图形计数及最短路线新剖析
一分钟找到求最短路径的技巧解法，附12个模型详解
⼀分钟找到求最短路径的技巧解法，附12个模型详解
每周⼀练19期
【数学——三值排列】
“最短路径问题”在现实⽣活中经常遇到。
初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连接直线外⼀点
与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变
化进⾏研究。
“最短路径问题”从本质上来说是最值问题。
这是我们中考中的必考知识点，也是我们学习勾股定
理之后的重点内容，常规的解法繁琐⽽低效，但其实这类题型⼀般来说都有解题技巧。
【例】
你花了多长时间解出来？
来看看技巧解题吧~
对答案时间
巩固学习
最短路径求最值12个模型详解
你学到了吗？
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用勾股定理求几何体中的最短路线长课件
问题描述
问题定义
给定一个几何体，如长方体、球体等，求从一个顶点到另一个顶点的最短路线长 度。
问题分析
最短路线问题可以通过几何学中的勾股定理进行求解。勾股定理是直角三角形中 ，直角边的平方和等于斜边的平方。在三维空间中，可以利用勾股定理找到最短 路径。
02
勾股定理简介
勾股定理的定义
勾股定理：在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。即，如果 直角三角形的两条直角边长度分别为 a和b，斜边长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
用勾股定理求几何体中的 最短路线长ppt课件
• 引言 • 勾股定理简介 • 几何体的最短路线问题 • 用勾股定理求解最短路线长 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
介绍如何使用勾股定理在几何体中寻找最短路线长度。
背景
几何体中的最短路线问题在实际生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、机器 人等领域。通过解决这类问题，可以优化设计、提高效率、降低成本等。
THANKS
感谢观看
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中比较常见的是欧几里得证 明法。该证明方法利用了相似三角形的性质和边长之间的关 系，通过一系列的推导和证明，最终证明了勾股定理。
除了欧几里得证明法外，还有其他的证明方法，如利用代数 方法和微积分方法等。这些证明方法虽然不同，但都能够证 明勾股定理的正确性。
的性质和勾股定理得出的结论。
空间几何体中的最短路线问题
1 2 3
球面几何中的大圆弧最短
在球面几何中，两点之间的大圆弧是最短的路径 。大圆弧是指经过球心并与球面相切的圆弧。
圆柱体或圆锥体中的母线最短
在圆柱体或圆锥体中，从顶点到底面的母线是最 短的路径。母线是与底面平行的线段，也是旋转 轴。
初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT） 初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
一笔画和最短路线问题
小 结： 把几何体适当展开成平面图 形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D A 4 C1 1 B1 C 2 B
练习1
观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪 些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明 画法.
练习题答案
（1）图：不能一笔画，因为此图不是连通图。 （2）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D。 （3）图：可以一笔画，因为没有奇点； 画法可以是：A→B→C→D→E→F→G→H→ B→I→C→E→J→F→H→A。 （4）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点。
生活中的“一笔画”问题 需要顺便提到的是：既然可 由一笔画画成的脉络，其奇点个 数应不多于两个，那么，两笔划 或多笔划能够画成的脉络，其奇 点个数应有怎样的限制呢？我想， 聪明的读者完全能自行回答这个 问题。
生活中的“一笔画”问题
例3 练习9
一般地，我们有： 含有2n(n>0)个奇点的脉络，需要n笔划画成。
欧拉解决这个问题的方法非常巧妙。他认为：人们关 心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长 而桥则可 短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点， 以看成是连接这些点的一条线。这样，一个实际问题就转 化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了。
A
B
所谓图的一笔画，指的是：从图的一点出发，笔不离纸，
D
A
B
C
这个问题看起来是这样的简单，人人都乐意 是尝试，但没有找到合适的路线。 问题传开后，许多欧洲有学问的人也参与思 考，同样是一筹莫展，有人想到了当时正在俄国 圣彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮 助解决。 欧拉依靠他深厚的数学功底，运用娴熟的变 换技巧，经过一年的研究，于1736年递交了一份 题为《哥尼斯堡七座桥》的论文，圆满地解决了 这一问题。
专题02 尺规作图与最短路径(解析版)
专题02 尺规作图与最短路径几何中，用（无刻度）的直尺和圆规作图为尺规作图.一. 五种基本作图1. 作一条线段等于已知线段2. 作一个角等于已知角3. 作已知角的平分线（理论依据：SSS）4. 过一点（直线上或外）作已知直线的垂线5. 作已知线段的垂直平分线二. 尺规综合作图1. 已知三边作三角形2. 已知两边及夹角作三角形3. 已知两角及夹边作三角形三. 最短路径1. 单动点（P为直线l上一动点，P A+PB最小）2. 双动点（B、C为直线OM，ON上的动点，△ABC周长最小）其中，∠O=90°－12∠BAC. △ABC周长为A’A’’的长.3. 造桥选址【典例解析】【例1-1】（2020·庆云县月考）某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】解：如图所示：点P的位置就是饭馆的位置．【例1-2】（2019·舞钢市月考）小安的一张地图上有A，B，C3三个城市，地图上的C城市被墨污染了（如图），但知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，你能用尺规作图帮他在下图中确定C城市的具体位置吗？（不作法，保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】根据作一个角等于已知角的方法分别以AB为边，作∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，两个角的边的交点处就是C的位置．点C为所求的点.【变式1-1】（2020·丽水市莲都区教研室期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A 【解析】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故答案为：A ．【变式1-2】（2019·河北南宫期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容：如图，已知AOB ∠，求作：DEF ∠，使DEF AOB ∠=∠．作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点P 、Q ；（2）作射线EG ，并以点E 为圆心，长为半径画弧交EG 于点D ； （3）以点D 为圆心，长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F ； （4）作，DEF ∠即为所求作的角．A ．表示点E B ．表示PQ C ．表示OQ D ．表示射线EF【答案】D【解析】作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点P 、Q ；（2）作射线EG ，并以点E 为圆心，OP 为半径画弧交EG 于点D ；（3）以点D 为圆心，PQ 长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F ；（4）作射线EF ，∠DEF 即为所求作的角．故答案为D ．【变式1-3】（2020·山东青岛期中）如图，AB 是某条河上的一座桥，现要在河的下游点C 处再建一座与AB 平行的桥CD ，请用直尺和圆规画出CD 的方向．【答案】见解析【解析】解：如图，线段CD 即为所求．【变式1-4】（2020·广州月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB ∠∠='''的依据是（ ）A ．S ．S ．SB ．S ．A ．SC ．A ．S ．AD ．A ．A ．S【答案】A 【解析】解：由作图知OC =O ’C ’，OD =O ′D '，CD =C ′D '，∴△OCD ≌△O ′C ′D ′，∴∠A ′O ′B ′=∠AOB ，判断依据为SSS ，故答案为：A ．【例2-1】（2020·曲阜月考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC 、AB 于点M 、N ；②分别以点M 和点N 为圆心、大于12MN 的长为半径作圆弧，在∠BAC 内，两弧交于点P ；③作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =4，AB =15，则△ABD 的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B 【解析】解：过D 作DE ⊥AB 于E ， AP 平分∠CAB ．∵AP 平分∠CAB ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴DE =DC =4，∴△ABD 的面积=12×AB ×DE =30 故答案为B ．【例2-2】（2020·广东广州月考）如图，△ABC 中，90C ∠=︒，AC =BC ．（1）用直尺和圆规作BAC ∠的平分线交BC 于点D （保留作图痕迹）（2）过点D 画△ABD 的边AB 上的高DE ，交线段AB 于点E ，若△BDE 的周长是5cm ，求AB 的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，AD 即为所作；（2）∵AD 平分∠BAC ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD AD CD DE=⎧⎨=⎩，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC，∵AC=BC，∴BC=AE，∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，∴AB=5cm．【变式2-1】（2020·山东博山二模）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（）A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°【答案】D【解析】解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，∴∠AOP=∠AOB=30°（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC＝15°或45°，故答案为：D．【变式2-2】（2020·广东）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．【变式2-3】（2020·山东省陵城区月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=________．【答案】125°【解析】解：由题意可得：AD平分∠CAB，∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°，∴∠CAD=∠BAD=35°，∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°．故答案为125°．【变式2-4】（2020·长春月考）如图，依据尺规作图的痕迹，计算=α∠（ ）A ．56︒B ．68︒C ．22︒D ．34︒【答案】A 【解析】解：如图所示，AE 平分∠DAC ，EF ⊥AC ，∵∠ACB =68°，∴∠DAC =68°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAE =∠EAC =34°，∵EF ⊥AC ，∴∠AEF ==α∠90°-34°=56°．故答案为A .【例3】（2020·禹城市期末）如图，等边ABC 中，D 为BC 边中点，CP 是BC 的延长线．