2.3变量之间的相关关系(练习)
变量之间的关系,附练习题含答案
变量之间的关系学案知识梳理:1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量；变量分为自变量和因变量．2.表示变量之间的关系通常有三种方法，它们是列表法、图像法、表达式法．1.看图的方法：一看轴；二看点；三看线练习题1. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是测得的弹簧长度y 与所挂物体质量x 的一组对应值． 所挂物体质量x /kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y /cm 182022242628（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当所挂物体质量为3 kg 时，弹簧多长？不挂重物时，弹 簧多长？（3）若所挂物体质量为7 kg （在允许范围内），你能说出此时 的弹簧长度吗？2. 如图，若输入x 的值为-5，则输出的结果是_______；若输入x 的值为5，则输出的结果是_______．3. 如图是某地一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：（1）在这一天中，什么时间气温最高？什么时间气温最低？ 最高气温和最低气温各是多少？ （2）20 h 的气温是多少？ （3）什么时间气温为6 ℃？ （4）哪段时间内气温保持不变？4. 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，过了一段时间后，汽车减速到达下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面哪一个图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？（ ）A ．B ．C ．D ．时间O速度时间速度O时间速度O时间速度O是 否 y =x +1输入xx 大于0吗？ y =x 1输出yt /hT /°C-4-22468100242220161814121086425.某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区．如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下列图象中能大致表示水的深度和放水时间之间的关系的是（）A．B．C．D．6.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的关系大致是图中的（）A．B．C．D．7.星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，图中反映了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）之间的关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）A．从家里出发到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家里出发到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段，然后回家了C．从家里出发一直散步（没有停留），然后回家了D．从家里出发散一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回8.小李讲了一个龟兔赛跑的故事，并用图象描绘了比赛过程中路程随时间的变化情况，请先回答下列问题，再讲述这个故事．（1）兔子和乌龟是否在同一地点同时出发？（2）兔子和乌龟在比赛途中相遇过几次？（3）哪一个先到达终点？9.男、女运动员在100米跑道的两端同时起跑，往返练习跑步，测得男运动员每跑一百米用12秒，女运动员每跑一百米用15秒，图中实线和虚线分别为这两名运动员距女运动员起跑点的距离s（米）与时间t（秒）之间的关系图象，请根据图象回答问题：（1）图中实线是_____运动员跑步的图象，虚线是_____运动员跑步的图象（填“男”或“女”）；（2）在百米跑道上两运动员第一次在同一端点相遇时，两人均跑了________秒，其中男运动员跑了________米，女运动htt员跑了________米；（3）两运动员从开始起跑到第一次在同一端点相遇止，共相 遇了__________次．10. 甲、乙两人在一次赛跑中，路程s （米）与时间t （秒）的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A ．这是一次100米赛跑B ．甲比乙先到达终点C ．乙跑完全程需12.5秒D ．甲的速度为8米/秒第10题图第11题图11. 明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程s （千米）与时间t （分）之间的关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（ ） A ．12分B ．13分C ．14分D ．15分12. 一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关闭进水管．在打开进水管到关闭进水管这段时间内，容器内的水量y （升）与时间x （分钟）之间的关系如图所示，则关闭进水管后，经过______分钟，容器中的水恰好放完.13. 如图，小明从家骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买一本练习册，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校，他离家的距离s （米）与时间t （分）之间的关系如图所示，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的距离是多少米？书店到学校的距离是多少米？ （2）小明在书店停留了多少分钟？本次上学途中，小明一共行驶了多少米？ （3）在整个上学的途中，哪个时间段小明骑车速度最快？最快速度是多少？（4）如果小明不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？x /分钟14.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离．．．．．．．为y（km），图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为________km；（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求慢车和快车的速度．15.如图是某空蓄水池的横断面示意图，分为深水区和浅水区．若以固定的流量往这个空蓄水池中注水，则下列图象中，能大致表示水的深度h与时间t之间的关系的是（）A．B．C．D．16.小明某天上午9时骑车离家，15时回家，如图描绘了他离家的距离与时间的具体变化情况，请结合图象回答以下问题：（1）小明经过多长时间到达离家最远的地方？此时他离家多远？（2）11时到12时，他行驶了多少千米？（3）他由离家最远的地方返回的平均速度是多少？【思路分析】读图，从图象中提取信息．①看轴：明确横轴、纵轴表示的意义．横轴表示____________，纵轴表示___________________．②看点：看起点、终点、状态转折点，与实际情景对应．起点表示上午9时从家出发，终点表示15时回家，与实际情景相符．状态转折点：10时离家__________，10.5时离家___________，11时离家________，12时离家________，13时离家_________．③看线，观察线段的变化趋势．线的变化较为复杂，9时—10时，距离增加了_________，此段的速度为________；10时—10.5时，速度为________；10.5时—11时，距离未发生变化；11时—12时，距离增加了________，此段的速度为________；12时—13时，距离未发生变化；13时—15时，距离减少了________，此段的速度为________．【过程书写】解：时浅水区深水区17.在利用太阳能热水器加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）A．太阳光强弱B．水的温度C．所晒时间D．热水器18.如图，当输入数值x为-2时，输出的结果是（）A．-2B．3C．-3D．2t y t y t O yt【参考答案】1.（1）表中反应了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；所挂物体质量是自变量；弹簧长度是因变量（2）当所挂物体质量为3kg时，弹簧长24cm；不挂重物时，弹簧长18cm（3）32cm2.-6；63.（1）16h气温最高；4h气温最低；最高气温是10℃；最低气温是-4℃；（2）20h的气温是8℃；（3）10h和22h的气温是6℃；（4）12h到14h的气温持续不变4. B5. A6. B7. B8.（1）否；（2）两次；（3）乌龟9.（1）男；女；（2）60；500；400；（3）510. D11. C12.813.（1）1500米；900米；（2）4分钟；2700米；（3）12-14分钟小明骑车速度最快；450米/分钟；（4）如果不买书需要7.5分钟；本次比往常多用了6.5分钟14.（1）900；（2）点B的实际意义是甲、乙两车在出发4h时相遇；（3）慢车的速度是75km/h；快车的速度是150km/h15. C16.（1）3小时，30千米（2）13千米（3）15千米/小时思路分析：①时间，离家的距离②10千米，17千米，17千米，30千米，30千米③10千米，10千米/小时14千米/小时13千米，13千米/小时30千米，15千米/小时17.B18.B19.（1）时间，气温（2）16，2，10，-2（3）5（4）9和2220.B21.D22.C23.D24.（1）甲教师的平均速度是0.25千米/分钟，乙教师的平均速度是1千米/分钟（2）乙出发后追上甲所用的时间是6分钟25.（1）a=20，b=1 100，c=50（2）60分钟。
高中数学必修3第二章：统计2.3变量间的相关关系
Y 研考点·知规律
探究悟道 点拨技法
题型一 相关关系的判断 【例 1】 河北国欣农研会的科研人员在 7 块并排、形状大小 相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影响的 试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)： 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量 y 330 345 365 405 445 450 455
D 读教材·抓基础
回扣教材 扫除盲点
课本导读
1．两个变量的线性相关 (1)在散点图中，点散布在从 左下角 到 右上角的区域，对于 两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)在散点图中，点散布在从 左上角 到 右下角的区域，两个 变量的这种相关关系称为负相关． (3)如果散点图中点的分布在整体上看大致在一条直线附近 ， 就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
() (A)她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm (B)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以上 (C)她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右 (D)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以下
2.经调查知,某品牌汽车的销售量y(辆)与广告费用x(万元)之 间的回归直线方程为 yˆ =250+4x,当广告费用为50万元时,预计 汽车销售量约为 ______辆.
