直线、平面平行和垂直的判定及其性质
线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理-武威第三中学-邵志光
推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
线面平行判定及其性质
1、直线与平面平行的判定定理：
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
2、判断直线与平面平行的方法:
（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；
（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
2、面面平行的性质定理:
定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。
必修2平行垂直的判定和性质
平行1．直线与平面平行的判定(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：．注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．2．两个平面平行的判定(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即．3．直线与平面平行的性质(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号表示为：．注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．(2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．符号表示为：若，点，且，则．4．平面与平面平行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等．垂直1．直线与平面垂直的判定(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直，其中直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面．注意：①定义中的“任意一条直线”和“所有直线”是同义语，不能改成“无穷多条直线”．②如果或，那么直线l不可能与平面内的任意一条直线都垂直．由此可知，当时，直线l和一定相交，它们唯一的交点叫做垂足．(2)直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直与这个平面．(3)关于垂直的存在唯一性命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．2．平面与平面垂直的判定(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直．(2)两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 符号表示为：．3．直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 符号表示：． 作用：可作线线平行的判定定理． 4．平面与平面垂直的性质(1)两个平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 符号表示为：．(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． (3)三个两两垂直的平面的交线两两垂直．(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．空间几何定理公理总结：1.平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4 同平行于一条直线的两条直线互相平行。
第2讲 直线、平面平行和垂直的判定与性质(知识点串讲)(原卷版)
第二讲直线、平面平行垂直的判定与性质【知识梳理】1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【考点精炼】考点一：直线与平面平行的判定例1、(2019·陕西西安调研)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.练习、如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．(1)证明AD1∥平面BDC1；(2)证明BD∥平面AB1D1.练习、如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD ⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．【知识梳理】3.平面与平面平行的判定定理和性质定理(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．【考点精炼】考点二：平面与平面平行的判定与性质例2、(2019年南宁月考)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[变式探究]在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 训练、如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.【知识梳理】5、重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【考点精炼】考点三：与线面平行相关的命题真假判断例3．(2019·山东日照月考)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n练习．(全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()【知识梳理】6．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：7．(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理． 8．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质．【考点精炼】考点四：直线与平面垂直的判定与性质例4．(2019·湖南六校联考)已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β且m ⊂αB ．α⊥β且m ∥αC ．m ∥n 且n ⊥βD ．m ⊥n 且α∥β练习、（2019年潍坊月考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．OD ′＝10.求证：D′H⊥平面ABCD.【知识梳理】9．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：10.(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．【考点精炼】考点五：面面垂直的判定与性质练习、(北京卷)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，P A＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：P A⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面P AC；(3)当P A∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．[变式探究] 在本例条件下，证明：平面PBC ⊥平面P AB .练习、(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q -ABP 的体积．考点六：平行、垂直中关系的证明例6、(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .练习、(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵ 所在平面垂直，M 是CD ︵ 上异于C ，D的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．练习、(2019·山东潍坊模拟)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为362，求a的值．。
直线、平面平行垂直的判定及其性质
定理： 如果两个平行平面 // , a, 同时和第三个平面相交， b a // b 那么它们的交线平行。
推论 1： 如果两平面平行， 则 一平面内任何一条直线与另 一个平面平行。 推论 2： 两条直线被三个平面 所截，截得的对应线段成比 例。
, a, b 且b a b
// , a , a //
直线、平面间的平行、垂直的判定及其性质
平
定理内容 定理： 如果不在一个平面 内的一条直线和平面内 的一条直线平行， 那么这 条直线和这个平面平行。 定理： 如果一个平面内有 两条相交直线平行于另 外一个平面， 那么这两个 平面平行。 推论： 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条 直线，则这两个平面平 行。 定理： 如果一条直线和一 个平面平行， 经过这条直 线的平面和这个平面相 交， 那么这条直线就和两 平面的交线平行。
推论：已知平面外的两条平 行直线中的一条平行与这个 平面，则另一条也平行于这 个平面
行
符号表示
a ,b , 且a // b a //
垂
图形表示 定理内容 定理：如果一条直 线与平面内的两 条相交直线垂直， 则这条直线与这 个平面垂直。 推论 1：如果在两 条平行直线中，有 一条垂直于平面， 那么另一条也垂 直于这个平面。 定理：如果一个平 面过另一个平面 的垂线，则这两个 平面互相垂直。 定理：如果一条直 线垂直于一个平 面，那么它就和平 面内的任意一条 直线垂直。 推论 2：如果两条 直线垂直于同一 个平面内，那么这 两条直线平行。 定理：如果两个平 面互相垂直，那么 在一个平面内垂 直于它们交线的 直线垂直与另一 个平面。
直
符号表示
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
一、直线、平面平行的判定及其性质
知识点一、直线与平面平行的判定
ii.思考：如图，设直线b在平面a内，直线a在平面a外，猜想在什么条件下直线a与平面a平行.（a|| b）
直线与平面平行的判断
※判定定理的证明
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行
、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定
要点诠释：定义中“平面
条直线”不同（线线垂直内的任意一条直线”就是
指“平面内的所有直线”，这与“无数
线面垂直）
知识点二、二面角
I.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角( dihedral angle ).这条直线叫做
二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角一AB —.(简记P — AB —Q)
.面角的平面角的三个特征：i .点在棱上
ii .线在面内
iii . 与棱垂直
n .二面角的平面角：在二面角一丨一的棱|上任取一点0,以点0为垂足，在半平面，内分别作垂直于棱I的射线0A和0B，则射线0A和0B构成的A0B叫做二面角的平面角.
