第15讲强极值原理、第二边值问题解的唯一性
拉普拉斯(Laplace)方程
1
在静电学里我们知道，真空中的Gauss定律的微分形式是
div−→E
=
1 ε0
ρ(x,
y,
z),
(1.3)
其中−→E (x, y, z)是静电场的电场强度，ε0是真空中的介电常数，ρ(x, y, z)是电荷密度。注
意到静电场是无旋的，即
∇ × −→E = 0 (等价地，curl−→E = 0),
(1.4)
+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。 类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情况下，就得到Laplace方程。
实例四：复变函数论中的解析函数 由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
程(1.1)(或(1.2))， 在Ω上 连 续 ， 并 且 在Γ上 的 任 一 点 沿 着Γ的 单 位 外 法 向 量n的 方 向 导
数
∂u ∂n
存在，并且满足
∂u ∂n
Γ
=
g.
(1.17)
边界条件(1.17)通常称为第:::二::类:::边:::界::条:::件::，也称为:N::e:u:m:::a:n:n::边::界:::条:::件::。
可得三维空间中的:L:a:p::l:a:c:e:方:::程::
u = 0.
(1.7)
实例二：静态引力场的引力势
导 出Laplace方 程 的 另 一 个 著 名 实 例 来 自 牛 顿 的 万 有 引 力 理 论 。 由 牛 顿 的 万 有 引
边值问题和唯一性定理(静电场)
静电场的边值问题
静电场的唯一性定律
目前可解决的静电场问题
电荷在有限区域内，电荷的分布情况已知，并 且介质为线性各向同性均匀介质中的静电场问 题。对于此类问题，一般可以先求出电位，再 计算场中各点的电场强度和电位移矢量。 电荷、介质分布具有某种对称性的问题。由于 电荷和介质的分布具有对称性，因此电位移矢 量的分布必然也具有对称性。在这种情况下， 可以先用高斯通量定理求解电位移矢量，然后 再求电场强度。 已知电场的分布求电荷分布的问题。在这种情 况下，可直接由公式计算电荷的体密度，导体 上的面电荷密度根据分界面条件确定。
2
静电场边值问题的提出
实际中对于很多电磁场的问题通常并不 知道电荷分布，如静电场中导体表面的 感应电荷分布，介质极化后极化电荷的 分布等。对于此类的问题，必须通过求 解满足给定边界条件的电位微分方程 （泊松方程或拉普拉斯方程）的电位函 数，进而再求场域中的电场强度。我们 把这种在给定边界条件下，求解泊松方 程或拉普拉斯方程的问题称为边值问题。
对于各向同性、线性的非均匀媒质，电位 满足的微分方程又是什么形式呢？
D
D E
E
( )
7
边值问题举例－直接积分法
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷 体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位 及电场。（同例2-4） 解:采用球坐标系,分区域建立方程
自学)
10
反设满足场的解答有两个相异的解答1和 2，则差
场u= 1 2 满足拉普拉斯方程
2 2
u 1 2 0 根据矢量恒等式
数学物理方程第三版答案谷超豪
数学物理方程第三版答案谷超豪【篇一：数学物理方程_答案_谷超豪】/p> 1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程???u????u????x????e? ?t??t??x??x?其中?为杆的密度，e为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x??x。
现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。
在时刻t这段杆两端的坐标分别为：x?u(x,t);x??x?u(x??x,t)其相对伸长等于令?x?[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x?x?ux(x???x,t)，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。
由虎克定律，张力t(x,t)等于t(x,t)?e(x)ux(x,t)其中e(x)是在点x的杨氏模量。
设杆的横截面面积为s(x),则作用在杆段(x,x??x)两端的力分别为e(x)s(x)ux(x,t);e(x??x)s(x??x)ux(x??x,t).于是得运动方程 ?(x)s(x)??x?utt(x,t)?esu利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得??(x)s(x)u?(esux)?x若s(x)?常量，则得?u?t22x(x??x)|x??x?esux(x)|x?(x)即得所证。
=(e(x)?u?x)2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在x?0,x?l两点则相应的边界条件为u(0,t)?0,u(l,t)?0.(2)若x?l为自由端，则杆在x?l的张力t(l,t)?e(x)的边界条件为?u?x?u?x|x?l等于零，因此相应|x?l=0?u同理，若x?0为自由端，则相应的边界条件为?x(3)若x?l端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的∣x?0?0偏移由函数v(t)给出，则在x?l端支承的伸长为u(l,t)?v(t)。
解的存在唯一性定理
一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。
在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。
定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，00x x x h ≤≤+.综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有12()()f t f t -＜ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。
静电场边值问题唯一性定理
场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂 边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界 条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论 支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处 理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发 展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问 题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不 均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关， 曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电 场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解 方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到 导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算 精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有 挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。
2.4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性
a M m / 2 l 0 in R T / T .
