初升高 经典 数学教材
初中升高中数学衔接最全经典教材
初高中数学衔接教材典型试题举一反三理解记忆成功衔接第一部分如何做好初高中衔接 1-3页第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9页第四部分分章节讲解 10-66页第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
初升高数学衔接教材 第01章 第05节 全称量词与存在量词(解析版)
第一章第五节全称量词与存在量词一、电子版教材二、教材解读知识点一 全称量词命题和存在量词命题的判断1.全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x 的语句用p (x )，q (x )，r (x )，…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么全称量词命题“对M 中任意一个x ，p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”，可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”．【例题1】（2020·全国高一）判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数.【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数；（3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数.【例题2】（2020·全国高一）把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:(1)勾股定理;(2)三角形内角和定理.【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；(2)所有三角形的内角和都是180°.【例题3】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.（1）∀x ∈N ，2x ＋1是奇数；（2）存在一个x ∈R ，使11x -＝0； （3）对任意实数a ，|a |＞0；【解析】（1）是全称量词命题.因为,21x N x ∀∈+都是奇数，所以该命题是真命题.（2）是存在量词命题.因为不存在x ∈R ，使101x =-成立，所以该命题是假命题. （3）是全称量词命题.因为00=，所以||0a >不都成立，因此，该命题是假命题.知识点二 含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定﹁p ：∃x ∈M ，﹁p (x )；存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )，它的否定﹁p ：∀x ∈M ，﹁p (x )．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．【例题4】（2020·全国高一）写出下列命题的否定：（1）所有人都晨练；（2）2,10x x x ∀∈++>R ；（3）平行四边形的对边相等；（4）2,10x x x ∃∈-+=R ．【解析】（1）因为命题“所有人都晨练”是全称命题，所以其否定是“有的人不晨练”．（2）因为命题“2,10x x x ∀∈++>R ”是全称命题，所以其否定是“2,10x x x ∃∈++≤R ”．（3）因为命题“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，是一个全称命题， 所以它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”．（4）因为命题“2,10x x x ∃∈-+=R ”是特称命题，所以其否定是“2,10x x x ∀∈-+≠R ”．【例题5】（2020·全国高一）写出下列全称量词命题的否定：（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意x ∈Z ，2x 的个位数字不等于3.【解析】（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.（3）该命题的否定：x Z ∃∈，2x 的个位数字等于3.【例题6】（2020·四川省泸县五中高二月考（理））命题“∀x ≤0，x 2+x +1＞0”的否定是（ ）A ．∀x ＞0，x 2+x +1≤0B ．∀x ＞0，x 2+x +1＞0C ．∃x 0≤0，x 02+x 0+1≤0D ．∃x 0≤0，x 02+x 0+1＞0【答案】C【解析】命题“∀x ≤0，x 2+x +1＞0”为全称命题，故其否定为：∃x 0≤0，x 02+x 0+1≤0【例题7】（2020·天津一中高二期末）“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，2210x x ++≤B ．x R ∀∈，2210x x ++<C ．0x R ∃∈，使得200210x x ++<D ．0x R ∃∈，使得200210x x ++≤【答案】D【解析】全称量词的否定是特称量词，大于的否定是小于等于，故“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，使得200210x x ++≤”三、素养聚焦1．命题“[1,2]x ∀∈,2320x x -+≤”的否定是（ ）A ．[1,2]x ∀∈,2320x x -+>B ．[1,2]x ∀∉,2320x x -+>C ．0[1,2]x ∃∈,200320x x -+>D ．0[1,2]x ∃∉,200320x x -+>【答案】C【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即0[1,2]x ∃∈,200320x x -+>，2．设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p 为（ ）A ．0x ∃>，sin x x ≤B ．0x ∀>，sin x x ≤C ．0x ∃≤，sin x x ≤D ．0x ∀≤，sin x x ≤ 【答案】A【解析】命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p ：0x ∃>，sin x x ≤.3．已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀≥-≥，则p ⌝为（ ） A ．21,2log 1xx x ∀<-< B ．21,2log 1xx x ∀≥-< C ．21,2log 1xx x ∃<-<D ．21,2log 1xx x ∃≥-<【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p 1x ∀≥，22log 1xx -≥，:p ⌝1x ∃≥，22log 1x x -<.4．命题:0p x ∀≥，都有1x e x ≥-+，则命题p 的否定为（ ） A ．0x ∀≥，都有1x e x <-+B ．0x ∀<，都有1x e x ≥-+C ．00x ∃≥，01xe x <-+D ．00x ∃<，01xe x <-+【答案】C 【解析】命题:0p x ∀≥，都有1x e x ≥-+，∴命题p 的否定为00x ∃≥，01x e x <-+，5．命题p ：对任意一个x ∈Z ，21x +是整数，则p ⌝为（ ） A ．对任意一个x Z ∉，21x +不是整数 B ．对任意一个x Z ∉，21x +是整数 C ．0x Z ∃∈，021x +不是整数 D ．0x Z ∃∉，021x +不是整数【答案】C 【解析】命题p 为全称命题，∴p ⌝为“0x Z ∃∈，021x +不是整数”.6．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.7．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．00,sin 10x R x ∃∈+< B ．,sin 10x R x ∀∈+< C ．00,sin 10x R x ∃∈+≥ D ．,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A【解析】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A.8．命题“,x R ∃∈使得21x =-”的否定是（ ） A ．x R ∀∉都有21x =- B ．x R ∃∉使得21x =- C ．,x R ∃∈使得21x ≠- D ．,x R ∀∈都有21x ≠-【答案】D【解析】命题“,x R ∃∈使得21x =-”的否定是“,x R ∀∈都有21x ≠-”. 9．已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ﹁为( )A ．00x ∃≤，使得00(1)1xx e +≤B ．00x ∃>，使得00(1)1xx e +≤C ．0x ∀>，总有(1)1x x e +≤D ．0x ∀≤，使得(1)1x x e +≤【答案】B【解析】因为命题p ：0x ∀>，总有(1)1xx e +>，所以p ﹁：00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤.10．