黑龙江省龙东南四校2014-2015学年高二下学期期末联考数学(文)试卷

2014-2015学年度第二学期高二数学期末考试数学试卷（文科）第I 卷（选择题）一、选择题（共60分）1．已知全集U ＝R ，{}|1A x x =<，{}|2B x x =≥，则集合=)(B A C U ( ) A 、{}|12x x ≤< B 、{}|12x x <≤ C 、{}|1x x ≥ D 、{}|2x x ≤ 2．若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知复数z 满足2(2)1i z -⋅=，则z 的虚部为（ ) （A ）325i （B ）325 （C ）425i （D ）4254．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为2,则输出s 的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．75．已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值x 和中位数a 的值是（ ）A ．7.3,7.5x a == B ．7.4,7.5x a ==C ．7.3,78x a ==和D ．7.4,78x a ==和 6．设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为（ ）A ．2512B ．2425C ．2425-D ．1225-7．如图，下列四个几何题中，它们的三视图（主视图、俯视图、侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是（1）棱长为2的正方体 （2）底面直径和高均为2的圆柱（3）底面直径和高均为2的圆锥 （4）底面边长为2高为2的直平行六面体 A 、（1）、（2） B 、（1）、（3） C 、（2）、（3） D 、（1）、（4）8．已知x 、 y 满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 z = x + 2y 的最大值为（A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）29．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ） ①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β； ②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ； ④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；（A ）②③ （B ）③ （C ）②④ （D ）③④ 10．函数),2||,0(),sin()(R x x A x f ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为（ ）A ．)48sin(4)(ππ--=x x f B ．)48sin(4)(ππ+-=x x fC ．)48sin(4)(ππ-=x x f D ．)48sin(4)(ππ+=x x f11的结果是 （ ）A ．1cos -B ．cos 1 Ccos 1 D ．1cos 3-12．周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则(2014)+(2015)f f =（ )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第II 卷（非选择题）二、填空题（共20分） 13．已知平面向量(2,4)a=，()2,1-=b ，若()b b a ac ⋅-=， 则||c =_______．14．在等比数列{}n a 中，对于任意*n N ∈都有123n n n a a +=，则126a a a ⋅⋅⋅= ． 15．已知0,0x y >>且2x y +=，则22111x y xy++的最小值为______. 16．若函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）已知向量)2,cos (sin ),1,cos 2(x x n x m ωωω-=-=)0(>ω， 函数3)(+⋅=n m x f ，若函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）若将函数)(x f 的图象先向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到函数)(x g 的图象，当]2,6[ππ∈x 时，求函数)(x g 的值域.18．（本题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，090=∠ADC ，CD ∥AB ，4=AB ，2==CD AD ，将ADC ∆沿AC 折起，使平面⊥ADC 平面ABC ，得到几何体ABC D -，如图2所示．（1）求证： ⊥BC 平面ACD ； （2）求几何体ABC D -的体积．19．（本小题共12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；（Ⅱ）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a ＞b 的概率． 20．（共12分）已知方程222450x y mx y m +--+=的曲线是圆C （1）求m 的取值范围;（2）当2m =-时,求圆C 截直线:l 210x y -+=所得弦长; 21．（本小题满分12分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R （Ⅰ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．高二文科数学参考答案1．A 【解析】试题分析：由题意，得{}21|≥<=x x x B A 或 ，则{}21|)(<≤=x x B A C U . 考点：集合的运算. 2．B 【解析】试题分析：{}{}0|12|>=>=x x x A x，{}{}1|0lg |>=>=x x x x B ，由A x ∈不能推出B x ∈，由B x ∈能推出A x ∈，“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，故答案为B. 考点：充分条件、必要条件的判断.3．D 【解析】试题分析：由213434(2)1(34)134(34)(34)2525i i z i z z i i i i +-⋅=⇒-=⇒===+--+，所以复数z 的虚部为425，故答案选D . 考点：1.复数的计算；2.复数的定义. 4．B 【解析】试题分析：这是一个循环结构，循环的结果依次为：101,2;112,3S i S i =+===+==．最后输出2．选B ． 考点：程序框图． 5．B 【解析】 试题分析：8647116891057.410x +++++++++==，把这10个数按从小到大顺序排列，第5个是7，第6个是8，故中位数是7．5。

