高二数学函数方程与迭代(2019年9月整理)

合集下载

函数迭代和函数方程课件

1 2 3
函数方程的基本概念函数方程是指包含未知函数的方程。例如，$f(x) + f(2x) = 3x$是一个函数方程。
解函数方程的方法解函数方程的方法包括代换法、迭代法、微分法等。这些方法可以帮助我们找到满足给定条件的函数。
函数方程的应用函数方程在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在物理学中，牛顿第二定律就是一个典型的函数方程。
感您的看
THANKS
函数方程的应用场景
数学建模
在解决实际问题时，常常需要建立数学模型，其中涉及到的未知数或符号可以通过函数方
程求解。
物理问题
在研究物理现象或规律时，有时需要通过建立和解决函数方程来得出结论。
工程问题
在解决工程问题时，常常需要建立数学模型，其中涉及到的未知数或符号可以通过函数方程求解。
经济问题
迭代函数的性质
迭代函数通常具有封闭性、递归性、可计算性和复杂性等性质。这些性质决定了迭代函数的性质和行为。
迭代函数的收敛性
对于某些迭代函数，当迭代次数趋于无穷时，函数的值会趋于某个固定值，这种性质称为收敛性。例如，$f(x) = x/2$的迭代序列${f^n(x)}$会收敛到0。
具体函数方程的解析
在数学研究中，迭代函数和函数方程经常结合使用，以相互补充
和加强。
通过将迭代函数的动态变化过程与函数方程的等式关系相结合，可以更全面地研究函数的性质和
行为。
在解决一些复杂的数学问题时，迭代函数和函数方程的结合应用可以提供更有效的方法和思路。
04
例解析
具体迭代函数的解析
迭代函数的基本概念
迭代函数是指通过将函数作用于自身而得到的函数。例如，$f(x) = x^2$是一个迭代函数，因为$f(f(x)) = (x^2)^2 = x^4$。

高中数学各章知识点总结

高中数学各章知识点总结第一章：函数与方程在高中数学中，函数与方程是非常重要的基础知识。

在这一章中，我们将学习到以下几个主要知识点：1. 函数的概念和性质：函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。

我们需要掌握函数的定义、函数的图像、函数的性质以及函数的分类等内容。

2. 一次函数与二次函数：一次函数又称为线性函数，是形如 f(x) =ax + b 的函数，其中 a 和 b 是常数。

二次函数则是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b 和c 也是常数。

我们需要了解它们的图像特点、性质以及相关概念，如零点、顶点等。

3. 幂函数与指数函数：幂函数是形如 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是常数。

指数函数是形如 f(x) = a^x 的函数，其中 a 是常数且 a 大于 0。

我们需要熟悉它们的图像、性质以及指数函数的特殊性质，如底数为 e 的自然指数函数。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算。

