高三数学-2018年北京市西城区第一次模拟试题数学(理科)试卷及答案 精品
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案西城区高三统一测试数学（文科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则AB =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R （C ）2{|3}3x x ∈-<<R （D ）{|3}x x ∈>R2．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a = （A ）7（B ）7-（C ）1（D ）1-7．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）2- （B ）12- （C）（D8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．满足到直线1AA 和CD的距离相等的点P（A ）不存在（B ）恰有1个（C ）恰有2个（D ）有无数个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数1()ln f x x =的定义域是____．10．已知x ，y 满足条件1,1,10, x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2z x y =+的最小值为____．11．已知抛物线28yx=-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____； 双曲线的渐近线方程是____．12．在△ABC 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a =____．13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为____．14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设等差数列{}na 的公差不为0，21a，且2a ，3a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}na 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}na 的前n 项和为nS ，求使35nS成立的n的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2cos cos()3f x x x m =⋅-+的部分图象如图所示． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求0x 的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率； （Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论） 18．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//EF 平面1A BD ； （Ⅱ）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B 横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e (ln )xf x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e xy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．C 4．A5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)+∞ 10．5-110x ±= 12．313．3,32（答案不唯一） 14．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na 的公差为d ，0d ≠．因为2a ，3a ，6a 成等比数列， 所以2326a a a =⋅． [ 2分]即2(1)14d d+=+，[ 4分]解得2d =，或d =（舍去）．[ 6分]所以{}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-． [ 8分]（Ⅱ）因为23n a n =-，所以 2121()()222n n n n a a n a a S n n -++===-．[10分]依题意有 2235n n ->，解得 7n >．[12分]使35nS 成立的n的最小值为8． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f =-，[ 2分]所以 2ππ2cos cos 133m ⋅+=-， 解得12m =-．[ 4分]（Ⅱ）因为π1()2cos cos()32f x x x =⋅--112cos (cos )22x x x =⋅-[ 6分]21cos cos 2x x x =+-12cos22x x =+[ 9分]πsin(2)6x =+．[10分]所以 ()f x 的最小正周期2ππ2T ==． [11分]所以02ππ7π326x =+=．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=． 所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =． 3分]（Ⅱ）记应聘E 岗位的男性为1M ，2M ，3M ，被录用者为1M ，2M ；应聘E 岗位的女性为1F ，2F ，3F ，被录用者为1F ，2F ．[ 4分]从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ．[ 7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F ． [ 8分]记“从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K ，则4()9P K =．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分] 18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． [ 1分]因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点， 所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形， [ 3分]所以//EF HD． [ 4分]因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ， 所以 //EF 平面1A BD． [ 5分]（Ⅱ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =．所以11A D A E=，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE⊥．[ 6分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 7分]所以1CO A O⊥． [ 8分]在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==所以 CO BO ⊥， 所以 CO ⊥平面1A OB， [ 9分] 所以平面1A OB ⊥平面1A OC．[10分]（Ⅲ）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG． [11分]否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在 Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得 G 为OC 的中点． [12分]在 △EOC 中，因为OC GE⊥，所以 EO EC =，这显然与1EO =，EC 矛盾！ 所以 线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． [14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222ab c =+．[ 3分]解得2a =，b 所以椭圆C的方程为22142x y +=．[ 5分]（Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． [ 6分]依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n +=，[ 7分]且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=， 即2(2)()0m t m n --+=．[ 9分]将 2242m n -=代入上式， 得2(2)()24m m t m ---+=．[10分]因为 22m -<<，所以 202mt m +-+=，即 22m t =+． [12分]所以 2222t -<+<， 解得 20t -<<，所以 点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分] 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )x x x f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++． [ 2分]依题意，有 (1)e (1)ef a '=⋅+=，[ 3分]解得a =．[ 4分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )x g x a x x=⋅++，所以2211121()e (ln )e ()e (ln )x x xg x a x a x x x xx x'=⋅+++⋅-=⋅+-+． [ 6分] 因为e 0x >，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号． 设221()ln h x a xx x=+-+，[ 7分]则223322(1)1()x x x h x x x -+-+'==．所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． [ 8分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<， 故存在01(,1)2x ∈，使得0()0h x =． [10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)上的情况如下： 所以 ()g x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增． 所以 若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点． [11分]令 0()0h x =，得 02012ln x a x x -+=，所以第 18 页 共 4 页 000002012()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．[13分]。
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)(解析版)
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，那么A. 2，B. 0，C.D.【答案】B【解析】解：集合，，0，．故选：B．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在等比数列中，若，，则A. 10B. 16C. 24D. 32【答案】D【解析】解：等比数列中，若，，则，故选：D．根据等比数列的性质即可求出．本题考查了等比数列的性质，考查了运算和求解能力，属于基础题3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体如图所示，底面ABCD，，底面是一个直角梯形，其中，，，．可知其最长棱长为．故选：C．由三视图可知：该几何体如图所示，底面ABCD，，底面是一个直角梯形，其中，，，即可得出．本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，属于基础题．4.在极坐标系中，点到直线的距离等于A. 1B. 2C. 3D.【答案】A【解析】解：在极坐标系中，点，，，点P的直角坐标方程为，直线，直线的直角坐标方程为，点到直线的距离．故选：A．求出点P的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，由此能求出点到直线的距离．本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.在平面直角坐标系xOy中，点，点B在圆上，则的最大值为A. 3B.C.D. 4【答案】C【解析】解：，故选：C．根据向量减法的三角形法则转化为求，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．6.设M，，，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当，则为减函数，又，所以，可得，即“”是“”的充分条件，由“”不能推出“”，故由“”不能推出“”，即“”是“”的不必要条件，即即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．由，则为减函数，可得“”的充要条件为：，再判断即可．本题考查了对数函数的增减性及充分必要条件，属简单题．7.已知函数，，则A. 曲线不是轴对称图形B. 曲线是中心对称图形C. 函数是周期函数D. 函数最大值为【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数，为轴对称图形，且其中一条对称轴为，，为轴对称图形，且其对称轴为，故是轴对称图形，且其对称轴为，A错误；对于B，，不是中心对称图形，则曲线不是中心对称图形，B错误；对于C，不是周期函数，不是周期函数，C错误；对于D，，当时，取得最小值，而，当时，取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选：D．根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的对称性、周期性和最值，关键掌握函数的性质，属于基础题．8.一个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则A. 至多能剪成19块“L”形骨牌B. 至多能剪成20块“L”形骨牌C. 一定能剪成21块“L”形骨牌D. 前三个答案都不对【答案】C【解析】解：由下图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定，共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，故要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成21块“L”形骨牌．故选：C．由右图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘由个方格组成，其中有一个小方格因破损而被剪去破损位置不确定，共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，由此能这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成“L”形骨牌的块数．本题考查满足条件的“L”形骨牌个数的求法，考查简单的计数问题等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数z满足方程，则______．【答案】【解析】解：由，得，则．故答案为：．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.已知角的终边经过点，则______；______．【答案】【解析】解：角的终边经过点，则；，故答案为：；．利用意角的三角函数的定义，诱导公式，求得所求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．11.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出数据的总个数为______．【答案】6【解析】解：模拟程序的运行，可得满足条件，执行循环体，，输出n的值为3，满足条件，执行循环体，，输出n的值为7，满足条件，执行循环体，，输出n的值为15，满足条件，执行循环体，，输出n的值为31，满足条件，执行循环体，，输出n的值为63，满足条件，执行循环体，，输出n的值为127，此时，不满足条件，退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故答案为：6．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12.设x，y满足约束条件则的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据x，y满足约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分．作出直线l：，将直线l向上平移至过点时，取得最小值：．则的取值范围是．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．13.能说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”为假命题的一个函数是______．【答案】【解析】解：可举函数，可得，，即有，但在内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”为假命题．故答案为：．可考虑函数，计算，但在内存在零点1．本题考查命题的真假判断，考查函数的零点问题，考查判断能力和推理能力，属于基础题．14.设双曲线：的左焦点为F，右顶点为若在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解：双曲线：的左焦点为，右顶点为设，可得：，推出，，，，可得，，如图：当：时，在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，故答案为：．设出P的坐标，求出双曲线：的左焦点为F，右顶点为利用推出的表达式，通过二次函数的性质，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在中，，，．Ⅰ求的值；Ⅱ试比较与的大小．【答案】本题满分为13分解：Ⅰ，，．由正弦定理可得：，分；分Ⅱ，，可得：，分，，分，分，，分，又函数在上单调递减，且B，，分【解析】Ⅰ由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得的值．Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，进而可求的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求的值，由于，根据余弦函数的图象和性质可求．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，M，N分别是，AC的中点，平面BCM．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ求证：平面BCM；Ⅲ若是边长为2的菱形，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ平面BCM，平面BCM，，正方形，，，平面，平面，平面平面．