研究生课程《现代数学与中学数学》试题
数学考研历年真题答案及解析
数学考研历年真题答案及解析数学考研对于很多考生来说是一个相当重要的科目，也是一个相对较难的科目。
因此，了解历年真题的答案及解析对于备考考生来说是至关重要的。
下面，我们将为大家提供数学考研历年真题的答案及解析，希望能对大家的备考有所帮助。
第一题：某考生在数学考研中遇到了如下题目：已知函数f(x)=-x^2+3x+2，求f'(2)答案及解析：首先，求f'(x)即可得到函数f(x)的导函数：f'(x)=-2x+3然后，将x=2代入f'(x)中：f'(2)= -2*2 + 3 = -1所以，f'(2)的值为-1，即答案为-1。
解析：此题考察了对函数的求导运算，求导的结果表示导函数在给定点的斜率。
通过对函数f(x)求导，得到导函数f'(x)为-2x+3。
然后，将x=2代入导函数中得到f'(2)=-1。
因此，题目的答案为-1。
此题比较简单，是考纲中的基础内容。
第二题：某考生在数学考研中遇到了如下题目：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f''(2)答案及解析：首先，求f'(x)即可得到函数f(x)的导函数：f'(x)=3x^2-6x+2然后，再次求f''(x)即可得到函数f(x)的二阶导函数：f''(x)=6x-6最后，将x=2代入f''(x)中：f''(2)= 6*2 - 6 = 6所以，f''(2)的值为6，即答案为6。
解析：此题考察了对函数的二阶导运算，二阶导数表示导函数的斜率变化率。
通过对函数f(x)求导的操作，我们首先得到一阶导函数f'(x)为3x^2-6x+2，然后再次对一阶导函数求导得到二阶导函数f''(x)=6x-6。
最后，将x=2代入二阶导函数中，我们得到f''(2)=6。
研究生考试常见数学题解析
研究生考试常见数学题解析1. 几何题解析在研究生考试数学部分中，几何题占据了相当大的比重，并且常见的几何题类型也比较固定。
以下将对研究生考试中常见的几何题进行解析。
1.1 平面几何平面几何是研究生考试中常见的一个考点。
平面几何题主要涉及到各种几何关系、面积计算、相似三角形等。
在解答平面几何题时，首先要明确题目中的已知条件，例如已知的边长、已知的角度等。
然后可以使用几何知识和定理来推导出需要求解的答案，例如利用正弦定理、余弦定理、面积公式等。
1.2 空间几何空间几何也是研究生考试中常见的一个题型，主要考察空间中点、线、面的关系、投影等。
在解答空间几何题时，可以利用立体几何的知识和定理。
例如，通过利用平面与直线的关系推导出空间中点、线、面的位置关系；通过利用平面与平面的关系推导出空间中两个平面的夹角等。
同时，也可以利用投影的概念解答空间几何题，例如推导出点在某个平面上的投影坐标等。
2. 概率题解析概率是研究生考试数学部分的另一个重要考点。
概率题主要涉及到事件的概率计算、条件概率、贝叶斯定理等。
在解答概率题时，首先要明确题目中的已知条件，例如已知的事件、已知的概率等。
然后可以利用概率论的知识和定理，例如计算概率的基本原理、计算条件概率的公式、应用贝叶斯定理等。
3. 数列题解析数列题也是研究生考试中常见的一个题型，主要考察数列的性质、递推关系、等差数列和等比数列等。
在解答数列题时，首先需要确定数列的递推关系或者通项公式。
一般来说，等差数列的递推关系为An = A1 + (n-1)d，等差数列的通项公式为An = A1 * r^(n-1)，其中An表示数列的第n项，A1表示数列的首项，d为公差，r为公比。
根据题目给出的已知条件，可以利用数列的性质和公式进行求解。
总的来说，研究生考试中数学部分常见的题型主要包括几何题、概率题和数列题。
在解答这些题目时，需要充分运用相应的数学知识和定理，灵活运用解题思路，确保解答的准确性和完整性。
现代数学与中学数学
一、单选1、A. AB. BC. CD. D标准答案是：B。
A 2、A. AB. BC. CD. D标准答案是：D。
3、A. AB. BC. CD. D标准答案是：C。
