ZDLX4两个自由度系统的振动

i1
s
(Fx
x qi
qi

Fy
y qi
qi

Fy
z qi
qi
)ds
n
Qiqi
i1
其中
Qi
s (Fx
x qi

Fy
y qi

Fy
z qi
)ds
（ i=1 ， 2 ， ……n ）
——称为与广义坐标qi对应的广义外力（若外力是 集中力，不必积分，只须求Σ ）
二、达朗伯尔原理
达朗伯尔提出了惯性力概念，使虚位移原理 的应用范围从静力学扩展到动力学。他指出：一 个具有理想约束的系统其主动力及惯性力在任何 虚位移上所做虚功之和为零。即：
Wu We U 0 （1）
式中：Wu ——惯性力在虚位移上所做的功。
我们看到，对于静力问题，Wu 0 ，（1）式 为虚位移原理。所以说虚位移原理是达朗伯尔原 理的特例（在静力学方面的应用）。
一、虚位移原理——如果一个具有理想约束的系 统在外力作用下处于平衡状态，则主动力在任意虚位 移上所做虚功之和为零。
虚位移——约束允许的任意微小位移。
虚功——力在虚位移上所做的功。
表达式：
We U 0
其中，We ——全部外力所作虚功；
U ——全部内力所作虚功，因内力永远 与位移相反，故前加负号。
保守力有重力、万有引力、弹性力等。但摩擦力 及我们这里经常讲的阻尼力都不是保守力。
保守系统——只有保守力做功的系统称为保守系 统。保守系统的特征是遵循机械能守恒定律（即 T+U=C）。
非保守系统当然也应遵守能量守恒定律（这是普 遍性定律），但其机械能不守恒，而是有一部分由于 摩擦或阻尼转换成了热能。
§4—2 拉格朗日方程 在处理一些简单的动力学问题时，可以用牛顿 第二定律来建立运动微分方程并求解（用动静法把 惯性力当作外力与其它力组成平衡力系的方法也属 此例），这叫做矢量力学或牛顿力学。其优点是简 单、直观。但是，对于一些较复杂的动力学问题， 用牛顿力学方法就很困难，甚至不可能，因此人们 从能量的观点去建立运动微分方程再求解之，这叫 做分析力学，我们这里研究的是动力学问题，故又 称分析动力学。在分析动力学中有一个很著名的、 经常用到的方程叫做拉格朗日方程，我们先讲它的 基本思想，然后介绍其推导过程。
y＝y（q1，q2……qn）
z＝z（q1，q2……qn）
若系统的虚位移δ q1，δ q2……δ qn，那么直
角坐标的虚位移表达式为：
x

x q1
q1

x q2
q2

x qn
qn

n i 1
x qi

qi
y

n i 1
y qi
qi
z

n i 1
第四章 两个自由度系统的振动
§4—1 引言 §4—2 拉格朗日方程 §4—3 两个自由度系统的自由振动 §4—4 两个自由度系统的受迫振动 §4—5 本章习题
§4—1 引言 第二章介绍了单自由度系统的振动。这是研究 机械振动的基础，也可以处理一些简单的振动问题。 但是，工程中大量出现的还是多自由度系统乃至无 限自由度系统的振动问题。而两个自由度系统的振 动则是多自由度系统中最简单的。 两个自由度系统，顾名思义，就是说：系统的 运动状态需要而且可以由两个独立坐标来描述的， 称之为两个自由度系统。 两个自由度系统虽然比单自由度系统只多一个 自由度，两者之间却有着质的区别。后者的系统固 有特性只有固有频率；而前者除了固有频率外还有 固有振型，这正是多自由度系统的共有特征。

d2 dt
x
2
，qi

d 2qi dt 2
〕
它们所做虚功总和是：
Wu
n
v(xx yy zz)dv
i1
v
(x x qi

y
y qi

z
z qi
)dvqi
为了把 Wu写成动能的表达式，要把 进行变换。
x x qi
……
注意到
x

x q1
q1

x q2
q2
x
qn
qn

n i 1
x qi
qi
于是
x x qi qi
于是
x x qi

d dt
(
x
x qi
)

x
d dt
(
x qi
)

d dt
(x
x qi
z qi
qi
下面分别计算各力的虚功，即（1）式中的各项。
1、外力虚功 W e
设 Fx(x,y,z,t) ， Fy(x,y,z,t) ， Fz(x,y,z,t) 是 作 用 在 系统表面单位面积上外力的三个坐标分量，则全 部外力虚功为：
We
n
s (Fxx Fyy Fzz)ds
) x x qi

d dt [qi
( x2 )] 2 qi
x 2 ()
2
同理：
y y qi

d dt
[
qi
( y 2 )] 2 qi
( y 2 ) 2
z y qi

d dt [qi
( z2 )] 2 qi
2、内力虚功 U
U

U q1
q1

U q2
q2
U
qn
qn

n i 1
U qi
qi
其中U——系统势能
3、惯性力虚功 Wu
设弹性体质量密度 (x, y, z)，则作用在单位体 积上的惯性力的三个分量是：
x,y,z
〔注：x
拉格朗日方程就是在达朗伯尔原理基础上建 立起来的。
三、保守系统的拉格朗日方程
保 守 力 —— 如 果 一 个 力 所 作 的 功 只 与 运 动 物 体 （力作用点）的始末位置有关，而与运动物体所经过 的路径无关，这样的力称为保守力，又称为有势的力。
〔注：还有其他说法：在闭合路径上有势力作功为 零，其元功是某一函数的全微分，这些叫法都等价〕
我们现在来推导保守系统的拉格朗日方程。 对于有n个自由度的系统，其运动状态可以用n个
独 立 的 广 义 坐 标 q1 ， q2……qn 来 完 全 描 述 。 q1 ，
q2……qn可以是角位移、线位移，甚至可以是面 积、体积等等，故称为广义坐标。它与直角坐标 有一定的关系：
x ＝ x （ q1 ， q2……qn ）