第十章 树
果树栽培学第十章果树设施栽培
3.风味：
• ①合适的温度条件下有利于果实糖分的积 累及提高糖酸比例。通常在20℃左右，果 实的含糖量最高。
• ②影响风味的因素还有水分、枝叶量等。
五、设施内光照与果树发育
• 1.设施内光照条件：光照不足。因被覆材料的影 响，设施内的光照强度要比外界低。设施栽培是 在光照不足条件下的栽培。
第十章 果树设施栽培
• 一、设施栽培的概念 • 设施栽培就是利用一些材料设施改变局部环境条
件，使单位面积的产量、品质和效益大幅度提高 的栽培方式。 • 二、设施栽培的潜力和应用前景 • 1.促成栽培：物候期提前；改变生育期和成熟期； 调节市场避免气象灾害： • 5.改变果实成熟期：
• 2.对果树发育的影响：光照不足，光合积累就少， 导致向果实等部位输送的同化营养不足。容易造 成枝叶生长不充实、成花数量少、生理落果增加、 果实着色不良、含糖量低。
• 3.改善措施：根据不同树种品种、产地、生长发 育时期和栽培目的等来进行被覆材料的覆盖和解 除工作。
六、设施内空气湿度和土壤水分与果树发育
2.柑橘秋冬季花芽分化(常绿果树)：
• ①花芽生理分化（花诱导）完成后，设施加温使树体恢复 生长才能开花；
• ②柑橘只有在枝梢停止生长后才能从营养生长向生殖生长 转化：枝梢停长需较低温度（20℃以下），而对于常绿果 树，秋季枝梢停止生长就意味着相对休眠期的到来。如提 前降低设施内温度或培养柑橘的早秋梢，都可使枝梢提前 停止生长，从而提前花芽分化。
2.土壤水分：
• ①不同树种果实发育的水分代谢机理不同，表现 在需水时期不同：葡萄在幼果期（种子硬化期 前）；而苹果、梨、柑橘、桃等大多数果树，果 实的膨大主要在果实的最后迅速生长期完成，在 细胞分裂期对水分亏缺有较强的忍受能力。
第10章 决策树
的算法，其剪枝的方法也不尽相同。常用的剪枝方法有预剪枝和后剪枝两种。例如CHILD和C5.0采用预剪枝，CART则采用后
剪枝。
（1）预剪枝：是指在构建决策树之前，先指定好生长停止准则(例如指定某个评估参数的阈值)，此做法适合应用于大规模
和CART几乎同时被提出，但都采用类似的方法从训练样本中学习决策树。
决策树算法
算法描述
ID3算法
其核心是在决策树的各级分裂节点上，使用信息增益作为分裂变量的选择标准，来帮助确定生成每个节点时所
应采用的合适自变量
C4.5算法
C4.5决策树算法相对于ID3算法的重要改进是使用信息增益率来选择节点属性。C4.5算法可以克服ID3算法存在
示自变量A的信息熵。
C5.0算法是由计算机科学家J.Ross Quinlan为改进他之前的算法C4.5开发的新版本。该算法增强了对大量数据的处理能力，
并加入了Boosting以提高模型准确率。尽管Quinlan将C5.0算法销售给商业用户，但是该算法的一个单线程版本的源代码
是公开的，因此可以编写成程序，R中就有相应的包实现C5.0算法。
用log函数。可见，发生的概率p越大，其不确定性越低。
考虑到信源的所有可能发生的事件，假设其概率为{1 , 2 , … , }，则可以计算其平均值（数学期望），该值被称为信息熵或者经验熵。假设S是s
个数据样本的集合，假定离散变量有m个不同的水平： ( = 1,2, … , )，假设 是类 中的样本数。对一个给定的样本，它总的信息熵为：
CART算法正好适用于连续型特征。CART算法使用二元切分法来处理连续型变量。而使用二元切分法则易于对树构建过程进行调整。
林木育种学：第九章-林木抗逆性育种-第十章-木材品质遗传改良
一、抗逆性育种的基本意义与方法
2、逆境的种类
3、抗逆性育种的方法
二、抗旱性育种
树木是多年生植物，具有生 命周期和年周期两个生长发 育周期，对干旱的抵抗能力 主要通过忍耐干旱和提高水 分利用效率来实现。
1、抗旱性的含义
逃避干旱
生长在干燥地区的一年生植物， 雨季来临时种子即发芽、生长， 在数星期内开花、结果，在干季 来临前种子已成熟，而以种子度 过干季，逃避旱季的危害。
寡基因抗病性：由少数基因控制的抗病性，其作用 方式分为基因独立遗传、复等位基因和基因连锁遗 传；
树木抗病性分类（遗传方式）
多基因抗病性：由众多微效基因控制的抗病性。
七、抗虫性育种
林木的抗虫性：是树木与昆虫 协同进化过程中形成的一种可 以遗传的特性，它使树木不受 虫害或受害较轻。