4、A. AB. BC. CD. D标准答案是：A。
5、A. AB. BC. CD. D标准答案是：B。
6、A. AB. BC. CD. D标准答案是：A。
7、A. AB. BC. CD. D标准答案是：B。
8、A. AB. BC. CD. D标准答案是：C。
9、A. AB. BC. CD. D标准答案是：D。
10、A. AB. BC. CD. D标准答案是：C。
再次测验、单选1、A. AB. BC. CD. D标准答案是：B。
A 2、A. AB. BC. CD. D标准答案是：A。
3、A. AB. BC. CD. D标准答案是：C。
4、A. AB. BC. CD. D标准答案是：B。
5、A. AB. BC. CD. D标准答案是：D。
6、A. AB. BC. CD. D标准答案是：A。
A. AB. BC. CD. D标准答案是：D。
8、A. AB. BC. CD. D标准答案是：D。
9、A. AB. BC. C标准答案是：B。
10、A. AB. BC. CD. D标准答案是：A。
一、单选1、A. AB. BC. CD. D标准答案是：C。
A 2、A. AB. BC. CD. D标准答案是：A。
3、A. AB. BC. CD. D标准答案是：C。
4、A. AB. BC. CD. D标准答案是：C。
5、A. AB. BC. CD. D标准答案是：D。
6、A. AB. BC. CD. D标准答案是：C。
7、A. AB. BC. CD. D标准答案是：D。
8、A. AB. BC. CD. D标准答案是：C。
9、A. AB. BC. CD. D标准答案是：B。
10、A. AB. BC. CD. D标准答案是：A。
您的位置：考核练习>> 在线答题结果第六阶段测验一、单选1、A. AB. BC. CD. D标准答案是：D。
2020全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析
kx
x1x
lim
x
1
x
x
1 e
x
lim
x
x
1
1 1
x
x
1
e
令t
1 lim
x t0
1
e 1t t
1
et 1 t t
1 e2
1ln(1t )
et lim
t 0
t
e
1 lim
e t0
1ln(1t )1
et
1
t
1 lim
1ln(1t )1 t
1 lim ln(1 t) t
.
答案： 1 ga3 3
【解析】 F
a
2 g(a y) ydy 2 g
a (ay y2 )dy 2 g(1 a3 1 a3) 1 ga3
0
0
23 3
13.设 y yx满足 y 2y y 0,
且
y0
0
，
y0
1
，则
0
yx
dx
.
答案：1
【解析】 y 2y y 0, 所以特解方程： 2 +2+1=0，（+1）2 =0 1=2 =-1； y通 =(C1 C2x)ex ； y通' ex (C2 C1 C2x) ；又 y(0) 0，y' (0) 1 ；
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答． 题．纸．指定位置上．
15.（本题满分 10 分）.
求曲线
y
x1 x
1 xx
x
0 的斜渐近线。
x1 x
【解析】：斜率 k
lim x
现代数学与中学数学考试卷a卷 (1)
姓 名：徐 竞
单 位河南驻马店平舆县第一高级中学
专 业：数学
考试科目：现代数学与中学数学
考试分数：
2011年12月29日
东北师范大学研究生课程进修班考试试卷评分表
课程名称现代数学与中学数学
姓名徐竞
单 位河南驻马店平舆县一高
专业数学
2011年12月29日
题号
分数
签名
1
2
3
4
5
6
回代求得：
所以原方程组的解为
十、（10分） 使用二分法求解 于[1,2]内的根，二分3次即可。
解：记 ， ， 在区间（1，2）内有零点，记为 。
取区间（1，2）的中点 ， ，所以 ;
取区间（1，1.5）的中点 ， ，所以 ;
取区间（1.25，1.5）的中点 ， ，所以
所以 的近似解为1.375.