Ⅱ设BC中点为Q，连结NQ，MQ，，N分别是，AC的中点，，且，又，，，，四边形为平行四边形，，平面BCM，平面BCM，平面BCM．解：Ⅲ由Ⅰ知BA，BM，BC两两互相垂直，以B为原点，BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，是边长为2的菱形，M为的中点，且，，0，，0，，，0，，，，，0，，，0，，，设平面的法向量y，，则，令，则，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．Ⅱ设BC中点为Q，连结NQ，MQ，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面BCM．Ⅲ以B为原点，BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下面表，其中．Ⅰ现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；Ⅱ为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；Ⅲ根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．【答案】解：Ⅰ由，解得，所以甲企业的样本中次品的频率为，即从甲企业生产的产品中任取一件，该件产品为次品的概率是；Ⅱ由图表知，乙企业在100件样本中合格品有96件，则一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，由题意知，随机变量X的可能取值为：120，150，180，210，240；且，，，，，随机变量X的分布列为：所以X的数学期望为；Ⅲ答案不唯一，只要言之有理便可得分，参考如下；以产品的合格率非次品的占有率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，由图表可知，甲企业产品的合格率约为，乙企业产品的合格率约为，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以认为乙企业的食品生产质量更高．以产品次品率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较也可得出结论．以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为，乙企业产品中一等品的概率约为，即一企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高．根据第Ⅱ问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，从而比较甲、乙两个企业产品的优劣．【解析】Ⅰ由频率和为1列方程求出a的值，再计算甲企业的样本中次品的频率；Ⅱ由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；Ⅲ答案不唯一，只要言之有理便可得分，可以参考产品的合格率为标准，以产品次品率为标准，以产品中一等品的概率为标准，根据第Ⅱ问的定价为标准等．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望应用问题，是中档题．18.已知函数，其中．Ⅰ如果曲线与x轴相切，求a的值；Ⅱ若，证明：；Ⅲ如果函数在区间上不是单调函数，求a的取值范围．【答案】解：求导得曲线与x轴相切，此切线的斜率为0．由，解得，又由曲线与x轴相切，得解得．证明由题意，，令函数求导，得由，得，当x变化时，与的变化情况如下表所示：函数在上单调递增，在单调递减，故当时，，任给，，即，Ⅲ由题意可得，，，当时，在上恒成立，函数单调递增，当时，在上恒成立，函数单调递减，在上恒成立，或在上恒成立，在上恒成立，或在上恒成立，令，，由，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，，，或，或，函数在区间上不是单调函数，，故a的取值范围为．【解析】Ⅰ先求导，再根据导数的几何意义即可求出，Ⅱ构造函数，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明Ⅲ先求出函数在上是单调函数a的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．19.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．Ⅰ若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；Ⅱ设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且，求证：为定值．【答案】解：Ⅰ由题意可得，，，，椭圆的方程为，设，由点P在椭圆C的内部，得，又，直线AM的斜率，又M为椭圆C上异于A，B的一点，，，证明Ⅱ由题意，，其中，则，直线AM的方程为，令，得点P的坐标为，，直线AQ的方程为，令，得点Q的坐标为，由，，，，即，故为定值【解析】Ⅰ根据题意可得得，由，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，Ⅱ题意，，可得直线AM的方程，求出点P的坐标，再根据直线平行，求出直线AQ的方程，求出Q的坐标，根据向量的数量积即可求出，即可证明．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20.设正整数数列A：，，，满足，其中如果存在3，，，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k 阶平衡数列”．Ⅰ判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？Ⅱ若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，，N不是“k阶平衡数列”，其中3，，．Ⅲ如果，且对于任意3，，，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值．【答案】解：Ⅰ由不为整数，可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；Ⅱ证明：若N为偶数，设，考虑1，2，3，，k这k项，其和为．所以这k项的算术平均值为：，此数不是整数；若k为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，；这k项，其和为，所以这k项的算术平均数为：，此数不是整数；故数列A，1，2，3，4，，N不是“k阶平衡数列”，其中3，4，；Ⅲ在数列A中任意两项，，，对于任意3，4，5，，，在A中任意取两项，，相异的项，并设这项和为由题意可得，都是k的倍数，即，，q为整数，可得，即数列中任意两项之差都是k的倍数，3，，，因此所求数列A的任意两项之差都是2，3，，的倍数，如果数列A的项数超过8，那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，即，，，均为420的倍数，为2，3，4，5，6，7的最小公倍数，，即，这与矛盾，故数列A的项数至多7项．数列A的项数为7，那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，即，，，均为60的倍数，为2，3，4，5，6的最小公倍数，又，且，所以，，，，所以当且仅当，取得最大值12873；验证可得此数列为“k阶平衡数列”，3，，，如果数列的项数小于或等于6，由，可得数列中所有项的之和小于或等于，综上可得数列A中所有元素之和的最大值为12873．【解析】Ⅰ由不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；Ⅱ讨论k为偶数或奇数，结合新定义即可得证；Ⅲ在数列A中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是k的倍数，3，，，讨论数列A的项数超过8，推得数列A的项数至多7项讨论数列A的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．。
北京市西城区2018年高三一模数学文参考答案
北京市西城区2018年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（文科） 2018.49. 1 10. 45-2 12. 8π 13.31 14. 5，910 注：11题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ……………………2分 由正弦定理B b A a sin sin =，可得10sin 303a =. ……………………4分 所以35=a . ……………………6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积1sin 2S ac B =，53sin =B ，所以3310ac =，10=ac . ……………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=， ……………………9分 得165842222-+=-+=c a ac c a ，即2022=+c a . ……………………10分 所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=， ……………………12分 所以，102=+c a . …………13分 16.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=，所以DE ⊥平面ABCD ，………2分 所以AC DE ⊥.………3分 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE . …………………4分 (Ⅱ)证明：设ACBD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,，所以，OG //=12DE . ……5分因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ，……6分 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. ……………………7分因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , ……………………8分 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . ……………………9分（Ⅲ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面ADEF . ………11分ACGFEDO因为DE AF //,90ADE ∠=,22===AF DA DE ，所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=， ……………………12分 所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143. ……………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得211123a a q a q +=， ……………………2分因为{}n a 是等比数列，所以23210q q --=. ……………………3分 解得1q =或13q =-. ……………………5分 （Ⅱ）①当1q =时，1n b n =+，232n n nT +=， ……………………7分所以，当2n ≥时，2202n n n n T b +--=>. 即当1q =时，(2)n n T b n >≥. ……………………8分 ②当13q =-时，72(1)()33n nb n 1-=+--=， ……………………9分 2132(1)()236n n n n T n n 1-=+--=， ……………………10分(1)(14)6n n n n T b ---=-， ……………………12分所以，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >.…13分综上，当1q =时，(2)n n T b n >≥.当13q =-时，若14n >，n n T b <；若14n =，n n T b =；若214n ≤<，n n T b >.18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，0x >， ……………………2分由()0f x '=得1e x =， ……………………3分 所以，()f x 在区间1(0,)e 上单调递减，在区间1(,)e+∞上单调递增. ………………4分所以，1ex =是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在. …………………5分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则000ln y x x =， …………………6分切线的斜率为0ln 1x +， 所以，0001ln 1y x x ++=， …………………7分 解得01x =，00y =， …………………8分所以直线l 的方程为10x y --=. …………………9分 （Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………10分 解()0g x '=，得1ea x -=，所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. …………………11分 当1e1a -≤，即1a ≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最小值为(1)0g =. …………………12分当11<e <e a -，即12a <<时，()g x 的最小值为11(e )e a a g a --=-. ……………13分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最小值为(e)e e g a a =+-. ………………14分综上，当1a ≤时，()g x 最小值为0；当12a <<时，()g x 的最小值1e a a --；当2a ≥时，()g x 的最小值为e e a a +-.19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，4x =不合题意.设直线l 的方程为(4)y k x =-，由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)， …………………1分 因为点F 到直线l= …………………3分解得k =，所以直线l的斜率为…………………5分 （Ⅱ）设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y ，),(),,(2211y x B y x A ，因为AB 不垂直于x 轴， 则直线MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -， …………………7分 直线AB 的方程为00004()x y y x x y --=-， …………………8分 联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=， …………………10分 所以012044y y y x +=-， …………………11分因为N 为AB 中点，所以1202y y y +=，即00024y y x =-， …………………13分 所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2. …………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）3=n 时，排列321,,a a a 的所有可能为1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1.………………2分2)3,2,1(=τ；3)2,3,1(=τ；3)3,1,2(=τ；3)1,3,2(=τ；3)2,1,3(=τ；2)1,2,3(=τ. ………………4分（Ⅱ）1210(,,,)a a a τ=1223910||||||a a a a a a -+-++-上式转化为1223910a a a a a a ±±±±±±±，在上述18个±中，有9个选正号，9个选负号，其中110,a a 出现一次，239,,,a a a 各出现两次.………………6分 所以1210(,,,)a a a τ可以表示为9个数的和减去9个数的和的形式， 若使1210(,,,)a a a τ最大，应使第一个和最大，第二个和最小. 所以1210(,,,)a a a τ最大为：(10109988776)(112233445)49++++++++-++++++++=. ……………8分所对应的一个排列为：5,7,1,8,2,9,3,10,4,6.（其他正确的排列同等给分） ………9分 （Ⅲ）不可以.例如排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6，除调整1,2外，其它调整都将使波动强度增加，调整1,2波动强度不变. ……………11分所以只能将排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6调整为排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6.对于排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6，仍然是除调整2,1外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整1,2两个数字.如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为9. ……………13分。
北京市西城区2013—2014学年度高三年级第一学期期末数学理科