作用：衡量二面角的大小；范围：0°180°.。
3 直线、平面平行、垂直的判定与性质
直线、平面平行、垂直的判定与性质一．《考纲》要求 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线垂直的有关性质与判定定理．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 二．命题方向 线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用．题型多以选择题与解答题． 三．知识解析（一）直线与平面平行的判定与性质 直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．注：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行．这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）． 直线与平面平行判定定理的符号表示：a b αα⊄⊂，，且////a b a α⇒． 直线与平面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．注：直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行．通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的的重要方法． （二）面面平行的判定与性质 平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 平面与平面平行的判定定理的符号表示：//////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒I ，，，，． 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.注：平面与平面的定义及性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行. （三）直线与平面垂直 1．直线与平面垂直 直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论3．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果与这斜线的射影垂直，那么它也与这斜线垂直． 逆定理：在平面内的一条直线，如果与这斜线垂直，那么它也与这斜线的射影垂直． 4．直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．如图①，090α<<o o．当直线与平面平行或在平面内时，规定直线与平面成角为0o 如图②．当直线与平面垂直时，规定直线与平面所成角为90o 如图③．（四）平面与平面垂直 1．二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．二面角的平面角α和 在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面β内分别作垂直与棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角．3．平面与平面垂直定义：如果两个相交平面所成的二面角是90o ，就说这两个平面互相垂直．4．平面与平面垂直判定定理：考点一：证明直线与平面平行的常用方法1．利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法来证明，这时“平行”的否定应是“在平面内”或“相交”两种，只能排除这两种位置关系后才能得出“直线a 与平面平行”这一结论． 2．利用直线与平面平行的判定定理，使用该定理时，应注意定理成立时所满足的条件． 3．利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行．（1）已知直线在一平面内，由两平面平行，则一平面内的直线与另一平面无公共点，推得线面平行． （2）一直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面平行．例1 如图，正方体中，侧面对角线11AB BC 、上分别有两点E F 、，且11B E C F =．求证：EF ∥平面ABCD ．l图① 图② CDD 1A 1B 1C 1AB F E考点二：证明面面平行的常用方法1．利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合． 2．利用面面平行的判定定理． 3．利用两个平面垂直于同一直线．4．证明两个平面同时平行于第三个平面．例2 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 是1CC 上的点，问：当点Q 是1CC 上的点，问当点Q 在什么位置时，平面1//D BQ PAO 平面．考点三：证明线线垂直、线面垂直 证明线线垂直的方法1．计算两直线所成的角为90︒（包含异面直线所成的角） 2．由线面垂直的性质（若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥） 证明线面垂直的方法 1．线面垂直的定义． 2．线面垂直的判定定理3．平行线垂直平面的传递性（a b b a αα⊥⇒⊥∥,） 4．面面平行的性质（a a ααββ⊥⇒⊥,∥）5．面面垂直的性质（l a a l a αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥I ,,,） 6．面面垂直的性质（l l αβαγβγγ=⊥⊥⇒⊥I ,,）例3 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 是CD 和PC 的中点，求证：（Ⅰ）PA ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PCD ．例4 如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ABCD ⊥平面．四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点． （Ⅰ）求证：CD SAD ⊥平面；（Ⅱ）求证：//PQ SCD 平面；（Ⅲ）若SA SD =，M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ABCD ⊥平面，并证明你的结论．CD D 1A 1B 1C 1AB P OQ A BED C PF D ABCSP Q考点四：线面角和二面角1．求直线与平面所成的角，一般分为两大步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 2．求二面角是作出二面角的平面角，常用的方法为定义法和垂面法． 例5 如图，已知DC ⊥平面ABC ，EB DC ∥，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=︒，P Q ,分别为AE AB ,的中点． （Ⅰ）证明：PQ ∥平面ACD ； （Ⅱ）求AD 平面与ABE 所成角的正弦值．例6 如图，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=︒，PA PD =2PB =，E F ,分别是BC PC ,的中点．（Ⅰ）证明：AD ⊥平面DEF ；（Ⅱ）求二面角P AD B --的余弦值．考点五：求距离问题分别例7 如图，在四面体PABC 中，PC AB ⊥，PA BC ⊥，点D ，E F G，，是棱AP AC ，，BC PB ，中点．（Ⅰ）求证：//DE BCP 平面；C BADE P QCDA B PEF（Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．例8 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E F ，分别是AB PD ，的中点，又是二面角P CD B --为45︒． （Ⅰ）求证：AF ∥平面PEC ； （Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PCD ．（Ⅲ）设2AD CD ==，，求点A 到平面PEC 的距离．五．巩固练习 （一）选择题： （1）若直线m n 、和平面αβ、，下列四个命题中，正确的是（ ） （A ）若////m n αα，，则//m n （B ）若m n αα⊂⊂，，//m β，//n β，则//αβ （C ）若m αβα⊥⊂，，则m β⊥ （D ）若m αββ⊥⊥，，m α⊄，则//m α（2）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线 （3）给出下列四个命题，其中正确的个数是（ ） ①平行于同一平面的两个平面平行； ②夹在两个平行平面间的线段相等； ③与一对异面直线都平行的两个平面平行； ④两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面； ⑤一个平面与两个平行平面相交，交线平行． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）在空间中，有如下命题：A B CDFPE①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面； ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线． 其中正确命题的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （5）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E F H K 、、、分别为AC '、CB '、A B B C '''、的中点，G 为ABC△的重心．从K H G B '、、、中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ） （A ）K （B ）H （C ）G （D ）B '（6）已知平面αβ、满足//αβ，AB 和CD 是夹在α与β之间的线段，AB CD ⊥，且2AB =，如果直线AB与α所成的角为30o ，那么线段CD 的长的取值范围是（ ）（A） （B ）[1)+∞， （C）[1（D）)+∞ （7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，121AA AB ==，1AD BC ，上移动，且始终保持11//MN DCC D 平面，设BN则函数()y f x =的图象大致是（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）（8）定点A 和B 都在平面α内，定点P α∉，PB α⊥，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC AC ⊥．