广东省东山中学高三数学上学期期中考试(理)苏教版

广东梅县东山中学2010届高三上学期期中试题理科数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1．设集合A ={1，2，3，4}，B ={0，1，2，4，5}，全集U =A ∪B ，则集合()U C A B 中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ． 6个 2．函数)(11)(2R x x x f ∈+=的值域是（ ）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1）D ．[0,1] 3．设3.0231)21(,3log ,2log ===c b a ，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b << 4．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果 （ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．5．)('x f 的图象如右图所示,则)(x f 的图象可能是 （ ）6．“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间),1[+∞上为增函数”的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数)(x f 在定义域R 上不是常数函数，且)(x f 满足条件，对任意实数x ，有)4(x f + ),4(x f -=)1()1(-=+x f x f , 则)(x f 是（ ）A ．奇函数但非偶函数B ．偶函数但非奇函数C ．奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数8． 对于函数①)1|2lg(|)(+-=x x f ，②2)2()(-=x x f ，③)2cos()(+=x x f ，有如下三个命题：命题甲：)2(+x f 是偶函数；命题乙：)(x f 在(－∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数；命题丙：)()2(x f x f -+在(－∞,+∞)上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 （ ）A ．①③B ．①②C ．③D ．②第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9． 函数xx f 11)(-=的定义域是______ 10．在直角坐标平面内，由直线1=x ，0=x ，0=y 和抛物线22+-=x y 所围成的平面区域的面积是________11．将函数1)(+=x x x f 图象上每一点的横坐标变为原来的21，纵坐标不变；然后再将所得图象向左平移1个单位，则最后所得图象的函数表达式是 ______12．已知函数x x f x +=2)(，x x x g +=2log )(，2log )(2-=x x h 的零点依次为a 、b 、c ，则它们的大小关系是________13．已知定义在上的奇函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称，1)1(=-f ，则++)2()1(f f)2009()3(f f ++ 的值为________ 14．函数x x x f 2)(2-=，∈x ],1[m -图象上的最高点为A ，最低点为B ，且A 、B 两点之间的距离是52，则实数m 的取值范围是_______三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．（本小题满分12分）设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若φ=B A C U )(，求m 的值。

16．（本题满分12分）设函数2()21f x x x =+--，x R ∈ （1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）求函数的最小值. 17．（本小题满分14分）已知函数 )0(ln 6)(>=x x x f 和 )(x g =28ax x +（a 为常数）的图象在x = 3 处有平行切线.（1）求a 的值；（2）求函数)()()(x g x f x F -=的极大值和极小值．18．（本小题满分14分）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律（)(t f 越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=)4020(3807)2010(240)100(10024)(2t t t t t t t f（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？19．(本小题满分14分)已知a ＞0，函数ax x x f -=3)(在[)∞+,1是一个单调函数，（1）求实数a 的取值范围；（2）设01x ≥，()01f x ≥，且()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，试证明：()00f x x = 20．（本题满分14分）已知二次函数2()f x x x =+，若不等式()()2||f x f x x -+≤ 的解集为C . （1）求集合C（2）若方程1()5(0,1)x x f a a a a +-=>≠在C 上有解，求实数a 的取值范围；（3）记()f x 在C 上的值域为A ，若3()3,2tg x x tx =-+[0,1]x ∈的值域为B ，且A B ⊆，求实数t 的取值范围.广东梅县东山中学2009至2010年度上学期 高三年级理科数学期中试题参考答案及评分标准二、填空题（本答题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1|{≥x x 或}0<x 10．35 11．3222)(++=x x x f 12．c b a <<13．1- 14．31≤≤m ．