解：由题意 ，即 ①
①式两边积分，有
又 过点 ，从而C=0
四、（10分）证明：若 ，则
解：记 ，由于 ，故 在 上连续，在 内可导。
由拉格朗日中值定理存在 ，有 ，
即 ，同理存在五、（10分）求顶点在坐标原点的锥面 与平面 所围成的锥体的体积。
解：任取 ，过点 作垂直于 轴的平面，截面为椭圆，其方程为 ，截面面积
解：由 有：
现有样本 ，故似然函数为
①
①式两边取自然对数，得：
两边对 求导，得：
令 ，解得
的最大似然估计值的计算公式为
八、（10分） 甲同学在他的盒子中放了200个玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告诉其他任何人），甲同学当众宣布：他的这些球中黑球所占比例p=3%，乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10个），观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1）假如乙同学发现他任取的10个球中2个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的说法？（2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球，问此时乙同学对甲同学的说法又应做何反应？
2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)
2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。
A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在 D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均不存在2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。
A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。
A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜04．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛”的（ ）。
A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则*0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭＝（ ）。
A ．****0A B B A B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．****0B A A B A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．****0B A B A A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．****0A B A B B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（ ）。
2019-2020年研究生招生考试数学二真题及答案解析(完整版)
12019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3. D.4.2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点A.⎪⎭⎫⎝⎛2,2ππ B.()2,0C.()2,πD.⎪⎭⎫⎝⎛-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是（） A.dx xe x ⎰+∞-0B.dx xe x ⎰+∞-02C.dx x x⎰+∞+021arctanD.dx x x ⎰+∞+0214.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,45.已知积分区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=2πy x |y ,x D ）（，dxdy y x I D ⎰⎰+=221，dxdy y x I D⎰⎰+=222sin，(dxdy y x I D)cos 1223⎰⎰+-=，试比较321,,I I I 的大小A.123I I I <<B.321I I I <<C.312I I I <<D.132I I I <<6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续，请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是0)()()(lim2=--→a x x g x f ax 的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是2 A.0 B.1 C.2 D.38.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++B.232221y y y -+C.232221y y y --D.232221y y y ---二、填空题 9.2lim(2)x xx x →∞+=10.曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂12. 设函数ln cos 6y x x π=≤≤（0）的弧长为 13. 已知函数2sin ()xtt f x xdt t=⎰，则10()f x dx =⎰14.已知矩阵110021113221034A -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A -=三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f xx ，求的极值并求)()(x f x 'f16.（本题满分10分）求不定积分.dx x x x x ⎰++-+)1()1(6322 17.（本题满分10分）)(x y y =是微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.3（1）求)(x y（2）设平面区域{})x (y y ,x y ,D≤≤≤≤=021x ）（，求D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积.18.