北师大版高中数学选修(2-2)-2.2拓展资料：导数几何意义的应用分类解析
北师大版高中数学选择性必修第二册2.2 导数的概念及其几何意义【课件】
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0))和
∆
斜率
B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝
f(x)在点A处的一条割线．
要点三 切线的定义
点A
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕
Δy 2 Δx 2 +16Δx
∴ ＝
＝2Δx＋16.
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
要点一 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，
−
∆
+∆ −(0 )
−
函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝
.
∆
∆
固定的值
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，
2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
导.学. 固. 思
问题1 根据创设的情境,割线PP 的变化趋势是 n
点Pn趋近于
点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 .
问题2
导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx Δy
Δ x →0
lim
称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
������ (������ 0 +ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
ℎ →0
=-
4f'(x0)=-8.
求切线方程 已知曲线 y=������-������ 上两点 P(2,-1),Q(-1,2 ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
1 1
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
高中数学 北师大选修2-2 2.2.1导数的概念
1 2
, 求x0的值.
解 : y x0 x x0 ,
y x0 x x0 ( x0 x x0 )( x0 x x0 )
x
x
x( x0 x x0 )
1
.
x0 x x0
y
1
1
lim lim
,
x0 x x0 x0 x x0 2 x0
由y'|x x0
1 ,得 22
1 x0
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 )
或 y |xx0 , 即
1. f (x0)与x0的值有关，不同的 x0其导数值一般也不相同 。 2. f (x0)与x的具体取值无关。 3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的 基本方法是:
3.1.2 导数的概念
复习：平均变化率
一般的，函数 f (x) 在区间上 [x1, x2 ] 的平均变化率为
y f (x2 ) f (x1)＝f x1＋x－f x1
x
x2 x1
x
定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim y
f ' (x0 )
x0
y x
必做题: 1.如果质点 A 按照规律 s 3t2 运动,则在 t 3 时的瞬时
速度为 18 . 2.函数 y x 1 在 x 1处的导数等于 0 .
x
3.设函数 f (x) ax 3 ,若 f '(1) 3 ,则 a 3 .
选做题:
1.设函数 f (x) 可导,则 lim f (1 x) f (1)
高中数学北师大版选修2-2 导数的概念和几何意义
求平均变化率 已知函数 f(x)＝3x＋1 和 g(x)＝2x2＋1，分别计算在下列 区间上 f(x)及 g(x)的平均变化率． (1)[－3，－1]； (2)[1，1＋d]．
【解】 (1)①对于 f(x)＝3x＋1 在区间[－3，－1]上， 因为 d＝－1－(－3)＝2，
f(－1)－f(－3) ＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝6， 所以f（－1）－d f（－3）＝62＝3， 即函数 f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为 3. ②对于 g(x)＝2x2＋1 在区间[－3，－1]上， 因为 d＝－1－(－3)＝2，g(－1)－g(－3) ＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，
1．当自变量从 x0 变到 x1 时函数值的增量与相应自变量的增量 之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在 x0 处的变化率 C．在 x1 处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数 答案：A
2．已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，d＝0.1 时，f(x＋d)－
【解】 因为 f(x0＋d)－f(x0)＝(2x0－7)d＋d2， 所以f（x0＋d）d－f（x0）＝2x0－7＋d. 当 d 趋于 0 时，f（x0＋d）d－f（x0）趋于 2x0－7， 所以 f(x)在 x＝2 和 x＝6 时的瞬时变化率分别为－3 和 5. 说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3 °C/h 的速度下降；在 第 6 h 附近，原油温度大约以 5 °C/h 的速度上升．
利用导数定义求导数，“三步法”的模式是固定的，关键是要注 意在求f（x0＋d）d－f（x0）时，分式的通分，无理式的分子有 理化等常用技巧的使用．
求函数 y＝x2＋ax＋b(a，b 为常数)在 x＝1 处的 导数． 解：令 f(x)＝y＝x2＋ax＋b，
高中数学北师大版选修2-2第2章《疑难解读：导数的概念及其几何意义》ppt课件
• 得f(2)＝22－1＝3.
• 故f′(2)＝(3)′＝0. • 【错因】 f(x)＝x2－1，得f′(2)是导函数的一个函 数值，而不是函数f(2)的导数．
【正解】
f′(x)＝Δlti→m 0
fx＋Δx－fx Δx
＝Δlti→m0 x＋ΔΔxx2－x2＝2x.