那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） （A ）一条线段，但要去掉两个点 （B ）一个圆，但要去掉两个点 （C ）一个椭圆，但要去掉两个点 （D ）半圆，但要去掉两个点 （9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ） （A ）只有1个 （B ）恰有3个 （C ）恰有4个 （D ）有无穷多个（10）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，160ACC ∠=o ，145BCC ∠=o ，侧棱1CC 的长为1，则该三棱柱的高等于（ ） （A ）12（B（C （D （11）如图，在棱长均为1的三棱锥S ABC -中，E 为棱SA 的中点，F 为ABC △的中心，则直线EF 与平面ABC 所成角的正切值是（ ）（A ） （B ）111（C（D）2（12）在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是（ ）（A ）30o（B ）45o（C ）60o（D ）90o（13）已知二面角l αβ--为60o ，动点P 、Q 分别在面αβ、内，P 到βQ 到α的距离为P Q 、两点之间距离的最小值为（ ）（A（B ）2 （C）（D ）4（二）填空题：（14）下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N 、P 、分别为其所在棱的中点，能得出//AB MNP 平面的图形的序号是 （写出所有符号要求的图形序号）． （15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的序号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD △三条高线的交点；③若分别作ABC △和ABD △的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．（16）P 为ABC △所在平面外一点，且PA PB PC 、、两两互相垂直，则下列命题： ①PA BC ⊥；②PB AC ⊥；③PC AB ⊥；④AB BC ⊥．其中正确的个数是 ．（17）设αβγ、、为彼此不重合的三个平面，l 为直线，则给出下列命题：①若//αβ，αγ⊥，则βγ⊥； ②若αγ⊥，βγ⊥，且l αβ=I ，则l γ⊥； ③若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β．上面命题中，真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）．①② （三）解答题：（18）如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=o ，//AF DE ，DE DA ==22AF =．（Ⅰ）求证：//AC BEF 平面；（Ⅱ）求四面体BDEF 的体积．A① ② ③④（19）如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P Q 、分别在BD 和SC 上，并且12BP PD =：：，//PQ SAD 平面，求线段PQ 的长．（20）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ABE ⊥平面，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面． （Ⅰ）求证：AE BE ⊥；（Ⅱ）求三棱锥D AEC -的体积； （Ⅲ）设M 在线段AB 上，且满足2AM MB =，试在线段CE 上确定一点N ，使得//MN DAE 平面．（21）如图，PO ABCD ⊥平面，点O 在AB 上，//EA PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC AB ⊥， BC CD BO PO ===，12EA AO CD ==．（Ⅰ）求证：BC ABPE ⊥平面；（Ⅱ）直线PE 上是否存在点M ，使//DM PBC 平面，若存在，求出点M ；若不存在，说明理由．（22）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA PC =，E 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：//PD AEC 平面；（Ⅱ）求证：AEC PDB ⊥平面平面．A（23）如图，在ABC △中，2B π∠=，2AB BC P ==，为AB 边上一动点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA △沿PD 翻折至PDA '△，使平面PDA PBCD '⊥平面．（Ⅰ）当棱锥A PBCD '-的体积最大时，求PA 的长；（Ⅱ）若点P 为AB 的中点，E 为A C '的中点，求证：A B DE '⊥．（24）如图，已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，1AB =，2BC =，1CD =A 作AE CD ⊥，垂足为叠，E GF ，、分别为AD CE 、的中点，现将ADE △沿AE 折使得DE EC ⊥．（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：//FG BCD 平面；（Ⅲ）在线段AE 上找一点R ，使得平面BDR BCD ⊥平面，并说明理由．CB。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八年夜定理之迟辟智美创
作
一、线面平行.
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那
么这条直线与这个平面平行.符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 符号
暗示：
二、面面平行.
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，
那它们的交线平行. 符号暗示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平
面）
三、线面垂直.
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面. 符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
符号暗示：
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行.（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线.） 四、面面垂直.
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直.
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点在几何学中，我们经常会遇到直线和平面之间的关系。
其中，直线与平面可以有平行关系或垂直关系。
本文将介绍直线和平面平行、垂直的判定方法，并讨论它们的性质。
一、直线和平面的基本概念回顾在论述直线和平面的平行、垂直关系之前，我们需要先回顾一些基本概念。
1. 直线直线是由无限多个点按一定方向排列而成的，没有始点和终点。
直线可由一个点和一个方向确定。
在数学中，直线通常用两个点A和B表示，记作AB。
2. 平面平面是二维几何体，具有无限多个点，且任意两点之间可以连成一条直线。
平面由三个非共线的点决定。
在数学中，我们通常用大写字母P、Q、R等表示平面上的点。
二、直线和平面的平行判定1. 平行直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线平行，那么它也与这个平面平行。
同样地，如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它也与这个平面垂直。
2. 平行直线的判定方法直线之间的平行关系有多种判定方法。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助平面间的平行关系进行判定两条直线平行的充要条件是，它们在同一个平面内，且与该平面的一条直线平行。
(2) 借助直线的倾斜角进行判定两条直线平行的充要条件是，它们的倾斜角相等或互补。
三、直线和平面的垂直判定1. 垂直直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它与这个平面垂直。
2. 垂直直线的判定方法直线与平面垂直的判定方法有多种。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助直线和平面的夹角进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线与平面内的两条相交直线成对应的垂直角。
(2) 借助直线的方向向量进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线的方向向量与平面的法向量垂直。
四、直线平面平行、垂直关系的性质1. 性质1：平行或垂直关系具有传递性若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。
同样的，若直线m与直线n垂直，直线n与直线p垂直，那么直线m与直线p也垂直。
直线、平面平行和垂直的判定及其性质
P
A
C
Oa
B
2. 过△ABC所在平面 a 外一点 P, 作 PO⊥a, 垂足为 O, 连接 PA,
PB, PC.
(1) 若 PA=PB=PC, ∠C=90, 则 O 是 AB 边的
.
(2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是△ABC 的
心.
(3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则 O 是△ABC的
l
P
l2
l1
O
A
a l3
l4
上斜足以外的一点向平面引垂线 PO, 过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫斜线在 平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直 线和这个平面所成的角.
问题 3. (1) 请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内, 另外一条 直角边不在桌面内, 请问这另一条直角边与桌面垂直吗?
(2) 用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面? 有不垂直的可能吗?
当A、B、C 不共线时, 折痕DC垂直桌面;
当A、B、C 共线时,ຫໍສະໝຸດ 折痕DC不一定垂直桌面.la. 求证:
(1) 若 l⊥PA, 则 l⊥QA;
(2) 若 l⊥QA, 则 l⊥PA.
P
Q 为垂线段 PQ 的垂足. A 为斜线段 PA 的斜足.
aQ
Al
QA 为斜线 PA 在平面 a 上的射影.
有三条线:
①平面的斜线,
②斜线在平面上的射影,
③平面内的一条直线 l.