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（ ） A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3 B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3 C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3【答案】D【解析】因为命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3是全称命题， 所以其否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3.11．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(-∞B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎤-⎣⎦D ．3λ=【答案】A【解析】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x xλ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成立，而22112x x x x +=+≥=12x x =，即2x =时取等号），即λ≤ A. 12．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是（ ） A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x < D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 13．已知命题p ：“0a ∀>，都有1a e ≥成立”，则命题p ⌝为（ ） A ．0a ∃≤，有1a e <成立 B ．0a ∃≤，有1a e ≥成立 C ．0a ∃>，有1a e ≥成立 D ．0a ∃>，有1a e <成立 【答案】D【解析】全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，1a e ≥的否定为1a e <．命题p ⌝为0a ∃>，有1a e <成立14．已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝（ ） A ．x R ∃∈，210x x -+≤ B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．x R ∃∈，210x x -+> D ．x R ∀∈，210x x -+≥ 【答案】A【解析】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>， 则:p ⌝x R ∃∈，210x x -+≤，故选A ．15．命题“0x R ∃∈，20010x x ++≤”的否定为（ ）A ．x R ∀∈，210x x ++>B ．x R ∀∉ ，210x x ++≤C ．0x R ∃∈，20010x x ++>D ．0x R ∃∉， 20010x x ++≤【答案】A【解析】因为命题“0x R ∃∈，20010x x ++≤”为特称命题,所以其否定为“x R ∀∈，210x x ++>”.16．命题“00x ∃>，20010x x ++<”的否定是（ ）A ．0x ∀>，210x x ++≥B ．0x ∀≤，210x x ++<C ．0x ∀>，210x x ++<D ．0x ∀≤，210x x ++≥【答案】A【解析】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“00x ∃>，20010x x ++<”的否定为：“0x ∀>，210x x ++≥”.17．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，2000x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，2000x x -≤D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：“01x ∃>，2000x x -≤”，故选C.18．下列说法：①命题“0x ∀>，20x x -≤”的否定是“0x ∃≤，20x x ->”；②若一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真；③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；④“3x <”是“3x <”成立的充分条件，其中错误的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】命题“0x ∀>，20x x -≤”的否定是“0x ∃>，20x x ->”，故①错误一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，同真假性，故②正确 对角线相等的等腰梯形不是矩形，故③错误由3x <推不出3x <，如4x =-时，满足3x <，但推不出3x <，故④错误 所以错误的个数是319．下列有关命题的说法正确的是（ ）．A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++<”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】对于A ：命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．因为否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误．对于B ：“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．因为21560x x x =-⇒--=，应为充分条件，故B 错误．对于C ：命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”． 因为命题的否定应为x R ∀∈，均有210x x ++≥．故C 错误． 由排除法得到D 正确．20．已知命题2000:,220p x R x x ∃∈++≤，则p ⌝为( )A ．2,220x x x ∀∈++>RB ．2,220x R x x ∀∈++≤C ．2,220 x R x x ∃∈++≤D ．2,220x x x ∃∈++>R【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，命题2000:,220p x R x x ∃∈++≤，则p ⌝为：2,220x x x ∀∈++>R .21．已知命题1,20x p x R -∀∈>：，则命题p ⌝为（ ） A ．1,20x x R -∀∈≤B ．1,20x x R -∃∈≤C ．1,20x x R -∃∈≠D ．1,20x x R -∀∈<【答案】B【解析】因为命题1,20x p x R -∀∈>：所以命题:p ⌝1,20x x R -∃∈≤22．若命题“存在0x R ∈，使220x x m --≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．[]11-， D ．【答案】D 【解析】命题“存在0x R ∈，使220x x m --≤0”是假命题， ∴不等式220x x m --≤0无解， ()2240m ∴∆=-+<，解得1m <-，∴实数m 的取值范围是，23．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥ D ．x R ∀∈，2210x x -+<【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，故命题20",210"x R x x ∃∈-+<的否定是“2,210x R x x ∀∈-+≥”.24．（多选题）下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”. C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 【答案】ABD【解析】对于A ，1110a a a -<⇔>()10a a ⇔->0a ⇔<或1a >，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥” ⇒ “224x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件，故C 错； 对于D ，00ab a ≠⇔≠，且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对； 25．（多选题）在下列命题中，真命题有（ ） A ．x R ∃∈，230x x ++= B ．x Q ∀∈，211132x x ++是有理数 C ．,x y Z ∃∈，使3210x y -= D ．x R ∀∈，2||x x >E.命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” 【答案】BCE【解析】A 中，221113024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，故A 是假命题； B 中，x Q ∈，211132x x ++一定是有理数，故B 是真命题； C 中，4x =，1y =时，3210x y -=成立，故C 是真命题；对于D ，当0x =时，左边=右边=0，故D 为假命题；E 命题否定的形式正确，故为真命题． 