≠±，∴＋与－的夹角为．．已知，是两个非零向量，当＋(∈)的模取得最小值时，()求的值(用，表示)；()求证：与＋垂直．【答案】()() 见解析【解析】()解：＋＝＋＋·＝．当时，＋取最小值．()证明：(＋)·＝·＋＝·－×＝，所以＋与垂直．。

高中数学必修四课时作业2：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)

2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)一、基础达标1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m·n ＝( )A ．12B ．12 2C ．－12 2D ．－12 [答案] C[解析] m·n ＝|m||n |cos θ＝4×6×cos135°＝－24×22＝－12 2. 2．已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( )A ．45°B ．135°C ．120°D ．150° [答案] B[解析] ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－549×62＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.3．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－1 [答案] D[解析] a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1. 4．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32 D ．1[答案] A[解析] ∵(3a ＋2b )·(λa －b ) ＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2 ＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0. ∴λ＝32.5．已知|a |＝2，|b |＝1，a ·(a ＋b )＝5，则a ，b 夹角的余弦值为( )A.12B.13C.235D.22 [答案] A[解析] a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝5，∴a ·b ＝1.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12×1＝12.6．已知|a |＝2，|b |＝10，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影是________，向量a 在向量b 方向上的投影是________． [答案] －5 －1[解析] b 在a 方向上的投影为|b |cos 〈a ，b 〉＝10×cos120°＝－5，a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos120°＝－1.7．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a ·b 满足下列条件时，能确定△ABC 的形状吗？(1)a ·b <0；(2)a ·b ＝0；(3)a ·b >0. 解 ∵a ·b ＝AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cosA.(1)当a ·b <0时，∠A 为钝角，△ABC 为钝角三角形； (2)当a ·b ＝0时，∠A 为直角，△ABC 为直角三角形；(3)当a ·b >0时，∠A 为锐角，△ABC 的形状不确定．二、能力提升8．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B[解析] ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2. ∴cos 〈a ，b 〉＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°.9．(2013·江西理)设e 1，e 2为单位向量．且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________． [答案] 52[解析] 向量a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |.|b |＝2，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以向量a 在b 方向上的射影为a ·b |b |＝52. 10．已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________． [答案] 54[解析] 由a ·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理，得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0，解得k ＝54.11．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，求OA →·(OB →＋OC →)的最小值．解设OM→＝tAM →，0≤t ≤1，则OB→＋OC →＝2OM →＝2tAM →， OA→＝OM →＋MA →＝tAM →－AM →＝(t －1)AM →， ∴OA →·(OB →＋OC →)＝2(t －1)tAM →2＝8(t －1)t ＝8t 2－8t ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－2，∴当t ＝12时，OA →·(OB→＋OC →)有最小值－2.12．在△ABC 中，已知|AB→|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影；(3)AB →在BC →方向上的投影．解 ∵|AB→|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3. ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°. ∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC→＝－5×4×45＝－16； (2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95；(3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅱ理)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] 2[解析] 因为已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AB →·AD →＝0，故AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(BA →＋AD →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－AD →·AB→＋ 12AB →·AD →－12AB →2＝4＋0－0－12×4＝2.。

人教A版高中数学必修4作业2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

课下能力提升(十九) [学业水平达标练]题组1 向量数量积的运算 1．下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )·c ＝a·(b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立； (3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b 为( )A.92B ．3 C ．2 D.12A.49B.43 C ．－43 D ．－49题组2 向量的模5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．126．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________．7．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a||b|＝________．题组3 两向量的夹角与垂直问题8．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°9．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－310．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________．11．已知|a |＝1，a ·b ＝14，(a ＋b )·(a －b )＝12.(1)求|b |的值；(2)求向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值．[能力提升综合练]1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a 与b 的夹角θ＝45°，则向量a 在向量b 上的投影为( ) A.322B ．3C ．4D ．52．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5A ．2 3 B.32 C.33D. 35．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 6．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 7．已知a ，b 是非零向量，t 为实数，设u ＝a ＋t b . (1)当|u |取最小值时，求实数t 的值； (2)当|u |取最小值时，向量b 与u 是否垂直？答案[学业水平达标练]1. 解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．2. 解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝32，|b |＝3，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92.3.4.5. 解析：选A 由已知得，a 2＋a ·b －2b 2＝－32，∴|a |2＋|a |×4×cos 2π3－2×42＝－32.解得|a |＝2或|a |＝0(舍)．6. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝（5a －b ）2 ＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12＝7. 答案：77. 解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.故cos 120°＝（a ＋2b ）·（a －2b ）|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2（a 2＋4b 2）2＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12，得a 2b 2＝43，即|a ||b |＝233.答案：2338. 解析：选C 因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝0，所以a ·b ＝－12|b |2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12|b |2|b |2＝－12，故θ＝120°.9. 解析：选B 由c ⊥d 得c·d ＝0，即(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，即2k |a |2＋(3k －8)a ·b －12|b |2＝0，所以2k ＋(3k －8)×1×1×cos 90°－12＝0，即k ＝6.故选B.10. 解析：∵|k a ＋b |＝3|a －k b |， ∴k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2k a ·b )．∴k 2＋1＋k ＝3(1＋k 2－k )．即k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案：111. 解：(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝12.∵|a |＝1，∴1－|b |2＝12，∴|b |＝22.(2)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×14＋12＝2，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×14＋12＝1，∴|a ＋b |＝2，|a －b |＝1. 令a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝122×1＝24，即向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值是24. [能力提升综合练]1. 解析：选A 由已知|a |＝3，|b |＝5，cos θ＝cos 45°＝22，而向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ＝3×22＝322. 2. 解析：选A ∵|a ＋b |＝10， ∴(a ＋b )2＝10，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.① ∵|a －b |＝6，∴(a －b )2＝6，即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.②由①②可得a ·b ＝1，故选A. 3.4.解析：画出图形知△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°，＝0＋4×5×⎝⎛⎭⎫－45＋5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－25. 答案：－255. 解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝10. 答案：106. 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2，又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， ∴a ·b ＝12|a |2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2， ∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ. 则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32.∴θ＝30°.7. 解：(1)|u |2＝|a ＋t b |2＝(a ＋t b )·(a ＋t b )＝|b |2t 2＋2(a ·b )t ＋|a |2＝|b |2⎝⎛⎭⎫t ＋a ·b|b |22＋|a |2－（a ·b ）2|b |2. ∵b 是非零向量，∴|b |≠0，∴当t ＝－a ·b|b |2时，|u |＝|a ＋t b |的值最小．(2)∵b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2＝a·b ＋⎝⎛⎭⎫－a·b|b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0， ∴b ⊥(a ＋t b )，即b ⊥u .。