考点：平均值与中位数．（样本的数字特征） 6．B 【解析】 试题分析：令6p a b +=，则43cos ,sin 55b b ==，3424sin(2)sin 22sin cos 235525p a b b b +===创=，选B ． 考点：三角恒等变换．7．C. 【解析】试题分析：依题可知（1）中三视图均是边长为2的正方形；（2）主视图与侧视图均是边长为2的正方形，俯视图是直径为2的圆；（3）主视图与侧视图均是底边长和高为2的等腰三角形，俯视图是直径为2的圆；（4）主侧视图均是矩形，俯视图是菱形；故选C . 考点：1.三视图. 8．D 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，由图可知当目标函数 2z x y =+过点()A 0,1时取得最大值max z 0122=⨯+=考点：简单的线性规划9．B【解析】试题分析：如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD B C ,AD ⊂平面ABCD ,11B C ⊂平面11BB C C ,但平面ABCD 与平面11BB C C 相交于BC ，故选项①错误；平面//ABCD 平面1111A B C D ，AD ⊂平面ABCD ,11D C ⊂平面11BB C C ，CD AD ⊥,但CD 与11D C 不垂直，，故选项②错误；选项③是线面垂直的一个性质定理，故选项③是正确的；平面ABCD ⊥平面11BB C C ，11//B C 平面ABCD ，//AD 平面11BB C C ，但11//B C AD ，故选项④错误.故答案选B考点：点、线、面的位置关系. 10．B【解析】 试题分析：由图可知()4,6282T A ==--=,216,8T ππωω∴==∴=.()4sin 8f x x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. 由图可知()6,0是五点作图的第一个点,所以608πϕ⨯+=,解得34πϕ=-. 所以()34s i n 4s i n 4s i n 484848484fxx x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=--=+-=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故B 正确.考点：求三角函数解析式. 11．C 【解析】===考点：1.二倍角公式；2.同角间三角公式 12．B 【解析】试题分析：因为函数()f x 是周期为4的奇函数， 所以2(2014)(50342)(2)log 212f f f =⨯+==+=，2(2015)(50441)(1)(1)11f f f f =⨯-=-=-=-=-，(2014)+(2015)1f f =，故答案选B .考点：1.函数求值；2.函数的周期性和奇偶性. 13．28． 【解析】试题分析：682-=-=⋅b a ，()()12,6-=⋅⋅∴b b a ，()()8,812,6-=--=∴a c ，()288822=-+考点：向量的模． 14．63 【解析】试题分析：令2=n ，得2433=⋅a a ；由等比数列的性质，得()63436213==⋅⋅⋅a a a a a .考点：1.赋值法；2.等比数列的性质. 15．3 【解析】试题分析：2222222221111111()()[4()3()]24x y y x y xx y xy x y xy x y x y+++=++=++++11[423(426)344y x x y ≥+⋅⋅+⋅=++=，当且仅当""x y =时，等号成立. 考点：基本不等式. 16．[)1,2- 【解析】试题分析：()()()2'111f x x x x =-=+-,令()'0f x >得1x <-或1x >,令()'0f x <得11x -<<,所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞,减区间为()1,1-.所以要使函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值,只需()()21101a a f a f ⎧<<-⎪⎨≥⎪⎩,即23110312112233a a a a a a a ⎧<<--<<⎧⎪⇒⇒-≤<⎨⎨≥--≥-⎩⎪⎩. 考点：用导数研究函数的简单性质. 17．（Ⅰ）Z k k k ∈+-],83,8[ππππ；（Ⅱ）[. 【解析】试题解析：（Ⅰ）32)cos (sin cos 23)(+--=+⋅=x x x n m x f ωωω2sin 22cos 1sin 2cos 2)4x x x x x ωωωωπω=-+=-=-， -------4由题意知，πωπ==22T ，1=∴ω， )42sin(2)(π-=∴x x f . ---------------5由Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解得：Z k k x k ∈+≤≤-,838ππππ,∴)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],83,8[ππππ. ------6（Ⅱ）由题意，若)(x f 的图像向左平移4π个单位，得到)4y x π=+，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到)44sin(2)(π+=x x g ， ]2,6[ππ∈x ，]49,1211[44πππ∈+∴x ， ---------8∴22)44sin(1≤+≤-πx ， -----------10∴函数()g x 的值域为[. ---------1218．