故真命题有BCE ．26．（多选题）下列命题中是真命题的是（ ） A ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B ．命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”C ．数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x ---的平均数是6D ．当3a =-时，方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩有无穷多解【答案】ABD【解析】选项A ，1x >，则有21x >，但21x >，则1x >或1x <-， 所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，选项A 正确； 选项B ，命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是 “00x ∃>，使得0sin 1x >”，所以选项B 正确； 选项C ，数据128,,,x x x 的平均数为6， 则数据12825,25,,25x x x ---的平均数是7，所以选项C 错误；选项D ，当3a =-时，方程组为32103210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以有无数个解，所以选项D 正确.27．（多选题）给出下列命题，其中真命题有（ ） A ．存在0x <，使|x|>x B ．对于一切0x <，都有|x|>x C ．存在0x <，使||x x ≤D ．已知2a n =，3b n =，则存在*n ∈N ，使得a b = E.已知*{|2,}A a a n n ==∈N ，*{|3,}B b b n n ==∈N ，则A B =∅【答案】AB【解析】对A ，当1x =-时，11>-成立，故A 正确； 对B ，对0x <都0|x|>，显然有|x|>x ，故B 正确；对C ，命题“存在0x <，使||x x ≤”，是B 中命题的否定，所以C 为假命题，故C 错误； 对D ，“存在*n ∈N ，使得a b =”的否定是“对于任意的*n ∈N ，都有a b ”，由于23a b n n n -=-=-，所以对于任意的*n ∈N ，都有a b <，即a b ≠，故D 为假命题；对E ，已知*{|2,}A a a n n ==∈N ，*{|3,}B b b n n ==∈N ，易知6A ∈，6B ∈，因此E 为假命题；28．（多选题）下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要 不 充 分 条件 【答案】ABD【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a <,但是由11a<,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a<,但是不符合1a >,所以本选项是正确的； 选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的；选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确.29．（多选题）关于下列命题正确的是（ ）A ．一次函数320kx y k ++-=图象的恒过点是213⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．3322,,()()a b R a b a b a ab b ∀∈+=+++ C ．(2,4),(2)(4)x y x x ∀∈-=+-的最大值为9 D ．若p 为假命题，则()p ⌝⌝为真命题 【答案】AC【解析】对A ，由320kx y k ++-=，即(1)320k x y ++-=，可令10x +=，即1x =-，320y -=，可得23y =，故直线320kx y k ++-=恒过定点2(1,)3-，故A 正确； 对B ，由两数的立方和公式可得a ∀，b R ∈，3322()()a b a b a ab b +=+-+，故B 错误；对C ，(2,4)x ∀∈-，可得20x +>，40x ->，则224(2)(4)()92x x y x x ++-=+-=，当且仅当1x =时y 取得最大值为9，故C 正确；对D ，若p 为假命题，则p ⌝为真命题，()p ⌝⌝为假命题，故D 错误． 30．（多选题）已知下列命题其中正确的有（ ） A ．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0” B ．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题C ．“至少存在一个实数x ，使得||0x ≥0”是含有存在量词的真命题 D ．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题 【答案】BCD【解析】对于A, “实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A 错误. 对于B, “三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B 正确;对于C, “至少存在一个实数x ，使得||0x ≥0”含有存在量词,且为真命题,所以C 正确; 对于D, “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D 正确. 综上可知,正确命题为BCD。
(2020年整理)初升高数学衔接教材(完整).doc
第一讲 数与式1、 绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集 例2.求不等式215x +>的解集 例3.求不等式32x x ->+的解集 例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集． 例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式：（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练习（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）22126x xy y +-（7）()()3211262+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()22244+--x x （10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x 2－2x －1（14） 31a +； （15）424139x x -+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。
初升高经典数学教材
初升高经典数学教材(总19页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初高中数学衔接教材第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。
这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
初升高数学衔接教材(完整)(2020年8月整理).pdf
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a −表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a −<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><−或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1.求不等式354x −<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x −>+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x −+−＞4+x （2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x −< (5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式22()()a b a b a b +−=− （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式2233()()a b a ab b a b +−+=+ （4）立方差公式2233()()a b a ab b a b −++=−（5）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++（7）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b −=−+−因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby −++；（4）1xy x y −+−．