高一数学人教A版必修四教案：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 Word版含答案

2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件.2、过程与方法：通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积,培养学生的抽象概括能力.三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算: W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2; (2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π). 其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a (交换律); ②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律). 特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.图3(2)已知实数a 、b 、c(b≠0),则ab=bc ⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c)表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积. ②数量积满足a ·b =b ·a (交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); (a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律). ③(1)(a +b )2=(a +b )·(a +b )=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b =a 2-b 2. 提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积. 让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1°e ·a =a ·e =|a |cosθ. 2°a ⊥b ⇔a ·b =0. 3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙. 4°cosθ=||||b a ba ∙.5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.（三）应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1, |CA |=3,求AB ·+·+AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知,|BC |2+||2=|AB |2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°, 从而sin ∠ABC=23,sin ∠BAC=21. ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°. 故AB ·+·+·AB =2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2 =62-6×4×cos60°-6×42 =-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直?解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16, ∴9-16k 2=0. ∴k=±43. 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9, ∴|a |=3. 又∵a ·b =-12, ∴|a ·b |=12. ∵|a ·b |≤|a ||b |, ∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2 例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,=c ,DA =d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵+++=0,即a +b +c +d =0, ∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2, 即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2. 又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2. 同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA, ∴ABCD 是平行四边形. 故AB = ,即a =-c . 又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥.综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若=a ,CB =b ,则CA =a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解.解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2. ∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2,而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2, ∴|a -b |=3|b |.② ∵cos 〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --∙代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］, ∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练设向量c =m a +n b (m,n ∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c , 即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c . 由已知|c |2=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b . ∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4, ∴|b |·4·(21-)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b , ∴8m-4a ·b =0,即a ·b =2m.① 再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a·b-16=-4,即m a·b=12.②联立①②得2m2=12,即m2=6.∴m=±6.故m=±6,n=-4.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.（五）作业。

241平面向量数量积的物理背景及其含义作业含解析高中数学人教a版必修4.doc

[A.基础达标] 1. 已知向量a,方满足⑷=|川=2, a 与“的夹角为120°,贝血一创的值为( )A. 1B.V3C. 2^3D. 3^2解析：选 C.\a —b^=d L —2a*b+b 2 =22-2X2X2X COS 120O +22=12.A \a-b\=^h=^.2. 设向量a, 〃满足|a+创={T5,匕一方|=托，则a ・b=( )A. 1B. 2C. 3D. 5解析：选 A.因为\a+b\i =(a+b)2=a 2+b 2 + 2a-b= 10, \a~b\1=(a —b)2=a 2+b 2—2a-b=6, 两式相减得：4a/=4,所以a ・b=l,故选A.3. 己知向量a, b,满足闽=3, |创=2羽，且aL(a+b)，则a 与〃的夹角为()解析：选D.设a 与〃的夹角为〃，因为|a|=3, |*|=2V3,且a 丄(a+b), 所以 a (a+b)=(r+a b=\a^ + \a\|/>|cos &=9+6\/5cos 0=0,则 cos &=—爭,又因为&W[0, 7T], ・・・0=W ，即。

