(江苏专用)2020高考数学二轮复习综合仿真练(四) 理

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2020高考数学二轮仿真模拟专练(四)理试题(带答案解析)

2020高考数学二轮仿真模拟专练（四）理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·广东深圳高级中学期末]已知集合A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}，B ＝{－2，－1，4，8，9}，设C ＝A ∩B ，则集合C 的元素个数为()A．9B．8C．3D．22．[2019·福建晋江四校联考]复数z ＝a ＋i(a ∈R )的共轭复数为z ，满足|z |＝1，则复数z ＝()A．2＋i B．2－i C．1＋i D．i3．[2019·重庆一中月考]设a ，b ，c 是平面向量，则a ·b ＝b ·c 是a ＝c 的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．[2019·黑龙江牡丹江一中月考]关于函数f (x )＝sinx 函数g (x )＝x )A．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点C．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称D．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0，0)对称5．[2019·湖北武汉武昌调研考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝()A．40B．44C．45D．496．[2019·黑龙江哈尔滨四校联考]已知函数f (x )＝cos πx3，执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为()A．670B．67012C．671D．6727．[2019·湖南衡阳八中模拟]如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则该截面的面积为()A．22B．23C．26D．48．[2019·河北张家口期中]已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y的最小值是()A．1B．2C．23D．49．[2019·河北唐山摸底]已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的所有零点之和等于()A．5πB．6πC．7πD．8π10．[2019·江西七校联考]图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥，在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域(由四条半径与大圆半径相等的四分之一圆弧围成)内的概率是()A.12B.13C.4π－1D．2－4π11．[2019·四川内江一模]设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意的x ∈R ，有f (－x )－f (x )＝0，且x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )>2x ，若f (a －2)－f (a )≥4－4a ，则实数a 的取值范围为()A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，2]D．[2，＋∞)12．[2019·河北衡水中学五调]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆x 2－px ＋y 2－34p 2＝0交于C ，D 两点．若|AB |＝2|CD |，则直线l 的斜率为()A．±22B．±32C．±1D．±2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)13．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖结果揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲团队获得一等奖．”小王说：“甲或乙团队获得一等奖．”小李说：“丁团队获得一等奖．”小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖．”若这四位同学中只有两位的预测结果是对的，则获得一等奖的团队是________．14．[2019·江苏无锡模考]以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．15．[2019·云南第一次统一检测]已知函数f (x x －2－5，x <3，2(x ＋1)，x ≥3，若f (m )＝－6，则f (m －61)＝________.16．[2019·安徽定远中学月考]已知等差数列{a n }满足a 3＝6，a 4＝7，b n ＝(a n －3)·3n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(12分)[2019·华大新高考联盟教学质量测评]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，b ＝4，ac cos B ＝233S .(1)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状；(2)求a ＋c 的取值范围．18．(12分)[2019·湖北武汉武昌区调研]如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝BC 1＝2，∠A 1CA ＝30°，BC ＝ 6.(1)求证：平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ；(2)求二面角B 1－AC 1－C 的余弦值．19．(12分)[2019·湖南省长沙市检测卷]某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如下表：月份123456广告投入量x 24681012收益y 14.2120.3131.831.1837.8344.67他们分别用两种模型①y ＝bx ＋a ，②y ＝a e bx进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(每个样本点的残差等于其实际值减去该模型的估计值)xy错误!i y i 错误!2i7301464.24364(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：①剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；②当广告投入量x ＝18时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝错误!＝错误!，a ^＝y －－b ^x －.20．(12分)[2019·广东广州调研]已知动圆C 过定点F (1，0)，且与定直线x ＝－1相切．(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过点M (－2，0)的任一直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)[2019·陕西西安中学期中]已知函数f (x )＝12x 2＋(1－x )e x，g (x )＝x －ln x－xa <1.(1)求函数g (x )的单调区间；(2)若对任意x 1∈[－1，0]，总存在x 2∈[e，3]，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)22．(10分)[2019·山东济南质量评估][选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，直线l ＝32t ，＝a ＋12t(t 为参数)，其中a >0，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P (0，a )满足1|PM |＋1|PN |＝4，求a 的值．23．(10分)[2019·河南省郑州市检测卷][选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|3x －2a |＋|2x －2|(a ∈R )．(1)当a ＝12时，解不等式f (x )>6；(2)若对任意x 0∈R ，不等式f (x 0)＋3x 0>4＋|2x 0－2|都成立，求a 的取值范围．2020高考数学二轮仿真模拟专练（四）理（答案）一选择题1：答案：D解析：A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1，0，1，2，3，4}，B ＝{－2，－1，4，8，9}，则C ＝A ∩B ＝{－1，4}，集合C 的元素个数为2，故选D.2：答案：D解析：根据题意可得z ＝a －i，所以|z |＝a 2＋1＝1，解得a ＝0，所以复数z ＝i.故选D.3：答案：B解析：由a ·b ＝b ·c 得(a －c )·b ＝0，∴a ＝c 或b ＝0或(a －c )⊥b ，∴a ·b ＝b ·c 是a ＝c 的必要不充分条件．故选B.4：答案：D解析：∵g (－x x x x ＋π4＋x ∴g (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0，0)对称，故选D.5：答案：B 解析：解法一因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n－1，又a 1＝S 1＝0，所以a n n ＝1，n －1，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.解法二因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n －1，又a 1＝S 1＝0，所以a n n ＝1，n －1，n ≥2，所以{a n }从第二项起是等差数列，a 2＝3，公差d＝2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋4a 6＝4×(2×6－1)＝44.故选B.6：答案：C解析：执行程序框图，y ＝f (1)＝cos π3＝12，S ＝0＋12＝12，n ＝1＋1＝2；y ＝f (2)＝cos2π3＝－12，S ＝12，n ＝2＋1＝3；y ＝f (3)＝cos π＝－1，S ＝12，n ＝3＋1＝4；y ＝f (4)＝cos4π3＝－12，S ＝12，n ＝4＋1＝5；y ＝f (5)＝cos 5π3＝12，S ＝12＋12＝1，n ＝6；y ＝f (6)＝cos2π＝1，S ＝1＋1＝2，n ＝7……直到n ＝2016时，退出循环．∵函数y ＝cos n π3是以6为周期的周期函数，2015＝6×335＋5，f (2016)＝cos 336π＝cos(2π×138)＝1，∴输出的S ＝336×2－1＝671.故选C.7：答案：C解析：易知截面是菱形，如图，分别取棱D 1C 1，AB 的中点E ，F ，连接A 1E ，A 1F ，CF ，CE ，则菱形A 1ECF 为符合题意的截面．连接EF ，A 1C ，易知EF ＝22，A 1C ＝23，EF ⊥A 1C ，所以截面的面积S ＝12EF ·A 1C ＝2 6.故选C.8：答案：D 解析：通解∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg 2x ＋3y＝lg 2，∴x ＋3y ＝1.又x >0，y >0，∴1x＋13y ＝x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝12，y ＝16时等号成立，所以1x ＋13y的最小值是4.故选D.优解∵lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，∴lg 2x ＋3y＝lg 2，∴x ＋3y ＝1.又x >0，y >0，∴1x ＋13y＝x ＋3y3xy ＝13xy ≥1＝4，当且仅当x ＝12，y ＝16时等号成立，所以1x ＋13y的最小值是4，故选D.9：答案：C解析：f (x )＝sin x －sin(2x ＋x )＝sin x －sin 2x cos x －cos 2x sin x ＝sin x －2sin x (1－sin 2x )－(1－2sin 2x )sin x ＝sin x －(3sin x －4sin 3x )＝2sin x (2sin 2x －1)，令f (x )＝0得sin x ＝0或sin x ＝±22.于是，f (x )在[0，2π]上的所有零点为x ＝0，π4，3π4，π，5π4，7π4，2π.故f (x )的所有零点之和为0＋π4＋3π4＋π＋5π4＋7π4＋2π＝7π，故选C.10：答案：C解析：设圆的半径为1，则该点取自阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 圆＝2×2－ππ＝4π－1，故选C.11：答案：A解析：对任意的x ∈R ，有f (－x )－f (x )＝0，所以f (x )为偶函数．设g (x )＝f (x )－x 2，所以g ′(x )＝f ′(x )－2x ，因为x ∈[0，＋∞)时f ′(x )>2x ，所以x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－2x >0，所以g (x )在[0，＋∞)上为增函数．因为f (a －2)－f (a )≥4－4a ，所以f (a －2)－(a －2)2≥f (a )－a 2，所以g (a －2)≥g (a )，易知g (x )为偶函数，所以|a －2|≥|a |，解得a ≤1，故选A.12：答案：C解析：由题设可得圆的方程为＋y 2＝p 2C 的焦点，所以|CD |＝2p ，所以|AB |＝4p .设直线l ：x ＝ty ＋p 2，代入y 2＝2px (p >0)，得y 2－2pty－p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，则|AB |＝(1＋t 2)(4p 2t 2＋4p 2)＝2p (1＋t 2)＝4p ，所以1＋t 2＝2，解得t ＝±1，故选C.二、填空题13：答案：丁解析：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵的预测结果是对的，小李的预测结果是错的，与题设矛盾；②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王的预测结果是对的，小张、小李、小赵的预测结果是错的，与题设矛盾；③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人的预测结果都是错的，与题设矛盾；④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵的预测结果是对的，小张、小王的预测结果是错的，与题设相符．故获得一等奖的团队是丁．14：答案：y 2＝12x解析：双曲线中，c ＝5＋4＝3，所以右焦点坐标为(3，0)，故抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以p 2＝3，p ＝6，抛物线的标准方程为y 2＝12x .15：答案：－4解析：∵函数f (xx －2－5，x <3，2(x ＋1)，x ≥3，f (m )＝－6，∴当m <3时，f (m )＝3m －2－5＝－6，无解；当m ≥3时，f (m )＝－log 2(m ＋1)＝－6，解得m ＝63，∴f (m －61)＝f (2)＝32－2－5＝－4.16：答案：(2n －1)×3n ＋1＋34解析：因为a 3＝6，a 4＝7，所以d ＝1，所以a 1＝4，a n ＝n ＋3，b n ＝(a n －3)·3n ＝n ·3n，所以T n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n①，3T n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3－3n ＋11－3－n ×3n ＋1，所以T n ＝(2n －1)×3n ＋1＋34.三、解答题17：解析：(1)由已知得ac cos B ＝33ac sin B ，得tan B ＝3，因为0<B <π，所以B ＝π3.因为a ，b ，c 成等差数列，b ＝4，所以a ＋c ＝2b ＝8，由余弦定理，得16＝a 2＋c 2－2ac cos π3，所以16＝(a ＋c )2－3ac ，得ac ＝16，所以a ＝c ＝b ＝4，所以△ABC 是等边三角形．(2)解法一由(1)得(a ＋c )2－3ac ＝16≥(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时取等号)，解得0<a ＋c ≤8.又a ＋c >b ＝4，所以4<a ＋c ≤8，所以a ＋c 的取值范围是(4，8]．解法二根据正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝bsin B ＝432＝833，所以a ＝833sin A ，c ＝833sin C ，所以a ＋c ＝833(sin A ＋sin C )．因为A ＋B ＋C ＝π，B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以a ＋c ＝833sin AA ＋32cos因为0<A <2π3，所以A ＋π6∈，1则a ＋c ∈(4，8]．所以a ＋c 的取值范围是(4，8]．18：解析：(1)证明：如图，记A 1C ∩AC1＝O ，连接BO .因为AB ＝BC 1，所以BO ⊥AC 1.由题意知△ACC 1为正三角形，则CO ＝ 3.易得在△ABC 1中，BO ＝3，又BC ＝6，所以BC 2＝CO 2＋BO 2，所以BO ⊥CO .因为CO ∩AC 1＝O ，所以BO ⊥平面AA 1C 1C .因为BO ⊂平面ABC 1，所以平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C .(2)解法一建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ，得O (0，0，0)，B (0，0，3)，A (0，1，0)，C 1(0，－1，0)，B 1(3，－1，3)，AC 1→＝(0，－2，0)，AB1→＝(3，－2，3)．因为BO ⊥平面AA 1C 1C ，所以平面ACC1的一个法向量为m ＝(0，0，3)．设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1C 1的法向量，则·AC 1→＝0，·AB 1→＝0，y ＝0，－2y ＋3z ＝0，得y ＝0，取x ＝1，得z ＝－1，所以n ＝(1，0，－1)为平面AB 1C 1的一个法向量，所以|cos〈m ，n 〉|＝22.因为所求二面角的平面角为钝角，所以二面角B 1－AC 1－C 的余弦值为－22.解法二如图，过点B 1作B 1H ⊥平面AA 1C 1C ，垂足为H ，连接OH ，C 1H ，则四边形B 1HOB 为矩形，HO 綊B 1B ，则HO 綊C 1C ，所以四边形HOCC 1为平行四边形，所以HC 1∥OC ，所以HC 1⊥AC 1，AC 1⊥平面B 1HC 1，B 1C 1⊂平面B 1HC 1，所以B 1C 1⊥AC 1.所以∠B 1C 1H 为所求二面角的平面角的补角．因为B 1H ＝BO ＝3，C 1H ＝OC ＝3，所以∠B 1C 1H ＝45°，cos∠B 1C 1H ＝22.所以二面角B 1－AC 1－C 的余弦值为－22.19：解析：(1)应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度高，回归方程的预报精度高．(2)①剔除异常数据，即月份为3的数据后，得x －＝15×(7×6－6)＝7.2；y －＝15×(30×6－31.8)＝29.64.错误!i y i ＝1464.24－6×31.8＝1273.44；错误!2i ＝364－62＝328.b ^＝错误!＝1273.44－5×7.2×29.64328－5×7.2×7.2＝206.468.8＝3；a ^＝y －－b ^x －＝29.64－3×7.2＝8.04，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝3x ＋8.04.②把x ＝18代入回归方程得y ^＝3×18＋8.04＝62.04.故预报值约为62.04万元．20：解析：(1)方法一依题意知，动圆圆心C 到定点F (1，0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等．结合抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹E 是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，易知p ＝2.所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .方法二设动圆圆心C (x ，y )，依题意得(x －1)2＋y 2＝|x ＋1|，化简得y 2＝4x ，此即动圆圆心C 的轨迹E 的方程．(2)假设存在点N (x 0，0)满足题设条件．由∠QNM ＋∠PNM ＝π可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即k PN ＋k QN ＝0.(*)依题意易知直线PQ 的斜率必存在且不为0，设直线PQ ：x ＝my －2(m ≠0)，y 2＝4x ，x ＝my －2，得y 2－4my ＋8＝0.由Δ＝(－4m )2－4×8>0，求得m >2或m <－ 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.由(*)得k PN ＋k QN ＝y 1x 1－x 0＋y 2x 2－x 0＝y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝0，所以y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0)＝0，即y 1x 2＋y 2x 1－x 0(y 1＋y 2)＝0.消去x 1，x 2，得14y 1y 22＋14y 2y 21－x 0(y 1＋y 2)＝0，即14y 1y 2(y 1＋y 2)－x 0(y 1＋y 2)＝0.因为y 1＋y 2≠0，所以x 0＝14y 1y 2＝2，于是存在点N (2，0)，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π.21：解析：(1)因为g ′(x )＝1－1x＝x 2－(a ＋1)x ＋a x 2＝(x －a )(x －1)x2a <1，又注意到函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以讨论如下．当0<a <1时，令g ′(x )>0，解得0<x <a 或x >1，令g ′(x )<0，解得a <x <1，所以函数g (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a ，1)；当a ≤0时，令g ′(x )>0，解得x >1，令g ′(x )<0，解得0<x <1，所以函数g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．综上，当0<a <1时，函数g (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a ，1)；当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)对任意x 1∈[－1，0]，总存在x 2∈[e，3]，使得f (x 1)>g (x 2)成立，等价于函数f (x )在[－1，0]上的最小值大于函数g (x )在[e，3]上的最小值．当x ∈[－1，0]时，因为f ′(x )＝x (1－e x)≤0，当且仅当x ＝0时不等式取等号，所以f (x )在[－1，0]上单调递减，所以f (x )在[－1，0]上的最小值为f (0)＝1.由(1)可知，函数g (x )在[e，3]上单调递增，所以g (x )在[e，3]上的最小值为g (e)＝e－(a ＋1)－ae.所以1>e－(a ＋1)－a e ，即a >e 2－2ee＋1.又a <1，故所求实数a22：解析：(1)由已知可知ρ2cos 2θ＝ρsin θ，＝ρcos θ，＝ρsin θ得曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将直线l ＝32t ，＝a ＋12t(t 为参数)代入y ＝x 2，得34t 2－12t －a ＝0，且Δ＝14＋3a >0.设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－43a ，所以t 1、t 2异号．所以1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝－43a 化简得64a 2－12a －1＝0，解得a ＝14或a ＝－116(舍)．11所以a 的值为14.23：解析：(1)当a ＝12时，不等式f (x )>6可化为|3x －1|＋|2x －2|>6，当x <13时，不等式即为1－3x ＋2－2x >6，∴x <－35；当13≤x ≤1时，不等式即为3x －1＋2－2x >6，无解；当x >1时，不等式即为3x －1＋2x －2>6，∴x >95.|x <－35或x >95(2)不等式f (x 0)＋3x 0>4＋|2x 0－2|恒成立可化为|3x 0－2a |＋3x 0>4恒成立，令g (x )＝|3x －2a |＋3xx －2a ，x ≥2a3，a ，x <2a3，∴函数g (x )的最小值为2a ，根据题意可得2a >4，即a >2，所以a 的取值范围为(2，＋∞)．。