2．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方
和最小的方法叫最小二乘法．
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，
^^ ^
y1)、(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回归方程为y＝bx＋a，则
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
变量之间的关系知识要点分梳理及单元测试题.docx
“变量之间的关系”知识要点梳理自变量变量的概念因变量变量之间的关系表格法关系式法变量的表达方法速度时间图象图象法路程时间图象一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y 随另一个变量x 的变化而变化，则把x 叫做自变量， y 叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定：（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、表格1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；（3）结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
三、关系式1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
2017学年数学必修三：2.3.1-变量之间的相关关系~2.3.2 两个变量的线性相关2
(2)问题2中,从表里数据能得出小麦的产量y与施肥量x之间的 函数关系式吗? 提示:从表格里我们很容易发现施肥量越大 ,小麦的产量就越高. 但是,施肥量并不是影响小麦产量的唯一因素 ,小麦的产量还受 土壤的质量、降雨量、田间管理等诸多因素影响 ,这时两个变
量之间就不是确定性的函数关系,因此不能得到y和x的函数关
1.两个变量的线性相关 左下角 到_______. 右上角 (1)正相关:点散布的方向:从_______ 左上角 到_______. 右下角 (2)负相关:点散布的方向:从_______ (3)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看在一条直线附
线性相关 关系,这条直线叫做 近,就称这两个变量之间具有_________
【解析】(1)作出散点图如图所示,
(2)由散点图可知,各点并不在一条直线附近,所以两个变量是
非线性相关关系.
类型二
求回归方程
1.(2013·锦州高一检测)已知一组观测值具有线性相关关系,
bx a ,求得 b =0.51, x =61.75, y =38.14, 则回归方 若对于 y
【探究总结】
1.散点图的作用
(1)判断两个变量之间有无相关关系,一种常用的简便可行的方
法是绘制散点图.
(2)根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关关系,是
不是线性相关关系,是正相关还是负相关,相关关系强还是弱.
2.利用散点图判断变量间的关系的方法 (1)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上,就用该函数来 描述变量间的关系,即变量具有函数关系. (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有 相关关系. (3)如果所有的样本点都落在某一条直线附近,变量之间就有线 性相关关系.
2.3两个变量间的相互关系
回归直线方程 yˆ bˆx aˆ
n
n
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
大数 bˆ i1 n
aˆ
y
( xi
i 1
bˆx.
x)2
i1 n
xi2
2
nx
.
i 1
小数
回归直线过样本点中心（： x,y）
小结：求线性回归直线方程的步骤：
当x 100时，y 100 0.7 0.35 70.35(吨) 预 测 生 产100吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 比技改前降低90 - 70.35 19.65吨
（3）相关关系的分析方向。 由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性， 所以不能单靠经验，而应该在收集大量数据的 基. 础上，利用统计分析，发现规律，对它们的 关系作出正确判断。 探究：如下的一组数据，你能分析人体的脂肪含量
与年龄之间有怎样的关系吗？ 年龄 23 27 39 41 45 49 50
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
回归直线一特点：经过样本点的中心(x,y)。
实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方法 来刻画“从整体上看,各点到此直线的距离最小”.
3.回归直线方程 n
通采过用n求个Q偏差的n 平( y方i 和b:xiQa)i2最1 ( y小i 值bx而i 得a)出2 回
归表直 示n线个的点方与i法 1相应叫直做线最在小二整乘体法上. 的接近程度
判断.
35
30
25
20
15
10
5
年龄
O
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
MS03变量间的相关关系统计案例训练题(含答案)
x0 12
3
y m 3 5.5 7
A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5
10．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：
年龄 x 6
7
8
9
身高 y 118
126
136
144
由散点图可知，身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 =8.8x+ ，预测该学生 10 岁时的身高为（ ）
A．154 B．153 C．152 D．151 11．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，收集数据如下： 加工零件 x（个）10 20 30 40 50 加工时间 y（分64 69 75 82 90 钟）
C．月收入的中位数是 16，x 与 y 有正线性相关关系 D．月收入的中位数是 16，x 与 y 有负线性相关关系
8．已知 x，y 的取值如下表所示：
x
2
3
4
y
6
4
5
如果 y 与 x 呈线性相关，且线性回归方程为
，则 b=（ ）
A． B． C．
D．
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9．已知 x 与 y 之间的一组数据：已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 =2.1x+0.85，则 m 的值为（ ）
变量间的相关关系统计案例训练题
一．选择题（共 15 小题）
1．（2015•湖北）已知变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1，变量 y 与 z 正相关，下列结论中正确的是（ ）
A．x 与 y 负相关，x 与 z 负相关 B．x 与 y 正相关，x 与 z 正相关
C．x 与 y 正相关，x 与 z 负相关 D．x 与 y 负相关，x 与 z 正相关
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
2.3变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关1．理解两个变量的相关关系的概念．(难点)2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点) 3．会求回归直线方程．(重点)4．相关关系与函数关系．(易混点)[基础·初探]教材整理1变量之间的相关关系阅读教材P84～P86的内容，完成下列问题．1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．2．散点图：将样本中几个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．4．相关关系与函数关系的辨析相关关系与函数关系均是指两个变量间的关系，它们的不同点如下： (1)函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系，即不能用一个函数关系式来严格地表示变量之间的关系．(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，脚的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会更多的新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿童长大一些以后，他们的阅读能力会提高，而且脚也会变大．如图2-3-1所示的两个变量不具有相关关系的有________．图2-3-1【解析】 ①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x ，y 不具有相关关系．【答案】 ①④教材整理2 回归直线方程阅读教材P 87～P 89的内容，完成下列问题．1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． 3．最小二乘法：求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．4．求回归方程：若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则所求的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^为待定的参数，由最小二乘法得：⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x －y －∑i ＝1nx 2i－n x －2，a ^＝y －b^x .b ^是回归直线斜率，a ^是回归直线在y 轴上的截距．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)回归方程中，由x 的值得出的y 值是准确值．( ) (2)回归方程一定过样本点的中心．( ) (3)回归方程一定过样本中的某一个点．( )(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4) ×2．过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是( ) A.y ^＝1.75＋5.75x B.y ^＝－1.75＋5.75x C.y ^＝5.75＋1.75xD.y ^＝5.75－1.75x【解析】 求过三点的回归直线方程，目的在于训练求解回归系数的方法，这样既可以训练计算，又可以体会解题思路，关键是能套用公式．代入系数公式得b ^＝1.75，a ^＝5.75.代入直线方程，求得y ^＝5.75＋1.75x .故选C.【答案】 C3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点( ) A ．(1,2) B ．(5,2) C ．(2,5)D ．(2.5,5)【解析】线性回归方程一定过样本中心(x，y)．由x＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y＝1＋3＋5＋7＋95＝5.故必过点(2,5)．【答案】 C[小组合作型](1))A．正方体的棱长和体积B．圆半径和圆的面积C．正n边形的边数和内角度数之和D．人的年龄和身高(2)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()图2-3-2A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【精彩点拨】结合相关关系，函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出判断．【尝试解答】(1)A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于D，年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D.