全国大学生数学建模竞赛2009年D题_讲解_清华大学_姜启源

题目的背景
2009年 2009年8月第十一届全国数学建模教学与应用会议在福 州召开。这是一次规模庞大的系列性学术会议, 州召开。这是一次规模庞大的系列性学术会议, 据以 往几届会议的情况看, 有以下共同的、明显的特点： 往几届会议的情况看, 有以下共同的、明显的特点： • 与会代表多达数百人，而适于接待的宾馆容量有限 与会代表多达数百人，而适于接待的宾馆容量有限, 只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿； 只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿； • 有一些发来回执的代表不来开会 也有一些与会代表 有一些发来回执的代表不来开会, 事先不提交回执, 给预订宾馆客房数量造成了困难； 事先不提交回执 给预订宾馆客房数量造成了困难； • 虽然客房房费由与会代表自付 但如预订客房数量大 虽然客房房费由与会代表自付, 于实际数量, 筹备组需要支付一天的空房费, 于实际数量 筹备组需要支付一天的空房费 而若预订 客房数量不足, 则将引起代表的强烈不满； 客房数量不足 则将引起代表的强烈不满； • 若内容不同的分组会分散在几个宾馆 而代表要参加 若内容不同的分组会分散在几个宾馆, 哪个分组会无法预知, 因此需要派车在宾馆间接送代表。 哪个分组会无法预知 因此需要派车在宾馆间接送代表。
附表1 10家备选宾馆的有关数据 宾馆代号 规格 ① 客房 间数 50 30 30 20 会议室 价格(天) 规模 间数 价格(半天) 1 1500元 180元 200人 2 1200元 220元 150人 2 180元 60人 600元 220元
普通双标间 商务双标间 普通单人间 商务单人间 …… …… …… ⑩ 经济标准房(2床） 标准房（2床）
问题分析和解决方法
从题目要求出发，主要需要解决三个问题： 从题目要求出发，主要需要解决三个问题： 1）预测本届会议与会代表的数量, 并确定需要 ）预测本届会议与会代表的数量 预订各类客房的数量； 预订各类客房的数量； 2）确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的 ） 数量； 数量； 3）确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室以及 ） 租车的规格和数量。 租车的规格和数量。
发来回执的代表数 量 发来回执但未与会 的代表数量 未发回执而与会的 代表数量
附图（其中 等数字是两宾馆间距， 附图（其中500等数字是两宾馆间距，单位为米） 等数字是两宾馆间距 单位为米）
④ 500 ② ① ⑤ 300 ⑥ 700 ⑩ ⑦ 200 150 300 ⑨ 150 300 ⑧ 1000 ③
问题分析和解决方法
问题1是求解问题 ， 的前提 首先应该根据附表2， 的前提， 问题 是求解问题2，3的前提，首先应该根据附表 ， 是求解问题 3的数据对本届会议与会代表的数量进行预测。 的数据对本届会议与会代表的数量进行预测。 的数据对本届会议与会代表的数量进行预测 确定预订客房总量时 确定预订客房总量时，应使会议筹备组在订房上的 客房总量 损失尽量小，损失包括： 损失尽量小，损失包括：预订客房数超过实际用量时 需要支付的一天空房费；预订客房数不够时引起代表 需要支付的一天空房费； 不满的“费用” 不满的“费用”，后者要用适当的数学表达式加以量 化。 根据附表2数据中本届会议的代表所需要 种类型 根据附表 数据中本届会议的代表所需要6种类型 数据中本届会议的代表所需要 的客房的比例，可由预订客房的总量得到预定各类客 的客房的比例，可由预订客房的总量得到预定各类客 房的数量。 房的数量。
题目的背景
一些会议的筹备者和宾馆的管理人员反映, 一些会议的筹备者和宾馆的管理人员反映 诸如上述 这些情况普遍存在、时常发生。 这些情况普遍存在、时常发生。 通过数学建模方法, 从经济、方便、代表满意等方面, 通过数学建模方法 从经济、方便、代表满意等方面 为会议筹备者制定一个预订宾馆客房、租借会议室、 为会议筹备者制定一个预订宾馆客房、租借会议室、 租用客车的合理方案, 租用客车的合理方案 是非常现实且很有实际意义的课 并且这方面的研究过去几乎没有。 题, 并且这方面的研究过去几乎没有。 为了保持问题的原汁原味, 赛题中所列10家宾馆的 为了保持问题的原汁原味 赛题中所列 家宾馆的 基本数据和相对位置, 基本数据和相对位置 以及本届会议代表回执中有关 住房要求的信息都是真实的, 住房要求的信息都是真实的 只是对一些宾馆客房和 会议室的数量略作改动。 会议室的数量略作改动。关于前几届会议的代表回执 和与会情况也基本上参考了历史数据。 和与会情况也基本上参考了历史数据。
问题分析和解决方法
问题3主要应考虑租用会议室和客车的总费用尽量小、 问题 主要应考虑租用会议室和客车的总费用尽量小、 主要应考虑租用会议室和客车的总费用尽量小 会议室所在的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。 会议室所在的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。 租车要考虑多少代表参加哪个分组会议, 租车要考虑多少代表参加哪个分组会议 题目中没有 平均的、 方式处理。 这方面的信息, 可以按照平均的 随机的方式处理 这方面的信息 可以按照平均的、随机的方式处理。 当建立优化模型时, 当建立优化模型时 可用租借会议室和客车的总费用 最少为目标函数, 以满足对会议室数量、 最少为目标函数 以满足对会议室数量、大小及租车的 需要为约束条件, 以租用会议室和车辆的规格、 需要为约束条件 以租用会议室和车辆的规格、数量为 决策变量。 决策变量。 将问题2, 3统一建立模型并求解有一定困难 可在问 将问题 统一建立模型并求解有一定困难, 统一建立模型并求解有一定困难 几个解的基础上解问题3，通过比较得出最后结果。 题2几个解的基础上解问题 ，通过比较得出最后结果。 几个解的基础上解问题
一种参考解法
1. 预测本届会议的与会代表数量 确定需要预订各类客房的数量
设有n届同类型会议的历史数据可利用 较小 本题n=4) 较小, 设有 届同类型会议的历史数据可利用 (n较小 本题 第i届发来回执的代表数量 i 届发来回执的代表数量a 届发来回执但未与会的代表数量b 第i届发来回执但未与会的代表数量 i 届发来回执但未与会的代表数量 第i届未发回执而与会的代表数量 i 届未发回执而与会的代表数量c • 比例法预测 第i届与会代表数量 i= ai- bi+ ci 届与会代表数量d 第i届与会代表占发来回执数量的比例ei= di/ai 届与会代表占发来回执数量的比例 本届发来回执数量A 本届发来回执数量 Nmean=Aemean =661 预测本届会议与会代表数量 Nmax=Aemax =678 emean ， emax
