云南省昆明一中2020届高三数学11月测试试卷
昆明市第一中学2020届高三第五次检测(带答案)
昆明第一中学2020届高中新课标高三第五次二轮复习检测理科数学命题：昆一中数学命题小组审题：杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦 杨耕耘 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数3(1)z i =-，则z =（ ） A.22i -+B.22i --C.22i +D.22i -2.设集合{0,1}A =，集合B 满足{0,1}A B ⋃=，则满足条件的集合B 的个数为（ ）A.1B.2C.3D.43.《算法统宗》，明代数学家程大位所著，是中国古代数学名著.其中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第四天走的路程（单位：里）为（ ） A.192B.48C.24D.64.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.32π+B.12π+ C.332π+ D.312π+ 5.已知非负整数,x y 满足3290x y +-≤，则x y +的最大值是（ ） A.3B.4C.92D.56.某地环保部门召集5家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上随机安排3位负责人发言，则发言的3人来自3家不同企业的概率为（ ） A.15B.25C.35D.457.下列叙述中正确的是（ ） A.函数222()2f x x x =++的最小值是222 B.“04m <”是“210mx mx ++”的充要条件C.若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=D.“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题8.执行如图所示的程序框图，输出的S =（ ）A.55B.42C.33D.249.已知12,F F 是双曲线22(0)x y m m -=>的两个焦点，点P 为该双曲线上一点，若12PF PF ⊥，且1223PF PF +=m =（ ） A.123D.310.已知1,3,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ︒∠=，设(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则xy=（ ） 3B.3C.33D.311.在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，且底面ABC 为正三角形，D 为侧棱PA 的中点，若PC BD ⊥，棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A.6πB.8πC.12πD.16π12.已知函数22()ln xef x a x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(0,2)上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(1,)eB.22,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2,e eD.2,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X 服从正态分布()24,,(6)0.78N P X σ<=，则(2)P X =________. 14.函数11()sin cos 2633f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为__________. 15.已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则na n的最小值为_______. 16.已知P 是双曲线22115y x -=右支上的一点，,M N 分别是圆22(4)9x y ++=和22(4)1x y -+=上的点，则||||PM PN -的最大值是___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.（12分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为6,,,cos 3a b c A B C ==. （1）求tan C ；（2）若ABC △2，求b . 18.（12分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在,A B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗.（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在,A B 两块实验地随机抽取3株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；（2）填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关.优质花苗 非优质花苗 合计甲培育法 20乙培育法 10 合计附：下面的临界值表仅供参考.()20P K k 0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.（12分）如图所示的几何体中，111ABC A B C -为直三棱柱，四边形ABCD 为平行四边行，2CD AD =，60ADC ︒∠=.（1）若1AA AC =，证明：11,,,A D C B 四点共面，且11AC DC ⊥； （2）若11,AD CC AC λ==，二面角11A C D A --的余弦值为24，求直线1CC 与平面11ADC B 所成角. 20.（12分）若动点M 到两点(1,0),(2,0)A B 的距离之比为22. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）若P 为椭圆22:163x y C +=上一点，过点P 作曲线E 的切线与椭圆C 交于另一点Q ，求OPQ △面积的取值范围（O 为坐标原点）.21.（12分）已知函数2()(1)xx f x e ax e =-+⋅，且()0f x .（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()0316f x <. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为5212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求直线l 的倾斜角和圆C 的直角坐标方程； （2）若点(,)P x y 在圆C上，求x +的取值范围. 23.【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数2()|25|f x x a x a =+++-. （1）当1a =时，解不等式()5f x <；（2）若关于x 的不等式()5f x <有实数解，求实数a 的取值范围.2020届昆一中高三联考卷第五期联考理科数学参考答案及评分标准命题、审题组教师 杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦 杨耕耘 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCBBDCBACCD1.解析：因为()31i 22i z =-=--，所以22i z =-+选A. 2.解析：因为集合{}0,1A =，{}0,1AB =，则B A ⊆，所以集合B 可能的情况有{}0，{}1，{}0,1，∅，共有4个.选D.3.解析：记每天走的里程数为{}n a ，易知{}n a 是以12为公比的等比数列，其前6项和6378S =，则166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =，所以341192()242a =⨯=.选C.4.解析：该几何体是由一个底面半径为1，高为3的半圆锥，和一个底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥组成，所以该几何体的体积为：21111=(13(213132322V ππ⨯⋅⋅⨯+⨯⨯⨯⨯=+）），选B.5.解析：画出可行域如下，可知当直线经过点()13，或者()0，4时取得最大值4，选B.6.解析：发言的3人来自3家不同企业的概率为32162436164205C C C P C -===，选D. 7.解析：对于A ：()2222222222f x x x x x =+=++-++222≥-中，22222x x +=+的等号不成立，A 错；当0m =时210mx mx ++≥也成立，B 错；当13x =，2y =时1xy <也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，所以D 错；选C.8.解析：1i =时，()1021121S =+⨯+-=-；2i =时，()()()()2212212141S =-+⨯+-=-++；3i =时，()()()()()()32141231214161S =-+++⨯+-=-+++-；……6i =时，()()()()214161121241242S =-+++-+++=+++=，所以输出42，选B.9.解析：因为122PF PF m -=，所以22112224PF PF PF PF m -⋅+=， 又因为1223PF PF +=，所以221122212PF PF PF PF +⋅+=， 所以221226PF PF m +=+，由12PF PF ⊥得：22128PF PF m +=， 所以826m m =+，所以1m =，选A.10.解析：以()'0u x >为原点，以()u x ，R 所在的直线为0x <轴，()0u x <轴，建立平面直角坐标系，则01a <<ln 0a <，ln 0a x <<'()0u x >，由题意可设()u x (ln ,0)a ，由()()ln 00u a u <=可得，1a >，所以ln 0a >.选0ln x a <<.11.解析：设AB 的中点为E ，连结PE ，CE ，易知AB ⊥平面PEC ，所以AB PC ⊥， 又PC BD ⊥，所以PC ⊥平面PAB ，所以PC PA ⊥，PC PB ⊥，所以PA PB ⊥，因此，以PA ，PB ，PC 为同一顶点出发的正方体的八个顶点在球O 的表面上， 所以2222412R PA PB PC =++=，所以球O 的表面积为12π，选C. 12.解析：0x >，因为'()0u x >（()u x ），(,0)-∞所以函数(0,)+∞的图象与函数()()00u x u ≥=图象有两个不同的交点，所以()()e 0x f x u x =⋅≥1a =，选D.二、填空题13.解析：(2)1(6)0.22P X P X ≤=-<=. 14.解析：因为(+)()632x x πππ--=，所以cos()cos()sin()3626x x x ππππ-=+-=+，所以5()sin(+)66f x x π=，所以函数()f x 的最大值为56.15.解析：因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，从而2121a a -=⨯，3222a a -=⨯，…，12(1)(2)n n a a n n --=-≥， 累加可得21(1)2[12(1)]22n n na a n n n --=⨯++⋅⋅⋅+-=⨯=-，所以221n a n n =-+， 221211n a n n n n n n -+==+-，因为21()1f n n n=+-在(0,4]递减，在[5,)+∞递增 当4n =时，338.254n a n ==，当5n =时，418.25n a n ==，所以n a n 的最小值为415. 16.解析：双曲线的两个焦点分别为（ln2x <-），（'()0g x <），则这两点刚好是两圆的圆心，由几何性质知，ln2x >-，'()0g x >，所以()g x ，所以最大值为(,ln2)-∞-. 三、解答题 （一）必考题17.解：（1）在△ABC 中，由6cos 3A =，得3sin 3A = 由sin 3BC =得sin()3A C C +=，sin cos cos sin 3A C A C C +=，36333C C C +=，63sin 33C C =，tan 2C =（2）因为tan 2C =6sin 3C =，3cos 3C =，sin 31B C ==， 由sin sin b cB C=得sin c b C =，因为△ABC 2， 211163sin sin sin 2222bc A b b C A b =⋅⋅==26b =，6b =. 18.解：（1）由频率分布直方图，优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=，即概率为0.6.设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X ，则35~3,X B ⎛⎫⎪⎝⎭，于是30328(0)5125P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；2133236(1)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭； 2233254(2)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；333327(3)5125P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭. 其分布列为：X 0 1 2 3P8125 36125 54125 27125所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望39()355E X =⨯= （2）频率分布直方图，优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=，则样本中优质花苗的株数为60株，列联表如下表所示：优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 30 50 乙培育法40 10 50 合计6040100可得22100(20103040)16.667 6.63560405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以，有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系 19.（1）证明：因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以BC ∥11B C ，且11BC B C =，又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以BC ∥AD ，且BC AD =，所以AD ∥11C B ，且11AD C B =， 所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以A ，D ，1C ，1B 四点共面； 因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 正方形，连接1AC 交1A C 于E ，所以11AC AC ⊥，在ADC ∆中，2CD AD =，60ADC ∠=， 由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅， 所以3AC AD =，所以222CD AC AD =+，所以AD AC ⊥，又1AA AD ⊥， 所以AD ⊥平面11A ACC ，所以1AD AC ⊥， 又因为!ADAC A =，所以1AC ⊥平面11ADC B ； 所以11AC DC ⊥（2）解：由（1）知，可如图建立直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,3,0C ，()10,0,3A λ，()10,3,3C λ， ()()111,0,3,1,3,3DA DC λλ∴=-=-，设平面11AC D 的法向量为()1111,,n x y z =，由111100n DA n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111130330x z x y z λλ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，取()13,0,1n λ=设平面1AC D 的法向量为()2222,,n x y z =由22100n AD n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得2220330x y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()20,,1n λ=-，由12221212cos ||4311n n n n θλλ⋅===⋅+⋅+得21λ=，因为0λ>，所以1λ=此时1AD =，13CC AC ==，所以四边形11A ACC 正方形，因为11AC AC ⊥，1AC AD ⊥，又因为!AD AC A =，所以1AC ⊥平面11ADC B ， 所以1CC 与平面11ADC B 所成角为145EC C ∠= 20.解：（1）设(,)M x y ，2222(1)2(2)x y x y -+=-+，即22222(1)2(2)x y x y -+=-+， 所以曲线22:2E x y +=.（2）当PQ 所在直线斜率不存在时，其方程为：2x =22PQ =， 当PQ 所在直线斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，()0,0O 到直线PQ 的距离d r =221m k =+2222m k =+.直线PQ 与椭圆C 联立22163x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214260k x kmx m +++-=，所以12221224212621mk x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()2222222121222164(21)(26)14(1)(21)k m k m PQ k x x x x k k ⎡⎤-+-⎡⎤=++-=+⎢⎥⎣⎦+⎣⎦，2222222224882441(1)22(1)(21)(21)k m k k k k k ⎡⎤-++=+=+⎢⎥++⎣⎦，令2211t k =+≥，(]10,1t ∈ 22222224121112(1)2(21)k t t z k k t t t ++--=+==+++，因为(]10,1t ∈，所以924z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以223PQ ⎡⎤∈⎣⎦，，所以2322,22OPQS PQ ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 21.解：（1）因为()()e e 10x xf x ax =--≥，且e 0x>，所以e 10xax --≥，构造函数()e 1xu x ax =--，则()'e xu x a =-，又()00u =，若0a ≤，则()'0u x >，则()u x 在R 上单调递增，则当0x <时，()0u x <矛盾，舍去； 若01a <<，则ln 0a <，则当ln 0a x <<时，'()0u x >， 则()u x 在(ln ,0)a 上单调递增，则()()ln 00u a u <=矛盾，舍去； 若1a >，则ln 0a >，则当0ln x a <<时，'()0u x <，则()u x 在(0,ln )a 上单调递减，则()()ln 00u a u <=矛盾，舍去； 若1a =，则当0x <时，'()0u x <，当0x >时，'()0u x >， 则()u x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 故()()00u x u ≥=，则()()e 0xf x u x =⋅≥，满足题意；综上所述，1a =.（2）由（1）可知()()2e 1e xxf x x =-+⋅，则()()'e2e 2xxf x x =--，构造函数()2e 2xg x x =--，则()'2e 1xg x =-，又()'g x 在R 上单调递增，且()'ln20g -=，故当ln2x <-时，'()0g x <，当ln2x >-时，'()0g x >， 则()g x 在(,ln2)-∞-上单调递减，在(ln2,)-+∞上单调递增，又()00g =，()2220e g -=>，又33233332223214e16e 022e 2e 8e 2e g --⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭+， 结合零点存在性定理知，在区间3(2,)2--存在唯一实数0x ，使得()00g x =， 当0x x <时，()'0f x >，当00x x <<时，()'0f x <，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,x -∞单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,+∞单调递增， 故()f x 存在唯一极大值点0x ，因为()0002e 20xg x x =--=，所以0e12x x =+， 故()()()()0022200000011e 1e 11112244x xx x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0322x -<<-，所以()201133144216f x ⎛⎫<--+< ⎪⎝⎭.（二）选考题：第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22.解：（1）由直线l 的参数方程可知，直线l 的倾斜角为56π；将圆C 的极坐标方程4cos()3πρθ=-化简得2cos 23sin ρθθ=+，两边乘ρ得，22cos 23sin ρρθρθ=+，将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入并化简整理可得圆C 的直角坐标方程为22(1)(3)4x y -+-=.（2）设12cos ()32sin x y θθθ=+=+⎧⎪⎨⎪⎩为参数，则 3x y +=232cos 44sin()46πθθθ++=++，由1sin()16πθ-≤+≤可得，038x ≤+≤，即3[0,8]x +∈.23.解：（1）当1a =时，()13f x x x =++-，即22(1)()4(13)22(3)x x f x x x x -+≤-=-<<-≥⎧⎪⎨⎪⎩当1x ≤-时，由225x -+<解得32x >-，所以312x -<≤-；当13x -<<时，不等式恒成立，所以13x -<<； 当3x ≥时，由225x -<解得72x <；所以732x ≤<.综上，不等式()5f x <的解集为3722x x -<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）因为2()25f x x a x a =+++-222525x a x a a a ≥+--+=-+， 所以，2255a a -+<，解得02a <<.。
昆明一中2020届高三第八次高考仿真模拟理科数学试题(含答案解析)
昆明第一中学2020届高中新课标高三第八次高考仿真模拟理科数学试卷本试题卷分阅读题和表达题两部分，共8页。
考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试卷上答题无效，试卷满分150分，考试时间150分钟。
注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的答案无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}2,211A x x x B x x ==-=--<,则A I B =A.{- 1}B. {0}C. φD. {-1,0}2.若a 为实数,且复数(1)(1)z i ai =-+在复平面内对应的点位于虚轴上,则a = A.- 1 B.0 C.1 D.23.已知正三棱柱的各棱长均为2,它的三视图中的俯视图如图所示,则该正三棱柱的左视图的面积为A. 3B.2C. 23D.44.已知角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y = 3x 上，则cos sin cos sin αααα+=-A. -2B.-1C.1D.2 5. 41(1)x x++的展开式中，常数项为A.1B.3C.4D.136.过点(1,1)作圆224x y +=的弦,则所得弦长的取值范围为A.[1,22]B.[1,4]C.[2,4]D. [22,4] 7. 函数()()sin xxf x e e x -=-的大致图象为8.设随机变量ξ ~ B(2,p),若P(ξ≥1) =59，则p = A. 19 B. 13 C. 59 D.. 539.在锐角∆ABC 中,BC = 2,sinB + sinC = 2sinA,则BC 边上的中线长的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.210. 已知A,B,C 是球O 的球面上的三点3,∠ABC = 60° ,且三棱锥O- ABC 的体积为463,则球O 的体积为A.24πB.48πC.163πD.323π11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为5，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A 、B 两点,且与其中的一条渐近线垂直,若∆OAB 的面积为163，其中O 为坐标原点,则双曲线的焦距为A.25B.210C.215D.4512.已知函数()ln ,()1f x x a g x ax b =+=++,若0,()()x f x g x ∀>≤,则ba的最小值为A.1+eB.1- eC.1 + 2eD.1-2e 二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分。
云南省昆明市第一中学2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
云南省昆明市第一中学2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件2．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ）A ．37B ．13C D 3．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 4．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.365．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．16．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π；②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②C ．②③D ．③7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．8．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>9．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥10．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞11．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<12．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届云南省昆明市第一中学高中新课标高三 一模 数学(文)(附带详细解析)
5．椭圆 + =1（0＜m＜4）的离心率为 ，则m的值为（ ）
A．1B． C．2D．
6．函数 在 上的最大值为（）
A．1B． C．2D．
7．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （）
A．-3B．3C．-6D．6
8．在正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，则（ ）
A． B．
C． 平面 D． 平面
16．在三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均为边长为 的等边三角形，若三棱锥 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________.
