数学人教版九年级下册锐角三角函数复习(第一课时)课件
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人教版九年级数学下册 《锐角三角函数》(人教)教学课件(共20张ppt)
第二十八单元 第1课
锐角三角函数
问题引入
问题1 ⑴相似三角形的对应边之间有什么关系？ ⑵在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？ ⑶在直角三角形中，斜边与两条直角边之间有什么关系？ 问题2 据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°度左右时， 人脚的感觉最舒适。假设美女脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难 算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳。你知道专家是如何算出鞋跟的 最佳高度的吗？
追问2：由此你能得出什么结论？
新知探究
追问3：在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么它的对边与 斜边比值又是怎样的呢？ 追问4：在直角三角形中，通过对30°和45°的对边与斜边比值的研究， 你能得出什么结论？
新知探究
问题4 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否 也是一个固定值？
在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比也是一个固定值。
正弦函数概念：
新知探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦（sine），记住sinA，即
新知探究
问题5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的 比值随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？
因此
sin A BC 6 3
AB 10 5
cos A AC 8 4 AB 10 5
tan A BC 6 3 AC 8 4
应ห้องสมุดไป่ตู้新知
例3：求下列各式的值：
（1） cos2 60 sin2 60
； （2）
cos 45 tan 45 sin 45
。
解：（1）
锐角三角函数
问题引入
问题1 ⑴相似三角形的对应边之间有什么关系？ ⑵在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？ ⑶在直角三角形中，斜边与两条直角边之间有什么关系？ 问题2 据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°度左右时， 人脚的感觉最舒适。假设美女脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难 算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳。你知道专家是如何算出鞋跟的 最佳高度的吗？
追问2：由此你能得出什么结论？
新知探究
追问3：在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么它的对边与 斜边比值又是怎样的呢？ 追问4：在直角三角形中，通过对30°和45°的对边与斜边比值的研究， 你能得出什么结论？
新知探究
问题4 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否 也是一个固定值？
在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比也是一个固定值。
正弦函数概念：
新知探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦（sine），记住sinA，即
新知探究
问题5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的 比值随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？
因此
sin A BC 6 3
AB 10 5
cos A AC 8 4 AB 10 5
tan A BC 6 3 AC 8 4
应ห้องสมุดไป่ตู้新知
例3：求下列各式的值：
（1） cos2 60 sin2 60
； （2）
cos 45 tan 45 sin 45
。
解：（1）
人教版九年级数学下册《锐角三角函数》PPT
1.判断对错:
A
10m
6m
B
C
1) 如图 (1) sinA= （ ） (2)sinB= （ ） (3)sinA=0.6m （ ） (4)SinB=0.8 （ ）
√
√
×
×
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
应用新知:
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大 100倍，sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3.如图
∠A 的正弦
sinA
2、sin30°=______； sin45°=______.
sin60°=______
课堂作业 :
《南方新课堂》：44-45页
谢谢大家！
探究
A
B
C
A'
B'
C'
即
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
正 弦 函 数
例题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．这个固定值会随着∠A的改变而改变。
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？
解： （1）在Rt△ABC中，
因此
（2）在Rt△ABC中，
A
10m
6m
B
C
1) 如图 (1) sinA= （ ） (2)sinB= （ ） (3)sinA=0.6m （ ） (4)SinB=0.8 （ ）
√
√
×
×
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
应用新知:
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大 100倍，sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3.如图
∠A 的正弦
sinA
2、sin30°=______； sin45°=______.