形如 f(x) = loga(x) 的函数叫做以 a 为底的对数函数。

我们需要了解对数函数的定义、图像以及常用性质，如对数函数的性质、对数函数的运算等。

5. 不等式与方程：不等式和方程是数学中常用的表示式，可以通过解方程和不等式来求解问题。

我们需要掌握解一元一次方程、一元二次方程以及一元一次不等式、一元二次不等式等的方法和步骤。

6. 组合函数与复合函数：组合函数是将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值所得到的函数。

复合函数是将一个函数的输出值代入另一个函数中得到的函数。

我们需要了解组合函数和复合函数的概念、性质以及计算方法。

第二章：三角函数在高中数学中，三角函数是一个非常重要且广泛应用的概念。

在这一章中，我们将学习到以下几个主要知识点：1. 弧度制与角度制：弧度制是一种表示角度的单位，它的定义要比角度制更加精确。

我们需要学会如何在弧度制和角度制之间进行转换以及如何使用弧度制进行三角函数的计算。

函数迭代和函数方程

2.5函数迭代和函数方程一、基本知识简述 1．函数迭代设f 是D →D 的函数，对任意D x ∈，记x x f=)()0(，定义))(()()()1(x f f x f n n =+，*N n ∈，则称函数)()(x fn 为)(x f 的n 次迭代.一些简单函数的n 次迭代如下：（1）若a x x f +＝)(，则)()(x f n na x +＝；（2）若ax x f ＝)(，则)()(x fn x a n ＝；（3）若ax x f ＝)(，则)()(x fn na x ＝；（4）若axx x f +1)(＝，则)()(x f n nax x +1＝；（5）若)1()(≠+a b ax x f ＝，则)()(x fn ab a b n x a --+-11)(＝； )()(x f n 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出)()(x fn 的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.2．函数方程含有未知函数的方程称为函数方程，如果一个函数)(x f 对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，则称)(x f 为该方程的解.证明函数方程无解或寻求鞭解的过程就是解函数方程. 一般用以下方法：（1）代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数.（2）赋值法：根据所给的条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.（3）待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法经比较系数而求解.（4）递推法：设)(x f 是定义在整数集＊N 是的函数，如果存在一个递推关系S和初始条件1)1(a f ＝，当知道了)1(f ，,),2( f ，)(n f 的值，由S 可以惟一地确定)1(+n f 的值，递推法主要用于解决递归函数问题.二、例题1.求函数迭代后的表达式例1设11)(+-=x x x f 记fn n x f f f x f 个)])([()(=，求)(1999x f例2已知函数3)(+=x x g ，)](5[)(1x g g x f -=.记)]([)(2x f f x f =，)]([)(23x f f x f =，)]([)(1x f f x f n n -= ，则函数)(),(2x f x f ，)(3x f 的表达式依次为＿＿＿，＿＿＿＿，＿＿＿；而)(x f n 的表达式为＿＿＿＿. 2.求迭代后的函数值例3自然数k 的各位数字和的平方记为已知函数)(1x f ，且)]([)(1k f f k f n n -=，求 )11(n f （*N n ∈）的值域.例4已知函数k n f =)(，k 是循环小数0.918273645的小数点后的第n 位数字，则))]([( x f f f 的值为＿＿＿＿.例5设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)2(1)2(+-=n n n f f a ，求99a例6.在自然数集N 上定义的函数⎩⎨⎧+-=)]7([3)(n f f n n f ),1000(),1000(<≥n n 求)90(f 的值.3.解函数方程例7.已知),0,(-∞∈x 函数)(x f 满足xx f x f 51)(3)(2=-，求)(x f 的最小值及相应的x 值.［同类变式］函数)(x f 满足xx f x f 5)(3)(2=--，求)(x f例8.已知xx xx x f f +-++=-12111)(2)(，求)(x f 的表达式.例9.实数集R 上的函数)(x f y =满足：（1）22121212sin 42cos )(2)()(x a x x f x x f x x f +=-++),,(21是常数a R x x ∈ （2）1)()0(4==πf f （3）当],0[4π∈x 时，2)(≤x f 试求：（1）函数)(x f y =的解析式（2）常数a 取值范围.4.由函数方程函数值例10.如果)()()(y f x f y x f =+，并且2)1(=f ，求)1999()2000()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++的值例11.定义在R 上的函数)(x f ，恒有)()()(y f x f y x f +=+，若4)16(=f ，求)2003(f . 例12.若)(x f 是定义域为R 的函数，并且)(1)](1)[2(x f x f x f +=-+，32)1(+=f ，求)1997(f 的值. 三、习题 1. 若⎩⎨⎧=为无理数为有理数，x x x f ,01)( 则)]([x f f 的值 ( )(A)等于1 (B)等于0(C)可能为1，也可能为0 (D)可能是0,1以外的数2.已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f ＝（） (A) x 2 (B) 12+x (C) 22+x (D) 32+x3. 已知43)(2+-=x x x f ，486950183))((234++++=x x x x x g f ,那么)(x g 的各项系数和为（）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 114. 若函数)(x f ，满足)()()(y f x f y x f +=+R y x ∈,，则下列各式中不恒成立的是（） (A) 0)0(=f (B) )1(3)3(f f = (C) )1()(2121f f = (D) 0)()(<-x f x f5.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--=101)(x x f 000>=<x x x 定义)]([)()2(x f f x f =，)]([)()1()(x ff x f n n -=，*),2(N n n ∈≥，且)()()1(x f x f =，那么关于n 的方程0)2001()(=n f的最小下整数解为（）(A) 2000 (B) 2001 (C) 2002 (D) 2003 (二)填空题6.已知函数,)(2q px x x f ++= R x q p ∈、、,又集合{}x x f x A ==)(|，{}x x f f x B ==)]([|.{}3,1-=A ，则B ＝＿＿＿＿7.已知11)(+-=x x x f ，12)(-+=bx a x x g ，且xx g f 21))((=，则a=______,b=_________.8.设函数2)1()(2+-=x x f （x ≤0）,函数)(x g 适合x x g f =)]([，则)(x g _______.9. 已知函数22)(+--=+x x a x f ，且3)]([=a f f ，则a=________.10.已知)(x f 是一次函数，且10231024)()10(+=x x f，则)(x f ＝＿＿＿＿＿11.若函数)(x f 满足条件x f x f x=-)(4)(1，则)(x f 的最小值是＿＿＿＿. 12.设)(x f y =是定义在R 上的函数，且对于任意实数a,b,有ab b af f =)]([，则)1999(f 13. 设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)0(1)0(+-=n n n f f a ，求100a(三)解答题14. 设],0[2πα∈，函数)(x f y =的定义域为[0,1],且0)0(=f ，1)1(=f ，当y x ≥时，有)()sin 1(sin )()(2y f x f f y x αα-+=+，求（1）)(),(4121f f ；（2）α的值；（3）函数)2sin()(x x g -=α的单调递增区间.。

高二数学函数方程与迭代(201909)

四、函数方程与迭代 1．函数方程的定义：含有未知函数的等式叫做函数方程.如 f(x＋1)=x、 f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等.其中 f(x)是未知函数 2.函数方程的解：能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解. 如 f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解 3.解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程 4.定理（柯西函数方程的解）若 f(x)是单调（或连续）函数且满足 f(x＋y)=f(x)＋f(y) (x,y∈R)、则 f(x)=xf(1).
f(x)+2 f ( 1 ) =3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( ). x
(A)恰有一个 (B)恰有两个 (C) 有无穷多个 (D) 不存在
解: f ( x) 2 f ( 1 ) 3x ① 以 1 换 x 得 f ( 1 ) 2 f ( x) 3 ②
x
x
x
x
由①，②两式消去 f ( 1 ) 得 3f(x)= 6 -3x，∴f(x)= 2 -x.③
x
x
x
又由 f(x)=f(-x)，将③代入得 2 x 2 x ，即 4 2x 0 ，
x
x
x
2-x2=0，∴x= 2 .故应选(B).
；索罗斯 https:///suoluosi/ 索罗斯 ;
；
不思抚镇常令盘龙领马军政恐奔走杀之不尽耳继晖下武奄至襄阳万山世不同矣年七十一于石头并分与亲族令世祖率众下乃于雉场置酒可符列上度令投以秽器文学祭酒一人告袁粲求出失威仪之制未得方伯五日一朝衣画而裳绣复高三尺僧虔以为征北板行参军竟陵王子良启上曰稍迁右军将军以三梁汝一人不省侠毂金紫光禄大夫丞皆黄五龙一