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （ ） （A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ， 则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = ____． 10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++= ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．1侧(左)视图14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组 乙组 891 a822 F CEHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ， O 为坐标原点. （Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=， 即 cos 22α=， ……… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 222x x =πsin(2)3x =+， ……………10分 由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分 解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a = ，共有10种可能. ……………… 5分 由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a = 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分 （Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. …………… 3分 因为 ED BD D = ，所以 AC ⊥平面BDEF . …………… 4分 （Ⅱ）解：设AC BD O = ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ，由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……… 5分 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，3BF =， 所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量AC =. …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，由33(,)222DH = ， 得sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⋅=<>=== ，所以直线DH 与平面BDEF. ………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()222BH =- ，(2,0,0)DB = .设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则00(01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⨯n n n . ………………13分 由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60 . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分 因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程e x a x -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分 同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. ……………… 8分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. ……………… 9分 同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-，所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分 因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以5OD ≥，当且仅当点42(,)55D --时等号成立． ………………13分 由3125y k k =-=-，得k =.所以当k =OD………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. ……………… 1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. ……………… 2分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，第 11 页 共 11 页 所以 2012213q <<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î， 所以 11n n a a q N -*= ，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分 （必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分 所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分 假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r+整除. 又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1. 所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
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2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
北京市西城区2012-2013高三上学期期末试题(理科)
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ） （A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ） （A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值． 17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 81240 32 8元件B7 18 40296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值． 20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S nn ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；12 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）21cos2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =． ………………3分 因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan B = ………………5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得 2cos21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=， 即 1sin(2)62B π+=． ………………3分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=． ………………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =， ………………7分所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=，………………9分 所以 5sin sinsin()1246C πππ==+=，………………11分 所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C +=⋅=． ………………13分 解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =，………………7分 所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分 根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，………………9分 化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =………………11分 所以 △ABC 的面积13sin 22S AB BC B =⋅=． ………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分 设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ．………………12分所以 |||cos ,|||||⋅==〈〉n v n v n v ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以 )1,0,3(-=，)0,4,4(-=．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(．………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分 （Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:X 90 45 30 15-P35 320 15 120………………8分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=．………………9分 （ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =． ………………11分 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=．………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x ，2x =()f x 和()f x '的情况如下：)故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立， 故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分 则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤． 所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-． ………………5分 （Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则 221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………………13分 由（Ⅰ）得 122k k =，为定值． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．1- 1- 1- 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ， ，9()r A ，1()c A ，2()c A ， ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ． 一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅ 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅ ； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅ ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．11 下面考虑1()r A ，2()r A ， ，()n r A ，1()c A ，2()c A ， ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n = ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l An =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ．即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤ ，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====- ，12()()()1k c A c A c A ====- ．所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -= ． (13)。
2018-2019北京市西城区一模数学理科试题及答案
北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =ð（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4 （B ）5（C ）7 （D ）94．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（A）7-（B）-（C ）7，-（D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为（A ）20 （B ）30 （C ）35 （D ）408. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为 （A（B ）3（C ）（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.侧(左)视图 正(主)视图俯视图2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知222a c b mac +-=，其中m ∈R . （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由； （Ⅱ）若1m =-，b =4c =，求sin A ．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，AB（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得 平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求 出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a =，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）DABCE F18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W : 2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t（s t ¹），都有0st p =，则称数表A 为完美数表.（Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，证明：kl n ≤.北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n --10．311． π；a 12．4313．答案不唯一，如110α=，20β= 14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， (3)分得2223cos 22a cb B ac +-==． ……………… 4分这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于 3 . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分在△ABC中，由正弦定理sin sina bA B=， (11)分得sinsin14a BAb===. (13)分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，知//AB CD，又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以//AB平面CDE. ………………2分同理//AF平面CDE，又因为AB AF A=，所以平面//ABF平面CDE. ………………3分又因为BF⊂平面ABF，所以//BF平面CDE. ………………4分（Ⅱ）连接BD,因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCD AD=，D E AD⊥，所以DE⊥平面ABCD. 则D E D B⊥.又因为D E AD⊥，AD BE⊥，DE BE E=，所以AD⊥平面BDE，则AD BD⊥.故,,DA DB DE两两垂直，所以以,,DA DB DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，………………6分则(0,0,0)D，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C-，(0,0,2)E，(1,0,1)F，所以(0,1,2)BE=-,(1,0,1)EF=-，(0,1,0)=n为平面DEF的一个法向量.设平面BEF的一个法向量为(,,)x y z=m，由0BE⋅=m，0EF⋅=m，得20,0,y zx z-+=⎧⎨-=⎩令1z=，得(1,2,1)=m. ………………8分所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n .如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --………………10分 （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-，所以0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩ (12)分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， (13)分解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. …… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. (2)分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. ……………… 4分（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. (5)分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. …… 8分所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. ………………10分 （Ⅲ）222102s s s <<. ……………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分 此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分X对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e em -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()e x x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==， 解得1m =. ……………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分 当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B . 所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. …… 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得C ，(1,D ，易得CB 的方程为2)y x =-.则(4,M ,(6,AM =,(3,AD =, 所以2AM AD =，即,,A D M 三点共线. ……………… 7分当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 联立方程22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. ……… 9分由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. …………… 10分 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ……………… 11分又因为(2,0)A -，22(,)D x y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， …………… 12分 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+ 121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++ 0=， 所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ……………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如：……………… 3分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……………… 5分 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示），则10x y z w +++= ○1由120p =，得x y z w +=+； ○2 由130p =，得x z y w +=+； ○3 由230p =，得x w y z +=+. ○4 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. ……………… 8分 （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和12222la a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =， 所以12k X X X l ====. (9)分又因为对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=. (11)分又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤. ……………… 13分。
2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学(理)附答案
2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学（理）附答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知圆的方程为．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（）A．B．C．D．4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知是正方形的中心．若，其中，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．设函数．则“有两个不同的零点”是“，使”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数，则的图象上关于原点对称的点共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务，，，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：）依次为，，，其中．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（ ） A ．B ．C ．D ．U V W s U V W →→V W U →→W U V →→U W V→→第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数的实部与虚部相等，则实数____．10．设等差数列的前项和为，若，，则____；____．11．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则____；双曲线的渐近线方程是____________．12．设，若函数的最小正周期为，则____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△中，已知．（1）求的大小；（2）若，，求△的面积．16．（13分）某企业2017年招聘员工，其中、、、、五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（1 （2）从应聘岗位的6人中随机选择2人．记为这2人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；（3）表中、、、、各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）A B C D E E A B C D E17．（14分）如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．（1）求证：；（2）求直线和平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（13分）已知函数，其中．（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）当时，证明：存在极小值．19．（14分）已知圆和椭圆，是椭圆的左焦点．（1）求椭圆的离心率和点的坐标；（2）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合），是过点的圆的切线．圆的圆心为点，半径长为．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．20．（13分）数列：满足：．记的前项和为，并规定．定义集合．（1）对数列：，，，，，求集合；（2）若集合，证明：；（3）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学（理）答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1-5．DCBDB 6-8．CCA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．10．6，11．，12．213．30 14．注：第10，11题第一空3分，第二空2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．15．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）因为，所以．在△中，由正弦定理得，所以．因为，所以．（2）在△中，由余弦定理得，所以，整理得，解得，或，均适合题意．当时，△的面积为．当时，△的面积为．16．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）、、、． 【解析】（1）因为表中所有应聘人员总数为，被该企业录用的人数为，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（2）X 可能的取值为0，1，2．因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：．（3）这四种岗位是：、、、．17．【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，．【解析】（1）因为在△中，，分别为，的中点，()43E X =B C DE B C D E所以，．所以，又为的中点，所以．因为平面平面，且平面，所以平面，所以．（2）取的中点，连接，所以．由（1）得，．如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．设直线和平面所成的角为，则．所以直线和平面所成角的正弦值为．（3）线段上存在点适合题意．设，其中．设，则有，所以，从而，所以，又，所以．令，整理得．解得，舍去．所以线段上存在点适合题意，且．18．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）的导函数为．依题意，有，解得．（2）由及知，与同号．令，则．所以对任意，有，故在单调递增．因为，所以，，故存在，使得．与在区间上的情况如下：↘极小值↗所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以存在极小值．19．【答案】（1），；（2）相切，证明见解析． 【解析】（1）由题意，椭圆的标准方程为．所以，，从而．因此，．故椭圆的离心率，椭圆的左焦点的坐标为．（2）直线与圆相切．证明如下：设，其中，则，依题意可设，则．直线的方程为，整理为．所以圆的圆心到直线的距离．因为．所以，e =()F即，所以直线与圆相切．20．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】（1）因为，，，，，，所以．（2）由集合的定义知，且是使得成立的最小的k，所以．又因为，所以，所以．（3）因为，所以非空．设集合，不妨设，则由（2）可知，同理，且．所以．因为，所以的元素个数．取常数数列：，并令，则，适合题意，且，其元素个数恰为．综上，的元素个数的最小值为．。
西城区高考一模数学(理)试题及答案
北京市西城区 2018年高三一模试卷数 学（理科）2018.4一、选择题：本大题共 8小题，每题5分，共 40分.在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项.1.已知会合A{x Zx5}，B{xx2 0}，则AB 等于（A ）(2,5)（B ）[2,5)（C ）{2,3,4}（D ）{3,4,5}2．以下给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A ） y 2 x 23Byx x Cy2xDyx（） （） （）3.设alog 23，b log 43 ，c 0.5，则（A ）cba（B ）bca（C ）ba c（D ）cab4．设向量a(1,sin )，b (3sin,1)，且a//b ，则cos2等于（A ）3（B ）3（C ）（D ）331，35.阅读右边程序框图，为使输出的数据为开始则①处应填的数字为（A ）4 S 1,i1（B ）5否i①（ C ）6是（D ）7S S i 输出S2ii1结束6.已知函数①ysinxcosx ，②y22sinxcosx ，则以下结论正确的选项是（A ）两个函数的图象均对于点 ( ,0)成中心对称4（B ）两个函数的图象均对于直线x 成中心对称（ 4 （ （C ）两个函数在区间(,)上都是单一递加函数（ 4（ D ）两个函数的最小正周期同样7 ．已知曲线C:y1(x0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2 ,0)，此中x 2x 10.过A 1，A 2分x别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么（A ）x 1,x3,x 2成等差数列 （B ）x 1 ,x3,x 2成等比数列22（C ）x 1,x 3,x 2成等差数列 （D ）x 1,x 3,x 2成等比数列8．如图，四周体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直，OAOB2,OC3，D为四周体OABC外一点.给出以下命题.①不存在点D,使四周体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D,使四周体ABCD是正三棱锥C③存在点D,使CD与AB垂直而且相等D④存在无数个点D,使点O在四周体ABCD的外接球面上OB 此中真命题的序号是A（A）①②（B）②③（C）③（D）③④二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9.在复平面内，复数2i对应的点到原点的距离为_____.1i C B P10.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA22，O?PC4，圆心O到BC的距离为3，则圆O的半径为_____.Ax cos,1)，则m______，离心11.已知椭圆C:(R)经过点(m,率y2sin2e______.12.一个棱锥的三视图如下图，则这个棱锥的体积为_____.13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品单独占用1个且3件展品所采用的展台既不在两头又不相邻，则不一样的展出方法有3343展台，并正(主)视图侧(左)视图______3种；假如进一步要求3件展品所采用的展台之间间隔不超出两个展位，则展出方法有____种.不一样的4俯视图已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n1,2,3,，有3a n5,a n 为奇数，an1a n,当a111时，a100______；a n为偶数.此中k为使a n1为奇数的正整数2k若存在m N*，当nm且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（本小题满分13分）设ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB4,b2.55（Ⅰ）当a ABC面积的最大值.时，求角A的度数；（Ⅱ）求316．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1,1,p.且他们能否破译出231密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.4（Ⅰ）求甲乙二人中起码有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的散布列和数学希望EX.（本小题满分13分）如图,ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AF//DE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为600.E(Ⅰ)求证：AC平面BDE；(Ⅱ)求二面角F BE D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确立点M的地点，使得AM//平面BEF，并证明你的结论.FD CA B（本小题满分14分）已知函数f(x)a(x1)0.x2，此中a（Ⅰ）求函数f(x)的单一区间；（Ⅱ）若直线x y10是曲线y f(x)的切线，务实数a的值；（Ⅲ）设g(x)xlnx x2f(x)，求g(x)在区间[1,e]上的最大值.（此中e为自然对数的底数）（本小题满分14分）已知抛物线y22px(p 0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A,B 两点，此中点A在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；（Ⅱ）若FA1AP,BF2FA,12[1,1]，求2的取值范围. 42（本小题满分13分）定义(a1,a2,,a n)|a1a2||a2a3||a n1a n|为有限项数列{a n}的颠簸强度.（Ⅰ）当a n(1)n时，求(a1,a2,,a100)；（Ⅱ）若数列a,b,c,d知足(ab)(b c)0，求证：(a,b,c,d)(a,c,b,d)；（Ⅲ）设{a n}各项均不相等，且互换数列{a n}中任何相邻两项的地点，都会使数列的颠簸强度增添，求证：数列{a n}必定是递加数列或递减数列.北京市西城区2018年高三一模卷参照答案及分准数学（理科）2018.4一、：本大共8小，每小5分，共 40分.号 1 23 4 56 7 8答案CB ADBCAD二、填空：本大共6小，每小5分，共 30分.9.210.211.15， 34212.1213.60，4814.62；1或 5注：11，13，14第一2分，第二3分.三、解答：本大共 6小，共80分.若考生的解法与本解答不一样，正确者可参照分准分.15.（本小分13分）解：（Ⅰ）因cosB43 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分，因此sinB55因a5ab可得sinA1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分，b2，由正弦定理sinA23sinB因a b ，因此A 是角，因此A 30o .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）因ABC 的面S1acsinB3ac ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分210因此当ac 最大， ABC 的面最大.8因b 2a 2 c 22accosB ，因此4a 2c 2 ac .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分85因a 2c 2 2ac ，因此2acac4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分5因此ac 10 ，（当ac 10等号成立）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因此ABC 面的最大3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分（本小分13分）解：“甲、乙、丙三人各自破出密”分事件A 1,A 2,A 3，依意有P(A 1)1,P(A 2)1,P(A 3) p,且A 1,A 2,A 3互相独立.23（Ⅰ）甲、乙二人中起码有一人破出密的概率1P(A 1A 2)11 2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分23 3B ，有（Ⅱ）“三人中只有甲破出密”事件P(B) P(A 1A 2A 3)＝ 1 2 (1p)1p ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2 33yA Bx因此1p 1 ，p 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分3 4 4（Ⅲ）X 的全部可能取0,1,2,3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因此P(X0)1，4P(X1)P (A 1A 2A 3)P (A 1A 2A 3)P (A 1A 2A 3)1 1 1 3 12 1114 234 23 4，24P(X2)P (A 1A 2A 3)P (A 1A 2A 3)P (A 1A 2A 3)1 1 3 1 21 1 11 12 3 42 34 2 3 4 ，4P(X3) =P (A 1 A 2 A 3)＝ 1 1 1 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分2 3 4 .X 散布列：24X123P111 1 1424424⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 因此，E(X)0 11 112 13 1 13 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分424 4 24 1217.（本小分13分）z (Ⅰ)明：因DE 平面ABCD ，E因此DEAC .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因ABCD 是正方形，因此AC BD ，进而AC平面BDE .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分D(Ⅱ)解：因DA,DC,DE 两两垂直，FCy因此成立空直角坐系D xyz 如所示.AMBx因BE 与平面ABCD 所成角600，即DBE 60⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分，因此ED3.DB由AD3可知DE 36，AF 6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分A(3,0,0)，F(3,0,6)，E(0,0,3 6)，B(3,3,0) ，C(0,3,0) ，因此BF(0,3,6) ，EF(3,0, 26)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分平面BEF 的法向量n(x,y,z) nBF0 3y 6z 0，，即，nEF 03x26z 0令z6，n (4,2, 6).