人教版九年级下册：28.2锐角三角函数导学案(无答案)

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人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数专题导学案设计

锐角三角函数及解直角三角形知识要点几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题。

三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具一、三角函数的计算和证明问题 1、正弦、余弦、正切和余切的定义※如图，在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 即sinA =斜边的对边A ∠=ca.※在Rt △ABC 中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 即cosA =斜边的邻边A ∠=cb.※在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA 即tanA =的邻边的对边A A ∠∠=ba.※在Rt △ABC 中，锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA 即cotA =的对边的邻边A A ∠∠=a b.【例1】1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ：b =3，则sinA = ； cosA = ；tanA = ；cotA = 。

2、已知∠α为锐角，则sin α+cos α的值是( )A 、大于1B 、等于1C 、小于1D 、不能确定3、如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连接CE ，求sin ∠ACE 的值.4、如图中，AB 是圆的直径，CD 是平行于AB 的弦，且AC 和BD 相交于E ，∠AED =α，△CDE 和△ABE 的面积之比是（）A 、cos αB 、sin αC 、cos 2αD 、sin 2αE 、1-sin α5、tan 67°30′的值是（） A 、2+1 B 、2-2 C 、22-1 D 、21 E 、52 【练】（1）已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA =135，tanB =2，AB =29cm ，则S △ABC = （2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，BC =1，D 为BC 边上一点，tan ∠ADC 是方程3（x 2+x21）-5(x +x1)-2的一个较大的根，求CD 的长2、同角、互余角三角函数之间的数量关系 ※sin 2α+cos 2α=1；tan α·cot α=1；tan α=ααcos sin ；cot α=ααsin cos 【例2】1、已知：∠α是锐角，且sin α+cos α=332，则sin α·cos α= 2、已知：tan α=3，则ααααcos sin 5cos 2sin +-的值为※当α+β=90°时，sin α=cos β；cos α=sin β；tan α=cot β；cot α=tan β 4、计算：（1）cos 21°+ cos 22°+…+ cos 288°+ cos 289°= （2）tan 1°·tan 2°…tan 89°=（3）计算：sin 53°·cos 37°+cos 53°·sin 37°= 5、已知：二元方程mx 2-（m -2）x +41（m -1）=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值，求这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比。

人教版九年级数学下册： 28《锐角三角函数》《《锐角三角函数》教案》教案1

人教版九年级数学下册： 28《锐角三角函数》《《锐角三角函数》教案》教案1一. 教材分析人教版九年级数学下册第28课《锐角三角函数》是学生在学习了三角函数概念和特殊角的三角函数值的基础上进行的一节实践性较强的课程。

本节课主要让学生了解锐角三角函数的概念，学会用锐角三角函数解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角函数的基本概念和特殊角的三角函数值，具备一定的数学基础。

但是，对于锐角三角函数的实际应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握锐角三角函数的概念，学会用锐角三角函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作探究的方式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念及应用。

2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用。

2.自主学习法：鼓励学生自主探究，培养学生的学习能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，提高学生的团队合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于引导学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用。

2.准备多媒体教学课件，帮助学生直观地理解锐角三角函数的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活实例，如测量山的高度、计算建筑物的斜面积等，引导学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，介绍锐角三角函数的概念，让学生了解锐角三角函数的定义和性质。

同时，教师可以通过讲解特殊角的三角函数值，帮助学生巩固已学的知识。

(完整版)人教版九年级锐角三角函数全章教案

第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数（1）教学目标：1、知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

能根据正弦概念正确进行计算。

2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．教学重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。

小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦341米10米二、探索新知【活动一】问题的引入【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。

现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比ABBC，能得到什么结论？（学生思考）结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于22。

人教版9年级下册数学特殊角的锐角三角函数(导学案)