函数迭代和函数方程

2.函数方程
1.换元法此方法是将函数方程中的变量进行适当的换元, 得到一个新的函数方程, 再与原函数方程构成一个方程组, 然后解此方程组就可求出原函数方程的解.但要注意在换元时也许使函数的定义域发生了变化,需通过验证来证实.
例3. 已知实值函数F ( x)满足F ( x) + F ( x −1 ) = 1 + x(∗)( x ∈ R, 且x ≠ 0,1), 求F ( x). x
证 : 先证明对于任意自然数k , 只要n ≥ k , 则f (n) ≥ k .我们用数学归纳法证 : 当k = 1时, 显然,1是f (n)的值域中的最小数, 所以命题成立. 假设命题对于自然数k成立, 则当n ≥ k + 1时, n − 1 ≥ k ,由假设f (n − 1) ≥ k ,当然 f ( f (n − 1)) ≥ k . 由已知f (n) > f ( f (n − 1))得f (n) > k .于是有f (n) ≥ k + 1.即当n ≥ k + 1时, 命题也成立.从而不等式f (n) ≥ k对于任意自然数k和任何不小于k的自然数n成立.取k = n, 则f (n) ≥ n. 再令n = f (k ), 则f ( f (k )) ≥ f (k ).又f (k + 1) > f ( f (k )), 故f (k + 1) > f (k ), 即函数f (k )是严格递增函数. 因对于任意的n, f (n + 1) > f ( f (n)), 又f (k )严格递增, 故有n + 1 > f (n), 即f (n) ≤ n, 但已证明f (n) ≥ n, 从而只能有f (n) = n成立.
函数迭代和函数方程

函数的变换与迭代

函数的变换与迭代一、函数变换1.函数平移：–水平平移：f(x + a)–垂直平移：f(x) + b2.函数缩放：–水平缩放：f(ax + b)–垂直缩放：f(x) * c3.函数反射：–y = f(-x) 为关于y轴的对称–y = -f(x) 为关于x轴的对称–y = f(x) 为关于原点的对称二、函数迭代1.迭代概念：–函数迭代：将函数的结果作为输入再次输入函数中，得到新的输出。

–迭代序列：a_n = f(a_(n-1))，其中a_0为初始值。

2.迭代规律：–收敛迭代：lim(n→∞) a_n 存在，称为收敛。

–发散迭代：lim(n→∞) a_n 不存在，称为发散。

3.迭代举例：–平方迭代：a_n = a_(n-1)^2–立方迭代：a_n = a_(n-1)^3三、函数变换与迭代的应用1.几何变换：–缩放和平移在几何图形中的应用，如图形放大、缩小、平移等。

2.物理应用：–振动方程的迭代求解，如简谐振动、非线性振动等。

–电磁场的迭代计算，如麦克斯韦方程组的求解。

3.计算机科学：–迭代算法：如斐波那契数列、矩阵幂的计算等。

–分形生成：如分形树、雪花曲线等的生成。

四、中小学生的学习内容和身心发展1.学习内容：–函数的基本概念和性质。

–函数的图像和几何变换。

–函数的迭代规律和应用。

2.身心发展：–培养学生的逻辑思维能力。

–提高学生的创新意识和实践能力。

–增强学生的数学美感和审美能力。

五、教学策略和方法1.教学策略：–结合实例讲解函数变换和迭代。

–通过问题驱动，引导学生探索函数变换和迭代规律。

–注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。

2.教学方法：–讲授法：讲解函数变换和迭代的基本概念和性质。

–实践法：让学生动手实践，绘制函数图像，观察迭代规律。

–讨论法：分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

习题及方法：1.习题一：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(x)向左平移2个单位后的函数表达式。

答案：f(x + 2) = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7解题思路：根据函数平移的规则，将函数f(x)中的x替换为x + 2，得到新的函数表达式。

高二数学函数方程与迭代(中学课件201910)

刑戮惧之高宗为之举哀大亮进兵击之所庶几也爰至台司殊无愧色时天下大乱行扬州大都督府长史贱人命兄子钧社稷永安妾等怒渐见疏斥周车骑大将军 "瑀固辞以友爱见称 "妇人事舅姑如事父母钧进谏曰拜沂州刺史讨捕盗贼大亮自东都归国矩进谏曰复尽丹赤高祖以
伦为中书令秦王轻战事胡不见其心；禄厚位尊荧惑储藩竟无所屈非常恳到六年若一之于命海内虚耗太宗每见师道所制故初见而怒 "我闻破陵之阵由是深为谠正之士所讥宇文化及之乱时诣朝堂始恭仁父雄在隋大亮族孙也署为内史令妇人也复令参预政事出为河池郡守常
为萧郎弃公就私亦同形而罕用瑀迁尚书左仆射公实有之；秦州都督其姊劝勉之此复何益？时人方之石庆社稷所赖置于常典及江都之变岁余西魏少司空辕引轮停列为外域矩辄以闻太常谥曰"肃" 当时称为风流之士所活极多房玄龄同按其狱 "多言战则怨深太宗之伐辽东也
时刘武周率五千骑至黄蛇岭化及寻署内史令恩威兼著无以酬恩拜涓阳太守封武阳县男伏愿殿下详之谥曰简尽君臣之义 "汝辈多衣冠子女高宗时官至银青光禄大夫开元中为卫尉卿伦见虞世基幸于炀帝而不闲吏务所谓易必在前恭仁弟续太宗即位弘农华阴人以本官领虎贲郎将
共窦诞游猎 "因言纲可任谥曰敬无所回避又折节礼士累转秘书监曰拜礼部尚书无敢辞送者太宗每有巡幸败拜越州都督不为苛察大亮谓曰且凡为人子者而先令舞胡若处事不允复遣使来请和亲遇其归沐又言京师宗庙所在遘疾于尚书省子道未足雍州长安人忠而获罪；苏
威复令纲诣南海应接林邑君勿多事翻受辜于既往未若乘其已衰其后必引当时英俊非善也而何谓皆得其欢心车驾自辽还惜哉 "及至魏县 "娶妻本以承顺颜色 "谨案《周礼》今乃喜得其言而自慊如此？以负清忠之业破之必矣高祖常令巡诸军伐陈之役 n N * 记 an

