数学理卷·2018届内蒙古呼伦贝尔市高三模拟统一考试(一)
最新呼市高三：一模考试试卷(理科)
2018届呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试（一模）理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题时，考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上. 本试卷满分150分，答题时间120分钟. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效. 4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}260,233x A x x x B x Z = -≤=∈ <，则集合AB 的元素个数为A. 6B. 5C. 4D. 32. 已知2iz i-=，则复数z 的虚部为 A. i -B. 2C. 2i -D. 2-3. 下列函数中，既是偶函数又是(),0-∞上的减函数的是A. 3y x =-B. 2xy =C. 2y x -=D. ()3log y x =-4. 已知3sin ,sin cos 15θθθ=->，则sin2θ=A. 1225B. 1225-C.2425D. 2425-5. 设直线1:210l x y -+=，直线2:30l mx y ++=的交点为A ，,P Q 为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为 A. 2B. 2-C. 3D. 3-6. 有10000人参加某次考试，其成绩X 近似服从正态分布()2100,13N ，()611390.997P X <<=，则此次考试中成绩不低于139分的人数约为 A. 10B. 30C. 15D. 237. 下面程序框图的算法思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入210m =，125n =， 则输出的n 为 A. 2 B. 3 C. 7 D. 58. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为A. B. 6C. D. 129. 函数()()sin f x A x B ωϕ=++的部分图像如图所示，将函数()f x图像向右平移1个单位得到函数()g x 的图像，则()()415g g -+= A. 3B.32C. 2D.1210. 已知球O半径为，设,,,S A B C 是球面上四个点，其中90ABC ∠=，AB BC ==，则棱锥S ABC -的体积的最大值为A.B.C.D.11. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于点,A B ，若2ABF △为等边三角形，则双曲线的渐近线为A. y =B. y =C. y =D. y = 12. 已知关于x 的不等式ln 0x x ax a -+<存在唯一的整数解，则实数a 的取值范围是A. 32ln 2,ln 32⎛⎤⎥⎝⎦B. (]ln 2,ln 3C. ()2ln 2,+∞D. 32ln 2,ln 32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案直接填在题中横线上.）13.20cos x dx π=⎰14. ()()5212x x +-展开式中，2x 的系数为15. 在ABC △中，AB 22BC AC ==，则满足3BA tBC AC -≤的实数t 的取值范围是16. 某燃气站对外输送煤气时，用15号5个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（1）若开启2号，则必须同时开启3号并关闭1号； （2）若开启1号或3号，则关闭5号； （3）禁止同时关闭4号和5号.现要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）17. （12分）已知等差数列{}n a 和递增的等比数列{}n b 满足：111,3a b ==，且35223b a a =+，242b a =+.（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，若对任意的*n N ∈，n n kb S ≥恒成立，求实数k 的取值范围.18. （12分）为了了解校园噪音污染情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了50天的监测，得到如下统计表：（1）根据该统计表，求这50天校园噪音的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据国家“声环境质量标准”环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染； 环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染，如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：（i ）求周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率；（ii ）学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染记为X ，求X 的分布列和方差()D X .19. （12分）一个多面体如图，ABCD 时候边长为a 的正方形，AB FB =，FB ⊥平面ABCD ，//ED FB .（1）若12DE BF =，设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ； （2）求二面角E AF C --的正弦值.20. （12分）已知椭圆C 的中心在原点，其中一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 与椭圆C 交于两点，若1AF B △1F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.21. 已知二次函数()22f x x x =+.（1）讨论函数()()()ln 1g x f x a x =++的单调性；（2）设函数()()xh x f x e =-，记0x 为函数()h x 的极大值点，求证：()0124h x <<.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号. 22.23. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. 以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:4sin 02C πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 被直线l 截得的弦长；（2）与直线l 垂直的直线MN 与曲线C 相切于点M ，求点M 的直角坐标.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3127f x x x =-++.（1）若不等式()23f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设0,0a b >>，且3a b +=。
内蒙古呼伦贝尔市2018届高三模拟统一考试(一)理科综合试题
2018年呼伦贝尔市高考模拟统一考试（一）理科综合能力测试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。
本试卷满分300分，考试时间150分钟。
2.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 Co-59 Cu-64第Ⅰ卷一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关减数分裂的叙述，正确的是A.精巢中一部分精原细胞具有细胞周期B.减数分裂过程中，非同源染色体间的部分交换属于基因重组C.DNA分子复制可发生在减数分裂第二次分裂的间期D.雌性动物进行减数分裂过程中，细胞质都是不均等分裂的2.下列有关微生物的叙述，正确的是A.酵母菌的遗传物质是RNAB.大肠杆菌、霉菌、蓝藻的细胞内都含有可形成肽键的结构C.HIV侵入人体后会被浆细胞识别，从而引发人体发生免疫反应D.用32P标记的噬菌体侵染未被标记的大肠杆菌，在子代噬菌体中检测不到32P3.下列关于酶的叙述，正确的是A.低温能降低酶活性的原因是其破坏了酶的空间结构B.RNA聚合酶能催化DNA的转录C.酶能加快反应速度是因为它能提高化学反应的活化能D.人体肌细胞内的DNA解旋酶只分布在细胞核中4.下列有关物质跨膜运输的叙述，正确的是A.RNA从细胞核到细胞质的过程属于胞吐B.分泌蛋白分泌到细胞外的过程体现了细胞膜的选择透过性C.神经细胞处于兴奋时，主要是Na+内流，流入方式为主动运输D.在质壁分离复原的过程中，细胞液浓度逐渐降低5.下列关于人体生命活动调节的叙述，错误的是A.下丘脑具有神经调节和内分泌调节的双重功能B.在同一神经纤维的两点同时给予相同的刺激量，在这两点的中点处兴奋会抵消C.雌性激素是由氨基酸组成的，可促进卵巢的发育和卵细胞的生成D.大面积烧伤的病人易发生感染的原因是非特异性免疫能力降低6.茄子果皮颜色有绿色和紫色，形状有长形、圆形、椭圆形。
内蒙古呼伦贝尔市2018届高三模拟统一考试(一)理科综合试题教学文案
内蒙古呼伦贝尔市2018届高三模拟统一考试(一)理科综合试题2018年呼伦贝尔市高考模拟统一考试（一）理科综合能力测试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。
本试卷满分300分，考试时间150分钟。
2.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 Co-59 Cu-64第Ⅰ卷一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关减数分裂的叙述，正确的是A.精巢中一部分精原细胞具有细胞周期B.减数分裂过程中，非同源染色体间的部分交换属于基因重组C.DNA分子复制可发生在减数分裂第二次分裂的间期D.雌性动物进行减数分裂过程中，细胞质都是不均等分裂的2.下列有关微生物的叙述，正确的是A.酵母菌的遗传物质是RNAB.大肠杆菌、霉菌、蓝藻的细胞内都含有可形成肽键的结构C.HIV侵入人体后会被浆细胞识别，从而引发人体发生免疫反应D.用32P标记的噬菌体侵染未被标记的大肠杆菌，在子代噬菌体中检测不到32P3.下列关于酶的叙述，正确的是A.低温能降低酶活性的原因是其破坏了酶的空间结构B.RNA聚合酶能催化DNA的转录C.酶能加快反应速度是因为它能提高化学反应的活化能D.人体肌细胞内的DNA解旋酶只分布在细胞核中4.下列有关物质跨膜运输的叙述，正确的是A.RNA从细胞核到细胞质的过程属于胞吐B.分泌蛋白分泌到细胞外的过程体现了细胞膜的选择透过性C.神经细胞处于兴奋时，主要是Na+内流，流入方式为主动运输D.在质壁分离复原的过程中，细胞液浓度逐渐降低5.下列关于人体生命活动调节的叙述，错误的是A.下丘脑具有神经调节和内分泌调节的双重功能B.在同一神经纤维的两点同时给予相同的刺激量，在这两点的中点处兴奋会抵消C.雌性激素是由氨基酸组成的，可促进卵巢的发育和卵细胞的生成D.大面积烧伤的病人易发生感染的原因是非特异性免疫能力降低6.茄子果皮颜色有绿色和紫色，形状有长形、圆形、椭圆形。
2018年普通高等学校招生全国统一考试内蒙古包头市第一次模拟数学(理)试卷-含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试内蒙古包头市第一次模拟数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足(1)1i z i +=-，则z =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，2{|,}M x x x x U =≤∈，32{|320}N x x x x =-+=，则M N =（ ）A ．{0,1,2}--B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{0,1}3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为（ ）A ．25升B ．611升C ．1322升D ．2140升 4.若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35.已知550(21)x a x -=4145a x a x a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，则015a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=（ ）A ．1B ．243C ．32D ．2116.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．83B ．323C ．163D ．2837.若双曲线C ：22221x y a b-=的离心率为e ，一条渐近线的倾斜角为θ，则cos e θ的值（ ） A ．大于1 B ．等于1C ．小于1D ．不能确定，与e ，θ的具体值有关8.执行如图所示的程序框图，如果输入的150t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89.现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。
现在规定：当牌的一面为字母R 时，它的另一面必须写数字2.你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（ ）A ．翻且只翻（1）（4）B ．翻且只翻（2）（4）C ．翻且只翻（1）（3）D ．翻且只翻（2）（3）10.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 是EF 的中点，沿DE ，EF ，FD 将正方形折起，使A ，B ，C 重合于点P ，构成四面体，则在四面体P DEF -中，给出下列结论：①PD ⊥平面PEF ；②PD EF ⊥；③DG ⊥平面PEF ；④DF PE ⊥；⑤平面PDE ⊥平面PDF .其中正确结论的序号是（ ）A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．②④⑤11.已知函数3()24f x x x =-2()x x e e -+-，若2(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[,2]3-B ．2[1,]3--C ．2[,1]3D ．1[2,]3-12.已知BC 是圆O 的直径，H 是圆O 的弦AB 上一动点，10BC =，8AB =，则HB HC ⋅的最小值为（ ）A ．4-B ．25-C ．9-D ．16- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ．14.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，(0,)2πωϕ><，58x π=为()y f x =图象的对称轴，118x π=为()f x 的零点，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ= ．15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若26S =，123n n a S +=+，*n N ∈，则4S = ． 16.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于M ，N 两点.若4MF NF OF +=，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c a B b --=. （1）求sin sin A C的值；（2）若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S . 18.如图，四棱锥H ABCD -中，HA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，6AB AD AC ===，8HA BC ==，E 为线段AD 上一点，2AE ED =，F 为HC 的中点.（1）证明：//EF 平面HAB ；（2）求二面角E HF A --的正弦值.19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取500株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这500株小麦生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值Z 服从正态分布2(,6)N μ，其中μ近似为样本平均数x ，26近似为样本方差2s .①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②若从试验田中抽取100株小麦，记X 表示这100株小麦中生长指标值位于区间(187.8,212.2)的小麦株数，利用①的结果，求EX .12.2≈.若2(,6)Z N μ，则(66)0.6826P Z μμ-<<+=，(2626)0.9544P Z μμ-<<+=.20.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右两个焦点，124FF =，长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足122AF BF =.（1）求椭圆C 的方程；（2）求四边形21ABF F 的面积.21.已知函数2()ln f x ax x x =--，(,ln 1)a R x x ∈≤-.（1）若38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x a t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ=.（1）若2a =-时，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为a .23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()12f x x x =+--，2()g x x x a =--.（1）当5a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: ADCDB 6-10: CBBAC 11、12：DD二、填空题13. 56 14. 12π 15. 66 16. 2三、解答题17.解：（1）由正弦定理，设sin sin sin a b ck A B C ===， 则22sin sin sin c a k C k A b k B --=2sin sin sin C AB -=. 由题设条件，得cos 2cos 2sin sin cos sin A CC AB B --=，整理得sin()2sin()A B B C +=+.又A B C π++=，所以sin 2sin C A =，即sin 1sin 2AC =.（2）由余弦定理，可知222cos 2a c b B ac +-=14=，①由（1）可知sin 1sin 2AaC c ==，②由2b =，再联立①②求得2c =，1a =，sin B ==，((0,))B π∈，所以1sin 2S ac B ==.18.解：（1）由已知得243AE AD ==，取BH 的中点G ，连接AG ，GF ，由F 为HC 的中点知//GF BC ，142GF BC ==，又//AD BC ，故//GF AE ，所以四边形AEFG 为平行四边形，于是//EF AG ，AG ⊂平面HAB ，EF ⊄平面HAB ，所以//EF 平面HAB .（2）取BC 的中点T ，连接AT .由AB AC =得AT BC ⊥，从而AT AD ⊥，且AT=以A 为坐标原点，AT 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -. 由题意知，(0,0,8)H ，(0,4,0)E，C，F ，(0,4,8)HE =-，(5,2,4)HF =-，(5,2,4)AF =.设(,,)n x y z =为平面HEF 的法向量，则00n HE n HF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即480240y z y z -=⎧⎪+-=，可取(0,2,1)n =. 设000(,,)m x y z =为平面HAF 的法向量，则00m HF m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240240y z y z +-=++=，可取(2,m =.于是cos ,n m <>m n m n ⋅=⋅23=-， 5sin ,3n m <>=. 所以二面角E HFA --19.解：（1）画图.（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为 1700.021800.09x =⨯+⨯1900.222000.332100.24+⨯+⨯+⨯2200.082300.02200+⨯+⨯=， 222(30)0.02(20)0.09s =-⨯+-⨯2(10)0.2200.33+-⨯+⨯22100.24200.08+⨯+⨯2300.02150+⨯=.（3）①由（1）知(200,150)Z N ，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.220012.2)P Z =-<<+0.6826=.②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =⨯=.20.解：（1）由题意知26a =，24c =，所以3a =，2c =.所以2225b a c =-=，椭圆C 的方程为22195x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(2,0)F -，2(2,0)F ，所以111(2,)AF x y =---，222(2,)BF x y =--，由122AF BF =，得1222(2)x x +=-，122y y =.延长AB 交椭圆于H ，因为122AF BF =，所以12//AFBF ，且122AF BF =. 所以线段2BF 为1AF H ∆的中位线，即2F 为线段1F H 的中点，所以(6,0)H .设直线AB 的方程为6x my =+，代入椭圆方程得，225(6)945my y ++=，即22(59)601350m y my +++=. 所以122260359m y y y m +=-=+，21222135259y y y m ⋅==+，消去2y ，得229325m ⨯=，依题意取m =1221AF H BF H ABF F S S S ∆∆=-四边形11221122F H y F H y =-1222242826y y y y y =-=-=212059m m =-=+. 21.解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--， 所以31'()14f x x x =--(32)(2)(0)4x x x x+-=>. 令'()0f x =，得2x =，当(0,2)x ∈时，'()0f x <；当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， 所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--. （2）由2()ln f x ax x x =--，得1'()21f x ax x =--221(0)ax x x x--=>，所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<， 函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点.因为当10a -≤≤时，(1)10f a =-<，221()0e e a f e e -+=>， 所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,)+∞上有零点.综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点.（3）由（2）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点.因为()f x 有两个零点，所以0a >.由2()ln f x ax x x =--，得221'()(0)ax x f x x x --=>. 令2()21g x ax x =--，因为(0)10g =-<，20a >，所以()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设这个零点为0x ，当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >；所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增.要使函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即2000ln 0ax x x --<.因为2000()210g x ax x =--=，所以2000ln ax x x --20001(2ln 22)2x ax x =-+- 200001[2ln (21)1]2x ax x x =-+---+001(12ln )02x x =--<， 可得002ln 10x x +->，又因为()2ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上是增函数，且(1)0h =，所以01x >，0101x <<， 由200210ax x --=，得02012x a x +=20011()x x =+20111()24x =+-， 所以022a <<，即01a <<.以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点.当01a <<时，2121()1a g a a a =--10a a -=>，(1)2(1)0g a =-<， 所以011x a<<. 因为211()1a f e e e =-+220e e a e-+=>，且0()0f x <， 所以函数()f x 在01(,)x e上有一个零点. 又因为22422()ln a f aa a a =--22(1)10a a≥--=>（因ln 1x x ≤-）. 且0()0f x <，所以()f x 在02(,)x a上有一个零点. 所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a 内有两个零点. 综上，实数a 的取值范围是(0,1).22.解：（1）曲线的普通方程为224x y +=，当2a =-时，直线l 的普通方程为20y x +=， 由22204x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l的交点坐标为(55-，(55-. （2）直线l 的普通方程为220x y a +--=，设C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 上的点(2cos ,2sin )θθ到l 的距离为d==.当2a ≥-时，d==8a =-， 当2a <-时，d，=12a =，综上，8a =-12a =.23.解：（1）当5a =时，不等式()()f x g x ≥等价于12x x +--25x x ≥--，①当1x <-时，①式化为220x x --≤，无解；当12x -≤≤时，①式化为2340x x --≤，得12x -≤≤；当2x >时，①式化为280x x --≤，得122x +<≤. 所以()()f x g x ≥的解集为[-. （2）当[2,3]x ∈时，()3f x =，所以()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，等价于[2,3]x ∈时()3g x ≤. 又2()g x x x a =--在[2,3]上的最大值为(3)6g a =-. 所以(3)3g ≤，即63a -≤，得3a ≥.所以a 的取值范围为[3,)+∞.。