2020高三二轮数学模拟卷理(4)答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(四)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，则M∩N＝( )A．{1} B．{1，2}C．{2} D．[1，2]2．若复数z满足(z－1)i＝4＋2i，则|z|＝( )A．25 B.17C．5 D．173．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生人数如下表所示：考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为( )A．15，20，10，5 B．15，20，5，10C．20，15，10，5 D．20，15，5，104．等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a2＜0且a5＜0”是“数列{S n}单调递减”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.34 C.32D.326．设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．若非零向量a 、b 满足|a |＝2|b |＝4，(a －2b )·a ＝0，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．4 B ．8 C.14D.188．执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝7，则输入的整数K 的最大值是( )A ．18B ．50C ．78D ．3069．已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为( )A. 3 B ．2 C.5D ．410．P 为圆C 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，Q 为圆C 2：x 2＋y 2＝25上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.1325B.35C.1225πD.35π 11．已知F 是双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM |＝2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A.1＋172B.1＋174C.2＋52D.2＋5412．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12(a <0)，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，则f （n ）－4a n ＋1(n ∈N *)的最小值为( )A.374B.358C.283D.274题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，若f (m )＝2，则f (－m )＝________.14．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －5≥0，x ＋y －7≤0，x －2≥0若z ＝x ＋ay 的最小值为4，则实数a的值为________．15．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1，则数列b n ＝a 2n －7a n ＋6的最小值为________．16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．19．(本小题满分12分)如图1，正方形ABCD 的边长为4，AB ＝AE ＝BF ＝12EF ，AB∥EF ，把四边形ABCD 沿AB 折起，使得AD ⊥底面AEFB ，G 是EF 的中点，如图2.(1)求证：AG⊥平面BCE；(2)求二面角C AE F的余弦值．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝e x，h(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a＝1，b＝c＝0，求函数F(x)＝f(x)h(x)的单调区间；(2)若a＝c＝0，b>0，且G(x)＝g(x)－h(x)≥m(m∈R)对任意的x∈R都成立，求mb的最大值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F 的距离为52.(1)若N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，过点N ，P 的直线l 1与抛物线相交于另一点Q ，求|QF ||PF |的值；(2)若直线l 2与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆M ：(x －a )2＋y 2＝1相交于D ，E 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，试问：是否存在实数a ，使得|DE |为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q ()5，－3，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1，3]，求a 的取值范围．高考仿真模拟卷(四)答案1．解析：选B.因为M ＝{x |1≤x ＜3}，N ＝{1，2}，所以M ∩N ＝{1，2}．故选B. 2．解析：选C.由(z －1)i ＝4＋2i ，得z －1＝4＋2ii ＝2－4i ，所以z ＝3－4i ，所以|z |＝5.3．解析：选D.由题意知，四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生总人数为100，抽取的学生人数与学生总人数的比值为50100＝12.所以应从A ，B ，C ，D 四所中学抽取的学生人数分别为20，15，5，10.4．解析：选C.因为a 5＝a 2q 3＜0，a 2＜0，所以q ＞0，所以a n ＜0恒成立，所以S n －S n －1＝a n ＜0，{S n }单调递减，故为充分条件；S n －S n －1＝a n ＜0⇒a 2＜0，a 5＜0，故为必要条件．故选C.5．解析：选B.依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34.6．解析：选A.因为a ＝log 123<log 122＝－1，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2<1，c ＝2>1，所以a <b <c .7．解析：选A.由(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，得a ·b ＝a 22＝|a |22＝8，从而a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝82＝4，故选A.8．解析：选C.第一次循环S ＝2，n ＝2，第二次循环S ＝6，n ＝3，第三次循环S ＝2，n ＝4，第四次循环S ＝18，n ＝5，第五次循环S ＝14，n ＝6，第六次循环S ＝78，n ＝7，需满足S ≥K ，此时输出n ＝7，所以18<K ≤78，所以整数K 的最大值为78.9．解析：选B.设长方体三条棱的长分别为a ，b ，c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6bc ＝8ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2c ＝4.再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2. 故选B.10．解析：选B.设Q (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则P (2x －x 0，2y －y 0)代入x 2＋y 2＝9，得(2x －x 0)2＋(2y －y 0)2＝9，化简得：⎝⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝94，又x 20＋y 20＝25表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 的轨迹是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x 2＋y 2＝r 2(1≤r ≤4)，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为16π－π25π＝1525＝35.故选B.11．解析：选A.由题意得，F (c ，0)，该双曲线的一条渐近线为y ＝－bax ，将x ＝c 代入y ＝－b a x 得y ＝－bca，所以bc a＝2a ，即bc ＝2a 2，所以4a 4＝b 2c 2＝c 2(c 2－a 2)，所以e 4－e 2－4＝0，解得e 2＝1＋172，故选A.12．解析：选A.二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12图象的对称轴为直线x ＝－a ＋82，由f (a 2－4)＝f (2a －8)及二次函数的图象，可以得出a 2－4＋2a －82＝－a ＋82，解得a ＝－4或a ＝1，又a <0，所以a ＝－4，所以f (x )＝x 2＋4x ，所以f （n ）－4a n ＋1＝n 2＋4n ＋16n ＋1＝（n ＋1）2＋2（n ＋1）＋13n ＋1＝n ＋1＋13n ＋1＋2≥2（n ＋1）·13n ＋1＋2＝213＋2，又n ∈N *，所以当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时等号成立，当n ＝2时，f （n ）－4a n ＋1＝283，n ＝3时，f （n ）－4a n ＋1＝294＋2＝374<283，所以最小值为374，故选A. 13．解析：因为函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，所以f (－x )＝－tan x －sin x ＋2 017，从而f (－x )＋f (x )＝4 034，又f (m )＝2，所以f (－m )＝4 032.答案：4 03214．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，假设z ＝x ＋ay 在点C (2，1)处取得最小值，则2＋a ＝4，a ＝2，此时y ＝－12x ＋12z ，其在点C (2，1)处取得最小值，符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点B (2，5)处取得最小值，则2＋5a ＝4，a ＝25，此时y ＝－52x ＋52z ，其在点C 处取得最小值，不符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点A (8，－1)处取得最小值，则8－a ＝4，a ＝4，此时y ＝－14x ＋14z ，其在点A 处取得最小值，符合题意．所以a 的值为2或4.答案：2或415．解析：由S n ＝2n －1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1＋1＝2n －1，a 1＝1适合上式，所以a n ＝2n－1.则b n ＝a 2n－7an ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －722－254. 所以当n ＝3时(b n )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722－254＝－6.故答案为－6. 答案：－616．解析：该球形容器最小时，十字立方体与球内接，此时球直径2R 等于由两个正四棱柱组合而成的几何体的对角线，即2R ＝42＋42＋22＝6，球形容器的表面积为4πR 2＝36π. 答案：36π 17．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)由题意可知，不等式f (x )≥m 有解，即m ≤f (x )max .因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值，且最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2.从而可得m ≤2 .18．解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30. P (ξ＝0)＝15×14×13＝160，P (ξ＝10)＝45×14×13＋15×34×13＋15×14×23＝960＝320，P (ξ＝20)＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝2660＝1330，P (ξ＝30)＝45×34×23＝25.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×160＋10×320＋20×1330＋30×25＝1336.(2)记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A ，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B ，则A ，B 互斥．又P (A )＝⎝⎛⎭⎫343×160＝91 280， P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫342×14×320＝811 280，故甲、乙两队总得分之和为30分且甲队获胜的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝901 280＝9128. 19．解：(1)证明：连接BG ，因为BC ∥AD ，AD ⊥底面AEFB ，所以BC ⊥底面AEFB ，又AG ⊂底面AEFB ，所以BC ⊥AG ，因为AB ＝12EF ，且AB ∥EF ，所以AB 綊EG ，因为AB＝AE ，所以四边形ABGE 为菱形，所以AG ⊥BE ，又BC ∩BE ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以AG ⊥平面BCE .(2)由(1)知四边形ABGE 为菱形，AG ⊥BE ，AE ＝EG ＝BG ＝AB ＝4，设AG ∩BE ＝O ，所以OE ＝OB ＝23，OA ＝OG ＝2，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (－2，0，0)，E (0，－23，0)，F (4，23，0)，C (0，23，4)，D (－2，0，4)，所以AC →＝(2，23，4)，AE →＝(2，－23，0)，设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0，所以⎩⎨⎧2x ＋23y ＋4z ＝0，2x －23y ＝0，令y ＝1，则x ＝3，z ＝－3，即平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，1，－3)，易知平面AEF 的一个法向量为AD →＝(0，0，4)，设二面角C -AE -F 的大小为θ，由图易知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝437×4＝217.20．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )h (x )＝x 2ln x ，F ′(x )＝2x ln x ＋x (x >0)．令F ′(x )>0，得x >1e，故F (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；令F ′(x )<0，得0<x <1e，故F (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e .(2)由题意知，G (x )＝e x －bx ，故G ′(x )＝e x －b ，又b >0，令G ′(x )＝e x －b ＝0，得x ＝ln b ，故当x ∈(－∞，ln b )时，G ′(x )<0，此时G (x )单调递减；当x ∈(ln b ，＋∞)时，G ′(x )>0，此时G (x )单调递增．故G (x )min ＝b －b ln b ，所以m ≤b －b ln b ，则mb ≤b 2－b 2ln b . 设r (b )＝b 2－b 2ln b (b >0)，则r ′(b )＝2b －(2b ln b ＋b )＝b －2b ln b ，由于b >0，令r ′(b )＝0，得ln b ＝12，b ＝e ，当b ∈(0，e)时，r ′(b )>0，r (b )单调递增；当b ∈(e ，＋∞)时，r ′(b )<0，r (b )单调递减，所以r (b )max ＝e 2，即当b ＝e ，m ＝12e 时，mb 取得最大值e2.21．解：(1)因为点P (2，t )到焦点F 的距离为52，所以2＋p 2＝52，解得p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ，P (2，2)，所以l 1的方程为y ＝45x ＋25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝45x ＋25，y 2＝2x ，可解得x Q ＝18，又|QF |＝x Q ＋12＝58，|PF |＝52，所以|QF ||PF |＝5852＝14.(2)设直线l 2的方程为x ＝ny ＋m (m ≠0)，代入抛物线方程可得y 2－2ny －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2n ，y 1y 2＝－2m ，① 由OA ⊥OB 得，(ny 1＋m )(ny 2＋m )＋y 1y 2＝0，整理得(n 2＋1)y 1y 2＋nm (y 1＋y 2)＋m 2＝0，②将①代入②解得m ＝2或m ＝0(舍去)，满足Δ＝4n 2＋8m >0，所以直线l 2：x ＝ny ＋2，因为圆心M (a ，0)到直线l 2的距离d ＝|a －2|1＋n 2，所以|DE |＝2 12－（a －2）21＋n 2，显然当a ＝2时，|DE |＝2，所以存在实数a ＝2，使得|DE |为定值． 22．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos(θ－π3)＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3.作图如图所示．(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos αy ＝sin α(α为参数)，所以点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.23．解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1.x －1，x ≥1.当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝[a －2，2－a ]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2；当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2－a ，x ≥a ，2<x <a ，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3. 综上，a 的取值范围为[1，3]．。