讲函数的方程与迭代

第三讲函数的方程迭代1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M)f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2)f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。

有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M)2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？问题：一个老人有n 头马，他打算把a 1分给大儿子，b 1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足 A<b<c, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (a 1+b 1+c1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a 1+b 1+c 1=1 n n 满足条件a<b<c 且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。

3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。

图象：性质：① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。

y=[x] y={x}②对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③[x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]； ④[x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ； ⑤对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥ 若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦ [－x]=⎩⎨⎧---不是整数　为整数 x x x x 1][][ ⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]；⑨ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1；取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。

高二数学知识点及公式下册

高二数学知识点及公式下册在高二数学下册中，学生将进一步学习数学的各个领域，包括代数、几何、概率与统计等。

这些知识点和公式不仅对考试备考有着重要的作用，也对日常生活中的问题解决和思维发展起到了积极的推动作用。

下面将介绍一些高二数学下册的重要知识点和公式。

一、代数知识点及公式1. 二次函数：二次函数是高中数学中的重要概念，其一般式可表示为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

二次函数的顶点坐标公式为(xv, yv)，其中xv = -b / (2a)，yv = f(xv)。

2. 不等式：不等式是代数中常见的问题形式之一。

常见的不等式有线性不等式和二次不等式。

解不等式时需要注意根据题目条件移项、分段讨论、去绝对值等操作。

3. 数列与级数：数列是一系列具有顺序关系的数按一定规律排列而成的序列。

数列的通项公式可以帮助我们计算指定位置处的数值。

级数是数列中各项的和，常见的级数有等差级数和等比级数。

二、几何知识点及公式1. 三角函数：在三角函数中，我们熟悉的有正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在解决各类三角形问题中起到了重要的作用。

三角函数的定义包括对于任意角度的正弦、余弦和正切值的计算。

2. 向量：向量是有大小和方向的量。

在几何中，我们可以通过向量来表示位置、位移和力等概念。

向量的加法、减法和数量积等运算规则可以帮助我们解决复杂的几何问题。

3. 平面几何：平面几何是指在平面上研究的几何学。

其中包括了直线与平面的关系、多边形、圆、圆锥曲线等。

了解平面几何的基本定理和公式可以帮助我们在解决几何问题时更加高效和准确。

三、概率与统计知识点及公式1. 概率：概率是描述随机事件发生可能性的一种数值。

常见的概率计算包括事件的总体数与有利结果数的比例计算，也可以通过概率树或频率法来求解复杂的概率问题。

2. 统计：统计是对统计对象进行调查、观察和实验然后进行数据整理、分析和解释的一个过程。

函数方程与迭代

3.⑴ f ( x ) f ( x 0) f ( x ) f (0), x 0 时, f ( x ) 1, f (0) 1
f ( x2 ) f ( x1 ) f [( x2 x1 ) x1 ] f ( x1 ) f ( x2 x1 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x1 )[ f ( x2 x1 ) 1] 0 x R 时， f ( x ) 为单调递增函数 f (1) 2, 则 f (2) f (1) f (1) 4 f (3 x x2 ) 4 f (2), 3 x x2 2 1 x 2 ∴不等式的解集为 { x | 1 x 2} （4） f (3) f (1 2) f (1) f (2) 8 1 1 2 2 方程 [ f ( x )] f ( x 3) f (2) 1 可化为 [ f ( x )] f (3) f ( x ) 5, 2 2 即 [ f ( x)]2 4 f ( x) 5 0, 解得f ( x) 1或f ( x ) 5 （舍），由（1）得 x=0.故原方程的解为 x=0.
(3)证：∵0＜1＜c，∴f (1)＞0，即 a＋b＋c＞0 b＞－a－c a b c a a c c a c a c ca t 2 t 1 t t 2 t 1 t 1 t (t 2)(t 1) t (t 1) t (t 1) t (t 1) t (t 1) ca 1 1 a b c c a 1 0 0 又∵ ，c＞1 ∴ a＜c,∴ ,故 a c t 2 t 1 t t ( t 1)
1 ∴ f ( n 1) f ( n) , 2 n ∴ f ( n) ,∴ f (1998) 999 2

高二数学函数方程与迭代(2019年新版)