这与（1）矛盾！即 M m .
m ax R T u ( x , t ) m ax T u ( x , t ).
注 利用上述证明，易得：u是非齐次热方程
u t a 2 u xx f 的解，且 f 0 ,则 m ax R T u ( x , t ) m ax T u ( x , t ).
2 2 2 a 2 a 2 v a v 0, t vxx l x 1 vx 2 l x 1 （2） v t 0 w( x) ( x), v x 0 e t (l 1) 1 (t ), (vx v ) x l e t 2 (t ).
uxx uxx / w 2ux / w 2u / w ,
2 3
故 u 满足
2 2 2 a 2 a ut a 2 u xx ux u 0. 2 l x 1 l x 1
及初边值条件
因为 u 前的系数小于零，故还需进一步变换：令 v e t u 并取 2 a 2 . 则问题变为
确定的解为 ui ，即
t ui a 2 2 xx ui f , ui ( x, 0) i ( x), u ( , t ) (t ), u ( , t ) (t ) i i i i
两方程相减得
t u1 u 2 a 2 2 xx u1 u 2 , u1 u 2 ( x , 0) 1 2 ( x ), u u ( , t ) (t ), u ( , t ) (t ) 2 1 2 1 2 1
数学物理方程第三章练习题
2012-10-3 3 / 69
建立方程、定解条件
∂2u ∂x2i
=
x2i r2
f
′′(r)
+
( 1 r
−
x2i r3
)
f
′(r),
(i = 1, 2, . . . , n)
将上式代入调和方程得
f
′′(r)
+
n
−
1 f
′(r)
=
0,
r
即
f ′′(r) f ′(r)
=
−n
− r
1.
对上式两边积分即得结论.
πx a
,
u(x, b)
=
0.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 17 / 69
建立方程、定解条件
.E.xample 1.6
用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板 (0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b) 上的稳定温度分布:
.
uxx + uyy = 0,
u(0, y) = u(a, y) = 0,
,
∂r ∂R
=
sin θ,
∂θ ∂R
=
cos θ . r
由 (1.2) 及 (1.3) 知
(1.3)
∂2u ∂z2
=
cos2
θ
∂2u ∂r2
+
sin2 r2
θ
∂2u ∂θ2
+
sin2 r
θ
∂u ∂r
+
sin 2θ r2
∂u ∂θ
−
sin 2θ r
∂2u ∂r∂θ
,
数学物理方程第三章练习题
∂u ∂r
−
sin θ r
∂u ∂θ
,
∂u ∂R
=
sin
θ
∂u ∂r
+
cos θ r
∂u ∂θ
.