2018年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷(理科)
2018年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合P＝{x|x2−2x≥3}，Q＝{x|2<x<4}，则P∩Q＝（）A.[3, 4)B.(2, 3]C.(−1, 2)D.(−1, 3]【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合P，然后求解交集即可．【解答】集合P＝{x|x2−2x≥3}＝{x|x≤−1或x≥3}，Q＝{x|2<x<4}，则P∩Q＝{x|3≤x<4}＝[3, 4)．2. 已知复数z=2i1−i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A.iB.1C.−iD.−1【答案】B【考点】复数的运算【解析】根据复数的基本运算即可得到结论．【解答】解：z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i−22=−1+i，故复数的虚部为1，故选B.3. 已知向量a→=(1, 2)，b→=(2, t)，且a→⋅b→=0，则|b→|=()A.√5B.2√2C.2√5D.5【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】利用向量垂直，数量积为0，得到关于t的方程求解可得t的值，则|b→|的答案可求．【解答】由向量a→=(1, 2)，b→=(2, t)，且a→⋅b→=0，∴2+2t=0．解得t=−1．则|b→|=√22+(−1)2=√5．4. 已知变量x，y满足约束条件{x+y≥13x+y≤3x≥0，则目标函数z=2x+y的最小值是（）A.4B.3C.2D.1【答案】D【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=−2x+z，平移直线y=−2x+z，由图象可知当直线y=−2x+z经过点A(0, 1)时，直线的截距最小，此时z最小，此时z=0×2+1=1，5. 如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b （其中A>0，ω>0，−π<φ<π），那么中午12时温度的近似值（精确到1∘C）是（）A.25∘CB.26∘CC.27∘CD.28∘C【答案】C【考点】正弦函数的图象【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】由函数y=Asin(ωx+φ)+b（其中A>0，ω>0，−π<φ<π）的图象，可得b= 20∘，A=30∘−10∘2=10∘，1 2⋅2πω=14−6，求得ω=π8．再根据五点法作图可得π8⋅6+φ=3π2，φ=3π4，故y=10∘sin(π8x+3π4)+20∘．令x=12，求得y=5√2+20≈27∘，6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A.12B.18C.24D.36【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】作出直观图，根据三视图尺寸得出棱锥的底面边长和高，从而可计算出体积．【解答】四棱锥的底面ABCD为边长为3的正方形，高SA=4，故四棱锥的体积V=13×32×4=12，7. 设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA→∗OB→等于（）A.3 4B.−34C.3D.−3【答案】B【考点】抛物线的求解【解析】根据抛物线的标准方程，求出焦点F(12, 0 )，当AB的斜率不存在时，可得A(12, 1)，B(12, −1)，求得OA→∗OB→的值，结合填空题的特点，得出结论．【解答】抛物线y2=2x的焦点F(12, 0 )，当AB的斜率不存在时，可得A(12, 1)，B(12, −1)，∴OA→∗OB→=(12, 1)⋅(12, −1)=14−1=−34，8. 如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为6105，2146，则输出的m=()A.0B.31C.33D.37【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】第1次执行循环体，r=1813，m=2146，n=1813，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体，r=333，m=1813，n=333，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体，r=148，m=333，n=148，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体，r=37，m=148，n=37，不满足退出循环的条件；第5次执行循环体，r=0，m=37，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为37．9. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=xe x，给出下列命题：①当x>0时，f(x)=−xe−x；②函数f(x)的单调递减区间是(−∞, −1)，(1, +∞)；③对∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|≤2．e其中正确的命题是（）A.①②B.①③C.②③D.②【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】由已知求出函数在x>0时的解析式，再由导数研究函数的单调性，求出最值，画出图象，数形结合得答案．【解答】设x >0，则−x <0，∴ f(−x)=−xe −x ，则f(x)=xe −x ． ∴ f(x)={xe x ,x <00,x =0xe −x ,x >0．当x >0时，f(x)=xe −x ，f′(x)=e −x −xe −x =e −x (1−x)． ∴ 当x ∈(0, 1)时，f′(x)>0，当x ∈(1, +∞)时，f′(x)<0． ∴ f(x)在(0, 1)上为增函数，在(1, +∞)上为减函数． 作出函数f(x)的图象如图：由图可知，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, −1)，(1, +∞)； 对∀x 1，x 2∈R ，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤2e ． ∴ 正确的命题是②③．10. 已知A(1, 4√3)，将OA →绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB →，则点B 的纵坐标为（ ） A.3√32B.5√32C.112D.132【答案】 B【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】根据题意，设B 的坐标为(x, y)，设∠XOA =θ，由A 的坐标计算可得cosθ=17，sinθ=4√37，分析可得：sin(θ+π3)=y7，由和角公式分析可得sinθcos π3+cosθsin π3=4√37×12+17×√32=5√314=y7，计算可得y 的值，即可得答案．【解答】根据题意，设B 的坐标为(x, y)， A(1, 4√3)，则|OA|=7， 设∠XOA =θ，则cosθ=17，sinθ=4√37， 将OA →绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB →，则|OB|=|OA|=7， 则有sin(θ+π3)=y7， 即sinθcos π3+cosθsin π3=4√37×12+17×√32=5√314=y 7， 解可得：y =5√32；11. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，PA =√3，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A.5π B.√2π C.20π D.4π 【答案】 A【考点】球的体积和表面积【解析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P−ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB=√5，得外接球半径R=√52，从而得到所求外接球的表面积【解答】PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P−ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB=√2，PA=√3∴PB=√5，可得外接球半径R=12PB=√52∴外接球的表面积S＝4πR2＝5π12. 设函数f(x)定义域为R，且满足f(−x)=f(x)，f(x)=f(2−x)，当x∈[0, 1]时，f(x)=2x−1，则函数g(x)=|cos(πx)|−f(x)在区间[−12, 32]上的所有零点的和为（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】作出y=f(x)与y=|cos(πx)|的函数图象，根据函数对称性得出答案．【解答】∵f(−x)=f(x)，∴f(x)是偶函数，∴f(x)=f(2−x)=f(x−2)，即f(x)的周期为2．作出y=f(x)与y=|cos(πx)|的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在[−12, 32]上有4个交点，不妨从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，根据图象对称性可知x1+x2=0，x3+x4=2．∴g(x)在区间[−12, 32]上的所有零点的和为2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．(1+x)7(1+y)4的展开式中x2y2的系数是________．【答案】126【考点】二项式定理的应用【解析】求出(1+x)7的展开式中含x2的项和(1+y)4的展开式中含y2的项，进而可求得(1+ x)7(1+y)4的展开式中x2y2的系数．【解答】∵(1+x)7的展开式中含x2的项为T3=C72∗x2=21x2，(1+y)4的展开式中含y2的项为T2=C42∗y2=6y2，∴(1+x)7(1+y)4的展开式中x2y2的系数是21×6=126．某次考试中，小丽、小东和小欣三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下，小丽说：小欣没有考满分；小东说：是我考的；小欣说：小丽说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．【答案】小丽【考点】进行简单的合情推理【解析】分别假设得满分的是小丽、小东、小欣，分别判断三个人的话的真假，能求出结果．【解答】假设得满分的同学是小丽，则小丽和小欣说的是真话，小东说的是假话，符合题意；假设得满分的是小东，则小丽和小欣说的是假话，小东说的是真话，不符合题意；假设得满分的是小欣，则小丽、小欣、小东说的都是假话，不符合题意．故得满分的同学是小丽．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=2A，a=1，b=√3，则c=________．【答案】2【考点】正弦定理余弦定理【解析】由B=2A，得到sinB=sin2A，利用正弦定理求出cosA的值，再利用余弦定理即可求出c的值．【解答】∵△ABC中，B=2A，a=1，b=√3，∴由正弦定理asinA =bsinB得：1sinA=√3sin2A=√32sinAcosA，整理得：cosA=√32，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得1=3+c2−3c，解得：c=1或c=2，当c=1时，a=c=1，b=√3，此时A=C=30∘，B=120∘，不满足B=2A，舍去；当c=2时，a=1，b=√3，此时A=30∘，B=60∘，C=90∘，满足题意，则c=2．已知点P 是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)右支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1→+PF 2→|=2c ，△PF 1F 2的面积为ac ，则双曲线的离心率是________． 【答案】 1+√52【考点】 双曲线的特性 【解析】设|PF 1→|=m ，|PF 2→|=n ，则m >n ，设∠F 1PF 2=θ，根据余弦定理和向量的模，求出θ=90∘，mn =2b 2，再根据三角形的面积即可得到c 2−a 2−ac =0，解得即可求出离心率 【解答】设|PF 1→|=m ，|PF 2→|=n ，则m >n ，设∠F 1PF 2=θ， ∴ m −n =2a ， 由|PF 1→+PF 2→|=2c ，∴ |PF 1→|2+|PF 2→|2+2|PF 1→|⋅|PF 2→|⋅cosθ=4c 2， 即(m −n)2+2mn +2mncosθ=4c 2， ∴ 4c 2+2mn(1+cosθ)=4c 2， 即mn(1+cosθ)=2b 2，由余弦定理可得4c 2=m 2+n 2−2mncosθ=(m −n)2+2mn −2mncosθ=4a 2+2mn −2mncosθ，∴ mn(1−cosθ)=2b 2， ∴ 1+cosθ=1−cosθ， 解得θ=90∘， ∴ mn =2b 2，∵ △PF 1F 2的面积为ac ， ∴ 12mnsinθ=ac ， ∴ b 2=ac ，即c 2−a 2−ac =0， 即e 2−e −1=0， 解得e =1+√52，e =1−√52（舍去）三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1=25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）设S n =a 1+a 4+a 7+...+a 3n−2，求使S n >0的n 的最大值．设等差数列{a n }的公差不为零，a 1=25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．∴ a 112=a 1⋅a 13，∴ (25+10d)2=25(25+12d)， 化为：d 2+2d =0，d ≠0， 解得d =−2．a n =25−2(n −1)=27−2n ． a 3n−2=27−2(3n −2)=31−6n ． ∴ S n =a 1+a 4+a 7+...+a 3n−2=n(25+31−6n)2=n(28−3n)，令S n >0，解得n <283=9+13．∴ 要求的n 的最大值为9． 【考点】 数列的求和 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差不为零，a 1=25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．可得a 112=a 1⋅a 13，即(25+10d)2=25(25+12d)，解出即可得出．（2）a 3n−2=27−2(3n −2)=31−6n ．利用等差数列的求和公式可得S n ．令S n >0，解得n ． 【解答】设等差数列{a n }的公差不为零，a 1=25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．∴ a 112=a 1⋅a 13，∴ (25+10d)2=25(25+12d)， 化为：d 2+2d =0，d ≠0， 解得d =−2．a n =25−2(n −1)=27−2n ． a 3n−2=27−2(3n −2)=31−6n ． ∴ S n =a 1+a 4+a 7+...+a 3n−2=n(25+31−6n)2=n(28−3n)，令S n >0，解得n <283=9+13．∴ 要求的n 的最大值为9．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，M 为棱DD 1上的一点．（1）当A 1M +MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC ；（2）若DD 1→=3DM →，求二面角B −B 1C −M 的正弦值．证明：将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90∘展开与侧面ADD 1A 1共面，当A 1，M ，C 共线时，A 1M +MC 取得最小值．由AD =CD =1，AA 1=2，得M 为DD 1的中点， 连接C 1M 在△C 1MC 中，C 1M =CM =√2，C 1C =2，∴ C 1C 2=MC 2+MC 12， 得∠CMC 1=90∘，即CM ⊥C 1M ，又B 1C 1⊥平面CDD 1C 1， ∴ B 1C 1⊥CM ，又B 1C 1∩C 1M =C 1，∴ CM ⊥平面B 1C 1M ， ∴ CM ⊥B 1M ，同理可证，B 1M ⊥AM ，又AM ∩MC =M ，∴ B 1M ⊥平面MAC ．设所求二面角为⊥α，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系0−xyz ，则点C(1, 1, 0)，点B 1(1, 0, 2)，点M(0, 1, 23) 设平面B 1CM 的一个法向量为m →=(x, y, z)，则 {m →⋅B 1C →=0m →⋅CM →=0⇒{y −2z =03x −2z =0，不妨设z =3，则m →=(2, 6, 3)．又平面BB 1C 的一个法向量n →=(1, 0, 0)． |cos <m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=27．∴ sinα=3√57．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】（1）将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90∘展开与侧面ADD 1A 1共面，当A 1，M ，C 共线时，A 1M +MC 取得最小值．由AD =CD =1，AA 1=2，得M 为DD 1的中点，连接C 1M在△C 1MC 中，C 1M =CM =√2，C 1C =2，利用勾股定理的逆定理可得∠CMC 1=90∘，即CM ⊥C 1M ，又B 1C 1⊥平面CDD 1C 1，可得CM ⊥平面B 1C 1M ，CM ⊥B 1M ，同理可证，B 1M ⊥AM ，即可证明结论．（2）设所求二面角为⊥α，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系0−xyz ，设平面B 1CM 的一个法向量为m →=(x, y, z)，则{m →⋅B 1C →=0m →⋅CM →=0⇒{y −2z =03x −2z =0，不妨设z =3，可得m →．又平面BB 1C 的一个法向量n →=(1, 0, 0)．可得|cos <m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|，即可得出．【解答】证明：将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90∘展开与侧面ADD 1A 1共面，当A 1，M ，C 共线时，A 1M +MC 取得最小值．由AD =CD =1，AA 1=2，得M 为DD 1的中点， 连接C 1M 在△C 1MC 中，C 1M =CM =√2，C 1C =2，∴ C 1C 2=MC 2+MC 12， 得∠CMC 1=90∘，即CM ⊥C 1M ，又B 1C 1⊥平面CDD 1C 1， ∴ B 1C 1⊥CM ，又B 1C 1∩C 1M =C 1，∴ CM ⊥平面B 1C 1M ， ∴ CM ⊥B 1M ，同理可证，B 1M ⊥AM ，又AM ∩MC =M ，∴ B 1M ⊥平面MAC ．设所求二面角为⊥α，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系0−xyz ，则点C(1, 1, 0)，点B 1(1, 0, 2)，点M(0, 1, 23) 设平面B 1CM 的一个法向量为m →=(x, y, z)，则 {m →⋅B 1C →=0m →⋅CM →=0⇒{y −2z =03x −2z =0，不妨设z =3，则m →=(2, 6, 3)．又平面BB 1C 的一个法向量n →=(1, 0, 0)． |cos <m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=27．∴ sinα=3√57．考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为P i =Ri N ，其中P i 为第i 题的难度，R i 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率；（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设P i′为第i题的实测难度，P i为第i题的预估难度．定义统计量S=1n[P1′−P1)2+(P2′−P2)2+...+(P n′−P n)2]，考试评价规定：若S<0.05，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试对难度的预估是否合理．【答案】因为20人中答对第5题的人数为4人，因此这2名学生中至少有1人答对第5题的概率为p=1−C162C202=719；（计算S=15×[(0.8−0.2+(0.8−0.(1)2+(0.7−0.(2)2+(0.7−0.(3)2+(0.2−0.(4)2]=0.012；因为S=0.012<0.05，所以，该次测试的难度预估是合理的．【考点】极差、方差与标准差【解析】（1）根据频数、频率与样本容量的关系，计算即可；（2）利用对立事件的概率公式，计算所求的概率值；（3）根据公式计算S的值，比较即可．【解答】（1）因为20人中已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，四个顶点构成的四边形的面积是4；（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B是椭圆上、下两个顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点，直线AE与直线y=−1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点，求∠OEG的大小．【答案】∵e=ca =√32，2ab=4，a2=b2+c2，∴a=2，b=1，c=√3，∴椭圆C的方程为x24+y2=1；设M(x0, y0)，x0≠0，则N(0, y0)，E(x02, y0)．由点M在椭圆W上，则x024+y02=1．即x02=4−4y02，又A(0, 1)，则直线AE的方程为y−1=2(y0−1)x0x，令y=−1，得C(x01−y0, −1)又B(0, −1)，G为线段BC的中点，则G(x02(1−y0), −1)∴OE→=(x02, y0)，GE→=(x02−x02(1−y0), y0−1)．∴OE→⋅GE→=x024+x024(1−y0)+y02+y0=1−4−4y024(1−y0)+y0=1−y0−1+y0=0，∴OE→⊥GE→．则∠OEG=90∘．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由b=1，由∠F1BO=60∘，则a=2．即可求得椭圆W的标准方程；（2）由题意设N和E点坐标，设直线AE的方程，当y=−1，即可求得C点坐标，求得G点坐标，根据向量数量积的坐标运算，即可求得OE→⋅GE→=0，即∠OEG=90∘．【解答】∵e=ca =√32，2ab=4，a2=b2+c2，∴a=2，b=1，c=√3，∴椭圆C的方程为x24+y2=1；设M(x0, y0)，x0≠0，则N(0, y0)，E(x02, y0)．由点M在椭圆W上，则x024+y02=1．即x02=4−4y02，又A(0, 1)，则直线AE的方程为y−1=2(y0−1)x0x，令y=−1，得C(x01−y0, −1)又B(0, −1)，G为线段BC的中点，则G(x02(1−y0), −1)∴OE→=(x02, y0)，GE→=(x02−x02(1−y0), y0−1)．∴OE→⋅GE→=x024+x024(1−y0)+y02+y0=1−4−4y024(1−y0)+y0=1−y0−1+y0=0，∴OE→⊥GE→．则∠OEG=90∘．已知函数f(x)=λlnx−e−x(λ∈R)．(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；(2)求证：当0<x1<x2时，都有e1−x2−e1−x1>1−x2x1．