(2)由图象知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系．【答案】(1)D(2)C判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.[再练一题]1．某公司2011～2016年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：A.B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系【解析】由表知，利润中位数是12(16＋18)＝17，且y随x的增大而增大，故选C.【答案】 C一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程． 【精彩点拨】 画散点图→确定相关关系→求回归直线系数 →写回归直线方程【尝试解答】 (1)画散点图如下：由上图可知y 与x 具有线性相关关系． (2)列表、计算：b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y ∑i ＝110x 2i －10x 2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a ^＝y －b ^x ＝91.7－0.668×55＝54.96. 即所求的回归直线方程为：y ^＝0.668x ＋54.96.用公式求回归方程的一般步骤：(1)列表x i ，y i ，x i y i ；(2)计算x ，y，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1n x i y i ；(3)代入公式计算a ^，a ^的值；(4)写出回归方程.[再练一题]2．已知变量x ，y 有如下对应数据：(1)(2)用最小二乘法求关于x ，y 的回归直线方程． 【解】 (1)散点图如图所示：(2)x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝1＋3＋4＋54＝134， ∑i ＝14x i y i ＝1＋6＋12＋20＝39，∑i ＝14x 2i ＝1＋4＋9＋16＝30，b ^＝39－4×52×13430－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝1310，a ^＝134－1310×52＝0，所以y ^＝1310x 为所求回归直线方程．x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【精彩点拨】 (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b ^，a ^的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的v 的值．【尝试解答】 (1)散点图，如图所示：(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤．回归分析的三个步骤：(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图；(2)求线性回归方程，注意运算的正确性；(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差.[再练一题]3．某种产品的广告费支出y (百万元)与销售额x (百万元)之间的关系如下表所示．(1)假定y (2)若广告费支出不少于60百万元，则实际销售额应不少于多少？【解】 (1)设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝(8×5＋12×8＋14×9＋16×11)－4×8＋12＋14＋164×5＋8＋9＋114(82＋122＋142＋162)－4×⎝⎛⎭⎪⎫8＋12＋14＋1642＝438－412.5660－625＝25.535＝5170，a ^＝y －b ^x ＝5＋8＋9＋114－5170×8＋12＋14＋164＝334－5170×252＝－67，则所求回归直线方程为y ^＝5170x －67.(2)由y ^＝5170x －67≥60，得x ≥4 26051≈84，所以实际销售额不少于84百万元．[探究共研型]探究1 变量之间的关系？【提示】 任意两个统计数据均可以作出散点图，对于作出的散点图，如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．特别地，若所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就具有线性相关关系；如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系；如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系．探究2 【提示】 (1)建立直角坐标系，两轴的长度单位可以不一致． (2)将n 个数据点描在平面直角坐标系中．(3)画回归直线时，一定要画在多数点经过的区域，可以先观察有哪两个点在直线上．探究3 回归系数b ^的含义是什么？【提示】 (1)b ^代表x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数．(2)当b ^＞0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均增加b ^个单位数；当b ^＜0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均减少b ^个单位数．探究4 回归直线方程与直线方程的区别是什么？【提示】 线性回归直线方程中y 的上方加记号“^ ”是与实际值y 相区别，因为线性回归方程中的“y ^”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，y ^的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y ＝y ^＋e (其中e 为随机变量)，预测值y ^与实际值y 的接近程度由随机变量e 的标准差决定．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′【精彩点拨】 先由已知条件分别求出b ′，a ′的值，再由b ^，a ^的计算公式分别求解b ^，a ^的值，即可作出比较．【尝试解答】 根据所给数据求出直线方程y ＝b ′x ＋a ′和回归直线方程的系数，并比较大小．由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2， a ′＝0－2×1＝－2. 求b ^，a ^时，i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136，i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13， ∴b ^<b ′，a ^>a ′. 【答案】 C [再练一题]4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【解析】 b ^为正数，所以两变量具有正的线性相关关系，故A 正确；B ，C 显然正确；若该大学某女生身高为170 cm ，则可估计其体重为58.79 kg.【答案】D1．设一个回归方程y ^＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均增加3个单位 C ．y 平均减少1.2个单位 D ．y 平均减少3个单位【解析】 由b ＝1.2>0，故选A. 【答案】 A2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C ．回归方程最能代表观测值x 、y 之间的线性关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线【解析】 只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．【答案】 D3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5D.y ^＝－0.3x ＋4.4【解析】 因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.【答案】 A4．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示．【解析】 由题意可知x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50.即样本中心为(5,50)，设回归直线方程为y ^＝6.5x ＋b ^， ∵回归直线过样本中心(5,50)， ∴50＝6.5×5＋b ^，即b ^＝17.5，∴回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5. 【答案】 y ^＝6.5x ＋17.5学业分层测评(十四) 变量间的相关关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③立方体的棱长和体积． 其中两个变量成正相关的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②D ．③【解析】 ①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系． 【答案】 C2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系【解析】 由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系，A 错；不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系，B ，D 错．【答案】 C3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0D ．只能小于0【解析】当b^＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但b^能大于0，也能小于0.【答案】 C4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】由正负相关性的定义知①④一定不正确．【答案】 D5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元【解析】x＝14(4＋2＋3＋5)＝3.5，y＝14(49＋26＋39＋54)＝42，所以a^＝y－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归方程为y^＝9.4x＋9.1，令x＝6，得y^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．故选B.【答案】 B二、填空题6．若施化肥量x(千克/亩)与水稻产量y(千克/亩)的回归方程为y^＝5x＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．【解析】当x＝80时，y^＝400＋250＝650.【答案】6507．已知一个回归直线方程为y^＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则y＝________.【解析】因为x＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回归直线过样本中心点(x，y)，所以y＝1.5×9＋45＝58.5.【答案】58.58．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】由于y^＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．【答案】0.254三、解答题9．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：(1)(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程．(结果保留两位小数)【解】(1)散点图如图所示．