（本题满分10分） 已知平面区域D 满足()(){}4322y y x|y ,x ≤+，求.dxdy yx yx D⎰⎰++2219.（本题满分10分）x x f S ,N n x n sin e )(-+=∈是的图像与x 轴所谓图形的面积，求n S ，并求.S n n ∞→lim 20.（本题满分11分）已知函数)(y ,x u 满足,yux u y u x u 033222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂求b ,a 的值，使得在变换by ax y ,x v y ,x u +=)e ()(下，上述等式可化为)(y ,x v 不含一阶偏导数的等式.21.（本题满分11分）已知函数),(y x f 在[]1,0上具有二阶导数，且⎰===11)(,1)1(,0)0(dx x f f f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξf ； （2）存在)1,0(∈η，使得2)(''-<ξf .22.（本题满分11分）已知向量组（Ⅰ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4012α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=32123a α，（Ⅱ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=3111a β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a 1202β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=33123a β，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将β用321,,ααα线性表示.23.（本题满分11分）已知矩阵相似与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=y B x A 0001001220022122（1）求y x ,，x4 （2）求可逆矩阵,P 使得B AP P =-12020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． 1.当0x +→时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）A.2(1)xt e dt -⎰B.0ln(1xdt +⎰ C.sin 2sin xt dt ⎰D.1cos 0x-⎰2.函数11ln(1)()(1)(2)x xe xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为（ ） A.1 B.2 C. 3 D.4 3.1( )=⎰A. 24π B.28π C.4π D.8π4.已知2()ln(1),f x x x =-当3n ≥时，()(0)( )n f=A. !2n n --B.!2n n - C. ()2!n n -- D.()2!n n -5.关于,0,(,),0,,0,xy xy f x y x y y x ≠⎧⎪==⎨⎪=⎩给出下列结论：（1）(0,0)1f x ∂=∂ （2）2(0,0)1f x y ∂=∂∂ （3）()(),0,0lim (,)0x y f x y →=（4）00limlim (,)0y x f x y →→=。
学科教学数学研究生参考书目
学科教学（数学）专业研究生参考文献一、基础数学专业素养丛书1、张奠宙，《现代数学与中学数学》，上海教育出版社2、F.克莱因，《高观点下的初等数学》（第1、2、3卷），复旦大学出版社。
3、【前苏】亚力山大洛夫等著，数学名著译丛:数学——它的内容、方法和意义(第1、2、3卷)，科学出版社4、杜询，《现代数学引论》，北京大学出版社5、齐民友，《重温微积分》，高等教育出版社6、萧树铁主编，陈维桓编著，《流形上的微积分》，高等教育出版社二、数学学科教学专业素养丛书1、张英伯，曹一鸣主编，京师数学教育系列丛书（共12本），北京师范大学出版社。
包括：《数学哲学》、《数学方法论》、《现代数学通览》、《数学教育原理》、《数学课程导论》、《现代数学与中学数学》、《数学教学论》、《数学教育史》、《数学教学心理学》、《数学教学案例研究》、《数学教育测量与评价》、《数学教育研究方法与论文写作》共12卷。
2、张奠宙，宋乃庆主编，数学教育系列教材，高等教育出版社。
包括：《数学教育概论》，张奠宙，宋乃庆主编；《中学代数研究》，张奠宙，张广祥著；《中学几何研究》，张奠宙，沈文选著；《中学概率与微积分研究》，史宁中，陶剑，秦德生等著；《数学教育技术》张景中，彭翕成著。
三、数学方法论丛书：（1）徐利治著，《数学方法论选讲》（第三版），华中理工大学出版社。
（2）徐利治著，《徐利治谈数学方法论》，大连理工大学出版社；（3）郑毓信著，《数学方法论入门》，浙江大学出版社；（4）张奠宙等著，《数学方法论稿》，上海教育出版社；四、数学史与数学文化素养丛书（1）林文林著，《数学史概论》，高等教育出版社；（2）M.克莱因著，《古今数学思想》第1、2、3、4卷，上海科学技术出版社；（3）M.克莱因著，《西方文化中的数学》，复旦大学出版社。
五、数学教育研究综合丛书（1） 张奠宙著，《数学教育的“中国道路”》，上海教育出版社（2） 涂荣豹著，《中国数学教学研究30年》，科学出版社（3） 曹一鸣著，《中国数学教育哲学研究30年》，科学出版社（4） 喻平著，《中国数学教育心理研究30年》，科学出版社六、数学解题研究系列丛书：（1）G.波利亚《怎样解题》，上海科技教育出版社（2）G.波利亚《数学与猜想》，科学出版社（3）G.波利亚《数学的发现》，科学出版社七、数学课程标准研究陈惠勇，数学课程标准与教学实践一致性——理论研究与实践探讨[M]，北京：科学出版社，2016.12.。
硕士入学考试：2019年[数学一]考试真题与答案解析