28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的锐角三角函数一、新课导入1.课题导入情景：出示一副三角尺，老师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角？问题：分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.本节课我们学习30°，45°，60°角的三角函数值.（板书课题）2.学习目标（1）推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.（2）能运用30°，45°，60°角的三角函数值进行简单的计算.（3）能由30°，45°，60°角的三角函数值求对应的锐角.（4）会运用计算器求锐角三角函数的三角函数值和由三角函数值求锐角.3.学习重、难点重点：推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.难点：相关运算.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P65探究~P66例3上面的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.②通过计算，得到30°，45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表：③观察上表，sin30°，sin45°，sin60°的值有什么规律？cos30°，cos45°，cos60°呢？tan30°，tan45°，tan60°呢？2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生能否推导30°，45°，60°角的三角函数值.②差异指导：根据学情进行针对性指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.4.强化：特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值的变化规律.1.自学指导（1）自学内容：教材P66例3~P67练习上面的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：先自主学习，再同桌之间讨论交流，互相纠错.（4）自学参考提纲：①含30°，45°，60°角的三角函数值的计算题的解题要点是什么？熟练掌握特殊锐角的三角函数值.②求直角三角形中某锐角的解题要点是什么？先求该锐角的正弦值或余弦值或正切值，然后根据特殊锐角的三角函数值求该锐角的度数.③求下列各式的值： 1-2sin30°cos30°;=1-2×12×2=.3tan30°-tan45°+2sin60°;=3-1+2= (cos230°+sin230°)×tan60°.=[）2+（12）2]×3 =错误!未指定书签。

人教版初中数学九年级下册第二十八章：锐角三角函数(全章教案)