按下列要求作图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（1）作ACP ∠的平分线CF ；（2）作60ADE ∠=︒，且DE 交CF 于点E ；（3）在（1），（2）的条件下，可判断AD 与DE 的数量关系是__________；请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）（2）尺规作图，如下图；（3）AD =DE ，连接AE ，∵等边△ABC 中，D 为BC 边中点，∴BD =CD ，∠ADB =∠ADC =90°，∵∠B =∠ADE =60°，∴∠BAD =∠EDC =30°，∵∠ACP =120°，CE 为∠ACP 的平分线，∴∠ACE =∠ECP =60°，∴∠DEC =30°，∴CE =CD =BD ，∴△ABD ≌△ACE ，∴AE =AD ，又∵∠ADE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD =DE .【变式3-1】（2020·福建学业考试）如图，ABC ∆为一钝角三角形，且90BAC ∠>︒∆和等腰Rt EAC（要求：尺规作图，不写作法，保留作（1）分别以AB，AC为底向外作等腰Rt DAB图痕迹）⊥并证明．（2）已知P为BC上一动点，通过尺规作图的方式找出一点P，连接PD，PE，使得PD PE【答案】见解析.【解析】解：（1）如图所示；（2）如图所示，作线段BC的垂直平分线交BC于点P，则P点为所求．证明：延长DP使PF=PD，连接FC，EF∵P为BC中点，∴PB=PC又∵PD=PF，∠DPB=∠CPF∴△BDP≌△CFP∠AD =BD =CF ，∠PBD =∠PCF∴BD ∥CF∵AE =CE延长DG ，FC 交于点G∵BD ∥CF∴∠FGD =90°又∠AEC =90°∴∠EAG =∠ECG∴∠DAE =∠ECF又AE =CE ，AD =CF∴△AED ≌△CEF∴EF =ED∵P 为DF 中点∴DP ⊥PD【变式3-2】（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S =．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】解：①连接NP ，PM ，易证∠ANP∠∠AMP则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故∠正确；②∵∠C=90°，∠B=30°∠∠CAB=60°∠AD是∠BAC的平分线∠∠BAD=∠CAD=30°∠∠ADC=∠BAD+∠B=60°，故∠正确；③∵∠BAD=∠CAD=30°∠∠BAD=∠B∠AD=BD，即D在AB的垂直平分线上，故∠正确；④∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°∴AD=2CD∴BC=BD+CD=1.5AD，S△DAC=12AC·CD=14AC·AD∴S△ABC=12AC·BC=12AC·32AD=34AC·AD∴S△DAC：S△ABC=1：3，故④正确故答案为：D．【例4-1】（2020·长沙月考）在∠ABC中，∠A=50°，点O为∠ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当∠OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为______度．【答案】80°【解析】解：作点O关于AC的对称点O’，作点O关于AB的对称点O’’，连结O’O’’，易知当O ’，P ，Q ，O ’’四点共线时，△OPQ 周长最小，最小值为O ’O ’’的长此时，∠A =90°－12∠POQ ∴∠POQ =180°－2∠A =80°；故答案为：80°.【例4-2】（2020·重庆期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，BD 是ABC 的角平分线，点P ，点N 分别是BD ，AC 边上的动点，点M 在BC 上，且1BM=，则PM PN +的最小值为___________．【答案】52． 【解析】解：作点M 关于BD 的对称点M ’，连接PM ’，则PM =PM ’，BM =BM ’=1，易知，当N ，P ，M ’共线时，且M ’N ⊥AC 时，PN +PM ’的最小值为线段M ’N 的长由∠A =30°，知M ’N =12AM ’=52， 故答案为：52.【变式4-1】（2020·江苏无锡二模）如图，一面镜子斜固定在地面OB 上，且60AOB ∠=︒点P 为距离地面OB 为8cm 的一个光源，光线射出经过镜面D 处反射到地面E 点，当光线经过的路径长最短为10cm 时，PD 的长为___________．【答案】4【解析】解：作点P 关于AO 的对称点P ’，当P ’E ⊥OB 时，光线经过的路径长最短，∠P ’E =10，过P 作PF ⊥P ’D 于F ，则P ’F =2，又∠AOB =60°∴∠ODE =30°，∴∠P ’DA =∠PDA =30°，∠P ’DP =60°，PD =P ’D∴△PP ’D 为等边三角形，∴P ’F =DF =2，PD =P ’D =4故答案为：4.【变式4-2】（2020·宜兴市月考）如图，P 为AOB ∠内一定点，M ，N 分别是射线,OA OB 上的点，当PMN周长最小时，80MPN ∠=︒，则AOB ∠=_________．【答案】50°【解析】解：作P 关于OA ，OB 的对称点P 1、P 2，连接OP 1，OP 2，P 1P 2．则当M ，N ，P 1、P 2共线时，△PMN 的周长最小．易知，∠AOB =90°－12∠MPN =50°. 故答案为：50°.【习题专练】1. （2020·南京月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有_________________个．【答案】4【解析】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个． 故答案为4．2.（2020·江阴市月考）在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，且顶点在格点上，在ABC △内部有E 、F 、G 、H 四个格点，到ABC △三个顶点距离相等的点是（ ）A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B【解析】解：∠到∠ABC三个顶点距离相等，∠该点是三角形三边垂直平分线的交点，根据网格作AC、BC的垂直平分线，可得交点为F，故答案为：B．3.（2020·洛阳市二模）如图，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分别以点A，B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则MAN的周长为（）A．9B．10C．11D．13【答案】C【解析】解：由作图可知，DE垂直平分线段AB，PQ垂直平分线段AC，∠MA＝MB，NA＝NC，∠∠AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．故答案为：C ．4.（2020·河南一模）如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，8AD =，120BAD ∠=︒，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则CF 的长为_______．【答案】2.【解析】解：由题意可得，AB ⊥OP ，AE =BE =3∵BC =AD =8，∠B =60°∴∠BFE =30°，∠BEF =90°∴BF =2BE =6∴CF =8-6=2故答案为：2.5．（2020·宜兴市月考）如图，在∠ABC 中，AB ＞AC ．按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；作直线MN 交AB 于点D ；连结CD ．若AB =6，AC =4，则∠ACD 的周长为 ．【答案】10．【解析】解：易知直线MN 是线段BC 的垂直平分线，∴BD =CD ，∴BD +AD =CD +AD =AB ，∵AB =6，AC =4，∴△ADC 的周长=（CD +AD ）+AC =AB +AC =6+4=10．故答案为10．6.（2020·商城县第二中学月考）如图，已知∠AOB（1）尺规作图：作出∠AOB的角平分线OP，补充完整作图步骤，（保留作图痕迹）①____________________________分别交OA、OB于F，E两点；②____________________________，两条圆弧交于点P；③____________________________即为所求．（2）过点F作FD∥OB交OP于点D，FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD．【答案】见解析.【解析】解：(1)如下图所示：①以O点为圆心，任意长为半径作圆弧分别交OA、OB于F，E两点；②分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段圆弧两条圆弧交于点P；③作射线OP，则射线OP即为所求．故答案为：以O点为圆心，任意长为半径作圆弧；分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段圆弧；作射线OP，则射线OP；(2)根据题意，作出如下图所示：由(1)知，OP是∠AOB的角平分线，∴∠2=∠3，又FD∥OB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴△FMO≌△FMD．7．（2019·广东阳山期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．【答案】见解析．【解析】解：由题意得：AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC则∠BCD即为所求作．8．（2020·陕西清涧期末）如图，直线AB与BC相交于点B，D是直线BC上一点，请用尺规求作一点E，DE AB，且点E到B，D两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）使直线//【答案】见解析【解析】解：如图，点E即为所求．9．（2020·北京月考）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∠l作法：如图∠在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．∠连接AC，AB，延长BA到点D；∠作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∠AB＝AC，∠∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∠∠DAC是∠ABC的外角，∠∠DAC ＝∠ABC +∠ACB （填推理的依据）∠∠DAC ＝2∠ABC∠AP 平分∠DAC ，∠∠DAC ＝2∠DAP∠∠DAP ＝∠ABC∠AP ∠l （填推理的依据）【答案】见解析．【解析】解：（1）如图所示，直线AP 即为所求．（2）证明：∠AB ＝AC ，∠∠ABC ＝∠ACB （等边对等角），∠∠DAC 是∠ABC 的外角，∠∠DAC ＝∠ABC +∠ACB （三角形外角性质），∠∠DAC ＝2∠ABC ，∠AP 平分∠DAC ，∠∠DAC ＝2∠DAP ，∠∠DAP ＝∠ABC ，∠AP ∠l （同位角相等，两直线平行），故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．10．（2020·辽宁昌图期末）已知三角形的两角及夹边，求作这个三角形（保留痕迹，不写作法） 已知：,αβ∠∠ ， 线段c ，求作ABC ∆，使,,A B AB c αβ∠=∠∠=∠=【答案】见解析．【解析】解：∠ABC为所求作11．（2020·北京期末）尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．（1）过一点作一条直线．()（2）过两点作一条直线．()（3）画一条长为3㎝的线段．()（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．()（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程． 已知：∠AOB ．求作：A O B '''∠使A O B AOB '''∠=∠作法：（1）如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；（3）以点C '为圆心，____________________；（4）过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．说理：由作法得已知：,,OC O C OD O D CD C D ''''''===求证：A O B AOB '''∠=∠证明：OC O C OD O D CD C D ''''=⎧⎪=⎨⎪=''⎩OCD O C D '''∴∆≅∆( )所以A O B AOB '''∠=∠( )（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l 与直线外一点A ．