与b 的夹角为普.4. 对于非零向量a,庆下列命题中正确的是()A. a//b^a 在〃方向上的投影为阀B ・ a ・〃=()=>a=()或 b=0C. a 丄b^a*b=(a b)2D. a-c=b-c=>a=b解析：选C.选项A ： 9：a//b, ：.0=0或7T,所以所求投影为|a|cos&=±|a|；选项B ： d/=()Oa=0或方=0或a 丄加选项 C ： a 丄b=a ・b=0斗(rb=(a b$；选项D ： a ・b=a ・c 今(a —b) c=0今a=b 或(a —方)丄c,故选C.5. 已知平面向量a, b, |«|=1, \b\=y[3,且|2a+〃|=羽，则向量a 与向量a+b 的夹角为C.?D. n解析：选 B ・T|2a+创2=4|a|2+4a/+e|2 = 7,活学巧练跟踪验证兀-237C-4 A.c 271一357r 一6 B|a|=l, |创=羽,・・・4 + 4d /> + 3 = 7, a b=0, .・.a丄力如图所示，a与a+b的夹角为Z CO 人,VtanZC(9/<=^=V3,6.已知e为一单位向量，d与e之间的夹角是120°,而a在e方向上的投影为一2,则阀解析：・.・|a|・cos 120。

人教新课标版数学高一必修4导学案2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)

2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一平面向量数量积的定义一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．思考1如何计算这个力所做的功？思考2力做功的大小与哪些量有关？条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作______，即____________规定零向量与任一向量的数量积为0知识点二平面向量数量积的几何意义(1)条件：向量a与b的夹角为θ.(2)投影：(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与________________________的乘积．知识点三平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定的？当0°≤θ＜90°，非零向量的数量积为正数．当θ＝90°，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°，非零向量的数量积为负数．设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ，(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧，当a ，b 同向时，，当a ，b 反向时. (3)a·a ＝____________或|a |＝____________.(4)cos θ＝____________.(5)|a ·b |______|a ||b |.【合作探究】类型一平面向量数量积的含义例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．类型二投影例2 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a 与b 的夹角θ.类型三平面向量数量积的性质例3 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－22．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________.3．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________．4．已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.5．已知向量x ＝a ＋b ，y ＝2a ＋b ，且|a |＝|b |＝1，a ⊥b .求|x |，|y |.【小结作业】小结：作业：本节限时练。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一、选择题
1．若|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－9，则a 与b 的夹角是( )
A ．120°
B ．150°
C ．60°
D ．30°
【答案】B
【解析】设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝×1×cos θ＝－9⇒cos θ＝
⇒θ＝150°．故选B 。

2．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )
A ．a ∥b
B ．a ⊥b
C ．|a |＝|b |
D ．a ＋b ＝a －b
【答案】B
【解析】|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，
因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，即2a ·b ＝－2a ·b ，所以a ·b ＝0，a ⊥b ．故选B ． 3．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
【答案】A
【解析】设向量a ·b 夹角为θ，则cos θ＝122||||363
⋅=-=-⋅⨯a b a b ，则a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝6×23⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝－4． 4．已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )
A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3 【答案】D
【解析】∵(a －m b )⊥a ，∴(a －m b )·a ＝0，∴a 2－m ·a ·b ＝0,9－m ×3×2×cos 60°＝0，∴m ＝3．
5．在△ABC 中，若2AB ＝AB CD BA BC CA CB ⋅+⋅+⋅，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．直角三角形
【答案】D
【解析】因为2AB ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ＝AB ·(AC －BC )＋CA ·CB ＝AB ·AB ＋CA ·CB ，所以CA ·CB ＝0，即CA ⊥CB ，所以三角形为直角三角形，选D ．
二、填空题
6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________．
【答案】18
【解析】设AC 与BD 交于O 点，设∠PAC ＝θ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2|AP ||AO |cos θ＝2|AP |2＝2×32＝18．
7．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b ||b |＝________．
【答案】
【解析】由|2a －b |＝==，得|b |2－
b |－6＝0，
解得|b |＝
8．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为__________．【答案】π3
【解析】∵(a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴a 2＋a ·b －2b 2＝－6．∴1＋a ·b －2×4＝－6．
∴a ·b ＝1．∴cos 〈a ，b 〉＝
·11||||122==⨯a b a b ．∴〈a ，b 〉＝π3．三、解答题
9．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a ≠±b ，求a ＋b 与a －b 的夹角．
【答案】 π2
【解析】易知(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，又a ≠±b ，∴a ＋b 与a －b 的夹角为
π2． 10．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时，(1)求t 的值(用a ，b 表示)；(2)求证：b 与a ＋t b 垂直．
【答案】(1)2t ⋅=-a b b
(2) 见解析
【解析】(1)解：|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝22
2
222()t ⋅⋅⎛⎫++- ⎪⎝⎭a b a b b a b b ．当2t ⋅=-a b b 时，|a ＋t b |取最小值．
(2)证明：(a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝a ·b －2⋅a b b
×b 2＝0，所以a ＋t b 与b 垂直．。