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因AC平面BDE ，因此CA 平面BDE 的法向量，CA(3,3,0)，因此cosn,CAnCA 3 62613. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分nCA213因二面角角，因此二面角F BED 的余弦13. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分13(Ⅲ)解：点M 是段BD 上一个点，M(t,t,0).AM (t3,t,0)，因AM//平面BEF ，因此AM n 0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分即4(t3)2t0，解得t2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分此，点M 坐(2,2,0)，BM1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分BD ，切合意.3（本小分14分）解：（Ⅰ）f(x)a(2 x)x 0），⋯⋯⋯⋯⋯3分x 3 ，（在区( ,0)和(2, )上，f (x)0；在区(0,2)上，f(x)0.因此，f(x)的减区是( ,0)和(2,)，增区是(0,2).⋯⋯⋯4分y 0a(x 0 1)x 0 2（Ⅱ）切点坐(x 0,y 0)，x 0 y 01 0⋯⋯⋯⋯⋯7分（1个方程1分）a(2 x 0)1x 0 3解得x 0 1，a1.⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ）g(x)xlnx a(x 1)，g(x)lnx1 a ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分解g(x)0，得xe a1，因此，在区(0,e a1)上，g(x)减函数，在区(e a1,)上，g(x)增函数.⋯⋯⋯⋯⋯10分当e a11，即0a 1，在区 [1,e]上，g(x)增函数，因此g(x)最大g(e)e aae .⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分当e a1e ，即a2，在区[1,e]上，g(x)减函数，因此g(x)最大g(1)0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分当1<e a1<e ，即1a2，g(x)的最大g(e)和g(1)中大者；g(e)g(1)a eae0，解得ae ，e 1因此，1a e，g(x)最大e 1e2，g(x)最大e a1g(e) eaae ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分g(1) 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分上所述，当0ae，g(x)最大g(e)eaae ，当ae，g(x)的最大g(1)0.e 1e1（本小分14分）解：（Ⅰ）由已知F(p,0),A(x 1,y 1)，y 122px 1，2心坐(2x 1p ,y 1)，心到y 的距离2x 1 p ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分4 24的半径FA 1 x 1(p2x 1 p⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分22 )4 ，2因此，以段FA 直径的与y 相切.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）解法一：P(0,y 0),B(x 2,y 2)，由FA 1AP ,BF2FA ,得(x 1p,y 1)1(x 1,y 0y 1)，(px 2, y 2)2(x1p,y 1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分222因此x 1p 1x 1,y11(yy 1)，2ppx 2(x 1 ), y 22y 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分222由y 2 2y 1，得y 2222y 12.又y 122px 1，y 222px 2，因此 x 2 22x 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分代入px 22(x 1p)，得p22x 12(x 1p )，p(12)x 12(12)，22222整理得x 1p，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22代入x 1p1x 1，得pp 1p，222222因此111， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分22因1 [1,1]，因此2的取范是[4,2].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分24 23解法二：A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB:xpmy，2将x myp代入y 22px ，得y 22pmy p 20，2因此y 1y 2p 2 （*），⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分精选文档11由FA 1AP ，BF2FA ，得(x 1p ,y 1)1(x 1,y 0y 1)，(px 2, y 2)2(x 1p,y 1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分222因此，x 1p 1x 1,y11(yy 1)，2p x 22(x1p),y 22y 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分22将y 22p 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2y 1代入（*）式，得y 1，2p 2p⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因此2px 1，x 12 .22代入xp 1 x ，得 111.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分12122因1 [1,1]，因此2的取范是[ 4 ,2].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分24 2320．（本小分 13分）（Ⅰ）解：(a 1,a 2,,a 100) |a 1 a 2| |a 2 a 3||a 99a 100|⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分22 2 2 99 198 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）明：因(a,b,c,d) |a b| |b c| |c d|，(a,c,b,d) |a c| |c b| |bd|，因此 (a,b,c,d)(a,c,b,d) |a b| |c d| |a c| |b d|.⋯⋯⋯⋯⋯4分因(a b)(b c) 0，因此a bc ，或a b c .若a b c ， (a,b,c,d)(a,c,b,d) a b |c d| ac |b d|cb|cd||bd|当bc d ，上式 c b cd (b d) 2(c b) 0 ，当b d c ，上式 c b d c (b d)2(d b) 0 ，当d b c ，上式 c b d c (d b) 0，即当ab c ，(a,b,c,d)(a,c,b,d) 0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分若abc ，(a,b,c,d) (a,c,b,d) b a |c d| c a |b d|，b c |c d| |b d| 0.（同前）因此，当(a b )(b c) 0， (a,b,c,d) (a,c,b,d)成立. ⋯⋯⋯⋯⋯7分（Ⅲ）明：由（Ⅱ）易知于四个数的数列，若第三的介于前两的之，交第二与第三的地点将使数列波度减小或不.（将此作引理）下边来明当a 1 a 2，{a n }减数列.（ⅰ）明a 2a 3.若a 1 a 3 a 2，由引理知交 a 2,a 3的地点将使波度减小或不，与已知矛盾.若 a ３a a 2 ，(a 1 ,a 2,a ３) |a 1 a 2||a 2a ３||a 1 a 2||a 1a ３| (a 2,a 1,a ３) ，与已知矛盾.１因此，a 1 a 2 a 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分（ⅱ）a 1 若a i1 a i1 若a i1ai1a 2a i (3in 2)，明a i a i1. a i ，由引理知交 a i ,a i1的地点将使波度减小或不，与已知矛盾.a i ，(a i2,a i1,a i ,a i1)(a i2,a i ,a i1,a i1)，与已知矛盾.因此，a ia i1.⋯⋯⋯⋯11分精选文档12（ⅲ）a 1 a 2a n1，明a n1a n .若a n a n1，考数列a n ,a n1,,a 2,a 1，由前方推理可得 a na n1an2a 2，与a 1a 2a n1矛盾.因此，a n1 a n .⋯⋯⋯⋯⋯12分上，得.同理可：当a 1a 2 ，有{a n }增数列.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分精选文档 激烈介绍精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有精选介绍 强力介绍 值得拥有。
北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试理科数学(含答案)
北京市西城区2014－2015学年度高三第一学期期末试数学理第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin 4B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件2．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b（D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面x O 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+ （C ）(0,4)（D ）(8,)+侧(左)视图正(主)视图俯视图11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____． 13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B C D ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1BCE ； （Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）B CDA B 1C 1E FA 1 D 1已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)Pm m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.20．（本小题满分13分）设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ，所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p =， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事 件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A =，()P B p =. 所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分 又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A BC D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1BCE ，EC ⊂平面1BCE ， 所以1A F ∥平面1BCE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10AE m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分 所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A BCD ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
2018.4北京西城一模理科数学
西城区高三统一测试数学（理科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =I（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）2（B ）3（C ）4（D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 （A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ） （B（C ）6 （D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）12- （B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有 （A ）0对 （B ）1对 （C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有 三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是 （A ）U →V →W（B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC？若存在，求出11A F A C的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=L ．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-L ．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ；（Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>L ，12)m k k k <<<L ，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-L ；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7- 10．6，2n n+110x =12．2 13．30 14注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以sin 2sin cos C A A =． [1分]在△ABC 中，由正弦定理得sin 2sin cos C A A =． [3分]所以 cos A =． [ 4分] 因为 0πA <<， [ 5分]所以 π6A =． [ 6分] （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，所以 222c c =+-⋅ [ 8分] 整理得 2650c c -+=， [ 9分]解得1c=，或5c=，均适合题意．[11分]当1c=时，△ABC的面积为1sin2S bc A== [12分]当5c=时，△ABC的面积为1sin2S bc A== [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P=．[ 3分]（Ⅱ）X可能的取值为0,1,2．[ 4分]因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，[ 5分]所以2226C1(0)C15P X===；112426C C8(1)C15P X===；2426C2(2)C5P X===．[ 8分]所以X的分布列为：()012151553E X=⨯+⨯+⨯=．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E． [13分] 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥． [ 1分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 3分] 所以 1A O BD ⊥． [ 4分] （Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以 OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得 1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -．所以 1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则 110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即 2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以 (1,2,1)=-n ． [ 7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． 所以 直线1A C 和平面1A BD[ 9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设 11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈． [10分] 设 111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-， 所以 1112,2,22x y z λλλ===-，从而 (2,2,22)F λλλ-，所以 (2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==． [12分]令整理得 23720λλ-+=． [13分] 解得 13λ=，舍去2λ=．所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x '=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+． [ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=， [ 4分]解得 0a =． [ 5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号．