第二十八章锐角三角函数教材简析本章的内容主要包括：锐角三角函数的概念；30°，45°，60°角的三角函数值；利用计算器求任意锐角的三角函数值及根据三角函数值求出相应的锐角；利用锐角三角函数解直角三角形及三角函数的应用．在学生掌握了直角三角形边、角之间的关系的基础上，引入了锐角三角函数的概念，进而学习解直角三角形，是中学几何的重点与难点．本章是中考的必考内容，主要考查特殊锐角三角函数值的计算和解直角三角形及其应用．教学指导【本章重点】锐角三角函数的概念和直角三角形的解法．【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．【本章思想方法】1．体会数形结合思想．如：在理解和应用锐角三角函数解决实际问题时，注意数形结合思想的应用，即需根据实际问题画出几何图形，并根据图形寻找直角三角形中边、角之间的关系．2．体会转化思想．如：(1)把实际问题转化成数学问题：把实际问题的情境转化为几何图形；把题中的已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系．(2)把数学问题转化为解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，需要添加适当的辅助线构造出直角三角形．3．体会方程思想．如：在解决直角三角形的实际问题中，经常设出未知数来表示某一个量，并利用直角三角形的边、角关系建立方程，将几何问题转化为求方程的解．课时计划28．1锐角三角函数4课时28．2解直角三角形及其应用3课时28．1 锐角三角函数第1课时正弦教学目标一、基本目标【知识与技能】1．利用相似的直角三角形，探索直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值，从而引出正弦的概念．2．理解锐角的正弦的概念，并能根据正弦的概念进行计算．【过程与方法】通过探究锐角的正弦的概念的形成，体会由特殊到一般的数学思想方法，培养学生的归纳、推理能力．【情感态度与价值观】让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐，感悟数学的实用性，培养学生学习数学的兴趣．二、重难点目标【教学重点】理解正弦的意义，会求锐角的正弦值．【教学难点】理解直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P61～P63的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，即sin A ＝a c.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则sin B ＝45.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．【互动探索】(引发学生思考)要求sin A 和sin B 的值，需要分别找出∠A 、∠B 的对边和斜边的比．【解答】详细解答过程见教材P63例1.【例2】已知等腰三角形的一腰长为25 cm ，底边长为30 cm ，求底角的正弦值．【互动探索】(引发学生思考)转化法：将已知条件转化为几何示意图，再作出辅助线构造出直角三角形求解．【解答】如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D. ∵AB ＝AC ＝25 cm ，BC ＝30 cm ，AD 为底边上的高， ∴BD ＝12BC ＝15 cm ，∴在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD ＝AB 2－BD 2＝20 cm ， ∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝2025＝45.即底角的正弦值为45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值一定要在直角三角形中求，当图形中没有直角三角形时，要通过作高构造直角三角形解答．活动2 巩固练习(学生独学) 1．如图，sin A 等于( C )A ．2B ．55C.12D ． 52．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( B )A.83 B ．6 C ．12D ．83．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 24．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值．解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADC ＝90°. ∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝92＋52＝106. ∵E 为AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin C ＝AD AC ＝9106＝9106106.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠ABD 的值．【互动探索】首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB ＝90°，从而由勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，进而得出sin ∠ABD 的值．【解答】∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ， ∴AC ︵＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠AB C. ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8， ∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10， ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 1．如图，sin A ＝∠A 的对边斜边.2．求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形中，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时锐角三角函数教学目标一、基本目标【知识与技能】1．掌握余弦、正切的定义．2．了解锐角∠A的三角函数的定义．3．能运用锐角三角函数的定义求三角函数值．【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．【情感态度与价值观】通过观察、思考、交流、总结等数学活动，体验数学学习充满着探索与发现，培养学生积极思考，勇于探索的精神．二、重难点目标【教学重点】余弦、正切的概念，并会求指定锐角的余弦值、正切值．【教学难点】利用锐角三角函数的定义解决有关问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P64～P65的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cos A ＝bc ；(2)∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，即tan A ＝ab .2．锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的锐角三角函数.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则cos B ＝35，tan B ＝43.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求sin A 、cos A 、tan A.【温馨提示】详细解答过程见教材P65例2.【例2】如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求cos C 的值．【互动探索】(引发学生思考)观察图形，cos C ＝DC AC ，所以需要通过tan ∠BAD ＝34和已知条件求出DC 、AC 的长度，再代入求值．【解答】∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13， ∴cos C ＝DC AC ＝513.【互动总结】(学生总结，老师点评)在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义分清它们的边角关系，再根据勾股定理解答．活动2 巩固练习(学生独学)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( C ) A.513 B ．512C.1213D ．1252．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则AC 等于( A )A ．6B ．323C ．10D ．123．如图所示，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝12.4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，AC ＝2，CD ＝1，设∠CAD ＝α.(1)求sin α、cos α、tan α的值； (2)若∠B ＝∠CAD ，求BD 的长．解：在Rt △ACD 中，∵AC ＝2，DC ＝1， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝ 5.(1)sin α＝CD AD ＝15＝55，cos α＝AC AD ＝25＝255，tan α＝CD AC ＝12.(2)在Rt △ABC 中，∵tan B ＝AC BC，而∠B ＝∠CAD ， ∴tan α＝2BC ＝12，∴BC ＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据三角函数定义尝试说明： (1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)sin A ＝cos B ； (3)tan A ＝sin A cos A.【互动探索】用定义表示出sin A 、cos A 、cos B 、tan A →计算等式的左边与右边→得出结论．【证明】(1)由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，而sin A ＝a c ，cos A ＝bc ，∴sin 2A ＋cos 2A ＝a 2c 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1. (2)∵sin A ＝a c ，cos B ＝ac ，∴sin A ＝cos B.(3)∵tan A ＝a b ，sin A cos A ＝a c b c ＝ab，∴tan A ＝sin Acos A.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正弦→对比斜余弦→邻比斜正切→对比邻练习设计请完成本课时对应练习！第3课时特殊角的三角函数值教学目标一、基本目标【知识与技能】1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算． 2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．【过程与方法】1．通过探索特殊角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力． 2．通过推导特殊角的三角函数值，了解知识间的联系，提升综合运用数学知识解决问题的能力．【情感态度与价值观】在探索特殊角的三角函数值中，学生积极参与数学活动，培养学生独立思考问题的能力．二、重难点目标【教学重点】根据30°，45°，60°角的三角函数值进行有关计算．【教学难点】正确理解与记忆30°，45°，60°角的三角函数值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．sin 30°＝12，cos 30°2tan 30°32．sin 60°2cos 60°＝12，tan 60°3．sin 45°2cos 45°2tan 45°＝1. 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各式的值： (1)cos 260°＋sin 260°； (2)cos 45°sin 45°－tan 45°. 【互动探索】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值．【解答】(1)cos 260°＋sin 260°＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. (2)cos 45°sin 45°－tan 45°＝22÷22－1＝0. 【互动总结】(学生总结，老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆，既能由角得值，又能由值得角，记忆这个结果，可以结合直角三角形三边的大小关系，也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分别为1，2，3，而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分别为3，2，1；其正切值分别为1÷3，1,1× 3.【例2】数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B 、C 、E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【互动探索】(引发学生思考)根据正切的定义求出AC →根据正弦的定义求出CF →AF ＝AC －F C.【解答】在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BC tan A ＝23，∴EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( A ) A ．