1、林木对虫害的防卫反应
抗病性测定的指标
发病率：指包括叶、果、梢，乃至整株的发病 率。系统性病害用发病率表示，局部性病害用 病情指数统计；
潜育期：与寄主抗病性成正比； 过敏反应； 病斑扩展速度。
3、抗虫性测定
林木生长周期长，抗虫鉴定所需时间长。人工接虫能 够早期测定林木的抗虫性，有助于缩短育种周期。
人工接虫材料有卵、幼虫和成虫，成虫雌雄比例要恰 当。
间接测定：主要根据林木抗虫性引起害虫产生一系 列异常的行为和生理上的反应的程度，来估测抗虫 性的强弱。通过测定各虫态害虫死亡率、幼虫生长 量（平均体重）、幼虫发育进度（进入各虫龄的数 量）、产卵率等来评价其抗虫性。
间接测定
九、林木抗逆育种途径与策略
（一）选择育种
2、抗旱性
3、耐盐性
4、抗病性
抗虫性个体选择
（二）杂交育种
1、抗寒性
《算法导论》读书笔记之第10章 基本数据结构之二叉树
《算法导论》读书笔记之第10章基本数据结构之二叉树摘要书中第10章10.4小节介绍了有根树，简单介绍了二叉树和分支数目无限制的有根树的存储结构，而没有关于二叉树的遍历过程。
为此对二叉树做个简单的总结，介绍一下二叉树基本概念、性质、二叉树的存储结构和遍历过程，主要包括先根遍历、中根遍历、后根遍历和层次遍历。
1、二叉树的定义二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，每个节点至多有两棵子树，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
由定义可知，二叉树中不存在度（结点拥有的子树数目）大于2的节点。
二叉树形状如下下图所示：2、二叉树的性质（1）在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1)。
备注:^表示此方（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点（k>=1)。
（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数目为n0，度为2的节点数目为n2，则n0=n2+1。
满二叉树：深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。
即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。
完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。
可以得到一般结论：满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树，满二叉树肯定是完全二叉树，但完全二叉树不不一定是满二叉树。
举例如下图是所示：（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n + 1。
3、二叉树的存储结构可以采用顺序存储数组和链式存储二叉链表两种方法来存储二叉树。
经常使用的二叉链表方法，因为其非常灵活，方便二叉树的操作。
二叉树的二叉链表存储结构如下所示：1 typedef struct binary_tree_node2 {3 int elem;4 struct binary_tree_node *left;5 struct binary_tree_node *right;6 }binary_tree_node,*binary_tree;举例说明二叉链表存储过程，如下图所示：从图中可以看出：在还有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域。
10第十章 森林抚育间伐Y
mechanical strip thinning
机械抚育
mechanical strip thinning
Mechanical thinning of 21 year old sycamore plantation
第二节
二、生长抚育 3.生长抚育强度
森林抚育采伐方法
总体上：伐除总株数的15％~35％，伐后郁闭度不低于
（生物地球化学循环模块）
2、Fire and Fuels （林火管理模块） 3、病虫害管理模块等
（四）应用案例Ⅰ：定向培育模拟
