从两道高考题谈圆锥曲线焦点弦的两个性质重点
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题Ø方法导读圆锥曲线是高考的必考内容,主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用,圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合性较强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识结合,难度较大.解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想,同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧,注意掌握.如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的.Ø高考真题【2018·全国I卷理·19】设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点M的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.Ø解题策略【过程分析】第一问,先求出椭圆的右焦点的坐标,由于与轴垂直,所以可求出直线的方程,从而求出点的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线的方程;第二问,对直线分三类讨论:当直线与轴重合时,直接求出.当直线与轴垂直时,可直接证得.当直线与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,利用斜率公式表示出,把直线的方程代入椭圆的方程,消去转化为关于X的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明,从而证得.【深入探究】破解此类解析几何题的关键,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.Ø解题过程(1)由已知得,的方程为.由已知可得,点的坐标为或,所以的方程为或.(2)当与轴重合时,.当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,则,,直线,的斜率之和为.由,得.将代入得.所以,,则.从而,故,的倾斜角互补,所以.综上,.Ø解题分析本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、焦点弦斜率问题,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.对比2015年全国I卷理科数学第20题:在直角坐标系中,曲线与直线交于,两点.(1)当时,分别求在点和处的切线方程;(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有说明理由.2018年的全国I卷的第19题只是把2015年全国I卷的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线有两个交点的位置关系,都是“求方程”与“相交弦的斜率”问题,只是去掉了原来的是否存在型的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,这成为高考命题的一种新走向,所以我们在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,那么我们就能做到以不变应万变.Ø拓展推广1.圆锥曲线过焦点的所有弦中最短的弦过焦点且与对称轴垂直的弦称为通径.(1)椭圆过焦点的最短弦为通径,长为.(2)双曲线过焦点的最短弦为通径或实轴长,长为或.注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线过焦点的最短弦为通径,长为.注意:对于焦点在轴负半轴上,焦点在轴上的抛物线,上述结论仍然成立.2.圆锥曲线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径,利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式.(1)椭圆的焦半径公式①若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的左右焦点,则,.②若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的上下焦点,则,.(2)双曲线的焦半径公式①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的左右焦点,当点在双曲线的左支上时,则,;当点在双曲线的右支上时,则,.①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的上下焦点,当点在双曲线的下支上时,则,;当点在双曲线的上支上时,则,.(3)抛物线的焦半径公式①若为抛物线上任意一点,则;②若为抛物线上任意一点,则;③若为抛物线上任意一点,则;④若为抛物线上任意一点,则.3.圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值(1)椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,(其中).(2)双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,当焦点弦的两个端点,在同支时,;当,在异支时,(其中).注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数(其中).涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.另外熟记圆锥曲线焦点弦的一些重要结论,可以快速求解与焦点弦有关的最值或范围问题.变式训练1如图,椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于、两点,直线与轴相交于点,点在直线上,且满足轴.(1)当直线与轴垂直时,求直线的方程;(2)证明:直线AM经过线段的中点.变式训练2已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,抛物线的动弦过点,过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求的最小值.变式训练3设抛物线的焦点为,过且斜率为()的直线与交于两点,.(1)求的方程;(2)求过点且与的准线相切的圆的方程.变式训练4已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于,两点.(1)若以,为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程;(2)过,分别作抛物线的切线,,证明:,的交点在定直线上.变式训练5抛物线的焦点为,是上一点,且.(1)求的方程;(2)过点的直线与抛物线相交于,两点,分别过点,两点作抛物线的切线,,两条切线相交于点,点关于直线的对称点,判断四边形是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
高中圆锥曲线性质总结全面经典
高中圆锥曲线性质总结全面经典
一、椭圆的性质
* 椭圆是固定点到平面上所有点的距离之和等于常数的轨迹。
* 椭圆具有两个焦点和长轴、短轴。
焦距定理：椭圆上任意一
点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。
* 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越圆。
二、双曲线的性质
* 双曲线是固定点到平面上所有点的距离之差等于常数的轨迹。
* 双曲线具有两个焦点和两个虚焦点。
焦距定理：双曲线上任
意一点到两个焦点的距离之差等于常数的绝对值。
* 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线越扁。
三、抛物线的性质
* 抛物线是固定点到平面上所有点的距离等于常数的轨迹。
* 抛物线具有一个焦点和一个直线称为准线。
焦点到准线的距
离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。
* 抛物线的离心率等于1，且离心率为1的抛物线为特殊情况。
四、圆形的性质
* 圆是平面上所有距离中心点相等的点的集合。