（1）详见解析；（2）几何体ABC D -的体积为324． 【解析】试题解析：（1）证明：在图1中，可得22==BC AC ， 从而222AB BC AC =+，故BC AC ⊥，方法一：取AC 的中点O ，连接DO ，则AC DO ⊥，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面 ADC 平面AC ABC =，⊂DO 平面ADC ， 从而⊥DO 平面ABC∴BC DO ⊥，又BC AC ⊥，O DO AC = ，∴BC ⊥平面ACD 6分 （方法二：因为平面ADC ⊥平面ABC 平面ADC 平面ABC AC = 又因为,AC BC BC ⊥⊂平面ABCBC ∴⊥平面ADC 6分）（2）解 由（Ⅰ）知BC 为三棱锥ACD B -的高，22=BC ，2=∆ACD S ∴3242223131=⨯⨯=⋅=∆-BC S V ACD ACD B 由等体积性可知，几何体ABC D -的体积为324． 12分 考点：1、空间线面的垂直关系；2、几何体的体积． 19．（Ⅰ）17,19；（Ⅱ）31【解析】试题解析：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为1(911142031)175++++=，B 班样本数据的平均值为1(1112212526)195++++=，据此估计B 班学生平均每周上网时间较长． 5分（Ⅱ）依题意，从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b 的取法共有12种，分别为： （9,11），（9,12），（9,21），（11,11），（11,12），（11,21），（14,11），（14,12），（14,21），（20,11），（20,12），（20,21）．----------8 其中满足条件“a ＞b ”的共有4种，分别为：（14,11），（14,12），（20,11），（20,12）． 设“a ＞b ”为事件D ，-------10 则31124)(==D P ． 答：a ＞b 的概率为31．------12 20．（1）14m m <>或（2）试题解析：（1）()()222254x m y m m -+-=-+--------4254m m -+>0 14m m <>或---------6（2）设=-2C(-22)m 时，圆心 ，，半径 -------8圆心到直线的距离为d ----------10圆C 截直线:l 210x y -+=所得弦长为== 21．（Ⅰ）3a =；（Ⅱ）()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2；（Ⅲ）实数a 的取值范围为(,1]-∞． 试题解析：（Ⅰ）1()2f x x a x'=-+． 由题意得，1(1)201f a '=-+=即3a = 4分（Ⅱ）3a =时，2()ln 3f x x x x =+-，定义域为(0,)+∞，21123()23x xf x x x x+-'=+-=当102x <<或1x >时，()0f x '>， 当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2．----8分（Ⅲ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立， 令2ln ()x x g x x +=，则221ln ()x x g x x+-'= -----------10 令2()1ln h x x x =+-，则2121()20x h x x x x -'=-=> 所以()h x 在(1,)+∞为增函数，()(1)20h x h >=> ．故()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞为增函数．()(1)1g x g >=，所以 1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞． ----------12分 解法二：2112()2x ax f x x a x x+-'=+-= 令2()21g x x ax =-+，则28a ∆=-，（Ⅰ）当0∆<，即a -<<时，()0f x '>恒成立，因为1x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(a ∈-；（Ⅱ）当0∆=，即a =±()0f x '≥恒成立，因为1x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a =-；（Ⅲ）当0∆>，即a <-或a >方程()0g x =有两个实数根12x x ==若a <-，两个根120x x <<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a <-；若a >()0g x =的两个根120x x <<，因为()10f x a =-<，且()f x 在(1,)+∞是连续不断的函数所以总存在01x >，使得0()0f x <，不满足题意．综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞．22．（1）222(((0)x y r r ++=>；（2）1. 【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若y x ,有范围限制，要标出y x ,的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式θρcos =x 及θρsin =y 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：（1）直线l的直角坐标方程为x y +=， 2分圆C的直角坐标方程为222(((0)x y r r +++=>． 5分 （2）∵圆心(C ，半径为r ， 5分 圆心C到直线x y +=2d ， 8分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，∴321r =-=． ------ 10分考点：1、极坐标方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离.。