sin60°=______
课堂作业 :
《南方新课堂》：44-45页
谢谢大家！
探究
A
B
C
A'
B'
C'
即
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
正 弦 函 数
例题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．这个固定值会随着∠A的改变而改变。
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？
解： （1）在Rt△ABC中，
因此
（2）在Rt△ABC中，
锐角三角函数(第一课时)课件人教版数学九年级下册
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺 设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷 灌．现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度 为35m，需要准备多长的水管？
【思考】能否运用以前所学的知识解决该问题？
这个问题可以归结为:在Rt△ABC，∠C=90°
∠A=30°,BC=35 m,求AB的长.（如图所示）
sin A BC 3 ,sin B AC 4
AB 5
AB 5
【例题练习】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和 sinB的值．
【分析】求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的
比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比. 解：如图（2），在Rt△ABC中
C 90 AC2 BC2 AB2
sin A
A的对边 斜边
a c
1
例如，当∠A=30°时，我们有 sin A = sin 30°= 当∠A=45°时，我们有 sin A=sin 45°= 2
2
2
斜边c A 邻边b
B 对边a C
【注意】（1）对于锐角A 的每一个确定的值，sinA有唯一确定的 值与它对应，所以sinA是∠A的函数. （2）∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化
已知 a 6，b 8，c 10 ，则 cosA 的值为( C )
A. 3
B. 3
C. 4
D. 4
5
4
5
3
解析：在△ABC 中， a 6 ， b 8 ， c 10 ，
a2 b2 62 82 36 64 100 ， c2 100 ，
a2 b2 c2 ，△ABC 是直角三角形， cosA b 8 4 .故选：C.
如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'
人教版九年级下册数学28.1《锐角三角函数(第一课时)》公开课课件
A的对边
当∠A=30°时 斜边
BC AB
活 问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房 动 沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡 一 面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度
数是45°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多
长的水管？
B
A
C
当∠A=45°时
A的对边 斜边
B
sinA=
∠A的对边 斜边
A
Sin300 =
1 sin45°= 2
2
2
2.sinA是∠A的函数
斜边
∠A的对边
┌ C
sin60°= 3
2
3..只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
练一练
1.判断对错:
1) 如图 (1) sinA= BC （ √ ）
B
AB
BC (2)sinB=
练习 3.根据下图，求sinA和sinB的值．
B
3
A
5
C
4、如图，∠C=900，AB= 6 ，BC= 3 ，
求∠A的度数。
B
6
3
C
A
想一想
C
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
sinB可以由哪两条线段之比? A 若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
┌ DB
解: ∵∠B=∠ACD
∴sinB=sin∠ACD
3 迁移应用 再探新知
3 迁移应用 再探新知
舒适度
• 据研究，鞋底与地面的夹角 为11°时，人体感觉最舒服。
sin11o 0.19
sinA BC AB
2.85cm 0.19
人教版九年级数学下册《锐角三角函数》小结与复习(1)课件
3
A. 30 B. 45
C. 60 D. 90
范例
例4、如图，在等腰直角△ABC中， ∠C=90°，AC=6，D是AC上一点， 如果tan∠DBA= 1 ，求AD的长。
5
C
D
A
B
巩固 9、如图，将圆形铁环放在水平桌面上， 用一个锐角为30°的三角板和一刻度尺 按如图的方法，得到PA=5cm，求铁环 的半径。
B.
30
tan
30 A α
C
C. 30sin D. sin
解直角三角形
重点知识 解直角三角形： (1)已知“一边和一角”
(2)已知“两边”
巩固 7、在△ABC中，∠C=90°，AB=15， sinA= 1 ，则BC等于( )
3
A. 45 B. 5
1
C.
5
1
D.
45
巩固 8、在△ABC中，∠C=90°，AC=6， BC= 1 ，则∠B等于( )
巩固
4、若关于x的一元二次方程：
2x2 (4sin )x 1 0 (0 90 )
有两个相等的实数根，求θ的值。
范例 例2、在△ABC中，sinB=cos(90o-C) = 1，那么△ABC是( ) A.2 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
三角函数关系
重点知识 三角函数关系：
(1)互余两角三角函数关系： 若∠A + ∠B=90o ，那么
sin A cos B cos A sin B tan A tan B 1
(2)同角三角函数关系：
sin 2 A cos2 A 1
tan A sin A cos A
巩固
5、则cosB的值为( )
A. 30 B. 45
C. 60 D. 90
范例
例4、如图，在等腰直角△ABC中， ∠C=90°，AC=6，D是AC上一点， 如果tan∠DBA= 1 ，求AD的长。
5
C
D
A
B
巩固 9、如图，将圆形铁环放在水平桌面上， 用一个锐角为30°的三角板和一刻度尺 按如图的方法，得到PA=5cm，求铁环 的半径。
B.