故 f′(2)＝2×2＝4.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
2019-2020年高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料：导数几何意义的应用分类解析
2019-2020年高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料：导数几何意义的应用分类解析函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.下面就导数几何意义的应用分类解析.一、切线的夹角问题例1已知抛物线y ＝x 2﹣4与直线y ＝x ＋2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为l 1和l 2.(1)求直线l 1与l 2的夹角.解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2﹣4y ＝x ＋2，解得A(－2，0)，B(3，5)，由y '＝2x ，则y '|x ＝－2＝﹣4，y '|x ＝3＝6，设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，tanθ＝|－4－61＋(－4)×6|＝1023,所以θ＝arctan 1023. 点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).二、两条曲线的公切线问题例2已知抛物线C 1：y ＝x 2＋2x 和C 2：y ＝－x 2＋a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称直线l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.解析：(1)函数y ＝x 2＋2x 的导数y '＝2x ＋2，曲线C 1在点P(x 1，x 21＋2x 1)处的切线方程是y －(x 21＋2x 1)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21…①，函数y ＝－x 2＋a 的导数y '＝－2x ，曲线C 2在点Q(x 2，－x 22＋a)处的切线方程是y －(－x 22＋a)＝－2x 2(x －x 2)，即y ＝－2x 2x ＋x 22＋a ，…②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是直线l 的方程，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝－x 2－x 21＝x 22＋a ，消去x 2得方程2x 21＋2x 1＋1＋a ＝0.当判别式△＝4－4×2(1＋a)＝0时，即a ＝－12时，解得x 1＝－12，此时点P和Q 重合，即当a ＝－12时，C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为y ＝x －14.（Ⅱ）证明：略点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；第二步根据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步根据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果.三、切线逆向运算问题例3已知b ＞－1，c ＞0，函数f(x)＝x ＋b 的图象与函数g(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象相切.求b 与c 的关系式(用c 表示b)；解析：(1)依题意，令f '(x)＝g '(x)，得2x ＋b ＝1，故x ＝1－b 2，由于f(1－b 2)＝g(1－b 2)，得(b ＋1)2＝4c ，∵b ＞－1，c ＞0，∴b ＝－1＋2c.例4曲线y ＝x 3在点（a ，a 3）(a≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝__________________.解析：y′＝3x 2，切线斜率为3a 2，方程为y －a 3＝3a 2（x －a ），当y ＝0时，x ＝23a ，当x ＝a 时，y ＝a 3，则12·|a 3|·|a －23a|＝16，解得a ＝±1.点拨：上面两题通过求导，利用导数在某点几何意义求切线斜率的值或相对应的切线方程，建立等式或不等式，进而解决参数问题.四﹑其它综合问题例5已知函数f(x)＝x 3＋x 2，数列{x n }(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x ＝f(x)在（x n+1,f (x n+1)）处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）求证：当n ∈N*时，(Ⅰ)x 2n ＋x n ＝3x 2 n+1＋2x n ＋1；（Ⅱ）(12)n －1≤x n ≤(12)n -2.证明：（I ）因为f '(x)＝3x 2＋2x 所以曲线y ＝f(x)在（x n+1,f (x n+1)）处的切线斜率k n+1＝3x 2 n+1＋2x n+1，因为过(0,0)和（x n ,f (x n )）两点的直线斜率是x 2n ＋x n ，所以x 2n ＋x n ＝3x 2 n+1＋2x n+1.