论数学方法在解决物理问题中的应用

3.一个物体在另一个物体表面滑落： *物体滑动到另一物体端点时两物体速度刚好相等； 4.两接触物体脱离与不脱离： *两物体仍接触，但相互作用力为零； 5.追击问题或碰撞问题（相遇、最远、最近） ： *两物体最终速度相等或恰好接触时速度相等 6.靠摩擦力连接的物体间发生相对滑动或相对静止： *静摩擦力为最大静摩擦力； 7.关于绳的临界问题 ①绳刚好被拉直：*绳上的拉力为零； ②绳刚好被拉断：*绳上的张力等于绳能承受的最大拉力。 8 .竖直面内的圆周运动过最高点： 绳端物体：*最高点处绳拉力为零，重力为向心力； 杆端物体：*最高点处物体速度为零。 9. 平衡问题 ： *物体所处的平衡状态要被破坏而尚未被破坏的状态 。 10. 在有界磁场中做匀速率圆周运动带电粒子能否射出磁场： *粒子运动到磁场边界时速度与磁场边界相切； ·常用方法： 1.极限法：把物理问题（或过程）推向极端，分析在极端情况下 可能出现的状态和满足的条件，应用规律列出在极端情况下的方程， 从而暴露出临界条件。
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动
#
（二.）微元法
·简介： 在遇到变化不均匀、形状不规则的物体时，我们可以设法将其整 体分解为无数微小的，遵循相同规律的“微元” ，然后用微积分或其 它的数学方法将这些微元累加，求得问题的解。 中心思想：先“化整为零” ，再“积零为整” ·辅助知识： ① 导数初级：某物理量在某一点的导数 / 可认为是
根据等效性有：
f ( L L1 ) Ek 25 25 f
L1 16 L; Ek 9 mgLsin
9 mg sin 41
通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关， 所以在 以后的运动过程中，等效摩擦力都相同。 以整个运动为研究过程，有： fs mgL sin
2.热学模型 *解题依据： I.克拉珀龙方程 II.标准状况下（ ， ） ，
1mol 任何气体的体积均为 22.4L # 钢球模型（固、液） 设固体液体分子直径为 d，摩尔体积为 则 # 立方体模型（固、液、气）
（四）近似法： 1.数学近似. I. 在 极小的情况下，
II．
的情况下， 如： （ ） （ ）
1. 应用“牛顿-莱布尼兹公式”求定积分的解
（*物理问题中出现的积分皆为定积分*） 若 为 的原函数，则 ;
亦可表示为： 即： 2. 注意辨别积分式中 变量 和 常量 的区别： *若某物理量的数值随着积分变量的变化而变化，则该物理量 为变量；若否，其为常量。 3. 注意积分式中矢量的 叉乘 与 点乘 之分： *转化为标量积分时，叉乘” ”需乘上 点乘” ”需乘上 4. 常见变化：
该物理量在该点上的对于自变量的瞬间变化率（亦为图像上函数 在该点的斜率） ； 【举例】 ;
1.掌握常见函数的求导公式； 2.掌握导数的运算法则； 3.掌握复合函数的求导规律； 4.掌握两种形式的导数书写的转换；{ ② 积分初级：某物理量在某一段区间内的积分 两者等价} 可视为是
该物理量在该区间内，对于自变量的积累量（亦为图像上函数与 横坐标轴之间的面积<有正负之分>） 【举例】 ;
M 1 M 7
m( M M ) 8GmM L2 7 L2 mM GmM F2 G r r ( L )2 7( L )2 2 2 F1 G
F F1 F2 GmM [ 8 1 ] 2 7 L 7( L r 2)2
2.微元法：将整体等于无数个“元个体”累加（详见下一章）
＝ ＝０
,
的质量为 能在其切线方向提供的拉力为
＝
*微元中的三角函数（ 【例题２】
θ，
θ）通常可看作是一种投影变换*
质量为ｍ的小球以某初速度竖直上抛运动， 若运动中受阻力ｆ＝ｋ , 且最大阻力为重力的 0.44 倍，试求求所能上升的最大高度。 解：∵上升过程中所受合外力为 ∴经过每一段元路程 ∴ ＝
所做的功为
论数学方法在解决物理问题中的应用
厦门外国语学校 高二（14）班 林宇辉
一．梗概：
在中学的学习过程中，数学和物理这两个科目是紧密不分家的。 数学方面的知识可以在物理学科上得到应用， 而解决物理问题的时候， 往往又需要数学的解题思维和方法作支撑。 而本文将针对某些在解决 物理问题中常出现的数学方法进行分析。
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2.对于运动学中弹性碰撞的问题， 往往可以通过 “镜面对称变换” 进行求解 【例题】 如图所示， 水平面上， 有两个竖直的光滑墙壁 A 和 B ， 相距为 d ， 一个小球以初速度 v0 从两墙之间的 O 点斜向上抛出，与 A 和 B 各发 生一次弹性碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ 。 解：将弹性小球在两墙之间的反弹运 动， 可等效为一个完整的斜抛运动 （见 图） 。 所以可用解斜抛运动的方法求解。 由题意得：
三．正文
（一）等效法
·简介： 在分析物理问题时常常会遇到复杂的情况， 为了能解决这些问题， 我们可以虚设某些条件以便于解题。 其关键在于： 虚设出的物理条件的作用效果应与原条件完全等效。 ·归纳： （1.）物理量的等效： 力的等效； （满足矢量的分解和合成规律，图解） 运动的等效； （满足矢量的分解和合成规律，图解） *滚动的等效：滚动物体上一点的运动可等 效为 ①滚动中心的平动和②该点绕滚动中心 的转动合成。