求作：过点A 的直线l '，使得//l l '．（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．【答案】见解析．【解析】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；（2）过两点作一条直线．可以求作；（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；故答案为：√，√，×，√；[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；（3）以点C′为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．说理：由作法得已知：OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，求证：∠A′O′B′＝∠AOB．证明：在∠OCD 和∠O ′C ′D ′中, OC O C OD O D CD C D ''''⎧⎪'⎪'⎨⎩＝＝＝，∠∠OCD ∠∠O ′C ′D ′（SSS ），∠∠A ′O ′B ′＝∠AOB （全等三角形的对应角相等），故答案为：以C ′为圆心，CD 长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D ′，SSS ，全等三角形的对应角相等；[小试牛刀]：如图，直线l ′即为所求（方法不唯一），；[创新应用]：如图所示（答案不唯一）.．12．（2020·山东安丘月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点坐标分别是()2,3A -，()1,1B m -，()1,2C -，点B 关于x 轴的对称点P 的坐标为()3,2n --．（1）求m ，n 的值；（2）画出ABC ，并求出它的面积；（3）画出与ABC 关于y 轴成轴对称的图形111A B C △，并写出111A B C △各个顶点的坐标． （4）在y 轴上找一点Q ，使QA QB +最小（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【解析】解:（1）B 、P 两点关于x 轴对称，∠1321m n -=-⎧⎨-=-⎩，解得：21m n =-⎧⎨=⎩． （2）()1111125435212222ABC S =⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=△． （3）如图， ()12,3A ，()13,1B ，()1,2C --．（4）连结A 1B 交y 轴于点Q ，则Q 为求．13.（2020·宜兴市月考）现有三个村庄A ，B ，C ，位置如图所示，线段AB ，BC ，AC 分别是连通两个村庄之间的公路．现要修一个水站P ，使水站不仅到村庄A ，C 的距离相等，并且到公路AB ，AC 的距离也相等，请在图中作出水站P 的位置．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）【答案】见解析【解析】解：如图所示：14.（2020·滨州渤海中学月考）尺规作图：如图，某地有两个工厂M、N和两条相交又的公路a，b现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个工厂的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．(保留作图痕迹)．【答案】见解析.【解析】解：如图所示：点P、P′即为所求．15.（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）如图，已知ABC（AC AB BC），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）；∠=∠；（1）如图1，在AB边上寻找一点M，使AMC ACB+=．（2）如图2，在BC边上寻找一点N，使得NA NB BC【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）；（2）．16.如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交AC 于M ． （1）若70B ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）连接MB ，若8AB cm =，MBC △的周长是14cm ．∠求BC 的长；∠在直线MN 上是否存在点P ，使由P ，B ，C 构成的PBC 的周长值最小？若存在，标出点P 的位置并求PBC 的周长最小值；若不存在，说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠AB ＝AC ，∠∠B ＝∠C ＝70°，∠∠A ＝180°－70°－70°＝40°∠MN 垂直平分AB 交AB 于N∠MN ∠AB , ∠ANM ＝90°，在∠AMN 中，∠NMA ＝180°－90°－40°＝50°；（2）∠如图所示，连接MB ，∠MN 垂直平分AB 交于AB 于N∠AM ＝BM ，∠∠MBC 的周长＝BM ＋BC ＋CM ＝AM ＋BC ＋CM ＝BC ＋AC ＝14cm又∠AB＝AC＝8cm，∠BC＝14 cm－8 cm＝6cm；∠如图所示，∠MN垂直平分AB，∠点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点P与点M重合；∠∠MBC的周长就是∠PBC周长的最小值，∠∠PBC周长的最小值＝∠MBC的周长＝14 cm．。
图形计数及最短路线新
最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。
怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。
一、长方形方格标号：【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B 作为终点划一条由A到B的最短路线。
聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，那么从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。
在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。
例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?AB421 1 1 1 11 14 422 3 4 52 5 9 145 14 28【分析】如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母， 按箭头所示，走1A 有一条路，到1B 有2种办法；再往下到2A 有从1A 走和2B 走两种方法，这样到2A 有3条路线；到2B 可从2A 、1B 走，有5种方法到2B ．过3A 可从2A 、2B 走，共有8条路线；到3B 可走3A 、2B ，这样共有13种走法；经过4A 可从3A 、3B 两条路走，有21种方法都到4B ；到达4B 可以走4A 和3B ，因而有34种路线到达4B ．这样由A 到B ，可经过4A 和4B 两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如图所示．因此，从A 点到B 点的不同路线共有55条．例3：动物园的门票1元1张，每人限购1张。
现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别.用标数法求共有多少种排队方法.如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A 到B 只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法.我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）, 同理拿2元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）. 根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）.二、不规则图形标号：【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D点：从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点有2 种走法。
数学规律与应用问题详解 -第四讲 最短路线问题
第四讲最短路线问题在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题．在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数．例1下图4-1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母．如图4—2．在这里，首先我们应该明确从A 到B的最短路线到底有多长？从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD＋DB．因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB．这样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走．因此只能向右和向下走．有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：A→C→D→G→BA→C→F→G→BA→C→F→I→BA→E→F→G→BA→E→F→I→BA→E→H→I→B通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线．如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”．当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的．现在观察这种题是否有规律可循．1．看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线．因此，从A到C只有一条路线．同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线．我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4-2．2．看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法．我们在图4—2中的F点标上数字“2”．2=1＋1．第一个“1”是从A→C 的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法．3．看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G我们在G点标上数字“3”．3＝2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法．4．看I点：从上向下走是F→I，从左向右走是H→I，那么从出发点在I点标上“3”．3=2+1．“2”是从A→F的两种走法；“1”是从A→H的一种走法．5．看B点：从上向下走是G→B，从左向右走是I→B，那么从出发点A→B可以这样走：共有六种走法．6=3＋3，第一个“3”是从A→G共有三种走法，第二个“3”是从A→I共有三种走法．在B点标上“6”．我们观察图4-2发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数．这样，我们可以通过计算来确定从A→B的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”．解：由上面的分析可以得到如下的规律：每个格右上角与左下角所标的数字和即为这格右下角应标的数字．我们称这种方法为对角线法，也叫标号法．根据这种“对角线法”，B点标6，那么从A到B就有6条不同的最短路线（见图4-3）．答：从A到B共有6条不同的最短路线．例2 图4-4是一个街道的平面图，纵横各有5条路，某人从A到B处（只能从北向南及从西向东），共有多少种不同的走法？分析因为B点在A点的东南方向，题目要求我们只能从北向南及从西向东，也就是要求我们走最短路线．解：如图4-5所示．答：从A到B共有70种不同的走法．例3如图4-6，从甲地到乙地最近的道路有几条？分析要求从甲地到乙地最近的道路有几条，也就是求从甲地到乙地的最短路线有几条．把各交叉点标上字母，如图4—7．这道题的图形与例1、例2的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．①由甲→A有1种走法，由甲→F有1种走法，那么就可以确定从甲→G共有1＋1＝2（种）走法．②由甲→B有1种走法，由甲→D有1种走法，那么可以确定由甲→E共有1+1＝2（种）走法．③由甲→C有1种走法，由甲→H有2种走法，那么可以确定由甲→J共有1+2=3（种）走法．