评卷人
得分
三、解答题
17．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取 人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．中秋佳节即将来临之际，有3名同学各写一张贺卡，混合后每个同学再从中抽取一张，则每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率是（）
A． B． C． D．
4．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党 周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生 名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为 的样本参加活动，其中高三年级抽了 人，高二年级抽了 人，则该校高一年级学生人数为（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题)
云南省昆明市第一中学2020届高三第七次高考仿真模拟数学(理)试题(PDF版)
C43
1 x
C44
1 x
x
x x x x
3
1
2
4
4
对
x
1
，常数项为
C31
,对
1 x ，
1 x ，
1
x 展开式中无常数项，所以 1+
1 x
x
x x x
x
的展开式中常数项为 C40 C43C31 13 ，选 D.
6.解析：最短的弦为过点 (1 , 1) 且与圆心 (0 , 0) 和点 (1 , 1) 连线垂直的弦，此时弦长为 2 2 ，最长的弦为直
由题意得 Y
~
B 4,
2
5
，所以
P Y
i
C4i
i
2
5
4i
3
5
（i
0,1, 2, 3, 4 ），所以 Y
的分布列为
Y
0
1
2[来源:学科网 ZXXK]
3
4
p
81
216
216
96
16
625
625
625
625
625
所以 X 的分布列为
X
0
500
1000
1500
2000
p
81
216
625
625
又因为 OF BD O ，所以 AO 平面 BDF ；
因为 H 为线段 BF 上一点，所以 AO OH ，
F
因为四边形 AOFE 为平行四边形，所以 AO ∥ EF ，
E
所以 EF OH ；
………5 分
3
A
H
D
C
O M
昆明市第一中学 2023届高中新课标高三第四次一轮复习检测数学试卷
机密★启用前 【考试时间：１１月２９日 １５：００—１７：００】 昆明市第一中学郑重声明：严禁提前考试、发放及网络传播试卷，违反此规定者取消其联考资格，并追究经济和法律责任；对于首位举报者，经核实奖励２０００元。
举报电话：０８７１－６５３２５７３１昆明市第一中学２０２３届高中新课标高三第四次一轮复习检测数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 彭力 顾先成 莫利琴 孙思应 梁云虹 丁茵 张远雄 崔锦 秦绍卫 本试卷共４页，２２题。
全卷满分１５０分。
考试用时１２０分钟。
注意事项：１ 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
２ 选择题的作答：每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
３ 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
４ 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１ 设复数ｚ满足ｚ·ｚ－＝１，则ｚ在复平面内对应的点（ｘ，ｙ）的轨迹为Ａ 直线Ｂ 圆Ｃ 椭圆Ｄ 双曲线２ 设集合Ａ＝｛１，２，ｘ｝，Ｂ＝｛２，ｘ２｝，且Ａ∪Ｂ＝Ａ，则ｘ＝Ａ －１Ｂ １Ｃ －１或０Ｄ －１或０或１３ 等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若ａ１＋ａ２＝０，Ｓ４＝１６，则Ｓ６等于Ａ ４８Ｂ ５４Ｃ ６４Ｄ ７２４ 为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从５名领导和６名科员中选出４名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有２名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是Ａ ２１０Ｂ ３６０Ｃ ４２０Ｄ ７２０５ 已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线方程为ｙ＝±１４ｘ，左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，过Ｆ２的直线与Ｃ的右支交于Ｐ，Ｑ两点，且ＰＱ＝１０，△ＰＱＦ１的周长为３６，则该双曲线的焦距等于槡槡Ａ ２Ｂ ４Ｃ １７Ｄ ２１７数学·第１页（共４页）数学·第２ 页（共４页）６ 若点Ｐ为曲线ｙ＝ｅｘ上的动点，点Ｑ为直线ｙ＝ｘ上的动点，则ＰＱ的最小值为Ａ槡２２Ｂ 槡３２Ｃ １Ｄ３２７ 已知ａ＝１ １１ ２，ｂ＝１ ２１ １，ｃ＝ｌｏｇ１ ２１ １，则ａ、ｂ、ｃ的大小关系为Ａ ａ＞ｂ＞ｃＢ ｂ＞ａ＞ｃＣ ｂ＞ｃ＞ａＤ ｃ＞ｂ＞ａ８ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）（０≤ｘ≤２０２２π），则函数ｆ（ｘ）的极小值点的个数为Ａ ２０２１Ｂ ２０２２Ｃ １０１１Ｄ １０１２二、多选题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。
2020届云南省昆明市第一中学高三第一次摸底测试数学(理)试题及答案
2020届云南省昆明市第一中学高三第一次摸底测试数学（理）试题及答案一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}21xB x =≤，则AB =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,1-【答案】B【解析】先求集合B ，然后求A B .【详解】因为{}0B x x =≤，所以{}1,0A B ⋂=-，选B. 【点睛】本题考查了集合的交集. 2．若()347z i i +=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --【答案】B 【解析】复数734iz i+=+，然后化简. 【详解】7(7)(34)134(34)(34)i i i z i i i i ++-===-++-，选B.【点睛】本题考查了复数的运算，属于简单题型.3．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党98周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，则该校高一年级学生人数为（ ） A ．720 B ．960 C ．1020 D ．1680【答案】C【解析】先计算高一年级抽取的人数，然后计算抽样比，再计算高一年级的总人数. 【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高三年级抽12人，高二年级抽16人，所以高一年级要抽取45121617--=人，因为该校高中学共有2700名学生，所以各年级抽取的比例是451270060=，所以该校高一年级学生人数为117102060÷=人，选C.【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题型.4．()()3112x x +-的展开式中含3x 项的系数为（ ）A ．5-B ．4-C ．6D ．7【答案】A【解析】先化解为()()33121x x x +-+，然后分别求两部分含3x项的系数.【详解】因为333(1)(12)(1)2(1)x x x x x +-=+-+，含3x 项的系数为323321235C C -=-⨯=-，选A.【点睛】本题考查了二项式定理，分类讨论思想，主要考查计算问题. 5．函数sin e e x xxy -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先考查函数的奇偶型，排除选项，然后代特殊值判断. 【详解】因为sin x x xy e e -=-为偶函数，所以排除D 选项，当2x =时，sin 0x xxy e e-=>-，选B.【点睛】本题考查了根据函数的解析式判断函数的图像，这类问题根据函数的奇偶型，单调性，特殊值，极值点，以及函数值的趋向来判断选项.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若927S =，则972a a -=（ ） A ．3- B ．3 C ．6- D ．6【答案】A【解析】根据9S 可求出5a ，再根据性质9752a a a -=-，计算结果. 【详解】因为927S =，所以53a =，97523a a a -=-=-，选A. 【点睛】本题考查了等差数列的基本计算，属于简单题型. 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AD 的中点，F 为BD 的中点，则（ ） A ．11//EF C D B ．1EF AD ⊥ C ．//EF 平面11BCC B D ．EF ⊥平面11AB C D【答案】D【解析】分析选项，得到正确结果. 【详解】连结AC ，1D C ，则F 为AC 的中点，所以1//EF D C ，因为11⊥D C DC ，1D C AD ⊥，1AD DC D =，所以1DC ⊥平面11AB C D ，所以EF ⊥平面11AB C D ，选D.【点睛】本题考查了几何体里面的线线和线面的位置关系，考查空间想象能力，以及逻辑推理能力，本题的关键是能证明1//EF CD .8．已知函数()e (sin cos )x f x a x b x =⋅+，若0x =是()f x 的一个极小值点，且222a b +=，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．±1【答案】C【解析】首先求函数的导数，()00f '=，再结合已知求解,a b ，注意不要忘了验证0x =是极小值点. 【详解】由，()()()sin cos x f x e a b x a b x '=⋅-++⎡⎤⎣⎦得()00f a b '=+=，又222a b +=，则21a =，若1a =-，则1b =，此时()2sin xf x e x '=-⋅，0x =是()f x 的一个极大值点，舍去；若1a =，则1b =-，此时()2sin xf x ex '=⋅，0x =是()f x 的一个极小值点，满足题意，故1a =，选C.本题考查了根据函数的极值点求参数，属于简单题型，本题的一个易错点是忘记回代验证0x =是极小值点. 9．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．25B ．24C ．21D ．9【答案】A【解析】根据程序框图，顺着流程线依次代入循环结构，得到结果. 【详解】第一次循环：09S =+，97T =+：第二次循环：97S =+，975T =++；第三次循环：975S =++，9753T =+++；第四次循环：9753S =+++，97531T =++++；第五次循环：97531S =++++，()975311T =+++++-，此时循环结束，可得()591252S ⨯+==.选A.本题考查了循环结构，顺着结构图，依次写出循环，属于简单题型.10．偶函数()f x 在(],0-∞上为减函数，若不等式()()212f ax f x -<+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()-B ．(-C ．(-D ．()2,2-【答案】D【解析】偶函数满足()()f x f x =，所以函数化简为()()212f ax f x -<+，再根据()0,∞+的单调性去绝对值，转化为210x ax ++>和230x ax -+>在R 上恒成立，求出a 的取值范围. 【详解】因为()f x 为偶函数，由题意可知，()()212f ax f x -<+，()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以212ax x -<+，从而22212x ax x --<-<+在x ∈R 恒成立，可得212a <且24a <，所以22a -<<，选D. 【点睛】本题考查了根据偶函数和单调性解抽象不等式，以及一元二次不等式恒成立的问题，需注意偶函数解抽象不等式时，需根据公式()()f x f x =化简，根据()0,∞+的单调性去绝对值.11．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，若30FBD ∠=︒，ABD ∆的面积为83，则p =（） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】D【解析】因为点F 到准线的距离是p ，30FBD ∠=，所以半径||||2FA FB p ==，||23BD p =，再根据抛物线的定义可知点A到准线的距离2d FA p ==，最后根据面积计算得到p . 【详解】因为30FBD ∠=︒，所以圆的半径||||2FA FB p ==，||23BD p =，由抛物线定义，点A 到准线l 的距离2d FA p ==，所以1||32832BD d p p ⋅=⋅=，所以2p =，选D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及抛物线内的平面几何长度的求解，考查了转化与化归和计算问题，涉及抛物线几何性质的题型，需记住：焦点到准线的距离是p ，通径2p ，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，还有焦半径公式等.12．若存在()00,1x ∈，满足()()001ln212x ax +>-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】不等式化简为()()ln 121ln 2x a x +>-+，设函数()()ln 1f x x =+，()()21ln 2g x a x =-+，观察两个函数的交点()1,ln 2A ，求函数()f x 在点A 处的切线，比较切线和()g x 的斜率大小，得到a 的取值范围. 【详解】设()()ln 1f x x =+，()()21ln 2g x a x =-+，则它们函数图象的一个公共点为()1,ln 2A ，函数()()ln 1f x x =+在点A 处的切线斜率为()111112f '==+，所以在A 处的切线方程为()11ln 22y x =-+，所以要存在()00,1x =满足()()00ln 121ln 2x a x +>-+，则122a >，所以a 取值范围是1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，选A.【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数取值范围的问题，本题的难点是合理分离两个函数()f x 和()g x ，并且观察其交于点()1,ln 2A ，根据数形结合比较切线的斜率和()g x 的斜率.二、填空题13．已知a ，b 为单位向量，且a ，b 的夹角为60︒，则2a b -=______________..【解析】利用公式()222a b a b-=-，代入数值求解.【详解】 因为22212444411132a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯+=.所以23a b -=.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题型. 14{}n a 的各项都是正数，且3119a a =，则39log a =________. 【答案】2.【解析】根据等比数列的性质23117a a a =，再根据公比求9a . 【详解】因为3119a a =，所以73a =，2939a =⨯=，393log log 92a ==.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本计算，属于简单题型.15．已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，以2F 为圆心，12F F 为半径的圆交双曲线C 的右支于A ，B 两点，若12AB F =，则双曲线C 的离心率为_________.【答案】12.【解析】根据已知条件可知22,AF c AH ==，那么260AF H ∠=，然后进一步求出1AF ，根据双曲线的定义可知122AF AF a -=，求出离心率.【详解】设AB 与x 轴交于点H ，则3AH c =，所以260AF H ∠=︒， 所以130AF H ∠=︒，所以123AF c =，所以2322c c a -=，所以双曲线C 的离心率31e +=.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，本题的重点是利用半径等于2c ，根据平面几何的性质将1AF 和2AF 都表示成与c 有关的量，然后根据双曲线的定义求解.在圆锥曲线中求离心率的方法：（1）直接法，易求,,c b c b a a 的比值；（2）构造法，根据条件构造成关于,a c 的齐次方程；（3）几何法，利用椭圆和其他平面图形的一些几何性质，找到等量关系，求离心率.16．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB ∆和ABC ∆均为边长为3P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________.【答案】20π.【解析】因为PAB ∆和ABC ∆是全等的等边三角形，所以取AB 中点H ，连接,PH CH ，过两个三角形外接圆的圆心做,PH CH 的高，交点就是外界球的球心，根据所构造的平面图形求半径，最后求球的表面积.【详解】由题意可知，设PAB ∆和ABC ∆的外心的半径为1r ，2r ， 则1223224r r ===，122r r ==，21O H =，11O H =，3AH =， 22222115R AO AH O H O O ==++=，5R =，所以球的表面积为2420S R ππ==.【点睛】本题考查了几何体外接球的表面积的求法，考查了空间想象能力，以及转化与化归和计算能力，属于中档题型，这类问题，需先确定球心的位置，一般可先找准底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，垂线上的点到底面各顶点的距离相等，然后再满足某点到顶点的距离也相等，找到球心后，利用球心到底面的距离，半径和顶点到底面中心的距离构造直角三角形，求半径.三、解答题17．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：甲样本数据直方图乙样本数据直方图已知乙样本中数据在[)70,80的有10个.（1）求n和乙样本直方图中a的值；（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.【答案】（1）50a=；n=，0.018（2）81.5,82.5.【解析】（1）首先计算乙样本中数据在[)70,80的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求a；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在[)70,80的频率为0.020100.20⨯=，而这个组学生有10人，则100.20n=，得50n =. 由乙样本数据直方图可知()0.0060.0160.0200.040101a ++++⨯=， 故0.018a =.（2）甲样本数据的平均值估计值为()550.005650.010750.020850.045950.0201081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. 由（1）知0.018a =，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为()0.0060.0160.018100.400.50++⨯=<，前四组的频率之和为()0.0060.0160.0180.040100.800.50+++⨯=>，故乙样本数据的中位数在第4组，则可设该中位数为80x +，由()0.0060.0160.018100.0400.50x ++⨯+=得2.5x =，故乙样本数据的中位数为80 2.582.5+=.根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为81.5，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82.5.【点睛】本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率⨯样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是0.5. 18．已知在ABC ∆中，120ACB ∠=︒，2BC AC =.（1）求tan A 的值；（2）若1AC =，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ，求CD 的长.【答案】（1）tan 2A =； （2）23.【解析】（1）根据正弦定理边角互化可知sin 2sin A B =，利用60A B +=，代入60B A =-，整理求tan A ；（2）60ACD ∠=，利用180A ACD ADC +∠+∠=，()sin sin ADC A ACD ∠=+∠，最后ADC∆中利用正弦定理求CD 的长.【详解】（1）因为2BC AC =，所以sin 2sin 2sin 3A B A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭. sin sin A A A =-，可得tan 2A =.（2）因为CD 是角平分线，所以60ACD ∠=︒，由tan 2A =，可得sin 7A ==cos 7A ==， 所以()sin sin sin cos cos sin 14ADC A ACD A ACD A ACD ∠=∠+∠=∠+∠=， 由sin sin AC CD ADC A =∠可得sin 2sin 314AC A AD ADC ===∠. 【点睛】本题考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换解三角形，常用公式180A B C ++=，()sin sin A B C =+以及两角和或差的三角函数，辅助角公式等转化，考查了转化与化归的思想，以及计算能力的考查.19．图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中22==，3AB DE===，将BE BF CF其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.