(2)设y与产量x的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝7＋8＋9＋124＝9， b^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝(x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4)－4x yx 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x2＝1110＝1.10，a ^＝y －b ^x －＝9－1.10×4＝4.60. ∴回归方程为：y ^＝1.10x ＋4.60.[能力提升]1．根据如下样本数据：得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0【解析】 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b ＜0，当x ＝0时，y ^＝a ＞0.故a ＞0，b ＜0.【答案】 B2．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．【解析】 令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为 y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20. 【答案】 203．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝1100x2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x ，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y ^＝b^x ＋a ^.【解】 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b＝l xyl xx＝2480＝0.3，a＝y－b x＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。
2.3 变量的相关性
张喜林制2.3 变量的相关性教材知识检索考点知识 清单1．变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是 的函数关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的 ，它们的关系是带有____的．2．如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为 ；如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为 ．3．在平面直角坐标系中，用 的方法得到具有相关关系的两个变量的图形叫散点图． 14．bx a y+=ˆ叫做y 对x 的 ，其中____． 5．由于平方又叫二乘方，所以这种使____的方法，叫做6．用最小二乘法求回归直线方程中的系数，a 、b 的公式是=bˆ =a ˆ, . 要点核心解读1．变量与变量之间存在着的两种关系 (1)函数关系．函数关系是一种确定性的关系，例如圆的面积,2r S π=面积S 与半径长r 之间就是一种确定性关系，对于自变量半径的每一个确定的值，都有唯一确定的面积的值与之对应． (2)相关关系．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，例如，人的身高并不能确定体重，但一般说来“身高者，体也重”．我们说身高与体重这两个变量具有相关关系．当一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也在由小变大，这种相关称为正相关；反之如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．2．散点图(1)将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．散点图形象地反映了各对数据的密切程度，而且利用散点图可以判断变量之间有无相关关系．(2)散点图的制作：对于两条轴的长度单位可以取得不一致，点既可用实心点，也可用空心点，画回归直线时，一定要画在多数点经过的区域，实际画线时，先观察有哪两点在直线上即可． 3．相关关系的理解如学生数学成绩与物理成绩间的关系、吸烟和健康之间的关系、父母身高与子女身高的关系、产品的广告费支出与销售额之间的关系等都是相关关系，而学生的身高与学习成绩之间没有相关关系，角与它的正弦值之间的关系也不是相关关系，而是函数关系．函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系，即当自变量取值一定时，因变量的取值是带有一定的随机性的两个变量间的关系．在现实生活中，相关关系是大量存在的．从某种意义上看，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况，因此研究相关关系，不仅可以使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度． 4．回归直线方程一般地，设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且相应于n 组观测值的n 个点),,,2,1)(,(n i y x i i = 大致分布在一条直线的附近，求在整体上与这n 个点最接近的一条直线，记此直线方程为①.ˆbx a y+= 这里在y 的上方加记号“＾’，是为了区分Y 的实际值 y ，表示当x 取值),,2,1(n i x i =时，y 相应的观察值为,i y 而直线上对应于i x 的纵坐标是①.ˆi i bx a y+=式叫做y 对x 的回归直线方 程，b 叫做回归系数．5．最小二乘法设x ，Y 的一组观察值为),(i i y x ),,2,1(n i =⋅且回归直线方程为=y ˆ.bx a +当x 取值 ),,2,1(n i x i =时，y 的观察值为,i y 对应回归直线上的,ˆy取~ˆt bx a y +=离差),,2,1(ˆn i y y i i =-刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度．我们希望i y 与yˆ的n 个离差构成的总离差越小越好，这才说明所求的直线是最贴近已知点的．—个自然的想法是把各个离差加起来作为总离差，可是，由于离差有正有负，直接相加会相互抵消，这样就无法反映这些数据点的贴近程度，即这个总离差不能用n 个离差之和)ˆ(1yyini -∑=来表示，通常是离差的平方和，即21)(i i ni bx a y Q --=∑=作为总离差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法． 6． 回归系数的公式及推导用最小二乘法求回归直线方程中的a ，b 有下面的公式：,ˆˆ,ˆ2211x b y axn x yx n yx bi n i ii ni -=--=∑∑== 其中a ，b 的上方加“＾’，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值，bˆ也叫回归系数，b a ˆ,ˆ求出后，回归直线方程就建立起来了．如何使离差平方和为“最小”呢？我们将离差平方和式展开，同时为了书写方便，一律省去“∑”号的上、下标，这样得2])[(i i bx a y Q --∑=2222222i i i R l i x b x ab y b na y a y ∑+∑+∑-+∑-∑= .2)y (22222i i i i i i y y x b x b x b a na ∑+∑-∑+∑-∑+=把上式看成a 的二次函数，2a 的系数n>0，因此，当x b y n x b y n y x b a ii i i -=∑-∑=∑-∑-=2)(2时，取最小值． 其中i i x nx y n y ∑=∑=1,1是样本平均数. 同理，把Q 的展开式重新按6的降幂排列，看成b 的二次函数，当2i ii i x x a y x b ∑∑-∑=时，取最小值，于是：⎪⎩⎪⎨⎧∑∑-∑=∑-∑=,,2i ii i i i x x a y x b nx b y a 从而解得回归系数：22ˆxn x y x n y x b i i i -∑-∑=和.ˆˆx b y a -=7．回归直线方程的求法根据最小二乘法，利用计算机或计算器，可以方便地求出回归方程．(1)分别计算,,,,,12121ii ni in i in i y x y x y x ∑∑∑===(2)分别计算 ,ˆˆ,ˆ2211x b y axn x yx n yx bi n i ii ni -=--=∑∑== (3)代入bx a y+=ˆ可得回归方程， 利用回归直线，我们可以对总体进行估计．如回归直线方程为,ˆbx a y+=当0x x =时的估计值为： ⋅+=0ˆbx a y8．回归直线方程的另外两种求法回归直线方程的求法课本上是利用最小二乘法得到的，除了这种方法外，还有选点法、平均值法． (1)选点法：作出散点图，用一条透明的直尺边缘在这些点间移动，选出直线上的两点或最靠近直线的两点（选点不当，精确度就比较低）． (2)平均值法：首先设出方程,b kx y +=把观测值代入得几个关于k ，b 的一次方程，将其平均分为两组,分别相加得到k ，b 的两个方程，联立解出k ，b ．三种方法比较：最小二乘法精确度最高，一般采用这种方法，典例分类剖析考点1 变量间相关关系的理解[例1] 下面两个变量间的关系不是函数关系的是( )． A ．正方体的棱长与体积 B ．角的度数与它的正弦值C ．单产为常数时，土地面积与粮食总产量D ．日照时间与水稻亩产量[试解]____．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系．选D 项．因为A 项,3a V =B 项;sin α=yC 项,ax y =D 项是相关关系．[答案] D[点拨] 相关关系是一种非确定性关系，因变量（非随机变量）的取值常有一定的随机性，不能由自变量唯一地确定，如D ，再如：人的身高与年龄、家庭的收入与支出、试验田的施肥与水稻的产量等都是相关关系．[例2] 下列四个关系中为相关关系的是①正方形边长与其面积的关系；②某人的身高与年龄的关系；③圆柱体积与其底面半径的关系；④Rt △ABC 中，锐角A 的大小与斜边长度的关系．[解析] 由相关关系的定义不难作出判断，符合相关关系的是②③． [答案]②③1．在下列各变量之间的关系中：①汽车的重量和百公里的耗油量；②正n 边形的边数与内角度数之和；③一块农田的小麦产量与施肥量；④家庭的经济条件与学生的学习成绩， 以上是相关关系的有().A ．①② B．①③ C．②③ D．③④ 考点2散点图的作用与作法[例3] 某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如下：画出散点图，判断它们是否有相关关系，并考虑水稻的产量会不会随着化肥施用量的增加而一直增长． [答案] 画出散点图如图2 -3 -2所示．水稻产量和施化肥量之间有相关关系．由图可以看出，随着施化肥量的增大，水稻产量也在增大，但增大的速度在放缓，因此，水稻的产量不会随着化肥施用量的增加而一直增长．[点拨] 对于两条轴的长度单位可以取得不一致，点既可用空心点，也可用实心点． [例4]在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，判断人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？[答案] 绘出数据{（i i y x ,）}的散点图如图2-3 -3.从散点图可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高，且两个变量之间存在一定的相关关系．[点拨]判断有无相关关系，一种行之有效的方法就是散点图，两个变量是否具有相关关系，主要依据散点图中，变量对应的点是否分布在一条直线附近，若是，则具有相关关系，否则，不具有相关关系， 2．(1)如图2 -3 -4是两个变量统计数据 的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？(2)有个男孩的年龄与身高的统计数据如下．画出散点图，并判断它们是否有相关关系．考点3散点图与回归直线[例5] 已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表： ( mm) （百万） x ：血球体积 y ：红血球数45 6.53 42 6.30 46 9.52 48 7.50 42 6.99 35 5.90 58 9.49 40 6.20 39 6.55 50 8.72(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线并画出图形．[解析] 用散点图及回归直线的定义解题． [答案] (1)如图2-3 -5所示．