易拉罐下2

题目 易拉罐下料问题
摘要
易拉罐在食品容器中占有重要地位，易拉罐下料不仅为易拉罐的生产提供了方法指导，也为企业带来了竞争力。

因此，研究易拉罐下料问题具有重要的意义。

因为公司按不同的模式冲压有不同的下料方式，公司每周的工作时间以及镀锡板原料都有限制条件，所以我们建立线性规划模型。

先确定目标函数
MaxZ M N =-
其中
M 0.1*Y1=
0.001*(222.6*X1183.3*X2201.8*X3169.5*X4157.1*Y219.6*Y3)N =+++++ 再列出约束条件：
1.5*X12*X2X33*X4144000(40)X1X2X350000X420000..Y1X12*X24*X4
Y1(10*X14*X216*X35*X4/2
0,1,2,30s t Xi Y Y Y +++≤⎧⎪
++≤⎪⎪≤⎪⎨≤++⎪⎪≤+++⎪
≥≥⎪⎩小时） 最后通过Lingo 软件求的不生产模式1；模式2生产40125张；模式3生产3750张；模式4生产20000张。

此方法一周内共生产易拉罐160250个，罐身和底、盖均无剩余；减少了余料损失，使公司所获得最大利润4523.337元。

关键词 最大效益 生产模式 线性规划模型 Lingo 软件 列表分析法
一、问题重述
1.1背景分析
近年来易拉罐成为我国市场上发展最快、应用最广泛的食物容器之一。

权威数据统计仅在一年内中国市场就销售了120亿只锡质易拉罐。

制造易拉罐需要消耗不少能源和地球资源，伴随着能源危机，易拉罐轻量化进程大大加快。

锡制易拉罐是易拉罐重要种类之一，而下料则是制造易拉罐的重要操作过程。

合理安排下料生产不仅能减少材料的损失，而且能提高企业竞争力，使企业获得更多的效益。

1.2问题重述
某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压成的，为圆柱状，包括罐身、上盖和下底。

罐身高cm
5。

10，上盖和下底的直径均为cm
该公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格1的镀锡板为正方形，边长cm
24；规格2的镀锡板为长方形，长cm
28；由于生产设备和生产工艺的限制，规格1的镀
32，宽cm
锡板只能按模式1、2、3冲压，规格2的镀锡板只能按模式4冲压(见附录)，使用模式1、2、3、4进行冲压所需时间分别为5.1秒、2秒、1秒和3秒。

该公司每周工作40小时，每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为5万张和2万张，目前每只易拉罐的利润为1.0元，原料余料损失为001
/cm(如果周末有罐身、
.0元2
上盖或下底不能配套成易拉罐出售，也看成是余料损失)。

公司应如何安排每周的生产？
二、问题分析
对公司每周的生产做出安排，目标是要求公司利润最大，即销售额最大，原料余料损失最小(如果周末有罐身、上盖或下底不能配套成易拉罐出售，也看成是余料损失)，在满足每周工作时间40小时、可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为5万张和2万张的条件后，求最大利润，因此，我们选用线性规划模型，目标函数即为公司的最终利润，列出约束条件，利用Lingo软件求出最优解。

最后讨论模型的改进与推广。

三、模型假设
结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些因素的干扰，提出以下几点假设：
1、每周生产正常进行，排除机器故障、员工请假等问题影响生产。

2、原料供应充足，排除无缺料现象。

3、易拉罐所生产量全部销售，无积压现象。

4、无生产残次易拉罐现象。

四、符号说明
为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：（其他未说明的符号在文中第一次出现时会做详细的说明。

）
五、模型的建立与求解
经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。

5.1计算各种模式下的余料损失
易拉罐上、下底直径d 5cm =，罐身身高h 10cm =（模式1、2、3、4见附录） 模式1余料损失2222410*/4222.6d dh cm ππ--=
模式2余料损失222
244*/42183.3d dh cm ππ--=
模式3余料损失222
2416*/4261.8d cm π-=
模式4余料损失22
32*285*/44169.5d dh cm ππ--=
罐身面积215.1dh cm π=
罐底或罐盖面积22/419.6d cm π=
5.2目标函数
MaxZ M N =-
其中 M 0.1*Y 1
= 0.001*(222.6*X1183.3*X2201.8*X3169.5*X4157.1*Y219.6*Y3)N =+++++
5.3约束条件
（1）公司员工每周工作时间不超过40小时；
（2）每周可提供规格1的镀锡板原料不超过5万张； （3）每周可提供规格1的镀锡板原料不超过2万张；
（4）罐身和罐底配套生产，不能配套的看成是余料损失；
（5）原料张数、易拉罐个数、罐身、上盖、下底个数均为正整数。

1.5*X12*X2X33*X4144000(40)X1X2X350000X420000..Y1X12*X24*X4
Y1(10*X14*X216*X35*X4/2
0,1,2,30s t Xi Y Y Y +++≤⎧⎪
++≤⎪⎪≤⎪⎨≤++⎪⎪≤+++⎪
≥≥⎪⎩小时） 5.4利用Lingo 软件求解得出结果（软件程序见附录）
不用模式1生产；模式2生产40125张；模式3生产3750张；模式4生产20000张；一周内共生产易拉罐个数为160250个，罐身和底、盖均无剩余；公司所获得最终利润是4523.337元。

六、模型的评价与改进 6.1模型的评价 6.1.1模型的优点：
本文我们逐步分析了利润最大，如何安排生产冲压模式、原料余料损失，原料提供及人员限制等综合因素，确定了用线性规划模型求解，因而模型具有较强的实用性。

在模型求解上，利用线性规划模型的方法，用Lingo 编程巧妙地求出函数的最优解。

6.1.2模型的缺点：
没有考虑机器故障、员工请假等一系列影响生产的问题。

没有考虑原料是否充足。

没有考虑所生产的易拉罐是否全部销售，生产过程中生产残次易拉罐现象的问题。

6.2模型的改进
七、模型推广
由于模型在实际应用中存在一定得不足，现在我们将会对线性规划模型进行相应的改进和优化。

附录
易拉罐生产模式
模式1 模式2 模式3 模式4 Lingo软件程序
model:
max=0.1*Y1-0.001*(222.6*X1+183.3*X2+201.8*X3+169.5*X4+157.1*Y2+19.6*Y3);
1.5*X1+2*X2+X3+3*X4<=144000;
X1+X2+X3<=50000;
X4<=20000;
Y1<=X1+2*X2+4*X4;
Y1<=(10*X1+4*X2+16*X3+5*X4)/2;
X1>=0;X2>=0;X3>=0;X4>=0;Y1>=0;Y2>=0;Y3>=0;
end
程序运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 4523.337
Total solver iterations: 5
Variable Value Reduced Cost
Y1 160250.0 0.000000
X1 0.000000 0.3005000E-01
X2 40125.00 0.000000
X3 3750.000 0.000000
X4 20000.00 0.000000
Y2 0.000000 0.1571000
Y3 0.000000 0.1960000E-01
Row Slack or Surplus Dual Price
1 4523.337 1.000000
2 0.000000 0.8350000E-02
3 6125.000 0.000000
4 0.000000 0.1660469
5 0.000000 0.7373125E-01
6 0.000000 0.2626875E-01
7 0.000000 0.000000
8 40125.00 0.000000
9 3750.000 0.000000
10 20000.00 0.000000
11 160250.0 0.000000
12 0.000000 0.000000
13 0.000000 0.000000。