措施1：透光伐，采伐下层非目的树种
当前林分组成：
Red Oak （红 栎），White Pine（白松）
White Spruce（白云 杉）， Balsam Fir （冷杉）
第二节
一、透光抚育采伐 4.起始期、间隔期
森林抚育采伐方法
起始期：幼林郁闭后，目的树种受到非目的树种、灌木、 杂草压制时。 时间：夏初 次数与间隔期：每2～3年或3～5年1次或2次。
第二节
二、生长抚育 1.生长抚育对象
森林抚育采伐方法
郁闭度0.8以上，林木分化明显，过度整枝，直径生长
2.透光抚育方法 ① 按照作业尺度分 全面抚育：在需要透光伐的幼龄林,全面伐除有碍保留木 生长的乔灌木、藤蔓和草本植物 带状抚育：用于天然更新的针阔叶混交林,保留带3~4 m, 抚育带1.0~2.0 m,仅在抚育带内进行透光伐 团状抚育：用于群团状更新的天然幼龄林，在稠密的树 丛中进行抚育采伐 ② 按照作业方法分 人工抚育、化学抚育
第一节 森林抚育采伐的种类
第二节 森林抚育采伐方法
第一节
一、基本概念-1
森林抚育采伐的种类
第十章树与有序树
例5
用带4个插座的接线板，连接 个灯到一个总插座上 用带 个插座的接线板，连接19个灯到一个总插座上 个插座的接线板 问至少需要多少块接线板。 ，问至少需要多少块接线板。 解：任何一个连接方法都是一棵4－分树， 任何一个连接方法都是一棵 －分树， 按定理9中公式，有 按定理 中公式， 中公式 (4-1)i ≥19－1, － 所以 i≥6
a b d e i m n f j c g k h l
有序树
定义2 一棵根树，若每一个分枝点出发的边， 定义 一棵根树，若每一个分枝点出发的边， 分别标以整数1， ， 分别标以整数 ，2，⋯ ，k 。 则称这样的根树为有序树。 则称这样的根树为有序树。 例
主语 冠词
The
句子 谓语 名词
elephant ate the peanut
高为h的正则 －分树， 高为 的正则m－分树， 的正则 最多有m 片树叶，而至少有m+(m-1)(h-1)片树叶。 片树叶。 最多有 h片树叶，而至少有 片树叶
例 求证一棵正则 －分树必有奇数个顶点。 一棵正则2－分树必有奇数个顶点。 一棵正则
证明: 假设一棵正则2－ 个分枝点、 个树叶。 证明 假设一棵正则 －分树有 i个分枝点、t个树叶。 个分枝点 个树叶 个儿子， 每个分枝点有 2个儿子，故总的儿子数目为 2i 。 个儿子 而所有的儿子包括全部顶点减去一个根， 而所有的儿子包括全部顶点减去一个根，所以 有： 2i=i+t-1 即为 i=t-1。 。 从而全部顶点数目为 i+t=(t-1)+t=2t-1 显然, 它是一个奇数，结论得证明。 显然 它是一个奇数，结论得证明。
d a
b e i m n
子树
是一棵根树。 设T=(V,E)是一棵根树。 是一棵根树 v0∊V，v0是 中一个分支点 ， 是 中一个分支点, 所谓以 为根的子树是指T的 为根的子树是指 所谓以v0为根的子树是指 的 一个子图T ， 以 和 的 一个子图 ’，T ’以v0和v0的 全部的后代为顶点，以从v0 全部的后代为顶点，以从 出发的所有通路经过的边为 边。 以v0的一个儿子为根的子树 的一个儿子为根的子树 的子树。 称为v0的子树 称为 的子树。
离散数学10 树
第十章 树10.1画出所有不同构的，有5个顶点的树。
解图10.1 习题1图10.2 证明：一棵树的顶点度数之和为)1 |(|2-V ，其中V 是顶点集。
证明一棵树的所有顶点的度数之和∑==ni iE v 1||2)deg(，因为树的1||||-=V E ，所以)1|(|2||2)deg(1-==∑=V E v ni i。
故一棵树的顶点度数之和为)1 |(|2-V 。
10.3 一棵树有3个2度顶点，5个3度顶点，8个4度顶点，问有几个一度顶点？解设树T 有n 个一度顶点，则∑)deg(v =)1853(21483523-+++=⨯+⨯+⨯+⨯n n ，从而有23=n 。
即该棵树有23个一度顶点。
10.4 一棵树2n 个顶点的度数为2，3n 个顶点的度数为3，…，k n 个顶点度数为k ，问有几个顶点度数为1个顶点。
解设有1n 个度数为1的顶点。
顶点数k n n n v +++=...21，边数1)...(121-+++=-=k n n n v e 。