30
tan
30 A α
C
C. 30sin D. sin
解直角三角形
重点知识 解直角三角形： (1)已知“一边和一角”
(2)已知“两边”
巩固 7、在△ABC中，∠C=90°，AB=15， sinA= 1 ，则BC等于( )
3
A. 45 B. 5
1
C.
5
1
D.
45
巩固 8、在△ABC中，∠C=90°，AC=6， BC= 1 ，则∠B等于( )
巩固
4、若关于x的一元二次方程：
2x2 (4sin )x 1 0 (0 90 )
有两个相等的实数根，求θ的值。
范例 例2、在△ABC中，sinB=cos(90o-C) = 1，那么△ABC是( ) A.2 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
三角函数关系
重点知识 三角函数关系：
(1)互余两角三角函数关系： 若∠A + ∠B=90o ，那么
sin A cos B cos A sin B tan A tan B 1
(2)同角三角函数关系：
sin 2 A cos2 A 1
tan A sin A cos A
巩固
5、则cosB的值为( )
人教版数学九年级下册 28.1锐角三角函数 第一课时 课件(共27张PPT)
解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB AC2 BC2 42 32 5 ．
因此 sin A BC 3 ，sin B AC 4 ．
B' B
A
C
A'
C'
解：BACB =
B'C' A'B'
；因为∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
所以 BC AB ，即 BC B'C' ．
B'C' A'B'
AB A'B'
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论 这个直角三角形的大小如何，它的对边与斜边的比都 是一个固定值．这个固定值随锐角A的度数的变化而 变化，由此我们给这个“固定值”以专门名称．
对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？ 还可以研究什么？
答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间 的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定 理），还可以研究边与角之间的关系．
从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我 们需要研究直角三角形中边与角之间的关系：从数学 内部看，我们已经研究了直角三角形的边与边的关 系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节 课我们一起来学习“锐角三角函数”——锐角的正弦、 余弦、正切．
AB 2BC 2 2
结论：在一个直角三角形中，当一个锐角等于45°
时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对角与
2
斜边的比都等于 2 ．
问题4 由上述两个结论可知，在Rt△ABC中，
∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比 都对等边于与斜12 边，的它比是都一等个于固定2值，；它当也∠是A一=4个5°固时定，值∠．A由的
人教版九年级下册数学：锐角三角函数复习 (共17张PPT)
（2）若HB=2，cosD= ，请求出AC的长．
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为 直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB， 连接DO并延长交CB的延长线于点E． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说 明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
本节课你有哪些收获和遗憾？
人教版九年级数学
第二十八章 锐角三角函数
（复习课）
一、本章知识结构梳理 ⑴、正弦；
1、锐角三角函数的定义 ⑵、余弦；
锐
⑶、正切。
角 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。
三
⑴、定义；
角 3、解直角三角形 ⑵、直角三角形的依据
函
①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
数
⑶、解直角三角形在实际问题中
三、“拥抱”型 如图7．
四、“斜截”型 如图9．
走进中考
1．如图，某景区的两个景点A，B处于同一水平面上，一架无人
机在空中沿MN方向水平飞行，进行航拍作业，MN与AB在同一
铅直平面内，当无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45°，
景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景
点A，B间的距离为
的应用。
4、锐角三角函数的综合应用
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a A的斜边 c
cosA= A的邻边 = b A的斜边 c
tanA= A的对边 = a
A的邻边 b
练一练：1.判断对错 如图：（1）sinA= BC ( ) 10cm
AB
（2）sinB= BC
AB
(
)A
（3）sinA=0.6m ( ) ( 4 ) sinB=0.8 ( )
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为 直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB， 连接DO并延长交CB的延长线于点E． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说 明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
本节课你有哪些收获和遗憾？
人教版九年级数学