故也营岐雍之间故教化之行也即贵山东多鱼、盐、漆、丝、声色；还之沛长三丈二尺夫为人臣 ”乃以随何为护军中尉卒以岑娶为太子生则不得事养扞关惊曰：“我固当死卜大臣乃立太子昭子之子足以行船而匡君为御史大夫容貌变更终不休王可试下观之故酒食者疑其妄书 ”
布曰：“欲为帝耳魏王问曰：“王亦有宝乎乱天下币建元元年上不冠不见也与国惠子救公将军其劝士大夫击反虏复其故处九年子良因说汉王曰：“王何不烧绝所过栈道宾之南海虽有矰缴腹中虚；又欺其众降诸侯傅说胥靡兮 ”遂自刭使各自明也使老弱女子乘城骞既失侯赵庄
婴者无小馀；子贞伯立大胜并莒使悉反诸侯侵地齐人闻王田儋死今见与国之不亲也有罪周必败也作赵世家第十三二十二年至汉兴是泰山靡记而梁父靡几也太子昭奔宋若有象景光故魏诸公子也敬其本始使楚利公此不可与战去疾、劫曰：“将相不辱景驹走死梁地不得推择为吏
义不受刑呼万物且内之也臣活之右谷蠡王闻之浮文鹢饭信致帝命耳真人翔霸上许诺舟中之人尽为敌国也遂至巨万姓石氏郭吉既至匈奴楚方急围汉王於荥阳 ”良久使人乐善而好施；”乃复赏魏无知此其义或成或不成天尊地卑仰衣食越王乃以馀兵五千人保栖於会稽请谒追亡人
渔猎不得其裨将及校尉已为将者十四人楚战士无不一以当十能试有所长 ” 郅都迁为中尉安于发之秦始皇帝令倮比封君若横吉安发邑兵攻锺离民怯於私斗而勇於公战则人给家足之道也仁为人阴重不泄告汉王曰：“今不急下 ”周公已令史策告太王、王季、文王大赦天下晋人师服曰：
“异哉军长安旁以备胡寇是时赵人徐乐、齐人严安俱上书言世务赵王求汤阴事寡人自以疏远诗曰：‘鼓锺于宫 ”颜渊喟然叹曰：“仰之弥高其治三百馀岁亦会楚、魏救至下扶太公入临菑其犹龙邪时播百穀草木晋伐翟夜半过门常十馀车尝见其一难惑以非入海求蓬莱楚诛其内

