经济管理类数学教学中的若干思想方法

数学的理论与应用始终是相辅相成， 共同发展的。以微积分的产生为例，它主 要来源于人们对自然和人类思维的理解、 认识和探索。因此，数学的发展包含了两 个方面：数学理论的发展和数学应用的发 展，但归根结底，都是人类的思想方法的 发展。因此数学教育，尤其是数学应用教 育，必须把数学理论的思想方法和数学应 用的思维方法结合起来，才能达到既提高 学生的数学素质，也提高学生应用数学思 想方法的能力。
2.数学模型方法（mathematical modeling method）简称MM方法，它不仅是 处理数学理论问题的一种典型方法，而且也是 处理科学和技术领域中各种实际问题的一般数 学方法。实际上，凡涉及到数量或逻辑关系时 必然涉及到MM方法。 所以数学教育应该注重思想方法的讲授.我 们所编写的教材就是出于这种考虑. 为了说明数学教学中如何“授之与渔”， 我们仅就几个概念提出我个人的观点,请同行 们提出宝贵意见。
经济管理类专业数学现状： 1.我们的教师并不懂得多少经济管理方面 的知识，认为把微积分加上经济学的一些简单 概念和应用题，就是经济管理类的数学教育。 2. 学生在一年级时候，并没有接触到其专 业基础课，即使有，也只是“政治经济学”之 类的课程，没有涉及到什么数学知识的应 用.“微观经济学”和“宏观经济学”一般在二 年级才开设。因此学时上的不协调也制约了教 学效果。 3.受我国历史的限制，许多高校的经济管理 类专业的教师并不能够有效地应用数学进行
y f ( x)
dy f '( x)dx
dy
c a dx
b
x
无穷远点与有限点的关系
● 这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷 大时，圆周上对应的点 按顺时针方向趋于顶点
● ●
这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷 大时，圆周上对应的点 按逆时针方向趋于顶点

●
x
x
●

演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周 上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的 点——顶点！
•导数与微分的异同
•为什么考虑 x •经济管理中常用的数学方 法与模型
导数
f '( x0 ) lim
x x0
微分
df f '( x0 )dx
f ( x) f ( x0 ) x x0
x0处的速度 物理意义： 几何意义：x0处切线的斜 率 一般意义： 单位变化＝变化率、比 例系数 经济学意义：边际
导数 微分 连锁规则 连锁规则 复合运算与求导运 复合运算与微分运 算不可交换 算可交换
Why？
导数是比例系数：
实际上：
y kx b把x轴上的单位长度区间 变为y轴上长度为k的区间. y f ( x) : (a, b) (c, d )把x轴上的 单位长度区间变为y轴上长度为？的区间. 按照比例关系，我们有 y ? ? ? f '( x0 ) x 1
dx 时间内物体 物理意义： 运动的位移 ( x0 , f ( x0 )) 几何意义： dx 改变， 处切线上的改变量 一般意义： x0 处的改变量 所引起的函数的改变量 经济学意义：边际效应
导数
例如： 单价； 单位成本； 单位产出； 汇率。 ……
微分 例如： dx单位的总和； dx单位的总成本； dx单位的总支出； dx单位的货币兑换量。 …….
●
●
●
x M

●
A
x
●
xM
x

( x0 , x0 )
x0
x演示表明： x0 x (0 x0 A x x M) 由于在圆周上看，顶点和 点本质上是一样的， x x0 x (0 x x0 x M ) x x0 | x | (0 | x x0 | | x | M ) 记为x
实际上，微分与复合运算的可交换性导致了 运动地观察问题成为可能。 实际上，可微切线就是一组切线所包成的， 无论从静止看还是从运动看都是如此。但是 在曲线上来看，静止意义上的“弯曲”不复 存在，因此必然带来问题的简化。
微分 f '( x)dx

d
b
a
f '( x)dx f (b) f (a)
f '( u0 ) '( x0 )
y0 f (u0 ) 比例系数f '(u0 )
1 u0 ( x0 )
'( x0 )
f '(u0 )
y
y f (u )
u
u ( x)
比例系数 '( x0 )
其计算的基础 是x的单位1的 最终变化
1
x0
x
f '(u0 )( '( x0 )dx)
高水平的研究，这导致学生在本科生阶段学习的 数学知识以及专业基础课“微观经济学”和“宏 观经济学”中许多数学知识在研究生阶段没有得 到应用和发挥，导致学生学习数学的积极性受到 影响。 4.研究生考试指挥棒的作用越来越大，致使许 多学校经济管理类的数学教育围绕“考研”指挥 棒转，使得数学教学出现了新的“应试”之局面， 直接导致教学质量不能适应经济管理类学科进一 步发展的需要，使我国这类学科的研究型人才的 水平和素质不能得到保证和提高.
导数（切线）：静态研究曲线
微分：动态研究曲线——微分几何
y
dy
dx
y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
y f ( x)
dy
dx
dy f '( x0 )dx表示什么？ 过dx dy平面的原点
x0
x
这说明了一个思想：
同一问题可以有多个观察点（角度），使用 不同的角度可能会带来某种方法或便利（技 巧）。
y
y f (u )
( f '(u0 ) '( x0 ))dx
'( x0 )dx
u0 ( x0 )
每次计算都是以上 次计算的最终结果 作为新的起点，排 除了导数中单位1的 限制。
u
u ( x)
dx
x0
x
导数：每一次都是以单位1来计算
微分：每次都是以具体值来计算
这是导致它们与复合运算是否可交换的 原因。
我们应该给予学生什么呢？俗话说的好： “授之与鱼，不如授之与渔。”因此数学教育 归纳起来应该是： 1.根据数学学科的二重性：高度的抽象 性和很强的工具性,既考虑数学学科本身的系统 性，也考虑数学应用的多样性。使学生学习、 了解、借鉴、应用从特殊到一般（归纳法、类 比法）和从一般到特殊（数学模型）的方法和 技巧。