第二十八章 锐角三角函数
（复习课）
一、本章知识结构梳理 ⑴、正弦；
1、锐角三角函数的定义 ⑵、余弦；
锐
⑶、正切。
角 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。
三
⑴、定义；
角 3、解直角三角形 ⑵、直角三角形的依据
函
①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
数
⑶、解直角三角形在实际问题中
三、“拥抱”型 如图7．
四、“斜截”型 如图9．
走进中考
1．如图，某景区的两个景点A，B处于同一水平面上，一架无人
机在空中沿MN方向水平飞行，进行航拍作业，MN与AB在同一
铅直平面内，当无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45°，
景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景
点A，B间的距离为
的应用。
4、锐角三角函数的综合应用
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a A的斜边 c
cosA= A的邻边 = b A的斜边 c
tanA= A的对边 = a
A的邻边 b
练一练：1.判断对错 如图：（1）sinA= BC ( ) 10cm
AB
（2）sinB= BC
AB
(
)A
（3）sinA=0.6m ( ) ( 4 ) sinB=0.8 ( )
人教版九年级数学下册《锐角三角函数》复习课PPT
锐角a
30°
45°
60°
三角函数
sin a cos a tan a
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3 3
1
3
● 3、有关性质：
（1）sin2A+ cos2A=1
（2）tanA= sinA/ cosA
(3) sinA= cosB ( ∠A+∠B=900)
（4）0<sinA<1 0<cosA<1 tanA>0
3
CD
B
● (二) 知识应用
10、已知：如图，△ABC中，AC＝10, sin C 4 , sin B 1 ,
求AB．
5
3
D
分析; 构建Rt
做高AD
由sinC=4/5，AC=10，可求AD
再由AD及sinB就可求出AB
● (二) 知识应用
11、直角三角形纸片的两直角边分别BC为6，AC为8 现将三角形ABC，按如图折叠，使点A与点B重合，折 痕为DE，求tan∠CBE的值
6、实际问题应用：
学会将实际问题转化为解直角三角形问题。
● (二) 知识应用
1、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B
的值为（ B ）
1 A． 2
B．
2 2
C． 3
2
3 D． 3
2、已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（ A）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1
● (二) 知识应用
A．2R sin B．2Rsina
2
C．2R cos 2
D．Rsina
新人教九年级下锐角三角函数(1)课件人教版下册
4
5 3
C tanA=
3 4
D cotA=
3 5
基础练习
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时 B 扩大100倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 5.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则tanA
A
┌ C
tanB;
(2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.
基础练习
1.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，tanB= 则AB= 。 5 2.在△ABC中，∠C=90°，如果tanA= ，那么 12 sinB=（ ）。 5 12 12 A 13/5 B 13 C 12 D 5 3.在△ABC中，已知AC=3，BC=4，AB=5，那 么下列结论成立的是（ ）。 4 5 A sinA= B cosA= 5
思考
RtABC中, C 90, 求 sin A cos A的值.
2 2
B a c A
C
b
结束寄语
• 锐角三角函数函数描述了直角三角形中 边与角的关系,它又是一个变量之间重 要的函数关系,即新奇,又富有魅力,你可 要与它建立好感情噢！
锐角三角函数的定义
A的对边 正弦:sin A= 斜边 A的邻边 余弦:cos A= 斜边
,B
, ,
a c
正切:tan 余切:cot
A的对边 A= A的邻边
A的邻边 A= A的对边
C.
b
A
锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，
B
sinA= tanA=
a c
，cosA=
b a
6.sinA=2m-3(A为锐角），则m的取值范围是 ___.
5 3
C tanA=
3 4
D cotA=
3 5
基础练习
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时 B 扩大100倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 5.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则tanA
A
┌ C
tanB;
(2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.
基础练习
1.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，tanB= 则AB= 。 5 2.在△ABC中，∠C=90°，如果tanA= ，那么 12 sinB=（ ）。 5 12 12 A 13/5 B 13 C 12 D 5 3.在△ABC中，已知AC=3，BC=4，AB=5，那 么下列结论成立的是（ ）。 4 5 A sinA= B cosA= 5
思考
RtABC中, C 90, 求 sin A cos A的值.