2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析

2020 年江苏高考数学第二轮复习精典试题
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以

2020年全国高考数学(理科)仿真冲刺模拟试卷4(含答案)

nnnn
18．（12 分）[山东实验中学]为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在 20 周岁至 80 周岁的 100 人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：
（1）根据上述统计数据填下面的 2×2 列联表，并判断是否有 95％的把握认为以 50 岁为分界点对 “新农村建设”政策的支持度有差异；
极点，以 x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位．圆 C 的方程为 2 5sin ， l 被圆 C 截得的弦长为 2 ．（1）求实数 m 的值；
（2）设圆C 与直线l 交于点 A、 B ，若点 P 的坐标为 m, 5 ，且 m 0 ，求 PA PB 的值．
23．（10 分）【选修4-5：不等式选讲】
21 221
为（）
A． 3x 4y 0
B． 3x 5y 0
C． 4x 3y 0
D． 5x 4y 0
7．[天一大联考]已知
f x
Asinx B A 0, 0,
π 的图象如图所示，则
2
对称中心可以为（）
A． ,0
π
π
π
B．
π
,1
6 6
6 6
C． ,0
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．[金山中学]已知集合 A
x x2 3x 4 0
， B x x 1，则
AI B （
）
R
A．
B． 0,4
C． 1,4
D． 4,
2．[湘钢一中]已知 i 为虚数单位，若复数1 ai2 i是纯虚数，则实数 a 等于（）

(江苏专用)2020高考数学二轮复习综合仿真练(一) (1)

综合仿真练(一)1.如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP ＝OC ，PA ⊥PD .求证：(1)PA ∥平面BDE; (2)平面BDE ⊥平面PCD .证明：(1)连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．又因为E 为PC 的中点，所以OE ∥PA .又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE .(2)因为OE ∥PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD . 因为OP ＝OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC .又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD ＝P ，所以OE ⊥平面PCD . 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD .2．(2019·南通市一中模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，部分自变量、函数值如下表.xπ3 7π12 ωx ＋φ 0 π2 π3π22π f (x )24求：(1)函数f (x )的单调增区间．(2)函数f (x )在(0，π]内的所有零点．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧π3ω＋φ＝3π2，7π12ω＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝5π6.又⎩⎪⎨⎪⎧A sin 0＋B ＝2，A sin π2＋B ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝2.∴ f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＋2由－π2＋2k π≤2x ＋5π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋k π，－π6＋k π (k ∈Z )． (2)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＋2＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝－1.∵x ∈(0，π]，∴5π6<2x ＋5π6≤2π＋5π6，∴2x ＋5π6＝3π2，解得：x ＝π3.∴函数f (x )在(0，π]内的零点为π3.3．(2019·扬州四模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF ＝5.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆M 的圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－78，0，半径为r ，点P 为椭圆上的一点，若圆M 与直线PA ，PF 都相切，求此时圆M 的半径r .解：(1)∵椭圆离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF ＝5.∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝14，a ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝1.∴b 2＝15，∴椭圆C 的方程为：x 216＋y 215＝1.(2)由题意得：A (－4,0)，F (1,0)，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 2016＋y 2015＝1①当x 0＝1时，直线PF ：x ＝1，与圆M 相切，则R ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－78＝158，不妨取P ⎝⎛⎭⎪⎫1，154，直线PA ：y ＝1541－－4(x ＋4)，即3x －4y ＋12＝0，∴点M 到直线PF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－78＋1232＋42＝158＝r ∴直线PF 与圆M 相切∴当r ＝158时，圆M 与直线PA ，PF 都相切．②当x 0＝－4时，点P 与点A 重合，不符合题意； ③当x 0≠1且x 0≠－4时，直线PA ：y ＝y 0x 0＋4(x ＋4)，PF ：y ＝y 0x 0－1(x －1)化简得：PA ：y 0x －(x 0＋4)y ＋4y 0＝0，PF ：y 0x －(x 0－1)y －y 0＝0∵圆M 与直线PA ，PF 都相切∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78y 0＋4y 0y 20＋x 0＋42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78y 0－y 0y 20＋x 0－12＝r∵y 0≠0，又y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2016代入化简得：x 20－122x 0＋121＝0，解得：x 0＝1或x 0＝121∵－4<x 0<4且x 0≠1 ∴无解．综上：r ＝158.4.如图，半圆AOB 是某市休闲广场的平面示意图，半径OA 的长为10.管理部门在A ，B 两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为4和9.根据光学原理，地面上某点处照度y 与光强度I 成正比，与光源距离x 的平方成反比，即y ＝kIx2(k 为比例系数)．经测量，在弧AB 的中点C 处的照度为130.(C 处的照度为A ，B 两处光源的照度之和)(1)求比例系数k 的值；(2)现在管理部门计划在半圆弧AB 上，照度最小处增设一个光源P ，试问新增光源P 安装在什么位置？解：(1)因为半径OA 的长为10，点C 是弧AB 的中点，所以OC ⊥AB ，AC ＝BC ＝10 2. 所以C 处的照度为y ＝4k 1022＋9k 1022＝130，解得比例系数k ＝2 000.(2)设点P 在半圆弧AB 上，且P 距光源A 为x ，则PA ⊥PB ，由AB ＝20，得PB ＝400－x 2(0＜x ＜20)．所以点P 处的照度为y ＝8 000x 2＋18 000400－x 2(0＜x ＜20)．所以y ′＝－16 000x3＋36 000x400－x22 ＝4 000×9x 4－4400－x22x 3400－x 22＝20 000×x 2－160x 2＋800x 3400－x 22.由y ′＝0，解得x ＝410. 当0＜x ＜410时，y ′＜0，y ＝8 000x 2＋18 000400－x2为减函数；当410＜x ＜20时，y ′＞0，y ＝8 000x 2＋18 000400－x 2为增函数．所以x ＝410时，y 取得极小值，也是最小值.所以新增光源P 安装在半圆弧AB 上且距A 为410(距B 为415)的位置． 5．已知函数f (x )＝(a －3)x －a －2ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a 的最小值；(2)已知不等式f (x )＋3x ≥0对任意x ∈(0,1]都成立，求实数a 的取值范围．解：(1)法一：因为f ′(x )＝a －3－2x(x >0),当a ≤3时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞3时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2a －3， f (x )在0，2a －3上单调递减，由f ′(x )＞0，得x ＞2a －3，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －3，＋∞上单调递增. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，所以a ＞3且2a －3≤1，所以a ≥5, 所以实数a 的最小值为5.法二：因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，所以f ′(x )＝a －3－2x≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≥3＋2x在(1，＋∞)上恒成立，又当x ＞1时，3＋2x＜5, 所以a ≥5，所以实数a 的最小值为5.(2)令g (x )＝f (x )＋3x ＝a (x －1)－2ln x ，x ∈(0,1]，所以g ′(x )＝a －2x.①当a ≤2时，由于x ∈(0,1]，所以2x≥2，所以g ′(x )≤0，g (x )在(0,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝0，所以对任意x ∈(0,1]，g (x )≥g (1)＝0，即对任意x ∈(0,1]不等式f (x )＋3x ≥0都成立，所以a ≤2;②当a ＞2时，由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2a，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减；由g ′(x )＞0，得x ＞2a，g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤2a ，1上单调递增．所以，存在2a∈(0,1)，使得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＜g (1)＝0，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]． 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记集合M ＝{n |n (n ＋1)≥λa n ，n ∈N *}，若M 中有3个元素，求λ的取值范围； (3)是否存在等差数列{b n }，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝2n ＋1－n －2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出b n ；若不存在，说明理由．解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，得a 1＝1. 当n ≥2时，由S n ＝2a n －1，① 得S n －1＝2a n －1－1，② ①－②，得a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)．因此{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1.(2)由已知可得λ≤n n ＋12n －1，令f (n )＝n n ＋12n －1，则f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝3，f (4)＝52，f (5)＝158，下面研究f (n )＝n n ＋12n －1的单调性，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋1n ＋22n－n n ＋12n －1＝n ＋12－n2n，所以，当n ≥3时，f (n ＋1)－f (n )＜0，f (n ＋1)＜f (n )，即f (n )单调递减.因为M 中有3个元素，所以不等式λ≤n n ＋12n －1解的个数为3，所以2＜λ≤52，即λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52.(3)设存在等差数列{b n}使得条件成立，则当n＝1时，有a1b1＝22－1－2＝1，所以b1＝1.当n＝2时，有a1b2＋a2b1＝23－2－2＝4，所以b2＝2.所以等差数列{b n}的公差d＝1，所以b n＝n.设S＝a1b n＋a2b n－1＋a3b n－2＋…＋a n b1，S＝1·n＋2(n－1)＋22(n－2)＋…＋2n－2·2＋2n－1·1，③所以2S＝2·n＋22(n－1)＋23(n－2)＋…＋2n－1·2＋2n·1，④④－③，得S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝－n＋21－2n1－2＝2n＋1－n－2，所以存在等差数列{b n}，且b n＝n满足题意．。

2020年高考数学(理)二轮专项复习专题04 导数(含答案)