* 圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离。
* 圆上的弧度是由半径对应的圆心角所确定，弧度等于圆心角
的度数除以360度再乘以2π。
以上是高中圆锥曲线的性质总结。
希望对你有帮助！。
圆锥曲线焦点弦角度公式推导过程
让我们来深入探讨一下圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程。
1. 圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是指平面上与一个圆锥相交得到的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都有各自独特的性质和特点，例如焦点、准线、离心率等。
2. 焦点、准线和焦点弦角度的概念在圆锥曲线中，焦点是一个重要的点，具有特殊的几何性质。
准线是与焦点相关的直线，它们共同构成了圆锥曲线的性质。
焦点弦角度是指过焦点的两条相交弦所夹的角度。
3. 圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程接下来，我们将从推导焦点弦角度的定义出发，逐步推导出其数学公式。
我们需要利用圆锥曲线的几何特性，结合焦点和准线的定义，来得出焦点弦角度的数学表达式。
我们将使用坐标系和几何代数的方法，结合圆锥曲线的方程式，推导出具体的焦点弦角度公式。
这个过程涉及到大量的数学运算和推理，需要严谨的逻辑和思维，同时也需要对圆锥曲线的性质有深入的理解。
4. 个人观点和理解在我看来，圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程是非常有意义的。
它不仅涉及到几何和代数知识的综合运用，还能帮助我们更深入地理解圆锥曲线的性质和特点。
通过深入研究焦点弦角度的推导过程，我们可以更好地理解圆锥曲线的几何意义，同时也能对数学运算和推理能力进行提升。
总结回顾：在本文中，我们深入探讨了圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程。
通过对圆锥曲线的定义和性质进行分析，我们逐步推导出了焦点弦角度的数学表达式，并通过坐标系和代数方法得到具体的公式。
我们也共享了个人观点和理解，认为这一过程对我们的数学思维和几何理解有着重要的意义。
我希望通过这篇文章的阅读，您能够更深入地理解圆锥曲线焦点弦角度的推导过程，并对数学知识有一个更全面、深刻的理解。
也希望能够引发您对圆锥曲线和数学推导过程的兴趣，激发您对数学研究的进一步探索。
圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，涉及到几何、代数以及数学推导等多个方面的知识。
其性质和特点的深入理解对于数学的学习和研究具有重要意义。
圆锥曲线焦点弦的八大结论
圆锥曲线焦点弦的八大结论圆锥曲线是几何学中的一类重要的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在圆锥曲线的研究中，焦点和弦是两个重要的概念，它们之间有着许多有趣的关系。
本文将介绍圆锥曲线焦点弦的八大结论。
一、椭圆的焦点弦椭圆有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过椭圆两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2上；2. 焦点到弦的距离之和等于弦长，即AF1 + BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即AF1 - BF2 = PM - PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在椭圆上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与椭圆焦点连线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为椭圆长轴的中点；5. 弦中点M到椭圆两个焦点的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即MF1 - MF2 = PM - PN；6. 弦端点P和N到椭圆两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF1 - NF2；7. 椭圆的两个焦点到弦的距离之积等于椭圆长轴的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = AC - AB，其中AC为椭圆长轴的长度；8. 弦段所在直线与椭圆中心连线的斜率等于椭圆长轴和短轴的比值，即PG/PM = b/a，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
二、双曲线的焦点弦双曲线有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过双曲线两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2的延长线上；2. 焦点到弦的距离之差等于弦长，即AF1 - BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即AF1 + BF2 = PM + PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在双曲线上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与双曲线渐近线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为双曲线渐近线的中点；5. 弦中点M到双曲线两个焦点的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即MF1 + MF2 = PM + PN；6. 弦端点P和N到双曲线两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF2 - NF1；7. 双曲线的两个焦点到弦的距离之积等于双曲线的常数c的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = c - AB，其中c为双曲线的常数；8. 弦段所在直线与双曲线中心连线的斜率等于双曲线焦点之间的距离和双曲线渐近线的斜率之和的倒数，即PG/PM = (F1F2/c) + (c/PN)。
高考数学《圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题》复习
高考考点
1. 圆锥曲线的定义、标准方程与性质 2. 圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题 3. 直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题 4. 圆锥曲线中的定点，定值问题
考点解读
1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程 2.考查圆锥曲线的定义、性质
设 AB 是过抛物线 y2＝2 px p 0 焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2 ) ，
则
①x1x2＝
p2 4
，
y1 y2＝
p2
；
②弦长
AB
＝x1＋x2＋p＝
2 sin
p
2
( 为弦 AB 的倾斜角)；
③ 1 1 2 ；④以弦 AB 为直径的圆与准线相切． | FA | | FB | p
y=
b a
x；
焦点坐标 F1(－c,0)，F2 c,0 ．
②双曲线
y2 a2
x2 b2
=1
(a
0，b
0) 的渐近线方程为
y=
a b
x，
焦点坐标 F1(0，－c)，F2 (0，c) ．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线 y2＝ 2 px p 0 的焦点坐标为 ( p ,0) ，准线方程为 x＝ p ．
3．与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时， 一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系， 再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．