结论:
如果 l ⊥斜线, 则 l⊥射影; 如果 l⊥射影, 则 l⊥斜线.
la. 求证:
(1) 若 l⊥PA, 则 l⊥QA;
(完整版)直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。
图形条件α∩β＝∅a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αl⊥αl⊥β结论α∥βα∥βα∥β性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a α∥β a⊂β结论a∥b a∥α二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定语言描述 如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b 为平面α内的任一直线，而l 对这一直线总有l ⊥αl ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α 结论l ⊥α l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）性质语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上ⅱ. 线在面内 ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：00180θ<<.定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β“任何”“随意”“无数”等字眼知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）例题1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是A. EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥bC. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cD. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD3下列命题正确的是（ D F ）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α4在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥βB ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥nC ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥aD ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：E F ‖平面BCD8题图 9题图9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.课堂练习A 组3.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
直线、平面平行与垂直的判定与性质
平行(线面平行⇒线线平行)
符号语言
因为
l∥a
______，
______，
a⊂α
l⊄α
__
______，
l⊂β
α∩
＝b
______，
所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件
必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另
一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．
[提醒] 两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另
一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意
“平面内的直线”．
6.（综合题）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比
西方早1 000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直
于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面
的四棱锥， 鳖臑(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图，三棱
柱ABC- A1B1C1，BC1⊥平面A1C1CA，四棱锥B-A1C1CA为阳马，且E，F分别
2.垂直关系中的两个常用结论
(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．
(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．
走进高考
1．[2019·全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
题3图
题4图
4.( 线 面 垂 直 ) 如 图 ， 多 面 体 ABCDEF 中 ， 底 面 ABCD 为 正 方 形 ，
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点上课讲义
、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定）ii.思考：如图，设直线b在平面a内，直线a在平面a外，猜想在什么条件下直线a与平面a平行.（a||b）直线与平面平行的判断※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行知识点三、平面与平面平行的判定判定、直线、平面垂直的判定及其性质定义判定语言描述如果直线1和平面a 内的任意一条直线都 垂直，我们就说直线1与平面①互相垂直， 记作1丄a一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则这条直线与该平面垂直图形I/条件 b 为平面a 内的任一直线，而I 对这 一直线总有I 丄aI 丄 m ， I 丄 n ， m n n = B ， m，n 结论I 丄 1丄要点诠释：定义中“平面 二内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无数条直线”.面角的平面角的三个特征 ：i .点在棱上ii .线在面内 iii . 与棱垂直n .二面角的平面角：在二面角一I — 的棱I 上任取一点0，以点0为垂足，在半平面 ，内分别作垂直于棱I 的射成的 AOB 叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：0°180°.dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱，这两知识点二、二面角I •二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（ 角一AB —.（简记 P — AB — Q ）知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面垂直 .一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直图形7丿 /结果aAp =l a -l- B =90° 口 a 丄 B/丄u u 二◎丄 0(垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是 “任何”“随意”“无数”等字眼)知识点五、平面和平面垂直的性质 面面垂直 线面垂直(如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直C. b a ,c / a ,a / b,a / cD. b a ,A € a,B € a,C € b ,D € b 且 AC = BD 3下列命题正确的是( DF)A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a //a ,则平面a 内有且仅有一条直线与 a 平行C. 若直线a //a ,则平面a 内任一条直线都与 a 平行D. 若直线a //a ,则平面a 内有无数条直线与a 平行E. 如果a 、b 是两条直线，且 a / b ，那么a 平行于经过b 的任何平面F. 如果直线a 、b 和平面a 满足 a / b ， a / a ,b a ，那么b /a4在空间，下列命题正确的是(A) 平行直线的平行投影重合 (B) 平行于同一直线的两个平面平行 (C) 垂直于同一平面的两个平面平行 (D) 垂直于同一平面的两条直线平行2能保证直线 a 与平面a 平行的条件是(A ) A.a a ,b a ,a // bB .ba ,a // b例题1.如图，若是长方体 ABCD-ABC D 被平面EFGH 截去几何体 EFGH I C 后得到的几何体，其BB 上异于B I 的点，且EH// A D I ，则下列结论中不正确的是 A. EH // FG B. 四边形EFGH 是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台加咫圈)5已知m、n为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A .m , n,m //3,n a/3B.a//B，m,n m // nC.m± a,m 丄n n // aD.n / m,n丄a m± a6.下列命题中错误的是(A) 如果平面丄平面，那么平面内一定直线平行于平面(B) 如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面(C) 如果平面丄平面，平面丄平面，丨，那么I丄平面(D) 如果平面丄平面，那么平面内所有直线都垂直于平面设Hi两条氏线"久0址两个平血，则alb的一个允分条件址(A) 。
平行垂直的判定和性质
平行垂直的判定和性质
平面外一条直线，如果和平面中的两条相交直线垂直，那么，这条直线就和这个平面垂直；如果已知一条直线和一个平面a垂直，那么这条直线和所有与平面a平行的平面垂直；如果以知一条直线l和一个平面垂直，那么所有与直线l平行的直线都和这个平面垂直。
面面垂直
若两个平面的二面角为的直二面角（平面角就是直角的二面角），则这两个平面互相横向。
1、一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
2、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相横向。
3、如果两个平面的'垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
4、如果两个平面相互横向，那么在一个平面内旋转轴它们交线的直线旋转轴另一个平面。
5、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
6、如果两个平行平面都旋转轴第三个平面，那么它们的交线旋转轴第三个平面。
7、三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
8、如果两个平面互相横向，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
9、如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。
线面横向
如果一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则称该直线垂直于该平面。
1、一条直线与一个平面内的两条平行直线都横向，则该直线与此平面横向。
2、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
3、如果两条直线旋转轴同一个平面，那么这两条直线平行。
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点直线和平面的平行与垂直是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题中往往起着关键性的作用。
判定直线与平面的平行与垂直关系的方法有很多，下面将逐一介绍。
1.直线与平面平行的判定及性质：直线与平面平行的判定方法有以下三种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。
（2）截距判定法：如果直线与平面的两个不同点的坐标满足平面方程，则直线与平面平行。
（3）斜率判定法：如果直线的斜率与平面的法向量的斜率相同或不存在，则直线与平面平行。
直线与平面平行的性质有：（1）两个平行直线与同一个平面的交点之连线垂直于这两个直线。
（2）两个平行直线的斜率相同。
（3）两个平行直线的方向向量相同。
（4）两个平行直线的距离在平行直线之间是相等的。
2.直线与平面垂直的判定及性质：直线与平面垂直的判定方法有以下两种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
（2）斜率判定法：如果直线的斜率乘以平面的法向量的斜率为-1或直线的斜率不存在且平面的法向量的斜率存在，则直线与平面垂直。
直线与平面垂直的性质有：（1）直线与平面垂直，则直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面。
（2）直线与平面垂直，则与直线垂直的平面必过直线上的一点。
（3）两个平行的直线与同一个平面的交线垂直于这两个直线。
（4）两个平行直线的方向向量的点积为零。
（5）两个垂直直线的斜率乘积为-1（6）两个平行直线的斜率乘积为1总结起来，判定直线与平面平行与垂直的方法有法向量判定法和斜率判定法。
关于性质，平行直线之间的距离相等，垂直直线的斜率乘积为-1，直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面等等。
这些性质在解决几何问题时都有非常重要的应用价值。
立体几何判定平行垂直的20个判定定理
平行直线和平面的距离
平行平面间距离
X
⊥ ， b⊥
线面垂直的性质：由线Hale Waihona Puke 平行得线面垂直。⊥ ， ⊥
面面平行的性质：由面面平行得线面垂直。
面⊥面
（2个）
，
面面垂直的判定定理：一个平面经过另外一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直。
, ⊥
补充：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
平面的基本性质
基本性质
图示
作用
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内.