（1）证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面ABD⊥平面DEC；（2）求图2中的二面角B CE A--的大小.【答案】（1）见解析；π.（2）3【解析】（1）根据平行的传递性，可证明四点共面，要证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，即证明AD⊥平面⊥，AD DEDEC，转化为证明AD DG⊥；（2）过点D作AG的垂线，垂足为O，过点O作BC的垂线，垂足为H，则OA OH⊥，由（1）可知点O为AG中⊥，OA OD点，可以OA，OH，OD所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，分别求两个平面的法向量,m n，求二面角的大小转化为cos,m n<>求解.【详解】（1）证明：因为正方形ABCG中，//AB CG，梯形ABED中，//DE AB ，所以//DE CG ，所以D ，E ，C ，G 四点共面：因为AG AB ⊥，所以AG DE ⊥，因为AD DE ⊥，ADAG A =，所以DE ⊥平面ADG ，因为DG ⊂平面ADG ，所以DE DG ⊥，在直角梯形ABED 中，2AB =，1DE =，BE =可求得AD = 同理在直角梯形GCED 中，可求得DG =2AG BC ==，则222AD DG AG +=，由勾股定理逆定理可知AD DG ⊥， 因为AD DE ⊥，DE DG D =，所以AD ⊥平面DEG ，因为AD ⊂平面ABD ，故平面ABD ⊥平面DEG ，即平面ABD ⊥平面DEC .（2）解：过点D 作AG 的垂线，垂足为O ，过点O 作BC 的垂线，垂足为H ，则OA OH ⊥，OA OD ⊥，由（1）可知点O 为AG 中点，且OD DE ⊥，则OD OH ⊥， 故可以OA ，OH ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标依次为：()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,1D ，()0,1,1E ，所以()1,1,1AE =-，()1,1,1CE =-，设(),,n x y z =为平面ACE 的一个法向量，则00n AE x y z n CE x y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩可取1x =，则()1,1,0n =， 又()2,0,0CB =，设(),,m x y z '''=为平面BCE 的一个法向量，则200m CB x m CE x y z ⎧⋅==⎨⋅='''+='-⎩可取1y '=，则()0,1,1m =， 所以()1cos ,2n mn m n m ⋅==⋅，结合图形可知二面角B CE A --的大小为3π.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，以及建立空间直角坐标系，求面面角的问题，证明位置关系的习题可以采用分析法逐步寻找使命题成立的充分条件，然后再用综合法推导证明.20．过()0,1F 的直线l 与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，设1l 与2l 交于点()00,Q x y .（1）求0y ；（2）过Q ，F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值.【答案】（1）01y =-；（2）32.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，并且直线l 与抛物线方程联立，分别求这两点的切线方程，再联立方程求交点坐标；（2）先求向量QF 和AB 的坐标，0QF AB ⋅=，可求得QF AB ⊥，根据焦点弦长公式求AB 和MN ，因为MN AB ⊥,所以四边形AMBN 的面积12S MN AB =⨯⨯，得到关于k 的函数，利用基本不等式求最小值.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l y kx =+，所以241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩ 由2142x y y x '=⇒=，所以()111112:l y y x x x -=-， 即：2111124:x l y x x =-， 同理22221:24x l y x x =-，联立得1201202214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩， 即01y =-.（2）因为12,22x x QF +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--， 所以()222222222121212120222x x x x x x QF AB y y ---⋅=--=-=，所以QF AB ⊥，即MN AB ⊥，()212122444AB y y k x x k =++=++=+， 同理244MNk =+， ()222211181182322AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1k =±时，四边形AMBN 面积的最小值为32.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交的综合问题，属于中档题型，当直线与圆锥曲线相交时，一种情况是设直线，直线方程与圆锥曲线联立，利用根与系数的关系，表示几何问题，或是设交点，利用交点的坐标表示直线，同样表示几何问题时，用到坐标间的关系，从而达到消去的作用. 21．已知函数()()()1ln 1x f x x e a x ax b =-++-+，[]0,1x ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，请说明理由.参考数据：ln 20.693≈.【答案】（1）见解析；（2）存在，当1ln 21a =-且0b =时，或当31ln 2a =-且2b =时，可以使得函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1【解析】（1）首先求函数的导数()(1)1x x f x x e a x '⎡⎤=+-⎣⎦+，设()()1x g x x e a +=-，[]0,1x ∈，再求()0g x '>恒成立，说明()g x 是单调递增函数，然后讨论a 的范围，确定函数的单调区间；（2）根据（1）讨论的函数的单调性，当1a ≤和2a e ≥时函数是单调函数，易判断，当12a e <<时，令()()ln 1h x x x =+-，[]0,1x ∈，根据其单调性，可判断()0h x ≤，当1a =时，()()()1f x u x u =≤，当2a e =时，()()()1f x x νν=≥，因为12a e <<，所以()()()v x f x u x <<，()()()21e f x u ν∴<<，()()()()max min 21112.6l 32n 2f x f x e -<-≈<-，与条件矛盾，所以这种情况下不存在. 【详解】 （1）()(1)1xx f x x e a x '⎡⎤=+-⎣⎦+， 令()()1xg x x e a +=-，[]0,1x ∈，则()(2)0x g x x e '=+>，则()g x 在[]0,1上单调递增， ①.若1a ≤，则()()010g x g a ≥=-≥，则()()01x g x f x x ⋅'=≥+，则()f x 在[]0,1上单调递增；②.若2a e ≥，则()()120g x g e a ≤=-≤，则()()01x g x f x x ⋅'=≤+，则()f x 在[]0,1上单调递减；③.若12a e <<，则()010g a =-<，()120g e a =->，又()g x 在[]0,1上单调递增，结合零点存在性定理知：存在唯一实数()00,1x ∈，使得()()00010x g x x e a =+-=，当[)00,x x ∈时，()0g x <，则()0f x '<，则()f x 在[)00,x 上单调递减，当[]0,1x x ∈时，()0g x ≥，则()0f x '≥，则()f x 在[]0,1x 上单调递增.综上，当1a ≤时，()f x 在[]0,1上单调递增；当2a e ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减；当12a e <<时，存在唯一实数()00,1x ∈，使得()01x x e a +=， ()f x 在[)00,x 上单调递减，在[]0,1x 上单调递增.（2）由（1）可知，①.若1a ≤，则()()min 011f x f b ==-=-，则0b =，而()()max 1ln 21f x f a a b ==-+=，解得11ln 21a =<-满足题意； ②.若2a e ≥，则()()max 011f x f b ==-=，则2b =， 而()()min 1ln 21f x f a a b ==-+=-，解得39.77221ln 2a e =≈>-满足题意：③.若12a e <<，令()()ln 1h x x x =+-，[]0,1x ∈， 则()01xh x x -'=≤+，故()h x 在[]0,1上单调递减，所以()()00h x h ≤=，令()()()1xu x x e h x b =-++，[]0,1x ∈，由（1）知()()1ln 21u u x b ≤=-+； 令()()()12xv x x eeh x b =-++，[]0,1x ∈，由（1）知()()()12ln 21v x v e b =-≥+；因为()()()1xf x x eah x b =-++，()0h x ≤，且12a e <<，所以()()()v x f x u x <<，则()max ln 21f x b <-+，()()min 2ln 21f x e b >-+，故()()()()max min 21112.6l 32n 2f x f x e -<-≈<-，故对任意()1,2a e ∈， 不存在实数b 能使函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1； 综上，当1ln 21a =-且0b =时，或当31ln 2a =-且2b =时， 可以使得函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1. 【点睛】本题考查了导数讨论函数的单调性和最值，考查了分类与整合，转化与化归的思想，以及分析，变形，逻辑推理能力，属于高档题型，本题的难点是当12a e <<时讨论函数的最值，分离出()f x 的()ln 1x x +-这部分，并判断其正负，分别令1a =和2a e =时，判断函数的单调性和不等关系的传递性求函数的最值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若点Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值【答案】（1）50x y --=，()2224x y ++=； （2）1.【解析】（1）两式相减，消去t 后的方程就是直线l 的普通方程，利用转化公式222x y ρ=+，sin y ρθ= ，极坐标方程化为直角坐标方程；（2）32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，然后写出点到直线的距离公式，转化为三角函数求最值. 【详解】（1）直线l 的普通方程为：50x y --=，由线C 的直角坐标方程为：()2224x y ++=.（2）曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），点P 的直角坐标为()3,3--，中点32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭， 则点M 到直线l的距离d =，当cos 14πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+=时，d 的最小值为1， 所以PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值为1.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将距离的最值转化为三角函数问题，意在考查转化与化归的思想，以及计算求解的能力，属于基础题型.23．已知正数a ，b ，c 满足等式1a b c ++=. 证明：（1≤；（2≤【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】（1）采用分析法证明，要证明不等式成立，只需证明23≤，展开以后利用基本不等式证明；（2）利用2323231111111a b c +++++=，再利用第一问的结论，即可证明.【详解】（1）要证不等式等价于23≤，因为22123222a b b c a c a b c +++⎛⎫=+++≤+++= ⎪⎝⎭，≤13a b c ===时取等号. （2）因为()()()23232311a b c +++++=，所以2323231111111a b c +++++=， 又因为23011a +>，23011b +>，23011c +>.所以≤13a b c===时取等号.【点睛】本题考查了利用基本不等式证明不等式，考查了学生分析问题和类比推理的能力，属于中档题型.。
云南省昆明一中2020届高三数学第一次摸底考试 理(无答案)新人教A版
云南昆明第一中学2020届高中新课程高三第一次摸底测试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．11ii+- （ ） A ．iB ．－iC ． 1－iD ．1+i2．已知集合|0,,1x M x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭集合{||1,},N x x x R =≤∈则M N =I （ ）A ．{|01}x x <≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{111}x x -<≤D ．{111}x x -<≤3．已知椭圆22214x y m+=的一个焦点为(0,3)F ，则m= （ ） A ．5 B ． 7 C ． 9D ．25 4．下列函数中，既是奇函数又是定义域上的增函数的是 （ ）A ．y=x+1B ．xxy e e -=- C ．2y x-=D ．y x =5． “01a <≤”是方程“2210ax a ++=”有实根的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．曲线cos sin cos x y x x =+在1(,)42p π点处的切线的斜率为（ ）A ．22 B ．12C ． —12D ．－227．执行如图所示的程序框图，则输出的数等于 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．已知过点A （－1，－1）的直线l 与圆22(1)1x y +-=相切， 且与直线1:10l x my ++=平行，则m= A ．0 B ．34C ．－34D ． 34±9．若函数322()f x x ax bx a =--+在x=1处有极值10， 则b―a = （ ） A ．－6 B ．15C ． －9或12D ． －6或1510．有四个函数：①sin cos ;y x x =+②sin cos ;y x x =-③2(sin cos );y x x =+ ④22sin cos y x x =- ；其中在(0,)2π上不单调函数是（ ）A ． ①和④B ． ②和③C ．①和③D ． ②和④11．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，其中点A 在x 轴的下方，且满足4AF FB =u u u r u u u r，则直线AB 的方程为 （ ）A ． 4x －3y －4=0B ．4x+3y －4=0C ． 3x －4y －4=0D ．3x+4y －4=012．已知01,()4,()14,xa a a f x a x m g x og x x n >≠=+-=+-且函数的零点为函数的零点为12m n+则的最小值为 （ ）A ．12B ．32C ．122+D 322+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(2,1),(1,),()(),a b x a b a b x ==-+⊥-=r r r r r r 若共线 。
2020届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测数学(理)试题(解析版)
2020届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测数学（理）试题一、单选题 1．设1iiz -=，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】A【解析】先化简复数z 为代数形式，再根据共轭复数概念求z ，最后根据复数虚部概念得结果. 【详解】因为1i z =--，所以1i z =-+，z 的虚部是1， 故选：A 【点睛】本题考查共轭复数概念以及复数虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2．已知向量12a ⎛= ⎝⎭r ，2b =r ，且1a b ⋅=r r ，则a r 与b r的夹角为（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】直接根据向量夹角公式求解. 【详解】由已知1a =r ，得1cos ,2a b a b a b⋅==r rr r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，故选：C. 【点睛】本题考查求向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.3．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x RB ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D【解析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-.故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．在第二次高考模拟市统测结束后，某校高三年级一个班级为预估本班学生的高考成绩水平，登记了全班同学的卷面成绩.经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得，则学业水平考试加分22分前后相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数 B ．方差C ．中位数D ．众数【答案】B【解析】根据加分前后平均数、方差、中位数、众数的变化进行分析，可得出结论. 【详解】学业水平考试加分22分前后相比，平均数、中位数、众数都在原来的基础上加上了22，而全班的成绩波动性没发生变化，即方差没变. 故选：B. 【点睛】本题考查在样本数据上加上同一个数后样本数字特征的变化，分析样本各数字特征的变化是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5．已知实数ln3a =，2ln 3e b =，4log 9c =，则（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】A【解析】利用对数函数ln y x =的单调性比较a 、b 的大小关系，再利用换底公式结合不等式的性质可得出a 、c 的大小关系，从而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，因为233e <，所以2e ln ln 33b a =<=，0ln 2ln 1e <<=Q ，ln30>，42ln 3log 9log 3ln 3ln 2c a ===>=，所以b a c <<，故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 6．下列命题中，正确的是（ ）A ．直线1l 、2l 与平面α所成的角相等，则12l l //B ．α、β、γ为三个平面，若αβ⊥，γβ⊥，则//αγC ．1l 、2l 、3l 为空间中的三条直线，若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //D ．1l 、2l 为两条直线，α、β为两个平面，若1l β⊥，2l β⊥，1l α⊥，则2l α⊥ 【答案】D【解析】利用正四面体可判断A 选项的正误；根据面面的位置关系可判断B 选项的正误；根据空间中线线的位置关系可判断C 选项的正误；根据线面垂直的性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，在正四面体ABCD 中，AB 、AC 与平面BCD 所成角相等，但AB 与AC相交，A 选项错误；对于B 选项，若αβ⊥，γβ⊥，则α与γ平行或相交，B 选项错误； 对于C 选项，若13l l ⊥，23l l ⊥，则1l 与2l 平行或相交，C 选项错误；对于D 选项，由1l β⊥，2l β⊥得12//l l ，由因为2l α⊥，所以1l α⊥，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.7．双曲线1C ：22122x y -=与抛物线2C ：22y px =（0p >）的准线交于A ，B 两点，若AB =，则p =（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】先确定A 点坐标，再代入双曲线方程解得结果. 【详解】由已知，点A的坐标为,2p ⎛- ⎝，代入双曲线1C 得：222122p ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=，所以4p =， 故选：B 【点睛】本题考查求抛物线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．设函数()33sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称D ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称【答案】C【解析】利用辅助角公式和诱导公式化简函数()y f x =的解析式为()f x x =，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭计算出2x 的范围，可判断出函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，结合余弦函数的对称轴方程即可得出结论. 