课时跟踪检测8高三数学2018

课时跟踪检测八 导数的简单应用

——A 级专题达标——

1．函数f (x )＝1

2x 2－ln x 的最小值为( A ) A.12 B ．1 C ．0

D ．不存在

解析：∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2

－1

x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令

f ′(x )<0，得0

2.

2．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( D ) A ．－4 B ．－2 C ．4

D ．2

解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2

3．(2017·成都第二次诊断)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( D )

A ．(－1

2，＋∞) B ．[－1

2，＋∞) C ．(0，＋∞)

D ．[0，＋∞)

解析：f ′(x )＝1

x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1

x 2(x >0)恒成立，所以

a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.

4．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( B )

A ．e

－ 12

B ．2e

－

12

C ．e

12

D ．2e

12

解析：依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0

，于是有⎩⎨

⎧

a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝

2

x 0＝2e

－ 12 ，选

B.

5．(2017·湖北省武汉市高三二月调考)若函数f (x )＝sin x ＋a

cos x 在区间(0，π

2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( C )

A ．a ≤－1

B ．a ≤2

C ．a ≥－1

D ．a ≤1

解析：函数f (x )＝sin x ＋a

cos x 则f ′(x )＝

cos x ·cos x ＋sin x (sin x ＋a )

cos 2x

∵x ∈(0，π

2)，∴cos 2x >0

要使函数f (x )＝sin x ＋a cos x 在区间(0，π

2)上单调递增， ∴cos 2

x ＋sin 2

x ＋a sin x >0在x ∈(0，π

2)上恒成立，

即：a sin x ＋1>0在x ∈(0，π

2)上恒成立，

∵在x ∈(0，π

2)上，sin x ∈(0,1)，∴a ≥－1，故选C.

6．(2017·广东惠州调研考试)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f (ln 1

x )<2f (1)的解集为( D )

A ．(e ，＋∞)

B ．(0，e)

C ．(0，1

e )∪(1，e)

D ．(1

e ，e)

解析：f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，所以f (ln 1x )＝f (－ln x )＝f (ln x )，所以f (ln x )＋f (ln 1

x )<2f (1)可变形为f (ln x )0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以f (ln x )

e

7．若f (x )＋⎠⎛0

1f (x )d x ＝x ，则⎠⎛0

1f (x )d x ＝1

4.

解析：⎠⎛0

1f (x )d x 是一个常数，设为c ，则有f (x )＝x －c ，

∴x －c ＋⎠⎛0

1(x －c )d x ＝x ，解得c ＝14，即⎠

⎛0

1

f (x )d x ＝14.

8．(2017·沈阳市教学质量监测)设函数f (x )＝g (x

2)＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为x ＋2y ＋6＝0.

解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8，又f ′(x )＝12g ′(x 2)＋2x ，

∴f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－1

2，f (2)＝g (1)＋4＝－4，∴所求切线方程为y ＋4＝－1

2(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0.

9．设函数f (x )＝ln x －1

2ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围是(－1，＋∞)．

解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1

x －ax －b ， 由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .

∴f ′(x )＝1

x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－(ax ＋1)(x －1)x

. ①若a ≥0，当00，f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 所以x ＝1是f (x )的极大值点．

②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a . 因为x ＝1是f (x )的极大值点， 所以－1

a >1，解得－1

综合①②得a 的取值范围是(－1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x

ln x ＋ax ，x >1.

(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值． 解：(1)f ′(x )＝ln x －1

ln 2x ＋a ，

由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，