2．提取公因式法例2.分解因式： （1）()()b a b a −+−552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+−a （2）()()2223y x y x −−+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332−+−（2）222456x xy y x y +−−+− 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x −−.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +−；（2）2244x xy y +−．练习（1）256x x −−（2）()21x a x a −++（3）21118x x −+（4）24129m m −+（5）2576x x +−（6）22126x xy y +−（7）()()3211262+−−−p q q p （8）22365ab b a a +−（9）()22244+−−x x （10）1224+−x x （11）by ax b a y x 222222++−+−（12）91264422++−+−b a b ab a (13)x 2－2x －1（14）31a +；（15）424139x x −+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +−++−第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a −，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，。
初中升高中数学衔接教材讲义(有例题最全最新word版)
初升高衔接教材—数学2020.8目录1.1 数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2. 乘法公式1.1.3．二次根式1.1.４．分式1．2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 几种特殊的三角形3．3圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 点的轨迹１２1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．练 习 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 1A 0 C x|x －1||x －3| 图1．1－1３3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如32a b21x ++，22x y ++，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，一般地，b与b互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公0,0)a b=≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2的意义a==,0,,0.a aa a≥⎧⎨-<⎩例1将下列式子化为最简二次根式：（1（20)a≥；（30)x<．解：（1=（20)a==≥；（3220)x x x==-<．例2(3-．解法一：(3-解法二：(3４５例3 试比较下列各组数的大小：（1（2. 解： （11===，1===，>．（2）∵1=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，例4化简：20042005+⋅．解：20042005⋅-＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤+⋅⋅⎣⎦＝20041⋅例 5 化简：（1； （21)x <<． 解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．６例 6已知x y ==22353x xy y -+的值 ． 解：∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1．填空： （1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___； （3）=__ ___； （4）若2x ==______ __． 2．选择题：=（ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若b =，求a b +的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式７像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12 ． 例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，８∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．选择题：若223x y x y -=+，则xy＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2+-＝________；（22=，则a 的取值范围是________； （3=________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+__ __； 2．已知：11,23x y ==的值．C 组1．选择题：（1=（ ）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算 （ ）９（A（B（C） （D）2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=． 3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1.1.1．绝对值1．（1）5±；4± （2）4±；1-或3 2．D 3．3x －181.1.2．乘法公式1．（1）1132a b - （2）11,24 （3）424ab ac bc --2．（1）D （2）A1.1.3．二次根式1． （12 （2）35x ≤≤ （3）- （4． 2．C 3．1 4．＞1.1.4．分式1．12 2．B 3． 1- 4．99100习题1．1 A 组1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞3 2．1 3．（1）2-（2）11a -≤≤ （31-B 组1．（1）37 （2）52，或－15 2．4．C 组1．（1）C （2）C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；１０（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－5∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +-++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．1.2分解因式1． B 2．（1）(x ＋2)(x ＋4) （2）22(2)(42)a b a ab b -++（3）(11x x --+ （4）(2)(22)y x y --+．习题1．21．（1）()()211a a a +-+ （2）()()()()232311x x x x +-+- （3）()()2b c b c a +++ （4）()()3421y y x y -++-2．（1）x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭； （2）(x x -；（3）3x y x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()3(1)(11x x x x -+--+．3．等边三角形 4．(1)()x a x a -++2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根1x =， 2x = （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-----=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35． 由 （－35）＋2＝－5k，得 k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72． （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x=，2x =， ∴| x 1－x 2|=||||a a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0．② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练 习 1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ．（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.1 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围． 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和122x x +； （2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．C 组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） （A（B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为 （ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ） （A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1 （4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是 （ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根 2．填空：若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ． 3． 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值； （3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．4．已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=． （1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2． 5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．2.1 一元二次方程练习1． （1）C （2）D2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x 2＋2x －3＝0 3．k ＜4，且k ≠04．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9习题2．1 A 组1． （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；对于④，其两根之和应为－23．（3）C 提示：当a ＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．2． （1）2 （2）174（3）6 （33．当m ＞－14，且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m ＝－14时，方程有两个相等的实数根；当m ＜－14时，方程没有实数根． 4．设已知方程的两根分别是x 1和x 2，则所求的方程的两根分别是－x 1和－x 2，∵x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝－1，∴(－x 1)＋(－x 2)＝－7，(－x 1)×(－x 2)＝x 1x 2＝－1，∴所求的方程为y 2＋7y －1＝0．B 组1．C 提示：由于k =1时，方程为x 2＋2＝0，没有实数根，所以k ＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m ＋n ＝－2005，mn ＝－1，∴m 2n ＋mn 2－mn ＝mn (m ＋n －1)＝－1×(－2005－1)＝2006． （2）－3 提示；∵a ＋b ＝－1，ab ＝－1，∴a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3＝a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋b )＝(a ＋b )( a 2＋b 2)＝(a ＋b )[( a ＋b ) 2－2ab ]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．（1）∵Δ＝(－k )2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，∴2k ＞－2，即k ＞－1．4．（1）| x 1－x 2|，122x x +＝2b a -；（2）x 13＋x 23＝333abc b a -． 5．∵| x 1－x 2|2==，∴m ＝3．把m ＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m ＝3．C 组1．（1）B （2）A（3）C 提示：由Δ≥0，得m ≤12，∴α＋β＝2(1－m )≥1． （4）B 提示：∵a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，∴a ＋b ＞c ，∴Δ＝(a ＋b )2－c 2＞0． 2．（1）12 提示：∵x 1＋x 2＝8，∴3x 1＋2x 2＝2(x 1＋x 2)＋x 1＝2×8＋x 1＝18，∴x 1＝2，∴x 2＝6，∴m ＝x 1x 2＝12．3．（1）假设存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立．∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k ≠0，且Δ＝16k 2－16k (k +1)=－16k ≥0，∴k ＜0． ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝14k k+， ∴ (2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝2 x 12－51x 2＋2 x 22 ＝2(x 1＋x 2)2－9 x 1x 2＝2－9(1)4k k+＝－32，即9(1)4k k+＝72，解得k ＝95，与k ＜0相矛盾，所以，不存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立．（2）∵1221x x x x +－2＝222212121212121212()2()224x x x x x x x x x x x x x x ++-+-=-=- ＝444(1)44111k k k k k k -+-==-+++， ∴要使1221x xx x +－2的值为整数，只须k ＋1能整除4．而k 为整数，∴k ＋1只能取±1，±2，±4．又∵k ＜0，∴k ＋1＜1， ∴k ＋1只能取－1，－2，－4，∴k ＝－2，－3，－5． ∴能使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3和－5．（3）当k ＝－2时，x 1＋x 2＝1，① x 1x 2＝18， ② ①2÷②，得1221x x x x +＋2＝8，即16λλ+=，∴2610λλ-+=， ∴3λ=± 4．（1）Δ＝22(1)20m -+>；（2）∵x 1x 2＝－24m ≤0，∴x 1≤0，x 2≥0，或x 1≥0，x 2≤0．①若x 1≤0，x 2≥0，则x 2＝－x 1＋2，∴x 1＋x 2＝2，∴m －2＝2，∴m ＝4．此时，方程为x 2－2x －4＝0，∴11x =21x =②若x 1≥0，x 2≤0，则－x 2＝x 1＋2，∴x 1＋x 2＝－2，∴m －2＝－2，∴m ＝0．此时，方程为x 2＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2．5．设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝a ， 由一根大于1、另一根小于1，得(x 1－1)( x 2－1)＜0， 即 x 1x 2－(x 1＋x 2)+1＜0， ∴ a －(－1)＋1＜0，∴a ＜－2． 此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0， ∴实数a 的取值范围是a ＜－2．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示）2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a -=++，所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．1坐标、最大值（或最小值），并指出当x 减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x 大而减小；采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 和C (，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）． 图2.2-3 图2.2－5说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得 k ＝－1，b ＝200．∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224bc +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练 习 1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象． （1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点个数．当抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有ax 2＋bx ＋c ＝0． ①①图2.2－6②③并且方程①的解就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝c a， 即 b a ＝－(x 1＋x 2)， ca＝x 1x 2．所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (2b c x x a a++)= a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]＝a (x －x 1) (x －x 2)．由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上， 所以，2＝x ＋1，∴x ＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2． ∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．。
初高中数学类书籍
初高中数学类书籍
以下是一些适合初高中学生阅读的数学类书籍：
1. 《写给全人类的数学魔法书》：该书囊括了十种数学解题思路，可以让你游刃有余地应对各种初高中数学难题。
2. 《数学思维的新方法》：由波利亚所著，该书对数学教育产生了深刻影响，教会年轻人思考，探索解题途径。
3. 《数学家的眼光》：由张景中所著，这本书思考数学问题的思路和方法，有助于提高解决数学问题的能力。
4. 《几何原本》：这是最古老的数学书，中学生、大学生以及数学爱好者都可以阅读。
此外，还有《东大教授我的学习法》、《如何唤醒数学脑》等也是适合初高中生阅读的数学书籍。
提高中学生数学水平的十本数学参考书籍
提高中学生数学水平的十本数学参考书籍随着社会的快速发展和教育的普及，数学作为一门重要的学科在中学教育中扮演着举足轻重的角色。
然而，很多中学生对数学学习产生了困惑和厌倦的情绪。
为了帮助中学生提高数学水平，我们精选了十本数学参考书籍，希望能够对中学生的数学学习起到一定的指导和帮助。
1.《高中数学竞赛必备秘籍》本书主要针对喜欢参加数学竞赛的中学生而编写，包含了高中数学竞赛常考的各种题型和解题技巧。
通过学习本书能够提高中学生的数学思维能力和解题速度，培养他们的数学竞赛意识。
2.《中学奥数经典习题集》该书是中学生奥数学习的良好教材，精选了大量的奥数题目，涵盖了不同难度和题型。
通过反复练习这些经典习题，有助于提高中学生的逻辑思维和问题解决能力。
3.《中学数学创新思维拓展教程》此书通过一些有趣的案例和例题，引导中学生进行创新思维的培养和发展。
书中的例题设计新颖独特，能够锻炼学生的数学建模能力和创新思维。
4.《中学数学基础巩固教程》这本书适合数学基础薄弱的中学生使用，系统地讲解了中学数学的基本知识和概念，并配有大量的练习题和解题思路。
通过学习这本书，中学生可以夯实数学基础，为学习高级数学打下坚实的基础。
5.《中学数学实际应用指南》该书主要通过实际案例和应用题，将中学数学与实际生活相结合，帮助中学生更好地理解和应用数学知识。
这样的学习方式可以激发学生的学习兴趣，并提高他们的数学应用能力。
6.《中学数学解题思路大揭秘》这本书主要讲解解题思路和方法，帮助中学生提高解题的效率和准确性。
通过深入浅出的解析，可以帮助学生理解数学问题解决的核心思想和技巧。
7.《中学数学典型难题精讲》该书选取了一些典型的数学难题，通过详细的解答和分析，帮助中学生理解和掌握解决这些难题的方法和技巧。
同时，这些难题也可以激发中学生思维的活跃性，培养他们的问题解决能力。
8.《中学数学应试技巧指南》这本书主要介绍了中学数学应试的一些技巧和策略，帮助中学生在考试中提高分数。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
适合初升高的数学书籍
适合初升高的数学书籍
以下是一些适合初升高阶段学生阅读的数学书籍：
1. 《高中数学一年预习与衔接》：此书是为初升高阶段学生编写的，涵盖了高中数学的基础知识，适合作为过渡阅读。
2. 《初中数学完全征服》：此书内容系统、全面，通过大量的例题和题目解析，帮助学生巩固基础知识，并为高中数学的学习打下坚实基础。
3. 《高中数学基础教程》：该书对高中数学的重要概念和方法进行深入浅出的解释，适合初升高阶段学生理解高中数学的逻辑和思维方式。
4. 《高中数学辅导名师讲义》：该书以题目解析的方式，详细讲解了高中数学中的重要知识点和解题技巧，帮助学生掌握高中数学的要点。
5. 《高中数学自学教程》：此书以自学为主要方式，通过步骤清晰的解题过程，帮助学生逐步提高数学解题的能力。
以上书籍仅为推荐，选择适合自己的数学书籍需要考虑自己的数学水平和学习需求。
最好从教育出版社或其他权威出版社选择正规的教材和辅导书籍。
同时，老师的指导和同学的讨论也是学习数学的重要途径。
适合中学数学老师看的20本书籍
适合中学数学老师看的20本书籍：深度学习与教学实践指南中学数学教学，不仅需要扎实的数学功底，更需要巧妙的教学方法和对学生学习心理的深入了解。
一本好书，能为教师的专业发展提供源源不断的动力。
这份书单精选了20本适合中学数学老师阅读的书籍，涵盖数学基础、教学方法、教育心理学、以及数学史与数学文化等方面，希望能为各位老师的专业成长提供帮助。
第一部分：夯实数学基础，提升专业素养 (5本书)1.《高等代数》——线性代数的基石:高等代数是许多数学分支的基础，理解线性代数对于理解中学数学中的向量、矩阵、线性方程组等内容至关重要。
推荐同济大学数学系编写的版本，内容详实，讲解清晰，适合系统学习。
掌握高等代数，能帮助老师更深入地理解中学数学的底层逻辑，解答学生提出的更深入的问题。
2.《解析几何》——空间想象力的培养:解析几何将代数方法与几何方法巧妙结合，培养空间想象能力是中学数学教学的重要目标。
通过学习解析几何，老师可以更清晰地理解几何问题的代数表示，并能更有效地引导学生进行几何推理和证明。
推荐同济大学数学系编写的版本，内容全面，例题丰富。
3.《微积分》——函数思想的深化:微积分是高等数学的核心内容，理解微积分有助于老师更深入地理解函数的概念、变化率以及极限等重要概念。
这对于讲解中学数学中的函数、导数、积分等内容至关重要。
推荐较为通俗易懂的版本，例如一些针对工科生的微积分教材，注重应用和理解。
4.《概率论与数理统计》——数据分析的工具:概率论与数理统计是数据分析的重要工具，在现代社会中应用广泛。
学习概率论与数理统计，可以帮助老师更好地理解统计数据的含义，并能更有效地引导学生进行数据分析和概率推理。
推荐一些注重应用和案例分析的版本。
5.《数学分析》——严谨的数学思维:数学分析是高等数学的理论基础，学习数学分析可以培养严谨的数学思维，提升逻辑推理能力。
虽然中学数学教学中不会直接用到数学分析的全部内容，但学习数学分析有助于老师更深刻地理解中学数学的理论基础，并能更有效地引导学生进行数学思考。
初中数学最好的参考书
初中数学最好的参考书
初中数学优秀的参考书根据不同的学习阶段和需求可以有所差异，以下是一些受到推荐的高质量教辅书籍：
1.《蝶变知识点清单》：适合七八九年级学生全面掌握初中数学所有考点知识点，帮助学生巩固基础、查漏补缺。
2.《中学教材全解》系列：这套书以详细解析教材内容而知名，覆盖了初中数学课程的所有章节，对每个知识点都进行了详尽解读和例题讲解。
3.《初中必刷题》：以习题集形式提供大量练习题目，有助于学生通过大量做题来提升解题技巧和应试能力。
4.《5年中考3年模拟》：集合了近五年全国各地中考真题及近三年典型模拟试题，紧跟中考趋势，是备战中考的重要参考书。
5.《完全解读》系列：针对数学学科的特点，进行深入浅出的解析和拓展训练，适合想要深度理解和熟练运用数学知识的学生。
高中数学好的辅导书
高中数学好的辅导书
高中数学是一门非常重要的学科，需要掌握一定的知识和技能。
为了更好地学习数学，可以参考以下辅导书：
1. 《高中数学》（人教版）必修一、二、三：这是人民教育出版社出版的教材，是高中数学的基础知识，涵盖了数学的基本概念、定理和公式等。
这本书的内容比较基础，适合刚开始学习数学的同学。
2. 《高中数学》（北师大版）必修一、二、三：这是北京师范大学出版社出版的教材，也是高中数学的基础知识。
这本书的内容比较详细，适合对数学要求比较高的同学。
3. 《五年高考三年模拟》：这是一本经典的辅导书，包含了近五年来的高考试题和近三年的模拟试题，对于提高解题能力和掌握考试技巧非常有帮助。
4. 《高中数学精编》：这是一本比较全面的辅导书，包含了高中数学的所有知识点和解题技巧，对于巩固基础和提高解题能力都非常有帮助。
5. 《高中数学解题宝典》：这是一本以解题为主的辅导书，包含了高中数学的各种题型和解题方法，对于拓展思路和提高解题能力非常有帮助。
以上辅导书都是比较常见和经典的，可以根据自己的需要选择适合自己的辅导书进行学习。
同时，也可以结合网上的教学视频和练习题进行学习，效果会更好。
初高中数学衔接教材经典
初高中数学衔接教材经典引言初高中数学衔接教材起着十分重要的作用，它为学生从初中过渡到高中提供了必要的知识基础。
既要满足初中数学知识的巩固与拓展，又要有针对性地引导学生进一步理解和应用数学知识。
本文将介绍一些经典的初高中数学衔接教材，帮助学生更好地完成数学学习过程。