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硕士入学考试：2019年[数学一]考试真题与答案解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当时，若与是同阶无穷小，则0→x x x tan -k x =k A.1. B.2.C.3.D.4.2.设函数则是的⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 0=x )(x f A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是{}n u A. B...1∑∞=n n nunn nu 1)1(1∑∞=-C.. D..∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u ()∑∞=+-1221n n n u u 4.设函数，如果对上半平面（）内的任意有向光滑封闭曲线都有2),(yxy x Q =0>y C ，那么函数可取为⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(),(y x P A..B..32y x y -321yx y -C..D..yx 11-yx 1-5.设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵.若，且，则二次型A E E A A 22=+4=A 的规范形为Ax x T A.. B..232221y y y ++232221y y y -+C..D..232221y y y --232221y y y ---6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则A A ,A. B..3)(,2)(==A r A r .2)(,2)(==A r A r C.D..2(,1)(==A r A r .1)(,1)(==A r A r 7.设为随机事件，则的充分必要条件是B A ,)()(B P A P =A. B.).()()(B P A P B A P += ).()()(B P A P AB P =C.D.).()(A B P B A P =).()(B A P AB P =8.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则X Y ),(2σμN {}1<-Y X P A.与无关，而与有关. B.与有关，而与无关.μ2σμ2σC.与都有关.D.与都无关.2,σμ2,σμ二、填空题9.设函数可导，则= .)(u f ,)sin (sin xy x y f z +-=yzcosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅1110.微分方程满足条件的特解 .02'22=--y y y 1)0(=y =y11.幂级数在内的和函数 .nn n x n ∑∞=-0)!2()1()0∞+，（=)(x S 12.设为曲面的上侧，则=.∑)0(44222≥=++z z y x dxdy z x z⎰⎰--224413.设为3阶矩阵.若 线性无关，且，则线性方），，（321αααA =21αα，2132ααα+-=程组的通解为 .0=x A 14.设随机变量的概率密度为 为的分布函数，为X ⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F X X E 的数学期望，则 .X {}=->1X X F P E ）（三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解.)(x y 2'2x e xy y -=+0)0(=y （1）求；)(x y （2）求曲线的凹凸区间及拐点.)(x y y =16.（本题满分10分）设为实数，函数在点（3，4）处的方向导数中，沿方向b a ,222by ax z ++=j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求；b a ,（2）求曲面（）的面积.222by ax z ++=0≥z 17.求曲线与x 轴之间图形的面积.)0(sin ≥=-x x e y x 18.设，n =（0，1，2…）dx x x a n n ⎰-=1021（1）证明数列单调减少，且（n =2，3…）{}n a 221-+-=n n a n n a （2）求.1lim-∞→n nn a a 19.设是锥面与平面围成的锥体，求的形心坐标.Ω())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 0=z Ω20.设向量组，为的一个基，在这个基T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα3R T)1,1,1(=β下的坐标为.T c b )1,,(（1）求.c b a ,,（2）证明，为的一个基，并求到的过度矩阵.32,a a β3R ,,32a a β321,,a a a 21.已知矩阵与相似⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012（1）求.y x ,（2）求可可逆矩阵，使得P .1B AP P =-22.设随机变量与相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为X Y X Y 令{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P XYZ =（1）求的概率密度.z （2）为何值时，与不相关.p X Z （3）与是否相互独立?X Z 23.（本题满分11分）设总体的概率密度为X ⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中是已知参数，是未知参数，是常数，来自总体的简单μ0>σA n X …X X ，，21X 随机样本.（1）求；A （2）求的最大似然估计量2σ答案解析1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.10.yxx y cos cos +23-x e 11. 12.x cos 33213.为任意常数.，T )1,2,1(-k k 14.3215.解：（1），又，)()()(2222c x e c dx e e e x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰0)0(=y 故，因此0=c .)(221x xe x y -=（2），22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''令得0=''y 3,0±=x x)3,(--∞3-)0,3(-0)3,0(3),3(+∞y ''-+-+y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以，曲线的凹区间为和，凸区间为和,拐点)(x y y =)0,3(-),3(+∞)3,(--∞)3,0(为，，.)0,0()3,3(23---e )3,3(23-e16.