2020年高考数学（理）二轮专项复习专题04 导数导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．在本专题中，我们将复习导数的概念及其运算，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调性、极值等性质，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用．导数的相关问题主要围绕以下三个方面：导数的概念与运算，导数的应用，定积分与微积分基本定理．§4－1 导数概念与导数的运算【知识要点】1．导数概念：(1)平均变化率：对于函数y ＝f (x )，定义1212)()(x x x f x f --为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．换言之，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，那么函数f (x )相应地有增量f (x 0＋∆x )－f (x 0)，则比值xx f x x f ∆-∆+)()(00就叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋∆x 之间的平均变化率．(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000.(3)函数y ＝f (x )的导函数(导数)：当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)，即xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0.2．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)． 3．导数的运算：(1)几种常见函数的导数： ①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(x ＞0，n ∈Q *)； ③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(e x )′＝e x ；⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)；⑦x x 1)(ln =； ⑧e xx a a log 1)(log =(a ＞0，且a ≠1)．(2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . (3)简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))的导数：设函数y ＝f (u )，u ＝g (x )，则函数y ＝f (u )＝f [g (x )]称为复合函数．其求导步骤是：x y '＝u f '·x g '，其中u f '表示f 对u 求导，x g '表示g 对x 求导．f 对u 求导后应把u 换成g (x )．【复习要求】1．了解导数概念的实际背景； 2．理解导数的几何意义；3．能根据导数定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，x y xy ==,1的导数； 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 5．理解简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))导数的求法．【例题分析】例1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x 2－1)；(2)11+-=x x y ； (3)y ＝sin2x ； (4)y ＝e x ·ln x ．解：(1)方法一：y ′＝(x ＋1)′(x 2－1)＋(x ＋1)(x 2－1)′＝x 2－1＋(x ＋1)·2x ＝3x 2＋2x －1．方法二：∵y ＝(x ＋1)(x 2－1)＝x 3＋x 2－x －1，∴y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1．(2)方法一：⋅+=+--+=+'+--+'-='+-='222)1(2)1()1()1()1()1)(1()1()1()11(x x x x x x x x x x x y 方法二：∵12111.+-=+-=x x x y ，∴2)1(2)12()121('+='+-='+-=x x x y . (3)方法一：y'＝(sin2x )'＝(2sin x · cos x )'＝2[(sin x )'·cos x ＋sin x ·(cos x )']＝2(cos 2x －sin 2x )＝2cos2x ．方法二：y'＝(sin2x )'·(2x )'＝cos2x ·2＝2cos2x ．(4))(ln e ln )e ('+'='⋅⋅x x y xx＝xx xxx x x e )1(ln e ln e ⋅⋅+=+．【评析】理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件．运用公式和求导法则求导数的基本步骤为：①分析函数y ＝f (x )的结构特征；②选择恰当的求导法则和导数公式求导数； ③化简整理结果．应注意：在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量．(如(1)(2)题的方法二较方法一简捷)．对于(3)，方法一是使用积的导数运算公式求解，即使用三角公式将sin2x 表示为sin x 和cos x 的乘积形式，然后求导数；方法二是从复合函数导数的角度求解．方法二较方法一简捷．对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准确．例2 (1)求曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线方程；(2)过点(1，－3)作曲线y ＝x 2的切线，求切线的方程．【分析】对于(1)，根据导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式求得切线方程．对于(2)，注意到点(1，－3)不在曲线y ＝x 2上，所以可设出切点，并通过导数的几何意义确定切点的坐标，进而求出切线方程．解：(1)曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线斜率为y ′＝2x ｜x ＝1＝2，从而切线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0．(2)设切点的坐标为),(20x x ．根据导数的几何意义知，切线的斜率为y '＝2x |0x x =＝2x 0，从而切线的方程为).(20020x x x x y -=- 因为这条切线过点(1，－3)，所以有)1(23002x x x -=--，整理得03202=--x x ，解得x 0＝－1，或x 0＝3．从而切线的方程为y －1＝－2(x ＋1)，或y －9＝6(x －3)，即切线的方程为2x ＋y ＋1＝0，或6x －y －9＝0．【评析】用导数求曲线的切线方程，常依据的条件是：①函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)；②切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程．例3设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f '(x )的最小值为－12．求a ，b ，c 的值．【分析】本题考查函数的奇偶性、二次函数的最值、导数的几何意义等基础知识，以及推理能力和运算能力．题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．解：∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ， ∴c ＝0．∵f '(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12， ∴b ＝－12．又直线x －6y －7＝0的斜率为61，因此，f '(1)＝3a ＋b ＝－6， ∴a ＝2．综上,a ＝2，b ＝－12，c ＝0．例4 已知a ＞0，函数a x x f -=1)(，x ∈(0，＋∞)．设ax 201<<，记曲线y ＝f (x )在点M (x 1，f (x 1))处的切线为l ．(1)求l 的方程；(2)设l 与x 轴的交点是(x 2，0)，证明：ax 102≤<. 【分析】对于(1)，根据导数的几何意义，不难求出l 的方程；对于(2)，涉及到不等式的证明，依题意求出用x 1表示的x 2后，将x 2视为x 1的函数，即x 2＝g (x 1)，结合要证明的结论进行推理．解：(1)对f (x )求导数，得21)(x x f -='，由此得切线l 的方程为： )(1)1(1211x x x a x y --=--． (2)依题意，切线方程中令y ＝0，得211112122)1(ax x x a x x x -=+-=．由ax 201<<，及)2(2112112ax x ax x x -=-=，有x 2＞0；另一方面，aa x a ax x x 1)1(2212112+--=-=，从而有ax 102≤<，当且仅当a x 11=时，a x 12=.【评析】本题考查的重点是导数的概念和计算、导数的几何意义及不等式的证明．涉及的基础知识都比较基本，题目难度也不大，但把导数的相关知识与不等式等内容有机整合，具有一定新意，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法．本题中的(2)在证明ax 102≤<时，还可用如下方法： ①作法，.0)1(1211212112≥-=+-=-ax aax x a x a②利用平均值不等式，aax ax a ax ax a ax x x 1)22(1)2)((1)2(21111112=-+≤-=-=．例5 设函数),(1)('Z ∈++=b a bx ax x f ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3．(1)求f'(x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．解：(1)2)(1)('b x a x f +-=，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,12122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a ，b ∈Z ，所以⋅-+=11)(x x x f(2)证明：已知函数y 1＝x ，xy 12=都是奇函数，所以函数xx x g 1)(+=也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而1111)(+-+-=x x x f ，可知，函数g (x )的图象按向量a ＝(1，1)平移，即得到函数f (x )的图象，故函数f (x )的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点)11,(000-+x x x ．由200)1(11)('--=x x f 知，过此点的切线方程为)]()1(11[110200020x x x x x x y ---=-+--．令x ＝1得1100-+=x x y ，切线与直线x ＝1交点为)11,1(00-+x x ；令y ＝x 得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 交点为(2x 0－1，2x 0－1)．直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1，1)；从而所围三角形的面积为2|22||12|21|112||111|2100000=--=----+⋅⋅x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2．练习4－1一、选择题：1．(tan x )′等于( ) (A)x2sin 1(B)x2sin 1-(C)x 2cos 1(D)x2cos 1-2．设f (x )＝x ln x ，若f '(x 0)＝2，则x 0等于( ) (A)e 2(B)e(C)22ln (D)ln23．函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a 等于( ) (A)81 (B)41 (C)21 (D)14．曲线x y 21e =在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )(A)2e 29 (B)4e 2(C)2e 2(D)e 2二、填空题： 5．f '(x )是1231)(3++=x x x f 的导函数，则f '(－1)＝______． 6．若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f '(1)＝______． 7．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为______；切线的斜率为______． 8．设函数f (x )＝xe kx (k ≠0)，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是______．三、解答题：9．求下列函数的导数： (1)y ＝x －e x ； (2)y ＝x 3＋cos x ； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)⋅=xxy ln10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (1，1)，B (2，－1)，且该曲线在点B 处的切线方程为y ＝x －3，求a 、b 、c 的值．11．求曲线24121232-=-=x y x y 与在交点处的两条切线的夹角的大小．§4－2 导数的应用【知识要点】1．利用导数判断函数的单调性：(1)函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：设函数f (x )在区间(a ，b )内可导， ①如果恒有f '(x )＞0，那么函数f (x )在区间(a ，b )内单调递增； ②如果恒有f '(x )＜0，那么函数f (x )在区间(a ，b )内单调递减．值得注意的是，若函数f (x )在区间(a ，b )内有f '(x )≥0(或f '(x )≤0)，但其中只有有限个点使得f '(x )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )内仍是增函数(或减函数)．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值越大，说明这个函数在这个范围内变化得快．这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．2．利用导数研究函数的极值：(1)设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，x 0是极大值点；如果对x 0附近所有的点，都有f (x )＞f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，x 0是极小值点．(2)需要注意，可导函数的极值点必是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点．如y ＝x 3在x ＝0处的导数值为零，但x ＝0不是函数y ＝x 3的极值点．也就是说可导函数f (x )在x 0处的导数f '(x 0)＝0是该函数在x 0处取得极值的必要但不充分条件．(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值：f (x )在区间[a ，b ]上的最大值(或最小值)是f (x )在区间(a ，b )内的极大值(或极小值)及f (a )、f (b )中的最大者(或最小者)．(4)应注意，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内的整体性质．【复习要求】1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次)；2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次)；3．会利用导数解决某些实际问题．【例题分析】例1 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3－3x ； (2)f (x )＝3x 2－2ln x ； (3)2)1(2)(--=x bx x f ．解：(1)f (x )的定义域是R ，且f '(x )＝3x 2－3，所以函数f (x )的减区间是(－1，1)，增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)． (2)f (x )的定义域是(0，＋∞)，且xx x f 26)(-='，令f ′(x )＝0，得33,3321-==x x ．列表分析如下：所以函数f (x )的减区间是)33,0(，增区间是),33(+∞． (3)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，求导数得3342)1()1(2)1(222)1()1(2)2()1(2)(---=--+-=-----='⋅x x b x b x x x b x x x f ．令f ′(x )＝0，得x ＝b －1．①当b －1＜1，即b ＜2时，f ′(x )的变化情况如下表：所以，当b ＜2时，函数f (x )在(－∞，b －1)上单调递减，在(b －1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ②当b －1＞1，即b ＞2时，f ′(x )的变化情况如下表：所以，当b ＞2时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，b －1)上单调递增，在(b －1，＋∞)上单调递减． ③当b －1＝1，即b ＝2时，12)(-=x x f ，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递减．【评析】求函数f (x )的单调区间的步骤是：①确定f (x )的定义域(这一步必不可少，单调区间是定义域的子集)； ②计算导数f ′(x )；③求出方程f ′(x )＝0的根；④列表考察f ′(x )的符号，进而确定f (x )的单调区间(必要时要进行分类讨论)．例2求函数44313+-=x x y 的极值．解：y ′＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，令y ′＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2．列表分析如下：所以当x ＝－2时，y 有极大值3；当x ＝2时，y 有极小值3-．【评析】求函数f (x )的极值的步骤是：①计算导数f ′(x )；②求出方程f ′(x )＝0的根；③列表考察f ′(x )＝0的根左右值的符号：如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．例3 已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a ． (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3．所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)＞f (－2)．因为在(－1，3)上f ′(x )＞0，所以f (x )在[－1，2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2．故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．【评析】求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上最值的方法： ①计算导数f ′(x )；②求出方程f ′(x )＝0的根x 1，x 2，…；③比较函数值f (x 1)，f (x 2)，…及f (a )、f (b )的大小，其中的最大(小)者就是f (x )在闭区间[a ，b ]上最大(小)值．例4 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是( )A ．