【答案】解：(1)f′(x)=λx+e−x(x>0)，若λ≥0，f′(x)≥e−x>0，f(x)递增，符合题意，若λ<0，①设f′(x)≤0恒成立，则λ≤−xe−x，(x>0)恒成立，令g(x)=−xe−x(x>0)，故g′(x)=−e−x+(−x)(−e−x)=(x−1)e−x，故0<x<1时，g′(x)<0，g(x)递减，x>1时，g′(x)>0，g(x)递增，∴g(x)≥g(1)=−1e，∴λ≤−1e，此时，f(x)递减，②设f′(x)≥0恒成立，则λ≥−xe−x(x>0)恒成立，∵g(x)无最大值，不符，综上，λ≥0或λ≤−1e，(2)由(1)可得：λ=−1e时，f(x)=−lnxe−e−x递减，∴f(x1)>f(x2)，即−lnx1e −e−x1>−lnx2e−e−x2，e−x2−e−x1>lnx1e −lnx2e，e1−x2−e1−x1>lnx1−lnx2=−ln x2x1，故只需证明−ln x2x1>1−x2x1对0<x1<x2恒成立即可，令t=x2x1>1，∴−lnt>1−t，即证t−lnt−1>0对t>1恒成立，令ℎ(t)=t−lnt−1，ℎ′(t)=1−1t>0，∴ℎ(t)递增，∴ℎ(t)>ℎ(1)=0，∴t−lnt−1>0，得证．【考点】已知函数的单调性求参数问题函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论λ的范围，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为−ln x2x1>1−x2x1对0<x1<x2恒成立即可，令t=x2x1>1，∴−lnt>1−t，即证t−lnt−1>0对t>1恒成立，令ℎ(t)=t−lnt−1，ℎ′(t)=1−1t>0，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：(1)f′(x)=λx+e−x(x>0)，若λ≥0，f′(x)≥e−x>0，f(x)递增，符合题意，若λ<0，①设f′(x)≤0恒成立，则λ≤−xe−x，(x>0)恒成立，令g(x)=−xe−x(x>0)，故g′(x)=−e−x+(−x)(−e−x)=(x−1)e−x，故0<x<1时，g′(x)<0，g(x)递减，x>1时，g′(x)>0，g(x)递增，∴g(x)≥g(1)=−1e，∴λ≤−1e，此时，f(x)递减，②设f′(x)≥0恒成立，则λ≥−xe−x(x>0)恒成立，∵g(x)无最大值，不符，综上，λ≥0或λ≤−1e.(2)由(1)可得：λ=−1e时，f(x)=−lnxe−e−x递减，∴f(x1)>f(x2)，即−lnx1e −e−x1>−lnx2e−e−x2，e−x2−e−x1>lnx1e −lnx2e，e1−x2−e1−x1>lnx1−lnx2=−ln x2x1，故只需证明−ln x2x1>1−x2x1对0<x1<x2恒成立即可，令t=x2x1>1，∴−lnt>1−t，即证t−lnt−1>0对t>1恒成立，令ℎ(t)=t−lnt−1，ℎ′(t)=1−1t>0，∴ℎ(t)在(1,+∞)上递增，∴ℎ(t)>ℎ(1)=0，∴t−lnt−1>0，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，点M的坐标为(3,π2)，曲线C的方程为ρ=2√2sin(θ+π4)；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为−1的直线l经过点M．(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；(2)若P为曲线C上任意一点，曲线l和曲线C相交于A、B两点，求△PAB面积的最大值．【答案】解：(1)∵在极坐标系中，点M的坐标为(3,π2)，∴x=3cosπ2=0，y=3sinπ2=3，∴点M的直角坐标为(0, 3)，∴直线l方程为y=−x+3，由ρ=2√2sin(θ+π4)，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2x−2y=0，即(x−1)2+(y−1)2=2.(2)圆心(1, 1)到直线y=−x+3的距离d=√2=√22，∴圆上的点到直线l的距离最大值为d+R=3√22，而弦|AB|=2√R2−d2=2√2−12=√6,∴△PAB面积的最大值为12×√6×3√22=3√32．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化点到直线的距离公式直线的点斜式方程【解析】（1）求出点M的直角坐标为(0, 3)，从而直线方程为y=−x+3，由ρ=2√2sin(θ+π4)，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）求出圆心(1, 1)到直线y=−x+3的距离，从而得到圆上的点到直线L的距离最大值，由此能求出△PAB面积的最大值．【解答】解：(1)∵在极坐标系中，点M的坐标为(3,π2)，∴x=3cosπ2=0，y=3sinπ2=3，∴点M的直角坐标为(0, 3)，∴直线l方程为y=−x+3，由ρ=2√2sin(θ+π4)，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2x−2y=0，即(x−1)2+(y−1)2=2.(2)圆心(1, 1)到直线y=−x+3的距离d=√2=√22，∴圆上的点到直线l的距离最大值为d+R=3√22，而弦|AB|=2√R2−d2=2√2−12=√6,∴△PAB面积的最大值为12×√6×3√22=3√32．[选修4-5：不等式选讲]已知a+b=1，a>0,b>0．(1)求1a +4b的最小值；（2）若 1a +4b ≥|2x −1|−|x +1|恒成立，求x 的取值范围． 【答案】解：(1)∵ a >0,b >0且a +b =1, ∴ 1a +4b =(1a+4b)(a +b)=5+ba+4a b ≥9，当且仅当b a =4ab，即a =13,b =23时，1a +4b 取最小值 9. (2)∵ a ，b ∈(0, +∞)，使 1a +4b ≥|2x −1|−|x +1|恒成立，则|2x −1|−|x +1|≤9，当x ≤−1时，不等式化为2−x ≤9，解得−7≤x ≤−1， 当−1<x <12，不等式化为−3x ≤9，解得−1<x <12， 当x ≥12时，不等式化为x −2≤9，解得12≤x ≤11，综上所述x 的取值范围为[−7, 11]． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】（1）由题意利用基本不等式求得ab 的最大值，可得m 的范围．（2）利用用基本不等式求得的最小值为9，可得9≥|2x −1|−|x +2|恒成立，分类讨论、去掉绝对值，求得x 的范围，综合可得结论． 【解答】解：(1)∵ a >0,b >0且a +b =1, ∴ 1a +4b =(1a+4b)(a +b)=5+ba+4a b ≥9，当且仅当b a =4ab，即a =13,b =23时，1a +4b 取最小值 9. (2)∵ a ，b ∈(0, +∞)，使 1a +4b ≥|2x −1|−|x +1|恒成立，则|2x −1|−|x +1|≤9，当x ≤−1时，不等式化为2−x ≤9，解得−7≤x ≤−1， 当−1<x <12，不等式化为−3x ≤9，解得−1<x <12， 当x ≥12时，不等式化为x −2≤9，解得12≤x ≤11， 综上所述x 的取值范围为[−7, 11]．。
2018届高三普通高校统一招生考试仿真卷(一)数学(理)试卷(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =I （ ） A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,02．若复数2i 1i z ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（为虚数单位），则z =（ ） A ． B ．C ．12D ．2 3．如图所示的阴影部分是由轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，班级 姓名 准考证号 考场号 座位号则该点取自阴影部分的概率是（）A．2πB．12C．1πD．3π4．已知()cos2cos2ααπ⎛⎫+=π-⎪⎝⎭，则tan4απ⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．4-B．C．13-D．135．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．422+C．42+D．42+6．已知实数，y满足2210x yxy+-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my=+的最大值为10，则m=（）A．B．C．D．7．已知()201720162018201721f x x x x=++++L，下列程序框图设计的是求()0f x的值，在“ ”中应填的执行语句是（）开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+8．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B，当P ，A ，B不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A ．B CD 10．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，AOF △的面积为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213612x y -=B ．221186x y -=C ．22193x y -=D ．2213x y -=11．设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A．(0,2B ．(0,3C ．(2+D ．(2+12．若关于的方程e 0e exx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x xx x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ． C ．1m - D ．1m +第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年内蒙古呼和浩特市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣6x≤0}，B＝{x∈Z|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（）A．6B．5C．4D．32．（5分）已知，则复数z的虚部为（）A．﹣i B．2C．﹣2i D．﹣23．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递减的函数是（）A．y＝﹣x3B．y＝2|x|C．y＝x﹣2D．y＝log3（﹣x）4．（5分）已知，则sin2θ＝（）A．B．C．D．5．（5分）设直线l1：x﹣2y+1＝0与直线l2：mx+y+3＝0的交点为A；P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为PQ的中点，若，则m的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣36．（5分）下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入m＝210，n＝125，则输出的n为（）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为（）A．B．6C．D．128．（5分）如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全．已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（）A．3球以下（含3球）的人数B．4球以下（含4球）的人数C．5球以下（含5球）的人数D．6球以下（含6球）的人数9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B的部分图象如图所示，将函数f（x）图象向右平移1个单位得到函数g（x）的图象，则g（﹣4）+g（15）＝（）10．（5分）已知球O半径为，设S、A、B、C是球面上四个点，其中，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知关于x的不等式x1nx﹣ax+a＜0存在唯一的整数解，则实数a 的取值范围是（）A．（2ln2，]B．（ln2，ln3]C．[ln2，+∞）D．（﹣∞，2ln3]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）cos xdx＝．14．（5分）二项式（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为．（用数字作答）15．（5分）在△ABC中，，满足|﹣t|≤||的实数t的取值范围是．16．（5分）某煤气站对外输送煤气时，用1～5号5个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（i）若开启2号，则必须同时开启3号并且关闭1号；（ii）若开启1号或3号，则关闭5号；（iii）禁止同时关闭4号和5号，现要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}和递增的等比数列{b n}满足：a1＝1，b1＝3且，b3＝2a5+3a2，b2＝a4+2（1）分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设S n表示数列{a n}的前n项和，若对任意的n∈N*，kb n≥S n恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了50天的监测，得到如下统计表：（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）．（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染．”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：（i）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率．（ii）学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X，求X的分布列和方差D（X）．19．（12分）一个多面体如图，ABCD是边长为a的正方形，AB＝FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB．（1）若，设BD与AC的交点为O，求证：OE⊥平面ACF；（2）求二面E﹣AF﹣C角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF1B的面积为，求以F1为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+2x．（1）讨论函数g（x）＝f（x）+aln（x+1）的单调性；（2）设函数h（x）＝f（x）﹣e x，记x0为函数h（x）极大值点，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．（1）求曲线C被直线l截得的弦长；（2）与直线l垂直的直线MN与曲线C相切于点M，求点M的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣1|+|3x+7|．（1）若不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；（2）设a＞0，b＞0，且a+b＝3，求证：．2018年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣6x≤0}，B＝{x∈Z|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{x∈Z|2x＜33}＝{x∈Z|x≤5}，则集合A∩B＝{0，1，2，3，4，5}，其元素个数为，6，故选：A．2．（5分）已知，则复数z的虚部为（）A．﹣i B．2C．﹣2i D．﹣2【解答】解：∵＝，∴复数z的虚部为﹣2．故选：D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递减的函数是（）A．y＝﹣x3B．y＝2|x|C．y＝x﹣2D．y＝log3（﹣x）【解答】解：A．函数是奇函数，不满足条件．B．函数的偶函数，当x＜0时，y＝2|x|＝2﹣x＝（）x是减函数，满足条件．C．函数是偶函数，当x＜0时，y＝x﹣2＝是增函数，不满足条件．D．函数的定义域为（﹣∞，0），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．4．（5分）已知，则sin2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinθ＝，∴θ是第一或第二象限角，∵sinθ﹣cosθ＞1，∴cosθ＜0，∴θ是第二象限角，∴cosθ＝﹣＝﹣，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝﹣．故选：D．5．（5分）设直线l1：x﹣2y+1＝0与直线l2：mx+y+3＝0的交点为A；P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为PQ的中点，若，则m的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；直线l1：x﹣2y+1＝0与直线l2：mx+y+3＝0的交点为A；M为PQ的中点，若，则P A⊥QA，即l1⊥l2，∴1×m+（﹣2）×1＝0，解得m＝2．故选：A．6．（5分）下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入m＝210，n＝125，则输出的n为（）A．2B．3C．7D．5【解答】解：第1次执行循环体，r＝75，不满足退出循环的条件，m＝125，n ＝85；第2次执行循环体，r＝40，不满足退出循环的条件，m＝85，n＝40；第3次执行循环体，r＝5，不满足退出循环的条件，m＝40，n＝5；第4次执行循环体，r＝0，满足退出循环的条件；故输出的n值为5．故选：D．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为（）A．B．6C．D．12【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥与三棱柱的组合体．作出直观图如图所示：由俯视图可知DE ⊥DF ，∴S 梯形ACFD ＝S 梯形ABED ＝×（2+4）×2＝6，S 矩形BCFE ＝2＝4，S △ABC ＝×（2）2＝2，S △DEF ＝＝2， 故选：B ．8．（5分）如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全．已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（ ）A ．3球以下（含3球）的人数B ．4球以下（含4球）的人数C ．5球以下（含5球）的人数D ．6球以下（含6球）的人数【解答】解：根据投篮成绩的条形统计图，结合中位数是5知，3球以下（含3球）的人数为2+3+5＝10，∴A确定；4球以下（含4球）的人数10+7＝17，∴B确定；5球以下（含5球）的人数无法确定，∴C不确定；6球以下（含6球）的人数为35﹣1＝34，∴D确定．故选：C．9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B的部分图象如图所示，将函数f（x）图象向右平移1个单位得到函数g（x）的图象，则g（﹣4）+g（15）＝（）A．3B．C．2D．【解答】解：由图象知函数的最大值是1.5，最小值为0.5，即A+B＝1.5，﹣A+B＝0.5，得A＝0.5，B＝1，函数的周期T＝4﹣0＝4，即T＝＝4，得ω＝，即f（x）＝0.5sin（x+φ）+1，由图象知f（1）＝0.5sin（+φ）+1＝1.5，得0.5sin（+φ）＝0.5，即sin（+φ）＝1，得+φ＝+2kπ，k∈Z，得φ＝2kπ，f（x）＝0.5sin（x+2kπ）+1＝0.5sin（x）+1，将函数f（x）图象向右平移1个单位得到函数g（x）的图象，即g（x）＝f（x﹣1），则则g（﹣4）+g（15）＝f（﹣5）+f（14）＝0.5sin[（×（﹣5））+1]+0.5sin（×14）+1＝0.5sin（﹣））+1+0.5sin（7π）+1＝2﹣0.5＝，故选：B．10．（5分）已知球O半径为，设S、A、B、C是球面上四个点，其中，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：当S在经过AC与球心的连线上时，由于：AC＝＝8，球心到AC的中点的连线，d＝，所以：锥体的最大高度为：h＝3，所以：V＝＝．故选：A．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|＝|AB|，∴|BF1|﹣|BF2|＝2a，即|BF1|﹣|AB|＝|AF1|＝2a，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，∵△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，解得c2＝7a2，则b＝＝＝a，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，即．故选：D．12．（5分）已知关于x的不等式x1nx﹣ax+a＜0存在唯一的整数解，则实数a 的取值范围是（）A．（2ln2，]B．（ln2，ln3]C．[ln2，+∞）D．（﹣∞，2ln3]【解答】解：关于x的不等式x1nx﹣ax+a＜0存在唯一的整数解，可知x＞0，当a＝ln3时，不等式化简x1nx﹣xln3+ln3＜0，当x＞3时，x（lnx﹣ln3）+ln3＞0恒成立，x＝1，不等式为0﹣ln3+ln3＜0不成立，x＝2，不等式21n2﹣2ln3+ln3＜0，即ln4﹣ln3＜0，不等式不成立，x＝3，不等式ln3＜0不成立，所以a＝ln3不正确，排除B，C，D．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）cos xdx＝1．【解答】解：cos xdx＝sin x|＝1，故答案为：114．（5分）二项式（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为70．（用数字作答）【解答】解：（2+x）（1﹣2x）5＝（2+x）（1﹣•2x+•4x2+…），∴二项式（2+x）（1﹣2x）5展开式中，含x2项为﹣10x2+2×40x2＝70x2，∴它的系数为70．故答案为：70．15．（5分）在△ABC中，，满足|﹣t|≤||的实数t的取值范围是．【解答】解：△ABC中，AB＝，即AC＝1；则＝；∴由得：；∴；整理得：2t2﹣3t≤0；解得；∴实数t的取值范围是．故答案为：．16．（5分）某煤气站对外输送煤气时，用1～5号5个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（i）若开启2号，则必须同时开启3号并且关闭1号；（ii）若开启1号或3号，则关闭5号；（iii）禁止同时关闭4号和5号，现要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是3号和4号．【解答】解：现要开启2号，则必须同时开启3号并且关闭1号，从而要关闭5号，进而要开启4号，故要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是3号和4号．故答案为：3号和4号．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}和递增的等比数列{b n}满足：a1＝1，b1＝3且，b3＝2a5+3a2，b2＝a4+2（1）分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设S n表示数列{a n}的前n项和，若对任意的n∈N*，kb n≥S n恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{a n}的公比为q，由，则3q2﹣11q+6＝0，解得（舍去）或3，所以；代入方程组得d＝2，因此a n＝2n﹣1，综上，．（2）由题意，S n＝n（a1+a n）＝n2，由∀n∈N*，kb n≥S n得，设，，当n＝1，c2﹣c1＞0；当n≥2，c n+1﹣c n＜0；由数列{c n}的单调可得，，所以．18．（12分）为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了50天的监测，得到如下统计表：（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）．（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染．”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：（i ）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率．（ii ）学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X ，求X 的分布列和方差D （X ）． 【解答】解：（1）由数据可知（2）由题意，“出现重度噪音污染”的概率为，“出现轻度噪音污染”的概率为，设事件A 为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”， 则．（3）由题意X ～B （3，），则．故分布列为：D（X）＝np（1﹣p）＝0.27．19．（12分）一个多面体如图，ABCD是边长为a的正方形，AB＝FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB．（1）若，设BD与AC的交点为O，求证：OE⊥平面ACF；（2）求二面E﹣AF﹣C角的正弦值．【解答】证明：（1）由题意可知：ED⊥面ABCD，从而Rt△EDA≌Rt△EDC，∴EA＝EC，又O为AC中点，∴DE⊥AC，在△EOF中，，∴OE2+OF2＝EF2，∴OE⊥OF又AC∩OF＝O，∴OE⊥面ACF．解：（2）ED⊥面ABCD，且DA⊥DC，如图以D为原点，DA，DC，DE方向建立空间直角坐标系，从而E（0，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），F（2，2，2），O（1，1，0）由（1）可知＝（1，1，﹣1）是面AFC的一个法向量，设＝（x，y，z）为面AEF的一个法向量，由，令x＝1得＝（1，﹣2，2），设θ为二面角E﹣AF﹣C的平面角，则|cosθ|＝|cos＜＞|＝＝，∴．∴二面E﹣AF﹣C角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF1B的面积为，求以F1为圆心且与直线l相切的圆的方程．【解答】解：（1）由题意，y2＝4x的焦点坐标为（1，0），故设椭圆的方程为且a2﹣b2＝c2＝1，又点在椭圆上，于是，椭圆C的方程：+＝1．（2）设直线l的方程为x＝my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由△＝144m2+144＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1，y2就是上述方程的两个根，所以点F1到直线l的距离为所以解得m2＝2，设欲求圆的半径为，所以，此圆方程为．21．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+2x．（1）讨论函数g（x）＝f（x）+aln（x+1）的单调性；（2）设函数h（x）＝f（x）﹣e x，记x0为函数h（x）极大值点，求证：．【解答】解：（1）g（x）＝x2+2x+aln（x+1）（x＞﹣1），，当a≥0时，g'（x）在（﹣1，+∞）上恒正；所以，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，当a＜0时，由g'（x）＝0得，所以当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．综上所述，当a≥0时，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；当a＜0时，当时，g（x）单调递减；当时，g（x）单调递增．（2）证明：h（x）＝x2+2x﹣e x（x∈R）则h'（x）＝2x+2﹣e xh''（x）＝2﹣e x，令h''（x）＝0⇒x＝ln2，当x∈（﹣∞，ln2）时，h''（x）＞0，h'（x）为增函数；当x∈（ln2，+∞）时，h''（x）＜0，h'（x）为减函数；所以，h'（x）在x＝ln2处取得极大值2ln2，h'（x）一定有2个零点，分别是h（x）的极大值点和极小值点．设x0是函数h（x）的一个极大值点，则，所以，，又，所以，，此时，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．（1）求曲线C被直线l截得的弦长；（2）与直线l垂直的直线MN与曲线C相切于点M，求点M的直角坐标．【解答】解：（1）将直线（t为参数）化为直角坐标方程为，经过坐标原点，所以其极坐标方程为，将代入，解得ρ＝2，即曲线C被直线l截得的弦长为2．（2）如图所示，因为直线ON的倾斜角为，所以，又因为CM∥ON，所以，所以得直线OM的倾斜角为，所以其极坐标方程为，将代入，得，设点M的直角坐标为（x，y），则．∴点M的直角坐标为（，3）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣1|+|3x+7|．（1）若不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；（2）设a＞0，b＞0，且a+b＝3，求证：．【解答】解：（1）f（x）＝3|x﹣1|+|3x+7|，f（x）＝|3x﹣3|+|3x+7|≥|（3x﹣3）﹣（3x+7）|＝10当且仅当（3x﹣3）（3x+7）≤0，即时等号成立，所以a2﹣3a≤10，解得﹣2≤a≤5．（2）证明：因为，所以，又因为，所以．。