关键词：数学方法 物理问题 微元法 等效法
二．引言：
解决一道物理问题一般分为两个步骤： （1）根据题目所给的条件，运用所学的物理知识，建立出合适 的方程组待解； （2）解决列出的方程组。 其中，在步骤一中，我们需要用到数学思维来建立出正确而合适 的模型（即方程） 。在步骤二中，我们要用到自己在数学上的知识来 计算方程。可见，一个人的数学能力也很大的影响了他的物理解题能 力。 而在这里，我将对等效法、微元法、估算法、临界问题等在解决 物理问题中常使用到的数学方法进行归纳，总结。
由能量守恒得 ∴ 有∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ＝ 解得 的原函数为
＝
【例题 4】 求质量均匀半圆薄板的质心位置，设板的质量密度为 ，半径为 R 解：以半圆圆心为坐标轴圆点，垂直直边的方向为 x 轴方向建立直 角坐标系。 把薄板分成无数平行于 y 轴的无线窄条， 且每一个“窄条”对应一个元角度 所以对应窄条宽度为： 窄条长度为： 窄条质量为： 对应的质心坐标为 ∴ =
III. 在 2.物理近似
的情况下，
当极大值与极小值相加减的时候，可以忽略极小值。
（4.）临界问题法
·简介： 当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时， 可能存在一个过 渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态。 解决临界问题要求我们分析清楚物理过程， 抓住临界状态的特征， 找到正确的解题方向。 关键点：找出临界条件 ·临界条件： 1. 某一方向物体速度最大或最小： *物体在该方向加速度为零； 2.物体返回或刚好运动到某一点： *物体在该点速度为零；
9 mg sin mgL sin f 41 41 s s L f 9 解出小球总共通过的总路程为：
（５.）其他等效： 1.单摆：将双线摆模型等效于单线摆模型。 #单摆的特性：
合
角加速度
2.电路：①等效电压源思想； ②“Ｙ－ 型电路”变化 3.涡旋电场： “有效面积”的等效；
（2.）参考系的等效： 1.选取非惯性系（加速度为 a）作为参考系，需给参考系中的所 有物体虚设上一个“惯性力” ：F=-ma 此时才能使用牛顿第一定律和牛顿第二定律。 【例题】 一个以加速度ɑ水平向右运动的小车内置一倾角为 的光滑
斜面。一小球置于斜面顶端自由释放，若已知斜面的高度为 h，求小 球滑至底端所需要的时间。
积分得
【例题 3】 一根长 L，质量为 m 的水龙带盘成半径为 R 的一卷，水龙带眼平坦 地面以初速度 滚动并逐渐展开成直线， 求水龙带完全展开所
需的时间（忽略一切损耗） 解：忽略水龙带运动过程中重力势能的变化。 将长度 L 分解成微元 初始时刻： 展开一段长度为 x 时： （忽略水龙带的厚度） =
( 2)
4 L v 4 其中：v1 v 1 12 ( )2 5 L v 5
碰撞中损失的动能为：
Ek
1 (1) 式：mv 2 mgLsin 1 2 1 1 16 9 2 2 mv mv1 mv2 (1 ) mgL sin 25 2 2 2 25
解：以斜面小车为参考系，建立坐标系， 如图所示 设小球沿斜面下滑的加速度为ɑ’， 对小球的受力分析如图所示： 可得如下动力学方程：
mg sin ma cos ma' (1)
小球在斜面的运动方程为：
h 1 a' t 2 sin 2 ( 2)
联解(1)、(2)可得：
t2 h 2 g sin asin2
2d v0 cos t v0 cos 2v0 sin g
可解得抛射角：
arcsin
1 2 2 gd 2 v0
（3.）模型的等效： 1.补偿法：对于一些不规则的图形，可以运用规则的图形相“加 减”获得； 【例题】 如图所示，半径为 r 的铅球内有一半径 为 的球形空腔， 其表面与球面相切， 铅球的 质量为 M 。在铅球和空腔的中心连线上，距 离铅球中心 L 处有一质量为 m 的小球（可以 看成质点） ，求铅球对小球的引力。 解：因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球心的质点。我们 设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球ΔM ， 然后在 对于小球 m 对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球ΔM ，这样加 入的两个小铅球对小球 m 的引力可以抵消，就这样将空腔铅球变成 实心铅球，而结果是等效的。 设空腔铅球对 m 的引力为 F ，实心铅球与ΔM 对 m 的引力分别 为 F1 、F2。 则： F = F1－F2 经计算可知：
5. 计算积分式时，对被积函数求 原函数 ，此步骤可能需要进行 多次尝试 ·分析：一般而言，用“微元法”解题有三个步骤： 一是分解整体，选取分析对象：取微元； 二是用微元代出描述整体的方程； 三是用微积分或其他数学方法求解方程