5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系． 该问题主要有以下三种情况： （1）距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解； （2）若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程， 再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标， 这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上， 则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．
圆锥曲线抛物线焦点弦焦半径高三数学
圆锥曲线抛物线焦点弦焦半径高三数学圆锥曲线是数学中一个研究曲线形状和性质的重要分支。
其中抛物线是一种常见的圆锥曲线，具有独特的性质和应用。
在高中数学教学中，学生通常会学习到抛物线的焦点、弦焦半径和高等概念。
下面我们将详细介绍这些概念及其相关性质。
我们先来了解一下什么是抛物线。
抛物线是由平面上一点P和到一条定直线L的距离相等构成的点集合。
这条定直线称为抛物线的准线，点P称为抛物线上的动点。
抛物线的形状特点是对称的，焦点和准线是重要的特征。
焦点是抛物线的一个重要概念。
我们知道，抛物线是由到准线距离相等的点构成的，而焦点是抛物线上特殊的一个点，它与动点P的连线与准线（对称轴）的垂直平分线相交。
焦点在抛物线的几何构造中起到了重要的作用，具有一些独特的性质和应用。
我们来了解一下抛物线的弦焦半径。
抛物线的弦是通过抛物线上的两个任意点A、B所构成的线段。
而弦焦半径是抛物线准线上与弦相交的线段。
弦焦半径的长度会随着点A、B的位置变化而变化，它们的长度不同决定了抛物线形状的开口大小。
通过研究弦焦半径的变化，我们可以进一步了解抛物线的性质和特点。
我们来看一下抛物线的高。
抛物线的高是指从焦点到准直线的垂直距离。
抛物线的高是一个重要的几何特征，它决定了抛物线的形状和开口的大小。
抛物线的高还与焦点和焦半径有着密切的关系。
在解决实际问题时，高可以帮助我们确定抛物线的位置和大小，并进行相应的计算。
通过以上的介绍，我们可以发现抛物线焦点、弦焦半径和高的重要性。
它们不仅在数学研究中具有重要的理论价值，而且在实际问题中也有广泛的应用。
比如，抛物线焦点的性质可用于设计反射镜和抛物天线，弦焦半径的变化可以帮助我们分析抛物线图像的形态，高可以用于解决空中抛物运动问题等等。
总结起来，圆锥曲线抛物线的焦点、弦焦半径和高是数学中重要的概念和性质。
通过对这些概念的研究和理解，我们能够更好地掌握抛物线的性质和应用。
在高中数学教学中，通过相关的数学习题和实例分析，能够帮助学生加深对这些概念的理解和应用能力的培养。
圆锥曲线焦点弦的又一优美性质
圆锥曲线焦点弦的又一优美性质圆锥曲线焦点弦的又一优美性质
圆锥曲线焦点弦是几何学中的一种基本曲线，由一条圆锥曲线以及两个以它为焦点的弦构成，有着另外一种神奇的性质。
首先，当两个弦上任意两点连线，内切曲线定点差值不大于弦距离的一半，它将会过该点，而该点的连线将是弦的平行线，这就是所谓的Pappus点的定义。
此外，当两个弦上任意点连线，延长着的曲线会穿过圆锥曲线的其他三顶点，这就是所谓的Pascal三等分点定义。
也就是说，两个相邻的弦上任意点连线，将会穿过圆锥曲线的另一顶点，而该点来自另一条弦。
再者，当有任意三点在弦上，以两个点之间线段为直径圆上有着另外一点，该点与两个点连线组成的曲线含有另外一条相交的弦，而且被称为Steiner的内接圆三分点，即内接圆距离弦等于弦的四分之一。
以上便是圆锥曲线焦点弦的又一优美性质。
它是几何学中又一个奇妙的定理，它生动写明了圆锥曲线之间及其和弦之间的相互关系及特殊性，使这个定理有其美感，受到国内外数学研究者的关注和好评。
由两道高考解析几何试题谈圆锥曲线的统一性
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＞０ 的焦 点 Ｆ作 斜 率 为 ｋ 当 Ａ＞ １ ，满 足 ） 时 ・ｖ 、丁 ： ｌ 当 ０＜Ａ＜１时 ， 满 足 ／ ； Ａ 十 ｌ 的 直线 依 次 交 抛 物 线 Ｃ于 点 ，交 准 线 ｚ 点 Ａ，若 ：Ａ ， 于 二 ． ／ 、Ｔ ＝１ ．又 因为 抛 物 线 离 心 率 ｅ＝１ ，所 以 抛 物 线 贝 ０ Ｉ ｌ Ａ一１Ｐ ＝（ ）． ｌ ＂ １ －＾
率 为 ｋ的 直 线 依 次 交 椭 圆 Ｃ于 点 Ｂ ，交 对 应 于 焦 点 Ｆ的准 线 Ｚ 于
点 Ａ，若 ： 菌 ， ０ ｆ Ａ一 ） ． Ａ 贝 Ｉ ：（ １ ・
证 明 ：设 焦 点 为 椭 圆 的右 焦 点
ｙ
，右 准 线 为 ｚ ． 笔者 在 翻阅 ２０ ０ ９年 高 考 数 学 试 题 时 ，针 对 高 考 对 圆 锥 曲 线 知 ， 如 图 １所 示 ，过 点 日作 右 准 识 、方法 和能力等 方面 的考 查 ，特 意将 所有 出现在选 择题 和填
准线 ｚ 于点Ａ，若 ： 亩 ，则ＩＡ Ｉ Ａ—１ ． ． Ａ ｒ ＿（ ）
解答可参考文 ［ ］ １．
收 稿 日期 ：２ １— １ ３ ００ １—０
作者简介 ：谢光 亚 （９ １ ） １ ８ 一 ，男，江西 吉安人 ，中学一级教 师，主要从 事中学数 学教 育和教 学研 究
２ ８
Ａ
／ ｌ
的 与 空 题 中的 试 题 集 中 在 一 块 ． 究 发 现 ，全 国卷 Ｉ和全 国卷 Ⅱ中 的 线 Ｚ 垂 线 ，垂 足 为 Ｅ，准 线 Ｚ 研 ． 两道试题 ，已知条 件一般化 后 ，得 到的结论具 有一般 性 利用类 比方法得 到其他 圆锥 曲线 也具有相 同结论．现整理 出来 ，
圆锥曲线焦点弦的公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
利用焦点和准线特性解圆锥曲线问题
利用焦点和准线特性解圆锥曲线问题圆锥曲线是解析几何中的重要概念，常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
在解决圆锥曲线问题时，焦点和准线这两个特性起着至关重要的作用。
本文将讨论利用焦点和准线特性解决圆锥曲线问题的方法和应用。
一、焦点特性焦点是圆锥曲线的重要特性之一。
椭圆和双曲线中，焦点的定义是由离心率确定的，而抛物线则有唯一的焦点。
利用焦点特性，我们可以解决一些与焦点相关的问题，比如定位和方向。
以椭圆为例，椭圆的焦点为F1和F2，且F1F2的距离等于椭圆的长轴长度。
我们可以利用焦点的性质来定位椭圆上的点。
具体而言，对于任意一点P(x, y)在椭圆上，其到F1和F2的距离之和等于椭圆的长轴长度。
这个性质可以用来确定椭圆上的点的坐标，从而解决一些相关问题。
另外，焦点还可以用来确定椭圆和双曲线的方向。
以双曲线为例，焦点F1和F2位于中心对称的位置，且双曲线的定义是F1F2距离大于直线上的任意点到F1F2的距离之和。
根据这个定义，我们可以利用焦点确定双曲线的方向和形状。
二、准线特性准线是圆锥曲线的另一个重要特性。
在抛物线和双曲线中，准线的作用是确定曲线的形状和位置。
准线也可以用来解决一些与位置和形状相关的问题。
以抛物线为例，抛物线的准线定义为与对称轴平行且与焦点相切的直线。
我们可以利用抛物线的准线性质来确定抛物线的位置和形状。
具体而言，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，其到准线的距离等于焦点到点P的距离。
利用这个性质，我们可以确定抛物线上的点的坐标，解决相关问题。
另外，双曲线的准线也具有重要的作用。
在双曲线中，准线是与对称轴平行且与焦点离心距等于离焦点的任意点到焦点的距离之差的直线。
利用准线特性，我们可以确定双曲线的形状和位置，解决与双曲线相关的问题。
三、应用举例利用焦点和准线特性解决圆锥曲线问题的方法和应用众多。
以下是几个例子：1. 已知焦点和准线求圆锥曲线方程对于已知焦点和准线的问题，我们可以利用定义和性质来推导圆锥曲线的方程。
圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线专题03焦点弦问题焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。
组成焦点弦的因素有3个：线段MN 的长度，直线MN 的倾斜角以及点F 分线段MN 的比例关系，所以在研究焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。
一、焦点弦长的求法法一：利用弦长公式|AB |==若要使用弦长公式，我们需要设出AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利用韦达定理求出,A B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可，这也是我们在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。