R2 + z2 = r2,
tan θ
=
R z
,
(1.1) (1.2)
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 6 / 69
建立方程、定解条件
故有
∂r ∂z
=
cos θ,
∂θ ∂z
=
−
sin r
θ
H1
=
√( ∂x )2 ∂q1
( ∂y )2 + ∂q1
+
(
∂z ∂q1
)2 ,
H2
=
√( ∂x )2 ∂q2
( ∂y )2 + ∂q2
+
(
∂z ∂q2
)2 ,
H3
=
√( ∂x )2 ∂q3
( ∂y )2 + ∂q3
+
(
∂z ∂q3
)2 ,
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3
8 / 69
数学物理方程
2012-10-3 2 / 69
1. 建立方程、定解条件 2. 格林公式及其应用 3. 格林函数 4. 强极值原理、第二边值问题解的唯一性
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 3 / 69
建立方程、定解条件
.E.xample 1.1
√
设 u(x1, . . . , xn) = f(r) (其中 r = x21 + · · · + x2n ) 是 n 维调和函数, 试证明
最大值原理和极值原理
最大值原理和极值原理
最大值原理和极值原理是数学分析中的基本概念，它们描述了函数在一定条件下取得最大值或极值的规律。
最大值原理指出：如果函数在某个区间内连续且有定义，那么它在该区间内一定存在最大值和最小值。
也就是说，如果用y=f(x)来
表示该函数，那么必定存在一些x值，使得f(x)的值最大或最小。
这些值称为该函数的最大值和最小值。
极值原理则是最大值原理的特例，它指出：如果函数在某个区间内连续且有定义，并且在该区间内有一个点x0，使得f(x0)的值是该区间内的最大值或最小值，那么x0就是该函数的极值点。
极值点分
为两种，一种是极大值点，即当x在x0的左侧取值时，f(x)的值比
f(x0)小；另一种是极小值点，即当x在x0的左侧取值时，f(x)的值比f(x0)大。
最大值原理和极值原理是数学中的基础定理，它们在各种应用中都有广泛的应用，例如在优化问题、微积分中，都需要用到这两个原理。
掌握这两个原理对于学习数学和物理等相关学科都具有重要意义。
- 1 -。
解的存在唯一性定理
函数列{ fn (x)}, ( fn ( x) f ( x, n ( x)))
在[x0, x0 h]上一致收敛于函数 f (x,(x)),
因此对(3.7)两边取极限 ,得
x
lim
n
n
(
x)
y0
lim
n
x0
f (,n1( ))d
x
y0
x0
lim
n
dy dx
f
(x, y),
(3.1)
y(x0 ) y0
其中f (x, y)在矩形区域 R : x x0 a, y y0 b, (3.2)
上连续, 并且对y满足Lipschitz条件 :
即存在L 0, 使对所有( x, y1), ( x, y2 ) R常成立
由Weierstras s判别法知,级数(3.9)在[x0, x0 h]上一致收敛 .
因而函数序列{n (x)}在[x0, x0 h]上一致收敛 .
现设
lim
n
n
(
x)
(
x),
x0 x x0 h,
则由{n (x)}在[x0, x0 h]的连续性和一致收敛性 得,
M
x, yD
证明思路：5个步骤
步骤1 证明求解微分方程的初值问题等价于求解 一个积分方程
步骤2 用逐次迭代法构造一个连续的逐步逼近序 列
步骤3 证明此逐步逼近序列一致收敛
步骤4 证明此收敛的极限函数为所求的初值问题 的解
步骤5 证明连续解的唯一性
命题1
初值问题(1.1)等价于积分方程
x
y y0
偏微分方程与解的存在唯一性
偏微分方程与解的存在唯一性偏微分方程是数学领域中一类重要的方程类型，研究它的解的存在与唯一性是解析数学和偏微分方程理论的基础。
本文将介绍偏微分方程的概念、分类以及解的存在唯一性定理。
一、偏微分方程的概念与分类偏微分方程是包含多个自变量和它们的偏导数的方程。
一般而言，偏微分方程可以表示为如下形式：F(Du, Du1, ...,Dun, x1, x2, ..., xn) = 0其中，Du、Dui (i=1,2,...,n) 分别表示函数 u 在不同自变量方向上的偏导数，xi (i=1,2,...,n) 表示自变量。
偏微分方程可以进一步根据方程中的最高阶导数的次数和方程中所涉及的未知函数的个数进行分类。