(－3，0)∪(3，＋∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)【分析】本题给出的信息量较大，并且还都是抽象符号函数．解答时，首先要标出重要的已知条件，从这些条件入手，不断深入研究．由f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0你能产生什么联想?它和积的导数公式很类似，整理可得[f (x )g (x )]′＞0．令h (x )＝f (x )g (x )，则当x ＜0时，h (x )是增函数．再考虑奇偶性，函数h (x )是奇函数．还有一个已知条件g (－3)＝0，进而可得h (－3)＝f (－3)g (－3)＝0，这样我们就可以画出函数h (x )的示意图，借助直观求解．答案：D.例5 求证：当x ＞0时，1＋x ＜e x ．分析：不等式两边都是关于x 的函数，且函数类型不同，故可考虑构造函数f (x )＝1＋x －e x ，通过研究函数f (x )的单调性来辅助证明不等式．证明：构造函数f (x )＝1＋x －e x ，则f ′(x )＝1－e x ．当x ＞0时，有e x ＞1，从而f ′(x )＝1－e x ＜0，所以函数f (x )＝1＋x －e x 在(0，＋∞)上单调递减，从而当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即当x ＞0时，1＋x ＜e x ．【评析】通过构造函数，利用函数的单调性证明不等式是常用方法之一，而借助导数研究函数单调性辅助证明不等式突出了导数的工具性作用．例6用总长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多0.5 m ，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积．解：设容器底面长方形宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，依题意，容器的高为x x x 22.3)]5.0(448.14[41-=+--．显然⎩⎨⎧>->,022.3,0x x ⇒0＜x ＜1.6，即x 的取值范围是(0，1.6)．记容器的容积为y m 3，则y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x x ∈(0，1.6)．对此函数求导得，y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6．令y ′＞0，解得0＜x ＜1；令y ′＜0，解得1＜x ＜1.6．所以，当x ＝1时，y 取得最大值1.8，这时容器的长为1＋0.5＝1.5．答：容器底面的长为1.5m 、宽为1m 时，容器的容积最大，最大容积为1.8m 3．【评析】解决实际优化问题的关键在于建立数学模型(目标函数)，通过把题目中的主要关系(等量和不等量关系)形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解．例7 已知f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2． (1)求f (x )的解析式；(2)证明对任意x 1、x 2∈(－1，1)，不等式｜f (x 1)－f (x 2)｜＜4恒成立．【分析】对于(1)题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a 、c 、d 的值；对于(2)可通过研究函数f (x )的最值加以解决．解：(1)由f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，知f (0)＝0，解得d ＝0，所以f (x )＝ax 3＋cx (a ≠0)，f ′(x )＝3ax 2＋c (a ≠0)．由当x ＝1时，f (x )取得极值－2，得f (1)＝a ＋c ＝－2，且f ′(1)＝3a ＋c ＝0，解得 a ＝1，c ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x ．(2)令f ′(x )＞0，解得x ＜－1，或x ＞1；令f ′(x )＜0，解得－1＜x ＜1，从而函数f (x )在区间(－∞，－1)内为增函数，(－1，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．故当x ∈[－1，1]时，f (x )的最大值是f (－1)＝2，最小值是f (1)＝－2，所以，对任意x 1、x 2∈(－1，1)，|f (x 1)－f (x 2)|＜2－(－2)＝4．【评析】使用导数判断函数的单调性，进而解决极值(最值)问题是常用方法，较为简便．例8 已知函数f (x )＝x ln x ． (1)求f (x )的最小值；(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1＋ln x ．令f ′(x )＞0，解得e 1>x ；令f ′(x )＜0，解得e 10<<x ．从而f (x )在)e 1,0(单调递减，在),e 1(+∞单调递增．所以，当e 1=x 时，f (x )取得最小值e1-．(2)解法一：令g (x )＝f (x )－(ax －1)，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝1－a ＋ln x ，①若a ≤1，当x ＞1时，g ′(x )＝1－a ＋ln x ＞1－a ≥0，故g (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以，x ≥1时，g (x )≥g (1)＝1－a ≥0，即f (x )≥ax －1．②若a ＞1，方程g ′(x )＝0的根为x 0＝e a －1，此时，若x ∈(1，x 0)，则g ′(x )＜0，故g (x )在该区间为减函数．所以，x ∈(1，x 0)时，g (x )＜g (1)＝1－a ＜0，即f (x )＜ax －1，与题设f (x )≥ax －1相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(－∞，1]．解法二：依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式x x a 1ln +≤对于x ∈[1，＋∞)恒成立．令xx x g 1ln )(+=，则)11(111)(2x x x x x g -=-='．当x ＞1时，因为0)11(1)(>-='xx x g ，故g (x )是(1，＋∞)上的增函数，所以g (x )的最小值是g (1)＝1，从而a 的取值范围是(－∞，1]．例9 已知函数)1ln()1(1)(-+-=x a x x f n，其中n ∈N *，a 为常数． (1)当n ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)当a ＝1时，证明：对任意的正整数n ，当x ≥2时，有f (x )≤x －1．解：(1)由已知得函数f (x )的定义域为{x ｜x ＞1}，当n ＝2时，)1ln()1(1)(2-+-=x a x x f ，所以32)1()1(2)('x x a x f ---=． ①当a ＞0时，由f (x )＝0得121,12121<-=>+=ax a x ，此时321)1())(()(x x x x x a x f ----='．当x ∈(1，x 1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． ②当a ≤0，f ′(x )＜0恒成立，所以f (x )无极值．综上所述，n ＝2时，当a ＞0时，f (x )在ax 21+=处取得极小值，极小值为)2ln 1(2)21(a a a f +=+．当a ≤0时，f (x )无极值．(2)证法一：因为a ＝1，所以)1ln()1(1)(-+-=x x x f n．当n 为偶数时，令)1ln()1(11)(-----=x x x x g n，则)2(0)1(1211)1(1)(11≥>-+--=---+='++x x nx x x x n x g n n ．所以当x ≥2时，g (x )单调递增，又g (2)＝0，因此0)2()1ln()1(11)(=≥-----=g x x x x g n恒成立，所以f (x )≤x －1成立．当n 为奇数时，要证f (x )≤x －1，由于0)1(1<-nx ，所以只需证ln(x －1)≤x －1，令h (x )＝x －1－ln(x －1)，则)2(012111)(≥≥--=--='x x x x x h ．所以，当x ≥2时，h (x )＝x －1－ln(x －1)单调递增，又h (2)＝1＞0，所以，当x ≥2时，恒有h (x )＞0，即ln(x －1)＜x －1成立．综上所述，结论成立．证法二：当a ＝1时，)1ln()1(1)(-+-=x x x f n.当x ≥2时，对任意的正整数n ，恒有1)1(1≤-nx ，故只需证明1＋ln(x －1)≤x －1．令h (x )＝x －1－[1＋ln(x －1)]＝x －2－ln(x －1)，x ∈[2，＋∞)，则12111)(--=--='x x x x h ，当x ≥2时，h ′(x )≥0，故h (x )在[2，＋∞)上单调递增，因此当x ≥2时，h (x )≥h (2)＝0，即1＋ln(x －1)≤x －1成立．故当x ≥2时，有1)1ln()1(1-≤-+-x x x n，即f (x )≤x －1．练习4－2一、选择题：1．函数y ＝1＋3x －x 3有( ) (A)极小值－2，极大值2 (B)极小值－2，极大值3 (C)极小值－1，极大值1(D)极小值－1，极大值32．f '(x )是函数y ＝f (x )的导函数，y ＝f '(x )图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )3．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是( ) (A)a ＜0(B)a ≤0(C)31<a (D)31≤a 4．设a ∈R ，若函数f (x )＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是( ) (A)a ＜－1 (B)a ＞－1(C)e1-<a (D)e1->a 二、填空题：5．函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx 在x ＝1处取得极小值－1，则a ＋b ＝______． 6．函数y ＝x (1－x 2)在[0，1]上的最大值为______．7．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2，2]上的最小值为－37，则实数a ＝______．8．有一块边长为6m 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长为______m ．三、解答题：9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象过点P (1，2)，且在点P 处的切线斜率为8． (1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)求函数f (x )在区间[－1，1]上的最大值与最小值．10．当)2π,0( x 时，证明：tan x ＞x ．11．已知函数f (x )＝e x －e －x ．(1)证明：f (x )的导数f '(x )≥2；(2)若对所有x ≥0都有f (x )≥ax ，求a 的取值范围．专题04 导数参考答案练习4－1一、选择题：1．C 2．B 3．B 4．D二、填空题：5．3 6．4 7．(1，e)；e 8．y ＝x 三、解答题：9．(1)y '＝1－e x ；(2)y '＝3x 2－sin x ；(3)y '＝3x 2＋12x ＋11；(4)2ln 1xxy -=10．略解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (1，1)，B (2，－1)两点，所以a ＋b ＋c ＝1．① 4a ＋2b ＋c ＝－1．②因为y '＝2ax ＋b ，所以y '｜x ＝2＝4a ＋b ．故4a ＋b ＝1．③ 联立①、②、③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9．11．解：由01622412122332=-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=x x x y x y ，所以(x －2)(x 2＋4x ＋8)＝0，故x ＝2，所以两条曲线只有一个交点(2，0)．对函数2212x y -=求导数，得y ′＝－x ，从而曲线2212x y -=在点(2，0)处切线的斜率是－2．对函数2413-=x y 求导数，得243'x y =，从而曲线2413-=x y 在点(2，0)处切线的斜率是3．设两条切线的夹角为α ，则1|3)2(132|tan =⨯-+--=α，所以两条切线的夹角的大小是45°．练习4－2一、选择题：1．D 2．C 3．B 4．A 二、填空题： 5．61-6．932 7．3 8．1三、解答题：9．解：(1)a ＝4，b ＝－3．(2)函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，),31(+∞；减区间为)31,3(-． (3)函数f (x )在[－1，1]上的最小值为2714-，最大值为6． 10．证明：设f (x )＝tan x －x ，)2π,0(∈x ．则0tan 1cos 11)'cos sin ()(2.2>=-=-='x xx x x f ，所以函数f (x )＝tan x －x 在区间)2π,0(内单调递增．又f (0)＝0，从而当)2π,0(∈x 时，f (x )＞f (0)恒成立，即当)2π,0(∈x 时，tan x ＞x ． 11．解：(1)f (x )的导数f '(x )＝e x ＋e －x ．由于2e e 2ee =≥+--⋅x x xx ，故f '(x ）≥2，当且仅当x ＝0时，等号成立．(2)令g (x )＝f (x )－ax ，则g '(x )＝f '(x )－a ＝e x ＋e －x －a ，①若a ≤2，当x ＞0时，g '(x )＝e x ＋e －x －a ＞2－a ≥0，故g (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以，x ≥0时，g (x )≥g (0)，即f (x )≥ax ．②若a ＞2，方程g '(x )＝0的正根为24ln 21-+=a a x ，此时，若x ∈(0，x 1)，则g ′(x )＜0，故g (x )在该区间为减函数．所以，x ∈(0，x 1)时，g (x )＜g (0)＝0，即f (x )＜ax ，与题设f (x )≥ax 相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(－∞，2]．习题4一、选择题：1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 二、填空题：6．1 7．－2 8．5；－15 9．y ＝－3x 10．61 三、解答题：11．(1)f '(x )＝(1＋kx )e kx ，令(1＋kx )e kx ＝0，得)0(1=/-=k kx ．若k ＞0，则当)1,(k x --∞∈时，f '(x )＜0，函数f (x )单调递减；当),1(+∞-∈kx 时，f '(x )＞0，函数f (x )单调递增．若k ＜0，则当)1,(kx --∞∈时，f '(x )＞0，函数f (x )单调递增；当),1(+∞-∈kx 时，f '(x )＜0，函数f (x )单调递减．(2)若k ＞0，则当且仅当11-≤-k，即k ≤1时，函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增；若k ＜0，则当且仅当11≥-k ，即k ≥－1时，函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增．综上，函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]． 12．解：(1)f '(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2取得极值，则有f '(1)＝0，f '(2)＝0．即⎩⎨⎧=++=++.031224,0366b a b a 解得a ＝－3，b ＝4．(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f '(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0，1)时，f '(x )＞0；当x ∈(1，2)时，f '(x )＜0；当x ∈(2，3)时，f '(x )＞0．所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ．则当x ∈[0，3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c ．因为对于任意的x ∈[0，3]，有f (x )＜c 2恒成立，所以 9＋8c ＜c 2，解得c ＜－1或c ＞9，因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．13．解：对函数f (x )求导得：f '(x )＝e ax (ax ＋2)(x －1)．(1)当a ＝2时，f '(x )＝e 2x (2x ＋2)(x －1)．令f '(x )＞0，解得x ＞1或x ＜－1；令f '(x )＜0，解得－1＜x ＜1．所以，f (x )单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；f (x )单调减区间为(－1，1)．(2)令f '(x )＝0，即(ax ＋2)(x －1)＝0，解得ax 2-=，或x ＝1．由a ＞0时，列表分析得：当a x -<时，因为0,,02>>->a a x x ，所以02>--a x x ，从而f (x )＞0．对于a x 2-≥时，由表可知函数在x ＝1时取得最小值01)1(<-=a e af ，所以，当x ∈R 时，a af x f e 1)1()(min -==．由题意，不等式03)(≥+ax f 对x ∈R 恒成立，所以得031≥+-ae a a ，解得0＜a ≤ln3．14．(1)解：对函数f (x )求导数，得x a x x f 21)('++=．依题意有f '(－1)＝0，故23=a ．从而23)1)(12(23132)(2+++=+++='x x x x x x x f ． f (x )的定义域为),23(+∞-，当123-<<-x 时，f '(x )＞0；当211-<<-x 时，f '(x )＜0；当21->x 时，f ′(x )＞0．从而，f (x )分别在区间),21(),1,23(+∞---内单调递增，在区间)21,1(--内单调递减．(2)解：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，ax ax x x f +++=122)(2．方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式∆＝4a 2－8． ①若∆＜0，即22<<-a ，在f (x )的定义域内f '(x )＞0，故f (x )无极值．②若∆＝0，则2=a 或.2-=a若⋅++='+∞-∈=2)12()(),,2(,22x x x f x a 当22-=x 时，f '(x )＝0，当)22,2(--∈x 或),22(+∞-∈x 时，f '(x )＞0，所以f (x )无极值．若),2(,2+∞∈-=x a ，f '(x )2)12(2--=x x ＞0，f (x )也无极值．③若∆＞0，即2>a 或2-<a ，则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实数根22,222221-+-=---=a a x a a x ．当2-<a 时，x 1＜－a ，x 2＜－a ，从而f ′(x )在f (x )的定义域内没有零点，故f (x )无极值．当2>a 时，x 1＞－a ，x 2＞－a ，f '(x )在f (x )的定义域内有两个不同的零点，所以f (x )在x ＝x 1，x ＝x 2处取得极值．综上，f (x )存在极值时，a 的取值范围为),2(+∞． f (x )的极值之和为f (x 1)＋f (x 2)＝ln(x 1＋a )＋x 12＋ln(x 2＋a )＋x 22 ＝ln[(x 1＋a )(x 2＋a )]＋(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝ln21＋a 2－1＞1－ln2＝ln 2e．。