解：（1），，)2,2(by ax z =grad )8,6()4,3(b a z =grad 由题设可得，，即，又，4836-=-ba b a =()()108622=+=b a z grad 所以，.1-==b a （2）=dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1====dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441ρρρθπd d ⎰⎰+20224120232)41(1212ρπ+⋅.313π17.略18.略19.由对称性，，2,0==y x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z 20.（1）即，123=b c βααα++11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得.322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩（2），所以，则可()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，()233r ααβ=，，23ααβ，，为的一个基.3R ()()12323=Pαααααβ，，，，则.()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，21.（1）与相似，则，，即，解得A B ()()tr A tr B =A B =41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩32x y =⎧⎨=-⎩（2）的特征值与对应的特征向量分别为A ，；，；，.1=2λ11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3=2λ-31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以存在，使得.()1123=P ααα,,111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值与对应的特征向量分别为B ，；，；，.1=2λ11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3=2λ-30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以存在，使得.()2123=P ξξξ,,122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以，即112211=P AP P AP --=Λ1112112B P P APP P AP ---==其中.112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.解：（I ）的分布函数Z (){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当时，；当时，0z ≤()z F z pe =0z >()()()()1111z zF z p p e p e --=+--=--则的概率密度为.Z ()(),01,0z zpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩（II ）由条件可得，又()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，从而当时，，即不相关.()()1,12D X E Y p ==-12p =(),0Cov X Z =,X Z （III ）由上知当时，相关，从而不独立；当时，12p ≠,X Z 12p =而121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，显然12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，即不独立. 从而不独立.1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,X Z ,X Z 23. 解：（I ）由，()2221xAedx μσμσ--+∞=⎰t=201t e dt +∞-==⎰从而A =（II ）构造似然函数，当()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他,1,2,,i x i n μ≥=L 时，取对数得，求导并令其为零，()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑可得，解得的最大似然估计量为.()22241ln 1022nii d L n x d μσσσ==-+-=∑2σ()211n i i x n μ=-∑。
西北大学数学考研真题
西北大学数学考研真题
1. 题目一：
设有n个正整数，两两互不相等。
从这些数中挑选若干个组成一个集合A，使得A中所有元素的和可以被m整除，并且对
于不同的集合A和B，其元素和除m的余数不同。
求满足条
件的集合A的个数。
2. 题目二：
设f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数，且a ≠ 0。
若对于任意实数x，都有f(f(x)) = 0，则试问f(x)的根的个数可
能为多少？
3. 题目三：
已知某区域内有50个平面，任意两个平面之间的夹角为120°。
现在需要在这些平面上选择尽可能多的点，使得任意三个点不共线。
求所能选择的最大点数。
4. 题目四：
设r1，r2，…，rn为n个正整数的一个重排列，其中r1 = 1，
r2 = 2，…，rn = n。
定义S = |r1 - 1| + |r2 - 2| + … + |rn - n|。
求
证当n为奇数时，S的取值最小；当n为偶数时，S的取值可
能是其最小值。
5. 题目五：
已知平面上有n个点，其中任意三个点不共线。
现将这n个点分成若干组，每组至少有三个点，并且每组内的点可以构成一个凸多边形。
若将这n个点分组后共得到m个凸多边形，问m的取值范围可能是多少？。
2020年全国研究生考试数学(二)真题+答案详解
(1- x)n
(1- x)n -1
2
(1- x)n -2
\ f (n) (0) = - n! . n-2
ìxy
5.关于函数
f
(x,
y)
=
ï í
x
ï î
y
xy ¹ 0 y = 0 给出以下结论 x=0
¶f
①
=1
¶x (0,0)
¶2 f
②
=1
¶x¶y
(0,0)
③ lim f ( x, y) = 0
( x, y )®(0,0)
ò = 1
1
1 (x3 + 1) 2 d (x3 + 1)
30
=
1
×
2
(x3
+ 1)
3 2
1
33 0
=
2
æ ç
3
22
ö - 1÷
9è ø
11.
|(0,p)= .