④由甲→G有2种走法，由甲→M有1种走法，那么可以确定从甲→N共有2＋1=3（种）走法．⑤从甲→K有2种走法，从甲→E有2种走法，那么从甲→L共有2＋2=4（种）走法．⑥从甲→N有3种走法，从甲→L有4种走法，那么可以确定从甲→P共有3＋4=7（种）走法．⑦从甲→J有3种走法，从甲→P有7种走法，那么从甲→乙共有3+7=10（种）走法．解：在图4-7中各交叉点标上数，乙处标上10，则从甲到乙共有10条最近的道路．例4某城市的街道非常整齐，如图4-8所示，从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（因正在修路）．问共有多少种不同的走法？分析因为B点在A点的东北角，所以只能向东和向北走．为了叙述方便，在各交叉点标上字母，如图4-9．①从A→A1有1种走法，A→A11有1种走法，那么可以确定从A→A10共有1＋1=2（种）走法．②从A→A2有1种走法，A→A10有2种走法，那么可以确定从A→A9共有1+2=3（种）走法．③从A→A3有1种走法，A→A9有3种走法，那么可以确定从A→A8共有1+3=4（种）走法．④从A→A4有1种走法，A→A8有4种走法，那么可以确定A→A7，共有1+4=5（种）走法．⑤从A→A5有1种走法，A→A7有5种走法，那么可以确定A→A6共有1＋5＝6（种）走法．⑥从A→C1有1种走法，A→A10有2种走法，那么可以确定从A→C2共有1+2=3（种）走法．⑦从A→C2有3种走法，A→A9有3种走法，那么可以确定A→C3共有3+3=6（种）走法．⑧从A→C4可以是A→C→C4，也可以是A→A7→C4，因为C处正在修路，所以A→C→C4行不通，只能由A7→C4，由于A→A7有5种走法，所以A→C4也有5种走法，从A→A6有6种走法，所以从A→C5共有5+6＝11（种）走法．⑨从A→B6有1种走法，A→C2有3种走法，那么可以确定从A→B7共有1＋3=4（种）走法．⑩从A→B7有4种走法，A→C3有6种走法，那么可以确定从A→B8共有4＋6=10（种）走法．⑾从A→B9可以是A→B8→B9，也可以是A→C→B9，因为C处正在修路，所以A→C→B9行不通，只能由B8→B9，由于A→B8有10种走法，所以A→B9．也有10种走法．从A→C4有5种走法，所以从A →B10共有10+5=15（种）走法．⑿从A→C5有11种走法，A→B10有15种走法，那么从A→B11共有15+11=26（种）走法．⒀从A→B5有1种走法，A→B7有4种走法，那么可以确定从A→B4共有1+4=5（种）走法．⒁从A→B4有5种走法，A→B8有10种走法，那么可以确定从A→B3共有5+10=15（种）走法．(15)从A→B3有15种走法，A→B9有10种走法，那么可以确定从A→B2共有15＋10=25（种）走法．(16)从A→B2有25种走法，A→B10有15种走法，那么可以确定从A→B1共有25+15=40（种）走法．(17)从A→B1有40种走法，A→B11有26种走法，那么可以确定从A→B共有40+26=66（种）走法．解：如图4-10所示．答：从A到B共有66种不同的走法．习题四1．如果沿图4-11中的线段，以最短的路程，从A点出发到B点，共有多少种不同的走法？2．从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通．如图4-12，李楠从学校出发，步行到少年宫（只许向东和向南行进），最多有多少种不同的行走路线？3．如图4-13，从P到Q共有多少种不同的最短路线？4．如图4-14所示为某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南、由西向东），则共有多少种不同的走法？5．如图4-15所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？6．图4-16为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？7．如图4-17所示是一个街道的平面图，在不走回头路、不走重复路的条件下，可以有多少种不同的走法？8．图4-18是某城市的主要公路示意图，今在C、D、E、F、G、H路口修建立交桥，车辆不能通行，那么从A到B的最近路线共有几条？返回目录第五讲归一问题为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法．除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归．而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！归一问题有两种基本类型．一种是正归一，也称为直进归一．如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一．如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步．正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量．例1一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？分析为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果．解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？12÷6=2（分米）②1小时爬几米？1小时=60分．2×60=120（分米）=12（米）答：小蜗牛1小时爬行12米．还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解．解：1小时=60分钟12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）或12÷（6÷60）＝12÷0．1=120（分米）=12（米）答：小蜗牛1小时爬行12米．例2一个粮食加工厂要磨面粉20000千克．3小时磨了6000千克．照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？方法1：分析通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量．问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求．解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）答：磨完剩下的面粉还要7小时．方法2：用比例关系解．解：设磨剩下的面粉还要x小时．6000x＝3×14000x=7（小时）答：磨完剩下的面粉还要7小时．例3 学校买来一些足球和篮球．已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元．现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？分析要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元．根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）．74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解．解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5）=37元②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）③共花多少元？32×5＋37×4=308（元）答：买5个足球，4个篮球共花308元．例4一个长方体的水槽可容水480吨．水槽装有一个进水管和一个排水管．单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空．两管齐开需多少小时把满池水排空？分析要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度．当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差．解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间．解：①进水速度：480÷8=60（吨/小时）②排水速度：480÷6=80（吨/小时）③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）列综合算式：480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）答：两管齐开需24小时把满池水排空．例5 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土．现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？方法1：分析要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土．解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？336÷6÷7=56÷7=8（吨）②560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？560÷5＝112（吨）③需要增加同样的卡车多少辆？112÷8-7＝7（辆）列综合算式：560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）答：需增加同样的卡车7辆．方法2：在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6．算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量．在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：求出一共用车14辆后，再求增加的辆数就容易了．例6 某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7．5天完成任务．由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人．求每天加班工作几小时？分析我们把1个工人工作1小时，作为1个工时．根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知道了工作总量．有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了．解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：8×18×7．5=1080（工时）②增加6人后每天工作几小时？1080÷（18+6）÷4=11．25（小时）③每天加班工作几小时？11．25-8=3．25（小时）答：每天要加班工作3．25小时．例7 甲、乙两个打字员4小时共打字3600个．现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个．求甲、乙二人每小时各打字多少个？分析已知条件告诉我们：“在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个．”既然知道了“时间相同”，问题就容易解决了．题目里还告诉我们：“甲、乙二人4小时共打字3600个．”这样可以先求出“甲乙二人每小时打字个数之和”，就可求出所用时间了．解：①甲、乙二人每小时共打字多少个？3600÷4＝900（个）②“相同时间”是几小时？（2450＋2050）÷900＝5（小时）③甲打字员每小时打字的个数：2450÷5=490（个）④乙打字员每小时打字的个数：2050÷5=410（个）答：甲打字员每小时打字490个，乙打字员每小时打字410个．还可以这样想：这道题的已知条件可以分两层．第一层，甲乙二人4小时共打字3600个；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个．由这两个条件可以求出在相同的时间内，甲乙二人共打字2450+2050=4500（个）；打字3600个用4小时，打字4500个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时间”．解：①“相同时间”是几小时？4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小时）②甲每小时打字多少个？2450÷5=490（个）③乙每小时打字多少个？2050÷5=410（个）答：甲每小时打字490个，乙每小时打字410个．习题五1．花果山上桃树多，6只小猴分180棵．现有小猴72只，如数分后还余90棵，请算出桃树有几棵？2．5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？3．4辆汽车行驶300千米需要汽油240公升．现有5辆汽车同时运货到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，问是否够用？4．5台拖拉机24天耕地12000公亩．要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？返回目录。