2020年江苏高考数学全真模拟试卷四全卷+学生

2020年江苏高考数学全真模拟试卷四（南通教研室）数学Ⅰ试题A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A ={x ｜x ≥0},B =(－2,－1,0,2)，则A ∩B =▲．2.已知复数z ＋i =－3＋ii,其中i 为虚数单位，则z 的模是▲．3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4:3:2.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n 的值是▲．4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x 的值为5,那么输出的y 的值是▲．5.函数y =log 3(－x ＋5x －6)的定义域是▲．6.某国家队“短道速滑”项目有A ,B ,C ,D ，4名运动员.若这四人实力相当,现从中任选2名参加2022年北京冬奥会,则A ,B 至少有1人被选中的概率是▲．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C :x 2a 2－y 2b 2=1(a >0，b >0)的一条渐近线垂直于直线y ＝2x －1则双曲线C 的离心率是▲．8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm .当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高是▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.（第4题图）Read x If x ≤4Theny ←6x Elsey ←x ＋5End If Print y（第8题）9.若S n ,是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,则a 9a 6＝▲．10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋4)=f (x ),当0≤x ≤2时,f (x )=－x 2+ax ＋b ,对f (－1)的值是▲．11.已知三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB =4，点A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动,则OA →・OC →的最大值是▲．12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为x 2+（y －1）2=4.过点P (x 0，y 0)存在直线l 被圆C 截得的弦长为23,则实数x 0的取值范围是▲．13.已知函数f (x )=（a ＋1）x 2－bx ＋a ，若函数f (x )有零点、且与函数y ＝f (f (x ))的零点完全相同，则实数b 的取值范围为▲．14.如图，在ABC 中已知2BC 2+AB 2=2AC 2,且BC 长线上的点D 足DA =DB ,则∠DAC 的最大值是▲．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为菱形、E 为棱A 1A 的中点,且O 为A 1C 1与B 1D 1的交点.(1)求证:OE ∥平面ABC 1;(2)求证:平面AA 1C 1⊥平面B 1D 1E.O（第11题）ACBy x（第14题）ACBD（第15题）ACBDEOC 1A 1D 1B 116.(本小题满分14分)已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<2π)的图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若角α满足f (α)=2,α∈(3π4,7π4)求sinα的值.17.(本小题满分14分)图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF =θ.(1)试用θ表示箱梁的总造价y (千元);(2)试确定cos θ的值,使总造价最低?并求最低总造价.（第17题）（图1）（图2）A CFBD Eθ如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,1)为椭圆Ex 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点，P 为椭圆E 上异于上、下顶点的一个动点.当点P 的横坐标为233时,OP ＝2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设M 为x 轴的正半轴上的一个动点.①若点P 在第一象限内,且以AP 为直径的圆恰好与x 轴相切于点M ,求AP 的长.②若MA =MP ,是否存在点N ,满足PN →＝4PM →,且AN 的中点恰好在椭圆E 上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=e x －ax ,其中e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y =x ＋1,求实数a 的值;(2)若函数f (x )有2个不同的零点x 1,x 2.①求实数a 的取值范围;②求证:2<x 1＋x 2<2ln a.（第18题）APxy OM对于给定的数列{a n},{b n},设c k=max{ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k}(k=1,2,…,n),即c k是ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k中的最大值,则称数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”}是等差数列；(1)设a n=n+1,b n=2n求c1,c2,c3的值,并证明数列{c nn(2)设数列{a n},{b n}都是公比为q的正项等比数列,若数列{c n}是等差数列,求公比q的取值范围;(3)设数列{a n}满足a n＞0,数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”,且ka i＋b i＋c k-i+1＝m(m为常数,i=1,2,…,k),求证:c n=m a n＋b n．2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)（南通教研室）数学Ⅱ附加题A ．必做题部分21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝2211,矩阵B 的逆矩阵B -1＝10012.若矩阵M ＝AB ,求矩阵M .B.[选修4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角标系xOy 中,已知直线l ＝1－t ，＝t －1，,(t 为参数,曲线C 的参数＝2sinθ，＝2｜cos θ｜，(θ为参数)求直线l 与曲线C 的交点坐标.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页,均为非选择题(第21题~第23题).本卷满分为40分,考试时间为30分钟,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3.请认真核对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.C.[选修45:不等式选讲](本小题满分10分)已知x ,y ,z 均是正实数,且x 2＋9y 2＋4z 2＝36，求证x ＋y ＋z ≤7.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AP =AC =4,AB =2,D ,E 分别为棱BC ,PC 的中点,点F 在棱PA 上,设t ＝PFAF.(1)当t ＝13时,求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；(2)试确定t 的值，使二面角C -EF -D 的平面角的余弦值为42121.（第22题）BACDEPF23.(本小题满分10分)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n依次取0,1,2,3,…时(a＋b)n展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{a n}.例:a1=1,a2=1+1,a3=1+2,….(1)写出数列{a n}的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;(2)猜想a1＋a2＋a3＋…＋a n,与a n+2的大小关系,并用数学归纳法证明.。

2020版新高考数学二轮复习练习-小题专题练(四)-立体几何-Word版含解析

小题专题练(四) 立体几何
一、选择题
1．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，点M 在EF 上且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为(
)
A ．(1，1，1)
B.⎝⎛⎭⎫23，23，1
C.⎝⎛⎭⎫22，22，1
D.⎝⎛
⎭⎫24，24，1 2．(2019·贵阳模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
②若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n ；
③若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；
④若α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ，则m ∥n .
其中正确命题的序号是( )
A ．①④
B ．①②
C ．②③④
D ．④
3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝3，AD ＝1，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )
A.
64 B.63 C.26 D.36
4．设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l ⊂α，则“α∥β”是“l ∥β”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．充要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图)，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是( )。

江苏省南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学(含答案)

南京、盐城2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函敬f(x)是定义在R 上的奇函敷，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为________．10. 已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA 的最小值为________．11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 已知函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )．若函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE 上平面ABC.(1) 求证：AC ∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D.已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道DE ︵，记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形．① 若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；② 若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在[52，4]上存在零点．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值； (3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n .记T n 为数列{a n }的前a n 项和，即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1) 若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；(2) 若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得T na n<2，求数列{a n }的通项公式；(3) 若数列{T n }的通项为T n ＝n （n ＋1）2，求证：数列{a n }为等差数列.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝[1221]，MN ＝[1001]．(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ－π4)＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. (选修45：不等式选讲) 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23.已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11. 8 12. ±25513. 2 14. (1，12＋ln 2)15. 证明：(1) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC.(2分) 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC ∥平面PDE.(4分) (2) 因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC.因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3，所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ，所以PE ⊥平面ABC.(12分)因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 因为sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ，所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ，即cos Bsin C ＝sin Csin B ．(4分)因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B.又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ.因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925.因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分)由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝ADsin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分) 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝22×(2425－725)＝17250.(12分) 由b sin B ＝c sin C ，得b ＝csin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分) 17. 解：(1) 连结CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1，所以sin θ的取值范围是(13，1)．(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分) 令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分)设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3.当θ∈(θ0，π3)时，f ′(θ)＜0，则f(θ)在(θ0，π3)上单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＞0，则f(θ)在(π3，π2)上单调递增．所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分)18. 解：(1) 记椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12.因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3. 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分)(2) ① 因为点B 为椭圆C 的上顶点，所以B 点坐标为(0，3)．因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称．(4分) 不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜ 3.因为MO ⊥BN ，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2337. 故MN ＝2|x 0|＝4337，即线段MN 的长为4337.(8分)② (解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)．(10分)若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪m 2，即为1. 若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n .(12分)故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2.将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) (解法2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 3，y 3)，因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)．(10分)因为x 234＋y 233＝1，所以（x 1＋x 2）24＋（y 1＋y 2）23＝1. 将x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12.(12分) 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处．由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1.若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0 (*)．则Δ＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2.由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n)(kx 2＋n)＝k 2x 1x 2＋kn(x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34.(14分) 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R . 原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n|k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14（k 2＋1）. 因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32. 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分)19. 解：(1) 因为h(x)＝f （x ）x－g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ，所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x. 令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点，又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×（52）2－52－a ≤0，2×42－4－a ≥0，解得10≤a ≤28. 因此，实数a 的取值范围是[10，28]．(2分)(2) (解法1)因为当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0对任意x ∈[0，b]都成立．(4分)当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x ∈(0，b]时，存在a ∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分)所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4.故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f′(x)＝3x 2－2x －(a －16)．设Δ＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)．若Δ≤0，则f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，于是Δ＞0，(4分)故f′(x)＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0.(6分)又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0，从而当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f(0)≥f(b)成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0.(8分)所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4，故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))，过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋aln x 2－a. 因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝ax 2 ①，－2x 31＋x 21＝－12 ②，aln x 2－a ＝－12 ③.(12分)由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分) 由(1)知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57. 令p(x)＝ln x ＋1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2. 因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[57，＋∞)上为增函数．因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的，所以函数p(x)在[57，＋∞)上有唯一零点1，所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12. 所以实数a 的值为12.(16分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2.又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z .若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾，因此d ≥0，即d ∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2，因此T n a n ＝a 1＋（a n －1）d 2. 由T n a n ＜2，得a 1＋（a n －1）d 2＜2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1. 于是1＋（n －1）d 22＜2，即(n －1)d 2＜2. ① 若d ＝0，则存在无穷多个n(n ≥2)，使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分)② 若d ∈N *，则n ＜1＋2d 2，因为存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d 2≤3，即1≤d 2＜2. 又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 证明：因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1＞0，所以T n ＋1＞T n ，即Sa n ＋1＞Sa n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n .(12分)又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n(n ≥2)．又a 1≥1，所以a n ≥n ①.(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ②.由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以N ＝M －1.(2分) 因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分) 所以N ＝M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13 23 23－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝(λ＋13)2－(－23)2＝(λ－13)(λ＋1)．(8分) 令f(λ)＝0，解得λ＝13或－1，所以N 的特征值是13和1.(10分) B. 解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2.(2分) 由直线l 的极坐标方程ρcos (θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分)则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥(a ＋1a)－(2－2)．因为(a ＋1a)－(2－2)＞0，所以只需证(a 2＋1a2)2≥⎣⎡⎦⎤（a ＋1a ）－（2－2）2，(4分) 即2(2－2)(a ＋1a )≥8－42，即证a ＋1a≥2.(8分) 因为a ＋1a≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分) (证法2)令t ＝a ＋1a ，因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，即t ≥2. 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，即证t 2－2－2≥t －2，即证t －t 2－2≤2－2，(4分) 即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分) 由于f(t)＝t ＋t 2－2在[2，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(2)＝2＋2，故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－ 2. 所以要证的原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A.因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45. 答：顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为45.(4分) (2) X 的所有可能取值为400，300，100.P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2）， P(X ＝300)＝26×C 12C 1m C 22＋m ＝4m 3（m ＋1）（m ＋2）， P(X ＝100)＝46＋26×C 2m C 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分) 则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150，化简得3m 2－7m －6≥0. 因为m ≥2，m ∈N *，所以m ≥3，所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 解：当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4.所以a1＋a2＋…＋a m＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) 证明：①当n＝2时，取一个集合组(M1，M2，M3，M4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})，此时a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝1，满足任意i∈N*，i≤3，都有|a i－a i＋1|＝1，所以当n＝2时命题成立．(4分)②假设n＝k(k∈N*，k≥2)时，命题成立，即对于A k＝{1，2，…，k}，存在一个集合组(M1，M2，…，M m)满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1，其中m＝2k.当n＝k＋1时，则A k＋1＝{1，2，…，k，k＋1}，集合A k＋1的所有子集除去M1，M2，…，M m外，其余的子集都含有k＋1.令M m＋1＝M m∪{k＋1}，M m＋2＝M m－1∪{k＋1}，…，M2m＝M1∪{k＋1}，取集合组(M1，M2，…，M m，M m＋1，M m＋2，…，M2m)，其中2m＝2k＋1，(6分)根据归纳假设知|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，m＋1≤i≤2m－1，(8分)所以此集合组满足|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤m－1或m＋1≤i≤2m－1.又M m＋1＝M m∪{c}，所以|a m－a m＋1|＝1，因此|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤2m－1，即当n＝k＋1时，命题也成立．综上，不论n为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.(10分)。