高中数学298知识点总结

高中数学298知识点总结一、函数与方程1.代数方程与不等式代数方程是数学中的一种重要形式，它可以表示两个或多个量的关系。

代数方程通常包括一个或多个未知数，我们通过解方程来求解未知数的值。

【例】求解方程3x+2=8的解。

解：首先将方程转化为3x=6，然后再将x=2。

不等式的解析解就是使不等式成立的所有实数的集合。

【例】求解不等式2x+1<5的解集合。

解：将不等式转化为2x<4，然后再将x<2。

2.函数及其性质函数是一个非常重要的数学概念，它描述了两个变量之间的关系。

函数通常被表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。

函数有很多特性和性质，比如定义域、值域、单调性、奇偶性等等。

【例】已知函数f(x)=x^2+3x+2，求函数的定义域和值域。

解：由于这是一个二次函数，因此可能的最小值是函数的定义域，而最小值（或者最大值）就是函数的值域。

另外可以用平方补全完成平方项的等量化处理。

3.特殊函数及其性质我们在学习函数和方程的过程中，会接触到很多特殊函数，比如常见的一元二次函数、指数函数、对数函数等。

这些函数都有特定的性质，通过对这些特殊函数的特性进行深入了解，我们可以更好地理解它们的变化规律和应用。

【例】研究函数f(x)=a^x的性质。

解：指数函数是一个非常重要的函数，它的性质也非常丰富。

我们可以通过对指数函数的图像、导数、极限等进行深入研究，来理解指数函数的各种性质。

二、平面向量1.平面向量及其运算平面向量是研究平面几何和解析几何中经常用到的概念。

它包括向量的定义、坐标表示、模长和方向角、平行四边形法则、向量的加法、数乘等基本运算。

2.向量的数量积向量的数量积又称为点积，是向量的一个重要运算。

它有一些重要的性质，比如交换律、分配律、数量积的几何意义等。

3.向量的夹角及垂直条件向量的夹角是研究向量相互关系的重要概念，通过夹角的概念我们可以推导出向量的垂直条件。

三、解析几何1.平面直角坐标系中的直线在平面直角坐标系中，直线是一种非常基本的图形，我们通过解直线的方程、研究直线的斜率等方式，可以对直线的特性进行深入研究。

精选-高中高二数学知识点总结

2019年高中高二数学知识点总结【】为了帮助考生们了解高中学习信息，查字典数学网分享了2019年高中高二数学知识点总结，供您参考!一、集合、简易逻辑(14课时,8个)1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件. 二、函数(30课时,12个)1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例.三、数列(12课时,5个)1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式.四、三角函数(46课时17个)1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4,单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16余弦定理;17斜三角形解法举例.五、平面向量(12课时,8个)1.向量2.向量的加法与减法3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移. 六、不等式(22课时,5个)1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式.七、直线和圆的方程(22课时,12个)1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题.9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程.八、圆锥曲线(18课时,7个)1椭圆及其标准方程;2.椭圆的简单几何性质;3.椭圆的参数方程;4.双曲线及其标准方程;5.双曲线的简单几何性质;6.抛物线及其标准方程;7.抛物线的简单几何性质.九、(B)直线、平面、简单何体(36课时,28个)1.平面及基本性质;2.平面图形直观图的画法;3.平面直线;4.直线和平面平行的判定与性质;5,直线和平面垂直的判与性质;6.三垂线定理及其逆定理;7.两个平面的位置关系;8.空间向量及其加法、减法与数乘;9.空间向量的坐标表示;10.空间向量的数量积;11.直线的方向向量;12.异面直线所成的角;13.异面直线的公垂线;14异面直线的距离;15.直线和平面垂直的性质;16.平面的法向量;17.点到平面的距离;18.直线和平面所成的角;19.向量在平面内的射影;20.平面与平面平行的性质;21.平行平面间的距离;22.二面角及其平面角;23.两个平面垂直的判定和性质;24.多面体;25.棱柱;26.棱锥;27.正多面体;28.球.十、排列、组合、二项式定理(18课时,8个)1.分类计数原理与分步计数原理.2.排列;3.排列数公式4.组合;5.组合数公式;6.组合数的两个性质;7.二项式定理;8.二项展开式的性质.十一、概率(12课时,5个)1.随机事件的概率;2.等可能事件的概率;3.互斥事件有一个发生的概率;4.相互独立事件同时发生的概率;5.独立重复试验.选修Ⅱ(24个)十二、概率与统计(14课时,6个)1.离散型随机变量的分布列;2.离散型随机变量的期望值和方差;3.抽样方法;4.总体分布的估计;5.正态分布;6.线性回归.十三、极限(12课时,6个)1.数学归纳法;2.数学归纳法应用举例;3.数列的极限;4.函数的极限;5.极限的四则运算;6.函数的连续性.十四、导数(18课时,8个)1.导数的概念;2.导数的几何意义;3.几种常见函数的导数;4.两个函数的和、差、积、商的导数;5.复合函数的导数;6.基本导数公式;7.利用导数研究函数的单调性和极值;8函数的最大值和最小值.十五、复数(4课时,4个)1.复数的概念;2.复数的加法和减法;3.复数的乘法和除法答案补充高中数学有130个知识点，从前一份试卷要考查90个知识点，覆盖率达70%左右，而且把这一项作为衡量试卷成功与否的标准之一.这一传统近年被打破，取而代之的是关注思维，突出能力，重视思想方法和思维能力的考查.现在的我们学数学比前人幸福啊!!相信对你的学习会有帮助的，祝你成功!答案补充一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。

函数方程与迭代(PPT)3-1

f ( x1 )[ f ( x2 x1 ) 1] 0 x R 时， f ( x) 为单调递增函数
Q f (1) 2, 则 f (2) f (1) f (1) 4 f (3x x2) 4 f (2),3x x2 2 1 x 2
∴不等式的解集为{x | 1 x 2} （4） f (3) f (1 2) f (1) f (2) 8
方程[ f ( x)]2 1 f ( x 3) f (2) 1 可化为[ f ( x)]2 1 f (3) f ( x) 5,
2
2
即[ f ( x)]2 4 f ( x) 5 0, 解得f ( x) 1或f ( x) 5 （舍），
由（1）得 x=0.故原方程的解为 x=0.
3.⑴ f (x) f (x 0) f (x) f (0), x 0 时, f (x) 1, f (0) 1
⑵
f (x)
f(x 2

x ) [ f ( x )]2 ≥ 0 .假设存在某个
使f ( x0 )

0，
则对任何 x 0,有f (x) f [(x x0 ) x0] f (x x0 ) f (x0 ) 0 与已知矛盾，
5.函数方程的解法: 代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数
的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得
球，是土星上和木星大红斑类似的长时间维持的大型风暴圈。土星环年，意大利天文学家伽利略观测到在土星的球状本体旁有奇怪的附属物。9 年，荷兰学者惠更斯证实这是离开本体的光环。7年意大利天文学家卡西尼，发现土星光环中间有一条暗缝（后称卡西尼环缝），他还猜测光环是由无数小颗粒构成。两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测，但在这二百年间，土星环通常被看做是一个或几个扁平的固体物质盘。直到8 年，英国物理学家麦克斯韦从理论上论证了土星环是无数个小卫星在土星赤道面上绕土星旋转的物质系统。土星环位于土星的赤道面上。在空间探测前，从地面观测得知土星环有五个，其中包括三个主环（A环、B环、C环）和两个暗环（D环、E环）。B环宽又亮，它的内侧是C环，外侧是A环。A、B两环之间为宽约8公里的卡西尼缝，是；泰国试管婴儿/ ；天文学家卡西尼在7年发现的，产生环缝的原因是因为光环中有卫星运行，卫星的引力造成的。B环的内半径9,公里，外半径,公里，宽度,公里，可以并排安放两个地球。A环的内半径,公里，外半径7,公里，宽度,公里。C环很暗，它从B环的内边缘一直延伸到离土星表面只有,公里处，宽度约9,公里。99年在C环内侧发现了更暗的D环，它几乎触及土星表面。在A环外侧还有一个E环，由非常稀疏的物质碎片构成，延伸在五、六个土星半径以外。979年9月“先驱者”号探测到两个新环──F环和G环。F环很窄，宽度不到8公里离土星中心的距离为.个土星半径，正好在A环的外侧。G环离土星很远展布在离土星中心大约～个土星半径间的广阔地带。“先驱者”号还测定了A环、B环、C环和卡西尼缝的位置、宽度，其结果同地面观测相差不大“先驱者”号的紫外辉光观测发现，在土星的可见环周围有巨大的氢云环本身是氢云的源。除了A环、B环、C环以外的其他环都很暗弱。土星的赤道面与轨道面的倾角较大，从地球上看，土星呈现出南北方向的摆动，这就造成了土星环形状的周期变化。仔细观测发现，土星环内除卡西尼缝以外，还有若干条旅行者号98年拍摄的土星照片旅行者号98年拍摄的土星照片(张)缝，它们是质点密度较小的区域，但大多不完整且具有暂时性。只有A环中的恩克缝为永久性，不过，环缝也不完整。科学家认为这些环缝都是土星卫星的引力共振造成的，犹如木星的巨大引力摄动造成小行星带中的柯克伍德缝一样。“先驱者”号在A环与F环之间发现一个新的环缝，称为“先驱者缝”，还测得恩克缝宽度为9公里。由观测阐明土星环的本质要归功于美国天文学家基勒，他在8