【详解】()3222442f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，02x π<<，所以()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 令()()22k x k k Z x k Z ππ=∈⇒=∈，当1k =时，可得知函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称.故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性与对称性的判断，一般采用整体代入法，考查推理能力，属于中等题.9．若()0,θπ∈，1tan 6tan θθ+=，则sin cos θθ+=（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．23【答案】A【解析】利用切化弦化简技巧结合1tan 6tan θθ+=可得出1sin cos 6θθ=，再由()0,θπ∈可得出sin 0θ>，cos 0θ>，再由()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+可计算出sin cos θθ+的值. 【详解】因为221sin cos sin cos tan 6tan cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=+==，所以1sin cos 6θθ=， ()0,θπ∈Q ，则sin 0θ>，cos 0θ>，sin cos 0θθ∴+>.所以()24sin cos 12sin cos 3θθθθ+=+=，所以23sin cos 3θθ+=， 故选：A. 【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是双曲线右支上的一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．23B ．3C ．53D ．43【答案】C【解析】设1PF 与圆222x y a +=相切于点M ，可得出14PF b =，22PFc =，然后利用双曲线的定义可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，即可计算出该双曲线的离心率. 【详解】设1PF 与圆222x y a +=相切于点M ，过点2F 作21F N PF ⊥，则N 为1PF 的中点，设双曲线的焦距为()20c c >， 易知1OM PF ⊥，则222211F M OF OMc a b =-=-=，O Q 为12F F 的中点，M ∴为1F N 的中点，则111244PF F N FM b ===，由双曲线的定义得122PF PF a -=，即422b c a -=，即2b a c =+，()()222244a c b c a ∴+==-，则44c a c a +=-，可得35c a =.因此，该双曲线的离心率为53c e a ==.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，解答的关键就是得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.11．已知定义[)1,+∞上的函数()348,1221,222x x f x x fx ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列选项不正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域为[]0,4B ．关于x 的方程()()12nf x n *⎛⎫=⎪⎝⎭∈ N 有24n +个不相等的实数根C ．当()12,2n n x n *-⎡⎤∈⎣∈⎦N 时，函数()f x 的图象与x 轴围成封闭图形的面积为2D ．存在[]01,8x ∈，使得不等式()006x f x ≥能成立 【答案】B【解析】作出函数()y f x =的图象，可判断A 选项的正误；取1n =可判断B 选项的正误；当()12,2n n x n -*⎡⎤∈∈⎣⎦N 时，求出函数()y f x =图象最高点的纵坐标，可判断C 选项的正误；取04x =可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当[]1,2x ∈时，()388,123168,22x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，然后向右每次将横坐标变为原来的2倍时，纵坐标变为原来的12，得到草图如下所示：可知，函数()y f x =的值域为[]0,4，A 选项正确；对于C 选项，当[]1,2x ∈时，()max 4f x =，当[]2,4x ∈时，()max 2f x =，当[]4,8x ∈时，()max 1f x =，由此可得知，当12,2n nx -⎡⎤∈⎣⎦时，()13max1422n n f x --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，此时，函数()y f x =的图象与x 轴围成封闭图形的面积为1312222n n--⨯⨯=，C 选项正确；对于B 选项，当1n =时，如下图所示，当[]1,8x ∈时，直线12y =与函数()y f x =的图象有6个交点，当[]8,16x ∈时，()max 12f x =，此时，直线12y =与()y f x =的图象只有一个交点，当[)16,x ∈+∞时，()14f x ≤，此时，直线12y =与()y f x =的图象没有交点.综上所述，当1n =时，方程()12f x =有7个实根，B 选项错误；对于D 选项，当04x =时，()()0036422f x f x ==>=，所以，存在[]01,8x ∈，使得不等式()006x f x ≥能成立，D 选项正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数及运用，考查函数的表达式和值域以及方程根的个数问题，考查数形结合思想的应用与推理能力，属于中档题．二、填空题12．已知集合{}2670A x x x =--<，{}210B x x =+>，则A B =U （ ） A ．(),1-∞- B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．()7,+∞【答案】C【解析】先解一元二次不等式得集合A ，再解一元一次不等式得集合B ，最后求并集. 【详解】因为{}17A x x =-<<，12B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，所以{}1A B x x ⋃=>-，故选：C 【点睛】本题考查解一元二次不等式以及集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 13．将一段长为3米木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于1米的概率为______. 【答案】13【解析】先确定满足题意的锯断点位置，再根据几何概型概率公式求结果. 【详解】根据题意:只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，所求概率为13. 故答案为：13【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知函数()21,0,0x x f x ax b x ->⎧=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=______.【答案】3【解析】利用奇函数的定义计算出函数()y f x =在0x <时的解析式，可得出a 、b 的值，由此可计算出+a b 的值. 【详解】设0x <，则0x ->，所以()()21f x x f x -=--=-，所以()21f x x =+，所以()21,021,0x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，则213a b +=+=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中的参数，考查运算求解能力，属于基础题.15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，c =，sin 2B B =，则角C =______.【答案】3π或23π 【解析】利用辅助角公式得出sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角B 的取值范围可求出B 的值，再利用正弦定理可求出角C 的值. 【详解】由sin 2B B =可得2sin 23B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0B Q π<<，4333B πππ∴<+<，则32B ππ+=，6B π∴=.由正弦定理得sin sin c B C b ==，又因为c b >，所以C B >，所以3C π=或23π. 故答案为：3π或23π. 【点睛】本题考查利用正弦定理求角，在利用正弦定理求角时，可能会存在两解，要注意大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.16．已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.【解析】先根据线面垂直确定点P 的轨迹，再解三角形得周长. 【详解】设底面的中心为O ，则SO ⊥面ABCD SO AC ∴⊥,由正方形ABCD 得,AC BD SO BD O AC ⊥=∴⊥I 面SBD取SC ，CD 的中点为G ，F ，易得面//SBD 面GEF ，所以AC ⊥面GEF ，因此动点P 的轨迹为GEF ∆，因为1,2223SO BD BOSB ==∴=∴=32GE GF ∴==，2EF =，因此动点P 的轨迹的周长为32+.32【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及立体几何中轨迹问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112a =，12n n n a S S -=-⋅（2n ≥）. （1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求1221111n S S S ++++L . 【答案】（1）见解析（2）()221n +【解析】（1）先根据和项与通项关系化简条件得11112n n S S --=，再根据等差数列定义证明； （2）先求1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，再根据等差数列求和公式得结果. 【详解】（1）因为12n n n a S S -=-⋅（2n ≥），所以112n n n n S S S S ---=-⋅，可得11112n n S S --=， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S a ==为首项，以2d =为公差的等差数列 所以()()11112212n n d n n S S =+-=+-= （2）()()1321111212322121321n n n S S S ++++=⨯+⨯+++=++++⎡⎤⎣⎦L L L ()()()211212212n n n +++=⨯=+【点睛】本题考查等差数列定义以及等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.18．甲、乙两个排球队在采用5局3胜制排球决赛中相遇，已知每局比赛中甲获胜的概率是35. （1）求比赛进行了3局就结束的概率；（2）若第1局甲胜，两队又继续进行了X 局结束比赛，求X 的分布列和数学期望 【答案】（1）725；（2）分布列见解析，()366125E X =. 【解析】（1）根据题意可知，比赛进行了3局就结束包含两种情况：一是3局全都是甲赢，二是3局全都是乙赢，然后利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率； （2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有2、3、4，利用独立事件的概率乘法公式计算出X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的概率分布列，进而可计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】（1）由题意知，每局比赛中乙胜的概率是25，比赛进行了3局就结束包括甲3:0胜和乙3:0胜两种情况，所以所求概率为333275525P ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由题意知X 的可能取值为2、3、4，()2392525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31232323684435555125125125P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+=+= ⎪⎝⎭，()22113332332210872180364555555625625625125P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，随机变量X 的分布列为X234P9254412536125所以()9443636623425125125125E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查随机变量分布列与数学期望的计算，同时也考查了利用独立事件的概率乘法公式计算概率，考查计算能力，属于中等题.19．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=o ，点D 是棱AC 的中点，AC BD ⊥，点E 是棱AP 上一点，且ADE APC ∠=∠.（1）证明：AP ⊥平面BDE ；（2）若1BD =，3PA =，点F 在棱PB 上，且23FB PB =，求直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1415.【解析】（1）证明BD ⊥平面PAC ，可得出PA BD ⊥，再证明ADE APC ∆∆:可得出DE PA ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出结论；（2）过点D 作PC 的平行线交PA 于点G ，然后以点D 为坐标原点，DB 、DA 、DG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，计算出DF u u u r的坐标，并计算出平面BDE 的法向量，利用空间向量法能计算出直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值. 【详解】（1）因为PC ⊥平面ABC ，且BD ⊂平面ABC ，所以PC BD ⊥， 又AC BD ⊥，PC AC C =I ，所以BD ⊥平面PAC ，AP ⊂Q 平面PAC ，故AP BD ⊥，因为ADE APC ∠=∠，PAC DAE ∠=∠，ADE APC ∴∆∆:， 因为PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PC AC ⊥，所以90AED ACP ∠=∠=o ，所以AP DE ⊥，又BD DE D ⋂=，AP ∴⊥平面BDE ； （2）因为1BD =，3PA =，则1AD CD ==，5PC =，过点D 作PC 的平行线交PA 于点G ，因为PC ⊥平面ABC ，所以DG ⊥平面ABC ， 又因为BD AC ⊥，故可以DB 、DA 、DG 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则部分点坐标为：()0,0,0D ，()1,0,0B ，()0,1,0A ，(0,5P -，则()1,0,0DB =u u u r，(0,5DP =-u u u r ，(0,5AP =-u u u r ，因为点F 在棱PB 上，且23FB PB =，则23FB PB =u u u r u u u r ， 则()23DB DF DB DP -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即有2133DF DP DB =+u u u r u u u r u u u r，即1225,33DF ⎛=- ⎝⎭u u u r ，由（1）知AP ⊥平面BDE ，则AP u u u r为平面BDE 的一个法向量，设直线DF 与平面BDE 所成角为θ，则14sin cos ,15DF AP DF AP DF APθ⋅=<>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u ur u u u r ， 即直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值为1415. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．在平面直角坐标系xOy 中，直线():100l x my m -+=≠交椭圆22:143x y C +=于A 、B 两点，且线段AB 的中点为P ，直线OP 与椭圆C 交于M 、N 两点（1）求直线l 与直线OP 斜率的乘积； （2）若2AP PM PN =⋅，求直线l 的方程. 【答案】（1）34-；（2）330x ±+=. 【解析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将点A 、B 的坐标代入椭圆的方程，并将所得两式相减，利用点差法可计算出直线l 与直线OP 斜率的乘积；（2）将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x ，列出韦达定理，求出点P 的坐标，计算出2214AP AB =，由（1）可知，直线OP 的方程为34m y x =-，与椭圆C 的方程联立，求出2MN ，再由2AP PM PN =⋅可得出关于m 的方程，解出即可得出直线l 的方程. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()2222121211043x x y y -+-=， 即()()()()121212121143x x x x y y y y -+=--+， 所以01212034x y y x x y -=-⋅-，所以01212034AB OP y y y k k x x x -=⋅=--；（2）直线l 的方程为1x my =-，与椭圆C 联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 消去x 得()2234690m y my +--=，所以122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12023234y y m y m +==+， 所以2243,3434m P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，()()()222222222169916343434m m OP m m m +=+=+++，()2212134m AB m +==+， 所以()()2222223611234m AP AB m +⎛⎫==⎪⎝⎭+， 直线OP 的方程为：34y mx =-，联立2214334x y y mx⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得221634x m =+ 而()()22222224916169162434163434m m MNOM m m m +⎛⎫==+⋅= ⎪+++⎝⎭， ()()()2222214AP PM PN OM OP ON OP OM OPMN OP ==-+=-=-Q ，所以()()()()222222222361491619164343434m m m m m m +++=⋅-+++， 所以()22121916m m +=+，所以243m m =⇒=所以直线l 的方程为1x=-，即330x ±+=. 【点睛】本题考查利用点差法求解直线斜率的乘积问题，同时也考查了利用弦长的关系式求直线方程，考查运算求解能力，属于中等题.21．已知函数()()()()21ln 1102x e f x x a x a a =-+-+>的导函数为()g x .（1）求()g x 的最小值；（2）若a e =，实数1x 、2x 满足121x x <<且()()121f x f x +=，证明：122x x +<. 【答案】（1）0；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数()y g x =的解析式，利用导数分析函数()y g x =在R 上的单调性，可得出函数()y g x =的最小值； （2）由题意得出()112f =，构造函数()()()21F x f x f x =+--，利用导数证明出函数()y F x =在[)1,+∞上单调递增，由()()210F x F >=可得出()()212f x f x ->，再由函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数可得出122x x +<.【详解】（1）()()1ln 1x g x f x e x a a '==⋅-+-，则()11x x e ag x e a a-'=⋅-=. 当ln x a <时，()0g x '<，则函数()y g x =在(),ln a -∞上单调递减； 当ln x a >时，()0g x '>，则函数()y g x =在()ln ,a +∞上单调递增. 则()()ln min 1ln e ln ln 10ag x g a a a a==⋅-+-=， 因此，函数()y g x =的最小值为0； （2）当a e =时，()2112x f x e x e =⋅-⋅， 由（1）可知()0g x ≥，则函数()y f x =在(),-∞+∞内单调递增，且()112f =， 构造()()()()222111121222x x F x f x f x e x e x e e -=+--=⋅-⋅+⋅-⋅-，22122x x e e x x e e ⎛⎫=⋅+-+- ⎪⎝⎭， 令()()2122x x e G x F x e x e e ⎛⎫'==⋅--+ ⎪⎝⎭，则()21220x x e G x e e e ⎛⎫'=⋅+-≥= ⎪⎝⎭，故函数()y G x =在(),-∞+∞内单调递增，又()10G =，故对任意1x >，都有()()0G x F x '=>，即函数()y F x =在[)1,+∞内单调递增， 又()()12110F f =-=，所以对任意1x >，都有()0F x >，取2x x =有()()()222210F x f x f x =+-->，即()()2221f x f x ->-，即()()212f x f x ->，因为函数()y f x =在[)1,+∞内单调递增，所以212x x ->，即122x x +<. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用导数证明不等式，考查极值点偏移的问题，构造对称函数并利用导数分析对称函数的单调性是解答的关键，考查计算能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2132x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）写出圆C 和直线l 的普通方程；（2）P 为直线l 上一点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 点的直角坐标. 【答案】（1）(223x y -+=，0x -+=（2）()0,3P【解析】（1）根据加减消元法得直线l 的普通方程，根据222,cos x y x ρρθ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）根据两点间距离公式得PC ，再根据二次函数性质求最值，即得结果. 【详解】解：（1）直线l的直角坐标方程为：0x -+= 圆C的直角坐标方程为：(223x y -+=（2）设,3212P t +⎫⎪⎪⎝⎭，因为圆心)C所以PC ==当0t =时PC 的最小值为()0,3P . 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及参数方程简单应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题. 23．若a ，b ，()0,c ∈+∞，且1a b c ++= （1）证明：13ab bc ac ++≤（2）求()222149a b c +++的最小值. 【答案】（1）见解析（2）14449【解析】（1）根据均值不等式以及三个数和的平方公式证明结果； （2）根据柯西不等式直接可得结果. 【详解】解：（1）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 所以222ab bc ac a b c ++≤++，又因为()21a b c ++=， 所以2222221a b c ab bc ac +++++=，所以13ab bc ac ++≤ 当且仅当13a b c ===时取等号. （2）因为()111123123a b c a b b ++=⋅++⋅+⋅- 所以()111123223a b b ⋅++⋅+⋅= 所以()()22211111122311492349a b b a b c ⎛⎫⎡⎤⋅++⋅+⋅≤+++++ ⎪⎣⎦⎝⎭ 所以()22214414949a b c +++≥，当且仅当2349a =，1849b =，849c =时取等号 ()222149a b c +++的最小值为14449. 【点睛】本题考查均值不等式以及柯西不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.。