由握手定理知：∑==-=ni i v v e 1)deg()1(22，故k n n n n n n k k ⨯++⨯+⨯=-+++...212) (22121)因此，2)2(...2431+-+++=k n k n n n10.5 证明：一棵树若有三片树叶，则至少有一个顶点度数大于等于3。
证明反证法。
设),(E V T =且没有一个顶点度数大于等于3，则对于V v ∈∀，有2)de g (≤v ，从而有：∑-+≤)3|(|23)deg(V v||21)1|(|2E V <--=与握手定理矛盾。
故至少有一个顶点度数大于等于3。
10.6 ),(E V T =是一棵树，证明：若T 仅有两个1度顶点，则T 是一条直线。
证明假设T 不是一条直线，因为T 仅有两个1度顶点，所以树中至少存在一个顶点，其度数3≥。
从而有：∑-++⨯≥)3|(|2312)deg(V v1)1|(|2+-=V 1||2+=E ||2E > 与握手定理矛盾。
第十章 抚育采伐的种类和技术要素
第十章抚育采伐的种类和技术要素第一节抚育采伐的种类由于森林的树种组成和年龄时期不同，抚育采伐有着不同的目的、任务，便产生了不同的抚育采伐种类。
依森林生长发育年龄时期--透光伐、除伐、疏伐、生长伐。
除此之外：卫生伐、解放伐。
卫生伐――去除枯立木、风倒木、机械损伤的濒死木，改善森林卫生状况，减少病虫害与火灾的发生。
解放伐――在幼龄中，除去上层过熟木，使幼林不被压而得到自由生长发育。
美国的分类方法：除伐、疏伐、自由伐、整理伐、废林伐一、透光伐--组成抚育在天然混交林Ⅰ龄林前半期中进行，林冠尚未完全郁闭，或已经郁闭。
林木幼小而感到密集受光不足。
对象：砍除藤本、灌木和杂草类强度：小（因为林木尚未完全稳定，逐次疏开，不要形成空地）任务：保证优良的组成和稳定的环境，为今后成林奠定很好的基础。
时间：夏季（便于识别树种，保护幼树；冬季落叶、冬季林木枝干硬脆易被折伤。
二除伐--组成抚育在Ⅰ龄林后半期中进行，在透光伐之后。
实质：在混交林中为了保证目的树种组成而进行，伐去主要树种中的劣质木、落后木。
除伐和透光伐常放在同一概念中讨论，它们的区别在于：除伐：次要树种压抑目的树种，尤其自由竞争次要树种有可能排挤主树种。
因而要人为的砍伐次要树种，使目的树种稳定成林。
它是应用于混交树种其他类同于透光伐。
一般这两种经济收入不抵支出。
三疏伐--干形抚育上述两种进行后，林木组成基本确定。
Ⅱ龄期（干材林）解决立木之间竞争矛盾。
任务：保证优良个体不被淘汰，将不良植株予以砍除；用调节密度的方法，使不同年龄阶段的林木享有适宜的营养面积，以促进留存木的生长。
（四）生长伐――为培育大径木Ⅲ、Ⅳ龄期进行，继续疏开林分，促使林木加速工艺成熟，缩短主伐年龄。
有时为促进立木结实，将来实施天然更新。
1978年国家林业总局颁发《国有林抚育间伐、低产林改造技术试行规定》包括透光抚育、生长抚育。
1987年9月国家林业总局发布《森林采伐更新管理办法》幼龄林、中龄林的抚育采伐，包括透光抚育、生长抚育（用于纯林）综合抚育（用于混交林）第二节抚育采伐的方法一、透光抚育－－透光伐保留木比较明确，抚育方法比较简单。
《离散数学课件》5树
W(T)等于所有分支点的权之和
36
实例
例 求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树. 解题过程由下图给出，W(T)=38
7，4，5 4，3，4，5 2，2，3，4，5 7，9
37
小结
树与有序树
（ m=n1）
无向树及生成树
基本回路与基本回路系统 基本割集与基本割集系统 最小生成树
根树及其应用
23/60
例 求最小生成树
5 1 5 3 6 6 5 1 5 3 6 4 6 6 5 2 3 5 6 4 5 5 1 5 2 5 5 2 5
4
24/60
普里姆(Prim)算法
设置一个集合T，开始图上任选一点u0加入T，图顶点数 为n。重复以下工作n-1次:
• 在满足uT,vT的所有边中选边权w最小的 • 将v加入集合T中 • 输出边u ,v及边上的权 w
6
无向树的性质(续)
定理2 设T 是 n 阶非平凡的无向树，则T中至少 有两片树叶. 证 设T有x片树叶，由握手定理及定理1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x2.