根据最高阶导数的次数，偏微分方程可分为常微分方程、偏微分方程和偏微分方程组。
常微分方程中只涉及一个自变量，不含有偏导数；偏微分方程中则涉及多个自变量和偏导数；而偏微分方程组是由多个偏微分方程组成的方程系统。
根据方程中未知函数的个数，偏微分方程可分为一阶偏微分方程、二阶偏微分方程和高阶偏微分方程。
其中，一阶偏微分方程中只包含一阶偏导数，二阶偏微分方程中则包含两个阶数的偏导数，而高阶偏微分方程中则包含更高阶的偏导数。
二、解的存在唯一性定理在解析数学中，解的存在唯一性定理是研究偏微分方程时非常重要的一个方面。
对于某些特定的偏微分方程，可以证明其解存在且唯一。
以一阶线性偏微分方程为例，考虑方程：a(x,y)∂u/∂x + b(x,y)∂u/∂y = f(x,y)其中 a(x,y)、b(x,y) 和 f(x,y) 均为已知函数。
假设 a(x,y) 和 b(x,y) 在某个区域 G 内连续且满足利普希茨条件，且 f(x,y) 在 G 内连续。
那么，存在唯一的解 u(x,y) 在 G 内满足该方程。
对于更一般的偏微分方程，研究其解的存在唯一性涉及更加深入和复杂的数学理论和技巧，如泛函分析、变分原理、逆映射定理等。
通过合理选择合适的方程形式和边界条件，并应用适当的数学方法和工具，可以得出偏微分方程解的存在唯一性的结论。
强极大值原理范文
强极大值原理范文在数学中，强极大值原理是极大值原理的一个特殊情况。
极大值原理指出，如果一个函数在一些区域的内部取得了极大值或极小值，那么这个函数的导数在这个点处必定为零。
而强极大值原理则更进一步，强调了一个函数在一些区域的内部不能取得极大值。
1.一维情况下的强极大值原理：如果函数f(x)在区间(a,b)上连续，在(a,b)内可导，且在(a,b)上有f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)上没有极大值。
这个定理表明了一维函数在区间内部不能取得极大值。
如果f'(x)>0，那么函数在区间上是单调递增的，不能有极大值。
2.二维情况下的强极大值原理：设Ω是平面上的一个开区域，函数u(x,y)在Ω上连续，在Ω内可导，且在Ω上有▽u(x,y)=(u_x(x,y),u_y(x,y))=(0,0)，则u(x,y)在Ω上没有极大值。
这个定理可以推广到高维情况。
它告诉我们，如果一个二维函数在区域内部取得了极大值，那么它的偏导数在这个点处必定为零。
3.若函数u(x,y)在区域D上连续，在D内可导，且在D上有▽u(x,y)=(u_x(x,y),u_y(x,y))=(0,0)，则u(x,y)在D上是常数函数。
这个定理是强极大值原理的一个推论。
如果一个二维函数在区域内部的所有偏导数都为零，那么它在这个区域上是一个常数函数。
强极大值原理的证明可以通过反证法。
假设一个函数在区域内部取得了极大值，那么由极值存在定理可知，这个极大值必定对应于边界上的一些点。
然而，根据条件，函数的导数在这个点处为零，与极大值的定义相矛盾。
因此，函数在区域内部不能取得极大值。
强极大值原理在微分方程的研究和应用中具有重要的意义。
它可以用来证明微分方程解的唯一性和稳定性，以及推导一些重要的定理和性质。
在工程领域的应用中，强极大值原理可以帮助我们设计和优化系统，以达到最佳的效果和性能。
综上所述，强极大值原理是数学分析中的一个重要工具和定理，它揭示了一个函数在一些区域内的最大值或最小值只可能出现在边界上，而不会出现在区域的内部。
2-2 唯一性定理
（反证法）设有两个不同电势均 满足Poisson方程，令
2 0
对于每个导体
Qi dS n Si dS Qi S n i
dS 0 n Si
对于扣除导体的空间体积
给定各导体上的总电荷 Qi 以及 V 的边界 S 上的 或
∂ /∂n 值，则V内的电场唯一地确定。
也就是说，它在导体以外满足泊松方程
2
在第i个导体上满足总电荷条件： Qi dS Si n 和等势面条件： S i 常量
i
以及在V的边界S上具有给定的 |s 或(∂ /∂n)|s值。
Si i Si Si
dS 0 n
在区域外表面， S 0 。所以，
2 ( ) dV 0
0
V'
电场唯一确定。
静电问题有解的条件：
求解区域V内给定自由电荷分布ρ(x) ，在V的边界S 上给定
或
（i）电势 S
（ii）电势的法向导数
n S 若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电
0 n S n S n S
上式左端积分也为零。
i dV 0
2 i Vi
const.