三、解答题（本答题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分12分）解：{}2,1A =--，-----------------------------------2分由(),U C A B B A φ=⊆得，-----------------------4分当1m =时，{}1B =-，符合B A ⊆；---------------6分 当1m ≠时，{}1,B m =--，------------------------8分 而B A ⊆，∴2m -=-，即2m =------------------10分 ∴1m =或2m =--------------------------------------12分 16．（本题满分12分）解：（1）(2)3f =，(2)7f -=，由于(2)(2)f f -≠，且(2)(2)f f -≠-，故()f x 在x R ∈上既不是奇函数也不是偶函数； ............6分（2）223,2()1,2x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨-+<⎩， .............8分当2x ≥时，2()3f x x x =+-在[2,)+∞上单调递增，最小值为(2)3f =，当2x <时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，在(,2)-∞内的最小值为13()24f =，故函数()f x 在x R ∈上的最小值为34. ........12分17．（本小题满分14分）解：(1) xx f 6)('=，82)('+=ax x g ，------------------2分 根据题意,得)3(')3('g f =解得1-=a ----------------------------------------------4分(2) x x x x g x f x F 8ln 6)()()(2-+=-=-------------------5分令0826)('=-+=x xx F ，----------------------------------6分 得 1x = 或3x =------------------------------------------------8分∵10<<x 时，)('x F > 0，)(x F 单调递增；--------------9分31<<x 时，)('x F < 0，)(x F 单调递减；------------------10分 3>x 时，)('x F > 0，)(x F 单调递增.----------------------11分∴)(x F 的极大值为)1(F = －7，)(x F 的极小值为)3(F = －15 + 6ln 3-----------------------14分18．(本小题满分14分)（1）当100≤<t 时，244)12(10024)(22+--=++-=t t t t f 是增函数，且240)10(=f ，---------------------------2分当4020≤<t 时，3807)(+-=t t f 是减函数，且24020=)(f ------------4分所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟. ------5分（2）205)25(,195)5(==f f ---------------------------7分 所以，讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中----8分（3）当100≤<t 时，令,18010024)(2=++-=t t t f 4=t -----------10分当4020≤<t 时，令1803807)(=+-=t t f 则57.28≈t -------12分 则学生注意力在180以上所持续的时间24572445728>=-..---------13分 所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题----14分19．（本小题满分14分）解： (1) a x x f y -==23)(''， ......1分 若)(x f 在),1[+∞上是单调递减函数，则'0y ≤，即23a x ≥在[1,)x ∈+∞上恒成立， 当[1,)x ∈+∞时，233x ≥，此时实数不存在 .........4分 若)(x f 在),1[+∞上是单调递增函数，则'0y ≥，即23a x ≤在[1,)x ∈+∞上恒成立，当[1,)x ∈+∞时，233x ≥，又0a >，03a ∴<≤ .........8分(2) 用反证法证明：假设00)(x x f ≠，则00)(x x f >或00)(x x f <，又01x ≥，()01f x ≥，且由（Ⅰ）可知)(x f 在),1[+∞上为单调增函数，………10分 若)(100x f x ＜≤，则000))(()(x x f f x f =＜矛盾， ………..12分 若00)(1x x f ＜≤，则)())((00x f x f f ＜，即)(00x f x ＜矛盾， 故假设不成立，即00)(x x f =成立. ………..14分20．（本题满分14分）解：(1) f (x ) + f (－x ) = 2x 2当 x ≥0时，2x 2≤2x ⇒ 0≤x ≤1-------------------------------------1分当 x < 0时， 2x 2≤－2x ⇒ －1≤x < 0----------------------2分∴集合 C = [－1,1]----------------------------------------------------3分(2) f (a x )－a x + 1－5 = 0 ⇒ (a x ) 2－(a －1)a x －5 = 0，令 a x= u则方程为 h (u ) = u 2－(a －1)u －5 = 0 h (0) = －5当 a > 1时，u ∈[1a ,a ]，h (u ) = 0 在 [ 1a,a ] 上有解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ h (1a ) = 1a 2－1 + 1a －5≤0h (a ) = a 2－(a －1)a －5≥0 ⇒ a ≥5-----------------------------5分 当 0 < a < 1时，u ∈[a ,1a ]，h (u ) = 0 在 [a ,1a]上有解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ h (a )≤0 h ( 1a )≥0 ⇒ 0 < a ≤12 ------------------------------------------7分∴当 0 < a ≤12 或 a ≥5时，方程在C 上有解，且有唯一解。