立体图形中的的最短路线
04
最短路线问题的实际应用
交通路线的规划
城市公交线路规划
通过最短路径算法，规划出高效、 经济的公交线路，以满足市民出
行需求。
高速公路建设
在建设高速公路时，考虑地形、 地貌和交通流量等因素，选择最
短、最优的线路方案。
地铁线路规划
在地铁线路规划中，利用最短路 径算法优化站点和线路布局，提
高地铁运营效率。
艺术创作
立体图形在雕塑、绘画、 建筑等领域有着广泛的应 用。
02
最短路线的概念
定义与特性
定义
在立体图形中，最短路线是指连接两个点并经过最少的面或 边的路径。
特性
最短路线不一定是直线，可能存在弯曲，但总长度最短。
最短路线的计算方法
解析法
通过数学公式和定理，计 算出最短路径的长度和方 向。
动态规划
A搜索算法
总结词
A*搜索算法是一种启发式搜索算法，用 于在图中查找从起点到终点的最短路径 。
VS
详细描述
该算法使用一个优先级队列来存储待访问 的节点，并根据它们到终点的估计距离进 行排序。算法使用一个启发式函数来估计 节点到终点的距离，并根据这个估计值和 已知的最短路径长度来更新优先级。在每 一步中，算法选择优先级最高的节点进行 扩展，并更新其邻居节点的优先级。
以高效地完成工作。
工业机器人
02
在制造业中，工业机器人需要精确地按照最短路径移动，以提
高生产效率。
无人机配送
03
无人机在进行配送时，需要选择最短、最安全的飞行路径，以
确保快速、准确地送达物品。
05
最短路线问题的挑战与未 来发展
复杂环境下的最短路径问题
1 2
奥数知识点 图形计数
巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段;分析与解：对于基础图形,用最小线段为单位,按序递增;单拼：3段,双拼：2段,三拼：1段通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决;最小线段基础线段的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6段或者,线段个数=基础线段数×端点÷2高阶基础线段要求：手拉手,肩并肩对于相交的线段,分别计算各个方向,然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数;分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决;最小线段的数量为火车头;或者,角的个数=最小角个数×最小角个数+1÷2又,角的个数=射线的个数×射线个数-1÷2例3、下列各图形中,三角形的个数各是多少分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决,最小线段的数量为火车头;所以,三角形个数=底边线段个数每个底边基础线段构成一个基础三角形或者,三角形的个数=最小三角形个数×最小三角形个数+1÷2高阶以上的内容基本是单层规整图形：数线段数角,数三角形,解决方法：开小火车对于多层规整的图形,应该以单层规整图形为基础,运用技术,算出多层规整图形的数量;例4、下列图形中各有多少个三角形分析与解：方法1使用分层计数法：方法2公式法：第一层三角形的总数×层数例5、下列图形中各有多少个三角形小TIPS：吹泡泡法例6、右图中有多少个三角形例7、右图中有多少个三角形分析与解：对于不规则的图形,数之前,先将每个图形编号,编好后,先数单拼三角形1、4、3号,共3个;再数两个图形合成的双拼三角形,1+2号,2+3号,3+4号,4+1号,按顺序两个两个合并,共4个三角形;最后数由1+2+3+4号组成的四拼大三角形,有1个;所以3+4+1=8,共8个三角形;例8、下列各图形中,长方形的个数各是多少分析与解：对于单层基础图形,可以使用开小火车的方式解决;每个长方形相当于最小线段;所以数单层的基础长方形,就是数基础线段数;对于多层的长方形的个数=单层长方形的数量×层数个单层长方形的数量=长边上的线段数个,层数=宽边上线段的个数层例9、下列图形中,长方形的个数是多少个分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决;单层长方形的数量=长边线段数=4+3+2+1=10个,层数=宽边线段数=3+2+1=6层总数=4+3+2+1×3+2+1=60个例10、下列图形中,长方形的个数是多少个分析,先将<格1>与<格2>隐去,剩下的格3,就是一个多层规整长方形=10×6=60个格1带来的长方形=4个吹泡泡法格2带来的长方形=5个总数=60+4+5=69个例11、下列图形中,长方形的个数是多少个分析与解：了解正方形的构成特点：四边相等;方法1数格子：一格,四格,九格,十六格……方法2开小火车法：最小正方形的个数为“火车头”,后面的“车厢”中的每个乘数都减-1,直至出现1为止0乘任何数都等于0解：3×3+2×2+1×1=14个例12、下列图形中,正方形的个数是多少个分析与解：利用开小火车法：火车头为最小9正方形数量：6×5正方形个数=6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=70个例13、数下列图形中共有21个三角形,一共需要多少个小棒：例10、在下图中,包含“”号的长方形和正方形共有多少个分析与解：对于不规整的图形,进行分类讨论;左图中,应先进行分类：正正方形与斜正方形正正方形=5+5=10个斜正方形= 5个总数=10+5=15个例11、如下图是由小立方体构成的塔,数一数有多少个小立方体分析与解：数立方体时,先从顶层数起;公式：本层可见数+上层数本题：1+3+1+5+4+7+9=30个例12、数一数,下列图形中有多少个长方形方法1：小讨厌法：不包含小讨厌的多层规整图形：10×6=60个小讨厌错误!+错误!+错误!：4+4+4=12,共：60+12=72个方法2：重叠法三年级：横：10×6=60个,竖：3×10=30个中重叠：3×6=18个,共：60+30-18=72个例13、数一数,第10个图形应该有多少圆圈组成通过观察可以发现如下的规律：1 2 3 (10)2 2+4+2 2+4+6+4+2 ……2+4+…+20…+4+22 8 18 (200)例13、数一数,第10个图形应该有多少条线段通过观察可以发现如下的规律：1 2 3 4 (10)1×2+2 3×2+3 6×2+4 10×2+5 55×2+1122=4 32=9 42=16 52=25 112=121 例14、数一数,下列图形中包含★长方形有多少个方法1勾对角线法：将★的左上角的点和右下角的点相连：通过加标字母A、B和a、b、c、d、e、f,帮助我们数图形：Aa、Ab、Ac、Ad、Ae、Af、Ba、Bb、Bc、Bd、Be、Bf、方法2公式法：经过★划十字线,左侧、右侧、上面、下面焦点数相乘：2×2×1×3=12个例15、数一数,下列图形中有多少条线段有多少个三角形1数线段：分方向：共：6×5+5=35条2数三角形：分方向中间五角星不用①③③④⑤：共10个三角形;仅使用①③③④⑤中一条：每一条有4个三角形,共4×5=20条使用①③③④⑤中的两条：共4个三角形;共：10+20+5=35个。
八年级数学几何中的最短路径问题（一）
八年级数学几何中的最短路径问题（一）一、最短路径问题：最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
二、涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。
通常出题点结合角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等知识点中出现。
三、解题思路：找对称点实现化“折” 为“直” 。
四、十二个基本问题（前6个）：问题1、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。
图1作法：如图，连接 AB ，与 L 交点即为 P 。
图2原理：两点之间线段最短，PA + PB 最小值为 AB 。
问题2（将军饮马）、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。
图3作法：作点 B 关于 L 的对称点 B' ，连接 AB' ，与 L 交点即为P 。
图4原理：两点之间线段最短，PA+PB 最小值为 A B＇。
问题3、如图，在直线 Ll 、L2 上分别求点 M、N，使△PMN 的周长最小。
图5作法：分别作点 P 关于两直线的对称点 P' 和P “，连P'P“，与两直线交点即为 M，N 。
图6原理：两点之间线段最短 , PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长。
问题4、如图，在直线L1 、L2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小。
图7作法：分别作点 Q 、P 关于直线 Ll , L2 的对称点 Q＇和 P＇，连Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N 。
图8原理：两点之间线段最短，四边形PQMN 周长的最小值为线段QP + Q'P' 的长。
问题5（造桥选址）、如图，直线m ∥ n ，在m 、 n ，上分别求点 M、N，使MN⊥m，且 AM+MN+BN 的值最小。
图9作法：将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n 于点 N，过点 N 作NM⊥m 于点 M 。
初中数学中“最短路径问题”的探究
初中数学中“最短路径问题”的探究摘要：关于“最短路径问题”的课题学习，这节课的篇幅虽然很短，但是这节课的内容却常常出现在中考题中，而且题型多变，常常作为压轴题。
因此如果能够掌握此类问题，那么对学生来说将会大有益处。
当讲到最短路径又或者说最短距离时，我们会不由地想起“点与点的距离问题”“直线外一点与直线间的距离问题”。
我们知道，“两点之间线段最短”“直线外一点到直线各点的线段中垂线段最短”，所以所有的最短路径问题都可以转化为两点间的距离问题。
关键词：初中数学；最短路径问题在中考数学中比较常见的关于最短路径问题的题目大致可以分为以下三类。
1 以立体几何为背景例题1 (2018年黄冈中考第13题)如图1，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm(杯壁厚度不计)。
分析乍一看这道题好像无法入手，但是归根结底本题考查的依旧是A,B两点间的距离，而此时的距离并不是直接把A,B两点相连接就可以的。
那么遇到这种立体几何上的最短路径，一般来说需要把该立体几何展开，如图2所示。
通过对展开图的观察可以发现，该题就是在直线上找一点C使得CA+CB的值最小。
解析如图3，作点A关于EF的对称点A'，由题意可知AC+CB=A'C+CB=A'B,AE=A'E=DF=3cm,A'D=EF=16cm,BF=14cm-5cm=9cm,DB=DF+FB=3cm+9cm=12cm.在Rt△A'BD中，根据勾股定理，得所以蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.例题2 (2009年乐山中考第3题)如图4，一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6,D为PB中点。
一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为()。
分析这道题依旧是考查两点间的距离问题，但是这题比较特殊，是在圆锥的侧面上爬行，依旧需要把圆锥的侧面展开，如图5所示，根据扇形的弧长公式，可求出∠APA'=120°，再由PA=PB=PA'，得∠APB=∠A'PB=60°。
初中数学中最短路线问题的解题策略归纳
初中数学中最短路线问题的解题策略归纳【摘要】本文主要围绕初中数学中最短路线问题展开讨论，首先介绍了图论基础知识，包括图的定义和常见术语。
接着详细解析了Dijkstra算法和Floyd算法的原理和应用，通过具体的案例分析展示了这两种算法在最短路线问题中的作用和效果。
文章还讨论了贪心算法在最短路线问题中的应用，探讨了其优势和局限性。
结合前文内容对初中数学中最短路线问题的解题策略进行了总结，提出了解决这类问题的一般性方法和思路。
通过本文的阐述，读者可以全面了解和掌握初中数学中最短路线问题的解题技巧，为提高数学学习和解题能力提供了有益的参考和帮助。
【关键词】关键词：初中数学，最短路线问题，图论，Dijkstra算法，Floyd 算法，贪心算法，应用举例，解题策略总结1. 引言1.1 初中数学中最短路线问题的解题策略归纳初中数学中最短路线问题是一个常见的实际问题，涉及到图论的基础知识和算法。
对于这类问题，我们需要掌握一些关键的解题策略。
我们需要了解图论基础知识。
图是由节点和边组成的一种数据结构，节点代表位置或者城市，边代表路径或者道路。
在解决最短路线问题时，我们需要根据图中节点和边的关系来确定最短路径。
我们可以使用Dijkstra算法来解决最短路线问题。
该算法利用贪心的策略，不断更新节点的最短距离，直到找到最短路径。
我们需要注意处理权值为负数的情况，以免造成误差。
我们还可以采用Floyd算法来解决最短路线问题。
该算法利用动态规划的思想，逐步更新节点之间的最短路径长度，直到得到最终结果。
我们需要注意算法的时间复杂度，以确保能够在合理的时间内解决问题。