20° B ．30° C ．40°D ．50°2．若∠A 为锐角，且tan 2A ＋2tan A －3＝0，则∠A ＝45度． 3．计算．(1)2sin 30°－2cos 45°； (2)tan 30°－sin 60°·sin 30°； (3)(1－3tan 30°)2. 解：(1)0. (2)312. (3)3－1. 4．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形， ∴BD ＝B C.在Rt △ABC 中，∵tan A ＝tan 30°＝BC AB ，∴BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0，试判断△ABC 的形状．【互动探索】根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值→根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数→判断△ABC 的形状．【解答】∵(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0， ∴1－tan A ＝0，sin B －32＝0， ∴tan A ＝1，sin B ＝32， ∴∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°， ∴△ABC 是锐角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 特殊角的三角函数值：练习设计请完成本课时对应练习！第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能利用计算器求锐角三角函数值．2．已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角．3．能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题．【过程与方法】使用计算器可以解决部分复杂问题，通过求值探讨三角函数问题的某些规律，提高学生分析问题的能力．【情感态度与价值观】通过计算器的使用，了解科学在人们日常生活中的重要作用，激励学生热爱科学、学好文化知识．二、重难点目标【教学重点】运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．【教学难点】用计算器求锐角三角函数值时的按键顺序．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)A.sin24°′″37°′″18°′″＝B.24°′″37°′″18°′″sin＝C.2ndF sin24°′″37°′″18°′″＝D.sin24°′″37°′″18°′″2ndF＝2．使用计算器求下列三角函数值．(精确到0.0001)(1) sin 24°≈0.4067；(2)cos 35°≈0.8192；(3)tan 46°≈1.0355.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】按要求解决问题：(1)求sin 63°52′41″的值；(精确到0.0001)(2)求tan 19°15′的值；(精确到0.0001)(3)已知tan x＝0.7410，求锐角的值．(精确到1′)【互动探索】(引发学生思考)熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程．【解答】(1)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：sin 63°′′′52°′′′41°′′′＝显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52′41″≈0.8979.(2)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：tan 19°′′′15°′′′＝显示结果为0.349 215 633 4.所以tan 19°15′≈0.3492.(3)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：SHIFT tan 0.7410＝显示结果为36.538 445 77.再按°′′′，显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序．【例2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；(2)∠B的度数(精确到1′)．【互动探索】(引发学生思考)观察图形→作辅助线→利用相似锐角三角函数解直角三角形．【解答】(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H . ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CHAC ，∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC ，∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos 48°，∴在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin 48°8－9cos 48°，∴∠B ≈73°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角函数求非直角三角形的边或角，一般情况下要构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是( )A.tan 2÷3＝B.tan 2÷3DMS ＝C.2ndF tan (2÷3)＝D.2ndF tan (2÷3)DMS ＝2．用计算器求下列锐角的三角函数值．(精确到0.0001) (1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″； (3)sin 67°38′24″； (4)tan 24°19′48″. 解：(1)2.0013. (2)0.9456. (3)0.9248. (4)0.4521. 3．根据下列条件求锐角A 的度数．(精确到1″) (1)cos A ＝0.6753； (2)tan A ＝87.54； (3)sin A ＝0.4553； (4)sin A ＝0.6725.解：(1)47°31′21″. (2)89°20′44″. (3)27°5′3″. (4)42°15′37″. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用计算器求锐角三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧求已知角的三角函数值由锐角三角函数值求锐角练习设计请完成本课时对应练习！28．2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解什么叫解直角三角形． 2．掌握解直角三角形的根据． 3．能由已知条件解直角三角形．【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想．【情感态度与价值观】在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．二、重难点目标【教学重点】解直角三角形的方法．【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2．在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c . (1)两锐角互余，即∠A ＋∠B ＝90°； (2)三边满足勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a .3．Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝10，那么BC ＝8，tan B ＝34.环节2 合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为3．根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a＝43，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BC sin 45°＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan 60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！28．2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力．【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．【教学难点】建立合适的三角形模型，解决实际问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为a tan α米．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2巩固练习(学生独学)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少？(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°. ∵在Rt△ACD中，CD＝21 m，∴AC＝CDtan 30°＝2133＝213(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21 m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)【互动探索】要求AB ，先求出AE 与BE →解直角三角形：Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中，∵∠ADE ＝65°，DE ＝15米， ∴tan ∠ADE ＝AE DE，即tan 65°＝AE15≈2.1，解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中，∵∠BCE ＝42°，CE ＝CD ＋DE ＝6＋15＝21(米)， ∴tan ∠BCE ＝BE CE，即tan 42°＝BE21≈0.9，解得 BE ≈18.9米．∴AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)．即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt △ADE 、Rt △BCE ，利用AB ＝AE －BE 即可求出答案．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！第3课时利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能运用解直角三角形解决航行问题．2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．3．理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝坡角的正切值．【过程与方法】1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tan α.2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形，解决航海问题【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD 的长并与10海里比较→得出结论．【解答】如题图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD， ∴BD ＝AD ·tan 55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴CD ＝AD ·tan 25°.∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan 55°＝20＋AD ·tan 25°，∴AD ＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(海里)．而20.79海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD ，AD ∥BC ，路基顶宽BC ＝9.8 m ，路基高BE ＝5.8 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.6，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD 的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6 m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500 m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，根据题意，有∠CAD ＝30°.∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴AD ＝CD tan 30°＝3C D. 在Rt △CBD 中，根据题意，有∠CBD ＝60°.∵tan ∠CBD ＝CD BD，∴BD＝CDtan 60°＝33C D.又∵AD－BD＝500 m，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶ 3 ，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠。