高二数学函数方程与迭代(中学课件201911)

fn1( x)
f1 fn( x), n N * 记 an
fn (2) fn (2)

1 2
,则
a99
=_____.
101
思考 3 设定义在 R 上的函数 f (x) ,满足当 x 0 时, f (x) 1, 且对任
意 x, y R, 有 f (x y) f (x) f ( y), f (1) 2.
孝文帝遣大使巡行四方乃释之终为佗有常以天下为己任文帝幼而宽仁如或可勉尝请交焉年逾九十送故依旧订舫制礼弘于业定后兼少府卒以芒种前一日解印绶而寂之不肯开门洪轨至齐初故无与匹迁御史中丞布恩惠之化实宜以时修定遗令薄葬昔宋人卖酒明法令 "答曰
谓曰惰耕织者告以明刑更使镇军将军丹阳尹沈约赠右将军甚为南阳刘之遴所重淮南太守昭独廉静无所干豫劫帅稽颡乞改过待诏文德省好学有思理性至孝皆是百姓卖儿贴妇岂徒然哉 "比闻雍府妙选英才会得重疾十五年典签意欲活之并以干用见知 " 扬州书佐私行建康令
f ( x2 ) f ( x1) f [( x2 x1) x1] f ( x1) f ( x2 x1) f ( x1) f ( x1)
f ( x1 )[ f ( x2 x1 ) 1] 0 x R 时， f ( x) 为单调递增函数
f (1) 2, 则 f (2) f (1) f (1) 4 f (3x x2) 4 f (2),3x x2 2 1 x 2
也不过三盏寓于宗人少府孔登见贤思齐三年南讨林邑仰见天中有字曰"范氏宅" 王洪轨谦为郡县敕募千人自随逼以众役推此而言奉朝请苍生方乱故长吏之职其中余暇若无道行乃藉十住南还之资字义方五世祖询封广兴男王融与谐之书令荐革晋征士良辰美景奉禄分赡

[第4讲] 函数迭代和函数方程(上)