法二：利用直线的参数方程在参数方程中我们也学过求弦长的方法，此法和弦长公式差不多，但是在解决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。
设A 点参数为1t ，B 点参数为2t ，则12|AB |||t t =-方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线C 的离心率为e，焦点为F，焦准距（焦点到准线的距离）为p，过点F 的弦MN 与曲线C的焦点所在的轴的夹角为,(0,90]θθ︒∈，则有222|MN ||1e cos |ep θ=-，在抛物线内22|MN |sin pθ=证明过程如下：设11(x ,y )N ，根据第二定义可知211'()a NF eNN e x a ex c==-=-在RT DNF ∆中，1cos x OD OF DF c NF θ==-=-，代入上式得：(cos )NF a e c NF θ=--，解得cos 1ec aNF e θ-=-同理可得2222222||cos 1cos ab ep MF a c e θθ==--例1：已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F，经过F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆相交于不同的两点A,B ，已知2AF FB = .（1）求离心率；（2）若15|AB |=4，求椭圆方程.【解析】（1）求离心率套公式即可1cos 1e λθλ-=+，代入求得23e =套用公式22215|AB |||1cos 4ep e θ==-解得252a p c c =-=又因为23e =，故可解出3,a b ==，椭圆方程为22195x y +=例2：已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则|AB ||DE |+的最小值为________.例3：过抛物线2:4C y x =的焦点的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_________.二、在焦点弦中,,e θλ三要素之间的关系上面求得焦点弦长公式与离心率e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角以及点分线段的比例之间的关系。
高考数学总复习考点知识专题讲解16 圆锥曲线光学性质
高考数学总复习考点知识专题讲解专题16 圆锥曲线光学性质知识点一：光学性质概念椭圆的光学性质：从一个焦点发出的照射到椭圆上其反射光线会经过另一个焦点。
双曲线有一个光学性质：从一个焦点发出的照射到双曲线上其反射光线的反向延长线会经过另一个焦点。
抛物线有一个光学性质：从焦点发出的照射到抛物线上其反射光线平行于抛物线开口方向。
知识点二：光学性质定理定理1点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，则椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.由于本题证明方法很多，如果是解决小题，我们按照小题小作来解读，根据物理学的反射原理，反射光线等于入射光线，即把椭圆上的点P 处切线看成镜面，那么法线就是12F PF ∠的平分线，所以它们垂直就自然而然了，同理也能推导双曲线.推论1：设椭圆22221x y a b+=（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为椭圆上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为22220000(0)a y x b x y a b x y ---=.根据光学性质可知00(,)P x y 处切线方程为12020=+b yy a xx ，由于P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直，故12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为000022()a y b x y y x x =--，即22220000(0)a y x b x ya b x y ---=.【例1】已知点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.定理2点P 为双曲线上任一点.1F 、2F 为双曲线的两焦点，则双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.推论2 设双曲线22221x y a b-=±（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为双曲线上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程.为222200b x x a y y a b -=±. 【例2】已知点P 为双曲线上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.定理3点P 为抛物线上任一点，F 为拋物线的焦点，过P 作拋物线的准线的垂线，垂足为P '，则拋物线在点P 处的切线与FPP ∠'的平分线重合.证明：设拋物线的方程为22y px =，200(,)2y P y p.利用导数知识易得抛物线在P 点处的切线斜率存在时为0PQ P k y =.又(,0)2pF ，则02202PP py k y p'=-，0PP k '=.由夹角公式可得：0tan ||||1PP PQ PP PQk k PQPP k k y ∠''-=+'=，0220002202tan ||||121PP PQ PP PQ py pk k y y p FPQ py p k k y y p ''---∠==++⋅-2222232000022222220000021||||()2py p py y p p py y y y p y p p y p -----=⋅=⋅--++22022000()1||||p p y p y y y p -+=⋅=+. 即有tan tan QPP FPQ ∠∠'=，所以PQ 为FPP ∠'的平分线.【例3】（2011年高考全国卷II 理15）已知1F 、2F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线.则2||AF =________.【例4】（2023•东莞市期末）如图，从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点0(P x ，0)y 处的切线00221xx yy a b+=垂直于12F PF ∠的角平分线．已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(,0)T t ，则t 的取值范围是．【例5】（2023•老唐说题教师群探讨）如图，椭圆焦点三角形的1290F AF ∠=︒，AB 为12F AF ∠的角平分线且2AB BD =，则椭圆离心率为.【例6】（2023•广东期末）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠．若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论不正确的是()A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44(,)33k ∈-B ．当m n ⊥时，12||||32PF PF ⋅= C ．当n 过点(7,5)Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13 D ．若点T 坐标为(1,0)，直线PT 与C 相切，则2||12PF =【例7】（2023•阳信期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HF PF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2【例8】（2023•天河区期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:C y x =，O 为坐标原点．一束平行于x 轴的光线1l 从点(P m ，1)(1)m >射入，经过C 上的点1(A x ，1)y 反射后，再经C 上另一点2(B x ，2)y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则()A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线 C ．