令 221()ln g x a x x x =+-+， [ 6分] 则 223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==． [ 8分] 所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增． [ 9分] 因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故 存在01(,1)2x ∈，使得 0()0g x =． [11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以 ()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 ()f x 存在极小值0()f x ． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． [ 1分]所以 24a =，22b =，从而 2222c a b =-=．因此 2a =，c =故椭圆C 的离心率 c e a ==． [ 3分]椭圆C 的左焦点F 的坐标为(． [ 4分]（Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下： [ 5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=， [ 6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=． [ 7分]直线l 的方程为 0101()x y y x x y -=--， 整理为 0140x x y y +-=． [ 9分]所以圆F 的圆心F 到直线l 的距离02|d ==+．[11分] 因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++． [13分]所以 22||PF d =， 即 ||PF d =，所以 直线l 与圆F 相切． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， [ 2分]所以 5{2,4,5}E =． [ 3分]（Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以 11i i k k S S +-≤.[ 5分]又因为 11i k a +<，所以 1111i i i k kk S S a +++-=+ [ 6分]1.i k S <+所以 11i i k k S S +-<． [ 8分]（Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =L ，不妨设12m k k k <<<L ，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-L ，同理 101k S S -<，且 m n k S S ≤．所以 12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-L101111m m <+++++=L 1442443个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥．[11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++L ，并令1n C =+， 则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意， 且 {1,2,,1}n E C =+L ，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案
西城区高三统一测试数学（文科）2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R（B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a = （A ）7（B ）7-（C ）1 （D ）1-3．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）54．若函数2,0,()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=（A）（B（C ）29-（D ）295．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是 （A）B（C）6+D）6+6．已知二次函数2()f x ax bx c =++．则“0a <”是“()0f x <恒成立”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ=（A ）2-（B ）12-（C ）（D8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．满足到直线1AA 和CD的距离相等的点P （A ）不存在 （B ）恰有1个（C ）恰有2个（D ）有无数个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数1()ln f x x=的定义域是____．10．已知x ，y 满足条件1,1,10, x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2z x y =+的最小值为____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．在△ABC 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a =____．13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为____．14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设等差数列{}n a 的公差不为0，21a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使35n S >成立的n 的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2cos cos()3f x x x m =⋅-+的部分图象如图所示．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求0x 的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率； （Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）18．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//EF 平面1A BD ； （Ⅱ）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B 横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e (ln )x f x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．C 4．A 5．D6．B 7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)+∞10．5-110x ±=12．313．3,32（答案不唯一）14．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠．因为2a ，3a ，6a 成等比数列，所以2326a a a =⋅．[ 2分]即2(1)14d d +=+，[ 4分]解得2d =，或0d =（舍去）．[ 6分]所以{}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-．[ 8分] （Ⅱ）因为23n a n =-，所以2121()()222n n n n a a n a a S n n -++===-．[10分] 依题意有2235n n ->， 解得7n >．[12分]使35n S >成立的n 的最小值为8．[13分]16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f =-，[ 2分]所以 2ππ2cos cos 133m ⋅+=-，解得 12m =-．[ 4分]（Ⅱ）因为π1()2cos cos()32f x x x =⋅--112cos (cos )22x x x =⋅+-[ 6分]21cos cos 2x x x +-12cos22x x +[ 9分]πsin(2)6x =+．[10分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．[11分]所以 02ππ7π326x =+=．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=．所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =． [3分]（Ⅱ）记应聘E 岗位的男性为1M ，2M ，3M ，被录用者为1M ，2M ；应聘E 岗位的女性为1F ，2F ，3F ，被录用者为1F ，2F ．[4分]从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ．[7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F ．[8分]记“从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K ，则4()9P K =．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ．[13分] 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．[1分]因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =．因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =，所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，[3分] 所以 //EF HD ．[ 4分]因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ， 所以 //EF 平面1A BD ．[ 5分]（Ⅱ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．[ 6分] 因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，[ 7分] 所以 1CO A O ⊥．[ 8分]在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC == 所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ，[ 9分] 所以 平面1A OB ⊥平面1A OC ．[10分]（Ⅲ）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．[11分] 否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ， 连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥， 得G 为OC 的中点．[12分] 在△EOC 中，因为OC GE ⊥， 所以EO EC =，这显然与1EO =，EC =矛盾！所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222a b c =+．[ 3分]解得2a =，b ．所以椭圆C 的方程为22142x y +=．[ 5分]（Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”．[ 6分] 依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n +=，[ 7分] 且(2,)(,)0m n t m n --⋅--=， 即2(2)()0m t m n --+=．[ 9分]将2242m n -=代入上式，得 2(2)()204m m t m ---+=．[10分]因为22m -<<，所以202mt m +-+=，即22m t =+．[12分] 所以2222t -<+<， 解得20t -<<，所以 点B 横坐标的取值范围是(2,0)-．[14分]20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )xxx f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++．[ 2分] 依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，[ 3分]解得0a =．[ 4分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得1()e (ln )xg x a x x=⋅++， 所以2211121()e (ln )e ()e (ln )x x xg x a x a x x x x x x'=⋅+++⋅-=⋅+-+．[6分]因为e 0x>，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号． 设221()ln h x a x x x =+-+，[7分] 则 223322(1)1()x x x h x x x -+-+'==． 所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增．[8分] 因为(0,ln 2)a ∈，所以(1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0h x =．[10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)上的情况如下：所以()g x 在区间0(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点．[11分]令0()0h x =，得00212ln x a x x -+=， 所以00000212()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．[13分]。
2018北京市西城区高三一模理科数学试题(卷)与参考答案解析
西城区高三统一测试数学（理科）2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 （A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）B（C ）6+D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ=（A ）12-（B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有 （A ）0对 （B ）1对 （C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有 三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是 （A ）U →V →W （B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等， 则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC ？若存在，求出11A F A C 的值；若不存在，说明理由．图1图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i ik k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7-10．6，2n n +110x ±=12．213．3014注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以 sin 2sin cosC A A =．[ 1分] 在△ABCsin 2sin cos C A A =．[ 3分]所以cos A =．[ 4分] 因为 0πA <<， [ 5分] 所以 π6A =．[ 6分] （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以222c c =+-⋅[ 8分] 整理得 2650c c -+=，[ 9分]解得 1c =，或5c =，均适合题意．[11分]当1c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==[12分]当5c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2．[4分]因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，[5分]所以2226C 1(0)C 15P X ===；112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===．[8分] 所以X 的分布列为：()012151553E X =⨯+⨯+⨯=．[10分] （Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ．[13分] 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．[1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -． 所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以(1,2,1)=-n ．[7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． 所以 直线1A C 和平面1A BD．[9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．[10分]设111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-， 所以1112,2,22x y z λλλ===-，从而(2,2,22)F λλλ-， 所以(2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==．[12分]令整理得23720λλ-+=．[13分]解得13λ=，舍去2λ=．所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =．[14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x'=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，[4分]解得0a =．[5分] （Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号． 令221()ln g x a x x x=+-+，[6分] 则 223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==．[8分] 所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增．[9分] 因为(0,ln 2)a ∈，所以(1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0g x =．[11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以()f x 在区间0(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增． 所以()f x 存在极小值0()f x ．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．[1分]所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =故椭圆C 的离心率c e a ==．[3分] 椭圆C 的左焦点F 的坐标为(．[4分] （Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下：[5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则22024x y +=，[6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=．[7分]直线l 的方程为0101()x y y x x y -=--， 整理为 0140x x y y +-=．[9分] 所以圆F 的圆心F 到直线l的距离02|d ==+．[11分]因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++．[13分]所以22||PF d =， 即 ||PF d =，所以 直线l 与圆F 相切．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =，[2分]所以5{2,4,5}E =．[3分]（Ⅱ）由集合n E 的定义知1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以11i i k k S S +-≤. [5分]又因为 11i k a +<，所以1111i i i k k k S S a +++-=+[6分] 1.i k S <+所以11i i k k S S +-<．[8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，同理101k S S -<，且m n k S S ≤． 所以12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为n S C >，所以n E 的元素个数1m C +≥． [11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意， 且{1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。