1.《初中数学与高中数学衔接教材》这本教材是由数学教育专家编写的，主要针对初中毕业生进入高中后需要巩固和拓展的数学知识。
教材内容涵盖初中阶段的各个知识点，同时引入一些高中数学的基础概念和方法。
该教材融入了大量的例题和习题，帮助学生理解并运用数学知识。
教材的特点如下：•教材内容覆盖了初中各个年级的数学知识，包括数与式、图形、方程、不等式、函数等。
•教材引入了高中数学的一些基础概念和方法，如集合、函数、导数等，为学生打下良好的高中数学基础。
•丰富的例题和习题，帮助学生巩固和应用所学知识。
•教材注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，引导学生进行思考和推理。
2.《初中数学与高中数学衔接导学教程》该教材是一本以导学为主的辅助教材，旨在解决初中与高中数学衔接过程中的困惑和问题。
教材通过导学方式引导学生自主学习，培养学生的学习兴趣和学习方法。
教材的特点如下：•教材以教学导引的方式呈现，引导学生逐步掌握基础知识。
•教材布置的导学任务可以帮助学生自我评估和反馈。
•教材提供了大量的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识。
•教材注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，引导学生进行思考和推理。
3.《数学衔接训练与辅导》这本教材是由一群优秀的教师编写的，旨在帮助初中毕业生顺利过渡到高中数学学习。
该教材通过训练和辅导的方式，提供了一系列详细的教学步骤和解题思路。
教材的特点如下：•教材按照思维发展的规律，循序渐进地进行教学设计，帮助学生逐步掌握数学知识。
•教材提供了大量的典型例题，通过详细的解题步骤和解题思路，帮助学生理解和运用数学知识。
•教材设计了一些思维训练和解题方法，培养学生的思维能力和解决问题的技巧。
适合初中数学拔高的书
适合初中数学拔高的书数学是一门基础学科，也是一门非常重要的学科。
在学生的学习生涯中，数学学科占据着非常重要的地位。
然而，在初中阶段，许多学生可能会遇到数学学科的困难。
如果想要提高自己的数学水平，那么阅读数学书籍是一种非常好的方法。
本文将介绍几本适合初中数学拔高的书。
一、《数学分析初步》《数学分析初步》是一本非常经典的数学书籍。
它是由苏联著名数学家柯尔莫戈洛夫编写的。
这本书不仅在数学领域享有很高的声誉，而且在其他学科领域也有很高的影响力。
这本书主要介绍了初等数学和微积分的基本概念和方法。
通过这本书的学习，可以使学生对数学的理解更加深入，同时也可以提高学生的解题能力。
二、《中学数学竞赛全书》《中学数学竞赛全书》是一本非常适合初中生阅读的数学书籍。
这本书主要介绍了中学数学竞赛的题目及其解法。
这些题目都是非常有挑战性的，可以使学生在解题过程中锻炼自己的思维能力和创新能力。
通过这本书的学习，学生可以了解到数学竞赛的基本知识和技巧，同时也可以提高自己的数学水平。
三、《高中数学竞赛全书》《高中数学竞赛全书》是一本适合初中数学拔高的学生阅读的数学书籍。
这本书主要介绍了高中数学竞赛的题目及其解法。
这些题目都是非常有挑战性的，可以使学生在解题过程中锻炼自己的思维能力和创新能力。
通过这本书的学习，学生可以了解到高中数学竞赛的基本知识和技巧，同时也可以提高自己的数学水平。
四、《数学思维拓展训练》《数学思维拓展训练》是一本适合初中数学拔高的学生阅读的数学书籍。
这本书主要介绍了数学思维的基本概念和方法。
通过这本书的学习，学生可以了解到数学思维的基本要素和技巧，同时也可以提高自己的数学思维能力。
五、《数学与数学家》《数学与数学家》是一本适合初中数学拔高的学生阅读的数学书籍。
这本书主要介绍了数学史和数学家的生平事迹。
通过这本书的学习，学生可以了解到数学的发展历程和数学家的思维方式，同时也可以激发学生对数学的兴趣和热情。
总之，阅读数学书籍是提高数学水平的一种非常好的方法。
初中数学基础知识大全书籍
初中数学基础知识大全书籍
以下是一些初中数学基础知识的推荐书籍：
1. 《初中数学基础全解》 - 作者：杨震宇
2. 《初中数学基本概念与基本定理》 - 作者：杨震宇
3. 《初中数学基础习题精讲》 - 作者：杨震宇
4. 《初中数学基础知识全解》 - 作者：王恩洪、牛文玲
5. 《初中数学基础知识与方法》 - 作者：凌志刚、李敦宇
6. 《初中数学基础知识清单与习题解析》 - 作者：张维宏
7. 《中学数学基础知识点速记与应用》 - 作者：张洪伟、王晓莉
8. 《中学数学基础知识点全解与习题精讲》 - 作者：张洪伟、王晓莉
这些书籍都涵盖了初中数学的基础知识和概念，并提供了大量的习题和解析，适合巩固和提高数学基础。
您可以根据自己的需求选择合适的书籍进行学习和练习。
初中能用到的高等数学教材
初中能用到的高等数学教材高等数学是一门包含微积分、线性代数、数理方程等内容的学科，通常是在大学阶段学习的。
然而，对于一些数学特长生或者对数学有浓厚兴趣的初中生来说，提前接触高等数学可能会对他们的数学发展有所裨益。
因此，有些初中能用到的高等数学教材被开发出来，供这些学生使用。
本文将介绍几本初中阶段适用的高等数学教材。
一、《初中高等数学导引》《初中高等数学导引》是一本编写针对初中阶段学生的高等数学教材，由数学教育专家编写而成。
这本教材内容包含了微积分、线性代数和数理方程等高等数学的基础知识。
通过用通俗易懂的语言讲解，结合真实生活中的例子进行说明，可以帮助初中生更好地理解高等数学的概念和原理。
《初中高等数学导引》的结构分为教材和习题两部分。
教材部分系统地介绍了高等数学的各个知识点，包括函数、极限、导数、矩阵、方程等。
每个知识点都有详细的说明和例题，可以帮助学生逐步掌握理论知识。
习题部分则提供了大量的练习题和解答，供初中生巩固所学知识并检验自己的掌握程度。
二、《初中高等数学思维训练》《初中高等数学思维训练》是一本注重培养学生数学思维能力的教材。
该书中的内容主要侧重于解题方法和思维逻辑的培养，旨在帮助初中生建立起高等数学思维的基础，为将来深入学习高等数学打下坚实的基础。
《初中高等数学思维训练》中的内容包含了大量的解题技巧和策略，如数学建模、推理证明、问题求解等。
通常，这本教材的题目都比较有挑战性，要求学生灵活运用所学的数学知识，并通过不同的思维方式解决问题。
通过反复的实践和训练，初中生能够提高解决数学问题的能力，同时也对高等数学的学习充满了兴趣和自信。
三、《初中高等数学练习册》《初中高等数学练习册》是一本专门为初中生设计的数学练习册，旨在提供大量的高质量练习题，帮助初中生巩固和提高高等数学的知识水平。
这本练习册覆盖了微积分、线性代数、数理方程等多个高等数学的内容，题目设计既注重基础知识的练习，又考察学生的思维能力和解题技巧。
初中生高等数学教材推荐
初中生高等数学教材推荐数学作为一门重要的学科，对于初中生的学习发展至关重要。
高等数学作为数学的一部分，是非常复杂和抽象的内容。
因此，选择一本适合初中生的高等数学教材是非常重要的。
本文将为您推荐几本优秀的高等数学教材，供初中生选择。
第一本推荐的是《高等数学的基础》。
该教材以简明扼要的方式介绍了高等数学的基本知识和概念。
它适用于初中生作为高等数学的入门教材。
该教材以易于理解的语言和直观的图表来解释数学概念，帮助初中生掌握基础知识。
此外，该教材还提供了大量的习题和解答，供学生巩固和加深理解。
第二本推荐的是《高等数学的拓展与应用》。
这本教材适合那些对数学有一定兴趣和基础的初中生。
它涵盖了更深入和复杂的高等数学内容，如微积分和线性代数等。
该教材通过提供更多的例题和练习题，帮助初中生提高解决数学问题的能力。
此外，该教材还提供了一些实际应用的案例，帮助学生将数学知识应用到实际生活中。
第三本推荐的是《高等数学的思考与探索》。
这本教材适合对数学有较高兴趣和自主学习能力的初中生。
它突破了传统教材的框架，采用探索性学习的方式，培养学生的创造力和解决问题的能力。
该教材将数学与其他学科相结合，让学生在解决实际问题的过程中体验到数学的美妙之处。
此外，初中生在选择高等数学教材时，还应考虑自己的学习特点和学习目标。
如果初中生擅长自主学习，可以选择较深入和有挑战性的教材；如果初中生需要更多的帮助和指导，可以选择相对简单和易于理解的教材。
同时，建议初中生多参考老师和同学的建议，选择适合自己的教材。
总结起来，选择一本适合初中生的高等数学教材是关乎学习质量的重要决策。
本文推荐了几本优秀的教材，包括《高等数学的基础》、《高等数学的拓展与应用》和《高等数学的思考与探索》。
初中生在选择教材时应根据自己的学习特点和目标进行选择，并参考他人的建议。
希望本文能为初中生选择高等数学教材提供一些参考和帮助。
初三升高一暑期衔接教材数学
初三高升一课程1、高次方程2、分式方程方程 3 、根式方程4、含绝对值方程5、含字母系数方程6、一元二次不等式7、分式不等式知识构造不等式8 、高次不等式9、含绝对值不等式10、含字母系数不等式11、分段函数12、函数图像平移函数13、含绝对值函数14、含字母系数的函数15、复合函数第一节 : 五类方程的解法知识重点序名称例子转变方程关键词1分式方程例 1123换元去分去分母母( x1) 2x12高次方程例 2x 42x230① 换元降次② 因式分解3根式方程例 3x 2 x130① 换元去根② 乘方号4绝对值方程例 4x22x30① 换元去② 分类5含字母系数例 5ax b 0的方程定义：二次以上的方程叫高次方程。
解题思路：经过降次把方程转变成一元一次或一元二次方程。