线面垂直的性质定理：一条直线若垂直于一平面,则直线垂直于这个平面内任意一条直线。
c
⊥ ， ⊥
两条平行直线，一条垂直第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线。
补充：三个两两垂直的平面的交线垂直
线⊥面
（4个）
，
，
线面垂直的判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都相交,那么这条直线与这个平面垂直。
, ,
⊥
面面垂直的性质定理：两个平面垂直,在第一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
线//面
（2个）
， ，
线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
，
面面平行的性质：两个平面平行,在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。
面//面
（3个）
, , ,
,
面面平行的判定定理：一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
⊥ ⊥
课本P35例1：垂直于同一直线的两个平面平行。
,
补充：平行于同一平面的两个平面平行。
直线和平面平行、垂直的判定和性质
直线和平面平行、垂直的判定和性质1．在直线和平面的位置关系中，平行关系不仅应用较多，而且是学习平面和平面位置关系的基础，所以直线和平面平行的判定和性质是本单元的重点之一．判定定理说明要证一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行即可．对于直线和平面平行的性质定理、要注意避免“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误，线面平行和线线平行，是指过这条直线的任意一个平面和已知平面的交线与这条直线平行，尽管直线可以和平面内无数条直线平行，但不能说直线和平面内的任何直线平行．反证法是常用的一种证明方法．要会用反证法证明线面平行的判定定理．2．斜线和平面所成的角，定量地反映了斜线和平面的位置关系，它是通过转化为平面内的两条相交直线所成的角来度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角．直线和平面所成的角，应分三种情形:(1)直线和平面斜交时，直线和平面所成的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角就是直角；(3)直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角的度数是0°．综上所述，直线和平面所成角的范围是[0，].3．在应用三垂线定理及其逆定理时，重点在于先寻找平面的垂线，在引辅助线时，也应先作平面的垂线，这是因为垂线是确定斜线在平面内射影的关键．三垂线定理及其逆定理揭示了平面的斜线和它在这个平面上的射影必定同时垂直于平面内的直线的实质．在学习三垂线定理时，要注意处于各种位置的射影关系图形的识别和掌握，进而达到灵活应用的目的.典型题目分析例1．下列命题中①两条异面直线所成角α 的范围是0°＜α＜180°．②两条互相垂直的直线不一定相交．③分别和两条异面直线都垂直的直线叫做这两条异面直线的公垂线．④两条异面直线所成角的大小是惟一的，角的位置可以平移变化．⑤两条异面直线的公垂线有且只有一条．⑥若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行．其中正确命题的个数是().A．1B．2 C 3D．4分析:对照有关概念，找出结论与条件不相符合的命题．解:由异面直线所成角的定义，公垂线定义知①③⑥错误，②④⑤正确，故选C．例2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=3，BC=4，则异面直线A1B1与BC1的距离是________.分析:证A1B1⊥面BC1.解:在面BC1内作B1E⊥BC1于点E.长方体AC1中，A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，所以A1B1⊥面BC1，从而A1B⊥B1E，于是B1E的长就是异面直线A1B1和BC1间的距离.矩形BCC1B1中，BC1=，所以B1E=.即所求距离为.点评:本题将异面直线的距离问题转化为同一三角形内的点线距离问题.例3．E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC的中点，求EF到平面AA1C1C的距离.分析:转化为EF与AC间的距离.解:如图所示，连结BD分别交AC、EF于O、G，则BD⊥AC，BD⊥EF.正方体A1C中，AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD.∴BD⊥AA1，而AA1、AC是平面AA1C1C内两条相交直线.∴BD⊥平面AA1C1C，又BD⊥EF，于是线段OG的长就是EF到平面AA1C1C的距离. 在正方形ABCD中，OG=.所以EF到平面AA1C1C的距离是.点评:将线面距离化为线线距离是一种常用转化方法，应注意正确使用这种方法.例4．点P在ΔABC所在平面上射影为O，如果PA⊥BC，PB⊥AC，则O为ΔABC的（）.A、垂心B、重心C、内心D、外心分析:作出PA在平面ABC上的射影，证明BC与之垂直.解:如图，连结OA，OB，则OA是PA在平面ABC上的射影.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理，AC⊥OB，∴O是ΔABC的垂心，故选A.点评:三角形的内心、外心、垂心、重心分别是三角形的三条角平分线、三条边的垂直平分线、三条高、三条中线的交点.课外练习：1．RtΔABC所在平面外一点P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离为12，若点P到AC和BC 的距离相等，求：点P到AC的距离.2．在空间四边形ABCD中，若AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB，且AB=BC=CD=a.则直线AD和BC所成角的正弦值为（）.A、B、C、D、3．在棱长为4的正方体，ABCD-A1B1C1D1中，A1到BD的距离等于_________.4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、K分别是AD、DD1、DC的中点，求证：B1K⊥平面CMN.