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北京市西城区2018年高三一模试卷 数 学（文科）2018. 4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,5}A =，{4,5}B =，则()U A B ð等于（A ）{1,2,3,4}（B ）{1,3}（C ）{2,4,5}（D ）{5}2. 函数2lg y x x =-+的定义域是 （A ）(]0,2（B ）(0,2)（C ）[]0,2（D ）[]1,23.为了得到函数x x y cos sin +=的图像，只需把x x y cos sin -=的图象上所有的点（A ）向左平移4π个单位长度 （B ）向右平移4π个单位长度 （C ）向左平移2π个单位长度（D ）向右平移2π个单位长度4. 设2log 3a =，4log 3b =，12c =，则 （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a <<5．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （A ）6（B ）12（C ）24（D ）366．对于平面α和异面直线,m n ，下列命题中真命题是 （A ）存在平面α，使m α⊥，α⊥n （B ）存在平面α，使α⊂m ，α⊂n （C ）存在平面α，满足m α⊥，//n α （D ）存在平面α，满足//m α，//n α7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过 乙的平均成绩的概率为 （A ）52 （B ）107 （C ）54 （D ）109 正(主)视图俯视图侧(左)视图344333甲 8 9 9 8 01 2 3 3 79乙8．某次测试成绩满分为180分，设n 名学生的得分分别为12,,,n a a a （i a ∈N ，1i n ≤≤），k b （1150k ≤≤）为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩.则（A ）12150b b b M n +++= （B ）12150150b b b M +++=（C ）12150b b b M n +++> （D ）12150150b b b M +++>二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数a 等于______. 18.设向量(1,sin )θ=a ，b (1,cos )θ=，若35⋅=a b ，则θ2sin =______. 18.双曲线22:12x C y -=的离心率为______；若椭圆2221(0)x y a a+=>与双曲线C 有相同的焦点，则a =______. 18. 设不等式组22,22x y -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的区域为W ,圆:C 22(2)4x y -+=及其内部区域记为D .若向区域W 内投入一点，则该点落在区域D 内的概率为_____.18. 阅读右侧程序框图，则输出的数据S 为_____.18. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为其前n 项和，对于1,2,3,n =，有1135,2n n n nn n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,， 当53=a 时，1a 的最小值为______；当11=a 时，1220S S S +++=______.三、解答题：本大题共6小题，共80分。
北京市西城区2018届高三4月统一测试(一模)数学(理)试卷
西城区高三统一测试数学（理科）注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 （A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ） （B（C ）6+ （D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）12-（B ）2- （C ） （D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有 （A ）0对 （B ）1对 （C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有 三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是 （A ）U →V →W（B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等， 则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a =b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1AC 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC 出11A FA C的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7- 10．6，2n n+110x =12．2 13．30 14注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以sin 2sin cos C A A =．[ 1分]在△ABC 中，由正弦定理得sin 2sin cos C A A =． [3分]所以 cos A =． [ 4分]因为 0πA <<， [ 5分]所以 π6A =． [ 6分]（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，所以 222c c =+-⋅， [ 8分]整理得 2650c c -+=， [ 9分]解得 1c =，或5c =，均适合题意． [11分]当1c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A == [12分]当5c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A ==． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为 5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=，所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[ 3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分]因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， [ 5分]所以 2226C 1(0)C 15P X ===； 112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===． [ 8分]所以 X 的分布列为：1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥． [ 1分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 3分]所以 1A O BD ⊥． [ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以 OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得 1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -． 所以 1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则 110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即 2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以 (1,2,1)=-n ． [ 7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ， 则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n 所以 直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦． [ 9分]（Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设 11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈． [10分]设 111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-， 所以 1112,2,22x y z λλλ===-，从而 (2,2,22)F λλλ-， 所以 (2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=， 所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==[12分]令， 整理得 23720λλ-+=． [13分]解得 13λ=，舍去2λ=．所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x '=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=， [ 4分]解得0a =． [ 5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号． 令 221()ln g x a x x x=+-+，[ 6分]则223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==． [ 8分] 所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增． [ 9分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故 存在01(,1)2x ∈，使得 0()0g x =． [11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以 ()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 ()f x 存在极小值0()f x ． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． [ 1分] 所以 24a =，22b =，从而 2222c a b =-=． 因此 2a =，c = 故椭圆C 的离心率c e a ==． [ 3分] 椭圆C 的左焦点F的坐标为(． [ 4分]（Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下： [ 5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=， [6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=． [ 7分]直线l 的方程为 0101()x y y x x y -=--， 整理为 0140x x y y +-=．[ 9分]所以圆F的圆心F 到直线l 的距离02|d =+． [11分] 因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++． [13分]所以 22||PF d =， 即 ||PF d =，所以 直线l与圆F相切． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， [ 2分]所以 5{2,4,5}E =． [ 3分] （Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以 11i i k k S S +-≤.[ 5分]又因为 11i k a +<，所以 1111i i i k k k S S a +++-=+ [ 6分]1.i k S <+ 所以11i i k k S S +-<． [ 8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，同理 101k S S -<，且 m n k S S ≤． 所以 12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥．[11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意，且 {1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。
2017-2018届北京市西城区高三4月一模理科数学试题及答案
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说
11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2，它的俯视图是一个边长 为 2 的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是 ________.
12．若不等式组
x≥1,
y≥0,
表示的平面区域是一个四边形， 则实数 a 的
2x y ≤ 6,
x y≤a
取值范围是 _______.
13. 科技活动后， 3 名辅导教师和他们所指导的 3 名获奖学生合影留
（ D）既不充分也不必要条件
7．某企业为节能减排，用 9 万元购进一台新设备用于生产 . 第一年需
运营费用 2 万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 2 万元，
该设备每年生产的收入均为 11 万元 . 设该设备使用了 n(n N ) 年后，
年平均盈利额达到最大值 （盈利额等于收入减去成本） ，则 n 等于（ ）
（ A） f ( x) sin x （ C） f ( x) cos x
（ B） f ( x) sin xcos x （ D） f ( x) cos2 x sin2 x
6． “ m 8 ”是“方程 x2
y2 1表示双曲线”的（
）
m 10 m 8
（A）充分而不必要条件
（ B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
北京市西城区 2017-2018 年高三一模试卷
数 学（理科）
4
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列 出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集 U R ，集合 A { x | 0 x≤2} ， B { x | x 1} ，则集合 eU ( A B )