2020届云南省昆明市第一中学新课标高三月考卷数学(文)试题Word版含答案
2020届云南省昆明市第一中学新课标高三月考卷数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|560}A x x x =--=，则*A N =I （ ）A ．φB ． {1}-C ．{1}D ．{6} 2.51ii-=-（ ） A ．32i + B ．22i + C ．23i + D ．22i --3.若数列{}n a 满足*120()n n a a n N ++=∈且32a =-，则8a 的值为（ ） A ． -64 B ． -32 C ．164D ． 64 4.在ABC ∆中，“sin sin A B =”是“A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 向量13(,)22b =r ，12a b •=r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ）A ．12B ． 32C ．1D ．36. 执行如图所示的程序框图，如果输入6,2a b ==，则输出的S =（ ） A ．30 B ． 120 C. 360 D ．7207. 设实数,x y 满足约束条件21021050x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则当(0,0)z ax by a b =+>>取得最小值2时，a =（ ） A ．12-B ．12C. 1 D ．2 8. 若一个圆柱的正视图与其侧面展开图是相似矩形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为（ ） A ．1π+B ．11π+C. 112π+D ．112π+9.如图所示，PA 垂直于圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上一点，点A 在,PB PC 上的射影分别为,E F ，则以下结论错误的是（ ）A ．PB AF ⊥ B ．PB EF ⊥ C. AF BC ⊥D ．AE BC ⊥ 10. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线与抛物线C 相交于,P Q 两点，则弦PQ 的长为（ ）A ． 3B ． 4 C. 5 D ．16311.已知221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若()f x 的值域为(,3)-∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)(2,)-∞-+∞UB ．[23,2)(2,23]--U C. [2,23) D ．[2,)+∞12.若12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过点1F 作以2F 为圆心2||OF 为半径的圆的切线，Q 为切点，若切线段1FQ 被双曲线的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 B ．52C. 3 D ．2 第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.从1,2,3,4这四个数中一次性随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是 ． 14.若点(cos ,sin )P αα在直线3y x =-上，则tan()4πα+= ．15.已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意的实数x 都有(1)(1)f x f x +=-，且(1)2f -=，则(4)(5)f f += ．16.已知数列{}n a 满足：111n n n a a a +-=+且1013a =，则{}n a 的前99项和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分） 已知四边形ABCD 中，31AD =-，2AB =，2CD =，34ADC π∠=，设ABD α∠=，ADB β∠=，23cos cos 3sin sin 22cos A αβαβ-=-．（1）求角A 的大小；（2）求BD 的长及四边形ABCD 的面积． 18. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是矩形，DA ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为线段CE 上一点，且BF ⊥平面ACE ，AC 交BD 于点G ．（1）证明：//AE 平面BFD ； （2）求三棱锥C BDF -的体积． 19. （本小题满分12分）某市为了解主城区的交通状况，现对其6条城区主干道进行评估，得分分别为：5,6，7,8,9,10，规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（2）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ，点2F 到直线30x y +=的距离为12，若点P 在椭圆E 上，12F PF ∆的周长为6． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过1F 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点,M N ，求2F MN ∆的内切圆的半径的最大值．21. （本小题满分12分） 已知函数()ln x af x ex +=-．（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）当2a ≥-时，证明：()0f x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为(1,)π，已知曲线:sin()(0)4C a πρθ=+>，直线l 过点P，其参数方程为：12x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N ．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若||||5PM PN +=，求a 的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,,a b c 均为正数． （1）若1a b +=，求14a b+的最小值； （2）若a b c m ++=，求证：322a b c m b c a++≥．2020届云南省昆明市第一中学新课标高三月考卷数学（文）试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10[ 11 12 答案DADCABCBDDCA1. 解析：集合{1,6}A =-，所以{}6A *=N I ，选D ．2. 解析：5i 1i -=-64i32i 2+=+，选A ． 3. 解析：依题意，得12n n a a +=-，所以数列{}n a 是公比为2-的等比数列，故()583264a a =-⋅=，选D ． 4. 解析：显然，sin sin A B A B =⇒=，反之，在ABC ∆中，sin sin A B A B =⇒=，选C ． 5. 解析：由定义，向量a r在向量b r 上的投影为1cos ,2a b a a b b⋅⋅==r rr r r r ，选A ．6. 解析:由框图知，1654120S =⨯⨯⨯=，选B ．7. 解析：画出可行域如图，可知z 在(1,1)H 处取得最小值，故12a +=，1a =，选C ．8. 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22r hh rπ=，即2h =，所以=24S r h r ππ⋅=侧，242S rr ππ=+全，则1S S ==全侧，选B ．9. 解析：因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，又因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，而PA AC A =I ，所以BC ⊥平面PAC ，AF ⊂平面PAC ，所以BC AF ⊥．又因为AF PC ⊥，PC BC C =I ，所以AF ⊥平面PBC ，故AF PB ⊥．又因为AE PB ⊥，AE AF A =I ，所以PB ⊥平面AEF ，所以PB EF ⊥，故A ，B ，C 正确．若AE BC ⊥，则AE ⊥平面PBC ，从而AE 与AF 重合，矛盾，选D ． 10. 解析：直线PQ的方程是)1y x =-，把)1y x =-代入抛物线24y x =消y 得231030x x -+=，设Q （1x ，1y ），P （2x ，2y ），则12103x x +=，所以PQ =12x x +p +1023=+163=，或者直接用公式PQ =22163sin 3p π=，选D ．11. 解析：当1x <时，12+13x <<，因为()f x 的值域为(),3-∞，所以2()+g x x ax =-，当1x ≥时，max 1()3g x ≤<，显然0a ≤不成立，排除,A B ，当2a =时，2max ()2,()1g x x x g x =-+=成立；当a =时，()(222()3g x x x x =-+=--=--+，max ()3g x =，不符合题意，排除D ，选C ．12. 解析：由题设知21F Q FQ ⊥，在直角12FQF ∆中，21212F Q c F F ==，所以126QF F π∠=，即直线1FQ 的倾斜角为6π，所以切线段1FQ 被双曲线的渐近线b y x a =-垂直平分，因此ba=，即223b a =，所以224c a =，所以2e =，选A ． 二、填空题13. 解析：随机地抽取2个数所有可能的情况有6种，两个数之积为偶数的情况为：{1，2},{1，4},{2，3},{2，4},{3，4},共有5种，那么所取的2个数之积为偶数的概率为56P =． 14. 解析：由已知得tan 3α=-，所以tan tan14tan 421tan tan 4παπαπα+⎛⎫+==- ⎪⎝⎭-⋅． 15. 解析：因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，(0)0f =，又(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=，即()f x 是以4为周期的周期函数，所以(4)(5)(0)(1)(0)(1)022f f f f f f +=+=--=-=-．16. 解析：因为1013a =，所以1112a =-，123a =-，132a =，1413a =，所以{}n a 是以4为周期的数列，所以1132a a ==，所以9911111232422632326S 骣骣鼢珑=+--?+-=-鼢珑鼢珑桫桫．三、解答题17. 解：（Ⅰ）由23cos cos 3sin sin 22cos A αβαβ-=-， 得23cos()22cos A αβ+=-，因为ADB ∆中，A αβπ+=-，所以23cos 22cos A A -=-， 解得1cos 2A =-或cos 2A =（舍去）由于23A π=，所以4ADB π∠=， 因为34ADC π∠=，故2BDC π∠=， ………10分 所以四边形ABCD 的面积为 1133sin 22ABD BDC S S S AB AD A BD CD ∆∆+=+=⋅⋅+⋅=． ………12分 18. 解：（Ⅰ）证明：连接FG ，因为BF ⊥平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，所以BF CE ⊥． 又因为EB BC =，所以F 为EC 的中点，而矩形ABCD 中，G 为AC 的中点，所以//FG AE ， 又因为AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，所以//AE 平面BFD ． ………5分 （Ⅱ）因为DA ⊥平面ABE ，//BC DA ，所以BC ⊥平面ABE ，所以BC AE ⊥． 又因为BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以BF AE ⊥．而BC BF B =I ，所以AE ⊥平面BCE ，由//BC DA ，DA ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，可得//DA 平面BCE ，所以点D 到平面BCF 的距离为AE 的长．在等腰直角三角形BCE 中，111221222BCF BCE S S ∆∆==⨯⨯⨯=． 所以11212333C BDF D BCF BCF V V S AE --∆==⋅⋅=⨯⨯=． ………12分19. 解：（Ⅰ）6条道路的平均得分为()15+6789107.56++++=………2分 所以该市的总体交通状况等级为合格． ………4分（Ⅱ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”． ………5分[来源:从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：()5,6，()5,7，()5,8，()5,9，()5,10，()6,7，()6,8，()6,9，()6,10，()7,8，()7,9，()7,10，()8,9，()8,10，()9,10共15个基本事件事件A 包括()5,9，()5,10，()6,8，()6,9，()6,10，()7,8，()7,9共7个基本事件． 所以()715P A =． ………11分 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5 的概率为715． ………12分 20. 解：（Ⅰ）由题设知12= ① 又226a c += ②由①、②得2a =，1c =，所以b =，所以椭圆E 的方程是22143x y += ……… 4分[来源:（Ⅱ）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，不妨设10y >， 20y <，设2F MN ∆的内切圆半径为R ，则2F MN ∆的周长是48a =，2221()42F MN S MN F M F N R R ∆=++=，因此2F MN S ∆最大，R 就最大，而2F MN S ∆1212121()2F F y y y y =-=- ………7分 由题设知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x my =-，代入椭圆方程22143x y +=消x 得到22(34)690m y my +--=，由韦达定理知122634m y y m +=+，122934y y m =-+，所以12y y-=，因此2F MNS∆=，令t=，则1t ≥，2F MN S ∆1213t t=+，设1()3f t t t=+，因为21()30f t t =->、，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增，所以()(1)4f t f ≥=，所以2F MN S ∆1234≤=，当1t =，即0m =时43R =，所以max 34R =． ………12分 21. 解: (Ⅰ) 函数()e ln x a f x x +=-定义域为(0,)+∞，1()e x a f x x+'=-， ………2分 由已知得(1)0f '=，即:1e 10a +-=，所以1a =-， ………4分 (Ⅱ) 由于2a ≥-，所以2e e x a x +-≥，所以，只需证明2e ln 0x x -->， ………6分令2()e ln x g x x -=-（0x >），则21()e x g x x-'=-，所以()g x '在(0,)+∞上为增函数， 而1(1)e 10g -'=-<，1(2)102g '=->，所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点0x ， 且0(1,2)x ∈， ………8分 当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 的最小值为0()g x ， 由02001()e 0x g x x -'=-=得：0201e x x -=，00ln 2x x =-， ………10分 所以0200000011()e ln (2)20x g x x x x x x -=-=--=+-≥，而0(1,2)x ∈，所以0()0g x >，所以0()()0g x g x >>，即：2e ln 0x x -->，所以，当2a ≥-时，()0f x >． ………12分 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．解：(Ⅰ) :sin 4C πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得22cos 2sin a a ρρθρθ=+，因为2222x y ax ay +=+，即()()222:2C x a y a a -+-=，()1,P π的直角坐标为()1,0P -所以l：)1y x =+． ………5分 （Ⅱ）将直线l的参数方程112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y ax ay +=+，得212t t at a -+=-，即2(1)120t a t a -++++=，所以由一元二次方程根与系数的关系得：121t t a +=+，1212t t a ⋅=+，1215PM PN t t a +=+=+=解得2a =，此时2(1)4(12)0a a ⎡⎤∆=-+-+>⎣⎦，且0a >． ………10分 23．解：1414()a b a b a b 骣÷ç+=++÷ç÷ç桫45b aa b=++59?．当且仅当223b a ==时，等号成立， 即当且仅当13a =，23b =时，14a b+有最小值9； ………5分 （Ⅱ）证法一：证明：因为a 、b 、c 为正实数，且a b c m ++=，由柯西不等式得2222()()()a b c b c a a b c b c a ++++?+，化简可得222()a b c a b c b c a++?+．即222a b c m b c a ++?，当且仅当3m a b c ===时取等号． ………10分 证法二：证明：因为a 、b 、c 为正实数，且a b c m ++=，所以222222()()()()a b c a b c b c a b c a b c a b c a +++++=+++++，≥2()a b c +++，所以222()a b c a b c b c a++?+， 当且仅当3ma b c ===时取等号． ………10分。
【数学】云南省昆明市第一中学2020届高中新课标高三第一次摸底测试 数学(文)(扫描版)
………4 分
（2） 甲样本数据的平均值估计值为
（55 0.005+65 0.010+75 0.020+85 0.045+95 0.020）10 =81.5 ． ………7 分
乙样本数据直方图中前三组的频率之和为（0.006+0.016+0.020）10=0.42 0.50 ，
前四组的频率之和为（0.006+0.016+0.020+0.040）10=0.82 0.50 ，
………12 分
20. 解：（1）设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，直线 l : y = kx +1 ，
所以
x2 = 4y y = kx + 1
得
x2
−
4kx
−
4
=
0
，所以
x1 x1
+ x2
x2 = 4k = −4
，
由
x2
=
4y
y
=
1 2
x
，所以 l1：y
−
y1
=
1 2
x1
所以 −2 a 2 ，选 D.
