2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：同济大学参赛队员(打印并签名) ：1. 冯建设2. 赵云波3. 刘雄飞指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2011 年 9 月 11日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）城市表层土壤重金属污染分析摘要：本文中，城市表层土壤金属污染分析需要综合不同区域，不同金属的综合影响，根据随机的数据采样点，通过统计与插值的分析方法进行处理。

首先可以考虑对采样点进行网格化的数据处理，然后通过Kriging 方法进行空间散乱点的插值处理。

通过对函数的插值结果的观察，与原始采样数据的空间分布相比较，可以发现二者具有较好的吻合度，结果令人满意。

对城区内不同区域重金属污染程度的综合评价，要对各重金属评价指标分别加权。

利用熵权法来确定各重金属评价指标的权重系数，熵权法的实际意义在这里体现得尤为明显，根据熵权法得到的相关系数均为正值，这一点也验证了熵权法在寻找个金属污染物权重时的正确性，然后由综合权重进行线性加和，得到各个区域的综合评定指标，同时根据金属含量背景值进行等级标准的划分，从而确定不同区域的污染程度，结果与实际完全符合，说明熵权法的运用是正确的，从在建立重金属污染的传播特征模型，先假设了污染源的位置，然后考虑根据扩散定律建立模型，根据一维扩散方程建立模型，但是这样的话在数据处理上必须首先根据采样点浓度特征大致确定污染源的位置，然后建立方程，根据采样数据提取信息求解，由于采样点较多，本问题的处理可能会遗漏部分有用信息。

如果与实际偏差较大，没有得到有效结果，可以进一步寻求其他解决方法。

对于问题四，可以基于问题一二三得到的模型进行综合考虑，从数据的处理方式，以及地质演变过程中时间变量的影响等因素入手，寻求更好的建立模型的方式。

若引入时间变量，将扩散模型修改为：2222(,)(,)()(,,)u u u F x y k x y f x y u x y t ∂∂∂++-=∂∂∂如此一来，还需要知道浓度的时间变化率，即不同时刻采样点的浓度数值。

然后要考虑二维(或三维) 变差函数。

但它们都是以一维函数为基础的，只不过要考虑各向同性或各向异性，以及结构的套合。

或者可以进一步的加强考虑海拔Z 的影响，得到四元的方程模型，然后建立求解。

目录一问题重述 (3)二、问题分析 (4)三模型假设 (5)四变量与符号说明 (5)五模型建立与求解 (6)1 随机场和区域化变量 (6)2 变差函数的构造 (6)3 平稳性假设和本征假设 (6)4 实验变差函数 (7)5 变差函数的理论模型 (7)6 Kriging 方法插值 (8)7 确定各重金属评价指标的权重系数 (13)8 传播特征 (16)六、模型评价与改进 (18)1 模型评价 (18)2 改进方向 (18)参考文献 (19)附件 (20)附件一重金属空间分布模型的建立与求解的matlab实现 (20)附件二利用熵权法进行各区域污染程度的综合评定的matlab实现 (22)一问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。

为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二、问题分析本题中，城市表层土壤金属污染分析需要综合不同区域，不同金属的综合影响，根据随机的数据采样点，考虑通过统计与插值的分析方法进行处理。

对于问题一，需要给出8种主要重金属的空间分布，并分析城区不同区域的污染程度。

由于采样数据给出的采样点相对来说空间位置比较散乱，首先可以考虑对此进行网格化的数据处理，然后通过Kriging方法进行空间散乱点的插值处理。

Kriging是一种距离加权的插值方法，从地质统计学中借鉴而来, 在空间数据场满足给定的统计分布特征的前提假设下进行插值。

通过对函数的插值结果的观察，与原始采样数据的空间分布相比较，进一步的确定该方法可以获得的插值效果是否有效。

对城区内不同区域重金属污染程度的综合评价，要对各重金属评价指标分别加权。

权重是衡量因子集中某一因子对土壤污染程度影响相对大小的量,权重系数越大,则该因子对土壤的影响程度越大，考虑利用熵权法来确定各重金属评价指标的权重系数，在信息论中信息熵表示系统的有序程度，一个系统的有序程度越高，则信息熵越大，反之，一个系统的无序程度越高，则信息熵越小。