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案西城区高三统一测试数学（文科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则AB =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R （C ）2{|3}3x x ∈-<<R （D ）{|3}x x ∈>R2．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a = （A ）7（B ）7-（C ）1（D ）1-3．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 4．若函数2,0,()3(),0xx f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -= （A）（B（C ）29-（D ）25．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是 （A）（B （C）6（D ）6+6．已知二次函数2()f x axbx c=++．则“0a <”是“()0f x <恒成立”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数1()ln f x x =的定义域是____．10．已知x ，y 满足条件1,1,10, x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2z x y =+的最小值为____．11．已知抛物线28yx=-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．在△ABC 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a =____．13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为____．14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设等差数列{}na 的公差不为0，21a=，且2a ，3a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}na 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}na 的前n 项和为nS ，求使35nS成立的n的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2cos cos()3f x x x m =⋅-+的部分图象如图所示． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求0x 的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论） 18．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//EF 平面1A BD ； （Ⅱ）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B 横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e (ln )xf x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e xy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．C 4．A5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)+∞10．5-11x±=（答案不唯一）12．313．3,3214．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na 的公差为d ，0d ≠．因为2a ，3a ，6a 成等比数列， 所以2326a a a =⋅． [ 2分]即2(1)14d d+=+，[ 4分]解得2d =，或d =（舍去）．[ 6分]所以{}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-． [ 8分]（Ⅱ）因为23n a n =-，所以 2121()()222n n n n a a n a a S n n -++===-．[10分]依题意有 2235n n ->，解得 7n >．[12分]使35nS 成立的n的最小值为8． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f =-，[ 2分]所以 2ππ2cos cos 133m ⋅+=-， 解得12m =-．[ 4分]（Ⅱ）因为π1()2cos cos()3f x x x =⋅--112cos (cos )22x x x =⋅-[ 6分]21cos cos 2x x x =+-12cos22x x =+[ 9分]πsin(2)6x =+．[10分]所以 ()f x 的最小正周期2ππ2T ==． [11分]所以02ππ7π326x=+=． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=．所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P=．3分]（Ⅱ）记应聘E岗位的男性为1M，2M，3M，被录用者为1M，2M；应聘E岗位的女性为1F，2F，3F，被录用者为1F，2F．[ 4分]从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ．[ 7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F ． [ 8分]记“从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K ，则4()9P K =． [10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分] 18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． [ 1分]因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点， 所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形， [ 3分]所以//EF HD．[ 4分]因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ， 所以 //EF 平面1A BD． [ 5分]（Ⅱ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =．所以 11A D A E=，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE⊥．[ 6分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 7分]所以1CO A O⊥． [ 8分]在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==所以 CO BO ⊥， 所以CO ⊥平面1A OB，[ 9分]所以 平面1A OB ⊥平面1A OC．[10分]（Ⅲ）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG． [11分]否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在 Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得 G 为OC 的中点． [12分]在 △EOC 中，因为OC GE⊥，所以 EO EC =，这显然与1EO =，EC 矛盾！ 所以 线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． [14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222ab c =+．[ 3分]解得2a =，b所以椭圆C的方程为22142x y +=．[ 5分]（Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． [ 6分]依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n +=，[ 7分]且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=， 即2(2)()0m t m n --+=．[ 9分]将 2242m n -=代入上式， 得2(2)()24m m t m ---+=．[10分]因为 22m -<<，所以 202mt m +-+=，即 22m t =+． [12分]所以 2222t -<+<， 解得 20t -<<，所以 点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分]20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )x x x f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++． [ 2分]依题意，有 (1)e (1)ef a '=⋅+=，[ 3分]解得a =．[ 4分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )xg x a x x=⋅++，所以2211121()e (ln )e ()e (ln )x x xg x a x a x x x xx x'=⋅+++⋅-=⋅+-+． [ 6分] 因为e 0x >，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号． 设221()ln h x a xx x=+-+，[ 7分]则223322(1)1()x x x h x x x -+-+'==．所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． [ 8分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<， 故存在01(,1)2x ∈，使得0()0h x =． [10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)2上的情况如下：所以 ()g x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点． [11分]令 0()0h x =，得 02012ln x a x x -+=，所以00000212()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．[13分]。
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2001年北京市西城区第一次模拟试题数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有1、已知集合{}1x |),(=+=y y x P ，{}1|),(22≤+=y x y x Q ，则（ ）.(A)Q P ⊂ (B)P =Q (C)Q P ⊃ (D)Q Q P =2、设α，β均为第二象限角，且βαsin sin >，则下列不等式成立的是（ ）. (A)βαtg tg > (B) βαctg ctg < (C) βαcos cos > (D) βαsec sec >3、如右图，正方体ABCD –1111D C B A 中，EF 是异面直线AC和D A 1的公垂线，则EF 和1BD 的关系是（ ）.（A ）相交不垂直 （B ）相交垂直 （C ）异面直线 （D ）互相平行 4、设︒-︒=6sin 236cos 21a ，︒+︒=1311322tg tg b ，250cos 1︒-=c ，则有（ ）. (A) a>b >c (B)a <b <c (C)a <c<b (D)b <c <a5、已知圆的极坐标方程为5)sin 3(cos 22=++θθρρ，则此圆在直线0=θ上截得的弦长为（ ）.(A)6 (B)62 (C)32 (D) 36、甲，乙，丙三个单位分别需要招聘工作人员2名、1名、1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲，乙，丙三个单位，那么不同的招聘方法共有（ ）. (A) 1260种 (B)2185种 (C) 2520种 (D) 5180种7、设n x x x x f )1()1()1()(2++++++= ，在)(x f 中2x 的系数为n T ，则nn Tn n 2lim 3+∞→等于（ ）.(A)31（B ）61 （C ）1 （D ）28、直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是（ ）.(A)直线与圆相切 (B) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心9、若)2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）. (A) (0,1) (B) (1,2) (C) (]2,1 (D) []2,110、某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是),2400(1.02030002N x x x x y ∈<<-+=，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）. (A) 100台 (B) 120台 (C)150台 (D) 180台11、已知方程12122=-+-my m x 表示焦点y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）.(A) m <2 (B) 1<m <2 (C) m <–1或1<m <2 (D)m <–1或231<<m 12、对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：（1）与a 是异面直线；（2）与a所成的角为定值θ；（3）与a 的距离为定值d . 那么，这样的直线b 有（ ）. (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 无数条二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。
共16分，把答案填在题中横线上。
13、已知)53arcsin(-=a ，则2sin a的值是__________。
14、过抛物线x y 42=的焦点，且倾斜角为43π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 是坐标原点，则OPQ ∆的面积等于___________.15、将一个圆形纸片沿其两个半径剪开，得到两个扇形，它们的圆心角之比为1∶2，再将它们当作圆锥侧面卷成两个圆锥，则这两个圆锥的体积之比是______________. 16、定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足：)()1(x f x f -=+，且在[]0,.1-上是增函数，下面是关于)(x f 的判断： ①)(x f 是周期函数；②)(x f 的图象关于直线x =1对称； ③)(x f 在[]1,0上是增函数； ④)(x f 在[]2,1上是减函数； ⑤)0()2(f f =.其中正确的判断是___________________(把你认为正确的判断都．填上).三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分） 已知由正数组成的等比数列{}n a ，若前n 2项之和等于它前n 2项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式. 18、（本小题满分12分）已知复数ai x z +=1，)0,0(2>>>+=x a b bi x z 的幅角主值分别为βα,，求)(αβ-tg 的最大值及对应的x 的值. 19、（本小题满分13分）如图，已知三棱柱ABC C B A -111的底面是边长为2的正三角形，侧棱A A 1与AB ，AC 均成45°角，且B B E A 11⊥于E ，11CC F A ⊥于F . （I ） 求证：平面⊥EF A 1平面11BCC B ； （Ⅱ）求点A 到平面11BCC B 的距离；（Ⅲ）当1AA 多长时，点1A 到平面ABC 与平面11BCC B 的距离相等？20、（本小题满分12分）某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。
以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的32。
根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2018年底该乡能否达到小康水平？为什么？ 21、（本小题满分12分）椭圆中心是坐标原点O ，集点在x 轴上，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OQ OP ⊥.求椭圆离心率e 的取值范围。
22、（本小题满分13分）设)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，)(x g 的图象与)(x f 的图象关于直线1=x 对称，而当[]3,2∈x 时，c x x x g ++-=4)(2（c 为常数） （1）求)(x f 的表达式；（2）对于任意1x ，[]1,02∈x 且21x x ≠，求证：12122)()(x x x f x f -<-； （3）对于任意1x ，[]1,02∈x 且21x x ≠，求证：≤-)()(12x f x f 1.数学（理科）答案及评分标准一、ACDCBCBACCDD二、（13）1010-；（14）22；（15）1：10；（16）①②⑤. 三、解答题：其它解法仿此给分.（17）解：∵q =1时122na S n =，1na S =偶数项又01>a 显然11112na na ≠q ≠1 ………………………………………………2分 ∴2212121)1(1)1(qq q a S q q a S n n n--==--=偶数项……………………………………4分 依题意21211)1(111)1(q q q a q q a n n --⋅=--解之101=q ……………………………………………………………………6分 又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+，………………………………………8分 依题意4212111)1(q a q q a =+，将101=q 代入得101=a …………………10分 n n n a --=⋅=2110)101(10………………………………………………………12分（18）解：由题设知20,πβαβ<<<==且x b tg x a tga …………………………………4分 ∴xabx ab tg tg tg tg tg +-=+-=-βααβαβ1)( …………………………………………6分∵ab xab x x ab x =⋅>>且0,0为定值…………………………………………9分 所以，当且仅当x ab x =即ab x =时，xabx +取得最小值ab 2………11分 此时)(αβ-tg 取最大值ab ab 2- ……………………………………………12分（19）解：（Ⅰ）证明；已知C C F A E B B E A 1111,⊥⊥于于 F ，∵B B 1∥C C 1，∴F A B B 11⊥ ……………………………………………1分 又A F A E A =11 .∴EF A B B 11平面⊥所以，平面111BCC B EF A 平面⊥…………………………………………3分（Ⅱ）因为1111111111,45C A B A C C A AC A AB A B B A =︒=∠==∠=∠， 又2.90111111=︒=∠=∠B A FC A EB A∴E B A Rt 11∆≌F C A Rt 11∆，∴211==F A E A ∴EB1F C 1，∴EF =211=C B∴22121EF F A E A =+∴EF A 1∆为等腰直角三角形……5分 取EF 的中点N ，连N A 1，则EF N A ⊥1，所以111BCC B N A 平面⊥ ………………………………………………………………6分 所以N A 1为点1A 到平面11BCC B 的距离。
又1211==EF N A 所以点1A 到平面11BCC B 的距离为1. ………………………………………………8分 （Ⅲ）设BC ，11C B 的中点分别为D ，1D 连AD ，1DD 和11D A ，则N ∈1DD ∵1DD ∥1BB ∥1AA ，∴A ，1A ，D ，1D 四点共面，∴AD ∥11D A∴11ADD A 为平行四边形， ……………………………………………………………9分 ∵1111111,B BCC N A D A C B 平面⊥⊥ ∴N A C B D D C B 111111,⊥⊥又 ∴1111A ADD C B 平面⊥ ∴11A ADD BC 平面⊥∴ABC ADD A 平面平面⊥11 …………………………………………………………10分作上在则点于平面AD M M ABC M A ,1⊥，若︒=∠=∠∠=∠=90,,11111111ND A MA A D D A AD A N A M A 又， 则MA A Rt 1∆≌11ND A Rt ∆于是3111==D A A A …………………………………………………………………12分 即当31=A A 时，点1A 到平面ABC 和平面11BCC B 的距离相等.……………………13分 （20）解：（Ⅰ）若以1997年为第一年，则第n 年该乡从这两家企业获得的利润为)1(,)32(720)23(32011≥⨯+⨯=--n y n n n …………………………………………………2分=1111)32(9)23(4802])32(9)23(4[80----⨯⨯⨯⨯⨯≥⨯+⨯n n n n=9606802=⨯⨯………………………………………………………………………5分当且仅当11)32(9)23(4--⨯=⨯n n ，即n =2时，等号成立，所以第二年（1998年）上交利润最少，利润为960万元。