(江苏专用)高考数学二轮复习第一篇第4练数学文化试题理-人教版高三全册数学试题

第4练数学文化[明晰考情] 1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.考点一算法、数列中的数学文化方法技巧(1)和算法结合的数学文化，要读懂流程图，按流程图依次执行；(2)数学文化中蕴含的数列，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.1.《X邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为________.答案16 29解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.2.如图所示的流程图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该流程图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为________.答案 2解析由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.3.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是个偶数，则下一步变成n2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面流程图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为________.答案 5或32解析当n ＝5时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6；当n ＝32时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6.易知当n ＝4时，不符合，故n ＝5或n ＝32.4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个流程图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝________.答案 4解析当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件，当n ＝2时，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件，当n ＝3时，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件，当n ＝4时，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n 值为4.5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1,2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝________. 答案 6解析由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得a 1＝1516，d ＝18，所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋(i －1)×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6.6.(2018·某某)我国古代数学著作《X 邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝____________，y ＝________.答案 8 11解析方法一由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.方法二 100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则 5×19＝95(元). 因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只).考点二三角函数与几何中的数学文化方法技巧从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是________步. 答案 6解析由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8r 2＋15r 2＋17r 2＝12×8×15(等积法)，解得r ＝3，故其直径为6步.8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α＝________.答案 34解析由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，∴2＝10cos α－10sin α， ∴cos α－sin α＝15，又α为锐角，易求得tan α＝34.9.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为________.答案 92解析类比祖暅原理可得两个图形的面积相等，梯形面积为S ＝12(1＋2)×3＝92，所以图1的面积为92.10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________. 答案258解析由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258. 11.我国古代数学名著《X 邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为________尺. 答案 21.2解析设谷堆的高为h 尺，底面半径为r 尺，则2πr ＝54，r ≈9. 粟米250斛，则体积为250×1.62＝13×π×92×h ，h ≈5.谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R 尺. 则R 2＝(h －R )2＋r 2，解得R ≈10.6(尺).∴2R ≈21.2(尺).12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确的式子的序号是________. 答案 ②④解析 ①由题图知2a 1>2a 2,2c 1>2c 2，即a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，∴①不正确. ②∵a 1－c 1＝PF ，a 2－c 2＝PF ， ∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确.④∵a 1>a 2>0，c 1>c 2>0，∴a 21>a 22，c 21>c 22. 又∵a 1－c 1＝a 2－c 2，即a 1＋c 2＝a 2＋c 1，即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1， ∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1，整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1. ∵a 1>c 1，a 1>a 2，c 1>c 2，∴2a 1c 2<2a 2c 1，即c 1a 2>a 1c 2，∴④正确. ③∵c 1a 2>a 1c 2，a 1>0，a 2>0，∴c 1a 2a 1a 2>a 1c 2a 1a 2，即c 1a 1>c 2a 2， ∴③不正确.正确式子的序号是②④. 考点三概率统计与推理证明中的数学文化方法技巧 (1)概率统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型；(2)推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1560石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为________石. 答案 195解析由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为32256×1 560＝195(石).14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________. 答案 49解析三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1,2B 2,3B 3，…， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，共有9×10＝90(个)；其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2,4B 4,6B 6,8B 8，B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，其有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率P ＝4090＝49.15.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为N n (如：在3阶幻方中，N 3＝15)，则N 10＝________.答案 505解析 n 阶幻方共有n 2个数，其和为1＋2＋…＋n 2＝n 2()n 2＋12，∵n 阶幻方共有n 行，∴每行的和为n 2(n 2＋1)2n＝n (n 2＋1)2，即N n ＝n (n 2＋1)2，∴N 10＝10×(102＋1)2＝505.16.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为________.答案2129解析如图所示，设水深为x 尺，由题意得(x ＋2)2＝x 2＋52，求解关于实数x 的方程，可得x ＝214，即水深为214尺，又葭长为294尺，则所求问题的概率为P ＝2129.17.庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是________. 答案甲解析由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲 √ × × × 乙 √ × √ √ 丙 × × √ √ 丁×√×√由分析可知，中奖者是甲.1.南北朝时期的数学古籍《X 邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”________. 答案778解析设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778，∴每一等人比下一等人多得778斤金. 2.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天？”在该问题中前5天共分发了________升大米. 答案 3300解析设第n 天派出的人数为a n ，则{a n }是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n 天修筑堤坝的人数为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝64n ＋n (n －1)2×7，所以前5天共分发的大米数为3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)×64＋(1＋3＋6＋10)×7]＝3300.3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第________天相逢. 答案 4解析由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n 天打洞之和为2n－12－1＝2n－1；同理，小老鼠前n 天打洞的距离为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1，∴2n－1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 答案 3解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10(寸)，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸).∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸).5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒.遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒.借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的流程图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为________.答案 78解析模拟程序的运行，可得当i ＝1时，S ＝2S －1，i ＝1满足条件i <3，执行循环体；当i ＝2时，S ＝2(2S －1)－1，i ＝2满足条件i <3，执行循环体；当i ＝3时，S ＝2[2(2S －1)－1]－1，i ＝3不满足条件i <3，退出循环体，输出S ＝0，∴2[2(2S －1)－1]－1＝0，∴S ＝78. 6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为 3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是________.答案 25解析不妨设两条直角边为3,1，故斜边，即大正方形的边长为32＋12＝10，小正方形边长为2，故概率为2×210×10＝25. 7.欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率为________.答案 14π解析由题意可得直径为4 cm 的圆的面积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π(cm 2)，而边长为1 cm 的正方形的面积为1×1＝1(cm 2)，根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P ＝14π. 8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为________平方尺.答案 138π解析设四棱锥的外接球半径为r ，则(2r )2＝72＋52＋82＝138，∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr 2＝138π.9.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生________天.答案 510解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.10.《书章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位).这个问题中，甲所得为________钱.答案 43解析设甲、乙、丙、丁、戊所得质量分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1.则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝4a 3＝43. 11.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米约_____斛.(古制1丈＝10尺，1斛≈1.62立方尺，圆周率π≈3)答案 2700解析由题意，得2πr ＝54，r ≈9，圆柱形容器体积为πr 2h ≈3×92×18，所以此容器约能装3×92×181.62＝2700(斛)米. 12.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测：(1)b 2018是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________.(用k 表示)答案 (1)5045 (2)5k (5k －1)2解析由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知，b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k ∈N *)， b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 018＝b 2×1 009＝a 5×1 009＝a 5 045，即b 2 018是数列{a n }中的第5 045项.。

2020届江苏省普通高中高三下学期高考全真模拟卷(四)数学试题(解析版)

绝密★启用前
江苏省普通高中
2020届高三下学期高考全真模拟卷(四)
(南通密卷)
数学试题
(解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集运算即可求解.
【详解】因为，，
所以
【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于容易题.
2.已知复数，其中i为虚数单位，则的模是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的运算求出，求复数模即可.
【详解】因为，
所以，
故，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,复数的模,属于容易题.
3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n的值是
___________．
【答案】108
【解析】
【分析】
根据小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2,可知分层抽样时,高中生按的比例抽样即可求解.
【详解】因为小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2,
所以样本中高中生人数为,
解得,
故答案为：108
【点睛】本题主要考查了分层抽样,样本容量,属于容易题.
4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x的值为5,那么输出的y的值是
___________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据框图,模拟程序运算即可求解.。

(江苏专用)2020高考数学二轮复习综合仿真练(四)

综合仿真练(四)1.如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AC ，E 是PA 的中点，F 是PC 的中点．(1)求证：PC ∥平面BDE ； (2)求证：AF ⊥平面BDE .证明：(1)连结OE ，因为O 为菱形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．又因为E 为PA 的中点，所以OE ∥PC .又因为OE ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，所以PC ∥平面BDE . (2)因为PA ＝AC ，△PAC 是等腰三角形，又F 是PC 的中点，所以AF ⊥PC . 又OE ∥PC ，所以AF ⊥OE .又因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ⊥BD .因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，因为AF ⊂平面PAC ，所以AF ⊥BD . 因为OE ∩BD ＝O ，所以AF ⊥平面BDE .2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，tan (B －A )＝13.(1)求tan B 的值；(2)若c ＝13，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，由cos A ＝35，知sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan B ＝tan [(B －A )＋A ]＝tan B －A ＋tan A1－tan B －A tan A ＝13＋431－13×43＝3.(2)在△ABC 中，由tan B ＝3，知B 是锐角，所以sin B ＝31010，cos B ＝1010，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×1010＋35×31010＝131050.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c ·sin Bsin C ＝13×31010131050＝15，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×15×13×45＝78.3．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，一个焦点为F (－1,0)，点F 到相应准线的距离为3.经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)求椭圆M 的方程；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．解：(1)由焦点F (－1,0)知c ＝1，又a 2c－c ＝3，所以a 2＝4，从而b 2＝a 2－c 2＝3. 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1，此时S 1＝S 2，|S 1－S 2|＝0；若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，k ≠0，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 24＋y23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k23＋4k2.此时|S 1－S 2|＝12·AB ·||y 1|－|y 2||＝2|y 1＋y 2|＝2|k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)|＝2|k ||(x 1＋x 2)＋2|＝2|k |⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23＋4k 2＋2＝2|k |⎪⎪⎪⎪⎪⎪63＋4k 2＝12|k |3＋4k 2. 因为k ≠0，所以|S 1－S 2|＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝1243＝3，当且仅当3|k |＝4|k |，即k ＝±32时取等号．所以|S 1－S 2|的最大值为 3.4.如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M ，N 在线段DE (含端点)上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD ＝6米，AE ＝6米，AP ＝2米，∠MPN ＝π4.记∠EPM ＝θ(弧度)，监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S平方米．(1)求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：tan 54≈3 (2)求S 的最小值．解：(1)法一：在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4米，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ，由正弦定理得PM sin ∠PEM ＝PEsin ∠PME ，所以PM ＝PE ·sin∠PEMsin ∠PME＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝4sin θ＋cos θ，在△PNE 中，由正弦定理得PN sin ∠PEN ＝PEsin ∠PNE ，所以PN ＝PE ·sin∠PENsin ∠PNE＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝22cos θ，所以△PMN 的面积S ＝12PM ·PN ·sin ∠MPN ＝4cos 2θ＋sin θcos θ＝41＋cos 2θ2＋12sin 2θ＝8sin 2θ＋cos 2θ＋1＝82sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时，tan ∠APD ＝3，即∠APD ＝54，θ＝3π4－54，所以0≤θ≤3π4－54.综上可得，S ＝82sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54.法二：在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4米，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ，由正弦定理得ME sin θ＝PEsin ∠PME ，所以ME ＝PE ·sin θsin ∠PME＝4sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝42sin θsin θ＋cos θ，在△PNE 中，由正弦定理得NE sin ∠EPN ＝PEsin ∠PNE，所以NE ＝PE ·si n ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos θ＝22sin θ＋cos θcos θ，所以MN ＝NE －ME ＝22cos 2θ＋sin θcos θ，又点P 到DE 的距离为d ＝4sin π4＝22，所以△PMN 的面积S ＝12MN ·d＝4cos 2θ＋sin θcos θ＝41＋cos 2θ2＋12sin 2θ＝8sin 2θ＋cos 2θ＋1＝82sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时， tan ∠APD ＝3，即∠APD ＝54，θ＝3π4－54，所以0≤θ≤3π4－54.综上可得，S ＝82sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54.(2)当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54时，S 取得最小值为82＋1＝8(2－1).所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2－1)平方米． 5．(2019·常州模拟)已知函数f (x )＝ln x x，g (x )＝x 2－2x .(1)求f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程；(2)若关于x 的不等式f 2(x )＋tf (x )>0有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； (3)若h (x )＝g (x )＋4xf (x )存在两个正实数x 1，x 2满足h (x 1)＋h (x 2)－x 21x 22＝0，求证：x 1＋x 2≥3.解：(1)f (x )＝ln xx，f (1)＝0，所以P 点坐标为(1,0);又f ′(x )＝1－ln x x2，f ′(1)＝1，则切线方程为y －0＝x －1，所以函数f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x －y －1＝0. (2)f ′(x )＝1－ln x x2(x >0) x (0，e) e (e ，＋∞)f ′(x ) 正 0 负 f (x )单调增极大值单调减由f 2(x )＋tf (x )>0, 得f (x )[f (x )＋t ]>0；①t >0时，f (x )>0或f (x )<－t ，满足条件的整数解有无数个，舍； ②t ＝0时，f (x )≠0，得x >0且x ≠1，满足条件的整数解有无数个，舍； ③t <0时，f (x )<0或f (x )>－t ，当f (x )<0时，无整数解；当f (x )>－t 时，不等式有且仅有三个整数解，又f (3)＝ln 33，f (2)＝f (4)＝ln 22，f (5)＝ln 55因为f (x )在(0，e)递增，在(e ，＋∞)递减；所以f (5)≤－t <f (4), 即ln 55<－t ≤ln 22，即－ln 22<t ≤－ln 55；所以实数t 的取值范围为－ln 22<t ≤－ln 55. (3)证明：h (x )＝x 2－2x ＋4ln x ，因为h (x 1)＋h (x 2)－x 21x 22＝0，所以x 21－2x 1＋4ln x 1＋x 22－2x 2＋4ln x 2－x 21x 22＝0，即(x 1＋x 2)2－2(x 1＋x 2)＝x 21x 22＋2x 1x 2－4ln x 1x 2，令t ＝x 1x 2，φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)，则φ′(t )＝2t ＋2－4t＝2t －1t ＋2t(t >0)，当t ∈(0,1)时，φ′(t )<0，所以函数φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)在(0,1)上单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，φ′(t )>0，所以函数φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)在(1，＋∞)上单调递增．所以函数φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)在t ＝1时，取得最小值，最小值为3.因为存在两个正实数x 1，x 2，满足h (x 1)＋h (x 2)－x 21x 22＝0，所以(x 1＋x 2)2－2(x 1＋x 2)≥3，即(x 1＋x 2)2－2(x 1＋x 2)－3≥0，所以x 1＋x 2≥3或x 1＋x 2≤－1. 因为x 1，x 2为正实数，所以x 1＋x 2≥3.6．(2019·启东中学模拟)若数列{a n }中的项都满足a 2n －1＝a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)，则称{a n }为“阶梯数列”．(1)设数列{b n }是“阶梯数列”，且b 1＝1，b 2n ＋1＝9b 2n －1(n ∈N *)，求b 2 016； (2)设数列{c n }是“阶梯数列”，其前n 项和为S n ，求证：{S n }中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列； (3)设数列{d n }是“阶梯数列”，且d 1＝1，d 2n ＋1＝d 2n －1＋2(n ∈N *)，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n d n ＋2的前n项和为T n . 问是否存在实数t ，使得(t －T n )⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1Tn<0对任意的n ∈N *恒成立？若存在，请求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵b 2n ＋1＝9b 2n －1，b 1＝1，∴{b 2n －1}是以b 1＝1为首项9为公比的等比数列， ∴b 2n －1＝b 1×9n －1＝32n －2，∴b 2 015＝32 014，∵数列{b n }是“阶梯数列”，∴b 2 016＝b 2 015＝32014.(2)证明：由数列{c n }是“阶梯数列”得c 2n －1＝c 2n ，故S 2n －1－S 2n －2＝S 2n －S 2n －1， ∴{S n }中存在连续三项S 2n －2，S 2n －1，S 2n (n ≥2)成等差数列；(注：给出具体三项也可) 假设{S n }中存在连续四项S k ，S k ＋1，S k ＋2，S k ＋3，成等差数列，则S k ＋1－S k ＝S k ＋2－S k ＋1＝S k ＋3－S k ＋2，即c k ＋1＝c k ＋2＝c k ＋3，当k ＝2m －1，m ∈N *时，c 2m ＝c 2m ＋1＝c 2m ＋2 ，① 当k ＝2m ，m ∈N *时，c 2m ＋1＝c 2m ＋2＝c 2m ＋3 ，②由数列{c n }是“阶梯数列”得c 2m <c 2m ＋1＝c 2m ＋2<c 2m ＋3，③①②与③都矛盾，故假设不成立，即{S n }中不存在连续四项成等差数列． (3)∵d 2n ＋1＝d 2n －1＋2，d 1＝1，∴{d 2n －1}是以d 1＝1为首项2为公差的等差数列， ∴d 2n －1＝d 1＋(n －1)×2＝2n －1，又数列{d n }是“阶梯数列”，故d 2n －1＝d 2n ＝2n －1， ∴1d 2n d 2n ＋2＝1d 2n －1d 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，①当n ＝2k (k ∈N *)时，T n ＝T 2k ＝⎝⎛⎭⎪⎫1d 1d 3＋1d 2d 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1d 3d 5＋1d 4d 6＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1d 2k －1d 2k ＋1＋1d 2k d 2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1d 1d 3＋1d 3d 5＋…＋1d 2k －1d 2k ＋1＝2×12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12k －1－12k ＋1＝1－12k ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，∴T n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1， ∴－1T n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－1，又(t －T n )⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1T n <0恒成立，∴－1T n <t <T n 恒成立，∴－1≤t <23 .②当n ＝2k －1(k ∈N *)时，T n ＝T 2k －1＝T 2k －1d 2k d 2k ＋2＝T 2k －1d 2k －1d 2k ＋1＝T 2k －12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1－12k ＋1＝1－14k －2－14k ＋2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1，∴－1T n∈[－3，－1)，又(t －T n )⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1T n <0恒成立，∴－1T n <t <T n 恒成立，∴－1≤t <13. 综上①②，存在满足条件的实数t ，其取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，13.。