=+++++++++⨯=)50394058354248464245(101)2(x ,50.44 +++++++<⨯=49.990.599.650.752.930.653.6101y .37.7)72.855.620.6=++设回归直线的方程为,ˆa bx y+=则,42.0ˆˆ,175.0ˆ2211-≈-=≈--=∑∑==x b y axn x yx n yx bi n i ii ni 所以所求的回归直线为.42.0175.0ˆ-=x y如图2 -3 -6所示．[点拨] 求回归直线的步骤： (1)分别计算： ,,,,,12121ii ni ini ini y x y x y x ∑∑∑===(2)分别计算;ˆ,ˆa b(3)代入,ˆbx a y+=可得回归方程． 3．每立方米混凝土的水泥用量x(单位：kg)与28天后混凝土的抗压强度y （单位：)/2cm kg 之间的关系有如下数据．(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的回归直线方程，考点4利用回归直线对总体进行估计[例6] 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：若由资料知y 对x 呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程a bx y+=ˆ的回归系数； (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？[解析] 因为y 对x 呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题．(1)利用公式 2211ˆxn x yx n yx b i n i ii ni --=∑∑==来计算回归系数．有时为了方便常制表对应求出,2i iN i x y x 以利于求和．(2)获得线性回归方程后，取,10=x 即得所求． [答案] (1)制表于是有 ,23.1103.1245905453.112ˆ2==⨯-⨯⨯-=b.08.0423.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a(2)回归直线方程是,08.023.1ˆ+=x y 当10=x （年）时，=y 38.1208.01023.1=+⨯（万元），即估计使用10年时维修费用是12.38万元．4．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测得炉料熔化完：(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？ (2)求回归直线方程；(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？优化分层测训学业水平测试1．下列有关线性回归的说法中，正确的是( )．A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C ．线性回归直线方程最能代表观测值x 、y 之间的关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程 2．下列变量之间的关系是函数关系的是( )．A ．二次函数c bx ax y ++=2中，a 、c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是判别式ac b 42-=∆B ．光照时间和果树的亩产量C ．降雪量和交通事故的发生率D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量3．两个变量之间的相关关系是一种( )．A ．确定性关系B ．线性关系C ．非确定关系D ．以上说法都不对4．为了判断两个变量x ，y 之间是否具有相关关系，描出每一组观测值（x ，y ）表示的点，得到的图形称为 ．5．根据你的生活经验及掌握的知识，将下列所有你认为正确的结论填入题后的空中．①一般地，学生的数学成绩与物理成绩之间是正相关的；②一般地，学生的数学成绩与英语成绩是负相关的；③一块农田的水稻产量与施肥量之间是相关关系；④对于在校儿童，年龄的大小与阅读能力有很强的相关关系． 以上正确的结论是____．求两变量间的回归方程．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )． A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系 2．下列各关系不属于相关关系的是( )．A ．产品的样本与生产数量B ．球的表面积与体积C ．家庭的支出与收入D ．人的年龄与体重 3．（2011年江西高考题）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对并的线性回归方程为( )．1-=⋅x y A 1+=⋅x y B x y C 2188+=⋅ 176=⋅y D x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )．A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元5．设有一个回归方程为,53ˆx y-=变量x 增加一个单位时 ( )． A.y 平均增加3个单位 B.y 平均减少5个单位C ．y 平均增加5个单位D ．y 平均减少3个单位 6．如图2 -3 -10所示，有5组（石，，，）数据，去掉 组数据后，剩下的4组数据线性相关关系数最大( )．A ．AB ．BC ．CD ．D 7．（2007年山东高考模拟题）为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为,.21l l 已知两人得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别都是s 、t ，那么下列说法正确的是( )． A ．直线21l l 和一定有公共点(s ，t) B ．直线21l l 和相交，但交点不一定是(s ，t) C ．必有直线21//l l 21.l l D 和必定重合8．（2009年宁夏、海南高考题）对变量x ，y 观测数据=i y x i i )(,（),10,,2,1 得散点图2 -3 -11；对变量u ，v 有观测数据,i u （),10,,2,1)( =i v i 得散点图2 -3 -12.由这两个散点图可以判断( )．A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关，C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题后的相应位置）9．某城市近10年居民的年收入x 和支出y 之间的关系大致符合y=0.8x +0.1（单位：亿元），预计今年该城市居民的年收人为15亿元，则年支出估计是 亿元．10．根据两个变量x ，y 之间的关系，观察数据画成散点图如图2 -3 -13，这两个变量是否具有线性相关关系 （填“是”或“否”）．11.若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为=yˆ,4250x +当施化肥量为50kg 时，预计小麦的产量为12.在研究硝酸钠的可溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下表：则由此得到回归直线的斜率为____三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 13.某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应关系：(1)假定y 与x 之间有线性相关关系，求其回归直线方程；(2)若实际的销售额不少于60百万元，则广告费支出应不少于多少？14.以下资料是一位销售经理收集来的每年的销售额和销售经验年数的关系：(1)依据这些数据画出散点图并作直线,2.478ˆx y+=计算;)ˆ(2101i yyii -∑= (2)依据这些数据 由最小二乘法求线性回归方程，并据此计算2101)ˆ(i ii yy-∑=的大小． 15.（2011年安徽高考题）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;ˆa bx y+= (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．16.（2007年广东高考题）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程;ˆbx a y+= (3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：)5.665.4645345.23=⨯+⨯+⨯+⨯。
变量之间的关系(带答案)
变量之间的关系(带答案)变量之间的关系、表达方法复习知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、自变量、因变量(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。
(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。
则T为自变量，路程为因变量。
◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。
找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。
(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
即实质是用含自变量的代数式表示因变量。
(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。
◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。
(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。
(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。
如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。
(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。
人教版高中数学人教A版必修3练习 2.3变量间的相关关系
1.下面的4个散点图中,两个变量具有相关性的是()A.①②B.①③C.②④D.③④解析:由题图可知①是一次函数关系,不是相关关系;②的所有点在一条直线附近波动,是线性相关的;③的散点不具有任何关系,是不相关的;④的散点在某曲线附近波动,是非线性相关的,即两个变量具有相关性的是②④,故选C.答案:C2.对变量x,y有观测数据(x i,y i)(i=1,2,…,10),得散点图①,对变量u,v有观测数据(u i,v i)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断()图①图②A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关解析:由题图①知,散点图在从左上角到右下角的带状区域内,则变量x与y负相关;由题图②知,散点图在从左下角到右上角的带状区域内,则变量u与v正相关.答案:C3.已知x,y的取值如下表:已知y与x线性相关,且回归方程为=0.95x+a,则a=()A.3.25B.2.6C.2.2D.0解析:线性回归方程一定经过样本中心点(),由取值表可计算=2,,已知回归方程为=0.95x+a,又经过点,代入得a=2.6.答案:B4.某经济研究小组对全国50个中小城市进行职工人均工资x与居民人均消费水平y进行了统计调查,发现y与x具有相关关系,其回归方程为=0.3x+1.65(单位:千元).某城市居民人均消费水平为6.60,估计该城市职工人均消费水平占居民人均工资收入的百分比为()A.66%B.55.3%C.45.3%D.40%解析:由6.60=0.3x+1.65得x=16.5,故=0.4.答案:D5.期中考试后,某校高三(9)班的班主任对全班65名学生的成绩进行分析,得到数学成绩y与总成绩x之间具有线性相关关系,且回归直线方程为=0.4x+6.由此可以估计:若两个同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩大约相差分.解析:令两人的总成绩分别为x1,x2.则对应的数学成绩估计为=0.4x1+6,=0.4x2+6,所以||=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20.