7
例1 已知一棵树有5个4度顶点，3个3度顶点， 3个2度顶点，问有几个一度顶点？
(a)
(b) 只讨论(b)这样的所谓的“根 树”——有一个根的树。
28/53
根树
设T=(V,E)是一棵有向树，若仅有一个顶点的入度为0， 其余的顶点的入度均为1，这样一棵有向树我们称为 根树。 入度为0的顶点称为树根， 出度为0的顶点称为树叶， 出度不为0的顶点称为分枝点。 例
c d e a b d
有序树: 将根树同层上的顶点规定次序 r元树:根树的每个分支点至多有r个儿子 r元正则树: 根树的每个分支点恰有r个儿子 r元有序树: 有序的r元树 r元正则有序树: 有序的r元正则树
树种选择
第十章树种选择树种选择是工人林营造中最重要的一项基本工作，是造林技术系统中非常重要的一项技术措施。
树种选择适当与否是造林工作成败的关键之一，它关系到造林的成活率、保存率、人工林的稳定性、成林成材年限，是否符合造合造林目的，能否充分利用和发挥林地生产力以及其它目的效益的发挥。
第一节树种选择原则（板书）一、树种选择原则（板书）从大的方面说有两个原则：1．生物学原则（板书）选择的树种的生物学特性应尽可能地与造林地的立地条件相适应，即适地适树，这样才能使树种的生长潜力得到有效发挥。
2．经济学原则（板书）选择的树种的各项性状（经济性状和效益性状）应尽可能地满足造林目的的要求，即生产木材、防护、美化环境等，即树种选择定向原则。
除些之外，还应考虑以下原则（1）种苗来源：首选对象是乡土树种，因为乡土树种是在树种自然分布区内，分布最普遍、生长最正常的树种，是长期历史适应该地区条件而发展起来的树种，适应性强、生长相对稳定、抗性强、繁殖容易。
当然若乡土树种满足不了培育目的要求时，需选用外来树种，这时须经过引种试验、培育试验，而后进行大面积培育。
新品种的造林必须注意适应能力问题，不经过培育试验不能进行大面积造林，这一点切不可掉以轻心，以免造成大量的资金损失。
（2）多树种混交配置：树种选择还应注意树种资源的多样化，既要有主格调（主要树种），又要有较多植物种的有机合理配合，还应因地制宜地确定针叶树种和阔叶树种、乔灌木的比例，这些都应考虑在内。
（3）选择抗性强的树种：选择具有较好稳定性、抗病虫害能力强的树种。
所选树种形成的林分应长期稳定，经住一些极端气象灾害因子和毁灭性病虫害的侵袭。
（4）经营技术：如有的树种各方面性状很好，但种子和苗木来源有限，不可能大面积应用。
（5）造林成本：如有的树种可能有较好的效益（生长效果很好）但栽培费工、投资过大，经济效益不一定大，不一定成为选择的对象，所以在树种选择时，要考虑到可行性的原则，使树种切实可行、经济有利。
集合论与图论第十章 树
间添加一边，恰得一条回路（称T为最大无回路图）； （5） T是连通图，但删去任一边后，便不连通（称T为
最小连通图）。
（6） T的每一对不同的顶点之间有唯一的一条路。
(n1-1)+(n2-1)+ ……+(n -1) =(n1+n2+……+n )= n-
10.1 树及其性质
定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树
叶。
证明方法：分而治之/反证法。
证明：
若T中只有一片树叶，则 d(vi)≥2(n1)+1=2n-1。
若T中没有树叶，则d(vi)≥2n。 均与d(vi)=2e=2(n-1)矛盾，所以在任
路与生成树的补必有一公共边，所以在r中
必存在一条边fT’; 对于树T(边集至少为
{ e1 ,…..., ei , f })，若用ei+1 代换f，得一棵新 树T1(边集至少为{e1 ,…..., ei , ei+1 }) 。则T1 的权W(T1)=W(T1)+W(ei+1)-W(f) 。
因为T为最小生成树，所以W(T)≤W(T1)， 则W(ei+1)≥W(f)；又根据T’生成法，自
给出图和生成树，求基本割集组和基本 回路组。
10.2 生成树与割集
四、树的基本变换 图10.4 1 定义10.8（树的基本变换）
设连通图G的生成树T，通过上述加一 弦，再删去一枝得到另一棵生成树，这 种变换称为树的基本变换。
2 定义10.9（距离）
