7-5方向导数与梯度微积分,高等数学,北理工教材(极力推荐)

⎧ ∂u ∂u ∂u ⎫ gradu(5, 1, 2) = ⎨ , , ⎬ = {yz , xz , xy} ( 5,1, 2 ) = {2, 10, 5} ， ⎩ ∂ x ∂ y ∂ z ⎭ ( 5 ,1 , 2 )
所以
∂z ∂l
( 5 , 1, 2 )
= gradu(5,1,2) ⋅ l 0 = 2 ⋅
等于 26 ，求 f ( x , y ) 在 A 处沿 AD 方向的方向导数. 解： AB = {2,0} ， AC = {0,4} ，所以与 AB 、 AC 同方向的单位向量分别是 x 轴正向单 位向量、 y 轴正向单位向量，根据偏导数与方向导数之间的关系：
∂z ∂x
A
= 3，
∂z ∂y
A
= 26 ,
2
2
2
gradf (1, 1, 1)
解：
∂f ∂f ∂f = 2x + y + 3 ， = 6z − 6 = 6y + x − 2， ∂z ∂y ∂x
gradf (1, 1, 1) = {6, 5, 0}
gradf (0, 0, 0) = {3, − 2, − 6}，
第 7 章第 5 节
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《微积分 A》习题解答
a
a
2
,
b
2
)
2y⎫ ⎧ 2x = ⎨− 2 , − 2 ⎬ b ⎭( ⎩ a
a
2
,
b
2
)
⎧ 2 2⎫ = ⎨− , − ⎬ b ⎭ ⎩ a
故
∂z ∂e
( a 2 , b 2 )
= gradz (
2
,
b
2
)⋅ e
第 7 章第 5 节
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《微积分 A》习题解答
⎧ ⎧ 2 2⎫ ⎪ b a = ⎨− , − , − ⎬ ⋅ ⎨− b ⎭ ⎪ a 2 + b2 a 2 + b2 ⎩ a ⎩
6．求数量场 u =
x x + y2 + z2
2
在点 A(1, 2, 2) 及点 B( −3, 1, 0) 处的梯度之间的夹角.
解：
∂u − x 2 + y 2 + z 2 ∂u − 2 xy ∂u − 2 xz ， ， = 2 = 2 = 2 2 2 2 2 2 2 ∂y ( x + y + z ) ∂z ( x + y 2 + z 2 ) 2 ∂x ( x + y + z )
《微积分 A》习题解答
习题 7.5(76)
1．求 z = 3 x + xy + y 在点 (1, 2) 处与 x 轴正向成 135 角、与 y 轴正向成 45 角的方向 上的方向导数. 解： gradz (1, 2) = ⎨
4 3
0 0
⎧ ∂z ∂z ⎫ , ⎬ ⎩ ∂x ∂y ⎭ ( 1 ,
= 12 x 3 + y , x + 3 y 2
⎫ ⎪ ⎬= ⎪ ⎭
2(a 2 + b 2 ) ab
3．求 u = xyz 在点 (5, 1, 2) 处到的点 (9, 4, 14) 的方向导数. 解：方向 l = {9 − 5, 4 − 1, 14 − 2} = {4, 3, 12} ，与它同向单位向量为 l = ⎨
0
⎧ 4 3 12 ⎫ , , ⎬ ⎩ 13 13 13 ⎭
{
}
a
(
a 2
,
b 2
)
0
x
2
,
b 2
)
⎧ 2 2⎫ =⎨ , ⎬ b ⎭ ⎩ a
0
曲线在该点处的内法线的单位向量为 e = n = ⎨ −
⎧ ⎪ ⎪ ⎩
b a 2 + b2
,−
⎫ ⎪ ⎬ a 2 + b2 ⎪ ⎭
a
gradz (
a 2
,
b
⎧ ∂z ∂z ⎫ )=⎨ , ⎬ 2 ⎩ ∂x ∂y ⎭ (
由于 g ⋅ T = ⎨
⎧
x
2 2 ⎩x + y
,
⎫ ⎧ x⎫ ⋅ 1, − ⎬ = 0 ，即 g ⊥ T ， 2 2⎬ ⎨ y⎭ x +y ⎭ ⎩ y
故等值线上任一点 ( x , y ) 处的切线与 gradz 垂直.