答案:206.某产品的广告费用x根据上表可得回归方程x+万元时销售额为.解析:=3.5,=42,由于回归方程过点(),所以42=9.4×3.5+,解得=9.1,故回归方程为=9.4x+9.1,所以当x=6万元时,=6×9.4+9.1=65.5(万元).答案:65.5万元7.一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间为[192,3 246](单位:吨),船员的人数区间为[5,32],船员人数y关于吨位x的回归方程为=9.5+0.006 2x.(1)若两艘船的吨位相差1 000,求船员平均相差的人数;(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数.解:(1)设两艘船的吨位分别为x1,x2,则=9.5+0.006 2x1-(9.5+0.006 2x2)=0.006 2×1 000≈6,即船员平均相差6人.(2)当x=192时,=9.5+0.006 2×192≈10,当x=3 246时,=9.5+0.006 2×3 246≈29.即估计吨位最大和最小的船的船员人数分别为29和10.8.一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会有缺损,按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示:(1)作出散点图;(2)如果y与x线性相关,求出回归直线方程;(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个,那么机器的运转速度应控制在什么范围内? 解:(1)作散点图如图所示:(2)由散点图可知y与x线性相关.故可设回归直线方程为x+依题意,用计算器可算得:=12.5,=8.25,=660,x i y i=438.所以0.73,=8.25-0.73×12.5=-0.875.故所求回归直线方程为=0.73x-0.875.(3)令=10,得0.73x-0.875=10,解得x≈15.即机器的运转速度应控制在15转/秒内.9.(1)画出散点图;(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程;(3)预计产量为8千件时的成本.解:(1)散点图如图所示:(2)由散点图可知x与y线性相关.设成本y与产量x的线性回归方程为x+,=4,=9.=1.1,=9-1.1×4=4.6.所以,回归方程为=1.1x+4.6.(3)当x=8时,=1.1×8+4.6=8.8+4.6=13.4,即产量为8千件时,成本约为13.4万元.B组1.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关且=2.347x-6.423;②y与x负相关且=-3.476x+5.648;③y与x正相关且=5.437x+8.493;④y与x正相关且=-4.326x-4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是()A.①②B.②③C.③④D.①④解析:正相关指的是y随x的增大而增大,负相关指的是y随x的增大而减小,故不正确的为①④,故选D.答案:D2.给出两组数据x,y x,经计算知=-1.4,则为()A.17.4B.-1.74C.0.6D.-0.6解析:(4+5+6+7+8)=6,(12+10+9+8+6)=9.=9+1.4×6=9+8.4=17.4.答案:A3.已知x与y假设根据表中数据所得线性回归直线方程为x+若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是()A>b',>a'B>b',<a'C<b',>a'D<b',<a'解析:,,,=-,b'==2>,a'=-2<答案:C4.有5组数据对应的点如图所示,去掉点后,剩下的4组数据的线性相关性就更好了.解析:点D(3,10)与A,B,C,E四点较离散,去掉D点,A,B,C,E在某条直线附近.答案:D(3,10)5.正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为=0.72x-58.2,张平(20岁)身高为178 cm,他的体重应该在 kg左右.解析:用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测,当x=178时,=0.72×178-58.2=69.96(kg).答案:69.966.若直线x是四组数据(1,3),(2,5),(3,7),(4,9)的回归直线方程,则的关系为.解析:(1+2+3+4)=,(3+5+7+9)=6,=6,∴2+5=12.答案:2+5=127.在7(单位:kg):(1)画出散点图;(2)求水稻产量y与施化肥量x之间的回归直线方程;(3)当施化肥60 kg时,对水稻的产量予以估计;(4)是否施化肥越多产量越高?解:(1)画出散点图如图所示:(2)由散点图可知y与x线性相关.计算得:4.75,=399.3-4.75×30≈257,即得线性回归直线方程为=4.75x+257.(3)当施化肥60 kg时,可以估计水稻产量为4.75×60+257=542(kg).(4)由=4.75x+257可知,两个随机变量为正相关,因此产量随施用化肥量的增加而增加;但是从实际问题出发考虑,化肥的施用量应当控制在一定的范围内.8.,得到如下数据:(1)求回归直线方程x+,其中=-20,;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)解:(1)由于(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5,(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.又=-20,所以=80+20×8.5=250,从而回归直线方程为=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1 000=-20(x-8.25)2+361.25.当且仅当x=8.25时,L取得最大值.故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.。
2.3变量之间的相关关系(必修3优秀课件)
年龄 60 61
脂肪 35.2 34.6
40
35
将各数据在平面 30
坐标系中的对应 25
点画出来，得到 20 表示两个变量的 15
10
一组数据的图形， 5
这样的图形叫做
散点图。
O
脂肪含量 20 25 30 35 40
年龄 45 50 55 60 65
探究
年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58
练习：
实验测得四组（x,y）的值如下表所示：
x
1
2
3
4
y
2
3
4
5
则y与x之间的回归直线方程为（ A ）
4
4
（参考数值：x 2.5, y 3.5, xi2 30, xi yi 40 ）
A. y x 1
i 1
i 1
B. y x 2
C. y 2x 1
D. y x 1
（3）、求回归方程；
求出回归直线的方程为：y 2.352x 147.767
160 150 140 130 120 110 100
90 80 70 60 50 40
-10
0
Y^ =-2.352x+147.767
10
20
30
40
（4）当x=2时，y=143.063,因此，这天大约可以卖出143 杯热饮。
间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线，
该直线叫回归方程。 脂肪含量
40
那么，我们该
35
怎样来求出这个
30
回归方程？请同
25
学们展开讨论，
20
15
能得出哪些具体
高中数学 2.3.1变量之间的相关关系优秀学生寒假必做作业练习一 新人教A版必修3
变量之间的相关关系 专项测试题一、 选择题1、 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系？（ ）A 、角度和它的余弦值B 、正方形边长和面积C 、正n 边形的边数和顶点角度之和D 、人的年龄和身高2、下列变量之间的关系是函数关系的是（ ）A 、 已知二次函数,2c bx ax y ++=其中a,c 是已知常数，取b 为自变量，自变量和这个函数的判别式ac b 42-=∆B 、 光照时间和果树亩产量C 、 降雪量和交通事故发生率D 、 每亩施用肥料量和粮食亩产量3、 近十年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额数据如下（单位：亿元）：建立社会商品零售总额y 与职工工资总额x 的线性回归方程是（ ）A 、 y=2.7991x —23.5494B 、 y=2.7992x —23.5493C 、 y=2.6962x —23.7493D 、 y=2.8992x —23.74944、对于回归分析，下列说法错误的是（ ）A 、 在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B 、 线性相关系数可以是正的或负的C 、 回归分析中，如果2r =1或2r =±1，说明x 与y 之间完全线性相关D 、 样本相关系数r ∈(-1,+1)5、有一组观测值有22组，则与显著性水平0、05相应的相关系数临界值为（）A、0、404B、0、515C、0、423D、0、5376、下列说法中正确的是（）A．任何两个变量都具有相关关系B．人的知识与其年龄具有相关关系C．散点图中的各点是分散的没有规律D．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的7、变量y与x之间的回归方程（）A．表示y与x之间的函数关系B．表示y和x之间的不确定关系C．反映y和x之间真实关系的形式D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合8、若用水量x与某种产品的产量y的回归直线方程是ˆy=2x＋1250，若用水量为 50kg 时，预计的某种产品的产量是（）A．1350 kg B．大于 1350 kg C．小于1350kg D．以上都不对9、“回归”一词是在研究子女身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的回归大程ˆy=a＋bx中，b（C）（A）在（－1，0）内（B）等于0（C）在（0，1）内（D）在[1，＋∞）内二、填空题10、自变量取值一定时，因变量的取值两个变量之间的关系叫做相关关系。
高中数学必修三第二章《统计》学案2.3.变量间的相关关系（学生专用）（A版）
高中数学必修三第二章《统计》学案2.3.变量间的相关关系（学生专用）（A版）普通高中数学必修3（A版）学案 2.3. 变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系授课时间：年月日【学习目标】通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。
【重点难点】1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。
2. 变量之间相关关系的理解。
【学习过程】一、学习引导在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？二、合作交流（教师可做点拨）相关关系的概念：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。
当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。
相关关系是一种非确定性关系。
（分析：两个变量→自变量取值一定→因变量带有随机性→相关关系）三、随堂练习思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？思考3：商品销售收入与广告支出经费之间的关系。
（还与商品质量，居民收入，生活环境等有关）四、能力提升1. 上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？2. 对于一个变量，可以控制其数量大小的变量称为可控变量，否则称为随机变量，那么相关关系中的两个变量有哪种类型？3. 相关关系与函数关系的异同点？【小结反思】1. 变量具有不确定性，需要通过收集大量的数据（通过调查或试验）在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，才能对它们之间的关系做出正确的判断。
2.3变量之间的相关关系