（II ）因为函数h(x)＝x 2＋x 当x ＞0时单调递增，而x 2n ＋x n ＝3x 2 n+1＋2x n+1≤4x 2 n+1＋2x n+1＝(2x n+1)2＋2x n+1，所以x n ≤2x n+1，即x n+1x n ≥12因此x n ＝x n x n -1·x n -1x n -2·…·x 2x 1≥(12)n -1， 又因为x 2n ＋x n ≥2(x 2 n+1＋x n+1) ，令y n ＝x 2n ＋x n ，则y n+1y n ≤12， 因为y 1＝x 21＋x 1＝2，所以y n ≤(12)n -1·y 1＝(12)n -2，因此x n ≤x 2n ＋x n ≤(12)n -2，故(12)n -1≤x n ≤(12)n -2..点拨：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力.上述解法通过利用利用导数的几何意义求出切线的斜率建立数列递推公式，为第二小题的解答提供了条件.跟踪练习1、已知曲线C 1:y ＝x 2－2x ＋2和曲线C 2:y ＝x 3－3x 2＋12x ＋5有一个公共点P （2，2），求过点P 处两条曲线的切线的夹角.2、已知函数f (x )＝2x 3＋ax ，g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2，0)，且在点P 处有公切线，求a ，b ，c 及f (x )，g (x )的表达式.3、确定抛物线方程y ＝x 2＋bx ＋c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y ＝2x 在x ＝2处相切.4、设整数k≠0，1.过点P(1，0)作曲线C ：y ＝x k (x ＞0)的切线，切点为Q 1，设点Q 1在x 轴上的射影是点P 1；又过点P 1作曲线C 的切线，切点为Q 2，设点Q 2在x 轴上的射影是点P 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点Q 1，Q 2，….设点Q n (n ＝1，2，…)的横坐标构成数列{a n }.证明{a n }是等比数列.参考答案1、解：∵y ＝x 2－2x ＋2，∴y '＝2x －2，∴过点P 曲线C 1的切线斜率为k 1＝2×2－2＝2，又∵y ＝x 3－3x 2＋12x ＋5，∴y '＝3x 2－6x ＋12，∴过点P 曲线C 1的切线斜率为k 2＝3×22－6×2＋12＝12，设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，得tanθ＝|2－121＋2×12|＝32,所以θ＝arctan 32.2、解：f (x )＝2x 3＋ax 的图象过点P (2，0)，故a ＝－8，故f (x )＝2x 3－8x ， 又 f ′(x )＝6x 2－8，f ′(2)＝16，由g (x )＝bx 2＋c 的图象过点P (2，0)，得4b ＋c ＝0.又g ′(x )＝2bx ，g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16，∴b ＝4，从而c ＝－16， ∴f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.3、解：＝2x ＋b ，k ＝y ′|x =2＝4＋b =2，∴b ＝－2.又当x ＝2时，y ＝22＋（－2）×2＋c ＝c ，代入y ＝2x ，得c ＝4.4、解：∵y ′＝kx k –1，∴y '|x ＝a n ＝ka n k –1，∴以Q n (a n ，a n k )为切点的切线方程为y –a n k ＝ka n k –1(x –a n )，当n ＝1时，切线过点P(1，0)，∴0–a 1k ＝ka 1k –1(1–a 1)⇒a 1＝k k －1， 当n≥2时，切线过点P n –1(a n –1，0)，∴0–a n k ＝ka n k –1(a n –1–a n )a n ＝k k －1a n –1， ∵整数k≠0，1，∴a 1＝k k －1≠0，∴{a n }是等比数列.。
高中数学北师大版选修2-2第2章导数的概念及其几何意义
xyO P 1l 2l 导数的概念及其几何意义第三课时 导数的几何意义（二）一、教学目标：掌握切线斜率由割线斜率的无穷逼近而得，掌握切线斜率的求法．二、教学重点，难点：（1）能体会曲线上一点周围的“局部以直代曲”的核心思想方式；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．三、教学方式：探析归纳，讲练结合四、教学进程（一）、问题情境1．情境：设P 是曲线上的一点，将点P 周围的曲线放大、再放大，则点P 周围将逼近一条肯定的直线l ．2．问题：如何找到在曲线上的一点P 处最逼曲线的直线l 呢？ （二）、学生活动如上图直线12,l l 为通过曲线上一点P 的两条直线．（1）判断哪一条直线在点P 周围加倍逼近曲线．（2）在点P 周围能作出一条比12,l l 加倍逼近曲线的直线3l 吗？（3）在点P 周围能作出一条比123,,l l l 加倍逼近曲线的直线4l 吗？（三）、建构数学1．割线及其斜率：连结曲线C 上的两点的直线PQ 叫曲线C 的割线， 设曲线C 上的一点(,())P x f x ，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,())Q x x f x x +∆+∆，则割线PQ 的斜率为00()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x+∆-+∆-==+∆-∆． 2． 切线的概念：随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 周围愈来愈逼近曲线C 。