第 7 章第 5 节
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2)
{
}
( 1, 2 )
= {14, 13}，
所给方向 l 的单位向量为
⎧ 2 2⎫ , l 0 = cos(135 0 ), cos(45 0 ) = ⎨ − ⎬， 2 2 ⎩ ⎭
{
}
所求方向导数为
∂z ∂l
( 1, 2 )
= gradz (1,2) ⋅ l 0 = −
2 2
⎛ x2 y2 ⎞ ⎛ a , 2． 求 z = 1 − ⎜ 2 + 2 ⎟ ，在点 ⎜ ⎜ ⎜a ⎟ b ⎠ ⎝ 2 ⎝
7． 设数量场 z =
1 ln( x 2 + y 2 ) ，求 gradz ，并证明此数量场的等值线上任一点 ( x , y ) 处 2
的切线与 gradz 垂直. 证明： gradz = ⎨
⎧ ∂z ∂z ⎫ ⎧ x y ⎫ Δ , , g ⎬=⎨ 2 ⎬ 2 x2 + y2 ⎭ ⎩ ∂x ∂y ⎭ ⎩ x + y
⎧ 5 12 ⎫ AD = {5,12} ，与 AD 同向的单位向量是 l 0 = ⎨ , ⎬ ， ⎩ 13 13 ⎭
所以所求方向导数为
∂z ∂l
A
= 3⋅
5 12 327 + 26 ⋅ + = 13 13 13
5．设 f ( x , y , z ) = x + 3 y + 3 z + xy + 3 x − 2 y − 6 z ，求 gradf (0, 0, 0) ，
∂u 7 = ， ∂x 81 ∂u 4 =− ， ∂x 50
在点 A 处：
∂u 4 =− ， ∂y 81 ∂u 3 = ， ∂y 50
∂u 4 =− ∂z 81 ∂u =0 ∂z
在点 B 处：
4 4 ⎫Δ v ⎧7 ⎧ 4 5 ⎫Δ v , 0⎬ b gradu A = ⎨ , − , − ⎬ a ， gradu B = ⎨ − , 81 81 ⎭ ⎩ 81 ⎩ 50 50 ⎭ r r a⋅b 8 v v v v ⎛ 8⎞ cos < a , b >= r r = − ， 故 < a , b >= arccos⎜ − ⎟ 9 ⎝ 9⎠ a⋅b
1 ln( x 2 + y 2 ) = C ，即 x 2 + y 2 = R 2 2 2x + 2 y
数量场的等值线为
上式两端对 x 求导得
dy x dy =− = 0 ，故得 dx dx y ⎧ ⎩ dy ⎫ ⎧ x⎫ ⎬ = ⎨1, − ⎬ dx ⎭ ⎩ y⎭
而等值线上任一点 ( x , y ) 处切线的切向量 T = ⎨1,
的方向导数. 解：曲线
b ⎞ x2 y2 ⎟ ⎟ 处沿曲线 2 + 2 = 1 在此点内法线方向上 a b 2⎠
x2 a2
+ x2 a2
y2 b2 +
= 1 如图，设 y2 b2F( x, y) =− 1 ，则曲
线在点 ⎜ ⎜
⎛ a ⎝ 2
,
b ⎞ ⎟ ⎟ 处的法向量 2⎠
y b a
′ , Fy ′ n = Fx ⎧ 2x 2 y ⎫ ⎨ 2 , 2⎬ b ⎭( ⎩a
4 3 12 98 + 10 ⋅ + 5 ⋅ + = 13 13 13 13
4．设 z = f ( x , y ) ，其中 f 具有一阶连续偏导数，已知四点 A(1, 3) 、 B( 3, 3) 、 C (1, 7 ) 、
D(6, 15) ，如果 f ( x , y ) 在点 A 处沿 AB 方向的方向导数等于 3 ，沿 AC 方向的方向导数