<<2.3 变量之间的相关关系>>导学案【学习目标】1.会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．3.能根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归直线方程，并能够利用求得的回归直线方程对变量进行合理的预测． 【自主学习】1. 变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是____________，如函数关系；另一类是____________，即当自变量的取值一定，因变量取值带有一定的随机性，这样的两个变量之间的关系称为____________。
2、从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为 ，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量相关关系为_ ，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有_ 关系，这条直线叫做_ ，它的方程简称_ 。
3、通过求_____________________________Q =的最小值，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的求回归直线的方法叫做 ， 设回归方程为ˆy bx a =+，则有1122211()()()________________n n i i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx a ====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=⎩∑∑∑∑ ， 其中1n i i x x ==∑，1ni i y y ==∑，____是回归方程的斜率，____是截距。
4.假设样本点为(x 1，y 1)(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则 为样本点的中心，回归直线一定过这一点. 【合作探究】变式训练1. 在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ） （2） （3） （4）A ：（1）（2）B ：（1）（3）C ：（2）（4）D ：（2）（3）探究2 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据(1) (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆybx a =+； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?【当堂检测】1.下列变量之间的关系是函数关系的是（ ）A 、光照时间和果树亩产量B 、圆柱体积和它的底面直径C 、自由下落的物体的质量与落地时间D 、球的表面积和它的半径2、下列有关回归直线方程ˆybx a =+叙述正确的是（ ） ①反映ˆy与x 之间的函数关系 ②反映y 与x 之间的函数关系 ③反映ˆy与x 之间的不确定关系 ④表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线 A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④3、已知的x 、y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为ˆ0.95y x a =+，则a ＝ 。
2.3 变量间的相关关系
2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关●学习目标1、了解变量之间的相关关系，理解两变量的线性相关关系，了解正、负相关的概念；2、学会作散点图，了解回归直线的概念，掌握计算回归直线的斜率与截距的一般公式；3、了解最小二乘法的思想．●学习重点利用散点图直观认识两个变量之间的关系．●学习难点从实例中抽象出事物之间的相关关系．●学习过程一．创设情境在学校里，老师经常对学生说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系．这种说法有没有根据呢？二．走进课堂1、两个变量间的关系：（1）确定性的函数关系；（2）带有随机性的相关关系．变量间相关关系：变量间确实_______，但又不具备____所要求的确定性，我们就说这两【夯实基础】（1）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）Ａ．圆的半径和它的面积Ｂ．正方形边长和它的面积Ｃ．正n边形的边数和顶点角度之和Ｄ．人的年龄和身高（2）下列两个变量是线性相关关系的是（）Ａ．出租车费与行驶的里程Ｂ．房屋面积与房屋价格Ｃ．身高与体重Ｄ．实心铁球的大小与质量（3）下列关系中是相关关系的有_________．①光照时间与果树亩产量的关系；②圆柱体积与其底面直径的关系；③自由下落的物体的质量与落地时间的关系；④球的表面积与球半径之间的关系．2、散点图（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用____来描述变量之间的关系，即变量之间具有_____关系；（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有______关系；（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有__________关系；线性相关分为________和________．____的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变大，这在散点图上的反映就是散点的分布在斜率_____0的直线附近．____的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变小，这在散点图上的反映就是散点的分布在斜率_____0的直线附近．（4）如果散点图中的点的分布几乎没什么规则，则这两个变量之间不具备相关关系，即两个变量之间是相互独立的．3找相关关系中非确定性关系的某种确定性．4、回归直线：如果所有的样本点大致在_____________（１）从整体上看，各点与此直线的距离______，即回归直线是样本点的最大程度的吻合． （２）对于单变量样本数据而言，_____是样本的中心；对双变量样本点而言，________是样本点的中心，回归直线一定过样本点的中心．5、回归直线方程： （1）把相关关系转化为函数关系；（2）当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所求的函数关系就是回归直线方程；（3）公式： y b x a =+，1221n i i i ni i xy n x y b x n x ==-=-∑∑，a y b x =-． 6、最小二乘法：求_________，使得样本数据点到它的距离_______________最小的方法．【夯实基础】（1）对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（ ）Ａ．都可以分析出两个变量的关系 Ｂ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 Ｃ．都可以作出散点图 Ｄ．都可以用确定的表达式表示两者的关系（2）对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程 y a bx =+中，回归系数b （ ） Ａ．可以小于0 Ｂ．只能大于0 Ｃ．能等于0 Ｄ．只能小于0（3）线性回归方程表示的直线 y a bx =+必定过（ ） Ａ．()0,0点 Ｂ．(),0x 点 Ｃ．()0,y 点 Ｄ．(),x y 点（4）已知回归方程 4.4838.19y x =+，则可估计x 与y 的增长速度之比为__________．7、典例精析【例】某5名学生的总成绩和数学成绩（单位：分）如下表所示：（2）求数学成绩对总成绩的回归直线方程；（3）如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个同学的数学成绩．8、课堂小结： 作业．。
2.3 变量间的相关关系
2．求回归直线方程时应注意的问题 (1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检
验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间
本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系 不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用 其估计和预测的量也是不可信的．
^ ^ ^ ^ (2)用公式计算a 、b 的值时，要先算出b ，然后才能算出a . 3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 方程为y ＝b x＋a ，则 x＝x0 处的估计值为y 0＝b x0＋a . 由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸，所 以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用．
0 (3) 3 ˆ ˆ ˆ y a =176-173×1=3,得回归方程为y =x+3,所以当x=182时， =185.
答案：185
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂小结
1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行 的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看 出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是 正相关还是负相关．
系，随机抽取5对父子身高数据如下：
父亲身高x(cm) 儿子身高y(cm) 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177
则y对x的线性回归方程为( C ) (A)y＝x－1 (B)y＝x＋1 ˆ ˆ (C)y＝88＋ ˆ
1x 2
(D)y＝176 ˆ
4、（2011·广东高考)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲
和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与 父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的 身高为 cm.
【规范解答】(1)由题设知：设解释变量为x，预报变量为y， 它们对应的取值如下表所示 x y 173 170 170 176 176 182
2014年新课标人教A版必修3数学2.3变量间的相关关系随堂优化训练课件
求回归直线方程的步骤： ①列表； ②计算 x ，y ，
2 ^，a ^的值；④写出回归直 ， x y x i i i 的值；③代入公式计算b i 1 i 1 n n
线方程.
【变式与拓展】 2.(2013 年广东六校一模)已知 x，y 取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
y
1.3
1.8
5.6
6.1
x2 i
x y 8x y
^＝ x ＝45， y ＝85，b
i 1 8 i i
8
x
i 1
2 i
^＝－ ^ x ≈55 8 x ≈0.667，a y －b
2
所以 y 关于 x 的回归方程为^ y＝0.667x＋55.
(3)由回归直线方程，可知：每增加 1 个零件，加工时间平 均增加 0.667 分钟.
2.3 变量间的相关关系
【学习目标】 1.了解相关关系的概念. 2.会利用散点图直观地判断两个变量之间是否有较强的线 性关系. 3.了解最小二乘法的思想，并能根据给出ຫໍສະໝຸດ 线性回归方程 系数公式求线性回归方程.
1.相关关系的概念
不确定 关系， 相关关系是指变量之间存在某种程度上的________ 随机性 即当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的________. 2.两个变量的线性相关 (1)散点图： 将样本中 n 个数据点(xi，yi)(i＝1，2，„，n)描在平面直角 坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形 叫做散点图.