解法：①直接开方降次法②因式分解降次法③换元降次法解法一：设 x2t t 22t30例：解方程 x42x2 3 0 解法二：方程化为： x23x2 1 0解法三：方程化为： x2124选择适合的方法解以下方程：（ 1）8x327 0（2）x44x 250（3） (23 ) 2x 23x6 0（）x42x33x2x x4（5）x3x 24x 4 0（6）( x1)( x 2)( x 3)( x4) =35定义：分母含有未知数的方程叫分式方程（注意解分式方程一定验根）解题思路：经过换元或去分母把它转变成一元一次或一元二次方程。
解法：①换元法②去分母法（注意有些题。
去分母前要做化简准备）例题：211。
(1 x)23x 3解以下方程：（1）123（2）x x210 ( x 1)2x 1x 11x2（ 3）3x1x2 1 5 4 （1 2 )2(1 2 )22yx23x2y 2y 2y 21111x 2x 5x 4x3 5;（6）x 4x 3x2 x 5 x 8 x 6 x 7x 1定义：根号内含有字母的方程叫根式方程。
解题思路：去根号化为一元一次或一元二次方程。
高一到高三数学知识点书籍
高一到高三数学知识点书籍高中数学是学生学习中不可或缺的一门学科，从高一到高三，学生需要不断地扩充数学知识和提高解题能力。
在这个过程中，好的数学知识点书籍可以起到很大的辅助作用，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
以下是一些适合高一到高三学生的数学知识点书籍的推荐。
1.《高中数学必修一》：该教材是高中数学的基础教材，内容涵盖了高一学年的数学知识点。
它以简洁明了的语言和丰富的示例，系统地介绍了线性方程、二次函数、立体几何等基本概念和解题方法，适合初学者阅读。
2.《高中数学必修二》：这本教材是高二年级的数学教材。
它对数学知识点的深入讲解和扩展训练，使学生能够更全面地理解和掌握函数、数列、三角函数等内容。
同时，该教材还融入了一些拓展应用题，培养学生的解决问题能力。
3.《高中数学必修三》：高三学年的数学教材《高中数学必修三》主要涉及到几何与向量、概率与统计等内容。
该教材分为几何与向量和概率与统计两个部分，分别介绍了平面几何、三角函数、函数与导数、统计与概率等重要知识点，并提供了大量的例题和习题供学生练习。
4.《高中数学竞赛经典名题详解》：这是一本专门为参加各种数学竞赛准备的书籍，对于希望在数学竞赛中脱颖而出的学生来说，是一本非常有价值的参考资料。
该书收录了大量经典的数学竞赛题目，详细解答了每道题目的解题思路和方法，对于扩展学生的数学思维和培养解决问题能力非常有效。
5.《高中数学考点速记》：这本书的特点是突出数学知识点的总结和速记技巧的介绍。
对于需要复习和巩固数学知识的学生来说，该书提供了一种系统的方法来理解和记忆重要的数学概念和公式。
通过该书的学习，学生可以更快地掌握关键知识，提高解题效率。
6.《高中数学重点难点详解》：这是一本针对数学重点知识难点的详细讲解书籍。
该书通过对每个知识点的详细分析和解释，使学生能够更深入地理解数学的核心概念和解题思路。
同时，该书还提供了大量的例题和习题，帮助学生巩固知识和拓展思维。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初高中数学衔接教材第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。
这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。
高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。
例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。
加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。
使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。
这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。
这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。
第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。
第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。
如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。
第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<；||(0)x a a x a >>⇔<-或x a > 2 乘法公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0a =，0b ≠时，方程无解③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组 （1）不等式：①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
（4）一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7 一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠①方程有两个实数根⇔ 240b ac ∆=-≥②方程有两根同号⇔ 1200cx x a ∆>⎧⎪⎨=>⎪⎩③方程有两根异号⇔ 1200cx x a ∆>⎧⎪⎨=<⎪⎩④韦达定理及应用：1212,b c x x x x a a+=-= 222121212()2x x x x x x +=+-, 12x x a a-===3322212121122121212()()()()3x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦8 函数（1）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。
②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。
（3）一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数y =k x 的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当k <0， b <O ，则经2、3、4象限；当k <0，b >0时，则经1、2、4象限；当k >0， b <0时，则经1、3、4象限；当k >0， b >0时，则经1、2、3象限。
④当k >0时，y 的值随x 值的增大而增大，当k <0时，y 的值随x 值的增大而减少。
（4）二次函数：①一般式：2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0a ≠)，对称轴是,2b x a=- 顶点是24,)24b ac b a a-（－；②顶点式：2()y a x m k =++(0a ≠)，对称轴是,x m =-顶点是(),m k -；③交点式：12()()y a x x x x =--(0a ≠)，其中（1,0x ），（2,0x ）是抛物线与x 轴的交点（5）二次函数的性质①函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
②0a >时，在对称轴 （2b x a =-）左侧，y 值随x 值的增大而减少；在对称轴（2b x a=-）右侧；y 的值随x 值的增大而增大。
当2bx a=-时，y 取得最小值244ac b a -③0a <时，在对称轴 （2b x a =-）左侧，y 值随x 值的增大而增大；在对称轴（2bx a=-）右侧；y 的值随x 值的增大而减少。
当2bx a=-时，y 取得最大值244ac b a -9 图形的对称（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。
②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
10 平面直角坐标系（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴与y 轴统称坐标轴，他们的公共原点O 称为直角坐标系的原点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设11(,)M x y ，22(,)M x y '是直角坐标系内的两点，①若M 和'M 关于y 轴对称，则有1212x x y y =-⎧⎨=⎩。
②若M 和'M 关于x 轴对称，则有1212x x y y =⎧⎨=-⎩。
③若M 和'M 关于原点对称，则有1212x x y y =-⎧⎨=-⎩。
④若M 和'M 关于直线y x =对称，则有1212x y y x =⎧⎨=⎩。
⑤若M 和'M 关于直线x a =对称，则有12122x a x y y =-⎧⎨=⎩或21122x a x y y =-⎧⎨=⎩。
11 统计与概率：（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成10N A ⨯的形式，其中A 大于等于1小于10，N 是正整数。
（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。
②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。