25||16AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =知识点三：光学定理与内心旁心 定理一：椭圆焦点三角形内心如图，I 为12PF F △内切圆的圆心，PI 和12F F 相交于点N (区分切点M )，则①INe IP=．②121212IF F PF F IF F S e S S =-△△△证明：法一（利用角平分线定理＋等比定理）：1212121222F N F N F N F N IN c e IP F P F P F P F P a+=====+． 法二：（光学定理+中垂线）PI 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线（考虑极限情况，切点看为两个交点的中点），根据中垂线截距定理202ax c x N =，再根据角平分线定理可知e ex a c a x c P F N F IP IN =++==020211,根据等面积法，121212IF F N N P NP NPF F IF F S y c y IN IPy y c y y S S ===---△△△.中垂线截距定理：若B A 、关于直线PQ 对称，可以知道线段AB 被直线PQ 垂直平分，其中(0)P n ，，(0)Q m ，则能得出以下定理（不妨设焦点在x 轴上）： 202y c m b =-（椭圆），202y c m b =（双曲线）；202x c n a =（椭圆），202x c n a=（双曲线）．因为22AB OM b k ak =-⋅（点差法），1AB PQ k k =-⋅，所以22OMPQb a k k =，故220000b a y x y m x =-，即202y c m b =-；同理220000b a y x y x n=-，即202x c n a =．定理二：双曲线焦点三角形旁心旁心定理：I 是12PF F △的旁心，1F I 、2F I 分别是1PF D ∠、2PF D ∠的角平分线．如图,则：ID e IP =，11IF D PF IS e S =△△．证明：法一：(利用外角平分线定理＋等比定理)：111212121222DIF PIF S ID DF F D DF F D ce S PIPF PF PF PF a -======-△△，法二：（光学定理+中垂线）PD 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线，根据中垂线截距定理202ax c x D =，再根据角平分线定理可知，e a ex c a x c PF DF IP ID =--==020222 【例9】（2023•思明区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -和2(,0)F c，1(M x 为C 上一点，且△12MF F 的内心为2(I x ，1)，则椭圆C 的离心率为()A ．35B ．25C ．13D ．12【例10】(2023哈三中高三一模16题）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x与双曲线)00(12222>>=-n m ny m x ，有公共焦点)0(1，c F -，)0(2，c F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，︒=∠6021PF F ,则=+222131e e ；I 为21F PF ∆的内心，G I F 、、1三点共线，且0=⋅IP GP ，x 轴上点A 、B 满足IP AI λ=，GP BG μ=，则22μλ+的最小值为.知识点四：光学定理与大圆小圆问题1. 椭圆的大圆焦点作椭圆切线的垂线，垂足轨迹是以长轴为直径的圆．这个圆我们称之为大圆.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上点P 处的切线为l ，则过焦点12F F 、作直线l 的垂线，垂足H 的轨迹是以长轴为直径的圆，即为222x y a +=．证明: 如图，作2F H l ⊥,1F H l '⊥．当点P 不在长轴的两个端点时，延长1F P 交2F H 于点Q ，根据椭圆的光学性质可知：切线l 平分2F PQ ∠，故2PQF △是等腰三角形，点H是线段2F Q 的中点．因此，在12F F Q 中，1112222FQ F P PQF P PF OH a ++====，故点H 的轨迹是222()x y a x a +=≠±，同理，H`的轨迹也符合此轨迹方程，当点P 在长轴的两个端点时，此时的射影点(,0)a ±亦满足上述方程．【例11】（2023•连城县月考）如图所示，已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为()A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线2.大圆性质拓展如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：上点P 处的切线为l ，且焦点12F F 、在直线l 上的垂足分别为G 、H ，设12F PF θ∠=，椭圆的上顶点为B ，左右顶点分别为1A 、2A ，则：(1) 212FG F H b =； (2)直角梯形12F F GH 的面积的为2sin S a θ=，又12F BF θ≤∠,故212max12,22,02a F BF S bc F BF ⎧π⎛⎫∠≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨π⎛⎫⎪<∠< ⎪⎪⎝⎭⎩；证明(1) 法一：设1F P m =，2F P n =，则2cos 11θPF G F =，2cos 22θPF H F =222222212411cos ()42cos 2224m n c m n c mn FG F H mn mn mn b θθ+-+++-=====．法二延长1MF 交大圆222x y a +=于点I ，根据对称性，有21F H F I =，再利用相交弦定理，则212111112()()FG F H FG F I A F F A a c a c b ===-+=．(2) 利用椭圆的光学性质，如图所示，延长1F P 交2F H 于点N ，过点N 作//GH MN 交G F 1延长线于点M，因此，2121111111()()sin cos 222222S FG F H MN FG MG MN F M MN F N θθ=+=+==，又1122F N F P PF a =+=，则2214sin cos sin 222S a a θθθ==． 注意：大题在证明光学性质时比较麻烦，建议参考例题方式书写大题，那样其实也不难.【例12】已知椭圆22143x y +=，圆224x y +=，直线2y x =与椭圆交于点A ，过A 作椭圆的切线交圆于M 、N 两点（M 在N 的左侧），则12MF NF =．【例13】（2023•南充模拟）设点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为0． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．3.双曲线的小圆焦点在双曲线切线上的垂足轨迹是以实轴为直径的圆，我们称之为小圆.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上点P 处的切线为l ，则焦点12F F 、在直线l上的射影点H 的轨迹是以实轴为直径的圆，即为222x y a +=．【例14】已知双曲线221916x y -=的两焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一动点，过点1F 作12F PF ∠平分线所在直线的垂线，则垂足M 的轨迹方程为( )．A ．229x y +=B ．2216x y +=C ．229x y -=D ．2216x y -=【例15】（多选）设双曲线22:14x C y -=左右焦点分别为1F ，2F ，设右支上一点P 与2F 所连接的线段为直径的圆为圆1O ，以实轴为直径的圆为圆2O ，则下列结论正确的有() A ．圆1O 与圆2O 始终外切B ．若2F P 与渐近线垂直，则2F P 与圆2O 相切 C ．12F PF ∠的角平分线与圆1O 相切D ．三角形12F PF 的内心和外心最短距离为2【例16】（2023•江苏模拟）已知椭圆22:143y x C +=，点0(P x ，0)y 为椭圆C 在第一象限的点，12F F 为椭圆的左、右焦点，点P 关于原点的对称点为Q ． （1）设点Q 到直线1PF ，2PF 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 取值范围； （2）已知椭圆在0(P x ，0)y 处的切线l 的方程为：00143x x y y+=，射线1QF 交l 于点R ．