而 记不为设d出连(T现通i, 在T图j)T。Gj的的边生数成称树为Ti和Ti和Tj，Tj的出距现离在，Ti
关于树真好的幼儿园大班教案
第一章：认识树木教学目标：1. 让幼儿认识不同的树木，了解树木的基本特征。
2. 培养幼儿对大自然的热爱和保护树木的意识。
教学内容：1. 带领幼儿观察校园或公园里的树木，让他们描述树木的外观特征。
2. 向幼儿介绍树木的种类、生长环境以及树木对人类和地球的重要性。
3. 讲解树木的四季变化，让幼儿了解树木在不同季节的生长状态。
教学活动：1. 组织幼儿进行户外观察，让他们亲自触摸树木，感受树木的纹理和质感。
2. 开展树木知识问答游戏，巩固幼儿对树木的认识。
第二章：树木的利用教学目标：1. 让幼儿了解树木的多种用途，培养他们的环保意识。
2. 激发幼儿的创造力和想象力，让他们认识到树木的价值。
教学内容：1. 向幼儿介绍树木的多种用途，如提供木材、制作纸张、制作家具等。
2. 讲解树木对人类生活的影响，让幼儿认识到保护树木的重要性。
教学活动：1. 组织幼儿进行树木用途的角色扮演，让他们亲身体验树木的多种用途。
2. 开展环保绘画活动，让幼儿通过绘画表达自己对树木的爱护之情。
第三章：树木的保护教学目标：1. 培养幼儿保护树木和环境的意识，让他们明白每个人都有责任爱护大自然。
2. 教育幼儿从自身做起，养成节约资源、保护环境的良好习惯。
教学内容：1. 向幼儿讲解树木受到的威胁，如乱砍滥伐、污染等，让他们了解保护树木的紧迫性。
2. 教育幼儿如何爱护树木，如不随意折枝、不乱涂乱画等。
教学活动：1. 组织幼儿进行树木保护宣传活动，让他们向家人和朋友宣传保护树木的重要性。
2. 开展植树活动，让幼儿亲自动手种植树木，体验保护环境的乐趣。
第四章：树木的朋友教学目标：1. 让幼儿了解树木与动物、昆虫等生物的共生关系，培养他们的关爱之心。
2. 提高幼儿的观察力和想象力，让他们学会尊重和保护自然界中的每一个生命。
教学内容：1. 向幼儿介绍树木与各种动物、昆虫的共生关系，如鸟类、松鼠、蜜蜂等。
2. 讲解这些生物在树木生长过程中的作用，让幼儿认识到它们的重要性。
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树的性质
定理10.2.1 设无向图G <V,E>， n， m， 定理10.2.1 设无向图G = <V,E>，|V| = n，|E| = m， 下列各命题是等价的： 下列各命题是等价的： 连通而不含回路( 是树) ① G连通而不含回路(即G是树)； 无回路， ② G中无回路，且m = n-1； ③ G是连通的，且m = n-1； 连通的， 无回路，但在G 任二结点之间增加一条新边， ④ G中无回路，但在G中任二结点之间增加一条新边， 就得到惟一的一条基本回路； 就得到惟一的一条基本回路； 连通的， 删除G 中任一条边后， 便不连通； ⑤ G 是 连通的 ， 但 删除 G 中任一条边后 ， 便不连通 ； (n≥2 (n≥2) 每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2 ⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
德 国 阿根廷 意大利 乌克兰 英格兰 葡萄牙 巴 西 法 国 2012-5-23 2012德 国 意大利 意大利 葡萄牙 法 法 国 8282-5 意大利 国
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定义10.2.1 定义10.2.1
连通而不含回路的无向图称为无向树(Undirected 连通而不含回路的无向图称为 无向树(Undirected 无向树 Tree)，简称树(Tree)，常用T表示树。 Tree)，简称树(Tree)，常用T表示树。 树中度数为1 的结点称为叶 (Leaf)； 度数大于1 树中度数为 1 的结点称为 叶 (Leaf) ； 度数大于 1 的 结 点 称 为 分 支 点 (Branch Point) 或 内 部 结 点 Point)。 (Interior Point)。 每个连通分支都是树的无向图称为森林 (Forest) 每个连通分支都是树的无向图称为 森林(Forest) 。 森林 (Forest)。 平凡图称为平凡树(Trivial Tree)。 平凡图称为平凡树(Trivial Tree)。 平凡树 树中没有环 平行边，因此一定是简单图 树中没有环和平行边，因此一定是简单图 没有 在任何非平凡树中， 无度数为0的结点。 在任何非平凡树中，都无度数为0的结点。