电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。
二、有导体存在时的唯一性定理 如图，设在某区域V内有一些导 体，除去导体内部以后的区域 为 V’ 。设 V’ 内有给定电荷分布 ρ ， S上给定了
n
若V边界上
内场（ 静
电场）唯一确定。
S
证明： 假定泊松方程有两个解1
强极值原理、第二边值问题解的唯一性
§4 强极值原理、第二边值问题解的唯一性 1. 强极值原理 *物理意义：对于边界上的温度最低点（也可考虑最高 点情况），物体其它各点的热量必流向它，并且通过它 流向物体外部，因此在该点有 u 0 。
n
*定理4.1（强极值原理）设在半径为 R 某一闭球给定 一个连续函数 u ( x, y, z ) ，它在此球内是调和的，并且 对此球的所有内点 ( x, y, z ) ，成立着 u( x, y, z) u( x0 , y0 , z0 ),
a ( x2 y 2 z 2 )
aR2
v( x, y, z) a ( x2 y 2 z 2 ) 2
2
2a e
2a e
a ( x2 y 2 z 2 )
.
2 v ( x, y , z ) a ( x2 y 2 z 2 ) 2aze 2 z
u 0 uudxdydz 0
因此
u 0, u g , i 只有零解，即 有唯一解。 u 0 u f
u 0, u g , ii u 0 解为常数，即 u 在相差一个常数 f n n
2D示意图
（1）v x2 y 2 z 2 R 2 0;
. w( x, y, z ) u u
2 2 2 2 2 2 v C ( D R / 4 x y z R ), v 0; （ 2） dv v 0 0, 且 （ 3） dr v ( x0 , y0 , z0 )
u 0; （1） v ( x0 , y0 , z0 ) （2） w( x, y, z) w( x0 , y0 , z0 ) on ( x0 , y0 , z0 ) 的附近邻域， . 则 其中w( x, y, z ) u u w u u u u 0 on ( x0 , y0 , z0 ) 0. v v v v v
解的存在唯一性定理2017-3-21
x
x0 x x0 h
12
因此, y ( x) 是积分方程在 x0 x x0 h 上的连续解.
2017/6/19
Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
反之，如果 y ( x) 是 (3.1.6) 的连续解，则有：
x0 x
x
( x) y
n
0
x0
f ( , n1 ( ))d
14
2017/6/19
Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
0 ( x) y0
y
1 ( x) y0 f ( ,0 ( ))d
0 ( x) [k ( x) k 1 ( x)] x0 x x0 h
k 1
为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:
n ( x) y0 f ( ,n1 ( ))d
x0
x x0
x
x0 h x x0 h
(3.1.12)
1 ( x) 0 ( x) f ( , 0 ( )) d M ( x x0 )
2 ( x) 1 ( x) f ( ,1 ( )) f ( , 0 ( )) d
x0 x
L 1 ( ) 0 ( ) d
x0
x
ML ( x x0 ) 2 L M ( x0 )d x0 2!