参考解答：1．如图，过P作PD⊥平面ABC，D为垂足，过D作DE⊥AC，DF⊥BC.分别连结PE和PF，则DE和DF分别是PE和PF在平面ABC内的射影.∵AC⊥DE，∴AC⊥PE，∵DF⊥BC，∴BC⊥DF，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE和PF是P到AC和BC的距离，∴PE=PF，∴DE=DF，∵CEDF是内角均为90°的四边形，∴CEPF是正方形，∴CD=´DE，在RtΔPCD中，PC=24，PD=12，∠PDC=90°，∴CD=，∴DE=，在RtΔPDE中，PD=12，DE=，∠PDE=90°，∴PE=，即P到AC、BC的距离均为.2．D3.4. 如图，分别连结BK和C1K，证明RtΔCDM≌RtΔBCK,证明RtΔCC1K≌RtΔCDN.设CM∩BK=P，∵∠KBC=∠PCK，∴∠PBC+∠BCP=90°，∴∠CPB=90°，∴CM⊥BK，∵BK是B1K在平面ABCD上的射影，∴B1K⊥CM.同理可证：B1K⊥CN，CN∩CM=C，∴B1K⊥平面MNC.在线测试选择题1．下列命题正确的是（）A、两个平面互相垂直，经过一个平面内一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面B、两条直线在两个相交平面内的射影都是平行直线，那么这两条直线互相平行C、一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直，那么这两个二面角相等或互补D、五边形中有两组不相邻的边平行，那么这个五边形是平面图形2．设P是正ΔABC所在平面外一点，PA=PB=PC=.若ΔABC的边长为1，则直线PC和平面ABC所成的角是（）.A、90°B、60°C、45°D、30°3．平面α内的∠MON=60°，PO是平面α的斜线段，PO=3，且PO与∠MON的两边均成45°角，那么点P到平面α的距离为（）.A、B、C、D、4．已知三个平面α、β、γ，一条直线l，要得到α//β，必须满足下列条件中的（）.A、l//α, l//β且l//γB、lγ, 且l//α，l//βC、α//γ且β//γD、l与α、β所成角相等5．已知a,b是两条直线，以下四个条件中：①α⊥γβ⊥γ②α内有不共线的三点到β的距离相等③aα, bα, a//β, b//β④a,b是异面直线且aα, a//β, b//β, b//α能推出α//β的是（）.A、④B、②，③C、②D、①，③答案与解析答案：1、D 2、D 3、A 4、C 5、A解析：1．答案：D．如A中α⊥β，α∩β=l, l'⊥β, l'⊥l, 但l'//α，矛盾.故排除A；B、C很容易否定.故本题应选D.2．答案：D．过P作PO⊥平面ABC，则垂足O为正ΔABC的中心.连结OC，则∠PCO为直线PC和平面ABC所成的角.在RtΔPOC中，OC=，PC=，则cos∠PCO=.从而∠PCO=30°，故选D.3．答案：A．如图，过P作PH⊥平面α，则垂足H在∠MON的平分线上，且PH的长为点P到平面α的距离.作HQ⊥OM，垂足为Q，在RtΔPQO中，PQ=OQ=.在RtΔOQH中，HQ=OQ·tan30°=.在RtΔPHQ中，PH=.选A.4．答案：C．平面与平面平行满足传递性.5．答案：A．当平面α、β是两个相交平面时，①不一定成立.当这三点在平面β两侧时，②不成立.当平面α、β是两个相交平面时，③不一定成立.因此选A.怎样学习立体几何我们学习每一门课，都应有不同的学法，学习《立体几何》时，应注意下面四点。
直线和平面平行、垂直的判定和性质
直线和平面平行、垂直的判定和性质1．在直线和平面的位置关系中，平行关系不仅应用较多，而且是学习平面和平面位置关系的基础，所以直线和平面平行的判定和性质是本单元的重点之一．判定定理说明要证一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行即可．对于直线和平面平行的性质定理、要注意避免“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误，线面平行和线线平行，是指过这条直线的任意一个平面和已知平面的交线与这条直线平行，尽管直线可以和平面内无数条直线平行，但不能说直线和平面内的任何直线平行．反证法是常用的一种证明方法．要会用反证法证明线面平行的判定定理．2．斜线和平面所成的角，定量地反映了斜线和平面的位置关系，它是通过转化为平面内的两条相交直线所成的角来度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角．直线和平面所成的角，应分三种情形:(1)直线和平面斜交时，直线和平面所成的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角就是直角；(3)直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角的度数是0°．综上所述，直线和平面所成角的范围是[0，].3．在应用三垂线定理及其逆定理时，重点在于先寻找平面的垂线，在引辅助线时，也应先作平面的垂线，这是因为垂线是确定斜线在平面内射影的关键．三垂线定理及其逆定理揭示了平面的斜线和它在这个平面上的射影必定同时垂直于平面内的直线的实质．在学习三垂线定理时，要注意处于各种位置的射影关系图形的识别和掌握，进而达到灵活应用的目的.典型题目分析例1．下列命题中①两条异面直线所成角α 的范围是0°＜α＜180°．②两条互相垂直的直线不一定相交．③分别和两条异面直线都垂直的直线叫做这两条异面直线的公垂线．④两条异面直线所成角的大小是惟一的，角的位置可以平移变化．⑤两条异面直线的公垂线有且只有一条．⑥若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行．其中正确命题的个数是().A．1B．2 C 3D．4分析:对照有关概念，找出结论与条件不相符合的命题．解:由异面直线所成角的定义，公垂线定义知①③⑥错误，②④⑤正确，故选C．例2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=3，BC=4，则异面直线A1B1与BC1的距离是________.分析:证A1B1⊥面BC1.解:在面BC1内作B1E⊥BC1于点E.长方体AC1中，A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，所以A1B1⊥面BC1，从而A1B⊥B1E，于是B1E的长就是异面直线A1B1和BC1间的距离.