材料力学第六章 弯曲变形

当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的 变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同 作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载 荷单独作用下的变形，然后叠加。
Fl 2 B 2 EI Fl 3 wB 3EI ql B 6 EI ql 4 wB 8EI
3
Fl 2 A 16 EI Fl 3 wC 48 EI
件确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
解：由刚度条件
v max Pl 3 l [v ] 48 EI 500
得
48 EI P 500l 2
711 kN .
所以
[ P] 7.11 kN
M max Pl 60MPa [ ] Wz 4Wz
max
所以满足强度条件。
例：试用叠加法计算图示梁A点的挠度wA。
F C EI a a A a/2 F EI a/2 B
F/2
F EI B
( F / 2)a F (a / 2) F (a / 2) a wA 3EI 3EI 2 EI 2
3
3
2
A
a/2
a/2
13 Fa 48 EI
3
（↓）
第二类叠加法位移叠加法（逐段分析求和法） 将梁分成几段，分别计算各梁段的变形在需求位移 处引起的位移时，叠加得需求之位移。 计算步骤： （1）分段； （2）考虑某梁段变形引起的位移时，将其它梁段视为 刚体，计算位移；

例：求图示梁B、D两处的挠度 vB、 vD 。
解：
q (2a ) 4 qa (2a ) 3 14qa 4 vB 8 EI 3EI 3EI

v B 2qa (2a ) 3 8qa 4 vD 2 48 EI 3EI

EI 例： 图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度 k 。 3 2a 求C端挠度vC。
l
2P
3
2l
例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度 增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
q
l
v max 5q l 4 384 E I
例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
解：
2 5 q ( 2a ) 4 Pa (2a ) vC 0 384 EI 16 EI
5 P qa 6
（2）列挠曲轴近似微分方程并积分
w
积分得：
1 1 1 2 ( qlx qx ) EI 2 2
1 1 2 1 3 ( qlx qx ) C EI 4 6 1 1 1 w ( qlx3 qx 4 ) Cx D EI 12 24 w
（3）确定积分常数
此外
代入（a）、（b）得：
q
A l 2 C l 2 ql 2
B
ql 3 l 3 l 4 l q( ) q( ) l 71ql 4 2 2 wB 2 3EI 6 EI 2 8EI 384 EI
ql 2 l 3 l q( ) 2 B 2 2 EI 6 EI
13ql 3 48 EI
（2）刚化 I2，则：
所以：
例： 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解：
qa 2 2a qa (2a ) 2 B 2 3EI 16 EI qa 3 顺时针 12 EI
qa 3 qa 3 C B 顺时针 6 EI 4 EI qa 4 5qa 4 vC B a 8 EI 24 EI
1 Fb 2 F ( x2 a)2 w2 [ x2 ] C2 EI 2l 2
1 Fb 3 F ( x2 a)3 w2 [ x2 ] C2 x2 D2 EI 6l 6
（3）确定积分常数
代入（a）、（b）、（c）、（d）得：
（4）确定挠曲轴方程及转角方程 AC段：
（3）确定积分常数
代入（a）、（b）得：
（4）确定挠曲轴方程及转角方程
w 1 1 1 ( Flx 2 Fx3 ) EI 2 6
1 1 2 w ( Flx Fx ) EI 2
（5）求最大挠度和转角
即：
即：
求：挠曲轴方程及转角方程，|w|max、|θ| max 例 已知：EI, q, l。 解： （1）求支座反力，列弯矩方程
例：若图示梁B端的转角θB=0，则力偶矩ｍ等于多
少？
解：
B
Pa 2 m 2a 0 EI 2 EI
Pa m 4
例：求图示梁C点的挠度 vC。
CL9TU27
解：
解：
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
||
|
例:用叠加法求图示梁截面B的挠度和转角。 设EI为常量。
A
x
a
a
a
a
解：由对称性，只考虑半跨梁ACD
M1 ( x1 ) qax1
q M 2 ( x2 ) qax2 ( x2 a ) 2 2 EIw qaxBiblioteka 1 1(0 x1 a)
( a x 2 2a )
qax q ( x a ) 2 EIw2 2 2 2
1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程，而对每一段 进行积分时，必然要有两个积分常数； 2.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。连续条件则在 每一分段处有两个：一个是挠度连续，另一个是转角连续。
§6.4
用叠加法求弯曲变形
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载 荷与它所引起的变形成线性关系。
ql 3 A 24 EI 5ql 4 wC 384 EI M el 2 wC 16 EI M el M el A , B 3EI 6 EI
M el B EI M el 2 wB 2 EI
第一类叠加法载荷叠加法
计算步骤：
1.分解：将作用在梁上的复杂载荷分解成简单载荷；
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为
vC 1 3 qa 3qa 4 2 k EI

(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为
vC 2
q ( 2a ) 3 qa 4 a 24 EI 3EI


(3)C点总挠度为 8qa 4 vC vC 1 vC 2 3EI
wB(q)=ql4/8EI wB(FBy)= - Fbyl 3 /3EI
最大转角和最大挠度分别为：
max A 1
x1 0
11qa 3 6 EI
wmax w2( x2 2 a )
19qa 4 8EI
用积分法计算梁的挠度和转角的一般步骤：
（1）求支反力
（2）写弯矩方程M(x) （3）建立挠曲轴近似微分方程
（4）积分并确定积分常数
应用积分法时需要注意的问题
由边界条件： x1 0时, w1 0
由连续条件： x1 x2 a时, w1 w2 , w1 w2
由对称条件：x2 2a时, w2 0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a )3 11a 3 6 EI qa w1 (11a 2 x1 x13 ) 6 EI q w2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] 24 EI 0 x1 a a x2 2a 0 x1 a a x2 2a
MA
q
FAx
FAy
A
B
l
FB
4-3=1
MA
q
简 单 的 超 静 定 梁
B
A FAy q l FBy
MB
FAx
FBx
5－3＝2
MA
B A FAy l
FAx
FBx FBy
6－3＝3
平衡方程:
F
x
0
FAx=0 FAy+FBy - ql=0
MA+FByl-ql/2=0
变形协调方程：
wB=wB(q)+wB(FBy)=0
Fb w2 6lEI
l 2 2 2 3 (l b x2 ) x2 b ( x2 a )
（5）求|w|max、|θ| max
求最大转角
求最大挠度
例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转 角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。
y
q
B C D E
y
q
A
B
x1 x2
C
D
E
x
qa
qa
a a a
a
AC段：
EIw1 qax1
qa x 2 C EIw1 1 1 2 qa 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 6
CD段：
qax q ( x a)2 EIw2 2 2 2 qa x 2 q ( x a)3 C EIw2 2 2 2 2 6 qa 3 q EIw2 x2 ( x2 a)4 C2 x2 D2 6 24
§6.5 简单超静定梁
关于超静定的基本概念 静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数
等于独立的平衡方程数
超静定问题与超静定结构——未知力个数多于独立 的平衡方程数
超静定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差
多余约束——保持结构静定多余的约束
简单的超静定梁
MA
q A
B
l
3-3=0
FAx FAy
C AC段：
CB段：
（2）列挠曲轴近似微分方程并积分 AC段：
Fb w1 x1 EIl
1 Fb 2 w1 ( x1 ) C1 EI 2l
1 Fb 3 w1 ( x1 ) C1 x1 D1 EI 6l