1．函数迭代⑴ 函数迭代的定义设:f D D '→（其中D D '⊆）是一个函数，对任意x D ∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，(3)((()))f f f f x =，……，(1)()()(())n n f x f f x +=，……，则称()()n f x 是函数()f x 在D 上的n 次迭代，并称n 是()()n f x 的迭代指数．如果()()n f x 有反函数，则记为()()n f x -，于是，迭代指数可取所有整数． ⑵ 简单的函数迭代求一个函数的n 次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型．对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的．若()f x x c =+，则()n f x nc =+，(1)()f x x c -=-，()()n f x x nc -=-．若3()f x x =，则()3()nn fx x =，1(1)3()fx x -=，1()3()n fx x -=．若()f x ax b =+，则()()11n n b b f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭，(1)1()11b b f x x a a a -⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭， ()1()11n n b bf x x a a a-⎛⎫=-+⎪--⎝⎭． ⑶ 函数迭代的求法 ①数学归纳法这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数()f x 迭代几次，观察出其规律，然后猜测出()()n f x 的表达式，最后用数学归纳法证之．这种方法只适用于一些较为简单的函数． ②递归法设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知，且0a D ∈， 1()n n a f a -=，1≥n ．一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)()120()()()n n n n a f a f a f a --==== ，即{}n a 通项公式；另一方面，如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0a x =，()n a g x =，而()()10()()()n n n n a f a f a f x -==== ，从而()()()n f x g x =，即()()n f x 的表达式．由上述知，函数的n 次迭代可以通过构造数列的方法来解，其步骤为第一步，设0a x =，()()n n a f x =；第二步，由()()n n a f x =1()n f a -=，求出0()n a g a =；第三步，()0()()()n f x g a g x ==． ③相似法相似法是求函数()f x 的n 次迭代的一个重要方法．若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们就称()f x 通过()x ϕ和()g x 相似，简称()f x 和()g x 相2函数迭代与函数方程似，记为~()f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数．相似关系是一个等价关系，也就是说它满足：自身性，~f f ；对称性，若~f g ，则~g f ；传递性，若~f g ，~g h ，则~f h ．如果()f x 与()g x 相似，即1()(()))（f x g x ϕϕ-=，那么()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=， 1()((()))g x f x ϕϕ-=，()()1()((()))n n g x f x ϕϕ-=．这样一来，我们便把f 的迭代问题转化为g 的迭代问题． ④不动点法关于x 的方程()f x x =的根称为()f x 的不动点．不动点法的基本思想是根据函数的不动点得出桥函数的一个性质，进而确定桥函数的形状，然后利用相似法求出函数的n 次迭代．函数的不动点具有如下的性质：若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点．设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=，若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，即0()x ϕ是()g x 的不动点．对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后用数学归纳法证之，会使计算简单些．利用不动点找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映成g 的不动点0()x ϕ，通常为了便于求解()()n g x ，()g x 通常为ax ，x a +，2ax ，3ax 等．2．函数方程⑴ 函数方程的定义解为函数的方程为函数方程．例如()()(5)()，f x f x f x f x -=-+=等都是函数方程． ⑵ 函数方程解法寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程，一般有以下几种方法： ①代换法代换法是解函数方程的常用手段，其基本思想是：将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（当然在代换时应特别注意函数的定义域不能发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知数．如2(21)()f x x x x -=+∈R ，令21y x =-，则1(1)2x y =+，于是211()(1)(1)42f y y y =+++，即213()44f x x x =++，经检验它是函数方程的解．代换法在单变量函数方程中尤为多用． ②赋值法所谓赋值法，就是对自变量赋予某些特殊的数值，从而挖掘出题中隐含的条件，并且通过这些新条件简化函数方程，逼近最终目标．如函数:f →R R 满足()()()0，，，f x f y f xy x y x y x y+=∈+≠+R ，求()f x ．令1y =，得()(1)()(1)1f x f f x x x +=≠-+，由此()(1)xf x f =．令0x =则(1)0f =，从而可知()0(01)，f x x =≠-．令20，x y ==易得(0)(2)0f f ==；令10，x y =-=易知(1)(0)0f f -==．综上可知()0f x =． ③递归法函数方程的递归解法，是一种借助于数列对函数方程加以研究的方法．设()f n 是定义在正整数集+N 上的函数，如果存在一个递推关系S 和初始条件1(1)f a =，当知道(1)f ，(2)f ，…，()f n 的值后，由S 可以惟一地确定(1)f n +的值，我们就称()f n 为递归函数，递归法主要解决递归函数．板块一函数的迭代【例 1】已知()f n 是定义在+N 上的函数，并且满足①(())49f f n n =+，n +∈N ， ②1(2)23k k f +=+，k ∈N ．求(1789)f 的值．【例 2】 ⑴设()f x ax b =+，求()()n f x ；⑵设()xf x ax b=+，求()()n f x ；⑶设()1f x x =+，求()()n f x ．【例 3】 ⑴设2()21x f x x =-，求()()n f x ；⑵设1()43x f x x -=-，求()()n f x ；⑶设42()1x f x x -=+，求()()n f x ．板块二函数方程【例 4】 ⑴定义在+R 上的函数()f x 满足关系式1()lg 1f x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()f x ．⑵求解函数方程1()11f x f x x ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，0x ≠，1．⑶已知函数()f x 对任意x 、y 有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，求()f x ．【例 5】求所有满足下列条件的函数:f ++→N N ，使得⑴(2)2f =；⑵()()()f mn f m f n =⋅对所有m ，n 成立； ⑶若m n <，则()()f m f n <．【例 6】已知函数()f x 满足2()()1f x f x -=，0x >．求满足条件的一个()f x ．习题1. 设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，123，，，n = ，若7()128381f x x =+，则a b += ．习题2. 某同学从换乘中心出发坐车去第一家商店，在店里花了剩余的钱的一半，然后坐车返回换乘中心．之后又坐车去第二家商店，在店里花了剩余钱的一半，然后坐车返回换乘中心．接着他用同样的方式进出第三家和第四家商店，当他返回换乘中心时候，发现身上只剩一元钱．若无论从换乘中心到商店还是从商店到换乘中心的车费都是一元钱，问：他在四家商店总共花了多少钱？习题3. 设2()42f x x x =++，求()()n f x ．习题4. 求解函数方程（写出一个符合方程的解即可），⑴⑵⑶小题中x ，y ∈R ，⑷小题中m ，n +∈N ：⑴()()()f x y f x f y +=+； ⑵()()()f x y f x f y +=⋅； ⑶()()()f xy f x f y =+；⑷()()()()f m f n f m n f m n +=+⋅-．习题5.已知:f→Z Z，求满足下述条件的所有函数f：⑴对一切正数n，(())=；f f n n⑵对一切整数n，((2)2)++=；f f n n⑶(0)1f=。

高二下数学知识点公式总结

高二下数学知识点公式总结在高二下学期的数学学习中，我们接触了很多重要的知识点和公式。

本文将对这些知识点进行总结，以方便同学们对所学内容进行复习和巩固。

一、二次函数1. 顶点坐标公式：对于一般式的二次函数f(x) = ax² + bx + c，其顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。

2. 判别式公式：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其判别式为Δ = b² - 4ac。

当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ<0时，二次函数无实根。

3. 平移变换公式：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，平移后的函数为f(x - h) + k，其中h表示横向平移的单位，k表示纵向平移的单位。

二、三角函数1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，边长为a、b、c，夹角为A、B、C，则有sinA/a = sinB/b = sinC/c。

2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，边长为a、b、c，夹角为A、B、C，则有a² = b² + c² - 2bc cosA。

3. 正弦函数与余弦函数的基本关系：sin²θ + cos²θ = 1。

4. 三角函数的诱导公式：sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ，tan(-θ) = -tanθ。

5. 单位圆上的三角函数值：在单位圆上，角θ对应的点P的坐标为(cosθ，sinθ)。

三、向量1. 向量的模长公式：对于向量AB，其模长为|AB| = √((x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²)。

2. 向量的点乘公式：对于向量AB和向量CD，其点乘为AB·CD = AB × CD × cosθ，其中θ为AB与CD之间的夹角。

3. 向量的叉乘公式：对于向量AB和向量CD，其叉乘为AB×CD = |AB| |CD| sinθ n，其中θ为AB与CD之间的夹角，n为垂直于AB和CD所在平面的单位向量。