我们可以通过实际的应用举例来加深对最短路线问题的理解。
我们可以考虑在城市规划或者物流配送中的应用场景，通过实际案例来练习解题技巧。
初中数学中最短路线问题的解题策略包括图论基础知识、Dijkstra 算法、Floyd算法、应用举例以及贪心算法的应用。
掌握这些策略，能够帮助我们更好地解决实际问题，提高解题效率和准确性。
初中数学_《最短路径问题》教学设计学情分析教材分析课后反思
《最短路径问题》教学设计一、教学目标（一）知识与技能：能利用轴对称等图形变换，依据“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”解决最短路径问题．（二）过程与方法：在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，获得解决最短路径问题的基本思路及经验．（三）情感态度与价值观：体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，在实际问题中迁移使用所获得的基本经验，深入领会其应用价值．二、教学重点和难点（一）教学重点：用轴对称变换以及平移解决实际问题中的最短路径问题．（二）教学难点：学生发现确定最短路径的“路径向导点”.三、教学方法和策略采用“实验—猜测—验证—应用”的教学线索，以学生的知识建构和认识发现为主轴，把线索发现的主动权和问题解决的个性化还给学生．充分利用网络多媒体教学环境和几何画板，制作学生可以动手操作体验的多媒体课件，把抽象的数学理论形象化，学生利用课件创建的图形去发现规律，验证思路，得出结论．让数学学习过程可视化、可操作化并增加互动性．四、教学过程题.二、观看视频，激发兴趣用教师机向学生机广播视频.视频内容1：虫洞(Wormhole)，又称爱因斯坦-罗森桥.视频内容2：朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．三、分发课件，自主探究【课件引入】“最短路径的选择-看图思考”预设问题：问题：在不同的情景中，怎么合理选择路径呢？【发现】折线路径或立体路径 两点之间，线段最短.【活动1】“读历史故事，智闯六关之第一关”官渡之战，是东汉末年“三大战役”之一，也是中国历史上著名的以弱胜强的战役之一.建安五年（200年），曹操军与袁绍军相持于官渡(今河南中牟东北),在此展开战略决战.曹操奇袭袁军在乌巢的粮仓(今河南封丘西),继而击溃袁军主力.此战奠定了曹操统一中国北方的基础. 在自己的计算机上观看视频.【课件引入】在四幅图片的引领下，学生逐渐发现平面内两点之间的最短路径到立体图形中的最短路径隐含的内在联系.【活动1】学生独立操作：拖动点P，确定点P的位置．意图：引发学生的学习兴趣和思考.融合点：将网络素材与所要学习内容整合，古诗词作为最短路径问题的载体.意图：【课件引入】通过对逐渐递进的四幅图形的思索，培养学生能够用数学的眼光认识生活中现象的能力；将复杂的折线路径或立体路径转化为“两点之间，线段最短”，让学生体验“转化思想”的作用．融合点：取自现实生活中的情景与合理选择路径整合起来，直观形象与抽象思索整合起来.意图：【活动1】通过设置历史背景，将六个问题有机的串联起来，增强趣味本节课以此为背景，设置六关，鼓励学生一一破解. 第一关：曹军先遣队要趁夜色到河对岸的敌军营地营地附近做好埋伏，应该怎样走线路最短？预设问题：先遣队从A，到河对岸敌军营地B，在河流a上求一点P，使得P A+PB最小.预案：如果有的学生不会操作拖动一个点，则及时向学生讲解一下如何拖动点P.【活动2】“智闯六关之第二关”攻占营地后，我军分设马场和营地两个驻扎点，为了给战士和马匹提供饮水，我军计划在河边修建水站，用水渠引水，为了减小挖水渠的工作量，水站应选在何处？预设问题：如图，要在河边修建一个水站，分别向马场A、营地B送水，水站修在河边什么地方可使所挖的水渠最短?预案：如有必要，须向学生讲一下按钮的先后顺序.【活动3】“智闯六关之第三关”为巩固战果，我军修建了两条防御工事，交成一个角，并在它的内部建了弹药库，为了提高运送效率，准备修两【活动2】学生动手操作，在感受图形变化的同时，可以借助表格，定量分析当点C运动过程中AC+BC的值由小到大或由大到小的变化过程，当点C到合适的位置时，AC+BC的值最小.【活动3】学生可以用鼠性，调动学生探究的积极性，在本环节，只是简单拖动一个点，“两点位于一条直线异侧”，很容易将所要确定的点与“两点之间，线段最短”确立联系，本活动每位学生均可无困难的完成．融合点：历史故事+直观图形+抽象的“两点一线”模型结合起来.意图：【活动2】通过使用表格工具，让学生体会定量分析的作用，借助几何画板的动态演示功能，学生可以方便的找到点C，培养学生由数到形的数学思想以及转化的能力．在实验探究的过程中验证所学知识，发展学生的空间想象力.融合点：直观的辅助图形+准确的表格测量数据和空间想象结合.意图：【活动3】条通道从弹药库分别通往工事，应如何设计？预设问题：如图，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点D、E，使△ADE周长最小.【活动4】“智闯六关之第四关”侦察兵申请在防御工事内各修建一个瞭望塔，并规划好士兵侦查路线，即从兵营出发，先去往1号瞭望塔，再去2号瞭望塔侦察，侦查完毕去将军营汇报侦察结果.要怎样设计两个瞭望塔的位置，才能使士兵走的路最短？预设问题：在∠MON内有两点A、B，现在从点A先到射线OM 上点C，再到射线ON上点D，最后到达点B，请问最短距离如何确定？【活动5】“智闯六关之第五关”由于敌军近日反抗较强烈，我军需做好撤退计划，为了使战士快速全部撤回原河内营地，需在河上修建桥梁，桥梁应如何选址，才能使战士走的路程最短？标选中D、E中的一个点拖动或两个点同时拖动，感受图形变化引发的数量变化，如果借助表格无法正确确定D、E的位置，则需按“显示辅助线段”和“显示四边形”按钮，当两个四边形都消失的时候，点D、E运动到合适的位置，AD+EA+DE的值最小.【活动4】学生在上一个活动中得到的经验若还不能帮助他们正确找到“两个定点和两个动点在两条射线上运动”这一模型下的点D、E运动到的位置，则发挥小组合作的作用，再由老师引导启发，从而得出AC+CD+DB的值最小.【活动5】通过使用辅助的“显示/隐藏四边形”按钮，让学生体会四点共线时，线段最短.学生如果之前没有学过本题内容，确定点D、E的位置不会很轻松，需要胆大心细，仔细操作、观察、总结方可找到正确的位置.融合点：将一个点作两次关于直线的轴对称和两点之间线段最短结合起来.意图：【活动4】在这一过程中让学生进一步体会作法的合理性，提高了学生的逻辑思维能力.老师的引导，小组的合作，再次体现了老师的主导性，学生的主体性.融合点：将复杂背景中的问题与抽象的两个点作两次关于直线的轴对称结合起来.将直觉猜想和验证结合起来.培养学生严谨的思考习惯.意图：【活动5】“造桥选址”问预设问题：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥与河岸垂直）【阶段小结】以上五种情景均为平面内利用轴对称或平移变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”.【活动6】“智闯六关之第六关”为了防止敌人返攻，我军战士乔装后去了敌人后方侦察，发现敌军营内有一底面周长为16m，高5m的圆柱形的弹药库，顶部有个通风孔可以进人，在内壁远离我军方向距顶部1m处有一个凹陷，可用来安放炸药，战士手中有10.5m的引线，该战士想安放炸药后，将引线引至弹药库外靠近我方的地面上，点燃后迅速跑离，请问能否实现？说明：先观察下图中，撤退点、烛龛分别对应哪个点？思考最短路径是一条什么类型的线？然后按顺序①[圆柱侧面展开]，②[显示矩形]，③[向上翻折]，思考问题的答案.四、归纳总结，反思提升同学们总结一下，通过本节课借助几何画板所研究的内容，学生可以用鼠标选中点C拖动，感受CD长度不随其位置的改变而变化，也可借助表格确定C、D的位置.【活动6】学生通过思考将一个实际问题转化为一个数学问题，将一个空间问题转化为平面问题，将一个平面问题转化为解三角形，通过操作3D模型将圆柱侧面展开，从而形象直观得到答案.【归纳总结】题有着非常好的实际背景，情境贴近生活．从求解方法看，平移是问题实现转化中的一个重要策略，联想到平移,其本质还是对“两点之间，线段最短”公理的深刻理解．同学们值得认真体会和积累．融合点：将平移作图和求最短路径结合起来.意图：【活动6】通过将圆柱侧面展平，把较复杂的最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.融合点：将曲面中的最短路径问题和平面问题的转化结合起来.有何收获和思考？五、巩固练习，适当拓展如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，求这个最小值.六、一试身手，分层检测专题：最短路径问题小测试A卷学生回顾前面的探究过程，小结解决问题的步骤是怎样的？借助了什么知识解决问题的？体现了什么数学思想？打开链接“专题：最短路径小测试A卷”完成基础题.意图：【归纳总结】让学生养成反思的好习惯，积累解决问题的方法，再次体会转化的数学思想.意图：通过“问卷星”分层检测，实时打分，可以及时反馈学生的掌握程度.融合点：将网络教学环境与满足不同学生发展的需求整合起来.意图：基础题是最短路径问题的简单应用，帮助学生巩固基础.A DEPB C专题：最短路径问题小测试B卷1.在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．打开链接“专题：最短路径小测试B卷”完成提高题. 意图：提高题是“最短路径问题”的升华，考查学有余力的同学掌握情况，并且在课件中有B卷配图，可以帮助有困难的学生借助动态图形降低难度.七、布置作业（基础必做题）做完课上没有完成的：专题：最短路径问题小测试B卷（提高选做题）1.搜集最短路径问题的其他经典题目，并整理在笔记本上.2.阅读“平面几何中的费马问题和费马点”，并与同学们交流. 学生课后完成作业，其中的提高选作题可预留一周时间完成. 意图：为了有效地对学生的学习情况进行反馈，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，我对作业进行分层布置，分为基础必做题和提高选作题.融合点：搜集其他经典题目的过程和学生用数学整合起来，让学生掌握的能力可以解决最短路径问题.费马点问题和本节课没讲到的旋转变换整合起来，训练了学生寻找问题结论的发散思维.学情分析（一）教学对象分析：最短路径问题从本质上说是最值问题，初二的学生对这类问题比较陌生，经验不足，特别是对于具有实际背景的最值问题，更会无从下手，应让学生牢记两点之间线段最短，从而想到把其中一个点转移到另一侧进行解题．（二）教学环境分析：根据学生理性归纳能力不强的特点，采用几何画板制作成易于学生观察和动手操作的课件，辅助学生验证和增强解决问题的兴趣．运用计算机网络环境授课，方便学生展示、交流和纠错．效果分析本节课的活动设计与评测练习借助多媒体教学环境，有利于教学目标的实现，突出了重点，突破了难点.1.几何画板的软件环境，有利于揭示隐含条件.数学最值问题设计运动、轨迹、存在、最值、任意、不等式等较为抽象复杂的概念，传统方法常常让学生感到力不从心，借助几何画板，使多元抽象关系动态化、直观化，可以促使学生深入理解题意.2.最值求解的过程常常需要建立函数模型，寻求合适的自变量建立函数模型是解题难点．几何画板通过坐标系数形结合、动态直观展示自变量与函数值的内在联系，可有效突破难点．能够抽象出“最短路径问题”数学模型，在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、一般而言，解决最值的思维过程比较隐匿．传统教学较难凸显其思维过程．几何画板不仅能动态展示数学关系的多元联系，而且可以视觉化思维过程．《最短路径问题》教学设计一、教学目标（一）知识与技能：能利用轴对称等图形变换，依据“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”解决最短路径问题．（二）过程与方法：在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，获得解决最短路径问题的基本思路及经验．（三）情感态度与价值观：体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，在实际问题中迁移使用所获得的基本经验，深入领会其应用价值．二、教学重点和难点（一）教学重点：用轴对称变换以及平移解决实际问题中的最短路径问题．（二）教学难点：学生发现确定最短路径的“路径向导点”.三、教学方法和策略采用“实验—猜测—验证—应用”的教学线索，以学生的知识建构和认识发现为主轴，把线索发现的主动权和问题解决的个性化还给学生．充分利用网络多媒体教学环境和几何画板，制作学生可以动手操作体验的多媒体课件，把抽象的数学理论形象化，学生利用课件创建的图形去发现规律，验证思路，得出结论．让数学学习过程可视化、可操作化并增加互动性．四、教学过程视频内容1：虫洞(Wormhole)，又称爱因斯坦-罗森桥.视频内容2：朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．三、分发课件，自主探究【课件引入】“最短路径的选择-看图思考”预设问题：问题：在不同的情景中，怎么合理选择路径呢？【发现】折线路径或立体路径 两点之间，线段最短.【活动1】“读历史故事，智闯六关之第一关”官渡之战，是东汉末年“三大战役”之一，也是中国历史上著名的以弱胜强的战役之一.