二、填空题
13.
解析：因为 a
⊥b
，所以 3 + 2m = 0 ， m = − 3 . 2
14.
解析：因为 a3a11
= 9 ，所以 a7
= 3 ， q2
=
a7 a5
= 3，q =
3.
15. 解析：设 AB 与轴交于点 H ，则 AH = 3c ，所以 AF2H = 60o ，
2
11. 解析：如图， PQ = PC −1= 5 −1，选 D.
2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学(理)试题(解析版)
2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|213},||ln 1}A x x B x x =-+≤=≤，则A B =I （ ） A ．(-1, e] B ．(-1,1]C ．(-1,0)D ．(0, e]【答案】D【解析】解一元一次不等式和对数不等式化简集合,A B 的表示，再利用集合交集的定义，结合数轴求出结果. 【详解】{}{}2131A x x x x =-+<=>-，{}{}ln 10e B x x x x =≤=<≤，则{}0e A B x x ⋂=<≤. 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了解对数不等式，考查了数学运算能力. 2．已知复数z 满足(2+i) z=3-i ，其中i 为虚数单位，则|z|=（ ） A ．1 B 2C ．32D ．23【答案】B【解析】用复数除法的运算法则化简复数z 的表示，再根据复数模的定义求出模的大小. 【详解】 因为3(3)(2)12(2)(2)i i i z i i i i --⋅-===-++⋅-，所以221(1)2z =+-=故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数模的定义，考查了数学运算能力.3．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数50≤(50,100] (100,150] (150,200] ](200300，300>值 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日—20日AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是（ ）A ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B ．这20天中的中度污染及以上的天数占12C ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差 【答案】C【解析】通过图象的变换可以判断出选项A 的正确性，通过所给的表可以统计出中度污染及以上的天数，这样可以判断选项B 的正确性，根据表中所提供的数据可以判断出中位数的大小，这样可以判断出选项C 的正确性，通过表中所提供的数据可以判断出选项D 的正确性. 【详解】由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A 错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B 错误，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上，D 错误.根据表中所提供的数据可以判断出中位数略高于100，所以C 正确. 故选：C 【点睛】本题考查了识图和识表的能力，考查了中位数的概念，考查了数据分析能力. 4．若1717(,04)a a Z a +∈<…能被3整除，则a =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】把17用181-代换，然后用二项式定理展开，根据题意求出a 的值. 【详解】因为17171711616171717+(181)1818181a a C C a =-+=-+⋅⋅⋅+-+，由已知可得：1a =. 故选：B 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了有关整除的问题，考查了数学运算能力. 5．已知椭圆E 的中心为坐标原点离心率为12，E 的左焦点与抛物线2:4C y x =-的焦点重合,则椭圆E 的方程为（ ）A ．22143x y +=B ．2212x y +=C ．2211612x y +=D ．221164x y +=【答案】A【解析】求出抛物线的焦点坐标，这样能确定椭圆的左焦点坐标，再根据离心率的公式求出半长轴长，而后根据半长轴长、半焦距、半短轴长的关系求出半短轴长，最后确定椭圆的标准方程. 【详解】因为抛物线C :24y x =-的焦点为(10)，-，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），所以椭圆E 的半焦距1c =，又因为椭圆的离心率为12，所以2a =，3b =E 的方程为22143x y +=.故选：A 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了抛物线的焦点坐标，考查了数学运算能力. 6．函数22()sin cos 3cos f x x x x x =-+的图象的一条对称轴为（ ） A ．6x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．2x π=【答案】C【解析】逆用二倍角的余弦公式、正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式为正弦型函数解析式的形式，根据正弦型函数的对称性选出正确答案. 【详解】因为()cos23sin 22sin(2)6f x x x x π=-+=-，所以函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.故选：C 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了辅助角公式，考查了正弦型函数的对称性. 7．执行如下所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．12【答案】D【解析】由初始条件进入循环体，求出每一次a 的值，可以发现规律，最后求出答案. 【详解】11,2n a ==；2,1n a ==-；3,2n a ==；14,2n a ==；…，a 的值构成以3为周期的数列，因为202036731=⨯+，所以当2020n =时，12a =. 故选：D 【点睛】本题考查了循环结构的输出问题，考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.8．已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5.若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为（ ） A ．92πB ．9πC ．323πD ．12π【答案】A【解析】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积. 【详解】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，所以11()22SAB S AB SO SA SB AB r =⋅=++⋅V ，解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为92π. 故选：A 【点睛】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力. 9．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()*32n n S a n =-∈N ，则{}na 的通项公式为（ ）A ．12n n a -=B ．132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先根据递推公式求出首项，再递推一步，两个等式相减，即可判断出数列{}n a 是等比数列，最后求出通项公式即可. 【详解】因为32()n n S a n *=-∈N …①，1n =时，1132S a =-，可得11a =，2n ≥时，1132n n S a --=-…②，①-②得133n n n a a a -=-，132n n a a -=， 所以{}n a 是等比数列，11331()()22n n n a --=⨯=.故选：B 【点睛】本题考查了通过递推公式求等比数列的通项公式，考查了数学运算能力.10．已知点(3,4)A 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若以12F F 为直径的圆经过点A ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B ．2C 5D ．5【答案】C【解析】根据以12F F 为直径的圆经过点A ，结合双曲线的定义可以求出a 的值，最后求出离心率.【详解】解析：由已知得12AF AF ⊥，所以12210F F AO ==，所以5c =22223+5+435+42a -（）（），所以5a =，所以双曲线C 的离心率5e =故选：C 【点睛】本题考查了求双曲线离心率问题，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力.11．设函数2()2,0()4,0x a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,2]- B ．[1,0]- C ．[1,2] D ．[0,2]【答案】D【解析】利用基本不等式可以求出当0x >时，函数的最小值，再用分类讨论方法求出0x ≤时，函数的最小值，最后根据题意得到不等式，解这个不等式即可. 【详解】 当0x >时，4424x a x a ax x++≥⋅=+(当且仅当4x x =时取等号，即2x =时取等号)； 当0x ≤时，若0a ≥，函数的最小值为2(0)2f a =+；若0a <，函数的最小值为()2f a =，由题意可知：(0)f 是函数()f x 的最小值，所以有2(0)2412002f a a a a a =+≤+⇒-≤≤≥∴≤≤Q .选D. 【点睛】本题考查了已知分段函数的最小值求参数取值范围，考查了分类讨论思想，考查了数学运算思想. 12．已知平面向量,,a b c r r r满足a b ⊥rr，且{||,||,||}{1,2,4}a b c =rrr ，则||a b c ++rrr的最大值为（ ） A ．45 B ．217+C ．125+D ．425+【答案】A【解析】以,a b r r 所在的直线为横轴纵轴，分类讨论当{}||,||{1,2}a b =r r 时，设出,,a b c r r r的坐标，最后利用圆的几何意义求出||a b c++rr r的最大值，其他情况同理，最后比较出最大值即可.【详解】解析：以,abrr所在的直线为横轴纵轴，当{}||,||{1,2}a b=rr时，不妨设||1,||2(1,0),(0,2)a b a b==∴==r rr r，设(,)c x y=r因为4c=r，所以2216x y+=，22(1,2)||(1)(2)a b c x y a b c x y++=++∴++=+++r rr r r rQ，要想||a b c++rr r最大，说明圆2216x y+=的点到点(1,2)--的距离最大，根据圆的几何意义可知：a b c++r r r的最大值45+，通过计算可知：当||2,||1a b==rr也是一样的，同理可以计算求出当1c=r，a b c++r r r的最大值125+，当2c=r，a b c++r r r的最大值2+17所以a b c++r r r的最大值45+.故选：A.【点睛】本题考查了求平面向量模最大值问题，考查了利用圆的几何性质求解最值问题，考查了建模思想.二、填空题13．若实数,x y满足10220220x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则32z x y=+的最大值为______.【答案】6【解析】在直角坐标系内画出可行解域，然后平移直线32y x=-，找到直线在可行解域内当在纵轴上的截距最大时所经过的点，求出点的坐标，代入目标函数即可求出最大值.【详解】画出可行域，由图可知目标函数经过点(2,0)A时取得最大值6.【点睛】本题考查了求目标函数的最大值问题，考查了数形结合思想，正确画出可行解域是解题的关键. 14．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,20k k d S S +=-=，则k =______. 【答案】4【解析】根据等差数列的前n 项和公式，结合已知的等式可以求出k 的值. 【详解】解析：因为{}n a 是等差数列，所以2(1)122n n n S n n -=⨯+⨯=，由22(2)20k k +-=解得4k =. 故答案为：4 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.15．已知函数2,01()1,1x x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则实数a 的取值范围为______. 【答案】514a <<【解析】要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a =-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点1,1（）以下（不含过该点的直线），利用方程的思想最后求出实数a 的取值范围. 【详解】解析：要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a =-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点1,1（）以下（不含过该点的直线），当直线14y x a =-+与1y x =相切时，即11+4x a x =-，所以211+4x ax =-,所以=0∆，所以1a =，（1-舍去），当直线14y x a =-+过点1,1（）时，54a =，所以514a <<.【点睛】本题考查了方程有实根求参数的取值范围，考查了推理认证能力，考查了数学运算能力.16．已知四棱锥P ABCD -7，侧棱长均为5，O 为侧面PCD V 的内心，则四棱锥O ABCD -的体积为______.97【解析】根据题意利用勾股定理可以求出正方形的边长，通过角平分线的性质，结合三棱锥的体积公式可以求出O ABCD -的体积. 【详解】解析：由题意可得，底面ABCD 的边长为6，在△PCD 中，作PE CD ⊥于E ,通过角平分线的性质，53PC PO CE OE ==,所以38OE PE =,所以3978O ABCD P ABCD V V --==97【点睛】本题考查了求三棱锥的体积，考查了角平分线的性质，考查了数学运算能力.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为,,,cos 23cos()1a b c C A B ++=. (1)求角C ；(2)若2c =，求ABC V 面积的最大值. 【答案】(1)23π (2)33【解析】(1)利用二倍角的余弦公式、三角形内角和定理、对已知听等式进行化简，最后通过解方程可以得到角C 的余弦值，结合三角形的性质求出；(2)利用余弦定理、重要不等式、三角形面积公式可以求出ABC V 面积的最大值. 【详解】解：(1)由cos23cos()1C A B ++=，可得22cos 3cos 20C C --=，(cos 2)(2cos 1)0C C -+=，因为cos 2C ≠，所以1cos 2C =-，23C π=. (2)由2222cos c a b ab C =+-，得224a b ab ++=，2242ab a b ab -=+≥，43ab ≤， 所以11433sin 223S ab C =≤⨯=， 当33a b ==时，△ABC 3【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了余弦定理和重要不等式，考查了三角形面积公式.18．某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表： 乘坐站数x 100≤<x2010≤<x2030x <≤票价（元） 369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，13． （Ⅰ）求甲、乙两人付费相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)13(2) ()E X =514【解析】试题分析：(1) 由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为14，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为13，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙两人付费相同的概率； (2) 由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18.求得相应的概率值，即可得到X 的分布列和数学期望. 试题解析：（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424--=， 乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333--=， 设“甲、乙两人付费相同”为事件A ，则()11114343P A =⨯+⨯ 111233+⨯=， 所以甲、乙两人付费相同的概率是13.（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18.()11164312P X ==⨯=，()11943P X ==⨯ 111436+⨯=，()11112432P X ==⨯+ 11113433⨯+⨯=，()11112432P X ==⨯+ 1134⨯=，()11118236P X ==⨯=.因此X 的分布列如下：X69121518P11216131416所以X 的数学期望()1169126E X =⨯+⨯ 11121534+⨯+⨯ 1511864+⨯=. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.19．如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =.(1)求证：平面PAD ⊥平面PBC ；(2)当三棱锥P ABC -体积最大时，求平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)3 【解析】(1)利用面面垂直的性质定理可以得到线面垂直，然后得到线线垂直，再由已知的线面垂直得到线线垂直，利用线面垂直的判断定理得到线面垂直，最后利用面面垂直的判定定理证明出面面垂直； (2)通过三棱锥的体积公式，由等积法可以得到：求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⋅的最大值．设出两个线段的长，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积公式可以求出平面APC 与平面BCQ 所成二面角的余弦值，最后利用同角的三角函数关系式中的平方和关系求出平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值.【详解】(1)证明：因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ I 平面ABCD AB =， 四边形ABCD正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面APBQ ，又因为AP ⊂平面APBQ ，所以⊥AP BC ， 因为BG ⊥平面APC ，AP ⊂平面PAC ， 所以AP BG ⊥，因为BC BG B =I ，,BC BG ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ， 因为AP ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面PBC ．(2)解：111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⋅的最大值． 令PA m =，PB n =， 由(1)知，PA PB ⊥，所以224m n +=，当且仅当2m n == 即2PA PB ==时，max22112(2)333P ABC n V m m n -+=≤⋅=， 以AB 中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则(0,1,0)A-，(0,1,0)B，(0,1,2)C，(1,0,0)P设()1,,n x y z=r为平面APC的一个法向量，则11220n AP x yn BP x z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u v u u u vu v u u u v，可取1x=，则()11,1,1=-u u rn，因为四边形APBQ为平行四边形，APB∆为等腰直角三角形，所以四边形APBQ为正方形，取平面BCQ的一个法向量为()21,1,0n BP==-u u r u u u r，所以1212126os,cn nn nn n>⋅<==⋅u u r u u ru u r u u ru u r u u r，所以12,3sin n n<=>u u r u u r，即平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值为33.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理，考查了利用空间向量数量积求二面角问题，考查了三棱锥的体积公式，考查了推理认证能力和数学运算能力.20．过点(0,2）的直线l与抛物线2:2(0)C x py p=>交于A，B两点，且OA OB⊥(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)在y轴上是否存在定点M，使得OMA OMB∠=∠？并说明理由.【答案】(1)22x y=；(2)存在,理由见解析【解析】(1)设出直线l的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合OA OB⊥可以求出抛物线的方程；(2)假设存在，根据二个角相等可以转化为两条直线的斜率互为相反数，根据斜率的公式，结合根与系数的关系可以求出在y 轴上存在定点M ，使得OMA OMB ∠=∠. 【详解】解：(1)设直线l ：2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则联立222y kx x py=+⎧⎨=⎩得2240x pkx p --=，则1212=2=4x x pk x x p+⎧⎨-⎩，所以()()()212121212=22+244y y kx kx k x x k x x ++=++=，所以1212440OA OB OA OB x x y y p ⊥⇔⋅=+=-+=u u u r u u u r，1p =，所以抛物线C 的方程为22x y =．(2)假设存在满足条件的点()0,M t ,设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由（1）知1212=2=4x x kx x +⎧⎨-⎩，若OMA OMB ∠=∠，则0MA MB k k +=，()()()()122112211212121222y t x y t x kx t x kx t x y t y t x x x x x x -+-+-++---+== ()()()()121212228222042kx x t x x k t kt kx x +-+-+-+====-，所以存在()0,2M -满足条件．【点睛】本题考查了求抛物线的标准方程，考查了利用直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的应用，考查了抛物线中定点问题，考查了数学运算能力. 21．已知函数()ln f x x x =-. (1)求()f x 的最小值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，22211111123m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，求m 的最小值. 【答案】(1)1；(2)2.【解析】(1)对函数进行求导，判断函数的单调性，最后求出最小值； (2) 由(1)可得，()ln 1f x x x =-≥即ln 1x x ≤-，对此可以对21ln 1k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行放缩，最后利用裂项相消法求出m 的最小值. 【详解】解：(1)11()1x f x x x'-=-=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,1单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞单调递增； 故()(1)1f x f ≥=，故()f x 的最小值为1. (2)由(1)可得，()ln 1f x x x =-≥即ln 1x x ≤-，所以对任意k ∈N*，有222114422ln 14(21)(21)2121k kk k k k k ⎛⎫+≤=<=- ⎪-+-+⎝⎭，则222111222222ln 1ln 1ln 12335572121n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，即222111222ln 1ln 1ln 1233213n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<-< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，因为2e 8<所以2<ln23， 所以222111ln 111ln 223n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，所以222111111223n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．