内蒙古呼和浩特市2017-2018学年高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析
内蒙古呼和浩特市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题.每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2+x﹣2=0}，B={x|﹣2＜x＜1}，则A∩C R B=( )A．∅B．{﹣2} C．{1} D．{﹣2，1}2．复数z=的共轭复数是( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．设a∈R，则“a=1”是“直线11：ax+2y﹣6=0 与直线l2：x+（a+1）y+3=0”平行的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A．140种B．84种C．70种D．35种5．若定义在（﹣1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）＞0，则a的取值范围是( ) A．B．C．D．（0，+∞）6．已知tanθ=2，则2sin2θ+sinθcosθ﹣cos2θ=( )A．﹣B．﹣C．D．7．正项等比数列{a n}中，a n+1＜a n，a2•a8=6，a4+a6=5，则=( )A．B．C．D．8．如图所示的程序框图的输出结果是( )A．512 B．510 C．254 D．10229．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．8 B．12 C．4 D．610．已知直线l：y=x+3与双曲线﹣=1相交于A，B两点，线段AB中点为M，则OM 的斜率为( )A．﹣B．﹣C．D．11．在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一条切线使之与曲线以及x轴围成的面积为，则以A为切点的切线方程为( )A．y=x﹣B．y=2x﹣1 C．y=2x+1 D．y=x+12．若函数f（x）=lnx+kx﹣1有两个零点，则实数k的取值范围是( )A．（﹣，0）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，+∞）D．（﹣e2，﹣）二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．若力，，达到平衡，且，大小均为1，夹角为60°，则||的大小为__________．14．实数x，y满足约束条件，若z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为__________．15．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中真的序号是__________．16．等差数列{a n}其前n项和为S n．已知a3=6，S6=42，记b n=（﹣l）n a，设{b n}的前n项和为I n，则T2n+1=__________．三、解答题17．已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=﹣l，若3sinA=sinB，求该三角形的面积S．18．如图，在三棱柱ABM﹣DCN中，侧面ADNM⊥侧面ABCD，且侧面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AD=2，侧面ADNM是矩形，AM=1，E是AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）求平面AMN与平面BMC所成二面角．19．某电视台组织一科普竞赛，竞赛规则规定：答对第一，二，三个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设甲同学答对第一，二，三个问题的槪率分別为，，且各题答对与否之问无影响．求：（Ⅰ）甲同学得300分的槪率；（Ⅱ）记甲同学竞赛得分为ξ，求ξ的分布列；（Ⅲ）如果每得100分，即可获得1000元公益基金．依据甲同学得分的平均值预计其所得的得的公益基金数．20．若椭圆C：+=l（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点．当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（Ⅲ）设P（m，O）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点．过P点斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，设λ=丨PA|2+|PB|2．试判断λ的取值是否与m有关，若有关，求出λ的取值范围；若无关，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a≠0）．（Ⅰ）当b=0时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（Ⅱ）当b=1时，回答下面两个问题：（i）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线．求实数a的值；（ii）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象有两个不同的交点M，N．过线段MN的中点作x轴的垂线，分别与f（x），g（x）的图象交于S，T两点．以S为切点作f（x）的切l1，以T为切点作g（x）的切线l2，是否存在实数a，使得l1∥l2，若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由．四、选做题（请从下面所給的22、23、24三题中选定一题作答，不涂、多涂均按所答第一题评分：多答按所答第一题评分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D 是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与參数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．己知直线l的参数方程为（t为參数），曲线C1的方程为ρ=4sinθ．若线段OQ的中点P始终在C1上．（Ⅰ）求动点Q的轨迹C2的极坐标方程：（Ⅱ）直线l与曲线C2交于A，B两点，若丨AB丨≥4，求实数a的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．已知正实数a，b，c及函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|．（I）当a=3时，解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）若a+b+c=1，且不等式f（x）≥对任意实数x都成立．求证：0＜a≤﹣1．内蒙古呼和浩特市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题.每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2+x﹣2=0}，B={x|﹣2＜x＜1}，则A∩C R B=( )A．∅B．{﹣2} C．{1} D．{﹣2，1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中方程的解确定出A，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中方程变形得：（x﹣1）（x+2）=0，解得：x=1或x=﹣2，即A={﹣2，1}，∵全集为R，B={x|﹣2＜x＜1}，∴∁R B={x|x≤﹣2或x≥1}，则A∩∁R B={﹣2，1}，故选：D．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．复数z=的共轭复数是( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数，即可得其共轭复数．解答：解：化简可得复数z====﹣1+i，∴复数z的共轭复数为：﹣1﹣i故选：B点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及共轭复数，属基础题．3．设a∈R，则“a=1”是“直线11：ax+2y﹣6=0 与直线l2：x+（a+1）y+3=0”平行的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由直线11：ax+2y﹣6=0 与直线l2：x+（a+1）y+3=0”平行，可得，≠，解出即可判断出．解答：解：直线11：ax+2y﹣6=0 与直线l2：x+（a+1）y+3=0”平行，则，≠，解得a=1，因此“a=1”是“直线11：ax+2y﹣6=0 与直线l2：x+（a+1）y+3=0”平行的充要条件．故选：C．点评：本题考查了充要条件的判定、平行线与斜率截距直角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A．140种B．84种C．70种D．35种考点：分步乘法计数原理．分析：本题既有分类计数原理也有分步计数原理．解答：解：甲型1台与乙型电视机2台共有4•C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42•5=30；不同的取法共有70种故选C点评：注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步．5．若定义在（﹣1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）＞0，则a的取值范围是( ) A．B．C．D．（0，+∞）考点：对数函数的定义．专题：计算题．分析：由x的范围求出对数真数的范围，再根据对数值的符号，判断出底数的范围，列出不等式进行求解．解答：解：当x∈（﹣1，0）时，则x+1∈（0，1），因为函数f（x）=log2a（x+1）＞0故0＜2a＜1，即．故选A．点评：本题考查了对数函数值的符号与底数的关系，即求出真数的范围，根据对数函数的性质求解．6．已知tanθ=2，则2sin2θ+sinθcosθ﹣cos2θ=( )A．﹣B．﹣C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanθ的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tanθ=2，∴原式====．故选：D．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．7．正项等比数列{a n}中，a n+1＜a n，a2•a8=6，a4+a6=5，则=( )A．B．C．D．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：通过已知条件，求出a4，a6，通过等比数列的性质推出的值．解答：解：因为正项等比数列{a n}中，a n+1＜a n，a2•a8=6，a4+a6=5，所以a4•a6=6，a4+a6=5，解得a4=3，a6=2，=．故选D．点评：本题考查等比数列的基本运算，性质的应用，考查计算能力．8．如图所示的程序框图的输出结果是( )A．512 B．510 C．254 D．1022考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=9时，不满足条件n≤8，退出循环，输出S的值为510，从而得解．解答：解：模拟执行程序，可得n=1，S=0满足条件n≤8，S=2，n=2满足条件n≤8，S=6，n=3满足条件n≤8，S=14，n=4满足条件n≤8，S=30，n=5满足条件n≤8，S=62，n=6满足条件n≤8，S=126，n=7满足条件n≤8，S=254，n=8满足条件n≤8，S=510，n=9不满足条件n≤8，退出循环，输出S的值为510．故选：B．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基本知识的考查．9．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．8 B．12 C．4 D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是由长方体截割去4个等体积的三棱锥所得到的几何体，由此求出几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得：该几何体是由长方体截割得到，如图中三棱锥A﹣BCD，由三视图中的网络纸上小正方形边长为1，得该长方体的长、宽、高分别为3、2、4，则三棱锥的体积为V三棱锥=3×2×4﹣4×××2×3×4=8．故选：A．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，是基础题目．10．已知直线l：y=x+3与双曲线﹣=1相交于A，B两点，线段AB中点为M，则OM的斜率为( )A．﹣B．﹣C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立直线y=x+3与双曲线﹣=1，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得AB中点M的坐标，再由直线的斜率公式计算即可得到．解答：解：联立直线y=x+3与双曲线﹣=1，消去y，可得4x2﹣9（x+3）2=36，即为5x2+54x+117=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，即有AB的中点的横坐标为﹣，可得AB的中点M坐标为（﹣，﹣），即有OM的斜率为=．故选D．点评：本题考查双曲线方程的运用，主要考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理，由中点坐标公式和直线的斜率公式是解题的关键．11．在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一条切线使之与曲线以及x轴围成的面积为，则以A为切点的切线方程为( )A．y=x﹣B．y=2x﹣1 C．y=2x+1 D．y=x+考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求切点A的坐标及过切点A的切线方程，先求切点A的坐标，设点A的坐标为（a，a2），只须在切点处的切线方程，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线的方程进而求得面积的表达式．最后建立关于a的方程解之即得．最后求出其斜率的值即可，即导数值即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：如图所示，设切点A（x0，y0），由y′=2x，得过点A的切线方程为：y﹣y0=2x0（x﹣x0），即y=2x0x﹣x02．令y=0，得x=，即C（，0）．设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S．S曲边三角形AOB=x2dx=x3|=，S△ABC=|BC|•|AB|=（x0﹣）•x02=．∴S=﹣=．由=得x0=1，从而切点A的坐标为（1，1），切线方程为y=2x﹣1．故选B．点评：本题主要考查了导数的几何意义及定积分的简单应用，在用定积分求面积时注意被积函数的确定．12．若函数f（x）=lnx+kx﹣1有两个零点，则实数k的取值范围是( )A．（﹣，0）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，+∞）D．（﹣e2，﹣）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：作函数y=lnx﹣1与y=﹣kx的图象，当直线与y=lnx﹣1相切时，设切点（x，lnx﹣1）；从而利用导数及斜率定义分别求斜率，从而求出0＜﹣k＜；从而求k的取值范围．解答：解：作函数y=lnx﹣1与y=﹣kx的图象如下，当直线与y=lnx﹣1相切时，设切点（x，lnx﹣1）；y′=，=；解得，x=e2；则﹣k=；故0＜﹣k＜；故﹣＜k＜0；故选：A．点评：本题考查了函数的图象的应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．若力，，达到平衡，且，大小均为1，夹角为60°，则||的大小为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．解答：解：•=1×1×cos60°=，由++=，可得=﹣（+），2=（+）2=++2=1+1+2×=3，即有||=．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，属于基础题．14．实数x，y满足约束条件，若z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为1或﹣2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y+ax得y=﹣ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若﹣a＞0，即a＜0，目标函数y=﹣ax+z的斜率k=﹣a＞0，要使z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=﹣ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=﹣2，若﹣a＜0，即a＞0，目标函数y=﹣ax+z的斜率k=﹣a＜0，要使z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=﹣ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时﹣a=﹣1，解得a=1，综上a=1或a=﹣2，故答案为：1或﹣2点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．15．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中真的序号是②③．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．解答：解：若α⊥β，m∥α，则m⊥β或m⊂β，故①不正确；若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故②正确；若m⊥β，m∥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故③正确；若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β相交或平行，故④不正确．故答案为：②③．点评：本题考查真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．等差数列{a n}其前n项和为S n．已知a3=6，S6=42，记b n=（﹣l）n a，设{b n}的前n项和为I n，则T2n+1=﹣2n2﹣4n﹣2．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用a3=6，S6=42，求出a1=d=2，可得数列的通项，再分组求和，即可得出结论．解答：解：由题意，，∴a1=d=2，∴a n=2n，∴a=n（n+1），∴b n=（﹣l）n a=（﹣l）n n（n+1），∴T2n+1=﹣1×2+2×3+…+2n（2n+1）﹣（2n+1）（2n+2）=2（2+4+…+2n）﹣（2n+1）（2n+2）=﹣2n2﹣4n﹣2．故答案为：﹣2n2﹣4n﹣2．点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．三、解答题17．已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=﹣l，若3sinA=sinB，求该三角形的面积S．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=2sin（2x+）﹣2，由2k≤2x+≤2k，k∈Z即可求得单调递减区间．（2）由（1）整理可得sin（2C+）=，结合C的范围，即可求得C，由3sinA=sinB，得3a=b，又由余弦定理即可解得a，b的值，从而由三角形面积公式即可得解．解答：解：（1）据题意f（x）=sin2x+cos2x﹣2=2sin（2x+）﹣2，由2k≤2x+≤2k，k∈Z，得k≤x≤kπ，k∈Z，故，单调递减区间为：[k，kπ]，k∈Z．…（2）由（1）可知f（C）=2sin（2C+）﹣2=﹣1，整理可得sin（2C+）=，由C∈（0，π），可知2C+∈（，），进而可得C=…由3sinA=sinB，得3a=b，又由余弦定理可知：cosC===，解得a=1，b=3，故S△ABC=absinC=…点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．18．如图，在三棱柱ABM﹣DCN中，侧面ADNM⊥侧面ABCD，且侧面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AD=2，侧面ADNM是矩形，AM=1，E是AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）求平面AMN与平面BMC所成二面角．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接NB交MC与点G，通过中位线定理及线面平行的判定定理即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图，则所求二面角的余弦值即为平面AMN的一个法向量与平面BMC的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．解答：（Ⅰ）证明：如图连接NB交MC于点G，则EG是△ABN的一条中位线，故EG∥AN；∵EG⊂平面MEC，∴AN∥平面MEC；（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，其中F为BC中点；则N（0，0，1），M（2，0，1），A（2，0，0），E（，，0），B（1，，0），F（0，，0），C（﹣1，，0），所以，平面AMN的一个法向量为==（0，，0），设平面BMC的法向量为=（x，y，z），则可列方程为：且，即且﹣x=0，所以=（0，1，），设平面AMN与平面BMC所成二面角的平面角为θ，则|cosθ|==，故．点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．19．某电视台组织一科普竞赛，竞赛规则规定：答对第一，二，三个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设甲同学答对第一，二，三个问题的槪率分別为，，且各题答对与否之问无影响．求：（Ⅰ）甲同学得300分的槪率；（Ⅱ）记甲同学竞赛得分为ξ，求ξ的分布列；（Ⅲ）如果每得100分，即可获得1000元公益基金．依据甲同学得分的平均值预计其所得的得的公益基金数．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）甲同学得300分，有两种情况，利用独立重复试验的概率求解即可．（Ⅱ）记甲同学竞赛得分为ξ，求出可能情况以及概率，即可得到ξ的分布列；（Ⅲ）求出甲同学得分的平均值预计即期望，然后求解所得的得的公益基金数．解答：解：（Ⅰ）P（ξ=300）=…（Ⅱ）甲同学竞赛得分为ξ，ξ可能情况：0，100，200，300，400．