人教版九年级数学下册：28锐角三角函数《锐角三角函数优秀教学案例》教案

1.了解锐角三角函数的概念、定义及性质，掌握锐角三角函数的计算方法。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.学会使用三角板和直尺等工具进行角度测量，培养学生的动手操作能力。
4.能够运用信息技术辅助学习，提高学生的信息素养。
（二）过程与方法
1.通过观察、实验、探究等方法，引导学生主动发现锐角三角函数的规律。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：教师通过展示一些实际生活中的图片，如建筑物的设计图、物理实验场景等，让学生观察并思考其中涉及到的角度问题。
2.提问引导：教师向学生提出问题，如“这些图片中的角度是如何计算的？”“你能想到一些与角度相关的实际问题吗？”等，激发学生的思考兴趣。
3.学生回答：鼓励学生积极回答问题，分享自己的观点和思考。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过设置一些与生活密切相关的实例，如建筑设计、物理实验等，让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计一些具有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入锐角三角函数的知识，引导学生主动探究。
3.互动情境：创设轻松、愉快的课堂氛围，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生主动表达自己观点的能力。
2.作业反馈：教师及时批改学生的作业，给予反馈和评价，指出学生的错误和不足，帮助学生提高。
3.学生自我检查：学生对自己的作业进行自我检查，总结自己在作业中的优点和不足，不断提高自己的学习效果。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过展示与学生生活密切相关的实例，如建筑设计、物理实验等，让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，使学生感受到数学的实用性，激发学生的学习兴趣。这种生活情境的引入，不仅能够引起学生的兴趣，还能够增强学生对知识的理解和记忆。