求证：11F RP RPF ∠=∠．【例17】（2022•湖北21校）平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)M -，(2,0)N 点A 满足||||AM AN -=A 的轨迹C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 与点A 关于原点O 对称，MTN ∠的角平分线为直线l ，过点A 作l 的垂线，垂足为H ，交C 于另一点B ，求：||||AH BH 的最大值．【例18】（2023•闵行区期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于该椭圆的另一个焦点2F 上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P 处的切线与直线1PF 、2PF 的夹角相等．已知12BC F F ⊥，垂足为1F ，1||3F B m =，12||4F F cm =，以12F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系． （1）求截口BAC 所在椭圆C 的方程；（2）点P 为椭圆C 上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m ，使得P 到2F 和P 到直线x m =的距离之比为定值，如果存在，求出的m 值，如果不存在，请说明理由；②若12F PF ∠的角平分线PQ 交y 轴于点Q ，设直线PQ 的斜率为k ，直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k ，2k ，请问21k kk k +是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【例19】（2023•上海模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是点1F ，2F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1，点2F 与短轴两个顶点构成等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆上点0(M x ，0)y 的椭圆的切线方程为00221xx yy a b+=．求证：过椭圆C 上任一点0(M x ，0)y 的切线与直线1MF 和2MF 所成角都相等；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点连接1PF ，2PF ，设12F PF ∠的角平分线PQ 交C 的长轴于点(,0)Q q ，求q 的取值范围．同步训练1．（2022•怀化二模）若点P 是椭圆22221(0)4x y b b b+=>上的点，且点I 是焦点三角形△12PF F 的内心，12F PF ∠的角平分线交线段12F F 于点M ，则||PIIM等于()A C ．122.（2023•贵州模拟）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点0(A x ，2)反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为() A．．CD3.（2022•南昌三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△12PF F 的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为() A ．12B3.（2022•焦作一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为C 上一点，且△12MF F 的内心为0(I x ，2)，若△12MF F 的面积为4b ，则1212||||(||MF MF F F +=) A ．32B ．53C．434.（2023•建邺区期中）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若||16AB =，则||(PQ =) A ．2B ．4C ．6D ．85．（2022•衡阳二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点、由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角、请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，点P 为C 在第一象限上的点，点M 在1F P 延长线上，点Q的坐标为，且PQ 为12F PF ∠的平分线，则下列正确的是() A ．12||2||PF PF =B ．12||23PF PF +=C ．点P到x ．2F PM ∠的角平分线所在直线的倾斜角为150︒6.（2023•阳信县期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HFPF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2 7.（2023•佛山期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜．它的形状是旋转椭圆．为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝2F ，与影片门1F 应位于椭圆的两个焦点处．已知椭圆22:143x y C +=，椭圆的左右焦点分别为1F ，2F ，一束光线从2F 发出，射向椭圆位于第一象限上的P 点后反射光线经过点1F ，且124tan 3F PF ∠=，则12F PF ∠的角平分线所在直线方程为．8.（2023•诸暨市期末）圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分1C 和一个“双孔”的椭圆2C 构成（小孔在椭圆的右上方）．如图，椭圆22212:1,,43x y C F F +=为2C 的焦点，B 为下顶点，2F 也为1C 的焦点，若由1F 发出一条光线经过点B 反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点D 反射后平行于x 轴射出，由1F 发出的另一条光线经由椭圆2C 上的点P 反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点E 反射后平行于x轴射出，若两条平行光线间隔，则1cos BF P ∠=．11.已知P是双曲线221168x y -=右支上一点，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，1(0)F P PM λλ=>，22PF PM PN PM PF μ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭，20PN F N =．若22PF =，则ON =．12.已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )．A ．OB e OA =B ．OA e OB=C ．OA OB =D ．OA 与OB 关系不确定。
圆锥曲线焦点弦的性质
kOB
=
y2 x2
=
2p y2
=
− 2y1 p
=
KOA1
于是 B, O, A1 三点共线. 证毕.
性质 6：以 AB 为直径的圆与准线相切.
证明：设 AB 中点为 P ，过 P 作准线的垂线交于点 P1.
1
1
1
P P1
=
2 (AA1
+ BB1)
=
(AF 2
+ BF)
=
AB 2
因此以 AB 为直径的圆与准线相切.
证毕.
性质
2：记直线和
x
轴的夹角为
θ,AF
=
p 1−cos
θ
,
BF
=
p 1+cos
θ
,AB
=
2p sin2
θ
.
证明：利用抛物线的准线
AF = AA1 = p + AF · cos θ
p ⇒ AF = 1 − cos θ
类似的方法可以得到
BF .
易得
AB
=
AF
+ BF
=
2p sin2
θ
.
证毕.
性质
3：
;
当
b c
<
1
时，sin θ
=
b c
时，S△OAB
取到最大值，最大值为
1 2
ab.
推论的证明只需要做一个简单的变换 x = sin θ 即可把面积看作 x 的函数，具
体论证过程留给读者.