建安五年（200年），曹操军与袁绍军相持于官渡(今河南中牟东北),在此展开战略决战.曹操奇袭袁军在乌巢的粮仓(今河南封丘西),继而击溃袁军主力.此战奠定了曹操统一中国北方的基础.本节课以此为背景，设置六关，鼓励学生一一破解. 第一关：曹军先遣队要趁夜色到河对岸的敌军营地营地附近做好埋伏，应该怎样走线路最短？机上观看视频.【课件引入】在四幅图片的引领下，学生逐渐发现平面内两点之间的最短路径到立体图形中的最短路径隐含的内在联系.【活动1】学生独立操作：拖动点P，确定点P的位置．的学习兴趣和思考.融合点：将网络素材与所要学习内容整合，古诗词作为最短路径问题的载体.意图：【课件引入】通过对逐渐递进的四幅图形的思索，培养学生能够用数学的眼光认识生活中现象的能力；将复杂的折线路径或立体路径转化为“两点之间，线段最短”，让学生体验“转化思想”的作用．融合点：取自现实生活中的情景与合理选择路径整合起来，直观形象与抽象思索整合起来.意图：【活动1】通过设置历史背景，将六个问题有机的串联起来，增强趣味性，调动学生探究的积极性，在本环节，只是简单拖动一个点，预设问题：先遣队从A，到河对岸敌军营地B，在河流a上求一点P，使得P A+PB最小.预案：如果有的学生不会操作拖动一个点，则及时向学生讲解一下如何拖动点P.【活动2】“智闯六关之第二关”攻占营地后，我军分设马场和营地两个驻扎点，为了给战士和马匹提供饮水，我军计划在河边修建水站，用水渠引水，为了减小挖水渠的工作量，水站应选在何处？预设问题：如图，要在河边修建一个水站，分别向马场A、营地B送水，水站修在河边什么地方可使所挖的水渠最短?预案：如有必要，须向学生讲一下按钮的先后顺序.【活动3】“智闯六关之第三关”为巩固战果，我军修建了两条防御工事，交成一个角，并在它的内部建了弹药库，为了提高运送效率，准备修两条通道从弹药库分别通往工事，应如何设计？【活动2】学生动手操作，在感受图形变化的同时，可以借助表格，定量分析当点C运动过程中AC+BC的值由小到大或由大到小的变化过程，当点C到合适的位置时，AC+BC的值最小.【活动3】学生可以用鼠标选中D、E中的一个点拖动或两个点同时拖动，感受图形“两点位于一条直线异侧”，很容易将所要确定的点与“两点之间，线段最短”确立联系，本活动每位学生均可无困难的完成．融合点：历史故事+直观图形+抽象的“两点一线”模型结合起来.意图：【活动2】通过使用表格工具，让学生体会定量分析的作用，借助几何画板的动态演示功能，学生可以方便的找到点C，培养学生由数到形的数学思想以及转化的能力．在实验探究的过程中验证所学知识，发展学生的空间想象力.融合点：直观的辅助图形+准确的表格测量数据和空间想象结合.意图：【活动3】通过使用辅助的“显示/隐藏四边形”按钮，让学生体会四预设问题：如图，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点D、E，使△ADE周长最小.【活动4】“智闯六关之第四关”侦察兵申请在防御工事内各修建一个瞭望塔，并规划好士兵侦查路线，即从兵营出发，先去往1号瞭望塔，再去2号瞭望塔侦察，侦查完毕去将军营汇报侦察结果.要怎样设计两个瞭望塔的位置，才能使士兵走的路最短？预设问题：在∠MON内有两点A、B，现在从点A先到射线OM 上点C，再到射线ON上点D，最后到达点B，请问最短距离如何确定？【活动5】“智闯六关之第五关”由于敌军近日反抗较强烈，我军需做好撤退计划，为了使战士快速全部撤回原河内营地，需在河上修建桥梁，桥梁应如何选址，才能使战士走的路程最短？变化引发的数量变化，如果借助表格无法正确确定D、E的位置，则需按“显示辅助线段”和“显示四边形”按钮，当两个四边形都消失的时候，点D、E运动到合适的位置，AD+EA+DE的值最小.【活动4】学生在上一个活动中得到的经验若还不能帮助他们正确找到“两个定点和两个动点在两条射线上运动”这一模型下的点D、E运动到的位置，则发挥小组合作的作用，再由老师引导启发，从而得出AC+CD+DB的值最小.【活动5】学生可以用鼠标选中点C拖动，感受CD长度不随其位置点共线时，线段最短.学生如果之前没有学过本题内容，确定点D、E的位置不会很轻松，需要胆大心细，仔细操作、观察、总结方可找到正确的位置.融合点：将一个点作两次关于直线的轴对称和两点之间线段最短结合起来.意图：【活动4】在这一过程中让学生进一步体会作法的合理性，提高了学生的逻辑思维能力.老师的引导，小组的合作，再次体现了老师的主导性，学生的主体性.融合点：将复杂背景中的问题与抽象的两个点作两次关于直线的轴对称结合起来.将直觉猜想和验证结合起来.培养学生严谨的思考习惯.意图：【活动5】“造桥选址”问题有着非常好的实际背景，情境贴近生活．从求解方法看，平预设问题：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥与河岸垂直）【阶段小结】以上五种情景均为平面内利用轴对称或平移变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”.【活动6】“智闯六关之第六关”为了防止敌人返攻，我军战士乔装后去了敌人后方侦察，发现敌军营内有一底面周长为16m，高5m的圆柱形的弹药库，顶部有个通风孔可以进人，在内壁远离我军方向距顶部1m处有一个凹陷，可用来安放炸药，战士手中有10.5m的引线，该战士想安放炸药后，将引线引至弹药库外靠近我方的地面上，点燃后迅速跑离，请问能否实现？说明：先观察下图中，撤退点、烛龛分别对应哪个点？思考最短路径是一条什么类型的线？然后按顺序①[圆柱侧面展开]，②[显示矩形]，③[向上翻折]，思考问题的答案.六、归纳总结，反思提升同学们总结一下，通过本节课借助几何画板所研究的内容，的改变而变化，也可借助表格确定C、D的位置.【活动6】学生通过思考将一个实际问题转化为一个数学问题，将一个空间问题转化为平面问题，将一个平面问题转化为解三角形，通过操作3D模型将圆柱侧面展开，从而形象直观得到答案.【归纳总结】学生回顾前面的探究过程，小结解决问题的移是问题实现转化中的一个重要策略，联想到平移,其本质还是对“两点之间，线段最短”公理的深刻理解．同学们值得认真体会和积累．融合点：将平移作图和求最短路径结合起来.意图：【活动6】通过将圆柱侧面展平，把较复杂的最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.融合点：将曲面中的最短路径问题和平面问题的转化结合起来.意图：【归纳总结】让学生养成反思的好习惯，积有何收获和思考？七、巩固练习，适当拓展如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，求这个最小值.六、一试身手，分层检测专题：最短路径问题小测试A卷步骤是怎样的？借助了什么知识解决问题的？体现了什么数学思想？打开链接“专题：最短路径小测试A卷”完成基础题.累解决问题的方法，再次体会转化的数学思想.意图：通过“问卷星”分层检测，实时打分，可以及时反馈学生的掌握程度.融合点：将网络教学环境与满足不同学生发展的需求整合起来.意图：基础题是最短路径问题的简单应用，帮助学生巩固基础.A DEPB C专题：最短路径问题小测试B卷1.在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．打开链接“专题：最短路径小测试B卷”完成提高题.意图：提高题是“最短路径问题”的升华，考查学有余力的同学掌握情况，并且在课件中有B卷配图，可以帮助有困难的学生借助动态图形降低难度.。
最短路径数学建模案例及详解
最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是数学建模中一个经典的问题，它在实际生活中有很多应用，例如网络传输、交通规划、物流配送等等。
下面我们以交通规划为例，来详细解析最短路径问题的数学建模过程。
问题描述：假设有一座城市，城市中有多个地点（称为节点），这些节点之间有道路相连。
我们希望找到两个节点之间的最短路径，即耗费时间最短的路径。
数学建模：1. 数据准备：a. 用图的方式表示这座城市和道路连接关系。
我们可以用一个有向图来表示，其中各个节点代表不同的地点，边表示道路，边的权重表示通过该道路所需的时间。
b. 节点间道路的时间数据。
这是一个关键的数据，可以通过实地调研或者其他数据收集手段获取，或者通过模拟生成。
2. 建立数学模型：a. 定义问题中的主要变量和约束条件。
- 变量：选择经过的边，即路径（也可以看作是边的集合）。
- 约束条件：路径必须是从起始节点到目标节点的有向路径，不允许重复经过节点。
b. 建立目标函数。
我们的目标是最小化路径上的时间，所以目标函数可以定义为路径上各边的权重之和。
c. 建立约束条件。
- 定义起始节点和目标节点。
- 定义路径必须从起始节点出发，到目标节点结束。
- 定义路径不能重复经过同一节点。
3. 解决模型：a. 利用最短路径算法求解，比如在有向图中，可以用Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法等。
4. 结果分析和验证：找到了最短路径后，我们可以对结果进行分析，比如查看路径上的具体节点和道路，以及路径的耗时。
我们还可以按照实际情况进行验证，比如通过实地考察或者其他数据对比来验证求解得到的路径是否合理。
总结：最短路径问题是一个常见的数学建模问题，在实际应用中有着广泛的应用。
通过数学建模，我们可以准确刻画问题，用数学方法求解，得到最优的结果。
在实际解决问题过程中，还需要对结果进行分析和验证，以保证结果的合理性和可行性。
长方体中的路径最短问题PPT课件
建立数学模型，将问题转化为求长方 体表面上两点之间的最短距离，以及 求长方体内部两点之间的最短路径。
考虑长方体的几何特性，最短路径可 能沿着长方体的表面或者通过其内部。
问题的求过计算两点之间的直线距离来 得到最短路径。
02
对于长方体内部的两点，需要采 用图论的方法，将长方体表面展 开为平面图，然后应用平面图中 的最短路径算法求解。
长方体的三个维度
长方体有三个不同的维度，分别是长 度、宽度和高度。
空间几何中的距离概念
01
02
03
距离的定义
在空间几何中，两点之间 的最短路径长度被称为这 两点之间的距离。
距离的测量
距离可以通过多种方式测 量，如直线距离、欧几里 得距离等。
距离的性质
距离具有非负性、对称性、 三角不等式等性质。
空间几何中的最短路径问题
确定长方体中任意点到任意平面的距 离公式。
算法步骤和流程
算法流程 输入长方体的三个边长a、b和c。
输入起点和终点坐标。
算法步骤和流程
根据公式计算起点和终点之间的距离。 根据距离公式计算最短路径。
输出最短路径。
算法实现和代码示例
算法实现 使用Python语言实现算法。 使用NumPy库进行数学计算。
问题的限制条件和特殊情况
限制条件
长方体的边长a、b和c必须大于0，且a、b、c不能为0。
特殊情况
当长方体为正方体时，所有边长相等，此时最短路径问题变得较为简单。
04
解决方案
算法步骤和流程
算法步骤 确定长方体的三个边长，分别为a、b和c。
确定长方体中任意两点间的距离公式。
算法步骤和流程
确定长方体中任意点到任意直线的距 离公式。
初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略
word格式-可编辑-感谢下载支持初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，利用平移把“折”转“直”，利用平面展开图把“折”转“直”。
一、运用轴对称解决距离最短问题利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。
基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．1、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）2、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．应用1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．63、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17172B 、17174C 、17178D 、33、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小4、两个点在矩形内部例：已知矩形ABCD 内有两个点M 、N ，过M 击球到CD 边P ，然后击到BC 边Q ，然后到N,则小球所走的最短路线？二、利用平移确定最短路径选址通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。
立体图形与路径最短问题.PPT资料39页
问题情境一
在棱长为1的立方体 的右下角A处有一只蚂蚁，
B
欲从立方体的外表面爬行
去吃右上角B处的食物，
问怎样爬行路径最短，最
短路径是多少？它有几种
爬行方法？（注：每一个
面均能爬行）
A
知识准备
1、什么是线段公理？ 两点之间，线段最短
2、勾股定理 在Rt△ABC中，两直角边为a、b,斜边为c，则 a2+b2=c2.
角B处的食物，问怎样爬
行路径最短，最短路径是 4
多少？
3
A5
思维分析
1、长方体和立方体的情况一样吗？它们有什么 相同和不同点呢？
和A相连的面是左面、前面和下面； 和B相连的面是上面、右面和后面. 共有六种不同的选择路径
这六种不同选择的路径大小相同吗？
思维方法和过程
前面
后面
A点 左面
右面
B点
下面
上面
B
路径.