图 D17
(2)对照数据计算，得 x ＝4.5， y ＝3.5， xi yi ＝66.5， xi2 ＝86，
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北师大七年级下册数学第三章《变量间的关系》知识点梳理及典型例题文档
第三章变量之间的关系知识点梳理及典型例题轴（纵轴）上的点表示，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；知识回首——复习【温馨提示】图象法能直观、形象地描绘两个变量之间的关系，但不过反应两行程、速度、时间之间的关系：，，；个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确立的数值常常是近似的.知识点一常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为.数值一直不变的量为；在某一变化过程中，假如有两个变量x和y，当此中一个变量x在必定范围内取一个数值时，另一个变量y也有独一一个数值与其对应，那么，往常把前一个变量x叫做，后一个变量y叫做自变量的；注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.比如：s=60t，速度60千米/时是，时间t和里程s为变量.t是，s是。
知识点二用表格表示变量之间的关系表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，能够表示因变量随自变量的变化而变化的状况。
注意：用表格能够表示两个变量之间的关系时，能正确地指出几组自变量和因变量的值，但不可以全面地反应两个变量之间的关系，只好反应此中的一部分，从数据中获得两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的重点.【方法技巧】（1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线能够知道自变量取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋向：图象自左向右是上涨的，则说明因变量跟着自变量的增大而增大，图象自左向右是上涨下降的，则说明因变量跟着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.知识点五变量之间的关系的表示方法比较表示变量之间的关系，能够用、和；此中表格法了如指掌，使用方便，但列出的数值有限，不简单看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单了然，能正确反应出整个变化过程中因变量与自变量之间的互相关系，可是求对应值时，要经过比较复杂的计算，并且在本质问题中，有的变量之间的关系不必定能用关系式表示出来；图象法的特色是形象、直观，能够形象地反应出变量之间的变化趋向和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象法常常难以获得正确的对应值；知识点三用关系式表示两个变量之间的关系比如，正方形的边长为x，面积为 y，则y=x2这个关系式就是表示两个变量之间的对应关系，此中x是，y是；一般地，含有两个未知数（变量）的等式就是表示这两个变量的关系式；【温馨提示】（1）写关系式的重点是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母独自写在等号的左侧，右侧是用自变量表示因变量的代数式（.2）自变量的取值一定使式子存心义，本质问题还要有本质意义.（3）本质问题中，有的变量关系不必定能用关系式表示出来.【方法技巧】列关系式的重点是记着一些常有图形的有关公式和弄清两个变量间的量的关系.依据关系式求值本质上是求代数式的值或解方程.知识点四用图象表示两个变量间的关系图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，往常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示，用竖直方向的数专题一能从表格中获得两个变量之间关系的信息1．有一个水箱，它的容积是500L，现要将水箱注满，下边是灌水的状况表灌水时间/min0510********灌水量/L200250300350400450500（1）在这个灌水过程中，反应的是两个变量与之间的关系，此中变量是自变量，变量是因变量；（2）这个水箱原有水L；（3）min时水箱注满水；（4）由表中的数据能够看出，水箱的灌水过程是均匀的，那么均匀每分钟灌水L.12．一根合金棒在不一样的温度下，其长度也不一样，合金棒的长度和温度之间有以下关系：温度（℃）-5051015长度（cm）10（1）上表反应了温度与长度两个变量之间的关系，此中自变量，是因变量.（2）当温度是10℃时，合金棒的长度是cm．（3）假如合金棒的长度大于cm小于cm，依据表中的数据推断，此时的温度应在℃～℃的范围内．（4）当温度为-20℃和100℃，合金棒的长度分别为cm和cm．专题二依据表格确立自变量、因变量及变化规律3．七年级（1）班第一小组的同学礼拜天去郊野登山，获得以下数据：爬坡长度x/m305080100150200爬坡时间y/min2914201）当爬到100m时，所花的时间是多少？2）当爬到每增添10m时，所花的时间同样吗？3）从表中数据的变化中，你能获得什么变化趋向？4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒之间的速度经丈量以下表：时间（s）012345678910速度（m/s）01）上表反应了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？（2）假如用t表示时间，v表示速度，那么跟着t的变化，v的变化趋向是什么？（3）当t每增添1s时，v的变化状况同样吗？在哪一秒钟,v的增添量最大？（4）若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120km/h，试预计还需几秒这辆小汽车的速度就达到这个上限?专题三用关系式表示两个变量之间的关系5．某水果批发市场香蕉的价钱以下表：购置香蕉数x≤2020<x≤40x>40x（千克）每千克价钱8元7元6元若小强购置香蕉x千克（x大于40千克）付了y元，则y对于x的关系式为.6.（1）某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后边每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式，并写出自变量n的取值范围．（2）在其余条件不变的状况下，请研究以下问题：①当后边每一排都比前一排多2个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的关系式是（1≤n≤25，且n是正整数）；②当后边每一排都比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的关系式分别是，（1≤n≤25，且n是正整数）；③某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后边每一排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式．218 专题四 用关系式求值197．一棵树苗，种植时高度约为80厘米，为研究它的生长状况，测得数据以下表：20 （1）此变化过程中是自变量，是因变量；21 （2）树苗高度 h 与种植的年数n 之间22 的关系式为 ；23 （3）种植后 后，树苗能长到28024 厘米．25 26 27 28 29 8．某市为了鼓舞市民节俭用水， 30 规定自来水的收费标准以下表： 31（1）现已知小伟家四月份用水32 吨，则应缴纳水费多少元？种植此后的年数 n/年 高度h/厘米11052 13031554180每个月每户用水量每吨价（元）不超出10吨部分（3）这天从最低温度到最高温度经过了 小时；（4）温度上涨的时间范围为 ，温度下降的时间范围为 ； （5）你展望第二天清晨 1时的温度是 ．10．如图，水以恒速（即单位时间 内注入水的体积同样） 注入下边 四种底面积同样的容器中 .1）请分别找出与各容器对应的水的高度h 和时间t 的变化关系的图象，用直线段连结起来；2）当容器中的水恰巧达到一半高度时，请在关系图的 t 轴上标出此时 t 值对应点 T 的地点．专题六 折线型图象11.如图，表现了一辆汽车内行驶途中的速度随时间的变化状况．（1）A 、B 两点分别表示（2）写出每个月每户的水费（y 元） 超出10吨而不超出20吨部分与用水量x （吨）之间的函数关超出20吨部分系式．（3）若已知小伟家五月份的水费为 17元，则他家五月份用水多少吨？专题五 曲线型图象9．温度的变化是人们常常讨论的话 题．请你依据图象，议论某地某天温度变化的状况以下图：（1）上午10时的温度是 度， 14时的温度是度； （2）这天最高温度是 度，是在 时达到的；最低温度是度，是在时达到的；汽车是什么状态？（2）请你分段描绘汽车在第0分钟到第 19分钟的行 驶状况．（3）司机歇息 5分钟后继续上路，加快 1分钟后开始以 60km/h 的速度匀速行驶， 5分钟后减速，用了 2分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．3第三章变量之间的关系复习题1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不一样质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据以下表：所挂物体的质量/千克012345弹簧的长度/cm121314上表反应了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？假如用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么跟着x的变化，y的变化趋向怎样？(5)当x在什么范围变化时，y随x的增大而增大，当x在什么范围变化时，y 随x的增大而减小？你又是依据哪一种表示法获得的？请你预计x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？3．小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书，以下图反响了他们两人走开学校的行程与时间的关系。
数学人教B版必修3教案：231变量之间的相关关系含答案.doc
课题2. 3. 1变量之间的相关关系总课时1教学要求明确事物间的相互联系；认识现实生活屮变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系.教学重点难点通过收集现实问题屮两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
教法讲练探究教学过程一、复习引入请同学们如实填写下表（在空格中打“ J ” ）好•I1差你的数学成绩你的物理成绩然后冋答如下问题：①“你的数学成绩对你的物理成绩有无影响？”②“如果你的数学成绩好, 那么你的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。
”对你来说，是这样吗？物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定彫响的.但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示（幻灯片给出）：（影响你的物理成绩的关系图）因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就進确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。
如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.二、新课讲授1.相关关系：当自变量取值一定吋，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定吋，因变量帶有随机性，这种变量之I'可的关系称为相关关系.相关关系是i种非确定性关系.2.探究线性相关关系和其他相关关系问题：在一次对人体脂肪和年龄关系的研允中，研究人员获得了一组样本数据：针对于上述数据所提供的信息，你认为人体的脂肪含量与年龄Z间有怎样的关系？向学生强调在研究两个变量之I'可是否存在某种关系时，必须从散点图入手（向学生介绍什么是散点图）.并且引导学生从散点图上可以得出如下规律：1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么变量之间具有函数关系（确定性关系）；2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，那么变量Z间具有相关关系（不确定性关系）;3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系（不确定性关系）. 给出三组数据（表1-3）,请学生作出散点图，并观察每组数据的特点。
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第二章统计2.3变量之间的相关关系（练习）
科目高一数学班级姓名时间 2014-3-21
一、选择题：
1．下列两个变量之间的关系不具有相关关系的是()
A．小麦产量与施肥量B．球的体积与表面积
C．蛋鸭产蛋个数与饲养天数D．甘蔗的含糖量与生长期的日照天数2．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(u
，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )
i
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图
所示，则其回归方程可能为( )
根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元C．67.7万元 D．72.0万元
5．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.y^＝－10x＋200
B.y^＝10x＋200
C.y^＝－10x－200
D.y^＝10x－200 6．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y^＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A．身高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm以下 D．身高在145.83 cm左右
二、填空题
7．某炼钢厂废品率x(%)与成本y(元/t)的线性回归方程为y^＝105.492＋42.569x.当成本控制在176.5元/t时，可以预计生产1 000 t钢中，约有__________t钢是废品．
8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x 的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加__________万元．
9．假设学生在初中的英语成绩和高一英语成绩是线性相关的．现有10名学生的初中英语成绩(x)和高一英语成绩(y)如下：
10．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192,3 246](单位：吨)，船
员的人数5～32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为y^＝9.5＋0.006 2x，
(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数．
(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．
11．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
(1)
(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？。