2 2
B a c A
C
b
结束寄语
• 锐角三角函数函数描述了直角三角形中 边与角的关系,它又是一个变量之间重 要的函数关系,即新奇,又富有魅力,你可 要与它建立好感情噢！
锐角三角函数的定义
A的对边 正弦:sin A= 斜边 A的邻边 余弦:cos A= 斜边
,B
, ,
a c
正切:tan 余切:cot
A的对边 A= A的邻边
A的邻边 A= A的对边
C.
b
A
锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，
B
sinA= tanA=
a c
，cosA=
b a
6.sinA=2m-3(A为锐角），则m的取值范围是 ___.
人教版九年级数学下册 《锐角三角函数》锐角三角函数PPT课件(第1课时)
不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
第九页，共二十一页。
正弦的概念
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，
B
A的对边
a
即 sin A
斜边
c
当∠A＝30°时，
1
sin A sin 30
2
a
c
A
b
C
2
当∠A＝45°时， sin A sin 45
2
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
第十页，共二十一页。
注意
1.sinA 不表示“sin”乘以“A”，它是一个完整的符号，表示∠A的正弦，记号里习
惯省去角的符号“∠”；
正弦的常见表示：
sinA 、 sin42 ° 、 sin β（可省去角的符号）
与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m,那么需要准
备多长的水管？
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
B
A
C
归结为:在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
第四页，共二十一页。
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
B
A.
A
5
13
B.
C.
12
13
D.
5
12
【解析】由正弦的定义可得
sin A
BC
5
.
AB 13
第十三页，共二十一页。
13
5
）
2.如图,
第九页，共二十一页。
正弦的概念
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，
B
A的对边
a
即 sin A
斜边
c
当∠A＝30°时，
1
sin A sin 30
2
a
c
A
b
C
2
当∠A＝45°时， sin A sin 45
2
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
第十页，共二十一页。
注意
1.sinA 不表示“sin”乘以“A”，它是一个完整的符号，表示∠A的正弦，记号里习
惯省去角的符号“∠”；
正弦的常见表示：
sinA 、 sin42 ° 、 sin β（可省去角的符号）
与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m,那么需要准
备多长的水管？
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
B
A
C
归结为:在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
第四页，共二十一页。
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
B
A.
A
5
13
B.
C.
12
13
D.
5
12
【解析】由正弦的定义可得
sin A
BC
5
.
AB 13
第十三页，共二十一页。
13
5
）
2.如图,
人教新课标九年级数学下册《锐角三角函数》专题PPT课件
第 21 讲 锐角三角函数
义务教育教科书人教版 九年级数学 下册
知识梳理
考点一 锐角三角函数的定义
知识梳理
考点二 特殊锐角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
60°
知识梳理
考点三 解直角三角形
解直角三角形的定义
在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.
锐角三角函数
1.锐角三角函数的定义
⑴正弦 ⑵特殊角的三角函数值
3.解直角三角形
⑴定义
⑵解直角三角形的依据
①三边间关系 ②锐角间关系 ③边角间关系
⑶解直角三角形在实际问题中的应用
小结
知识自测
大中考p77“基础知识自测” （时间：5分钟）
作业
大中考p80“优化训练” 1.必做题：1-10题 2.选做题：11、12题
方向(位) 角
定义
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向(位)角
h∶l
l
h
α
视线
铅垂线
水平线
视线
仰角
俯角
（2）坡度
tan α ＝
h
l
α为坡角
知识梳理
探究一 三角函数的概念
B
考点精讲
考点精讲
B
【类题通法】 解答这类问题，常画出草图，结合已知条件构造直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求解。
考点精讲
探究四 解直角三角形的实际应用
考点精讲
c
考点精讲
c
考点精讲
2．如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度i=1∶1.5，且AB= m.
义务教育教科书人教版 九年级数学 下册
知识梳理
考点一 锐角三角函数的定义
知识梳理
考点二 特殊锐角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
60°
知识梳理
考点三 解直角三角形
解直角三角形的定义
在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.