2019-2020学年度最新数学高考江苏专版二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(四)-含解析

2019-2020学年度最新数学高考江苏专版二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练（四）-含解析综合仿真练(四)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________．解析：集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.答案：5 2．复数z ＝21－i(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________．解析：z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为1－i.答案：1－i3．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．解析：阅读流程图，当k ＝2,3,4,5时，k 2－7k ＋10≤0，一直进行循环，当k ＝6时，k 2－7k ＋10＞0，此时终止循环，输出k ＝6.答案：64．在数字1,2,3,4中随机选两个，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．解析：在数字1,2,3,4中随机选两个，基本事件总数n ＝6，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，所以选中的数字中至少有一个是偶数的概率为P ＝1－16＝56.答案：565．双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x ＝－53，所以右焦点与左准线之间的距离是3－⎝⎛⎭⎫－53＝143. 答案：1436．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．解析：由题意，得840＝n 40＋10＋40＋60，所以n ＝30.答案：307．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，作出可行域如图，化目标函数z ＝2x ＋3y 为y ＝－23x ＋13z ，由图可知，当直线y ＝－23x ＋13z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y －x －1＝0，解得A (1，2)，故z max ＝8.答案：88．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________．解析：取点O 为底面ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点E ，连结OE ，SE ，则OE ＝BE ＝1，在Rt △SBE 中，SE ＝SB 2－BE 2＝2，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2＝1，从而该正四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×2×2×1＝43.答案：439．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．解析：法一：由题意知，当A 在原点时，PQ 最小，此时，sin ∠PAC＝23，cos ∠PAC ＝73，cos ∠PAQ ＝59，故cos ∠PCQ ＝－59，∴PQ ＝PC 2＋QC 2－2×PC ×QC ×cos ∠PCQ ＝2＋2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－59＝2143，当A 点离原点无限远时，PQ 接近于22， ∴PQ 的取值范围为⎣⎡⎭⎫2143，22.法二：设CA ＝x ，x ∈[3，＋∞)，则PA ＝x 2－2，sin ∠ACP ＝PACA＝x 2－2x＝1－2x2，所以PQ ＝2CP ·sin ∠ACP ＝22·1－2x 2.因为x ∈[3，＋∞)，所以y ＝1－2x 2在[3，＋∞)上为增函数，所以2143≤PQ <2 2. 答案：⎣⎡⎭⎫2143，2210．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x，x ≤0，ax －ln x ，x >0，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为________．解析：易知函数f (x )在(－∞，0]上有一个零点，所以由题意得方程ax －ln x ＝0在(0，＋∞)上恰有一解，即a ＝ln x x 在(0，＋∞)上恰有一解. 令g (x )＝ln xx ，由g ′(x )＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，g (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x ＝e 处取得极大值也为最大值，作出y ＝g (x )与y ＝a 的图象(图略)，知当正实数a ＝g (x )max 时两函数有一个交点，所以a ＝g (e)＝1e.答案：1e11．设直线l 是曲线y ＝4x 3＋3ln x 的切线，则直线l 的斜率的最小值为________．解析：y ′＝12x 2＋3x(x >0)，令g (x )＝12x 2＋3x ，则g ′(x )＝24x －3x2，令g ′(x )＝0，得x ＝12，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )>0，所以当x ＝12时，g (x )取得最小值g ⎝⎛⎭⎫12＝9，故y ′＝12x 2＋3x 的最小值为9，即直线l 的斜率的最小值为9.答案：912．扇形AOB 中，弦AB ＝1，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP ―→·BP ―→的最小值是________．解析：设弦AB 的中点为M ，则OP ―→·BP ―→＝(OM ―→＋MP ―→)·BP ―→＝MP ―→·BP ―→，若MP ―→，BP ―→同向，则OP ―→·BP ―→>0；若MP ―→，BP ―→反向，则OP ―→·BP ―→<0，故OP ―→·BP ―→的最小值在MP ―→，BP ―→反向时取得，此时|MP ―→|＋|BP ―→|＝12，OP ―→·BP ―→＝－|MP ―→|·|BP ―→|≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|MP ―→|＋|BP ―→|22＝－116，当且仅当|MP ―→|＝|BP ―→|＝14时取等号，即OP ―→·BP ―→的最小值是－116.答案：－11613．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是直线y ＝3x ＋2上的两点，则tan(α＋β)的值为________．解析：由题意，α，β是方程3cos x －sin x ＋2＝0的两根．设f (x )＝3cos x －sin x ＋2，则f ′(x )＝－3sin x －cos x . 令f ′(x )＝0，得tan x 0＝－33，所以α＋β＝2x 0，所以tan(α＋β)＝－ 3. 答案：－ 314．已知函数f (x )＝|x －a |－3x ＋a －2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为________．解析：f (x )＝⎩⎨⎧x －3x －2，x ≥a ，－x －3x ＋2a －2，x <a ，当x ≥a 时，由x －3x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，结合图形知，①当a <－1时，x 3，－1,3成等差数列，则x 3＝－5，代入－x －3x ＋2a －2＝0得，a ＝－95； ②当－1≤a ≤3时，方程－x －3x ＋2a －2＝0，即x 2＋2(1－a )x ＋3＝0，设方程的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则x 3x 4＝3，且x 3＋3＝2x 4，解得x 4＝3±334，又x 3＋x 4＝2(a －1)，所以a ＝5＋3338.③当a >3时，显然不符合．所以a 的取值集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－95，5＋3338. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－95，5＋3338。

2020版高考数学二轮复习教程仿真模拟卷四理

仿真模拟卷四本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝｛x｜x≥1｝，B＝{x|2x－3〉0｝，则A∪B＝( ) A．［0，＋∞) B．［1,＋∞）C。

错误! D.错误!答案B解析因为B＝{x|2x－3>0}＝错误!，A＝｛x｜x≥1}，所以A∪B＝[1,＋∞)．2．已知复数z满足（1－i)z＝2i（i为虚数单位)，则错误!＝( ）A．－1－i B．－1＋iC．1＋i D．1－i答案A解析由（1－i）z＝2i,得z＝错误!＝错误!＝－1＋i,∴错误!＝－1－i。

3．设a，b是空间两条直线，则“a，b不平行”是“a,b是异面直线”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a，b是异面直线⇒a,b不平行．反之，若直线a,b不平行,也可能相交,不一定是异面直线．所以“a，b不平行”是“a,b是异面直线”的必要不充分条件．4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝错误!lg 错误!,其中星等为m k的星的亮度为E k(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7,天狼星的星等是－1。

45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（)A．1010.1B．10。

1 C．lg 10。

1 D．10－10。

1答案A解析两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝错误!lg 错误!，令m2＝－1。

45,m1＝－26。

7，则lg 错误!＝错误!(m2－m1）＝错误!×(－1。

45＋26。

7）＝10.1,从而错误!＝1010。

1.5．执行如图所示的程序框图,若输出结果为1，则可输入的实数x的值的个数为( ）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析根据题意，该框图的含义是：当x≤2时，得到函数y＝x2－1；当x>2时，得到函数y＝log2x，因此,若输出的结果为1时，若x≤2，得到x2－1＝1，解得x＝±2，若x>2，得到log2x＝1，无解，因此，可输入的实数x的值可能为－错误!，错误!，共有2个．6．安排A，B，C，D，E,F,共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有（）A．30种B．40种C．42种D．48种答案C解析6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有C错误!C错误!＝90种安排方法，其中A照顾老人甲的情况有C错误!C错误!＝30种，B照顾老人乙的情况有C错误!C错误!＝30种，A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有C错误!C错误!＝12种，所以符合题意的安排方法有90－30－30＋12＝42种．7．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则错误!·错误!＝( ）A。

2020-2021学年高三下学期数学考试仿真系列卷四(江苏等八省新高考地区专用)(解析版)

2020-2021学年高三下学期数学考试仿真系列卷四注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{11,|A x N x B x y =∈-≤==，则A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】A【解析】{}{}11=0,1,2A x N x =∈-≤，{[]|=1,1B x y ==-，{}0,1A B =，所以A B 的真子集的个数为2213-=，故选:A 。

【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解、根式函数定义域以及集合的交集运算，考查了真子集个数，属于基础题. 2.已知复数52iz i=-，则共轭复数z 在复平面对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】()()()52512222i i i z i i i i +===-+--+，12z i =-- 对应的点的坐标为()1,2--，在第三象限，故选：C【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念以及复数的几何意义，属于基础题.3.62223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）A ．643-B ．12881-C ．64D ．-128【答案】D【解析】62223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为6663166222(2)233r rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令633r -=，则1r =，所以62223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为156221283C ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭⋅.故选：D【点睛】本题考查了根据二项式定理展开式的通项求特定项的系数,属于基础题. 4.函数sin 2()x x xf x e e-=+在[–],ππ的大致图象是（）． A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为sin 2()x x x f x e e -=+，所以()()()2sin 2sin x x x xx xf x f x e e e e----==-=-++，所以()f x 为[–],ππ上的奇函数，其图象关于原点对称，故C 、D 不正确；当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以()0f x >，故B 不正确;故选:A.【点睛】【点睛】本题考查了通过研究函数的性质来识别的函数图象,属于基础题. 5.十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于45，则需要操作的次数n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．3 B ．4 C ．5D ．6【答案】B【解析】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -．于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933n n n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，24135n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg 35n ≤，解得3.97n ≥，又n 为整数，所以n 的最小值为4．故选：B ．【点睛】本题考查了以数学文化为背景，考查了等比数列前n 项和以及对数不等式的解法，属于基础题。