所以，可以根据各项指标的指标值的差异程度，利用信息熵的这个工具计算出各指标的权重。

然后由综合权重进行线性加和，可以得到各个区域的综合评定指标，同时根据金属含量背景值进行等级标准的划分，从而确定不同区域的污染程度。

对于问题二，可以结合问题一中得到的模型，同时对采样数据进行简单的分析，根据各区域的污染程度的不同，可以感性的得到重金属污染的主要原因必定和污染最严重的区域有直接关系。

对于问题三，需要建立重金属污染的传播特征模型，并确定污染源的位置。

可以考虑根据扩散定律建立模型，首先借鉴一维扩散方程建立模型，但是这样的话在数据处理上必须首先根据采样点浓度特征大致确定污染源的位置，然后建立方程，根据采样数据提取信息求解，由于采样点较多，本问题的处理可能会遗漏部分有用信息。

如果与实际偏差较大，可以进一步寻求其他解决方法。

对于问题四，可以基于问题一二三得到的模型进行综合考虑，从数据的处理方式，以及地质演变过程中时间变量的影响等因素入手，寻求更好的建立模型的方式。

三模型假设1．金属污染浓度场按稳定场处理，即各坐标点浓度不随时间变化。

2．假设各区域的土壤特性相同。

3．重力对金属污染的影响忽略。

四变量与符号说明五模型建立与求解模型需要给出8种主要重金属的空间分布，并分析城区不同区域的污染程度。

由于采样数据给出的采样点相对来说空间位置比较散乱，首先可以考虑对此进行网格化的数据处理，然后通过Kriging方法进行空间散乱点的插值处理。

Kriging是一种距离加权的插值方法，从地质统计学中借鉴而来, 在空间数据场满足给定的统计分布特征的前提假设下进行插值。

利用Kriging方法对各浓度散乱点进行插值处理，建立起浓度分布的空间曲面（曲面的高度值即用来表征重金属浓度值），具体介绍如下：Kriging 方法就是对空间数据进行加权插值的权值设计方法。

Kriging方法通过引进以距离为自变量的变差函数来计算权值。

由于变差函数既可以反映变量的空间结构特性，又可以反应变量的随机分布特性，所以利用Kriging方法进行空间数据插值往往可以取得理想的效果。

另外，通过设计变差函数，Kriging方法很容易实现局部加权插值，这样就克服了一般距离加权插值方法插值结果的不稳定性。

1 随机场和区域化变量首先，重金属的浓度数据场可表示为分布于空间的单值函数S = f (x ，y ，z )，由题意知S为标量，则数据场为标量场。

运用统计学的方法来研究该数据场，首先将f 看成随机函数，记为Z，依赖于多个自变量的随机函数，称为随机场。

以空间点x 的直角坐标为自变量的随机场称为一个区域化变量。

区域化变量在观测前，可以看作是随机场；观测后就得到随机场的一个实现(一般都记作Z (x ) ，写法上不加区别)。

浓度区域化变量同时反映地质变量的结构性和随机性特征。

从地质学的观点来看，区域化变量可反映地质变量的以下特征：局部性、连续性、异向性、可迁性。

2 变差函数的构造假设空间点x 只在一维x 轴上变化，我们把区域化变量Z (x ) 在x 和x + h (h 为与x 具有相同维数的距离向量) 2个点处的值之差的方差之半定义为Z (x ) 在x 方向上的变差函数，记为y (x，h)，即进一步的，由于点x 和h 是在二维(或三维) 空间中变化的，所以要考虑二维(或三维) 变差函数。

但它们都是以一维变差函数为基础的，只不过要考虑各向同性或各向异性，还要考虑结构的套合。

这里暂时先以各向同性进行数据分析处理。

3 平稳性假设和本征假设当区域化变量Z (x ) 满足下列条件时，则称Z (x ) 满足二阶平稳(或弱平稳)。

(1) 在整个研究区域内，区域化变量Z (x ) 的数学期望存在，且等于常数，即E [Z (x ) ]= m (常数)，P x；(2) 在整个研究区域内，区域化变量Z (x ) 的协方差函数存在且相同(即只依赖于滞后h，而与x 无关)，即在实际工作中经常连二阶平稳假设也不能满足，故提出本征假设。

当区域化变量Z (x ) 的增量[Z (x ) - Z (x + h) ]满足下列条件时，则称Z (x ) 满足本征假设，或说Z (x ) 是本征的。