锐角三角函数
1.锐角三角函数的定义
⑴正弦 ⑵特殊角的三角函数值
3.解直角三角形
⑴定义
⑵解直角三角形的依据
①三边间关系 ②锐角间关系 ③边角间关系
⑶解直角三角形在实际问题中的应用
小结
知识自测
大中考p77“基础知识自测” （时间：5分钟）
作业
大中考p80“优化训练” 1.必做题：1-10题 2.选做题：11、12题
方向(位) 角
定义
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向(位)角
h∶l
l
h
α
视线
铅垂线
水平线
视线
仰角
俯角
（2）坡度
tan α ＝
h
l
α为坡角
知识梳理
探究一 三角函数的概念
B
考点精讲
考点精讲
B
【类题通法】 解答这类问题，常画出草图，结合已知条件构造直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求解。
考点精讲
探究四 解直角三角形的实际应用
考点精讲
c
考点精讲
c
考点精讲
2．如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度i=1∶1.5，且AB= m.
人教版九年级数学下册锐角三角函数复习课件
（勾股 b
边角关系：sin A cosB = c cosA sin B c
a tan A b
tan
B
，
=
b a
，
=
练一练 Rt△ABC中，若sinA= 53，AB=10，那么BC=__6_，
4
tanB=__3__
5.解直角三角形的应用
⑴将实际问题抽象为数学问题（画出平面 图形，转化为解直角三角形问题） ⑵根据条件与所求的关系，恰当选用函数 关系式； ⑶解得数学问题的答案； ⑷得到实际问题的答案。 练一练 1.一把梯子AB斜靠在墙上，若梯子到墙的距 离AC=3米，cosBAC 43，则梯子AB的长度_4_米.
12
13
D.
5
cosA= 12
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB，垂足为D．若AC= 5 ，BC=2，则 5
sin∠ACD的值为__3___
3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上 的的中值线是，__已_43_知__C．D＝2，AC＝3，则sin B
1 4.若∠α的余角是30°，则cosα的值是_2___． 5 .某水坝的坡度i=1： ，坡长AB=20米则 坝的高度为_1_0_米___
8.解：
AB=10 BC=AB=10
（米） 答：这棵树的高度大约为8.5米
锐角三角函数复习
1.锐角三角函数的概念
正弦：在直角三角形中，一个角的_对__ 边
与_斜__边的比值.则sinA＝ac
余弦：在直角三角形中，一个角的_邻__边
与_斜__边的比值.则cosA＝
b c
正切：在直角三角形中，一个角的_对__边
与_邻__边的比值．则tanA＝ a b
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人教版九年级数学下册
锐角三角函数复习
（第一课时）
广西南宁市宾阳县宾州镇第一初级中学
罗森
学习目标： 1. 巩固锐角三角函数的定义，并能灵活运用定义 进行有关计算。 2.熟记30°，45°, 60°特殊角的三角函数值.并 能进行相关的计算。 3.巩固直角三角形的边角关系，能运用三角函数 解决与直角三角形有关的简单问题。 重点：锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数 值运算 。 难点：能运用三角函数解决与直角三角形有关的 简单问题。
A的 对 边 A的 邻 边
=
加强对锐角三角函数的定义的理解：
（1）sinA不是一个角. (2) sinA不是sin与A的乘积,而是一个完整的符号. (3) sinA是一个比值,大小只与∠A的大小有关. (4)没有单位. (5) sinA是∠A的正弦函数.
2、熟记30°,45运算.
3.能运用三角函数解直角三角形. 二.数学思想 1.数形结合 2.转化思想
3.模型思想
(2)解直角三角形的依据
1.三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）
2.锐角之间的关系:
∠ A＋ ∠ B＝ 90º (互余)
c
Ｂ
3.边角之间的关系（锐角三角函数）: a cosA＝ b sinA＝ c c a tan A＝ b (3)直角三角形可解的条件:
Ａ
a b
Ｃ
解直角三角形时除直角外,再知道2个元素（其中至少有一个 是边），就可求出其余3个未知元素.