又因为2222111111111232n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+≥+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，故对任意正整数n ，22211111123m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的整数m 的最小值为2． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性并求最小值问题，考查了通过放缩法求不等式恒成立时参数的取值问题.22．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数，0απ<<)，抛物线C 的普通方程为22y x =.(1)求抛物线C 的准线的极坐标方程；(2)设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的最小值及此时α的值. 【答案】(1)1cos 2ρθ=-； (2)当且仅当2πα=时，AB 取得最小值2【解析】(1)利用极坐标与直角坐标转化公式求出抛物线C 的准线的极坐标方程；(2) 将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程中，利用参数的意义结合一元二次方程根与系数的关系求出||AB 的最小值及此时α的值. 【详解】解:(1)依题意可得，抛物线C 的准线的普通方程为12x =-，化为极坐标方程即是1cos 2ρθ=-. (2)将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程22y x =，化简整理得， 22sin 2cos 10t t αα--=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ,则有1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=-， 所以212121222()4sin AB t t t t t t α=-=+-=，因为0απ<<，所以，20sin 1α<≤，222sin α≥，即2AB ≥， 当且仅当2πα=时，AB 取得最小值2.【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了利用参数的意义求弦长问题，考查了数学运算能力. 23．已知()|4||8|f x ax ax =--+. (1)当2a =时，解不等式()2f x <； (2)求()f x 的最大值【答案】(1)32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；(2)12【解析】(1)利用零点法化简函数的解析式，然后分类求解即可； (2)利用绝对值的性质可以直接求解出函数的最大值. 【详解】解(1)当2a =时,12(4)()44(42)12(2)x f x x x x <-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩当4x <-时，不等式不成立；当42x -≤≤时，解得322x -<≤； 当2x >时，不等式恒成立.综上，不等式()2f x <的解集为32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.(2)因为()48f x ax ax =--+(4)(8)12ax ax ≤--+=,当且仅当80ax +≤时取到等号，所以()f x 的最大值为12. 【点睛】本题考查了利用零点法解绝对值不等式，考查了利用绝对值的性质求函数的最大值问题，考查了数学运算能力.。
云南省昆明市2020届高三教学质量检测数学（理）试题
昆明市2020届“三诊一模”高三复习教学质量检测理科数学一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则A B =（ ）A. {}3,2--B. {}2,3C.{}3,2,3-- D.{}3,2,2,3--【答案】C 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{﹣3，﹣2，3}. 故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2.已知复数z 满足()125i z i +=，则z =（ ） A. 2i + B. 2i -C. 2i -+D. 2i --【答案】A 【解析】 【分析】通过分母实数化，求出z 即可. 【详解】解：∵z 满足（1+2i ）z ＝5i ， ∴z ＝512i i+＝5(12)(12)(12)i i i i -+-＝2+i . 故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若11a =，322a a =+，n S 为其前n 项的和，则63S S =（ ）A. 6B. 9C. 12D. 15【答案】B 【解析】 【分析】先由11a =，322a a =+求出公比q ，再利用前n 项的和公式求出结果. 【详解】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则 q ＞0. ∵a 1＝1，a 3＝a 2+2， ∴q 2＝q +2⇒q ＝2.∴63S S ＝6311q q--＝1+q 3＝9， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题. 4.若夹角为120︒的向量a 与b 满足2a b b +==，则a =（ ）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量数量积的应用，把2a b +=两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论.【详解】解：∵2a b +=， ∴2224a a b b +⋅+=， 即24cos12044a a ++=， 则2a =，或0a =（舍）， 故选：B.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题. 5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.67π B. πC.76π D. 2π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图还原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解. 【详解】解：由三视图还原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1， 上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1， 则该几何体的体积为2313471213836πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题. 6.执行如图所示的程序框图，则输出的T =（ ）A.32B.127C.53D.85【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】解：模拟程序的运行，可得 k ＝1，S ＝0，T ＝0，S ＝1满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝1，k ＝2，S ＝3满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝43，k ＝3，S ＝6 满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝32，k ＝4，S ＝10满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝85，k ＝5，S ＝15 此时，不满足条件S ＜15，退出循环，输出T 的值为85. 故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.7.已知圆C ：()()22211x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为2的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则MN =（ ）A.52B.5 C.54D.5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求. 【详解】解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ， 由题意可得，M （1﹣r ，0）， 设直线l 的方程为y ＝2（x +r ﹣1）， 联立2222(1)(1)y x r x y r=+-⎧⎨-+=⎩，得5x 2+（8r ﹣10）x +3r 2﹣8r +4＝0.由x M +x N ＝1﹣r +x N ＝1085r -，得x N ＝535r-. 由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r +x N ＝0，即r ＝54. ∴M （﹣14，0），N （14，1）， 则|MN |＝2211144⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5. 故选：B.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题.8.若直线y x =与曲线ln y x ax =+相切，则a =（ ） A.1eB. 1e-C.11e- D. 11e-【答案】D 【解析】 【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于1，然后结合ln x ax x +=，即可求出a 的值. 【详解】解：设切点为（x ，y ）， 由题意1y a x'=+. ∴ln 11x ax xa x+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11a e =-.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的两个条件列方程组是本题的总体思路.属于基础题.9.抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ） A. 210x y --= B. 220x y +-= C. 210x y +-= D. 220x y --=【答案】A 【解析】 【分析】由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线24y x =焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （−1，4），从而得到直线PF 的斜率为−2，又PF AB ⊥，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程. 【详解】解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，∴点P （﹣1，4）， ∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2， 又∵PF ⊥AB ， ∴直线AB 的斜率为12， ∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0， 故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.10.已知函数()33f x x x =+，若对任意[]1,1t ∈-不等式()()220f t m f t -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1m B. 12m ≤-C. 14m ≤-D. 18m ≤-【答案】D 【解析】 【分析】函数()33f x x x =+，判断其奇偶性.不等式()()220f t m f t -+≥，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出. 【详解】解：函数()33f x x x =+，f （﹣x ）＝﹣x 3﹣3x ＝﹣f （x ），∴函数f （x ）为R 上的奇函数. f ′（x ）＝3x 2+3＞0，∴函数f （x ）为R 上的增函数.不等式f （2t 2﹣m ）+f （t ）≥0，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ）， ∴2t 2﹣m ≥﹣t ，化为：m ≤2t 2+t ，t ∈[﹣1，1].令g （t ）＝2t 2+t ＝2214t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭﹣18，t ∈[﹣1，1].∴t ＝﹣14时，函数g （t ）取得最小值，g （﹣14）＝﹣18. 则实数m 的取值范围是m ≤﹣18.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111D C B A ，若底面ABCD 与截面1111D C B A 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. 20π B.203π C. 4π D.43π 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面P AC 是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O ，在两个直角三角形△OAM ，△A 1ON 利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R ，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥P ﹣ABCD ，所以底面是正方形，结合高为2，AB = 设底面对角线交点为M ，所以AC ＝4，AM ＝2，故PM ＝AM ＝CM ＝2， 所以△P AC 是等腰直角三角形.因为截面A 1B 1C 1D 1过PM 的中点N ，所以N 为截面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，且PM ⊥截面A 1B 1C 1D 1.∴PN ＝MN ＝A 1N ＝1，设球心为O ，球的半径为R ，则A 1O ＝AO ＝R .在直角三角形A 1ON 中，ON ==，∴11OM ON =-=-在直角三角形AOM 中，OA 2＝AM 2+OM 2，即224(1R =+， 解得R 2＝5，故S ＝4πR 2＝20π. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R 的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.12.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在OCD 区域种荷花，在OBD 区域修建水上项目.若AOC COD ∠=∠，且使四边形OCDB 面积最大，则cos AOC ∠=（ ）A.171- B.331- C. 171- D.331- 【答案】B 【解析】 【分析】设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π），利用三角形面积公式可得S ＝1(sin 2sin )2θθ+，利用导数结合复合函数的单调性求最值，即可得到使四边形OCDB 面积最大时cos ∠AOC 的值. 【详解】解：设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π）， ∵OC ＝OB ＝OD ＝1， ∴四边形OCDB 面积S ＝1111sin 11sin(2)22θπθ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-＝1(sin 2sin )2θθ+.则1(2cos 2cos )2S θθ'=+＝()214cos cos 22θθ+-. 由S ′＝0，得4cos 2θ+cos θ﹣2＝0，可得01cos 8θ=又cos θ在（0，2π）上单调递减，∴当θ∈（0， 0θ），即cos θ∈（18，1）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递减，当θ∈（0θ，2π），即cos θ∈（0，18）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递增，∴当cos ∠AOC OCDB 的面积最大. 故选：B.【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数模型的选择及其应用，训练了利用导数求最值，是中档题.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.能说明命题“x R ∀∈且0x ≠，12x x+≥”是假命题的x 的值可以是_______.（写出一个即可）【答案】-1（任意负数均可） 【解析】 【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可.例如x ＝－1 ，带入.【详解】解：当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =取等号， 当0x <时，12x x+≤-，当且仅当1x =-取等号， ∴只需x 取值为负数，即可例如x ＝－1时12x x+=-.故答案为：－1 （任意负数均可）.【点睛】本题考查全称命题的真假，基本不等式应用，属于基础题.14.已知F 是双曲线C ：()22210y x b b-=>的右焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若2OP b =，3POF π∠=，则C 的离心率为______.【答案】5 【解析】 【分析】设P 的坐标，求出OP ，OF 的坐标，由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅＝02x cb c⋅⋅，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率. 【详解】解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP ＝（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF ＝（c ，0）， 由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅＝02x c b c⋅⋅，可得x 0＝b ， y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：22b a﹣3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e ＝22c a＝222a ba +＝5，故答案为：5.【点睛】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题.15.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点，共有36C 种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过P 点的概率为______.【答案】35【解析】 【分析】共有n ＝36C ＝20种不同的路线，其中该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种，由此能求出该质点经过p 点的概率.【详解】解：一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点， 共有n ＝36C ＝20种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种， 该质点经过p 点的概率为P ＝123205m n ==. 故答案为：35. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.16.定义域为R 的偶函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，给出下列四个结论： ①()1f x < ；②若()()120f x f x +=，则120x x +=； ③函数()f x 在()0,4内有且仅有3个零点；④若123x x x <<，且()()()123f x f x f x ==，则31x x -的最小值为4. 其中，正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称，又()f x 为偶函数，所以可推得()f x 的周期为4，又得()10f =，且当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.【详解】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称， 又()()11f x f x +=--，()()2f x f x ∴+=--，()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4，当0x =时，()()10100f f ++-=得()10f =， 又当[)0,1x ∈时，()sin2xf x π=，所以函数()f x 图象如图：由图知，()11f x -<<，()1f x ∴<，故①正确； 又()()120f f +=，从而可知②不正确；当()0,4x ∈时，()()()1230f f f ===，故③正确.④取x 1＝-1，x 2＝0，x 3＝1，则f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0，但x 3-x 1＝2＜4，即④错误. ∴正确的是①③. 故答案为：①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为等边三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为1CC 中点，12AA AB =，1AB 和1A B 交于点O .（1）证明：//OD 平面ABC ；（2）求AB 与平面1A BD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（225【解析】 【分析】（1）取AB 中点E ，先利用中位线的性质可证1//EO BB 且112EO BB =，再由已知条件可得111122CD CC BB ==且1//CD BB ，进而得到//EO CD ，则四边形EODC 为平行四边形，故//OD EC ，由此得证//OD 平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，求出直线A B 的方向向量以及平面1A BD 的法向量，利用向量的夹角夹角公式即可得到所求正弦值.【详解】解：（1）取AB 中点E ，连结CE 、OE ， 在四边形EODC 中，E 为AB 中点，O 为1AB 中点，所以EO 为1ABB △中位线，故：1//EO BB 且112EO BB =， 因为D 为1CC中点，所以111122CD CC BB ==且1//CD BB ，所以//EO CD 且EO CD =，所以四边形EODC 为平行四边形， 所以//OD EC ，且EC ⊂平面ABC ， 所以//OD 平面ABC .（2）取BC 的中点F ，根据已知条件建立如图空间直角坐标系F xyz -， 设2AB =，则14AA =，则()1,0,0B ，()003A ,,，()10,4,3A ，()1,2,0D -， 所以()1,0,3BA =-，()2,2,0BD =-，()11,4,3BA =-， 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则10BD n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()1,1,3n =-， 设AB 与平面1A BD 所成角为θ，()()()()()2222221,0,31,1,3sin 103113BA n BA nθ-⋅-⋅==⋅-++++-255=.【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题.18.2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）.（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. （结论不要求证明）【答案】（1）0.5万亿元（2）910（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【解析】【分析】（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数.（2）设A表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率.