L n ( ) n1 ( ) d
( x) y0 f ( x, ( x))dx
x0
强最大值原理
强最大值原理
强最大值原理是指在一个有界区域内的解析函数，在该区域内不可能取得最大值，除非该函数恒为常数。
这个原理在复变函数理论中有着重要的应用。
该原理可以用来证明许多定理，例如：调和函数的最大值原理、Liouville定理等。
此外，该原理还可以用于研究函数在无穷远处的行为，以及解析函数在复平面上的分布情况等方面。
强最大值原理的证明思路通常是通过假设函数在区域内取得最
大值，然后利用函数的解析性质和柯西-黎曼方程推导出矛盾，从而证明该假设是错误的。
强最大值原理是复变函数理论中的一条基本定理，对于理解和应用复变函数有着重要的意义。
- 1 -。
强极值原理 霍普夫
强极值原理霍普夫全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：霍普夫（Hopf）是一位20世纪伟大的数学家，他在数学领域做出了许多贡献，其中著名的强极值原理就是他的杰作之一。
强极值原理是指在微分几何中的一个基本定理，它揭示了曲面上的极值点的性质，为研究曲面的拓扑性质提供了重要的工具。
在数学分析中，极值原理是对函数的最大值和最小值的性质进行研究的一种方法。
在微分几何中，强极值原理是研究曲面上的极值点的性质与拓扑性质的关系。
强极值原理告诉我们，在曲面上局部极值点的附近，曲面的几何和拓扑性质是严格相关的。
具体来说，强极值原理告诉我们，如果一个曲面上的点是极小值点，那么在该点附近的任意曲线上，该点仍然是极小值点。
这意味着在极小值点处，曲率必须是非负的。
同样地，如果一个曲面上的点是极大值点，那么在该点附近的任意曲线上，该点仍然是极大值点。
这意味着在极大值点处，曲率必须是非正的。
霍普夫的强极值原理为微分几何领域的研究提供了重要的工具。
它不仅揭示了极值点的性质，而且还帮助我们理解曲面的整体拓扑性质。
强极值原理的应用范围非常广泛，它在地震学、气象学、生物学等领域都得到了广泛的应用。
第二篇示例：强极值原理，也称为霍普夫定理，是一个数学定理，它关于在随机独立同分布的情况下，极大值和极小值出现的概率。
霍普夫定理是概率论和数理统计中非常重要的定理，它可以帮助我们理解随机事件的规律性和规律性。
强极值原理最早由霍普夫（Emil Julius Gumbel）于1958年提出，在统计学和气象学领域得到了广泛的应用。
霍普夫定理有时也被称为极值定理或Gnedenko-Holshunov定理，是概率论中关于极大值和极小值分布的一个非常重要的结论。
霍普夫定理指出，在独立同分布的情况下，最大值和最小值的极限分布函数具有一定的特殊形式。
具体来说，若一个随机变量序列满足一定的条件，那么这个序列的最大值或最小值在适当归一化下会收敛到极值分布。
在实际应用中，强极值原理可以帮助我们预测自然界中一些罕见而重要的极端事件，比如自然灾害和金融市场的崩溃等。
调和方程——精选推荐
调和⽅程调和⽅程狄利克雷内外问题的唯⼀性及稳定性。
（1）原理 3.1 （极值原理）对于不恒等于常数的调和函数),,(z y x u ，其在区域Ω的任何内点上的值不可能达到它在Ω上的上界或下界。
推论1 在有限区域Ω内调和、在Γ?Ω上连续连续的函数必在边界Γ上取得最⼤值和最⼩值；推论2 设v u 及都是区域Ω内的调和函数，且在Γ?Ω上连续。
如果在Ω的边界Γ上成⽴着不等式v u ≤，那么在Ω内上述不等式也成⽴；并且只有在v u =时，在Ω内才会有等式成⽴的可能。
（2）调和⽅程狄利克雷内问题==++=Γ)2.3...(....................)1.3......(0222222g u z uy u x u u 现在证明解如果存在必是唯⼀的，⽽且连续的依赖于所给定的边界条件.f证：假设有两个调和函数),,(),,(21z y x u z y x u 和，它们在有界区域Ω的边界Γ上完全相同，则它们的差21u u u -=在Ω中也满⾜⽅程（3.1），⽽在Γ上等于零。
于是按照极值原理的推论1，函数u 在区域Ω上最⼤值及最⼩值均为零，即.0≡u 因此21u u ≡，即狄利克雷内问题的解是唯⼀的。
其次，设在区域Ω的边界Γ上给定了函数*f f 和，⽽且在Γ上处处成⽴ε≤-*f f ，这⾥ε是⼀个给定的正数。
设*u u ,分别是⽅程（3.1）在区域Γ上以*f f 和为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数*-u u 在Γ上取值*-f f 。