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(3)： (2) ⇒ ： (3)
无回路， ② G中无回路，且m = n-1； 证明只有一个连通分支。 证明只有一个连通分支。 ③ G是连通的，且m = n-1； 2 ， … ， Gk ， 其结点数 个连通分支G 设连通的， G 有 k 个连通分支 G1 ， G 分别为n 边数分别为m 分别为n1，n2，…，nk，边数分别为m1，m2，…， mk，且 n = ∑ ni ， m = ∑ mi 。 由于G 中无回路， 所以每个G 由于 G 中无回路 ， 所以每个 Gi(i = 1, 2, …, k)均为树 因此m 均为树， k)， k)均为树 ，因此mi = ni-1(i = 1, 2, …, k)，于 是 k k m = ∑ mi = ∑(ni -1)= n - k = n -1
第10章 树 10章
是图论中的一个非常重要的概念， 树是图论中的一个非常重要的概念，而在计算 机科学中有着非常广泛的应用，例如现代计算机操 机科学中有着非常广泛的应用，例如现代计算机操 均采用树形结构来组织文件和文件夹， 作系统均采用树形结构来组织文件和文件夹 作系统均采用树形结构来组织文件和文件夹，本章 介绍树的基本知识和应用 基本知识和应用。 介绍树的基本知识和应用。 在本章中，所谈到的图都假定是简单图 简单图； 在本章中，所谈到的图都假定是简单图；所谈 到的回路均指简单回路 基本回路。 简单回路或 到的回路均指简单回路或基本回路。并且同一个图 形表示的回路(简单的或基本的) 可能有不同的交 形表示的回路(简单的或基本的)，可能有不同的交 替序列表示方法 表示方法， 替序列表示方法，但我们规定它们表示的是同一条 回路。 回路。
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10.2 树
10. 10.2.1 树的定义与性质
10. 2006年德国世界杯 强的比赛结果图， 年德国世界杯8 例 10.2.1 2006 年德国世界杯 8 强的比赛结果图 ， 最后胜利的队捧得大力神杯。 最后胜利的队捧得大力神杯。
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定理10.2.1 定理10.2.1 证明
(2)： (1)⇒ ： (2)
作归纳。 对n作归纳。n = 1时， G是树)显然有m = 0， 连通而不含回路( ① G连通而不含回路(即m 是树)显然有m = n-1。 假设n 时命题成立，现证n k+1时也成立。 假设n = k时命题成立，现证n = k+1时也成立。
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(5)： (4) ⇒ ： (5)
无回路，但在G ④ G中无回路，但在G中任二结点之间增加一条新 若 G 不连通 ， 则存在两结点 vi 和 vj ， 在 vi 和 vj 不连通，则存在两结点vi vj， vi和 vi和 就得到惟一的一条基本回路； 边，就得到惟一的一条基本回路； 之间无通路，此时增加边(vi, vj)，不会产生回路， 之间无通路，此时增加边(vi, vj)，不会产生回路， 连通的， ⑤ G是连通的，但 但这与题设矛盾。 删除G中任一条边后，便不连通； 但这与题设矛盾。 删除G中任一条边后，便不连通； (n≥2 (n≥2) 由于G无回路，所以删去任一边，图便不连通。 由于 G 无回路 ， 所以删去任一边 ， 图便不连通 。
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v∈ V
