3数列的相关概念及简单表示-拔高难度-习题

数列的相关概念及简单表示
一、选择题（共12小题；共60分） 1. 在数列 {a n } 中，a 1=1，a n =1+(−1)n a n−1
(n ≥2)，则 a 5 等于 ( )
A. 3
2
B. 5
3
C. 8
5
D. 2
3
2. 若数列 {a n } 的前 4 项分别为 2，0，2，0，则这个数列的通项公式不可能是 ( )
A. a n =1+(−1)n+1
B. a n =1−cosnπ
C. a n =2sin 2
nπ2
D. a n =1+(−1)n−1+(n −1)(n −2)
3. 数列 {a n } 定义如下：a 1=1，当 n ≥2 时，a n ={1+a n 2,n 为偶数
1a n−1
,n 为奇数
，若 a n =1
4
，则 n 的值为
( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
4. 在数列 {a n } 中，a 4k−3=a 4k =1，a 4k−2=a 4k−1=−1(k ∈N ∗)，有下列表达式： ① a n =√2cos (2n−1)π4(n ∈N ∗)； ② a n =√2sin (2n+1)π
4
(n ∈N ∗)；
③ a n =sin
nπ2
+sin
(n+1)π
2
(n ∈N ∗)；
④ a n =(−1)n (n−1)2
(n ∈N ∗) .
其中可以作为该数列的通项公式的个数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 5. 在数列 {a n } 中，对于任意的 p,q ∈N +，有 a p+q =a p ⋅a q ，若 a 2=4，则 a 10= ( ) A. 64
B. 128
C. 504
D. 1024
6. 已知数列 {a n }，a n =1
n (n+2)(n ∈N ∗)，那么 1
120 是这个数列的 ( )
A. 第 9 项
B. 第 10 项
C. 第 11 项
D. 第 12 项
7. 有下列数组排成一排：(1
1)，(21,12)，(31,22,1
3)，(41,32,23,1
4)，(51,42,33,24,15
)，⋯，如果把上述数组中的
括号都去掉会形成一个数列：11
，2
1
，1
2
，31
，2
2
，1
3
，41
，32
，2
3
，14
，51
，42
，3
3
，2
4
，1
5
，⋯，则此数列中的
第 2011 项是 ( )
A. 7
57
B. 6
58
C. 5
59
D. 4
60
8. 已知在平面直角坐标系中有一个点列：P 1(0,1)，P 2(x 2,y 2)，⋅⋅⋅，P n (x n ,y n )(n ∈N ∗) .若点
P n (x n ,y n ) 到点 P n+1(x n+1,y n+1) 的变化关系为 {y n+1=y n +x n ,
x n+1=y n −x n
(n ∈N ∗) ，则 ∣P 2013P 2014∣=
( )
A. 21004
B. 21005
C. 21006
D. 21007
9. 已知数列{a n}(n∈N∗)满足a n+1={2a n,n为奇数
a n+1,n为偶数
．设S n是数列{a n}的前n项和．若S5=
−20，则a1=( )
A. −23
9B. −20
31
C. −6
D. −2
10. 如下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化
学键，按图中结构第n个图有化学键( )
A. 6n个
B. (4n+2)个
C. (5n−1)个
D. (5n+1)个
11. 数列{a n}满足a2=2，a n+2+(−1)n+1a n=1+(−1)n(n∈N∗)，S n为数列{a n}的前n项和，
则S100=( )
A. 5100
B. 2550
C. 2500
D. 2450
12. 已知数列{n+2
n
}(n∈N∗)，欲使它的前n项的乘积大于36，则n的最小值为( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
二、填空题（共5小题；共25分）
13. 在各项均为正数的数列{a n}中，对任意的m,n∈N∗，都有a m+n=a m⋅a n．若a6=64，则
a9=．
14. 已知数列{a n}满足a1=−2，a n+1=2+2a n
1−a n
，那么a5=．
15. 我们可以利用数列{a n}的递推公式a n={n,n为奇数时
a n
2
,n为偶数时
 (n∈N+)，求出这个数列各项的值，
使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65=．
16. 设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a1(4n−1)
3
，若a4=32，则a1=．
17. 若数列{a n}的通项公式是a n=(−1)n(2n+3)，则a4+a7+a10=．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 已知数列{a n}的相邻两项a2k−1，a2k是关于x的方程x2−(3k+2k)x+3k⋅2k=0的两个根，
且a2k−1≤a2k(k∈N∗)，求a1，a3，a5，a7．
19. 已知在数列{a n}中，a1=3，a10=21，通项a n是关于n的一次函数．
（1）求{a n}的通项公式并求a2011；
（2）若{b n}是由a2，a4，a6，a8⋯组成的，试归纳出{b n}的一个通项公式．
20. 数列{a n}中，a1=1，a n+1=1
2a n2−a n+c（c>1为常数，n∈N∗），且a3−a2=1
8
．
（1）求c的值；
（2）证明：a n<a n+1．
21. 函数f(n)={n(n∈N+,n为奇数),
f(n
2
)(n∈N+,n为偶数).
数列{a n}的通项a n=f(1)+f(2)+f(3)+⋯+
f(2n)(n∈N+)．
（1）求a1，a2，a4的值；
（2）写出a n与a n−1的一个递推关系式（1+3+5+⋯+(2n−1)=4n−1）．22. 已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2−(2a n+1−1)a n−2a n+1=0．
（1）求a2，a3；
（2）求{a n}的通项公式．。