8
45° 60°
D 【思路点拨】 作△ABC 的BC边上的高AD,将原三角形转化为两
个直角三角形求解. 【自主解答】 过点A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中, ∵∠B=45°,
∴AD=AB· sin45°=8× 2 =4 2 . 在Rt△ACD中,AD=42 ,∠C=60°, ∴AC=
4 2 AD = 3 ° s in 6 0 2
(3)、解直角三角形
1.解直角三角形常见的类型题:
①知一边一锐角. ②知两边. ③斜三角形问题可通过添加适当辅助线转化为直角三角形问 题. 2.直角三角形的解法:根据具体的问题,灵活地选用“解直角三 角形的三个依据”来解。
例3 如图,在△ABC中,∠B=45°, ∠C=60°,AB=8,求AC.
(1):能灵活运用锐角三角函数的定义进行相关计算.
思路点拨:利用定义求锐角三角函数值的步骤：
①找角②定边③写比④求值⑤斜三角形先转化为直角三角形.
例1 如图,在Rt△ABC中， ∠C=90°,
2 AB=6,cosB= 3
,则BC的长为( A B.2 5 D.
12 13 13
)
A.4 C.
18 13 13
(1):能灵活运用锐角三角函数的定义进行相关计算. 思路点拨:利用定义求锐角三角函数值的步骤：
①找角②定边③写比④求值⑤斜三角形先转化为直角三角形.
1.、斜三角形ABC在边长为单位1的正方形网格纸中的位置 如图所示，则 sinB 的值是（ B ）
A. 3 2
B.
2 2
C. 3 2 2
D. 1
D
(2)：有关特殊角的三角函数的运算.
熟记特殊角的三角函数值是解决此类题的关键,特殊 角的三角函数值可借助于直角三角板,根据三角函数定义 得出:
例2 计算:sin30°+cos30°· tan60°.
【思路点拨】 分别把各特殊角的三角函数值代入,再进行数的运算即可.
【自主解答】 原式=
1 + 2
×
2
3
1 = 3 + =2. 2
3 2
1.自主编织一道有关“特殊角的三角函数值” 的 计算题.
对这些关系式 如图1.在△ABC中, ∠C=90°, 以∠A为例，则∠ A的三角函数为： 要学会灵活变 式运用 α
1.锐角三角函数的定义:
(1)∠A的正弦: sinA= A的 对 边 =.
活动一：
c
b
斜边
(2) ∠A 的余弦:cosA= A的 邻 边 斜边 =.
c
α b .
(3) ∠A的正切: tanA=
8 =3
2
6
.
任选一题：
4 1.在△ABC 中，∠C=90°，sinA= 5
，
AB =15，求△ABC的周长和tanA的值．
2、如图（2）：已知AB是⊙o的直径，CD是弦， CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，求sin∠ABD的值.
同学们，通过这节课的复习,你有哪些知 识储备?
一.数学知识 1.巩固加深对锐角三角函数定义的理解和运用.
请画30°,45°,60°直角三角形,并求出它们的三角函数值. 反过来，能根据特殊角的三角函数值说出相对应的特殊角。
1 2
3 2 3 3
2 2
3 2
2 2
1 2
1
3
3、解直角三角形
(1)解直角三角形的定义: 1.直角三角形中,除直角外,一共有五个元 素,即 三条边和 . 在直 两个锐角 未知元素 角三角形中,由已知元素求出 的过程,就是解直角三角形.
锐角三角函数复习
（第一课时）
广西南宁市宾阳县宾州镇第一初级中学
罗森
学习目标： 1. 巩固锐角三角函数的定义，并能灵活运用定义 进行有关计算。 2.熟记30°，45°, 60°特殊角的三角函数值.并 能进行相关的计算。 3.巩固直角三角形的边角关系，能运用三角函数 解决与直角三角形有关的简单问题。 重点：锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数 值运算 。 难点：能运用三角函数解决与直角三角形有关的 简单问题。
A的 对 边 A的 邻 边
=
加强对锐角三角函数的定义的理解：
（1）sinA不是一个角. (2) sinA不是sin与A的乘积,而是一个完整的符号. (3) sinA是一个比值,大小只与∠A的大小有关. (4)没有单位. (5) sinA是∠A的正弦函数.
