弹塑性力学理论及其在工程上的应用

弹塑性力学理论及其在工程上的应用 摘要：弹塑性力学理论在工程中应用十分的广泛，是工程中分析问题的一个重要手段，本文首先是对弹塑性力学理论进行了阐述，然后讨论了它在工程上面的应用。

关键词：弹塑性力学；工程；应用

第一章 弹塑性力学的基本理论

（一）应力理论

1、 应力和应力张量

在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。

为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作

用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图1.1)。如

将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A

部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B

之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P

处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ∆，而S ∆上

的内力矢量为F ∆，则内力的平均集度为F ∆／S ∆，

如令S ∆无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ∆／S ∆趋于一定的极限σo ，即 σ=∆∆→∆S F S 0lim

2、二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式

上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。

当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无

关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。

（1） 平面应力问题

如果考虑如图所示物体是一个很薄的

平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即

xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均

为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0)

(2=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ

δ

ττz zy z zx

图2.2平面应力问题 因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布，

所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此，

在垂直于z 轴的任一微小面积上均有

0=z σ， 0==zy zx ττ

根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于平面应力状态的应力张量为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000y

yx xy

x ij σττσσ

如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，

y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。

（2）平面应变问题

如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分

布地作用在垂直于oz 方向，如图1.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位

移与所在z 方向的位置无关，即z 方向各点的位移均相同。令u 、v 、w 分别表示一点在x 、y 、z 坐标方向的位移分量，则有w 为常数。等于常数的位移w 并不伴随产生任一xy 平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时，可取0=w 。此外，由于物体的变形只在xy 平面内产生，因此w 与z 无关。故对于平面应变状态有

⎪⎭

⎪⎬⎫===0),(),(w y x v v y x u u

由对称条件可知，在xy 平面内)(zx xz ττ和)(zy yz ττ

恒等于零，但因z 方向对变形的约束，故z σ一般并不

为零，所以其应力张量为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y yx xy x ij σσττσσ0000 实际上z σ并不是独立变量，它可通过x σ和y σ求得，因此不管是平面应变问题还是平面应力问题，独立的应力分量仅有3个，即x σ、y σ和xy τ(=yx τ)，对于平面应变问题的求解，可不考虑z σ。

（3）平衡微分方程

物体在外力作用下处于平衡状态时，由各点应力分量与体力分量之间的关系所导出的方程称为平衡微分方程。如图所示的平面应力问题，除面力外，在这个微单元体上还有体力的作用．单位体积的体力在二个坐标轴上的投影为Y X ,．而

图1.3平面应变问题

固体的质量密度为ρ。自弹性体内任一点P 处附近截取一单元体，

a b

图1.4平面应力状态微元体的应力

它在x ，y 方向的尺寸分别为dx 和dy 。为了计算方便，在z 方向取单位长度，如图b 所示。该单元体受有其相邻部分对它作用的应力和单元体的体力。由于在一般情况下应力分量是位置坐标的函数，因此在单元体左、右或上、下两对面上的应力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab 上的正应力和剪应力分别为x σ，则作用于cd 面上的正应力应随之变化。该变化可根据Taylor 级数展开，即 ),(022dy dx dy y dx x ab

x ab x

ab x cd x +∂∂+

∂∂+=σσσσ 由于ab,cd 线元上的应力分量均可用相应线元中点处的应力分量表示，以及略去二阶以上的微量后，由上式得cd 边上的正应力为 dx x

x x ∂∂+σσ 同理，如ab 边上的切应力为xy τ，ad 边上的正应力和切应力分别为y σ，yx τ可得cd 边上的切应力及bc 边的应力分量可类推分别得

dy y dy y

yx

yx y y ∂∂+

∂∂+

ττσσ dx x xy

xy ∂∂+ττ

微单元体在面力及体力作用下处于平衡，必须满足静力平衡的三个方程式。如果考虑到质点运动，而按照牛顿第二定律，方程式的右边还应包括这个微单元体的质量与加速度在该坐标轴上的投影的乘积(即惯性力的投影)。

（4） 一点的应力状态

所谓一点的应力状态是指受力变形物体内一点的不同截面上的应力变化的状况。现以平面问题为例说明一点处应力状态。在受力物体中取一个如图 1.5所示的微小三角形单元，，其中AC ，AB 与坐标轴y x ,重合，而BC 的外法线与z z 轴成θ角。取坐标'',y x ，使BC 的外法线方向与'x 方向重合(如图1.5)。如果xy y x τσσ,,已知，则BC 面上的正应力'

x σ，和切应力''y x τ可用已知量表示。因θ角的任意性，若BC 面趋于点

A 时，则可认为求得了描绘过点4处的应力状态的表达式。

实际上，这里所讨论的问题是一点处不同方向的面上的应

力的转换，即BC 面无限趋于点A 时，该面上的应力如何

用与原坐标相平行的面上的应力来表示。在这种问题的分

析中，可不必引入应力增量和体力，因为它们与应力相比

属于小量。

第二章 弹塑性力学在工程上的应用

弹性和塑性理论是现代固体力学的分支，弹性和塑性理论的任务，一般就是在实验所建立的关于材料变形的力学基础上，用严谨的数学方法来研究各种形状的变形固体在外荷载作用下的应力、应变和位移。弹塑性理论研究的对象是弹性体，指的是一种物体在每一种给定的温度下，存在着应力和应变的单值关系，与