最短路径为：4
A
比较选择最短路径
两个最短路径 4 2 和4哪一个最小呢？
比较大小： 4 2 4
因此最短路径为侧面爬行的 4 2
是否所有的情况下都是侧面爬行路径最短吗？ 高和底面半径换一些数据试一试.
延伸问题五
在底面半径为r、高
为h的圆柱体的左下角A
处有一只蚂蚁，欲爬行去
A
则AB6为最短路径 由勾股定理得
AB6= 2212 5
B6
总结
B 从A到B共有六种最短路径
最短路径为 5
A
问题情境二
在底面半径为1、高
为2的圆柱体的左下角A
处有一只蚂蚁，欲从圆柱
B
体的侧面爬行去吃右上角
图形计数及最短路线新剖析
最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。
怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。
一、长方形方格标号：【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B 作为终点划一条由A到B的最短路线。
聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，那么从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。
在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。
例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?AB421 1 1 1 11 14 422 3 4 52 5 9 145 14 28【分析】如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母， 按箭头所示，走1A 有一条路，到1B 有2种办法；再往下到2A 有从1A 走和2B 走两种方法，这样到2A 有3条路线；到2B 可从2A 、1B 走，有5种方法到2B ．过3A 可从2A 、2B 走，共有8条路线；到3B 可走3A 、2B ，这样共有13种走法；经过4A 可从3A 、3B 两条路走，有21种方法都到4B ；到达4B 可以走4A 和3B ，因而有34种路线到达4B ．这样由A 到B ，可经过4A 和4B 两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如图所示．因此，从A 点到B 点的不同路线共有55条．例3：动物园的门票1元1张，每人限购1张。
现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别.用标数法求共有多少种排队方法.如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A 到B 只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法.我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）, 同理拿2元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）. 根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）.二、不规则图形标号：【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D点：从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点有2 种走法。
数量—最短路径
数量——最短路径一、立体图形①正方体（相对的两个顶点）：最短路径（沿表面走）结论：（1）距离：√5边长（2）路径数：6 条②长方体（相对的两个顶点）：最短路径（沿表面走）结论：（1）最短距离：√最长边²+（两短边之和）²（2）最短路径数：2 条（展开可以从前面和上面走，也可以从后面和下面走，是两个相对面）二、平面图形1.结论：三点共线时，距离之和最短。
2.方法：（1）两点异侧，直接连线。
如图，A 点在直线的上面，B 点在直线的下面，直接连接AB，就是最短距离。
（2）两点同侧，先对称再连线。
如图，A、B 点在水平线的同一侧，求AB的最短距离。
将A 点根据水平线对称成异侧点A’，连接A’B 就是最短距离三、一笔画图形1.最短路径=总路径+重复路径。
2.重复路径：（1）从奇点出发：留下 2 个，把其他的奇点两两一组相连，找最短。
①奇点数为2 时，一笔画（无重复）。
②奇点数为4 时，两笔画（即重复一条路径），找奇点两两间线段最短的一条。
③奇点数为6 时，三笔画（重复两条），找奇点两两间线段最短的两条。
（2）从偶点出发：奇点数为0 时，一笔画；所有奇点两两一组相连，找最短长度。
（2017 江苏）某市规划建设的4 个小区，分别位于直角梯形ABCD的4 个顶点处（如图），AD=4 千米，CD=BC=12 千米。
欲在CD 上选一点S 建幼儿园，使其与4 个小区的直线距离之和为最小，则S 与 C 的距离是：（ D ）A.3 千米B.4 千米C.6 千米D.9 千米（2016 山东）一块由两个正三角形拼成的菱形土地ABCD 周长为800米，土地周围和中间的道路如下图所示，其中DE、BF 分别与AB 和CD 垂直。
如要从该土地上任何一点出发走完每一段道路，问需要行进的距离最少是多少米？（B ）A.1000+400√3B.1100+400√3C.1100+500√3D.1000+600√3→图中有 4 个奇点为 A、E、F、C。
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最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。
怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。
一、长方形方格标号：【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B 作为终点划一条由A到B的最短路线。
聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，那么从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。
在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。
例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?AB421 1 1 1 11 14 422 3 4 52 5 9 145 14 28【分析】如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母， 按箭头所示，走1A 有一条路，到1B 有2种办法；再往下到2A 有从1A 走和2B 走两种方法，这样到2A 有3条路线；到2B 可从2A 、1B 走，有5种方法到2B ．过3A 可从2A 、2B 走，共有8条路线；到3B 可走3A 、2B ，这样共有13种走法；经过4A 可从3A 、3B 两条路走，有21种方法都到4B ；到达4B 可以走4A 和3B ，因而有34种路线到达4B ．这样由A 到B ，可经过4A 和4B 两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如图所示．因此，从A 点到B 点的不同路线共有55条．例3：动物园的门票1元1张，每人限购1张。
现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别.用标数法求共有多少种排队方法.如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A 到B 只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法.我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）, 同理拿2元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）. 根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）.二、不规则图形标号：【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D点：从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点有2 种走法。
请教师根据学生的理解情况灵活把握，选择几个点讲透彻。
从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。
从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。
分析：教师讲解时要注意阶梯形与前几题的不同。
我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有126种不同的最短路线。
【例5】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩。
聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？分析：我们采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，在解题时要格外注意是D、G、K、E、H、L这样的点共有几条最短路线，具体是怎么走的，即由哪两点的数之和来确定另一点的。
从北京到黄山最近的道路共有10条。
【例6】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！分析：（解法1）先假设直接学校到养老院（也就是说可以经过市中心，也可以不经过市中心）对角线法共126条。
再减去必经过市中心的60 条，即得126-60=66（条）。
（解法2）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去（或者认为市中心那一点标“0”），共有66条。
【例7】第三届希望杯五年级2试试题）右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法。
（咱们三年级的小朋友都会做五年级的竞赛题了，真聪明！）分析：本题实际是最短路线问题，从我（1个）、爱（2个）、希（3个）、望（4个）、杯（5个）中组成“我爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有16种。
对角线法，其实最短路线问题还有【附1】类型，教师可选讲。
【附】假如直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。
现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪？分析：找到甲村关于AB的对称点C，连接C和乙村交AB的那一点即为汽车站。
课后练习：1、从X到Y最短路线共有多少种不同的走法？分析：对角线法。
共20种。
2.如图，从A到B，最短路线有几条？分析：共有41 条3. 如图，从P点出发到Q点，走最短的路程，有多少种不同的走法？分析：共有115种。
4.小海龟在小猪家玩，它们想去游乐园坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐园共有几条最短路线呢？分析：对角线法，共14 条。
5.（第五届希望杯六年级1试）小君家到学校的道路如右图所示。
从小君家到学校有种不同的走法。
(只能沿图中向右或向下的方向走)分析：10种。
6.从甲到乙最短路线有几条？分析：有11条。
7、学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往东南角的李家村（如图）。
爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？8、在三角形网络的圆圈中，填有“北京欢迎你”的字样，问：可以有多少种不同的方法，沿着连有线段的方向，连成“北京欢迎你”这句话？9、如图，从X到Y最短路线总共有几种走法？分析：共有716种。
10、阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行。
咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？几何计数内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.经典分类：一、数线段【例1】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。
由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF 4条．由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF 3条．由4个基本线段构成的线段有：AE、BF 2条．由5个基本线段构成的线段有：AF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．这两个方法你掌握的怎么样啊？细心的你从中能发现什么规律么？从这道例题中我发现了下面这个结论：（结论内容学生版没有，请教师注意帮助学生总结填写）如果一条直线上有n个点，那么线段的条数为：(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+3+2+1=n× (n-1)÷2 (条).为巩固学生对结论的记忆及应用，教师可在此多多举例联系！【例2】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。
请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？分析：把“0”“1”“4”“6”看成4个点；0～1：1厘米； 0～4：4厘米； 0～6：6厘米；1～4：3厘米； 1～6：5厘米； 4～6：2厘米。
共6种不同长度的线段。
【例3】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？分析：讲解此题之前可先向学生介绍一下下题：数一数，右下图中共有多少条线段？分析：数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”。
这里面AC、BD是“个人”，BC（其中包含BO、CO）、AD（其中包含AO、DO）是“集体”，思路如下：“个人”：AC、BD ，2个；“集体1”：BC、BO、CO ；“集体2”：AD、AO、DO，所以共有8条线段。
回到例题，观察可知这个图形中都是“集体”，在数的时候我们也可以对“集体”进行分类.【例2】含4个交点的集体：AG、AB中共有线段：(3+2+1)×2=12(条)；【例3】含3个交点的集体：EF，CD，BC，AC中共有线段：(2+1)×4=12(条)；所以总共有线段：12+12=24(条)．【例4】（第七届小数报数学竞赛决赛）右图中共有多少个圆 ? 把紧挨在一起的两个圆称为一对，例如圆A、B、C可以看成3对(分别是A与B，B与C，C与A)，图中这样的圆对共有多少对？分析：添加一些辅助线，如右下图所示，显然“圆对”数就是基本线段的数目：（1+2+3+4+5）×3=45（个）.二、数三角形【例5】如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：仔细观察可知，每个三角形中，有两条边都是由O点引出的，而第三边是AE和FG上的线段，AE和FG上的线段条数就和三角形的个数一一对应了.于是数三角形个数的问题就转化为数线段的问题了.FG上含有的基本线段有：5×4÷2=10（条）；AE上含有的基本线段有：5×4÷2=10（条）；所以共有：10+10=20（个）三角形.【例6】（第三届迎春杯决赛）右图中有多少个三角形？分析：边长为1的正三角形，有16个；边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个；共22个.【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?分析：（按所含的基本图形个数分类）只含有一个基本三角形的三角形有6个；恰含两个基本三角形的三角形有3个；恰含三个基本三角形的三角形有6个；恰含四个或五个基本三角形的三角形一个也没有；恰含六个基本三角形的三角形只有1个。