当点Q 无穷逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线；3． 切线的斜率：当点Q 沿着曲线C 向点P 运动，并无穷靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 处的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ∆无穷趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无穷趋近于点(,())P x f x 处的切线的斜率． （四）、数学运用1．例题：例1．已知曲线2y x =，（1）判断曲线(1,1)P 在点P 处是不是有切线，若是有，求切线的斜率，然后写出切线的方程．（2）求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 拓展资料：导数的几何意义在解题中的应用
导数的几何意义在解题中的应用导数是研究函数增减、函数变化快慢、作曲线切线问题和求函数最值问题的最一般、最有效的工具.函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.下面我们运用导数的几何意义解决具体的函数问题.例1. 已知函数f(x)=x 3-3x 2+ax,x ∈R,且曲线y=f(x)的切线的斜率的最小值为-1.(1)求a 的值；(2)求f(x)在x=1处的切线方程；(3)若直线l 过原点，且与曲线y= f(x)相切，求直线l 的斜率k 的值．【思路点拨】首先由“斜率的最小值为-1”求出解析式，再根据切线方程的求法列方程，求出k 的值．【解】(1)∵a x x x f +-='63)(2＝3(x-1)2+a-3∴切线斜率的最小值为f '(1)=a-3=-1，∴a=2,(2)∵f '(x)=3x 2-6x+2，∴曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为f '(1)＝-1，∴切线方程为y=-1×(x-1)+13-3×12+2×1，即y=-x+1.(3)∵y=x 3-3x 2+2x ，∴y '=3x 2-6x ＋2．∴直线和曲线均过原点，当原点是切点时，切线斜率k=0|='X y =2,当原点不是切点时，设切点为P(x 0,y 0)，其中x 0≠0,则切线的斜率k=00x y ．综上所述,k=2或41-=k ． 【方法技巧】(1)需要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义：一是该点的导数值等于切线的斜率；二是该点坐标满足已知曲线的方程．（2)当某点不在曲线上求过此点的切线问题时，要先设出切点坐标，利用导数几何意义表示出切线方程，再把已知点代入切线方程，从而得出所求方程．(3)当不能确定曲线上的点(x 0,f(x 0))是否为切点时，要注意分(x 0,f(x 0)) 是切点和不是切点两种情况进行讨论．例2．已知函数f(x)=lnx,g(x)=21x 2+a(a 为常数),直线l 与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l 与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线l 的方程及a 的值.【思路点拨】由直线l 与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线l 与函数g(x)的图象相切,所以l 与g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入g(x),通过Δ=0,求出a 的值.【解】由f ′(x)|x=1=1,知k l =1,切点为(1,f(1)),即(1,0),所以直线l 的方程为y=x-1.直线l 与y=g(x)的图象相切,等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a x y x y 221,1只有一解,即方程21x 2-x+(1+a)=0有两个相等的实根, ∴Δ=1-4×21(1+a)=0.∴a=-21.【方法技巧】本题通过利用导数来求函数的切线、利用方程的思想判断函数图象与直线的交点问题,考查了学生的应用能力及分析问题、解决问题的能力.。
数学北师大版高中选修2-2导数的几何意义
§2.2导数的几何意义学习目标1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 学习难点：导数的几何意义． 一．自主学习（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近图3.1-2于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. ．二．典例分析例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --= （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请根据导数的几何意义描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例3．如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．。
(北师大版)数学选修2-2：第2章《典例导航：导数的概念及其几何意义》课件
北师大版高中数学选修2-2课件2.2.2导数的几何意义课件
(1,1)
y 3x 4
小结