2017年春新人教版九年级下《28.1.2锐角三角函数》导学案

第2课时锐角三角函数1.掌握余弦、正切的定义.2.了解锐角∠A 的三角函数的定义.3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.阅读教材P64-65,自学“探究”与“例2”.自学反馈学生独立完成后集体订正①在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c;∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的，即cosA= ；∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的，即tanA= .②锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的 .③在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a=3、b=4，则cosB= ，tanB= .④在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA=（）（）= ，cos A= （）（）= ,tanA=（）（）= . ⑤在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA= （）（）= ，cosA= （）（）= ，tanA=（）（）= . ⑥在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，则sinA= （）（）= ，cosA= （）（）= ，tanA= （）（）= .锐角三角函数是在直角三角形的前提下.活动1 小组讨论例1 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.解:在Rt △ABC 中，根据勾股定理得∴sinA=cosB=BC AB =513,cosA=sinB=AC AB =1213,tanA=BC AC =512,tanB=AC BC =125.利用勾股定理求出第三边，再直接运用三角函数定义即可.活动2 跟踪训练(独立完成后小组内展示学习成果)1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，若CD=BC ，则tanA= .2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=13，a=12，那么sinA= ，cosA= ，tanA= .3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=2，sinB=12，则a= ，b= ,S △ABC= .均可先求出直角三角形的边长，再用锐角三角函数的关系来做.活动1 小组讨论例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=34，求sinA和cosB的值.解:∵tanA=BC AC,∴BC=AC×tanA=8×34=6.∵∴sinA=BCAB=610=35,cosB=BCAB=610=35.先求Rt△ABC的边长，再求sinA、cosB的值.例3 如图，在△ABC中，AB=15，AC=13，S△ABC=84，求sinA的值. 解:过点C作CD⊥AB于点D.∵S△ABC=12 AB·CD,∴CD=2ABCSAB=28415⨯=565.在Rt△ACD中，sinA=CDAC=56513=5665.求sinA的值，由正弦定义可知，必须在直角三角形中，图中没有直角三角形，应想办法构造，题中又提供了三角形的面积及边AB的长，故可通过C作高CD.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.在△ABC中，∠C=90°，且tanA=13,则cosB的值是.2.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB∶BC=2∶5，S△ABCtanC的值.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识，锐角的余弦、正切及锐角三角函数的定义.2.本节还学到了类比的思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①余弦bc正切ab②锐角三角函数③3543④⑤⑥略【合作探究1】活动2 跟踪训练1.32.121351312512【合作探究2】活动2 跟踪训练1.10。

人教版初三数学下册28.2.1：锐角三角函数(教案)

-提供记忆技巧，如通过图形、口诀等方式帮助学生记忆。
-通过练习题巩固记忆，确保学生能够熟练应用。
2.教学难点
-理解锐角三角函数的定义：学生可能难以理解抽象的函数概念。
-使用直观的图形和实际例子，将抽象概念具体化。
-通过问题讨论和小组合作，帮助学生深入理解锐角三角函数的定义。
-计算器操作：学生可能在计算器使用上遇到困难。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了锐角三角函数的概念和应用。我发现学生们对这一新知识充满了好奇，但也遇到了一些挑战。首先，锐角三角函数的定义对于一些学生来说比较抽象，他们需要更多具体的例子来帮助理解。在讲解时，我尽量使用了直观的图形和生活中的实例，希望这样能够帮助他们更好地把握这些概念。
在讲授过程中，我特别强调了正弦、余弦、正切这三个核心概念，并且通过对比和重复，试图让学生们记住这些定义。我也注意到，计算器的使用对学生来说是一个难点，尤其是在选择正确的模式和输入角度时。在未来的课堂上，我需要提供更多的练习机会，让学生们熟练掌握计算器的操作。
实践活动环节，学生们分组讨论并进行了实验操作，这个环节的反馈是积极的。学生们通过实际动手操作，对锐角三角函数有了更直观的认识。然而，我也观察到，在将理论知识应用到解决实际问题时，学生们还存在一定为此，我计划在后续的课堂中，引入更多实际案例，让学生们通过解决问题来加深理解。
-感受锐角三角函数在图形变化中的美感
-领略数学简洁、统一的审美价值
5.增强学生数学文化意识，提升数学文化素养。
-了解锐角三角函数在历史、地理等学科中的应用
-探究锐角三角函数在古代建筑、测量等领域的作用
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义是本节课的核心内容，需确保学生能准确理解并记忆。