∑
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在G中删去v0及其关联的边，得到新图G’，根 中删去v 及其关联的边，得到新图G 据归纳假设知G’无回路，由于deg(v0) = 1，所以 据归纳假设知G 无回路，由于deg(v 再将结点v 及其关联的边加回得到原图G 再将结点v0及其关联的边加回得到原图G，则G也无 回路。 回路。 其次证明在G 中任二结点v 其次证明在 G 中任二结点 vi ， vj 之间增加一条 边(vi, vj)，得到一条且仅一条基本回路。 得到一条且仅一条基本回路。 有一条通路L 由于G是连通的， 由于G是连通的，从vi到vj有一条通路L，再在 中增加一条边(v 就构成一条回路。 L 中增加一条边 (vi, vj) ， 就构成一条回路 。 若此 回路不是惟一和基本的，则删去此新边， 回路不是惟一和基本的 ， 则删去此新边 ， G 中必有 回路，得出矛盾。 回路，得出矛盾。
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10.1 本章 树的性质 3 树的基本算 法
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2 树的算法
3 1 树的同构 2 树的应用
无回路， n② G中无回路，且m = n-1；
由于G连通而无回路，所以G 由于G连通而无回路，所以G中至少有一个度数 的结点v 中删去v 及其关联的边， 为1的结点v0，在G中删去v0及其关联的边，便得到 个结点的连通而无回路的图， k 个结点的连通而无回路的图 ， 由归纳假设知它有 条边。再将结点v 及其关联的边加回得到原图G k-1条边。再将结点v0及其关联的边加回得到原图G， 所以G中含有k+ 个结点和k条边，符合公式m k+1 所以G中含有k+1个结点和k条边，符合公式m = n-1。 所以， 中无回路， 所以，G中无回路，且m = n-1。
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10.0 内容提要
与树相关的概念： 森林、根树、 1. 与树相关的概念： 树、森林、根树、根、叶、 分支点、生成树、最小生成树、 元树、 分支点 、 生成树 、 最小生成树 、 k 元树 、 k 元完 全树子树、有序树、祖先与后代、父亲与儿子、 全树子树 、 有序树 、 祖先与后代 、 父亲与儿子 、 最优树等； 最优树等； 树的基本性质： 2. 树的基本性质：m = n-1等； 树的算法：求生成树与最小生成树的算法、 3. 树的算法 ： 求生成树与最小生成树的算法 、 求 最优树的算法、 二元树遍历的算法、 最优树的算法 、 二元树遍历的算法 、 根树与二 元树相互转化的算法等； 元树相互转化的算法等； 树的应用。 4. 树的应用。
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离散数学
电子科技大学
计算机科学与工程学院 示 范 性 软 件 学 院
2012年 2012年5月23日星期三 23日星期三
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例10.2.2
判断下图中的图哪些是树？为什么？ 判断下图中的图哪些是树？为什么？
(a)
(b)
(c)
(d)
判断无向图是否是树，根据定义10 10. 分析 (a)、(b)都是连通 并且不含回路， .1 ， 首 判断无向图是否是树 ， 根据定义 10.2 都是连通， 解 图 (a) 、 (b) 都是连通 ， 并且不含回路 ， 因此是 先看它是否连通，然后看它是否有回路。 先看它是否连通，然后看它是否有回路。 (c)不连通 因此不是树， 不连通， 树 ； 图 (c) 不连通 ， 因此不是树 ， 但由于它不含回 因此是森林； (d)虽然连通 但存在回路， 虽然连通， 路 ， 因此是森林 ； 图 (d) 虽然连通 ， 但存在回路 ， 因此不是树。 因此不是树。