矩形BCC1B1中，BC1=，所以B1E=.即所求距离为.点评:本题将异面直线的距离问题转化为同一三角形内的点线距离问题.例3．E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC的中点，求EF到平面AA1C1C的距离.分析:转化为EF与AC间的距离.解:如图所示，连结BD分别交AC、EF于O、G，则BD⊥AC，BD⊥EF.正方体A1C中，AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD.∴BD⊥AA1，而AA1、AC是平面AA1C1C内两条相交直线.∴BD⊥平面AA1C1C，又BD⊥EF，于是线段OG的长就是EF到平面AA1C1C的距离.在正方形ABCD中，OG=.所以EF到平面AA1C1C的距离是.点评:将线面距离化为线线距离是一种常用转化方法，应注意正确使用这种方法.例4．点P在ΔABC所在平面上射影为O，如果PA⊥BC，PB⊥AC，则O为ΔABC的（）.A、垂心B、重心C、内心D、外心分析:作出PA在平面ABC上的射影，证明BC与之垂直.解:如图，连结OA，OB，则OA是PA在平面ABC上的射影.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理，AC⊥OB，∴O是ΔABC的垂心，故选A.点评:三角形的内心、外心、垂心、重心分别是三角形的三条角平分线、三条边的垂直平分线、三条高、三条中线的交点.课外练习：1．RtΔABC所在平面外一点P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离为12，若点P到AC和BC 的距离相等，求：点P到AC的距离.2．在空间四边形ABCD中，若AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB，且AB=BC=CD=a.则直线AD和BC所成角的正弦值为（）.A、B、C、D、3．在棱长为4的正方体，ABCD-A1B1C1D1中，A1到BD的距离等于_________.4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、K分别是AD、DD1、DC的中点，求证：B1K⊥平面CMN.参考解答：1．如图，过P作PD⊥平面ABC，D为垂足，过D作DE⊥AC，DF⊥BC.分别连结PE和PF，则DE和DF分别是PE和PF在平面ABC内的射影.∵AC⊥DE，∴AC⊥PE，∵DF⊥BC，∴BC⊥DF，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE和PF是P到AC和BC的距离，∴PE=PF，∴DE=DF，∵CEDF是内角均为90°的四边形，∴CEPF是正方形，∴CD=´DE，在RtΔPCD中，PC=24，PD=12，∠PDC=90°，∴CD=，∴DE=，在RtΔPDE中，PD=12，DE=，∠PDE=90°，∴PE=，即P到AC、BC的距离均为.2．D3.4. 如图，分别连结BK和C1K，证明RtΔCDM≌RtΔBCK,证明RtΔCC1K≌RtΔCDN.设CM∩BK=P，∵∠KBC=∠PCK，∴∠PBC+∠BCP=90°，∴∠CPB=90°，∴CM⊥BK，∵BK是B1K在平面ABCD上的射影，∴B1K⊥CM.同理可证：B1K⊥CN，CN∩CM=C，∴B1K⊥平面MNC.在线测试选择题1．下列命题正确的是（）A、两个平面互相垂直，经过一个平面内一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面B、两条直线在两个相交平面内的射影都是平行直线，那么这两条直线互相平行。
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画直线和水平平面垂直, 要把直线画成和表示平 面的平行四边形的横边垂直. 画直线和竖直平面垂直, 要把直线画成和表示平 面的平行四边形的竖直边垂直. l m
a
l⊥ a
b
m ⊥b
问题2: 已知平面 a 和空间任意一点 P, 过点 P 能 作 a 的几条垂线? 为什么? 只有一条. P · 如果有两条, PA⊥a, PB⊥a, 垂足分别为 A, B. A B a 则 PA, PB 确定的平面 与 a 相交于一直线 AB. 于是 PA⊥AB, PB⊥AB, 则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直, 根据平面几何知识, 这显然不对.
2.3.1
直线与平 面垂直的判定
第一课时
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1. 直线和平面垂直是怎样定义的? 2. 用直线和平面垂直的判定定理证明线面 垂直需要哪些条件?
1. 直线与平面垂直的定义
问题 1. 在你的感觉中, 直线和平面垂直是怎样一 种情况? 你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子 吗? 你认为怎样定义直线与平面垂直恰当? 直线与平面垂直的定义: 如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面 a 互相垂直, 记作 l⊥a, 直线 l 叫做平面 a 的垂线, 平面 a 叫做直线 l 的垂面. 线面垂直是线面相交的一种特殊情况, 线面垂直, 有且只有一个公共点, 即交点, 这个交点叫做线面垂直 的垂足.
习题 2.3
B组 第 2、4 题
习题 2.3 B组 2. 如图, 棱锥 V-ABC中, VO⊥平面 ABC, OCD, VA=VB, AD=BD, 你们能判定 CD⊥AB 以及 AC=BC 吗? V 答: 能判定. C 由 VA=VB, AD=BD 得, A O VD⊥AB. D 又由VO⊥平面 ABC 得, B VO⊥AB. 于是得AB⊥平面VOD, AB⊥OD. ∵ OCD, ∴ AB⊥CD, 而 AD=BD, 从而得 AC=BC.
练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是 平面 a 的斜线段, 直线 la. 求证: P (1) 若 l⊥PA, 则 l⊥QA; (2) 若 l⊥QA, 则 l⊥PA. 证明: (1)
a Q
A l
∵PQ⊥a, la.
∴PQ⊥l. 若 l⊥PA,
l⊥平面PQA.
QA平面PQA,
结论: 过空间任意一点, 有且只有一条直线和 已知平面垂直.