九年级数学下册 28.1 锐角三角函数(第3课时)导学案(无

锐角三角函数【学习目标】⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：30°45°60°siaAcosAtanA例3：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）cos45sin45︒︒-tan45°．例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，6，3，求∠A的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求a ．四、学生展示：一、课本67页第1 题课本67页第 2题二、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35 ，AB=15，则AC 的长是（）．A ．3B ．6C ．9D ．12 2．下列各式中不正确的是（）．A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos 55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan 45°的结果是（）． A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（）A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB=32，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC =4，设∠BCD=a ，则tana•的值为（）．A ．34B ．43C ．35D ．457．当锐角a>60°时，cosa 的值（）．A ．小于12B ．大于12C ．大于 3 2D ．大于18．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=132，则sinA+tanA 等于（）．A ．32313331.3.6222B C D ++9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC ，若梯形的高是3，•则∠CAB 等于（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．以上都不对10．sin 272°+sin 218°的值是（）． A ．1 B ．0 C ．12 D ． 3 211．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （）．A ．是直角三角形B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形三、填空题．12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．13．cos 45sin 301cos 60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______． 15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 52，则cosA=________．五、课堂小结：要牢记下表： 30° 45° 60° siaA cosA tanA六、作业设置：七、自我反思：本节课我的收获: 。

九年级数学下册 28.1 锐角三角函数(第2课时)导学案(无

斜边c 对边abC BA锐角三角函数【学习目标】⑴: 感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。

⑵:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

重点：难点：【学习重点】理解余弦、正切的概念。

【学习难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。

【导学过程】一、自学提纲：1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。

已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（） A ．53B ．23C ．255D ．523、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．4、•在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时，∠A 的对边与斜边的比是， •现在我们要问：∠A 的邻边与斜边的比呢？∠A 的对边与邻边的比呢？为什么？二、合作交流：探究：一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，那么与有什么关系？ABCDEOA B D· ∠A的邻边b∠A的对边a 斜边cCB A6CB A三、教师点拨：类似于正弦的情况，如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=A ∠的邻边斜边=ac ；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=A A ∠∠的对边的邻边=ab．例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°= ；当∠A=45°时，我们有tanA=tan 45°= ．（教师讲解并板书）：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数．例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=•6，sinA=35，求cosA 、tanB 的值．四、学生展示：练习一：完成课本P81 练习1、2、3 练习二： 1.在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）A ．B ．C ．D ．2. 在中，∠C ＝90°，如果cos A=45 那么的值为（）A ．35B ．54C ．34D ．433、如图：P 是∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos α＝_____________. 五、课堂小结：在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= =ac． sinA ＝A a A c ∠=∠的对边的斜边把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作，即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作，即。

九年级数学下册 28 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数(6)导学案(无答案)(新版)新人教版

28.1锐角三角函数【学习目标】：1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数.2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度.3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【教学过程】一、知识回顾与链接：1.锐角三角函数的概念，2.同一个锐角的正弦与余弦之间有什么关系？3.熟记3个特殊角的三角函数值。

知道三角函数值与角的大小之间的变化关系。

4.直角三角形中的边与边，角与角，边与角之间的关系，知道什么叫解直角三角形。

5.了解仰角与俯角的概念，了解坡度与坡角的概念。

二、典型例题探究1：海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．探究:2：我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？探究3：.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离是1.7m ，看旗杆顶部的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD ）是 1.5m ，看旗杆顶部的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B ，N ，D 在同一条直线上）．请求出旗杆MN 的高度．（结果保留整数）三、小结四、达标测试题1.已知α为锐角,当αtan 12-无意义时,则tan(α+15°)-tan (α-15°)的值为 . 2.已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（） A ．︒50 B ．︒60 C ．︒70 D ．︒803.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（）A ．247 B6 8 C E A B DC．724D．134.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（）A.82米 B.163米 C.52米 D.70米5.在Rt△ABC中，点C为直角顶点，则下列式子中不一定成立的是（）A．sinA＝sinB B．cosA＝sinB C．sinA＝cosB D．sin(A+B)＝sinC6.如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB底部相距6m的C处，量出测倾器的高度CD＝1m，测得旗杆顶端B的仰角α＝60°，则旗杆AB的高度为．（计算结果保留根号）。