P（ξ=0）==，P（ξ=100）==，P（ξ=200）==，P（ξ=300）=，P（ξ=400）=．ξ的分布列如下：…ξ0 100 200 300 400P（Ⅲ）由分布列可知E（ξ）==275，所以公益基金数为275元…点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，独立重复试验的应用，属于中档题．20．若椭圆C：+=l（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点．当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（Ⅲ）设P（m，O）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点．过P点斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，设λ=丨PA|2+|PB|2．试判断λ的取值是否与m有关，若有关，求出λ的取值范围；若无关，请说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；（2）用坐标表示出|MQ|2，利用二次函数的性质可得结论；（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|2+|PB|2，根据|PA|2+|PB|2的值与m无关．解答：解：（1）由题意可得：抛物线y2=﹣12x的焦点（﹣3，0），由于离心率e=，则a=5，故b=4所以椭圆C的方程为；（2）设Q（x，y），﹣5≤x≤5则|MQ|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+16﹣x2=x2﹣4x+20．由于对称轴为x=＞5，∴x=5时，|MQ|2取得最小值∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=（x﹣m）由于设P（m，O）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，则﹣5≤m≤5，将直线代入椭圆方程，消去y可得2x2﹣2mx+m2﹣25=0则x1+x2=m，x1x2=（m2﹣25），∴|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2]=[（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2m（x1+x2）+2m2]=[m2﹣（m2﹣25）﹣2m2+2m2]=×25=41故|PA|2+|PB|2的值与m无关．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查配方法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a≠0）．（Ⅰ）当b=0时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（Ⅱ）当b=1时，回答下面两个问题：（i）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线．求实数a的值；（ii）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象有两个不同的交点M，N．过线段MN的中点作x轴的垂线，分别与f（x），g（x）的图象交于S，T两点．以S为切点作f（x）的切l1，以T为切点作g（x）的切线l2，是否存在实数a，使得l1∥l2，若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；选作题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由题意，h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax2（x＞0），求导可得h′（x）=﹣2ax=，从而由导数的讨论确定其单调性及单调区间；（Ⅱ）（i）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象的公共点P（x0，y0），则有lnx0=ax02﹣x0，f′（x0）=g′（x0），从而可得lnx0=﹣x0；再令H（x）=lnx﹣+x，H′（x）=+＞0；从而求a；（ii）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2）且x1＞x2，则MN中点的坐标为（，）；从而写出切线的斜率k1=f′（）=，k2=g′（）=a（x1+x2）﹣1，从而如果存在a使得k1=k2，=a（x1+x2）﹣1，再结合lnx1=ax12﹣x1和lnx2=ax22﹣x2得ln=；设u=＞1，则有lnu=，（u＞1）；从而可确定满足条件的实数a并不存在．解答：解：（Ⅰ）由题意，h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax2（x＞0），所以，h′（x）=﹣2ax=，所以，当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）．（Ⅱ）（i）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象的公共点P（x0，y0），则有lnx0=ax02﹣x0，①又在点P有共同的切线，∴f′（x0）=g′（x0），即=2ax0﹣1，即a=代入①得lnx0=﹣x0；设H（x）=lnx﹣+x，H′（x）=+＞0；所以函数H（x）最多只有1个零点，观察得x0=1是零点．∴a=1，此时P（1，0）．（ii）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2）且x1＞x2，则MN中点的坐标为（，）；以S为切点的切线l1的斜率k1=f′（）=，以T为切点的切线l2的斜率k2=g′（）=a（x1+x2）﹣1，如果存在a使得k1=k2，=a（x1+x2）﹣1，①而且有lnx1=ax12﹣x1和lnx2=ax22﹣x2，如果将①的两边乘x1﹣x2得并简可得，=ax12﹣x1﹣（ax22﹣x2）=lnx1﹣lnx2=ln，即，ln=；设u=＞1，则有lnu=，（u＞1）；考察F（u）=lnu﹣，（u＞1）的单调性不难发现，F（u）在[1，+∞）上单调递增，故F（u）＞F（1）=0，所以，满足条件的实数a并不存在．点评：本题考查了导数的综合应用及化简及整体代换的应用，化简运算很困难，属于难题．四、选做题（请从下面所給的22、23、24三题中选定一题作答，不涂、多涂均按所答第一题评分：多答按所答第一题评分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D 是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．【选修4-4：坐标系与參数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．己知直线l的参数方程为（t为參数），曲线C1的方程为ρ=4sinθ．若线段OQ的中点P始终在C1上．（Ⅰ）求动点Q的轨迹C2的极坐标方程：（Ⅱ）直线l与曲线C2交于A，B两点，若丨AB丨≥4，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）设点Q（ρ1，θ），则ρ1=2ρ=8sinθ，即可得出；（2）由题意，A，B两点中必有一个是极点，不妨设A为极点，则B（ρ，θ），可得，可得，|tanθ|≥1，解出即可．解答：解：（1）设点Q（ρ1，θ），则ρ1=2ρ=8sinθ，故点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ=8sinθ；（2）由题意，A，B两点中必有一个是极点，不妨设A为极点，则B（ρ，θ），由题，，即，∴，∴|tanθ|≥1，则a=tanθ∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．点评：本题考查了极坐标方程、中点坐标公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知正实数a，b，c及函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|．（I）当a=3时，解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）若a+b+c=1，且不等式f（x）≥对任意实数x都成立．求证：0＜a≤﹣1．考点：绝对值不等式的解法；二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＜6的解集．（Ⅱ）由题意利用绝对值三角不等式求得f（x）≥1﹣a，化简可得（1﹣a）2≥a2+b2+c2①；再由已知可得b2+c2≥②；结合①②以及0＜a＜1，求得a的范围，即可证得结论．解答：解：（I）当a=3时，函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，表示数轴上的x对应点到1、3对应点的距离之和，而﹣1和5对应点到1、3对应点的距离之和正好等于6，故不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，5）．（Ⅱ）证明：∵f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1|=1﹣a，结合题意可得1﹣a≥，即1﹣a≥，即（1﹣a）2≥a2+b2+c2①．又∵a+b+c=1，a，b，c 为正实数，∴（1﹣a）2=（b+c）2≤2（b2+c2），∴b2+c2≥②．综合①②可得（a﹣1）2≥a2+，即a2+2a﹣1≤0．再结合0＜a＜1，求得0＜a≤﹣1，故有0＜a≤﹣1成立．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(一)(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）（解析版）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2Nx y x y =-=，则集合MN =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D 【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得20x y =⎧⎨=⎩．故(){}2,0MN =．选D ．2．[2018·台州期末]（i 为虚数单位） ）A ．2B ．1C ．12D ．2【答案】C11i 22z ∴=-=，选C ．3．[2018·德州期末]如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x=围成，在矩形区域O A B C 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．2πB ．12C ．1πD ．3π【答案】A【解析】由题意，得矩形区域O A B C 的面积为1π1πS =⨯=，阴影部分的面积为O A B C 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为212πS P S ==．故选A ．4．[2018·滁州期末]）A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C 【解析】sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=，C ．5．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．2 B．4+C．4+D．4+【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几C ．6．[2018·天津期末]已知实数x ，y 满足2210x yx y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若zx m y=+的最大值为10，则m=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】作出可行域，如图A B C △内部（含边界），其中()2,4A ，()2,1B ，()1,1C -，若A 是最优解，则2410m+=，2m=，检验符合题意；若B 是最优解，则210m+=，8m =，检验不符合题意，若8m =，则z 最大值为34；若C 是最优解，则110m-+=，11m =，检验不符合题意；所以2m =，故选B ．7．[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x xxx =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018ni=- B ．2017ni=- C ．2018ni=+D ．2017ni=+【答案】A 【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++++，开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1首先201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i=-．8．[2018·达州期末]若函数()24xf x a=--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()0,+∞ C ．()3,4 D ．()3,+∞【答案】C【解析】如图，若()24xf x a=--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则()34a ∈，，故选C ．9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k>且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之P ，A ，B 不共线时，P A B △面积的最大值是（ ） A．BC3D3【答案】A【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段A B 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：()10A -，，()10B ，，设()Px y ，，P A P B＝；∴，两边平方并整理得：()222261038x y x xy +-+=⇒-+=．∴P A B△面积的最大值是122⨯⨯=选A ．10．[2018·郴州一中]双曲线2222:1(0,0)x y Ca b ab-=>>的离心率3e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，A O FO A F∠=∠，A O F△的面积为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213612xy-= B ．221186xy-= C ．22193xy-= D ．2213xy-=【答案】C【解析】由点A 所在的渐近线为0,b x a y-=三个该渐近线的倾斜角为α，则，A O F O A F∠=∠，所以直线A F的倾斜角为2α，2222ta n 2ta n 21ta n a b a bααα==--，与0b x a y-=联立解得122A O F a b S c a b c∴=⨯⨯==△，因为双曲线的离心率3e=b a∴=，与a b=联立得3a =，b =．故双曲线的方程为22193xy-=．故选C ．11．[2018·昆明一中]设锐角A B C △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且1c =，2A C=，则A B C △周长的取值范围为（ ）A ．(0,2+B ．(0,3+C ．(23++ D ．(23++【答案】C【解析】因为A B C △为锐角三角形，所以c o s 22C <<又因为2A C=，所以sin 2sin co s AC C=，又因为1c=，所以2co s a C=；由sin sin b c BC=，即2s in s in 34c o s 1s in s in c B C bC C C===-，所以24c o s 2c o s a b c C C++=+，令co s tC=，则(22t ∈⎭，又因为函数242yt t=+在(22⎭上单调递增，所以函数值域为(23++，故选：C ．12．[2018·济南期末]若关于x 的方程eeexxxx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R，e2.71828=为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．eC ．1m-D ．1m+【答案】A 【解析】101t m t ++=+，()()2110t m t m ∴++++=，由韦达定理可得()1a b t t m +=-+，1a b t t m ⋅=+，()()3131131111x x x x t t e e ⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1313=+1=11+1=1t t t t m m ++-+++，乘可得：31223121111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为1，故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷(理科)解析版
20. 已知椭圆 C：
离心率为 ，直线 x=1 被椭圆截得的弦长为 ．
（1）求椭圆方程； （2）设直线 y=kx+m 交椭圆 C 于 A，B 两点，且线段 AB 的中点 M 在直线 x=1 上， 求证：线段 AB 的中垂线恒过定点．
21. 已知函数 f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x． （1）求函数 g（x）在区间（0，e]上的值域； （2）是否存在实数 a，对任意给定的 x0∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同 的 xi（i=1，2），使得 f（xi）=g（x0）成立．若存在，求出 a 的取值范围；若不存 在，请说明理由．
，则 y=f(x)的图象大致为(
)பைடு நூலகம்
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A.
B.
C.
D.
11. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的 外接球表面积（ ）
A.
B. 2
C. 4
12. 已知 2a=3b=6，则 a，b 不可能满足的关系是（ ）
A. a+b=ab
B. a+b＞4
（2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示取 出的 3 个数据中“水站诚信度”超过 91%的数据的个数，求随机变量 X 的分布列 和期望； （3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了 一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣 传效果，并根据已有数据陈述理由．
16. 数列
的前 n 项和为 Sn，若 S1，Sm，Sn 成等比数列（m＞1），则正整数 n
值为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
2018年1月内蒙古呼伦贝尔市普通高中学业水平考试数学试题(附答案)
2018年1月内蒙古呼伦贝尔市普通高中学业水平考试数学试题（附答案）第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题本大题共20小题，其中第115题每小题2分，第1620题每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}|13,|2A x x B x x =-≤≤=>，则A B 等于A. {}|23x x <≤B. {}|x 1x ≥-C. {}|2x 3x ≤<D.{}|x 2x >2.已知i 是虚数单位，则()2i i -的共轭复数为A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+3.已知角α的终边经过点()1,1P -，则cos α的值为A. 1B.1-C. 4.函数()()lg 12x f x x -=-的定义域是 A. ()1,2 B. ()()1,22,+∞ C. ()1,+∞ D.[)()1,22,+∞5.设x 为实数，命题2:,210p x R x x ∀∈++≥，则命题p 的否定是A. 2:,210p x R x x ⌝∃∈++<B. 2:,210p x R x x ⌝∃∈++≤C. 2:,210p x R x x ⌝∀∈++<D. 2:,210p x R x x ⌝∀∈++≤6.按照程序框图（如右图）执行，第3个输出的数是A. 3B. 4C. 5D. 67.在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,//a b αβαβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是A. 平行B. 相交C. 异面D.平行或异面8.已知平面向量()()2,3,1,a b m ==，且//a b ，则实数m 的值为 A. 23- B. 23 C. 32- D. 329.若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是A. 三棱锥B. 四棱锥C. 四棱台D.三棱台10.若函数()()()2f x x x a =-+是偶函数，则实数a 的值为A.2B. 0C. 2-D.2±11.函数()32x f x x =+的零点所在的一个区间为A. ()2,1--B.()1,0-C. ()0,1D.()1,212.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则由此估计总体数据落在区间内的概率为A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.613.如果两个球的体积之比为8:27，那么这两个球的表面积之比为A. 8:27B. 2:3C. 4:9D.2:914.已知0.81.2512,,log 42a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<15.下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0-∞上是减函数的是A. ()3f x x x =+B. ()1f x x =+C. ()21f x x =-+D. ()21x f x =-16.函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是 A. 5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. 52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C. 5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. 52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 17.如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是A. ()0,+∞B. ()1,2C. ()1,+∞D.()0,118.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为A. ()2214x y -+=B. ()2224x y -+=C. ()2214x y ++=D. ()2224x y ++=19.函数()2,01,x 0x x f x x ⎧>=⎨-≤⎩，若()()20f a f +=，则实数a 的值为A. 3B. 1C. 1-D.3-20.若函数()21f x ax ax =+-对x R ∀∈都有()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围是A. 40a -<≤B. 4a <-C. 40a -<<D.0a ≤第Ⅱ卷（非选择题 共55分）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.21.双曲线229436x y -=的离心率为 .22.计算212sin 8π-= .23.函数23x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点的坐标为 .24. 设变量,x y 满足约束条件1,10,10,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为 .25. 已知实数1m n +=，则33m n +的最小值为 .三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.26.(本小题满分8分)在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且222b c a bc +=+（1）求角A 的大小；（25b c +=，求b 和c 的值.27.(本小题满分10分) 已知等差数列{}(),n a n N *∈满足172,14.a a ==（1）求该数列的公差d 和通项公式n a ；（2）设n S 为数列{}n a 的前项和，若315n S n ≥+，求n 的取值范围.28.(本小题满分10分) 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3,4,5AC BC AB ===,点D 是AB 的中点.（1）求证：1;AC BC ⊥（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.29.(本小题满分12分) 已知函数()3239.f x x ax x =++-（1）若1a =-时，求函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在3x =-时取得极值，当[]4,1x ∈--时，求使得()f x m ≥恒成立的实数m 的取值范围；（3）若函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，求实数a 的取值范围.。
2017-2018年内蒙古呼伦贝尔市高考模拟统一考试(一)理科数学试题及答案
为
.