2. 直线与平面垂直的判定
用定义判断线面垂直不太方便, 怎样有较方便的 方法判断线面垂直呢, 我们先看下面的问题. 问题 3. (1) 请同学们用一块三角板的一条直角边 放在桌面内, 另外一条直角边不在桌面内, 请问这另 一条直角边与桌面垂直吗? (2) 用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开, 并将所折的边放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面? 有 不垂直的可能吗? D 当A、B、C 不共线时, 折痕DC垂直桌面; A C 当A、B、C 共线时, 折痕DC不一定垂直桌面. B
A O
a
B
C
2. 过△ABC所在平面 a 外一点 P, 作 PO⊥a, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, ∠C=90, 则 O 是 AB 边 的 中点 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是△ABC 的 外 心. (3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则 O 是 △ABC的 垂 心. P 解: (3) 由 PA⊥PB, PA⊥PC, 得 PA⊥平面PBC, PA⊥BC. A C O a 又由 PO⊥a 得 PO⊥BC, B 于是得 BC⊥平面POA, BC⊥AO. 同理可得 AB⊥CO, ∴O 为△ABC的垂心.
2. 过△ABC所在平面 a 外一点 P, 作 PO⊥a, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, ∠C=90, 则 O 是 AB 边 的 中点 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是△ABC 的 外 心. (3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则 O 是 △ABC的 心. P 解: (2) 由(1)得 OA=OB=OC, 到三角形三顶点的距离相等 的点是三角形的外心.
练习: (课本69页)
如图, 正方形 SG1G2G3中, E, F 分别是 G1G2, G2G3 的中点, D 是 EF的中点, 现在沿 SE, SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体, 使 G1, G2, G3 三点重合, 重合后的点记为 G, 则在四面体 S-EFG 中必有( A ) S (A) SG⊥△EFG所在平面 G3 (B) SD⊥△EFG所在平面 F (C) GF⊥△SEF所在平面 D (D) GD⊥△SEF所在平面
V
A
D· B
C
而 VB平面VDB,
∴AC⊥VB.
2. 过△ABC所在平面 a 外一点 P, 作 PO⊥a, 垂足为 O, 连接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, ∠C=90, 则 O 是 AB 边 的 中点 . (2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是△ABC 的 心. (3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则 O 是 △ABC的 心. P 解: (1) 如图, PO⊥a, 则∠POA=∠POB=∠POC=90, A C O a 又 PA=PB=PC, B ∴△POA≌△POB≌△POC, 得 OA=OB=OC, 又∠C=90, 直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.
例 1. 如图, 已知 a∥b, a⊥a. 求证: b⊥a. 证明: 在 a 内任作两相交直线 m、n,
∵ a⊥ a , ma, n a ,
a ⇒ a⊥m, a⊥n, ∵ b∥ a, ⇒ b⊥m, b⊥n, 又 m 与 n 相交,
b
m
பைடு நூலகம்
a
⇒ b⊥ a .
n
结论: 两平行线中的一条垂直于一个平面, 那 么另一条也垂直于这个平面.
直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. 由线线垂直得线面垂直. 符 号 表 示 : l⊥ a , l⊥ b , a a , b a , a∩b, b a l
a
⇒ l⊥ a .
问题 4. 一旗杆高 8 m, 在它的顶端系两条长10m 的绳子, 拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两 点 ( 与旗杆脚不在同一直线上). 如果这两点与旗杆脚 相距 6m, 那么旗杆就与地面垂直, 为什么? 如图, AB=8, A AC=AD=10, BC=BD=6, △ABC和△ABD的三边 满足勾股定理, ∴ AB⊥BC, AB⊥BD, B 而 BC、BD在地面内, C D C、B、D不在同一直线上, 即 BC, BD相交, 由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.
C
BD⊥AC. (定义)
练习: (课本67页) 第 1、 2 题 . 练习: (课本69页)
练习: (课本67页) 1. 如图, 在三棱锥 V-ABC中, VA=VC, AB=BC, 求证: VB⊥AC. 证明: 取 AC 边的中点 D, 连接 VD, BD. ∵ VA=VC, VD⊥AC, VB=BC, BD⊥AC, AC⊥平面VDB,
PA平面PQA,
l⊥PA.
练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是 平面 a 的斜线段, 直线 la. 求证: P (1) 若 l⊥PA, 则 l⊥QA; (2) 若 l⊥QA, 则 l⊥PA. Q 为垂线段 PQ 的垂足. A 为斜线段 PA 的斜足. QA 为斜线 PA 在平面 a 上的射影.
l⊥QA.
练习(补充). 已知 PQ 是平面 a 的垂线段, PA 是 平面 a 的斜线段, 直线 la. 求证: P (1) 若 l⊥PA, 则 l⊥QA; (2) 若 l⊥QA, 则 l⊥PA. 证明: (2)
a Q
A l
∵PQ⊥a, la.
∴PQ⊥l. 若 l⊥QA,
l⊥平面PQA.
4. 如图, AB 是 ⊙O 的直径, 点 C 是 ⊙O 上的 动点, 过动点 C 的直线 VC 垂直于 ⊙O 所在平面, D, E 分别是 VA, VC 的中点. 试判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系, 并说明理由. V 解: DE⊥平面VBC. 由直径所对的圆周角是直角得 D E AC⊥BC. O A 又由 VC 垂直于 ⊙O 所在平面得 B · C AC⊥VC. ∴ AC⊥平面VBC. 而 D, E 分别是 VA, VC 的中点得 DE//AC, ∴ DE⊥平面VBC.
如图, 直四棱柱 ABCD-ABCD ( 侧棱与底面垂 直的棱柱称为直棱柱 ) 中, 已知 AB=BC, AD=DC, 求证: BD⊥AC. D A 证明: 连结AC, B ∵AB=BC , C BD⊥AC, A D AD=DC , AA⊥平面ABCD AA⊥BD, (定义 B) AA∩AC=A, BD⊥平面AACC, (判定) AC 平面AACC,
本章内容
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 第二章 小结
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定(第一课时) 2.3.1 直线与平面垂直的判定(第二课时) 2.3.2 平面与平面垂直的判定(第一课时) 2.3.2 平面与平面垂直的判定(第二课时) 2.3.3 直线与平面 垂直的性质 2.3.4 平面与平面 复习与提高
l⊥ a .
【课时小结】
3. 相关结论 ◆过空间任意一点, 有且只有一条直线 和已知平面垂直.
◆两平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面. ◆如果平面内的一条直线垂直平面的斜 线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影;
◆如果平面内的一条直线垂直平面的一 条斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜 线.