2、熟记30°,45运算.
3.能运用三角函数解直角三角形. 二.数学思想 1.数形结合 2.转化思想
3.模型思想
(2)解直角三角形的依据
1.三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）
2.锐角之间的关系:
∠ A＋ ∠ B＝ 90º (互余)
c
Ｂ
3.边角之间的关系（锐角三角函数）: a cosA＝ b sinA＝ c c a tan A＝ b (3)直角三角形可解的条件:
Ａ
a b
Ｃ
解直角三角形时除直角外,再知道2个元素（其中至少有一个 是边），就可求出其余3个未知元素.
8
45° 60°
D 【思路点拨】 作△ABC 的BC边上的高AD,将原三角形转化为两
个直角三角形求解. 【自主解答】 过点A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中, ∵∠B=45°,
∴AD=AB· sin45°=8× 2 =4 2 . 在Rt△ACD中,AD=42 ,∠C=60°, ∴AC=
4 2 AD = 3 ° s in 6 0 2
(3)、解直角三角形
1.解直角三角形常见的类型题:
①知一边一锐角. ②知两边. ③斜三角形问题可通过添加适当辅助线转化为直角三角形问 题. 2.直角三角形的解法:根据具体的问题,灵活地选用“解直角三 角形的三个依据”来解。
例3 如图,在△ABC中,∠B=45°, ∠C=60°,AB=8,求AC.
(1):能灵活运用锐角三角函数的定义进行相关计算.
思路点拨:利用定义求锐角三角函数值的步骤：
①找角②定边③写比④求值⑤斜三角形先转化为直角三角形.
例1 如图,在Rt△ABC中， ∠C=90°,
2 AB=6,cosB= 3
,则BC的长为( A B.2 5 D.
12 13 13
)
A.4 C.
18 13 13
(1):能灵活运用锐角三角函数的定义进行相关计算. 思路点拨:利用定义求锐角三角函数值的步骤：
①找角②定边③写比④求值⑤斜三角形先转化为直角三角形.
1.、斜三角形ABC在边长为单位1的正方形网格纸中的位置 如图所示，则 sinB 的值是（ B ）
A. 3 2
B.
2 2
C. 3 2 2
D. 1
D
(2)：有关特殊角的三角函数的运算.
熟记特殊角的三角函数值是解决此类题的关键,特殊 角的三角函数值可借助于直角三角板,根据三角函数定义 得出:
例2 计算:sin30°+cos30°· tan60°.
【思路点拨】 分别把各特殊角的三角函数值代入,再进行数的运算即可.
【自主解答】 原式=
1 + 2
×
2
3
1 = 3 + =2. 2
3 2
1.自主编织一道有关“特殊角的三角函数值” 的 计算题.
对这些关系式 如图1.在△ABC中, ∠C=90°, 以∠A为例，则∠ A的三角函数为： 要学会灵活变 式运用 α
1.锐角三角函数的定义:
(1)∠A的正弦: sinA= A的 对 边 =.
活动一：
c
b
斜边
(2) ∠A 的余弦:cosA= A的 邻 边 斜边 =.
c
α b .
(3) ∠A的正切: tanA=
8 =3
2
6
.
任选一题：
4 1.在△ABC 中，∠C=90°，sinA= 5
，
AB =15，求△ABC的周长和tanA的值．
2、如图（2）：已知AB是⊙o的直径，CD是弦， CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，求sin∠ABD的值.
同学们，通过这节课的复习,你有哪些知 识储备?
一.数学知识 1.巩固加深对锐角三角函数定义的理解和运用.
请画30°,45°,60°直角三角形,并求出它们的三角函数值. 反过来，能根据特殊角的三角函数值说出相对应的特殊角。
1 2
3 2 3 3
2 2
3 2
2 2
1 2
1
3
3、解直角三角形
(1)解直角三角形的定义: 1.直角三角形中,除直角外,一共有五个元 素,即 三条边和 . 在直 两个锐角 未知元素 角三角形中,由已知元素求出 的过程,就是解直角三角形.