＊导数的几何意义： 函数在处的导数，即是曲线 y f ( x ) x0 在点处的切线斜率。 ( x0 , f ( x0 ) ) ＊导数法求曲线的切线方程：
y f ( x)
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
f ( x0 )
（2）利用点斜式求得切线方程为：
由题知，
( 2,4) x 2 时割线过点和；
(0,0)
( 2,4) ( 1,1) x 1 时割线过点和； ( 2,4) ( 1.5,2.25) 图略。 x 0.5 时割线过点和，
（2） f ( 2 ) ∴ k f ( 2) 4 又切线过点 ( 2,4) ∴切线方程为：
2
yx
2
x0 , x0 x
yx
2
的平均变化率，并画出过点的相应割线； ( x0 , f ( x0 ) ) 在点处的切线。 ( 2,4)
解析
y f ( x) 2 x x 1 例2求函数在处的切线方程。
3
解析
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
y 4 x 4
图略。 例2
分析： 要求切线斜率，即导数。
解：
f (1)
∴ k切线 f (1) 6 ∴切线方程为：
( y 2) 6( x 1)
即 y 6x 4 概括
f ( 0) f ( 2) 0 2： x 1 , 0.5
f ( 1) f ( 2) ( 1)2 ( 2)2 3 1 1
f (1.5) f ( 2) ( 1.5)2 ( 2)2 3.5 0.5 0.5
高中数学 北师大选修2-2 2.2.2导数的几何意义
[错解] y lim y lim (x x)2 x2 2x ．
x x0
x0
x
所以，斜率为 k f (3) y |x3 2 3 6 ．
故过点 P(3,5) 切线方程为： y 5 6(x 3) 即 6x y 13 0 ．
[错因]求曲线在点 P 处的切线与求过点 P 的切线有区别． 在点 P 处的切线，点 P 必为切点；求过点 P 的切线，点 P 未必是切点．应注意概念的区别，其求法也有所不同．
A x2-x1=△xx
x1
x2
导数的几何意义
提出问题
f
(
x0
)
lim
x0
f x
lim x0
f (x0
x) x
f
(x0 )
思
割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？ 考
y=f(x)
kPQ
y ＝ x
f
( x0
x) x
f
(x0 )
y
Q(x1,y1)
△y
即：当△x→0时，割线PQ的斜 率的极限，就是曲线在点P处的
x x0
x0
x
设所求切线的切点为 A(x0, y0 ) ．
点 A 在曲线 y x2 上， y0 x02 ．
又 A 是切点，过点 A 的切线的斜率 y |xx0 2x0 ．
所求的切线过 P(3,5) 和 A(x0, y0 ) 两点，
其斜率又为 y0 5 x02 5 ，
x0 3 x0 3
【例 3】求曲线 y x2 在点 A(2, 4) 处的切线方程．
分析：本题关键是求切线斜率， k f (2) ，有两种思路：
一是直接求 k f (2) lim f (2 x) f (2) ；
2018-2019学年北师大版选修2-2 2.2.2导数的几何意义 课件 (15张)
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四、课堂练习，巩固新知
1 、 求f ( x) x 2在x 2处的切线斜率， 并求出 过该点的切线方程 。 1 2、 求f ( x) 在x 2处的切线方程。 x 3、 根据导数的几何意义 ， 求函数y 4 x 2 在x 1处的导数。
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五、反思与评价
1、导数的几何意义是什么？ 2、学习导数的几何意义可以处理哪 些问题？ 3、如何求曲线的切线方程？
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二、合作探究，形成概念
如图，点A(x0,f(x0))是曲线y=f(x)上一点，点B(x0+Δx,f(x0+Δx)) 是曲线上与点A邻近的任一点，函数y=f(x)在[x0,x0+Δx]的平均变
y 化率为 x
,它是过A、B两点的直线的斜率，直线AB称为曲线
y=f(x)在点A处的一条割线。
y
令Δx趋于零，可知y=2x3在x=1处的导数为 f'(1)=6.这样，函数y=2x3在点(1,f(1))=(1,2)处 的切线斜率为6.即该切线经过点(1,2)，斜率6. 因此切线方程为(y-2)=6(x-1).即 y=6x-4. 切线如图所示.
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三、例题学习，应用新知
思考与交流：
y=2x3在点（1，2）处的 切线y=6x-4与y=2x3有几 个公共点？
一、课题引入，类比探讨 导数的本质是什么？写出它的表达式。
导数的本质是函数f(x)在x=x0处的瞬时变化 率，即：
f x0 x f ( x0 ) f x0 lim x 0 x
/
如何求函数 f(x)在x=x0处的导数？
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一、课题引入，类比探讨 导数的本质仅是从代数（数）的角度 来诠释导数，那么我们能不能类比求导 数的方法和过程，从图形（形）的角度 来探究导数的几何意义呢？
2018-2019学年北师大版选修2-2 2.2 导数的几何意义 课件(19张)
������������������ (4x0 +2Δx)=4x0 , 即 f'(x0 )=4x0 .