（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大.【详解】解：（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为：0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6（单位：万亿元），所以年增加值的平均数为0.30.20.30.50.60.40.80.60.58+++++++≈万亿元.（2）设A表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两年，两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%”，依题意，()23259110C P A C =-=. （3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查折线图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.19.ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin sin B C A B B C +=+.（1）求A ；（2）从三个条件：①a =②b =③ABC求ABC 周长的取值范围. 【答案】（1）3A π=.（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得222b c a bc +=+，由余弦定理求出cos A ，结合A 的范围可得A 的值.（2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，正弦函数的图象和性质等知识即可求解.【详解】解：（1）因为222sin cos sin sin sin B C A B C +=+， 由正弦定理得222b c a bc +=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈， 所以3A π=.（2）选择①a =因为3A π=，a =由正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===， 即ABC的周长2sin 2sin l a b c B C =++=++22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-⎪⎝⎭3sin B B =6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5666B πππ<+<，1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 即ABC周长的取值范围是(.选择②b =因为3A π=，b =由正弦定理得32sin a B =，23cos 3sin 2sin B B c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，即ABC的周长33cos 3(1cos )2sin 2sin 22sin 2B B l a b c B B B +=++=++=+26cos224sincos 22B B B =+ 32tan2B=+,因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以023B π<<，所以0tan 2B << 即ABC 周长的取值范围是()+∞. 选择③ABCS .因为3A π=，1sin 24ABC S bc A bc ===△，得4bc =， 由余弦定理得22222()3()12a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-， 即ABC 的周长l a b c b c =++=+， 因为4b c +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以46l ≥=.即ABC 周长的取值范围是[)6,+∞.【点睛】本题考查三角形周长取值范围的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题. 20.已知函数()()()22ln 0f x ax a x a x=-+->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()ln g x f x a =-，若()g x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()12g x g x +的最小值. 【答案】（1）见解析（2）最小值为22ln 2e--. 【解析】 【分析】（1）求导，令'0fx得1x =或2x a=，接下来分02a <<，2a =及2a >讨论即可； （2）依题意，可得()()12(2)ln 2ln 2a g x g x a a +=+-，设()(2)ln 2ln 2xh x x x =+-，利用导数求()h x 的最小值即可得出答案.【详解】解：（1）()2'2222(2)2f a ax x a x x x a x+-++=-+=()2(1)(2)0x ax x x --=>， 因为0a >，由'0fx得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21a >，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得01x <<或2x a>， 所以，若02a <<，则()f x 在()0,1递增，在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；②若2a =，则21a，()()2'2210x f x x-=≥，()f x 在定义域()0,∞+递增； ③若2a >，则21a <，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得20x a<<或1x >， 所以，若2a >，则()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增. （2）由()()ln g x f x a =-得()()''g x f x =，由（1）知，()g x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =，22x a=， ()()112ln g x g a a ==--，()222(2)ln ln 2ag a a a a g x ⎛⎫==-++- ⎪⎝⎭，所以()()12(2)ln 2ln 2ag x g x a a +=+-， 设()(2)ln2ln 2xh x x x =+-， 则()(2)(ln ln 2)2ln h x x x x =+--，()'ln ln 21h x x =-+，由()'0h x <得20x e <<，()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减， 由()'0h x >得2x e >，()h x 在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 所以，0x >时，min 22()2ln 2h x h e e ⎛⎫==--⎪⎝⎭. 所以，当0a >且2a ≠时，()()12g x g x +的最小值为22ln 2e--. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.21.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，4MN =，D 为旋杆上的一点，且在M ，N 两点之间，且3ND MD =，当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为C .如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆C 的方程；（2）设1A ，2A 是椭圆C 的左､右顶点，点P 为直线6x =上的动点，直线1A P ，2A P 分别交椭圆于Q ，R 两点，求四边形12AQA R 面积的最大值.【答案】（1）2219x y +=（2）33【解析】【分析】（1）由MN 的值及3ND MD =，可得|MD |，|ND |的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设P 的坐标，进而求出直线1A P ，直线2A P 的方程，与椭圆联立分别求出Q ，R 的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P 的坐标.【详解】解：（1）由题得1MD =，3ND =，所以椭圆C 的长半轴长为3，短半轴长为1，故椭圆C 的方程为：2219x y +=. （2）由对称性可设点()6,P t ，其中0t >，则直线1A P 的方程为()39t y x =+，直线2A P 的方程为()33t y x =-.设()11,Q x y ，()22,R x y . 由2219(3)9x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消x 得()22960t y ty +-=，由于10A y =，则1269t y t =+由2219(3)3x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消x 得()22102t y ty ++=，由于20A y =，则2221t y t =-+. 所以四边形12AQA R 的面积为()()()211222222243162329191t t t t S A A y y t t t t +⎛⎫=⋅-=+= ⎪++++⎝⎭ ()()2222222432434343t t t t t t t t +==+++++. 由于0t >，23t m t +=≥，又4y m m =+在)⎡+∞⎣上是增函数，所以4y m m =+≥故244S m m =≤+当且仅当m =t =，四边形12AQA R的面积的最大值为【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4- 4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 极坐标方程； （2）设动点M 的极坐标为(),ρθ，射线OM 与直线l 相交于点A ，且满足4OA OM ⋅=，求点M 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）cos sin 2ρθρθ+=.（2）()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用极径的应用求出结果.【详解】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，所以l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=.（2）依题意可知，A 点的极坐标为4,θρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为A 在直线l 上，所以()4sin cos 2θθρ+=，所以点M 轨迹的极坐标方程为()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.[选修4--5：不等式选讲]23.已知()211f x x x =++-.（1）解不等式()4f x ≤；（2）设()f x 的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，证明：a b c ++≤【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）见解析 【解析】【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式()4f x ≤的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明.【详解】解：（1）因为()31,13,1131,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，所以不等式()4f x ≤等价于1314x x ≤-⎧⎨--≤⎩或1134x x -<<⎧⎨+≤⎩或1314x x ≥⎧⎨+≤⎩，解得513x -≤≤-或11x -<<或1x =. 所以不等式的解集为5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）可知，()f x 在(],1-∞-递减，在()1,-+∞递增，所以函数()f x 的最小值为()12f -=.所以2m =，即2222a b c ++=，根据柯西不等式得：()()2222222()1116a b c a b c ++≤++++=，故a b c ++【点睛】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.。
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云南省昆明一中2020届高三数学11月测试试卷（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则 （ ）A ．p 、q 中至少有一个为真B ．p 、q 中至少有一个为假C ．p 、q 中有且只有一个为真D ．p 为真，q 为假2．抛物线a y ax y 则的准线方程是,22=== （ ）A ．81 B ．81-C ．8D ．－83．（理）若复数1,2150100++-=Z Z i Z 则的值为（ ）A ．1B ．－1C ．i -D ．i （文）已知x x x 2tan ,54cos ),0,2(则=-∈π=（ ）A ．247B ．－247C ．724D ．－7244．若二项式nxx )2(-的展开式的第5项为常数项，则n 的值为 （ ）A ．6B ．10C ．12D ．15 5．函数)42cos(π+=x y 的图象的一条对称轴方程为（ ）A ．8π-=xB ．4π-=xC ．2π-=xD ．π-=x 6．直线21,l l 平行的一个充分不必要条件是（ ）A ．21,l l 平行于同一平面B ．21,l l 与平面α所成角相等C ．21l l 平行于所在平面D ．21,l l 垂直于同一平面7．设c b a x x c b a x x,,,1,log ,)23(,)32(321则若>===-的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<8．已知S ABC ABC ⋅===∆∆则中,3,1||,4||,= （ ）A ．2B ．－2C ．2±D ．4±9．（理）设=+-+-=++=++≠→→→acx bx abx cx c bn bn an b an a cn abc x x x n x n 23322lim ,43lim ,31lim ,0则 （ ）A ．4B ．41 C ．94 D ．49 （文）已知数列}{),(32,}{*2321n n n a N n n na a a a a 则数列中∈=++++Λ的通项公式为（ ）A ．12-=n a nB ．2)1(-=n n a n C ．nn a n 12-=D ．n a n =10．已知曲线)0(512≥=x x y 上一点M 处的切线与直线03=-+y x 垂线，则此切线方（ ）A ．0455=±+y xB ．0455=--y xC ．0455=+-y xD ．0455=±-y x11．某班新年联欢原定的6个节目，已排成节目单，开演前又增加3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 （ ）A ．504B ．210C ．336D ．12012．若不等式a x x a 则上恒成立在,21,00log 2⎥⎦⎤ ⎝⎛<-的取值范围是（ ） A ．1161<<a B ．1161<≤a C ．1610≤<a D ．1610<<a 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中的横线上。
13．已知点xxy x y x A 42,12),(+=+=则上运动在直线的最小值为 。
14．已知数列200821*12,1,2),(}{a a a N n a a a a n n n n 则满足==∈-=++= 。
15．以椭圆1169,116412222=-=+y x y x 且与双曲线的右焦点为圆心的渐近线相切的圆方程为 。
16．在平面几何中△ABC的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比BCACEB AE =把这个结 论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中（如图）DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是 。
三、解答题：本大题人6小题，共70分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）求函数)2)(cos 2(sin ++=x x y 的最大、最小值及其相应的x 的集合。
18．（本小题满分12分）一名学生每天骑自行车上学，途中要经过设红绿灯的4个路口，假设他在每个路口遇到红灯的概率都为41，且遇到红灯均是相互独立的。
（I ）求这中学生在途中3次遇到红灯的概率；（II ）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率； （III ）（只是理科做）设ξ是这名学生上学途中遇到红灯的次数，求.ξE19．（本小题满分12分）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=CB=AA 1=2，∠ACB=90°，E 是BB 1的中点，D 为AB 的中点。
（I）求证：DE⊥平面A1CD；（II）求二面角D—A1C—A的大小（用反三角表示）。
20．（本小题满分12分）（文）（本小题满分12分）已知正数数列)(,)1(41,}{*2NnaSSnannnn∈+=且项和为的前（I）求数列}{na的通项公式（写出推导过程）；（II）设.21:,}{,11<⋅=+nnnnnnTTnbaab求证项和为的前数列（理）直线l过抛物线)0(22>=ppxy的焦点，且与抛物线相交于),(),,(2211yxByxA两点。
（I）求证：4221pxx=⋅；（II）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线。
21．（本小题满分12分）（文）直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，且与抛物线相交于),(),,(2211y x B y x A 两点。
（I ）求证：4221p x x =⋅；（II ）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线。
（理）已知数列.01))(,(,1,}{*11上在直线且点中=+-∈=+y x n a a P a a n n n N（I ）若函数),2,(321)(321≥∈++++++++=n n a n na n a n a n n f n且N Λ求证：65)(≥n f ； （II ）设项和的前表示数列n b S a b n n nn }{,1=。
试问：是否存在关于n 的整式g (n )，使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++-Λ对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若不存在，试说明理由；若存在，写现g (n )的解析式，并加以证明。
22．（本小题满分12分）（文）已知.||)(,2a x x x f R a -=∈函数 （I ）当x x x f a 成立的求使时==)(,2的集合；（II ）当)(,2x f y a =≥求函数时在区间[1，2]上的最小值。
（理）已知函数x x x f sin )(-=证明：（1）或1)(0,10<<<<x f x 则；（2）若.61:),(),(10311*n n n n n a a a f a N n a <=∈<<++则且参考答案一、选择题1．C 2．B 3．（理）C （文）D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．（理）B （文）C 10．B 11．A 12．A 二、填空题13．22 14．－2 15．16)5(22=+-y x 16．BCDACDS S EB AE ∆∆= 三、解答题17．解：2)cos (sin 2cos sin +++=x x x x y23221)22(cos sin 2)cos (sin 221)cos (sin 22++=∴≤≤-+=+++-+=t t y t x x t x x x x 令 21)2(21++=t………………5分)}(432|{,2,21)(422242)4sin(2,cos sin 2,29,2)(4322242)4sin(2,cos sin 2,21,2min max min z k k x x x y z k k x k x x x x y t z k k x k x x x x y t ∈-=-=∴∈+=⇒+=+=++===∴∈-=⇒-=+-=++=-=-=∴ππππππππππππππ集合此时即此时当即此时当)}(42|{,2,29max z k k x x x y ∈+==ππ集合此时 ………………10分18．解：（1）设三次遇到红灯的概率为)1()2(,334411P P C P P P -==则64343)41(43=⨯⨯= ………………6分（2）至少遇到一次红灯的概率为)0(1,422P P P -=则256175256811)43(1)1(144004=-=-=--=P P C ………………12分（3）（理）1),,(~==nP E P n B ξξ19．（1）证明：∵AC=CB ，D 为AB 的中点 ∴CD ⊥AB又∵平面ABA 1B 1⊥平面ABC ∴CD ⊥平面ABA 1B 1∴CD ⊥DE又∵3,3,611===E A DE D A∴A 1D 2 + DE 2 = A 1E 2 ∴∠A 1DE = 90°即DE ⊥A 1D 又∵DE ∩A 1D = D ∴DE ⊥平面A 1CD………………6分（2）作DH ⊥AC 于H ，则H 为AC 中点作HM ⊥A 1C 于M ，连接MD ，则∠HMD 为二面角D —A 1C —A 平面角2tan 1,22=∠==HMD HD HM ∴二面角D —A 1C —A 平面角为：2arctan………………12分（或者利用向量法 33arccos ） 20．（文） （1）2)1(41+=n n a S …………（1） 211)1(41+=++n n a S …………（2） （2）－（1）：)22(411212----+=n n n n n a a a a a)2(200)2)((0221111212≥=-∴>=--+=---∴-----n a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n Θ}{n a ∴是公差为2的等差数列1)1(411211=∴+=a a S Θ 12-=∴n a n………………6分（2）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n21)1211(21)1211215131311(21<+-=+--++-+-=n n n T n Λ…………12分21．（文）（1）证明：当4,2,22121p x x p x x x l =∴==⊥轴时4)2(2)2(2)2()2(:,2222222>∆=++-∴=-∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴-=Θk p x p pk x k pxpx k px y p x k y p x k y l l 设斜率存在时当直线4221p x x =∴………………6分（2）设),2(),,2(22d pd D c p c C ， )0,2()4(22:22pF l pd c x p d c d c y l CD 过中垂线Θ+-+-=+-∴0)(0)421)((0)4211)(()42(220222222=+∴=+++∴=++-+∴+-+-=+-∴d c pd c d c p d c d c p d c p p d c d cl y l 与0:=∴不重合………………12分（理）解：.1,01))(,(1*1=-∴=+-∈++n n n n a a y x n a a P 上在直线点N Θ又}{,11n a a 数列∴=是以1为首项，1为公差的等差数列，n n a n =⋅-+=∴1)1(1………………2分（I ）n nn n n f 22211)(+++++=ΛΘ， 01322112*********)111111(21221)12111(21)()1(,22112213221)1(222>++-=+-=+-++=+++++++++->+++++++++-=-+∴+++++-+++++=+n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n f n f n n n n n n n n n f ΛΛΛ)(n f ∴是单调递增的，故654231)2()(=+=f n f 的最小值是， .65)(≥∴n f………………6分 （II ）)(11,131211,1*1N ∈+=-∴++++=∴=+n n S S n S n b n n n n ΛΘ假设存在关于n 的整式)(n g 满足要求，则有nn g S S S g g S S S S S g g S S ==-+=∴-=+=-=∴-=)(.31)3(),3()1(;21)2(),2()1(3213212121猜想下面用数学归纳法证明：n S S S S S n n ⋅-=++++-)1(1321Λ对于一切不小于2的自然数n 恒成立。