弹塑性力学作业(含答案)

第二章 应力理论和应变理论

2—3．试求图示单元体斜截面上的σ

30°和τ30°（应力单位为

MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为

公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。 解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2

（以上应力符号均按材力的规定）

代入材力有关公式得：

3030cos 2sin 22

2

1041041

cos 602sin 607322226.768 6.77()

104

sin 2cos 2sin 602cos 60

221

32 3.598 3.60()

2

x y

x y

xy x y

xy MPa MPa σσσσσατα

σστατα+-=

+

----+=

++=--⨯+=----+=⋅+=⋅-=--⨯=--

代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τ

xy = +2

3030(

)cos 2sin 22

2

1041041cos 602sin 607322226.768 6.77()

104

sin 2cos 2sin 602cos 602

2

1

32 3.598 3.60()2

x y

x y

xy x y

xy MPa MPa σσσσσατα

σστατα+-=

++---+=

++=--⨯+=----+=-

⋅+=-

⋅+=+⨯=

由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。

2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。

解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：

c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z

N A z

z A A

γσγ⋅⋅=

==⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：

题图

1-3

z

z z

E

E

σγε=

=

；

则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：

()2

2z

z

z

z

z z z z y z

z l d l d d zd E

E

E

γγ

γε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰

=

⎰=

；

显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：

()2

222l

l A l l

W l

l d l E

EA

EA

γγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=

=

=

　；（W=γAl ）

2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥

⎢⎥--⎣⎦

应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i

｝（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τ

n 。

解：首先求出该斜截面上全应力n P 在x 、y 、z 三个方向的三个分量：n ＇=n x =n y =n z

P x =

()x xy xz σττ++n ＇=(

)2

538100++-⨯=⎡⎤⎣⎦ P y =

()yx

y yz τστ++n ＇=(

)2

303100++-⨯=⎡⎤⎣⎦

P z =

()zx yz z τ

τσ++n ＇=()(

)28311100-+-+⨯=⎡⎤⎣⎦

题—图

16

所以知，该斜截面上的全应力n P 及正应力σn 、剪应力τn 均为零，也即：

P n =σn = τn = 0

2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τ

xy =-dx-ay ；

试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：

OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0

代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay

并注意此时：x =0

得：b=-γ1；a =0；

OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0

则：cos sin 0cos sin 0x xy yx

y σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）

将己知条件：σx= -γ1y

；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式

得：

()

()()

1cos sin 0cos sin 0

y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩

化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β

2—17.己知一点处的应力张量为3

1260610010000Pa ⎡⎤

⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦

试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×10

3

，且该点的主应

力可由下式求得：

(()()3

1.23

333

121010

2217.08310

111011 6.082810 4.9172410

x y

Pa σσσ⎡++⎢=±=±⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯

则显然：3312317.08310 4.917100Pa

Pa σσσ=⨯=⨯=

σ

1 与

x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）

()22612

sin 226

12102

cos 2xy

x y

tg τθθσσθ--⨯-++

=

=

==+=--+

显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°