16. 三角形 ABC中 , 角 A、B、C 所对的边分别是 a 、b、c，且 2b=a +c，
2A=C则 cosA= .
三．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明证明 过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）
已知数列 { an } 是公差不为零的等差数列， a2 = 3 ，且 a5 是 a4, a8的 等比中项 . （I ）求数列 { an } 的通项公式；
项中，只有一项是符合题目要求的．
4. 第Ⅱ卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数 z 满足 3 i 1 i ， i 是虚数单位，则 | z | （
）
z
A ． 2 B.
2 C ．5 D ．5
a 取值范围是（
A ． (0, 1] (5, )
5
D． (1 , 1 ) [ 5,7)
75
） B ． (0, 1) [5, )
5
C
．
11 ( ,]
(5,7)
75
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答． 第 22 题～第 24 题为选考题， 考生根据要
第 3页
求作答．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在
答题卷相应位置上）
13. 设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点 , AD 1 AB , BE 1 BC ,
2
3
DE 1 AB 2 AC
内蒙古呼伦贝尔市2017-2018学年高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析
内蒙古呼伦贝尔市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=( )A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率是( ) A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为( )A．﹣2或﹣3 B．2或﹣3 C．±2 D．26．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于( )A．6B．3C．2D．7．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是( )A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．568．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为( )A．g（x）=sin（x+1） B．g（x）=sin（x+1）C．g（x）=sin（x+1）D．g（x）=sin（x+1）9．已知向量，，，若，则tan（）的值为( )A．B．C．﹣D．﹣10．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为( ) A．B．1 C．D．211．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为( )A．8πB．12πC．16πD．32π12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A．（﹣） B．（） C．（）D．（）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．实数x，y满足，则z=x﹣y的最大值是__________．14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是__________．15．如图所示，在山腰测得山顶仰角∠CAB=45°沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山顶高BC为__________米．16．设F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为__________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*都有S n+（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n，求数列的前n项和．18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O 为BC中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值．19．某教研机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请了n位一线教师（n＞8且n∈N*），其中有6位教师使用人教A版教材，其余使用北师大版教材．（Ⅰ）从这N位一线教师中随机选出2位，若他们使用不同版本教材的概率不小于，求N的最大值；（Ⅱ）当N=12时，设选出的2位教师中使用人教A版教材的人数为ζ，求ξ的分布列和均值．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为A，B，|AB|=．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）过M点斜率为k的直线l与抛物线E交于H、G两点．是否存在这样的k，使得抛物线E上总存在点Q（x0，y0）满足QH⊥QG，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（Ⅰ）若a=﹣1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的零点为x1，x2且x1＜x2，x1+x2=2x0，求证：f′（x0）＜0．四、解答题（共3小题，满分30分）选修4-1：几何证明选讲22．如图AB为圆O直径，P为圆O外一点，过P点作PC⊥AB，垂足为C，PC交圆O于D点，PA交圆O于E点，BE交PC于F点（Ⅰ）求证：∠PFE=∠PAB；（Ⅱ）求证：CD2=CF•CP．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．内蒙古呼伦贝尔市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=( )A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合C U A，再计算（C U A）∩B．解答：解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．点评：本题主要考查了集合间的交，补混合运算，较为简单．2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数为a+bi （a、b∈R）的形式，可以确定z对应的点位于的象限．解答：解：复数=故选C．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题．3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．解答：解：当a=﹣2时，l1：2x+y﹣3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=﹣2，或a=1，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．4．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率是( ) A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题设条件知求出渐近线的斜率，利用a，b，c 的关系，求出双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，∴渐近线的斜率为，∴=，∴=，∴e=．故选A点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．5．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为( )A．﹣2或﹣3 B．2或﹣3 C．±2 D．2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y=的值，当y的值为4时，分情况讨论即可解得x的值．解答：解：模拟执行程序可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y=的值，故当输出值为4时，有：当x＜1时，1﹣x=4，可解得x=﹣3．当x≥1时，x2=4，可解得x=2，或﹣2（舍去）综上可得输入x的值为2或﹣3．故选：B．点评：本题主要考查了程序框图和算法，考查了分段函数的求解，模拟执行程序得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于( )A．6B．3C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（1+2）×2=3，又∵左视图是等边三角形，∴高h=，故棱锥的体积V=×=，故选：D．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．7．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是( )A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n的值，再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．解答：解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴展开式中第5项是中间项，共有9项，∴n=8；展开式的通项公式为T r+1=•x8﹣r•=（﹣1）r••x8﹣2r，令8﹣2r=2，得r=3，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3•=﹣56．故选：C．点评：本题考查了二项式展开式的应用问题，解题时应熟记二项式系数以及通项公式的特点，是基础题目．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为( )A．g（x）=sin（x+1）B．g（x）=sin（x+1）C．g（x）=sin（x+1）D．g（x）=sin（x+1）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：由函数的图象可得A=1，T==1﹣（﹣1）=2，∴ω=．再由五点法作图可得，（﹣1）+φ=0，∴φ=，函数f（x）=sin（x+）．将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，可得函数y=sin（x+）的图象；再向右平移1个单位得到g（x）=sin[（x﹣1）+]=sin（x+）的图象，故函数g（x）的解析式为g（x）=sin（x+1），故选：B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．已知向量，，，若，则tan（）的值为( )A．B．C．﹣D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：先进行数量积的坐标运算，并且用上二倍角的余弦公式，从而可求得sin，而根据即可求得cos，然后根据两角差的正切公式和切化弦公式即可求出tan（）．解答：解：由已知条件：sinα•（1﹣2sinα）﹣cos2α=sinα﹣1=；∴，；∴；∴=．故选D．点评：考查数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，正弦函数在各象限的符号情况，以及两角差的正切公式，切化弦公式．10．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为( ) A．B．1 C．D．2考点：点到直线的距离公式．专题：转化思想；导数的综合应用．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选：C．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想方法，是中档题．11．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为( )A．8πB．12πC．16πD．32π考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解答：解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A．（﹣） B．（） C．（）D．（）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．解答：解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．实数x，y满足，则z=x﹣y的最大值是3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣y为直线方程斜截式y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为3﹣0=3．故答案为：3．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：由茎叶图，确定P（A）=，P（B）=，P（AB）=，再利用条件概率公式，即可求得结论．解答：从这20名学生中随机抽取一人，基本事件总数为20个．将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A，则事件A包含的基本事件有10，故P（A）=；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则事件B包含的基本事件有9，P（B）=，故事件AB包含的基本事件有5，故P（AB）=，故P（A|B）==．故答案为：．点评：本题考查读茎叶图，考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于中档题．15．如图所示，在山腰测得山顶仰角∠CAB=45°沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山顶高BC为1000米．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：作出图形，过点S作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，依题意可求得SE在△BDS中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高BC．解答：解：依题意，过S点作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，∵∠SAE=30°，AS=1000米，∴CD=SE=AS•sin30°=500米，依题意，在Rt△HAS中，∠HAS=45°﹣30°=15°，∴HS=AS•sin15°，在Rt△BHS中，∠HBS=30°，∴BS=2HS=2000sin15°，在Rt△BSD中，BD=BS•sin75°=2000sin15°•sin75°=2000sin15°•cos15°=1000×sin30°=500米．∴BC=BD+CD=1000米．故答案为：1000．点评：本题考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．16．设F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，可得直线PQ过右焦点F2且垂直于x轴，从而△F1PQ 为等边三角形，△F1PF2为直角三角形，计算即可•解答：解：∵过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，∴直线PQ过右焦点F2且垂直于x轴，即△F1PQ为等边三角形，△F1PF2为直角三角形，∵F1P+F1Q+PQ=4a，∴F1P+PF2=2a，又∵F1P=2PF2，F1F2=2c，∴F1P=，PF2=，由勾股定理，得，即a2=3c2，∴e=，故答案为：•点评：本题考查椭圆的简单性质，勾股定理，挖掘隐含信息“直线PQ过右焦点F2且垂直于x轴”是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*都有S n+（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n，求数列的前n项和．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用“a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”及其等比数列的通项公式即可得出；求通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（II）由于a n=，可得log3a n==﹣n．利用等差数列的前n项和公式可得=﹣．利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（I）∵S n+，∴当n=1时，=，∴a1=．当n≥2时，，∴a n+﹣=0，∴．∴数列{a n}是等比数列，∴a n=．（II）∵a n=，∴log3a n==﹣n．∴b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n=﹣（1+2+…+n）=﹣．∴=﹣．∴数列的前n项和=﹣2+…+==．点评：本题考查了利用“a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求通项公式、“裂项求和”、等比数列与等差数列的通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O 为BC中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值．考点：直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证SO⊥平面ABC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO与平面ABC内两相交直线垂直，而SO⊥BC，SO⊥AO，又AO∩BO=O，满足定理条件；（2）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz，求出两半平面的法向量，求出两法向量的夹角即可．解答：证明：（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以，且AO⊥BC，又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且，从而OA2+SO2=SA2．所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．（Ⅱ）解：以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．设B（1，0，0），则C（﹣1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC的中点，．∴．故等于二面角A﹣SC﹣B的平面角．，所以二面角A﹣SC﹣B的余弦值为．点评：本小题主要考查直线与平面垂直，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．19．某教研机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请了n位一线教师（n＞8且n∈N*），其中有6位教师使用人教A版教材，其余使用北师大版教材．（Ⅰ）从这N位一线教师中随机选出2位，若他们使用不同版本教材的概率不小于，求N的最大值；（Ⅱ）当N=12时，设选出的2位教师中使用人教A版教材的人数为ζ，求ξ的分布列和均值．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意得出概率P==，列出不等式则，求解即可．（Ⅱ）确定随机变量得出ξ的可能取值为0，1，2，再根据题意分别得出概率P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，列出分布列即可．解答：解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“使用版本不同”的概率P==，则，化简得n2﹣25n+144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值为16；（Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2，则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ0 1 2P∴Eξ=0×+1×=1．点评：本题考查了古典概率分布在实际问题中的应用，关键是确定随机变量以及相应的概率，列出分布列，不等式求解，难度较大，属于中档题．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为A，B，|AB|=．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）过M点斜率为k的直线l与抛物线E交于H、G两点．是否存在这样的k，使得抛物线E上总存在点Q（x0，y0）满足QH⊥QG，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知得M（﹣，0），C（2，0），由圆的对称性求出|CR|、|CM|，利用抛物线的定义求出p，得出抛物线方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0），H（x1，y1），G（x2，y2），直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求两根之和与两根之积，由斜率公式表示出QH与QG的斜率，由QH⊥QG，利用斜率之积是﹣1，得到关于y0的一元二次方程，利用△≥0求出k的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知得M（﹣，0），C（2，0）．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|AR|=．于是|CR|==，所以|CM|===3，即2+=3，p=2．故抛物线E的方程为y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设Q（x0，y0），H（x1，y1），G（x2，y2）由得ky2﹣4y+4k=0，由得﹣1＜k＜1且k≠0．，y1y2=4，，同理由QH⊥QG得，即：，∴，，得且k≠0，由﹣1＜k＜1且k≠0得k的取值范围为[﹣）∪（0，]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．21．已知f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（Ⅰ）若a=﹣1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的零点为x1，x2且x1＜x2，x1+x2=2x0，求证：f′（x0）＜0．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：计算题；证明题；整体思想；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）化简函数f（x）=lnx+x2﹣bx，从而可得f′（x）=+2x﹣b≥0在（0，+∞）上恒成立，即b≤+2x在（0，+∞）上恒成立，再由+2x≥2（当且仅当x=时，等号成立），从而求b的取值范围．（Ⅱ）由题意得，，即，从而可得ln=（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]，再由f′（x）=﹣2ax﹣b及x1+x2=2x0得到f′（x0）=[﹣ln]，令t=，m（t）=﹣lnt（0＜t＜1），从而求导可证明m（t）＞m（1）=0；再由x1＜x2证明f′（x0）＜0．解答：解：（Ⅰ）若a=﹣1，则函数f（x）=lnx+x2﹣bx，∵函数f（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，∴f′（x）=+2x﹣b≥0在（0，+∞）上恒成立，即b≤+2x在（0，+∞）上恒成立，而+2x≥2（当且仅当x=时，等号成立）故b≤2，故b的取值范围为（﹣∞，2]．（Ⅱ）证明：由题意得，，即，故ln=（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]，由f′（x）=﹣2ax﹣b及x1+x2=2x0，得f′（x0）=﹣2ax0﹣b=﹣[a（x1+x2）+b]=﹣ln=[﹣ln]，令t=，m（t）=﹣lnt（0＜t＜1），∵m′（t）=﹣＜0，∴m（t）在（0，1）上递减，∴m（t）＞m（1）=0；又∵x1＜x2，∴f′（x0）＜0．点评：本题考查了导数的综合应用及整体代换的思想应用，化简运算困难，要细心，属于难题．四、解答题（共3小题，满分30分）选修4-1：几何证明选讲22．如图AB为圆O直径，P为圆O外一点，过P点作PC⊥AB，垂足为C，PC交圆O于D点，PA交圆O于E点，BE交PC于F点（Ⅰ）求证：∠PFE=∠PAB；（Ⅱ）求证：CD2=CF•CP．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）在Rt△ACP中，∠PAC=90°﹣∠P；在Rt△PEF中，∠PFE=90°﹣∠P，即可证明：∠PFE=∠PAB；（Ⅱ）证明△BCF∽△PCA，即可证明CD2=CF•CP．解答：证明：（Ⅰ）AB为直径，E在圆O上，BE⊥AE∵PC⊥AB，∴∠PAC=90°﹣∠P，∠PFE=90°﹣∠P，∴∠PAB=∠PFE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）连结AD、BD则AD⊥BD Rt△ABD中CD2=AC•CB由（Ⅰ）得△BCF∽△PCA，∴，∴CD2=BC•AC=CF•CP，∴CD2=CF•CP﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似的判定，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由不等式f（x）+x2﹣1＞0可化为：|x﹣1|＞1﹣x2，即：1﹣x2＜0或或，解出即可；（2）g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空⇔|x﹣1|+|x+3|＜m的解集非空⇔（|x ﹣1|+|x+3|）min＜m，利用绝对值不等式的性质即可得出．解答：解：（1）由不等式f（x）+x2﹣1＞0可化为：|x﹣1|＞1﹣x2即：1﹣x2＜0或或，解得x＞1或x＜﹣1，或∅，或x＞1或x＜0．∴原不等式的解集为{x|x＞1或x＜0}，综上原不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．（2）∵g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x），∴|x﹣1|+|x+3|＜m．因此g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空⇔|x﹣1|+|x+3|＜m的解集非空．令h（x）=|x﹣1|+|x+3|，即h（x）=（|x﹣1|+|x+3|）min＜m，由|x﹣1|+|x+3|≥|x﹣1﹣x﹣3|=4，∴h（x）min=4，∴m＞4．点评：本题考查了含绝对值的不等式的解法、分类讨论、绝对值不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．。
2018年内蒙古呼伦贝尔市尼一中高考数学三模试卷(理科)Word版含解析