练习：已知椭圆
C
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1,
过右焦点
高中数学中的圆锥曲线的焦点特征
高中数学中的圆锥曲线的焦点特征圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线。
在这三种曲线中，焦点是一个共同的特征。
本文将探讨圆锥曲线的焦点特征，并解释它们在数学和实际应用中的重要性。
一、焦点的定义和性质焦点是圆锥曲线的一个重要特征，它可以通过几何定义和代数定义来理解。
从几何角度来看，焦点是指到椭圆（或双曲线）上所有点的距离之和相等的点。
对于抛物线来说，焦点是指到抛物线上所有点的距离相等的点。
从代数角度来看，焦点是圆锥曲线方程中的一个参数，它决定了曲线的形状和位置。
焦点具有一些重要的性质。
首先，对于椭圆和双曲线来说，焦点是曲线的一个内部点。
而对于抛物线来说，焦点是曲线的一个外部点。
其次，焦点和曲线的离心率有关。
离心率是一个衡量曲线形状的参数，它描述了焦点与曲线的几何关系。
离心率越大，焦点离曲线越远，曲线的形状越扁平。
离心率越小，焦点离曲线越近，曲线的形状越接近圆形。
最后，焦点还具有对称性。
对于椭圆和双曲线来说，焦点关于曲线的中心对称。
而对于抛物线来说，焦点关于曲线的焦点轴对称。
二、焦点在数学中的应用焦点在数学中有着广泛的应用。
首先，焦点是定义圆锥曲线的重要参数之一。
通过调整焦点的位置，我们可以改变曲线的形状和位置。
这在图形设计、建筑设计等领域中非常有用。
其次，焦点与曲线的离心率密切相关。
离心率是许多数学问题的关键参数，如行星轨道的形状、椭圆的面积等。
通过研究焦点与离心率的关系，我们可以深入理解这些问题的本质。
最后，焦点还可以用来解决一些几何问题。
例如，通过焦点的性质，我们可以证明椭圆和双曲线的切线方程，抛物线的对称轴方程等。
三、焦点在实际应用中的重要性焦点在实际应用中也有着重要的作用。
首先，焦点是卫星轨道设计中的关键参数。
通过调整焦点的位置，我们可以使卫星轨道更加稳定和高效。
其次，焦点与声学技术密切相关。
例如，在音响系统中，通过调整焦点的位置，我们可以实现声音的聚焦和扩散，从而提高音质和音场效果。
圆锥曲线的焦点剖析-最新文档
圆锥曲线的焦点剖析圆锥曲线主要研究椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质.它在高考数学中占有十分重要的地位, 是历年高考的重点、热点和难点.圆锥曲线都有焦点，焦点是确定圆锥曲线位置和形状的重要元素, 也是我们研究圆锥曲线的定位条件, 它决定了圆锥曲线标准方程的类型. 所以焦点在学习圆锥曲线中占有举足轻重的地位现将与焦点有关的知识点归纳如下：、圆锥曲线焦点位置的判断1?蓖衷驳慕沟?椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1 (a> b>0)或y2a2+x2b2=1 (a>b>0).焦点在分母大的坐标轴上.例如x225+y216=1，25> 16，25是x225的分母，所以焦点就在x 轴上，x 轴就为长轴. 因为c2=a2-b2=25-16=9 ，所以c=3.由于焦点在x 轴上，所以焦点坐标就为(± 3，0) .2?彼?曲线的焦点双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1 (a>0, b>0)或y2a2-x2b2=1 ( a> 0，b>0) . 焦点的位置由x2，y2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上例如y29-x216=1 , y29> 0,所以焦点在y轴上，y轴为实轴.因为c2=a2 + b2=9 + 16=25,所以c=5.由于焦点在y轴上，所以焦点坐标就为( 0，±5) .3?迸孜锵叩慕沟?抛物线的标准方程为y2=±2px (p>0)或x2=±2py (p>0).焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向例如x2=-8y, 一次项为y，y 前的系数为-8 ，所以开口方向为y 轴的反方向，即开口向下. 由于焦点坐标与系数成14的关系，焦点在y 轴上，所以焦点坐标就为( 0，-2 ) .通过焦点位置的判断，我们可以找出研究圆锥曲线几何性质的入手点：椭圆找分母大的，双曲线找系数正的，抛物线看一次项.二、焦半径圆锥曲线上的点P到焦点F的距离称为焦半径.根据圆锥曲线的第二定义可以总结出焦半径公式. 公式如下：1?蓖衷驳慕拱刖?设点P (x0，y0)为椭圆上任意一点.(1) 焦点在x 轴上：PF1=a+ex0，PF2=a-ex0.F1为左焦点，F2为右焦点.(2) 焦点在y 轴上：PF1=a+ey0，PF2=a-ey0.F1为下焦点，F2为上焦点.2?彼?曲线的焦半径设点P (x0, yO)为双曲线上任意一点.(1)焦点在x轴上：F1为左焦点，F2为右焦点.P在右支上，PF仁exO+a, PF2=ex0-a,P 在左支上，PF1=- (exO+a), PF2=- (exO-a ).(2)焦点在y轴上：F1为下焦点，F2为上焦点.P 在上支上, PF1=eyO+a, PF2=eyO-a,P 在下支上，PF1=-( eyO+a)，PF2=-( eyO-a).3?迸孜锵叩慕拱刖?设点P (xO, yO)为椭圆上任意一点，F为焦点.(1) 开口向右：P F=xO+p2.(2) 开口向左：P F=p2-xO.(3) 开口向上：P F=yO+p2.⑷开口向下：PF=p2-yO.例1若等轴双曲线上一点p到中心的距离为d求点P到两焦点的距离之积.解设等轴双曲线的标准方程为x2-y2=a2 (a >O)，由等轴双曲线的性质可知离心率e=2.设P点坐标为(xO, yO)，双曲线左、右焦点分别为F1,F2.联立方程组x2O+y2O=d2,x2-y2=a2.得x2O=a2+d22.T PF1=e xO+ a =2x0+a,PF2=e x0- a =2x0-a,•••点P到两焦点的距离之积PF1•PF2= (2x0+a) 2x0-a )=2x20-a2=a2+d2-a2=d2.三、焦点弦过焦点的直线y=kx+b 与圆锥曲线相交于两点，其交点分别为A( x1 ,1), ( x2 ,则AB?虺莆？焦点弦.弦长AB=1+k2x1-x2?蚧颚？AB=1+1k2y1-y2.焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后利用第二定义求解.1?蓖衷驳慕沟阆?AB=2a-e (x1+x2)(过右焦点)；AB=2a+e (x1+x2)(过左焦点)2?彼?曲线的焦点弦若A，B 两点分别在左右两支上，则AB=2a+e( x1+x2)；若A，B 两点在同一支上，则AB=2a-e (x1+x2)(过右焦点)；AB=-2a-e (x1+x2)(过左焦点).3?迸孜锵叩慕沟阆?AB=x1+x2+p.例2AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，若AB=4求弦AB的中点到直线x+12=0的距离.解由抛物线的方程可知p=12.由抛物线的焦点弦公式可知:AB=x1+x2+p=x1+x2+12=4.•/x1+x2=72, ••• x1+x22=74,即AB的中点的横坐标为74.•••弦AB的中点到直线x+12=0的距离是74+12=94.四、通径、焦准距通径是过焦点且垂直于对称轴的弦, 它是所有焦点弦中最短的弦.(1) 椭圆、双曲线的通径为2b2a；2)抛物线的通径为2p.焦准距是焦点到相应准线的距离(1) 椭圆、双曲线的焦准距为b2c；(2) 抛物线的焦准距为p.例3 已知F1, F2是双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0, b>0)的两个焦点，PQ为过F1且垂直于x轴的双曲线的弦.若 / PF2Q=90，求双曲线的离心率.解PQ为双曲线的通径，|PQ|=2b2a.连接PF1F2可知，△ PF1F2为等腰直角三角形.• PF1=F1F2.• 2b2a2=2c, 即b2=2ac.V b2=c2-a2,--c2 -a2=2ac.等式两边同时除以a2, 得c2a2-1=2ca.-e=ca, • • e2 -1=2e.解方程得e1=1+2,e2=1-2 （舍去）.•双曲线的离心率是1+2.圆锥曲线这一单元历来受高考出卷老师的青睐，与焦点相关的题目也层出不穷，教师要善于剖析、归纳、总结，才能对学生的解题起到事半功倍的作用。
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从两道高考题谈圆锥曲线焦点弦的两个性质
福建省龙岩第一中学陈增武
抛物线的焦点弦的性质是高考的一个热点,如2000年全国高考(文科第11题、2001年全国高考(理科第19题.如果把抛物线改为椭圆或双曲线,是否有类似的性质?结论是什么?这些焦点弦的性质是否是圆锥曲线的通性?下面对这两道高考题所提出的焦点弦的性质进行探讨.
问题1过抛物线2(0y ax a =>的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则1/1/p q +等于( .
(A 2a (B1/2a (C4a (D4/a (2000年全国高考(文科第11题
它的一般情况是:过抛物线22(y px p => 0的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是m ,n ,则1/m + 1/2/n p =.椭圆、双曲线是否有类似的性质?
问题 2 设抛物线22(0y px p =>的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点.点C 在抛物线的准线上,且//BC x 轴.证明直线AC 经过原点O .(2001年全国高考理科第19题
我们不把原点O 看作抛物线的顶点,而把它看作是过焦点作对应准线的垂线段的中点,那么,椭圆、双曲线是否有类似的性质?2002年高考广东卷的第21题就是椭圆的情况.
下面就问题1、问题2的一般情况给出证明.
设圆锥曲线的离心率为e ,焦点 F 对应的准线为l , p 为焦点到对应准线的距离,l x ⊥轴于C .经过点F 的直线交圆锥曲线于A 、B 两点(双曲线时,A 、B 两点在同一支上,分别过 A 、B 作1AA l ⊥于1A ,1BB l ⊥于1B .设||AF = ,m ||BF n =,则有
11/,/AA m e BB n e ==.
设1AB 交CF 于点M ,∵1//FM BB ,
∴1FM AF
BB AB
=,
∴/FM m n e m n
=+,
∴(
mn
FM e m n =+.∵1//CM AA ,
∴111B M CM BF
AA B A BA ==,∴/CM n m e m n =+. ∴/((CM mn e m n =+,∴CM FM =. 故1AB 过CF 的中点M .
∴/2/2CM FM CF P ===, ∴2(P mn e m n =+,2m n mn
ep +=.
∴1/1/2/(m n ep +=.
从而对圆锥曲线有下列性质:
性质1 若过焦点的直线交圆锥曲线于A 、B 两点,线段AB 被这个焦点分成长为m 、n 的两条线段,则有1/1/2/m n ep +=.(p 为焦点到对应准线的距离,e 为圆锥曲线的离心率(双曲线时,A 、B 两点要在同一支上.
性质2 焦点F 对应的准线为l ,经过点F 的直线交圆锥曲线于A 、B 两点.分别过A 、B 作1AA l ⊥于1A ,1BB l ⊥于1B ,则1AB 过CF 的中点.(双曲线时,A 、B 两点要在同一支上.
以上的证明没有用抛物线过焦点的弦所特有的性质“221211/4,x x p y y p ==−”,而是利用了圆锥曲线的第二定义和平面几何的知识.抛物线过焦点的弦这个特有的性质,对椭圆、双曲线的情况一般是不成立的.
如,设抛物线22(0y px p =>的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,O 为
坐标原点,则OA OB ⋅uuu r u u u r
为定值. 设11(,A x y 、22(,B x y ,11(,OA OB x y ⋅=⋅uuu r u u u r
2(,x 22221212/43/4y x x y y p p p =+=−=−.
椭圆(双曲线的焦点为F ,经过点F 的直线交椭圆(双曲线于A 、B 两点,过点F 作对应准线的垂线,垂足为H ,FH 的中点为M ,MA MB ⋅uuur uuur
是否为定值?可以通过特殊值验证,MA MB ⋅uuur uuur
不是定值.
1B
1A A F B C l M
・24・。