全国大学生数学建模竞赛 2009ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD题 年 题
会 议 筹 备
清华大学 姜启源 jiangqy@tsinghua.edu.cn
• 题目 • 题目的背景 • 问题分析和解决方法 • 一种参考解法 • 对学生论文的评述
题 目
某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性 会议, 会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房, 租借会议室, 会议 会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房 租借会议室 并租用 客车接送代表。由于预计会议规模庞大, 客车接送代表。由于预计会议规模庞大 而适于接待这次会议的几 家宾馆的客房和会议室数量均有限, 家宾馆的客房和会议室数量均有限 所以只能让与会代表分散到若 干家宾馆住宿。为了便于管理, 干家宾馆住宿。为了便于管理 除了尽量满足代表在价位等方面的 需求之外, 所选择的宾馆数量应该尽可能少, 并且距离上比较靠近。 需求之外, 所选择的宾馆数量应该尽可能少, 并且距离上比较靠近。 筹备组经过实地考察, 筛选出10家宾馆作为备选 家宾馆作为备选, 筹备组经过实地考察 筛选出 家宾馆作为备选 它们的名称 用代号① 表示, 相对位置见附图, 有关客房及会议室的规格、 用代号①至⑩表示 相对位置见附图 有关客房及会议室的规格、 间数、价格等数据见附表1。 间数、价格等数据见附表 。 根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。 根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表 。 从以往几届会议情况看, 有一些发来回执的代表不来开会, 从以往几届会议情况看 有一些发来回执的代表不来开会 同时也 有一些与会的代表事先不提交回执, 相关数据见附表3。附表2, 都 有一些与会的代表事先不提交回执 相关数据见附表 。附表 3都 可以作为预订宾馆客房的参考。 可以作为预订宾馆客房的参考。
1.
预测本届会议的与会代表数量 确定需要预订各类客房的数量
650 600 550 500 450 400 350 300
• 建立 i对ai的回归模型 建立d 用线性模型预测本届会议 与会代表数量 N=638 确定预订客房的总量
250 300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
考虑两种可能的损失：空房费；代表不满的量化“费用” 考虑两种可能的损失：空房费；代表不满的量化“费用” • 适当提高预测的与会代表数量 • 对未发回执而与会的代表另作安排 • 参考“航空公司的预订票策略”模型 参考“航空公司的预订票策略” （姜启源等：《数学模型（第三版）第284页》 姜启源等： 数学模型（第三版） 页
55 45
260元 280元
180人 140人
1 2
1500元 1000元
附表2 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息(单位：人) 合住1 154 78 合住2 104 48 合住3 32 17 独住1 107 59 独住2 68 28 独住3 41 19
男 女
附表3 以往几届会议代表回执和与会情况 第一届 315 89 57 第二届 356 115 69 第三届 408 121 75 第四届 711 213 104
问题分析和解决方法
问题2主要应考虑筹备组管理的方便及代表的满意， 问题 主要应考虑筹备组管理的方便及代表的满意， 主要应考虑筹备组管理的方便及代表的满意 如满足代表在合住或独住及价位方面的需求、 如满足代表在合住或独住及价位方面的需求、预订 的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。 的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。 若建立优化模型，可以用宾馆总数最少为目标函 若建立优化模型，可以用宾馆总数最少为目标函 以满足代表在合住或独住及价位方面的需求， 数，以满足代表在合住或独住及价位方面的需求， 及各宾馆拥有客房数量等为约束条件 约束条件， 及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，以在哪几家 宾馆订房及各类客房订多少间为决策变量 决策变量。 宾馆订房及各类客房订多少间为决策变量。 以宾馆总数最少为目标的优化模型其最优解一般 不唯一，可以再考虑宾馆间的距离、 不唯一，可以再考虑宾馆间的距离、客房价格等因 从几个解中选出相对较好的一个。 素，从几个解中选出相对较好的一个。
需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付， 需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果 预订客房的数量大于实际用房数量， 预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空 房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面， 房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面， 引起代表的不满。 引起代表的不满。 会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议 个分组会议， 会议期间有一天的上下午各安排 个分组会议，筹备组需要 在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些 在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些 代表准备参加哪个分组会， 代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客 车接送代表。现有45座 座和33座三种类型的客车 车接送代表。现有 座、36座和 座三种类型的客车，租金分 座和 座三种类型的客车， 别是半天800元、700元和 元。 元和600元 别是半天 元 元和 请你们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方 请你们通过数学建模方法，从经济、方便、 制定一个预订宾馆客房、 为会议筹备组制定一个预订宾馆客房 租借会议室、 面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用 客车的合理方案。 客车的合理方案。