2018年内蒙古呼伦贝尔市尼一中高考三模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|0≤y＜2，y∈N}，B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}，则A∩B=（）A．{1} B．{0，1} C．[0，2）D．∅2．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a2017=S2017=2017，则首项a1=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣20174．在区间[0，1]内随机取两个数分别为a，b，则使得方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为（）A．B．C．D．5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．36．给出下列四个命题：①若x∈A∩B，则x∈A或x∈B；②∀x∈（2+∞），都有x2＞2x；③若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；④“∃x0∈R，x2+2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+2≤3x”；其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．等比数列{an }的公比q＞0，已知a2=1，an+2+an+1=6an则{an}的前4项和S4=（）A．﹣20 B．15 C．D．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度9．在平行四边形ABCD中，，则|=（）A．B．C．D．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．27 C．D．，P分别为双曲线的右焦点与右支上11．已知点F2的一点，O为坐标原点，若2|，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则a= ．14．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y=kx﹣1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为．15．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是．16．巳知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，都有不等式f（x）+xf'（x）＞0成立，若，则a，b，c的大小关系是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=．（1）求b的值；（2）若cosB+sinB=2，求a+c的取值范围．18．五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．（1）试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？19．如图，在四棱锥P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证；平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数 f （x ）=2lnx+x 2﹣ax ． （Ⅰ）当a=5时，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线y=f （x ）图象上的两个相异的点，若直线AB 的斜率k ＞1恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，x 1＜x 2且x 2＞e ，若f （x 1）﹣f （x 2）≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C ．（1）求出C 的普通方程；（2）设直线l ：x+2y ﹣2=0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x|+|x ﹣3|． （1）解关于x 的不等式f （x ）﹣5≥x ；（2）设m ，n ∈{y|y=f （x ）}，试比较mn+4与2（m+n ）的大小．2018年内蒙古呼伦贝尔市尼一中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|0≤y＜2，y∈N}，B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}，则A∩B=（）A．{1} B．{0，1} C．[0，2）D．∅【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={y|0≤y＜2，y∈N}={0，1}，B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}={x|﹣1≤x≤5，x∈N}={0，1，2，3，4，5}，则A∩B={0，1}．故选：B．2．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===，则复数z在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．3．设Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a2017=S2017=2017，则首项a1=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017 【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的求和公式即可求出．【解答】解：S2017==2017，∴a1+a2017=2，∴a1=﹣2015，故选：B4．在区间[0，1]内随机取两个数分别为a，b，则使得方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间[0，1]上任取两个数a 和b，写出事件对应的集合，做出面积，满足条件的事件是关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根，根据二次方程的判别式写出a，b要满足的条件，写出对应的集合，做出面积，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是在区间[0，1]上任取两个数a和b，事件对应的集合是Ω={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1}对应的面积是sΩ=1满足条件的事件是关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根，即4a2﹣4b2≥0，∴a≥b，事件对应的集合是A={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b}对应的图形的面积是sA=，∴根据等可能事件的概率得到P=．故选C．5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【考点】E8：设计程序框图解决实际问题．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S ≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S ≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S ≥10，退出循环，输出n 的值为4． 故选：A ．6．给出下列四个命题：①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 或x ∈B ； ②∀x ∈（2+∞），都有x 2＞2x ；③若a ，b 是实数，则a ＞b 是a 2＞b 2的充分不必要条件； ④“∃x 0∈R ，x 02+2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+2≤3x”； 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】由元素与集合间的关系判断①；举例说明②③错误；真直接写出特称命题的否定判断④．【解答】解：①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 且x ∈B ，故①错误； ②当x=4时，x 2=2x ，故命题∀x ∈（2+∞），都有x 2＞2x 错误；③当a=2，b=﹣4时，满足a ＞b ，此时a 2＜b 2，则a ＞b 是a 2＞b 2的不充分条件，故③错误； ④“∃x 0∈R ，x 02+2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+2≤3x”，故④正确． ∴其中真命题的个数是1个． 故选：A ．7．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2=1，a n+2+a n+1=6a n 则{a n }的前4项和S 4=（ ）A ．﹣20B ．15C ．D ．【考点】89：等比数列的前n 项和．【分析】本题关键是把式子变形解出q ，（注意舍根）代入等比数列钱n 项和公式可解．【解答】解：由题意a n+2+a n+1=6a n ，即，同除以a n （a n ≠0）得q 2+q ﹣6=0，解得q=2，或q=﹣3（q ＞0，故舍去），==所以，所以S4故选C8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由=可求得ω，再由ω+φ=π可求得φ，从而可得到f（x）=sin（ωx+φ）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得到答案．【解答】解：∵=，∴T=π=（ω＞0），∴ω=2；又×2+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+），∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x，∴为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点向右平移个单位．故选D．9．在平行四边形ABCD中，，则|=（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】如图，取AE的中点G，连接BG，由题意可得=，再根据向量的三角形法则和向量的模以及向量的数量积公式计算即可．【解答】解：如图，取AE的中点G，连接BG∵=， =，∴====，∴=，∴||2=|﹣|2=﹣2•+=52﹣2×5×1×+1=20，∴||=||=2，故选：B10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．27 C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】作出棱锥直观图，则每个面都是直角三角形，代入数据计算即可．【解答】解：作出几何体的直观图如图所示： 其中PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，由三视图可知AB=3，PB=AC=3，∴BC=PA=6，∴S △ABC ==，S △PAB ==，S △PAC ==9，S △PBC ==9，∴S 表面积=++9+9=27．故选：D ．11．已知点F 2，P 分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若2|，且，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】方法一：由题意可知：则M 为线段PF 2的中点，则M （，），根据向量数量积的坐标运算，即可求得x=2c ，利用两点之间的距离公式，即可求得y=c ，利用双曲线的定义，即可求得a=（﹣1）c ，利用双曲线的离心率公式即可求得该双曲线的离心率．方法二：由题意可知：2=+，则M 为线段PF 2的中点，根据向量的数量积，求得cos∠OF 2M ，利用余弦定理即可求得丨OM 丨，根据三角形的中位线定理及双曲线的定义丨PF 1丨﹣丨PF 2丨=2a ，a=（﹣1）c ，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：设P （x ，y ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由题意可知：2=+，则M 为线段PF 2的中点，则M （，），则=（c ，0），=（，），则•=×c=解得：x=2c ，由丨丨=丨丨=c ，即=c ，解得：y=c ，则P （2c ， c ），由双曲线的定义可知：丨PF 1丨﹣丨PF 2丨=2a ，即﹣=2a ，a=（﹣1）c ，由双曲线的离心率e==，∴该双曲线的离心率，故选D ．方法二：由题意可知：2=+，则M 为线段PF 2的中点，则OM 为△F 2F 1P 的中位线，•=﹣•=﹣丨丨•丨丨cos ∠OF 2M=，由丨丨=丨丨=c ，则cos ∠OF 2M=﹣，由正弦定理可知：丨OM 丨2=丨丨2+丨丨2﹣2丨丨丨丨cos ∠OF 2M=3c 2，则丨OM 丨=c ，则丨PF 1丨=2，丨PF 2丨=丨MF 2丨=2c ，由双曲线的定义丨PF 1丨﹣丨PF 2丨=2a ，a=（﹣1）c ，由双曲线的离心率e==，∴该双曲线的离心率，故选D ．12．设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，求导求函数m=﹣x2+2ex+的值域，从而得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），又∵g（x）=，∴函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，m′=﹣2x+2e+=﹣2（x﹣e）+；故当x∈（0，e）时，m′＞0，当x∈（e，+∞）时，m′＜0；则m=﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故m≤﹣e2+2•e•e+=e2+；又∵当x→0时，m=﹣x2+2ex+→﹣∞，+故m≤e2+；故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则a= 2 ．【考点】67：定积分．【分析】先化简被积函数，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解： =sinxdx=﹣cosx|=﹣（cosπ﹣cos0）=2，故答案为：214．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y=kx﹣1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为[3，+∞）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部．因为直线y=kx ﹣1经过定点M（0，﹣1），所以当直线y=kx﹣1与区域有公共点时，直线的位置应界于AM、CM之间，由此算出直线CM的斜率并加以观察即可得到实数k的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，即为区域Ω其中A（0，1），B（0，3），C（1，2）∵直线y=kx﹣1经过定点M（0，﹣1），∴当直线y=kx﹣1与区域Ω有公共点时，它的位置应界于AM、CM之间（含边界）∵直线CM的斜率k==3∴直线y=kx﹣1斜率的最小值为3，可得实数k的取值范围为[3，+∞）故答案为：[3，+∞）15．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是．【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n==15，由此利用对立事件概率计算公式能求出在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．【解答】解：某校高三年级要从5名男主和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），在男生甲被选中的情况下，基本事件总数n==15，在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率：p=1﹣=．故答案为：．16．巳知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，都有不等式f （x ）+xf'（x ）＞0成立，若，则a ，b ，c 的大小关系是 c ＞a ＞b ．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；3L ：函数奇偶性的性质．【分析】根据题意，令g （x ）=xf （x ），则a=g （40.2），b=g （log 43），c=f （log 4），由函数的奇偶性定义分析可得g （x ）为偶函数，对g （x ）求导可得g′（x ）＞0，即g （x ）在（0，+∞）上为增函数，比较可得|log 4|＞|40.2|＞|log 43|，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g （x ）=xf （x ），则a=g （40.2），b=g （log 43），c=f （log 4）有g （﹣x ）=（﹣x ）f （﹣x ）=（﹣x ）[﹣f （x ）]=xf （x ），则g （x ）为偶函数， 又由g′（x ）=（x ）′f（x ）+xf'（x ）=f （x ）+xf'（x ）， 又由当x ∈（0，+∞）时，都有不等式f （x ）+xf'（x ）＞0成立，则当x ∈（0，+∞）时，有g′（x ）＞0，即g （x ）在（0，+∞）上为增函数，分析可得|log 4|＞|40.2|＞|log 43|，则有c ＞a ＞b ； 故答案为：c ＞a ＞b ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=．（1）求b的值；（2）若cosB+sinB=2，求a+c的取值范围．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）应用正弦、余弦定理化简+=，即可求出b的值；（2）根据cosB+sinB=2与平方关系sin2B+cos2B=1，求得sinB、cosB，从而求得B的值，再由正弦定理求得a=sinA，c=sinC；利用A+B+C=π求得C=﹣A，且0＜A＜；再利用三角恒等变换求a+c=sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中， +=，∴+=，∴=，解得b=；（2）∵cosB+sinB=2，∴cosB=2﹣sinB，∴sin2B+cos2B=sin2B+=4sin2B﹣4sinB+4=1，∴4sin2B﹣4sinB+3=0，解得sinB=；从而求得cosB=，∴B=；由正弦定理得====1，∴a=sinA，c=sinC；由A+B+C=π得A+C=，∴C=﹣A ，且0＜A ＜；∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin （﹣A ）=sinA+sin cosA ﹣cos sinA=sinA+cosA=sin （A+），∵0＜A ＜，∴＜A+＜，∴＜sin （A+）≤1，∴＜sin （A+）≤，∴a+c 的取值范围是（，]．18．五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．（1）试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n 元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n 元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n 元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问：商场将奖金数额n 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ， 利用对立事件的概率求出A 的概率值；（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ， 写出ξ的所有可能取值，求出对应的概率值，计算数学期望， 利用数学期望值列不等式，求出奖金数额n 的最高值．【解答】解：（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为；（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，n，3n，6n；（单元：元）ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以，同理；；；顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是，由，解得n≤64，所以n最高定为64元，才能使促销方案对商场有利．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证；平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（I）通过证明AC⊥平面PBC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（ II）如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设P（0，0，a）（a＞0），求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），设=（x，y，z）为面EAC的法向量，利用•=•=0，求出=（a，﹣a，﹣2），利用向量的数量积求解，即可得到直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】解：（I）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=2，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）解：如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣于是=（1，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣1）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆方程，由题意列关于a，b，c的方程组求解a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的径R，则△F1AB的周长=4a=8， =（|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1AB的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为．则，解得：a2=4，b2=3．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的半径R，则△F 1AB 的周长=4a=8，（|AB|+|F 1A|+|F 1B|）R=4R ，因此最大，R 就最大，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x=my+1，由，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0，．则=，令，则m 2=t 2﹣1，∴=，令f （t ）=3t+，则f′（t ）=3﹣，当t ≥1时，f′（t ）≥0，f （t ）在[1，+∞）上单调递增，有f （t ）≥f （1）=4，≤3，即当t=1，m=0时，≤3，由=4R ，得R max =，这时所求内切圆面积的最大值为．故直线l ：x=1，△F 1AB 内切圆面积的最大值为．21．已知函数 f （x ）=2lnx+x 2﹣ax ． （Ⅰ）当a=5时，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线y=f （x ）图象上的两个相异的点，若直线AB 的斜率k ＞1恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，x 1＜x 2且x 2＞e ，若f （x 1）﹣f （x 2）≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=5时，f （x ）=2lnx+x 2﹣5x ．求导，利用导数的正负求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）由题意可知：k=＞1，＞0，构造函数，确定函数的单调性，分离参数，即可求实数a 的取值范围；（Ⅲ）f （x 1）﹣f （x 2）=（2lnx 1+x 12﹣ax 1）﹣（2lnx 2+x 22﹣ax 2）=﹣x 12+2lnx 12，令x 12=x ，则0＜x ＜，g （x ）=﹣x ﹣2lnx ，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，f （x ）=2lnx+x 2﹣5x ．求导，f′（x ）==，（x ＞0），令f′（x ）＞0，解得：x ＞2或0＜x ＜，令f′（x ）＜0，解得：＜x ＜2，∴f （x ）的单调递增区间（0，），（2，+∞）；f （x ）的单调递减区间（，2）；（Ⅱ）由题意可知：k=＞1，∴＞0，令g （x ）=f （x ）﹣x ，则g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴g′（x ）=f′（x ）﹣1≥0，∴﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a ≤2x+﹣1在（0，+∞）上恒成立，∵2x+≥4，x=1时取等号， ∴a ≤3；（Ⅲ）∵x 1+x 2=，x 1x 2=1，∴a=2（x 1+x 2），x 2=，∴f （x 1）﹣f （x 2）=（2lnx 1+x 12﹣ax 1）﹣（2lnx 2+x 22﹣ax 2）=﹣x 12+2lnx 12，令x 12=x ，则0＜x ＜，g （x ）=﹣x ﹣2lnx ，∴g′（x ）=﹣＜0，∴g （x ）在（0，）上单调递减，∴g （x ）＞g （）=﹣4，∴m ≤﹣4．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C ．（1）求出C 的普通方程；（2）设直线l ：x+2y ﹣2=0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 【考点】QH ：参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出C 的参数方程，即可求出C 的普通方程；（2）求出P 1（2，0），P 2（0，1），则线段P 1P 2的中点坐标为，所求直线的斜率k=2，可得直线方程，即可求出极坐标方程．【解答】解：（1）设（x 1，y 1）为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点（x ，y ），则有，∵，∴；（2）解得：，所以P 1（2，0），P 2（0，1），则线段P 1P 2的中点坐标为，所求直线的斜率k=2，于是所求直线方程为．化为极坐标方程得：4ρcosθ﹣2ρsinθ﹣3=0，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）分类讨论，即可解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3，利用作差法，即可比较mn+4与2（m+n）的大小．【解答】解：（1）…得或或，解之得或x∈ϕ或x≥8，所以不等式的解集为…（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3…由于2（m+n）﹣（mn+4）=2m﹣mn+2n﹣4=（m﹣2）（2﹣n）…且m≥3，n≥3，所以m﹣2＞0，2﹣n＜0，即（m﹣2）（2﹣n）＜0，所以2（m+n）＜mn+4…。
数学理卷·2018届内蒙古呼伦贝尔市高三模拟统一考试(一)
2018年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(一)数 学 (理工类)注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =（ ） A ．(]2,3 B ．[)3,4 C ．()1,2- D ．(]1,3- 2. 复数12-=i iz （i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A. iB.i -C.1D.1-3. 已知向量(1,2),=a (2,)t =b , 且0⋅=a b ，则=|b |（ ）B.C. D.5 4．已知变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+y 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15.如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x bωϕ=++（其中0A >,0ω>，ππ2ϕ<<），那么12时温度的近似值（精确到1C ︒）是（ ）正视侧视 视视俯视A ．25C B.26C C.27C D.28C6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．367.已知O 为坐标原点,抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A ,B 两点,则的值是（ ） A. B.C. 3D. 38．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ” 表示m 除以n 的余数），若输入的m ,n 分别为6105，2146， 则输出的m =（ ） A. 0B.31 C. 33 D. 37 9.已知函数是定义在上的奇函数，当0x <时，()x f x xe =，给出下列命题： ①当0x >时，()x f x xe -=-； ②函数的单调递减区间是(,1),(1,)-∞-+∞；③ 对12,x x R ∀∈，都有122|()()|f x f x e-≤. 其中正确的命题是A. ①②B. ①③C. ②③D. ②10．已知A ()34,1，将绕坐标原点O 逆时针旋转3π至，则点B 的纵坐标为（）. A.233 B. 235 C. 211 D. 21311．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC ，1,AC BC AC BC PA ⊥===，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）AB ．72πC ．5πD ．20π12.设函数()f x 定义域为R ，且满足f(-x)=f(x), f(x)=f(2-x),当[]0,1x ∈时,f(x)=2x -1,则函数。
内蒙古呼伦贝尔市莫旗一中2017-2018学年高三3月统一考试一模数学(理)试题 Word版含解析
