第4章 弹塑性力学的解题(修改)

将常数：A，B代入
w 的表达式，则有：
1 2 w [ g (h 2 z 2 ) 2q(h z )]，u 0，v 0 4(1 )G
利用式（4－1）求应力：
x y
2G
(q gz )

1
(q gz )
dw z ( 2G ) (q gz ) dz
2 2 2
2 2
2 xy
y 2 x xy E 2 2 (G ) ( 2 2 )2 2 2 2(1 ) 1 x xy x y y
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第四章 弹塑性力学的解题方法
在（4－3）式中，利用平衡方程，将第一，三式相加，
而由上述
z 0
q
z 0
w 的表达式有：
1 2 A q 2(1 )G
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dw 1 2 gz A dz 2(1 )G
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第四章 弹塑性力学的解题方法
又由条件：z
h，
得： w
z 0
0
1 2 1 2 B qh gh 2 2(1 )G 4(1 )G
为一矢量，则
p R divv x y z
旋度算子：
div v v
j y Q k z R
i rot v v x P
若设：u
ui vj wk
则有：f f x i f y j f z k
divu u
zx xy zy 2 x )2 ( z x yz x y xy yz 2 y xz ) 2 ( x y xz y z yz xy 2 z zx ( )2 y z xy z x
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xy yz zx 0
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第四章 弹塑性力学的解题方法
第二节 按应力求解弹性力学问题
解题思路：以六个应力分量作为基本未知量。从基本方
程中消去位移和应变，得到关于应力的偏微分方程组。首先
这六个应力分量应满足三个平衡方程 ，但还需补充方程。
在第二章中，我们推导了应变协调方程（2－39）、（2 －40）如下：
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第四章 弹塑性力学的解题方法
题和边值问题）等又可使此解具有唯一性。但真正要求解这
样一组偏微分方程，在数学上是很困难的，因此就产生了一 些相应的解题方法，包括解析解法和数值解法两大类。本章
介绍解析解法。
第一节 按位移求解弹性力学问题
在解方程组中，一种通用的方法是“消元法”。在处理弹
可得出：
x x 2 2 y z
2 2
2 ( y z ) x 2
2
2 2 2 (2 2 2 2 ) 1 x y z
解题思路：在求解问题时，要使所求的位移函数
u，v，w
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在物体内部满足方程式（4－2），在边界上满
足边条（4－4）或满足直接给出的位移边条；将所求问题的
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第四章 弹塑性力学的解题方法
位移代入几何方程便可求出应变，利用式（4－1）可求出应
力分量。 按位移法求解弹性力学问题时，未知函数个数比较少， 仅只有三个未知量 u，v，w，但必须求解三个联立的二阶 偏微分方程，而不能像按应力求解问题时那样简化为求解一
性力学问题时也不例外。
以位移为基本未知量进行求解，就是“位移法”。 以应力为基本未知量进行求解，就是“应力法”。
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第四章 弹塑性力学的解题方法
以部分位移和部分应力为基本未知量求解，就是“混合
法”。 选用何种方法，视具体问题具体分析。 如：当边界条件给的是位移边界条件，则适用位移法； 当边界条件给的是应力边界条件，则适用应力法；
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第四章 弹塑性力学的解题方法
确定积分常数A、B：
由边条：l m 0,
n 1,
cos180 1,
Fx Fy 0,
Fz q
dw dz 1 2 q 2(1 )G
代入式（4－4），前两式为恒等式，第三式为
dw dw ( 2G ) dz dz
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第四章 弹塑性力学的解题方法
G
E , 2(1 )
2 y x 2
x y z
E (1 2 )
代入上式得应力表示的协调方程：
2 x 2 y 2 y z 2 2 z x 2 2 x yz 2 y zx 2 z xy
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xy 2 2 ( 2 2 )2 1 x xy y

2
yz 2 z 2 2 ( 2 2 )2 yz y 2 1 z y
2
2 x 2 zx 2 2 ( 2 )2 2 1 x 2 xz z z 2 zx xy yz ( ) 1 yz x y z x 2 xy yz zx ( ) 1 zx y z x y 2 zx yz xy ( ) 1 xy z y x z
(4—5)

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第四章 弹塑性力学的解题方法
2 2 x xy 2 第一式由 2 xy x y
2 y

2 x 2
1 (1 ) y E


2 2 y
1 (1 ) x E

2 1 xy G xy
l x m xy n xz Fx l yx m y n yz Fy l zx m zy n z Fz
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第四章 弹塑性力学的解题方法
其中， l , m, n 为该边界的外法线的三个方向余弦，得到用 位移表示的边界条件。
u v u w u lG ( 2G x ) mG( x y ) nG ( x z ) Fx u v v w v ) Fy （4－4） lG ( ) mG( 2G ) nG ( y y z y x u w v w w ) mG( ) nG ( 2G ) Fz lG ( z y z z x
个单独的微分方程（缺点） 。
但是，位移法是一种普适方法，特别是在数值解法中得 到了广泛应用，如：有限元法、差分法等数值计算方法。 〖例〗P132；该问题是关于z 轴的轴对称问题。 可以假设：
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u 0, v 0，w w( z )
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第四章 弹塑性力学的解题方法
dw 所以体积应变 为： dz 2 d w 2 而 w 2 dz
当边界条件给的是混合边界条件，则适用混合法 。 位移法：以u、v、w作为基本未知量，在物理方程（3—
18式，P88）中，利用几何方程将应变用位移表示，可得用位 移表示的应力分量： 因为：
x 2G x， y 2G y， z 2G z
xy G xy， yz G yz， zx G zx
2 2 y 2 x 1 2 1 2 1 xy 2 (1 ) 2 (1 ) 2 2 E x x E y y G xy
2 y x 2
x E ( 2 2 ) 2 1 x G(1 ) xy y y
（4－2）
2 2 2 其中， 2 2 2 2 —— 拉普拉斯算子。 x y z
grad i j k — 梯度算子（矢量算子）。 x y z
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第四章 弹塑性力学的解题方法
散度算子：设
v pi j Rk
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第四章 弹塑性力学的解题方法
所以有：
u v u x 2G x ， xy G ( x y ) v w v ) y 2G ， yz G ( y y z w w u ， zx G ( ) z 2G z x z 2G 其中， (1 )(1 2 ) 1 2
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2 y 2 x 2 xy 2 2 xy y x 2 2 2 z y zy 2 2 yz z y 2 2 z 2 xz 2x 2 xz x z
由广义胡克定律：
1 x E [(1 ) x ] 1 y [(1 ) y ] E 1 z E [(1 ) z ]
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xy xy G yz yz G zx zx G
代入拉梅方程得：
只有一个变量可以用全微分
d 2w ( 2G ) 2 g 0 dz d 2w g 1 2 2 g dz 2G 2(1 )G
1 2 w ( gz 2 z ) 积分得： 4(1 )G
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(4－1)
u v w x y z 3 0 x y z
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为体积应变。
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第四章 弹塑性力学的解题方法
将（4－1）式代入平衡方程（1－39式，P35）有拉梅位
移方程（4—2）。
( G ) G 2 u f x 0 x ( G ) G 2 v f y 0 y ( G ) G 2 w f z 0 z