������y Δ ������ →0 ������x
=
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°, ∴斜率为 tan 45°=1, 即
1 9 1 9 2 f'(x0 )=4x0 =1, 得 x0 = , 将其代入 y=2x +1, 得 y0 = , 故切点坐标为 , 4 8 4 8
所以切线的斜率为 -4.又因为切线过点(-2,4), 所以切线方程为 y-4=-4(x+2), 即 4x+y+4=0.
题型一
题型二
题型三
反思解此类问题的步骤为: (1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求切线的斜率f'(x0); (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (4)由y0=f(x0),求得切点坐标.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知曲线y=f(x)=2x2-a在点P处的切线方程为 12x-y-35=0,求切点P的坐标及a的值.
当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转 动,最后趋于直线l.直线l和曲线在点A处“相切”,称直线l为曲线y=f(x) 在点A处的切线.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在切点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
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导数几何意义的应用分类解析
函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.下面就导数几何意义的应用分类解析.
一、切线的夹角问题
例1已知抛物线y ＝x 2﹣4与直线y ＝x ＋2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为l 1和l 2.(1)求直线l 1与l 2的夹角.
解析：由方程组⎩⎨⎧ y ＝x 2﹣4y ＝x ＋2，解得A(－2，0)，B(3，5)，
由y '＝2x ，则y '|x ＝－2＝﹣4，y '|x ＝3＝6，设两直线的夹角为θ，
根据两直线的夹角公式，tanθ＝|－4－61＋(－4)×6
|＝1023,所以θ＝arctan 1023. 点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).
二、两条曲线的公切线问题
例2已知抛物线C 1：y ＝x 2＋2x 和C 2：y ＝－x 2＋a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称直线l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
(2)若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
解析：(1)函数y ＝x 2＋2x 的导数y '＝2x ＋2，曲线C 1在点P(x 1，x 21＋2x 1)处
的切线方程是
y －(x 21＋2x 1)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21…①，
函数y ＝－x 2＋a 的导数y '＝－2x ，曲线C 2在点Q(x 2，－x 22＋a)处的切线方程是
y －(－x 22＋a)＝－2x 2(x －x 2)，即y ＝－2x 2x ＋x 22＋a ，…②
如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是直线l 的方程，
所以⎩⎨⎧ x 1＋1＝－x 2－x 21＝x 22
＋a ，消去x 2得方程2x 21＋2x 1＋1＋a ＝0. 当判别式△＝4－4×2(1＋a)＝0时，即a ＝－12时，解得x 1＝－12，此时点P
和Q 重合，
即当a ＝－12时，C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为y
＝x －14.
（Ⅱ）证明：略
点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；第二步根据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步根据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果.
三、切线逆向运算问题
例3已知b ＞－1，c ＞0，函数f(x)＝x ＋b 的图象与函数g(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象相切.求b 与c 的关系式(用c 表示b)；
解析：(1)依题意，令f '(x)＝g '(x)，得2x ＋b ＝1，故x ＝1－b 2，
由于f(1－b 2)＝g(1－b 2)，得(b ＋1)2＝4c ，∵b ＞－1，c ＞0，∴b ＝－1＋2c.
例4曲线y ＝x 3在点（a ，a 3）(a≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三
角形的面积为16，则a ＝__________________.
解析：y′＝3x 2，切线斜率为3a 2，方程为y －a 3＝3a 2（x －a ），
当y ＝0时，x ＝23a ，当x ＝a 时，y ＝a 3，则12·|a 3|·|a －23a|＝16，解得a ＝±1.
点拨：上面两题通过求导，利用导数在某点几何意义求切线斜率的值或相对应的切线方程，建立等式或不等式，进而解决参数问题.
四﹑其它综合问题
例5已知函数f(x)＝x 3＋x 2，数列{x n }(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x ＝f(x)在（x n+1,f (x n+1)）处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）
两点的直线平行（如图）求证：当n ∈N*时，(Ⅰ)x 2n ＋x n ＝3x 2 n+1＋2x n ＋1；（Ⅱ）(12)
n －1≤x n ≤(12)n -2.。