九年级数学下册28_1锐角三角函数导学案无答案新版新人教版

锐角三角函数回忆旧知：含30°角的直角三角形的三边的比是多少？含45°角的直角三角形的三边的比是多少？【知识点一】识记正弦、余弦、正切的概念，而且应用概念解决问题.（用20分钟精读一遍教材P61-P65“练习”上方的内容，用蓝色笔进行勾画；请完本钱环节流程；用红色笔标注自己的疑惑，预备课上讨论质疑.）1.填空：锐角A 的与的比叫做∠A 的正弦.记作 .即sinA= . 锐角A 的与的比叫做∠A 的余弦，记作 .即cosA= .锐角A 的与的比叫做∠A 的正切，记作 .即tanA= .∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的 .【跟踪练习1】1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，别离求出两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.（设计用意：概念应用，帮忙学生在明白得的基础上经历概念.）2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，别离求出两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.（设计用意：含60°角的直角三角形中三边关系在求各角的正弦、余弦、正切时的应用.）3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°若是各边长都扩大到原先的2倍，那么∠A 的正弦值、余弦值和正切值有转变吗？说明理由.（设计用意：边长同时扩大或缩小相同的倍数角的正弦值、余弦值和正切值不变）【激情探讨】通过解决上述问题，你能总结出：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 与cosB 有什么关系？tanA 与tanB 有什么关系？（设计用意：通过上面的练习，让学生总结出互余的两个角之间的锐角三角函数的关系，为高中学习同名函数打基础.）【知识点二】识记30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值.（用10分钟精读一遍教材P66-P67练习上面的内容，用蓝色笔进行勾画；请完本钱环节流程；用红色笔标注自己的疑惑，预备课上讨论质疑.）1.画出含30°、45°的直角三角形，依照正弦、余弦、正切的概念计算，把下表填写完整.【跟踪练习2】1.求下列各式的值：（设计用意：识记30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值，并会进A BC35)1(ACB 51)2(行实数的运算）(1)︒︒30c 30sin 2-1os ； (2)︒+︒︒60sin 245tan -30t 3an ;(3)︒⨯︒+︒60tan 30sin 30(cos 22）.【达标检测】依照本节课你的学习，尝试完成以下题目.1. (2014贵州贵阳)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（）（设计用意：考查锐角三角函数的概念）A ．512B ．125C ．1213D ．5132. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=2，AC=1，则tanA 的值为（）（设计用意：考查锐角三角函数概念）A ．12B C D3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，现给出下列结论：①；②cosB=12；③④，其中正确的有（）（设计用意：考查锐角三角函数概念）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4. (2014内蒙古包头) 计算 60tan 30cos 45sin 2•+，其结果是（）（设计用意：考查特殊角的三角函数值的经历）A ．2B ．1C ．25D ．45 5.（2014广东汕尾）在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=35，则cosB 的值是（）（设计用意：考查利用设参数法求锐角三角函数）A ．45B ．35C ．34D ．436.（2014四川巴中）在Rt △ABC 中，∠C=90°，5sin 13A =，则tanB 的值为（）（设计用意：考查利用设参数法求锐角三角函数） A. 1213 B. 512 C. 1312 D. 1257.（2014四川凉山州）在△ABC 中，若|cosA ﹣12|+（1﹣tanB ）2=0，则∠C 的度数是（）（设计用意：考查特殊角的三角函数值及非负数的和）A. 45° ° ° °8. 已知α为锐角，且sin （α－10°））（设计用意：考查特殊角的三角函数值） ° ° ° ° 9. (2013湖北孝感)式子22cos30tan 45(1tan 60)---的值是（）（设计用意：考查特殊角的三角函数值及二次根式的化简）A．232B．0 C．23D．210.（2013浙江台州）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4，则sin C的值为_________．（设计用意：考查切线的性质及锐角三角函数的概念）11.（2014江苏苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=12∠BAC，则tan ∠BPC=________．（设计用意：考查等腰三角形的性质及构造直角三角形求锐角三角函数.）12.(2013湖北荆门)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC ＝6，sin A＝35，则DE＝______．（设计用意：考查锐角三角函数的概念及解简单的直角三角形.）13.若是方程x2－4x+3=0的两个根别离是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为_________．（设计用意：考查一元二次方程的解法及利用锐角三角函数的概念求值.）A CDO第12题第11题第10题。