内蒙古呼伦贝尔市莫旗一中2017-2018学年高三3月统一考试一模数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1.设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则M N ⋂等于（ ）（A ）)1,1(-（B ）)3,1( （C ）)1,0( （D ）)0,1(-【答案】B考点：集合的运算2.下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（ ）（A ）2x y = （B ）3x y -= （C ）||lg x y -= （D ）x y 2=【答案】A【解析】试题分析：（A ）2x y =在)0(∞+，上单调递增，是偶函数（B ）3x y -=在)0(∞+，上单调递减，是奇函数 （C ）||lg x y -=在)0(∞+，上单调递减，并且是奇函数（D ）x y 2=在)0(∞+，上单调递增，是非奇非偶函数考点：函数逇单调性，奇偶性3.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）.（A ）9（B ）10 （C ）19 （D ）29【答案】B【解析】试题分析：由题意正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，故正三角形垛所需钢总数为()n n n 1S 1234n 2+=++++⋯+=,令 ()n n n 1S 2002+=≤解得n 19=是使得不等式成立的最大整数，此时n S 取最大值190，由此可以推出剩余的钢管有10根．故选B ．考点：等差数列的前n 项和4.已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】 B考点：充分必要条件5.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是（A ）23 （B ）43 （C ）53 （D ）83【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该四棱锥的底面为正方形，其边长为2，高为2，故其体积为114222333V Sh === 考点：三视图，棱锥的体积6.在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，若存在实数,λμ，使AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则（ ）俯视图侧（左）视图正（主）视图11112（A ）11,33λμ== （B ）21,33λμ== （C ）12,33λμ== （D ）22,33λμ==【答案】A【解析】 试题分析：设O 为边AB 的中点，由题可知()12AO AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，则()()22113323AG AO AB AC AB AC ==⋅+=+uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，故11,33λμ== 考点：向量的加法，重心的性质7.已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（A ） 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ） 若//αβ，//m α，则//m β（C ） 若//αβ，m α⊥，则m β⊥ （D ） 若//m α，//m β，则//αβ【答案】C【解析】试题分析：（A ） 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥不正确，因为直线m 与平面α有可能平行或斜交，若//αβ，//m α，则//m β不正确，因为直线m 有可能在平面β内（C ） 若//αβ，m α⊥，则m β⊥正确（D ） 若//m α，//m β，则//αβ因为平面α和平面β有可能相交考点：直线 与平面，平面与平面的位置关系8.甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设1x ，2x 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有(A) 12x x =，12s s <(B) 12x x =，12s s > (C) 12x x >，12s s >(D)12x x =，12s s =【答案】B考点：茎叶图9.△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( )（A ）191622=+y x (y ≠0) （B ） 192522=+x y (y ≠0) （C ）191622=+x y (y ≠0) （D ）192522=+y x (y ≠0) 【答案】D【解析】试题分析：由题可知8,10,108AB AC BC =+=>,点C 到两个定点A,B 的距离之和等于定值故点C 的轨迹是以A,B 为焦点 的椭圆（除去长轴两个顶点）.则210,283a c b ==∴=椭圆的方程为192522=+y x (y ≠0) 考点：椭圆的定义及标准方程10.函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（ ）（A ） 向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度 （C ） 向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度【答案】C【解析】试题分析： 由图可知74123T T πππ=-⇒= 则22πωπ== ，又sin(2)03πφ⨯+=，结合2||πϕ<可知 3πϕ= ，即()sin 3(2)f x x π=+，为了得到sin 2y x =的图象，只需把()sin(2)si 3n 26y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象上所有点向右平移6π个单位长度 考点： 三角函数的图像及其性质11.．已知直线x y =按向量平移后得到的直线与曲线)2ln(+=x y 相切，则可以为（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（0，2） （D ）（2，0）【答案】A【解析】试题分析： 由题意，设与曲线)2ln(+=x y 相切的切线的切点为()()00,ln 2x x + ，由题意，斜率为 00111,2y x x '==⇒=-+ 则切线方程为()()ln 12111y x y x --+=⋅+⇒=+ ，即向量()0,1a =r 、 选A考点： 利用导数求函数的切线，向量的平移12.已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是（A ）[5,5]- （B ）11[,]33-（C ） 11[,0)(0,]33-U （D）[,0)(0,33-U 【答案】C【解析】试题分析：当0k =时，M,N,P 三点共线，不能构成三角形，故0k ≠，由题意，由于直径对的圆周角是直径，可知只要直线(2)y k x =-和以MN为直径的圆有公共点即可，此时10)k k ≤⇒≤≤≠，故选C 考点： 直线与圆的位置关系宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)数学试题（文科）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13.若复数i Z +=11, i Z -=32,则=12Z Z . 【答案】12i -【解析】试题分析：213312-4==121112Z i i i i i Z i i i ---=⋅=-++- 考点：复数的运算14.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是____________.【答案】【解析】试题分析：画出可行域如图所示，则由图可知当目标函数2z x y =+过点12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭时取得最大值，最大值为53 考点：简单的线性规划15.给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的集合为___________【答案】{}0,1,3【解析】试题分析：当x 2≤时，由2x x =得：x 01=，满足条件；当2x 5≤＜时，由2x 3x -=得：x 3=，满足条件；当x 5＞时，由 1x x=得：x 1=±，不满足条件，故满足题意的x 值的集合为{}0,1,3考点：程序框图16.已知数列{}n a 是递增数列，且对任意的自然数n ，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为．【答案】3λ-＞【解析】试题分析：{}n a Q 是递增数列，2n 1n n a a a n n λ+∴=+Q ＞，恒成立 即22n 1n 1n n 2n 1λλλ++++∴--（）（）＞，＞对于n ∈N *恒成立．而2n 1--在n 1=时取得最大值3-，3λ∴-＞，考点：数列的单调性三、解答题（共6小题，满分70分）17.在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且sin 3cos b A a B =.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.【答案】（Ⅰ）3B π=（Ⅱ）a c ==【解析】试题分析：（Ⅰ）由题sin cos b A B =结合正弦定理可得tan B =02B π<<可得3B π=（Ⅱ）由已知3,sin 2sin b C A ==由正弦定理知2c a =，结合余弦定理可得229a c ac =+-则,a c 可求试题解析：（Ⅰ）因为sin cos b A B =，由正弦定理sin sin a b A B =得：sin B B =，tan B = 因为02B π<<，所以3B π=（Ⅱ）因为sin 2sin C A =，由正弦定理知2c a = ①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得229a c ac =+- ②由①②得a c ==考点：解三角形，正弦定理，余弦定理18.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）若4PA =，求点E 到平面ABCD 的距离．E DB PCA【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2【解析】试题分析：（Ⅰ）连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，所以EO//PB．由直线与平面平行的判定定理可得PB//平面AEC（Ⅱ）关键是找到点E到平面ABCD的距离，即与平面ABCD垂直的线段，则取AD中点F，连接考点：直线与平面平行的判定定理，点到平面的距离19.有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（I）求频率分布直方图中m的值；(Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；（III ）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．4m 6m5m3m10090 频率 组距502m【答案】（Ⅰ）0.005m =（Ⅱ）6,4,2（III ）25【解析】 考点：频率分布直方图，古典概型20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且C 上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； x y Q O P(Ⅱ) 设直线l 与椭圆交于P 、Q ，O 为坐标原点，若90POQ ∠=︒，求证2211PQ OQ +为定值．【答案】（Ⅰ2214x y +=）（Ⅱ）221154PQ OQ+= 【解析】（2）设()11,P x y ，直线OP 的方程为1:l y kx =，代入2214x y +=得222112244,1414k x y k k ==++， 即()22221124114k OP x y k +=+=+，因为90PAQ ∠=︒，我们以1k -代换上式的k 得，()222414k OQ k +=+ 所以()()()()22222222511114454414141k k k k k k PQ OQ ++++=+==+++ 若k 不存在，即P 、Q 分别是椭圆长、短轴的顶点，224,1,OP OQ == 221154PQ OQ += 综上得出结论：221154PQ OQ += 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系21.已知函数1()1ex f x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）过点(0,)B t 能否存在曲线()y f x =的切线，请说明理由．【答案】（Ⅰ）函数()f x 的极小值为(0)0f =（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，列表，即可得到函数()f x 的单调区间和极小值（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为()00,x y ，求导得到在0x x =出的切线斜率，然后列出切线方程为00001(1)(1)()x x y x e x x e ---+=--，将()0,B t 代入得0011x x t e +=-，讨论函数0011x x t e +=-有解问题 即等价于过点(0,)B t 作曲线()f x 的切线存在试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为R ．因为 1()1x f x x e=-+，所以 1()x x e f x e -'=． 令()0f x '=，则0x =．所以0()=(0)010f x f e =-+=极小值． （Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为()00,x y ，则切线方程为000'()()y y f x x x -=-即00001(1)(1)()x x y x e x x e---+=-- 将()0,B t 代入得0011x x t e +=-． 方程011x x t e +=-有解，等价于过点(0,)B t 作曲线()f x 的切线存在． 令1()1x x M x e +=-， 所以 ()x x M x e-'=． 当()0x x M x e-'==时，00x =． 所以 当(,0)x ∈-∞时，()0M x '>，函数()M x 在(,0)x ∈-∞上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，()0M x '<，()M x 在(0,)x ∈+∞上单调递减．所以 当00x =时，max ()(0)0M x M ==，无最小值．当0t ≤时，方程0011x x t e +=-有解；当0t >时，方程0011x x t e +=-无解． 综上所述，当0t ≤时存在切线；当0t >时不存在切线．考点：函数的单调性，极值，函数的切线问题22.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin 2cos C aρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2,2(4.2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M N 、. (Ⅰ)求a 的取值范围;(Ⅱ)若||||||PM MN PN 、、成等比数列,求实数a 的值.【答案】（1）0 4.a a ><-或（2）1a =【解析】试题分析： （Ⅰ）由题意曲线C 的直角坐标方程为()220a y x a =>将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程令0>V 即可；（Ⅱ）设交点M,N 对应的参数分别为12,t t ，由执行参数方程中12,t t的几何意义可得()()12122,2164t t t t a +==+，然后由||||||PM MN PN 、、成等比数列,可得21212t t t t -= 代入求解即可试题解析：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为()220a y x a => 将直线l的参数方程2,2(4.2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数） 代入曲线C的直角坐标方程得：()2116402t t a -++= 因为交于两点，所以0>V ，即0 4.a a ><-或（Ⅱ） 设交点M,N 对应的参数分别为12,t t .则()()12122,2164t t t t a +==+ 若||||||PM MN PN 、、成等比数列,则21212t t t t -=解得14a a ==-或 (舍)所以满足条件的1a =.考点： 极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2．（Ⅰ）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．【答案】（1）),4()3,(+∞⋃--∞，（2）]1-,(-∞【解析】试题分析： （1）由题721>-++x x 利用绝对值的意义，分段化为不等式组求解即可，注意最后是求并集（2）不等式2)(≥x f 即421+≥-++m x x 利用三角不等式可知3)2()1(21=--+≥-++x x x x则需43,m +≤可得m 的取值范围试题解析：（1）由题设知：721>-++x x ，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>-++≥7212x x x ，或⎩⎨⎧>+-+<≤72121x x x ，或⎩⎨⎧>+---<7211x x x 解得函数)(x f 的定义域为),4()3,(+∞⋃--∞；（2）不等式2)(≥x f 即421+≥-++m x x ，R x ∈Θ时，恒有3)2()1(21=--+≥-++x x x x ， 不等式421+≥-++m x x 解集是R ，m m ,34≤+∴的取值范围是 ]1-,(-∞考点： 绝对值不等式。
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2018年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(一)数 学 (理工类)注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =（ ） A ．(]2,3 B ．[)3,4 C ．()1,2- D ．(]1,3- 2. 复数12-=i iz （i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A. iB.i -C.1D.1-3. 已知向量(1,2),=a (2,)t =b , 且0⋅=a b ，则=|b |（ ）B.C. D.5 4．已知变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+y 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15.如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++（其中0A >,0ω>，ππ2ϕ<<），那么12时温度的近似值（精确到1C ︒）是（ ）A ．25C B.26C C.27C D.28C正视侧视 视视俯视6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．367.已知O 为坐标原点,抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A ,B 两点,则的值是（ ）A. B.C. 3D. 38．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ” 表示m 除以n 的余数），若输入的m ,n 分别为6105，2146， 则输出的m =（ ） A. 0B.31 C. 33 D. 37 9.已知函数是定义在上的奇函数，当0x <时，()x f x xe =，给出下列命题： ①当0x >时，()x f x xe -=-； ②函数的单调递减区间是(,1),(1,)-∞-+∞；③ 对12,x x R ∀∈，都有122|()()|f x f x e-≤. 其中正确的命题是A. ①②B. ①③C. ②③D. ②10．已知A ()34,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（）.A.233 B. 235 C. 211 D. 21311．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC，1,AC BC AC BC PA ⊥==，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） AB ．72πC ．5πD ．20π12.设函数()f x 定义域为R ，且满足f(-x)=f(x), f(x)=f(2-x),当[]0,1x ∈时,f(x)=2x -1, 则函数()()()c o s g x x f x π=-在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为（ ）A. 4B. 3C. 2D . 1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. (1＋x )7(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是_________.14.某次考试中，小丽、小东和小欣三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下，小丽说：小欣没有考满分；小东说：是我考的；小欣说：小丽说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．15.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝_______.16.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且c PF PF 2||21=+，△PF 1F 2的面积为ac ，则双曲线的离心率是___________.三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；(2)设S n =a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2，求使S n >0的n 的最大值。
18.(12分)在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA M ===为棱1DD 上的一点. （1）当1A M MC +取得最小值时，求证：1B M ⊥平面MAC ； （2）若DD 31=,求二面角B-B 1C-M 的正弦值.19．(12分)考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率；（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度．定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，考试评价规定：若0.05S <，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试对难度的预估是否合理．20．（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4；（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 、B 是椭圆上、下两个顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点，求OEG ∠的大小．21.（12分）已知函数()ln e x f x x λ-=-（λ∈R ）．（1）若函数()f x 是单调函数，求λ的取值范围；(2)求证：当120x x <<时，都有211121e e 1x x x x --->-． （二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分）在极坐标系中，点M 的坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l 经过点M ．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；(2)若P 为曲线C 上任意一点，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.（1）若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；(2)若 4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围．2018年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(一) 答案数 学 (理工类)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一．选择题：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 126 14．小丽 15.216.251+ 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；(2)设S n =a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2，求使S n >0的n 的最大值。
17．解：（1）设{a n }的公差为d.由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.…………………6分 (2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n 2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n.使S n >0的n 的最大值n=9 …………………12分18.(12分)在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA M ===为棱1DD 上的一点.（1）当1A M MC +取得最小值时，求证：1B M ⊥平面MAC ； （2） 若DD 31=,求二面角B-B 1C-M 的正弦值。
18解：(1)将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开与侧面11ADD A 共面，当1,,A M C 共线时，1A M MC +取得最小值.由11,2AD CD AA ===,得M 为1DD的中点， 连接1C M 在1C MC ∆中，221112,C M MC C C C C MC ==∴+=212MC MC +， 得190CMC ∠=，即1CM C M ⊥，又11B C ⊥平面11CDD C ，11B C CM ∴⊥又1111,B C C M C CM ⋂=∴⊥平面11B C M ，1CM B M ∴⊥，同理可证，1B M AM ⊥，又1,AM MC M B M ⋂=∴⊥平面MAC . …………………6分(2)设所求二面角为α，以点A 为原点， AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴,AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系0-xyz ，则点C （1,1,0），点B 1（1,0,2），点M （0,1，32） 设平面B 1CM 的一个法向量为),,(z y x =,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙001B ⎪⎩⎪⎨⎧=-∙=-∙⇒0)32,0,1(),,(0)2,1,0(),,(z y x z y x ⎩⎨⎧=-=-⇒02302z x z y 不妨设z=3则)3,6,2(=又平面BB 1C 的一个法向量)0,0,1(= 所以72|1362)0,0,1()3,6,2(||,cos |222=⨯++∙=>< ∴753sin =α…………………12分19．(12分)考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率；（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设iP '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度．定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，考试评价规定：若0.05S <，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试对难度的预估是否合理．19解：（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为40.220=． 所以，估计240人中有2400.248⨯=人实测答对第5题． ……………4分（2）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此这2名学生中至少有1人答对第5题的概率为p=1-220216C C =197 …………………8分（3）222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=．因为0.0120.05S =<， 所以，该次测试的难度预估是合理的．…………………12分20．（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4；（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 、B 是椭圆上、下两个顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点，求OEG ∠的大小．20．解：（1）由题设知，，，又a 2﹣b 2=c 2，解得a=2，b=1．故所求椭圆C 的方程是． …………………4分(2)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆C 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，得C 00(,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --． 所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-2220000044(1)x x y y y =-++- 20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒．……………………12分21.（12分）已知函数()ln e x f x x λ-=-（λ∈R ）．（1）若函数()f x 是单调函数，求λ的取值范围；(2)求证：当120x x <<时，都有211121e e 1x x x x --->-． 21．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln e x f x x λ-=-， ∴e ()exxx f x xxλλ--+'=+=，∵函数()f x 是单调函数，∴()0f x '≤或()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立， ①∵()0f x '≤，∴e 0xx xλ-+≤，即e 0x x λ-+≤，e e x xxx λ--=-≤， 令()e x x x ϕ=-，则1()exx x ϕ-'=，当01x <<时，()0x ϕ'<；当1x >时，()0x ϕ'>． 则()x ϕ在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增，∴min 1()(1)x e ϕϕ==-，∴1eλ-≤；②∵()0f x '≥，∴e 0x x x λ-+≥，即e 0x x λ-+≥，e ex x xx λ--=-≥，由①得()ex xx ϕ=-在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增， 又(0)0ϕ=，x →+∞时()0x ϕ<， ∴0λ≥； 综上①②可知，1eλ-≤或0λ≥；…………………6分(2)由（1）可知，当1e λ-=时，1()ln e ex f x x -=--在(0,)+∞上递减，∵120x x <<， ∴12()()f x f x >，即121211ln e ln e e ex x x x ---->--，∴211112e e ln ln x x x x --->-， 要证211121e e 1x x x x --->-，只需证2121ln ln 1x x x x ->-，即证1221ln 1x xx x >-，令12x t x =，(0,1)t ∈，则证1ln 1t t >-，令1()ln 1h t t t =+-，则21()0t h t t-'=<， ∴()h t 在(0,1)上递减，又(1)0h =，∴()0h t >， 即1ln 1t t>-，得证． …………………12分（二）选考题：共10分。