由极值原理的推论1得到，在Ω上各点有.)(min )(min ,)(max )(max εε-≥-=-≤-=-*Γ*ΓΩ*Γ*ΓΩf f u u f f u u因此在Ω上各点有，ε≤-≤-*Γ设函数21,u u 是狄利克雷外问题的解，令21u u v -=，则调和函数v 满⾜.0),,(l i m 00==→Γz y x v v r 及如果v 不恒等于零，则⼀定存在⼀点M ，使,0)(≠M v 不妨设0)(>M v 。
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1 u u dS 2 n
结论，对边值问题的解是唯一的。
2 2 2
R2 从而在区域 D : x 2 y 2 z 2 R 2 上 w y0 , z0 ) 有
u v 0
取
v( x, y, z) ea( x
2
y2 z 2 )
e R
2
即可。
定理4.2 设区域 具有下述性质：对 的边界 上的任一点M，都可 作一个属于区域 的球 K M ，使其在点M与 相切。如果不恒等于常 数的调和函数 u ( x, y, z ) 在 上连续，在边界点 M 0 处取得最小 （最大）值，则只要它在点 M 0 处，关于 的外法向导数 u n 存 在其值必定是负(正)的。
v 0 因此函数v不能在D中取的最小值。 注意在D中 w u
2 2 2 2 而在球面 x y z R 上 w( x, y, z ) 0
在球面
R2 x y z 上 u( x, y, z) u( x0 , y0 , z0 ) 可取 使得 4 w( x, y, z ) 0
成立
w( x, y, z) w( x0 , y0 , z0 )
( x, y, z ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 附近的方向导数 而函数 u
那么在点 ( x0 , y0 , z0 )
u 0 v u 0 v
就有
w u u 0 v v v u u 0 v v
为 v u( x0 , y0 , z0 ) 在( x0 , y0 , z0 ) 附近有 取函数 u
v0
和
v 0
2 2 2 更简单地假设 v 是 r x y z 的函数满足
(1)在球面 x2 y 2 z 2 R2 上 v 0
R2 (2)在区域 D : x 2 y 2 z 2 R 2 内具有二阶连续偏导数且 v 0 4 v v 存在，且 r 0 时 (3)v在沿球的半径方向的导数 0 从而在球面 r r x2 y 2 z 2 R2 上 v dv cos( , r ) 0 dr
数学物理方程
Equations of mathematical physics 姚志远
南京航空航天大学航空宇航学院
Zyyao@
§ 4
强极值原理、第二边值问题解的唯一性
1、强极值原理 定理4.1(强极值原理)设在半径为R的某一球面上（包括球面在内）给定 一个连续函数 u ( x, y, z ) ，它在此区域内是调和函数，并且对区域内的 所有点 ( x, y, z) ，成立 u( x, y, z) u( x0 , y0 , z0 ) ，其中 ( x0 , y0 , z0 ) 是球 面上的某定点。如果函数 u ( x, y, z ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 沿方向v的方向导数 存在，而方向v与球的内法线方向成锐角，则在点 ( x0 , y0 , z0 ) 成立
1 u 2 u 2 u 2 {( ) ( ) ( ) }dxdydz 2 x x x 1 u u u { ( u ) ( u ) (u ) uu}dxdydz 2 x x y y z z
由格林公式得
E (u )
2.第二边值问题解的唯一性 定理4.3 如果设区域 的边界 满足定理4.2的条件，那么同一个诺伊 曼问题的解彼此间只能相差一个常数。也就是说，诺伊曼问题的解是唯 一的。
定理4.4 方程（1.1)的诺伊曼问题的解是唯一的。
3.用能量法证明边值问题解的唯一性 作总位能
E (u )
证明
u 0 v
假设球心在坐标原点。 由于 u ( x, y, z ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 取得极小值，在点 ( x0 , y0 , z0 ) 成立
只要证明等号不能成立。
u 0 v
( x, y, z ) ，使函数 w( x, y, z ) u u 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 附近 我们引进函数 u