设 z = arctan[xy + sin(x + y)] ，则 dz
解析:
dz = ¶z dx + ¶z dy
¶x ¶x
¶z =
1
[ y + cos(x + y)], ¶z = π- 1
a 0 -1 1
14.行列式 0
a
1 -1 =
-1 1 a 0
1 -1 0 a
解析：
a 0 -1 1 a 0 -1 1
0 a 1 -1 0 a 1 -1 =
-1 1 a 0 -1 1 a 0
1 -1 0 a 0 0 a a
0 a -1 + a 2 1
a -1+ a 2 1
学科教学-北京师范大学研究生院
学科教学·数学专业方向培养方案一、培养目标与基本规格培养具有现代教育观念和高水平教育、教学工作能力的从事中学数学教学的骨干教师。
基本规格：（1）热爱教师职业和数学教学工作，有志于教育、教学改革的实践和研究，事业心、责任感强。
（2）数学基础和文化素养好，并具有较高的教育学、心理学和教学论的素养；在数学教学方面视野开阔、现代意识强，具有较强的教育、教学的科研能力，能胜任教学业务骨干的任务。
（3）能较为熟练地阅读本专业的外文资料。
（4）身心健康。
二、招生对象及入学考试（一）招生对象大学本科毕业并获得学士学位，有三年以上基础教育教学工作经验，教学效果良好的中学教师。
未获取学士学位者，需具有中学一级教师任职资格。
报考者必须经过所在学校推荐。
（二）入学考试1、考试方式按国家有关规定，参加在职攻读教育硕士专业学位全国统一联考。
2、考试科目外语、教育学、心理学、数学（数学分析和线性代数）、政治理论。
三、学习年限与教学方式学习年限为三至四年。
学习分两个阶段：第一阶段主要进行课程学习，第二阶段主要是撰写学位论文（含调查研究与实验）。
其中，集中学习的时间不得少于一年。
实行导师负责与教研室（导师组）集体培养相结合，同时强调发挥学生自主学习与研究的积极性。
四、课程设置按一年左右的时间来安排课程学习。
课程设置以宽、新、实为原则，分为学位公共课、专业必修课、选修课，前两类为必修课程。
总学分不少于34学分。
1、学位公共课（18学分）2、专业必修课（12学分）3、选修课（至少4学分）五、学位论文工作及学位授予修满学分后方可进入撰写学位论文阶段。
论文内容应紧密联系本学科中学教学的实际，并有一定的理论分析与概括。
论文要在导师（或导师组）的指导下由学生独立完成。
论文的格式应符合规范要求。
论文必须在研究生院规定的日期以前全部完成，并打印成册，按研究生院规定的程序申请答辩。
论文评阅人和答辩委员会成员中，必须至少有一名在基础教育一线工作、具有高级专业技术职务的本专业方向的专家。
2005-2019历年研究生入学考试试题-数学(二)真题解析汇编
2005-2019历年研究生入学考试试题-数学（二）真题解析汇编目录考研数学历年真题——数学（二）2005年全国硕士研究生入学统一考试 (1)一、填空题. (3)二、选择题. (3)三、解答题. (5)2006年全国硕士研究生入学统一考试 (8)一、填空题. (8)二、选择题 (8)三、解答题 (10)2007年全国硕士研究生入学统一考试 (13)一、选择题. (13)二、填空题. (15)三、解答题. (15)2008年全国硕士研究生入学统一考试 (18)一、选择题 (18)二、填空题 (20)三、解答题 (20)2009年全国硕士研究生入学统一考试 (23)1一、选择题 (23)二、填空题. (25)三、解答题. (25)2010年全国硕士研究生入学统一考试 (28)一、选择题 (28)二、填空题. (29)三、解答题 (30)2011年全国硕士研究生入学统一考试 (32)一、选择题 (32)二、填空题 (33)三、解答题 (34)2012年全国硕士研究生入学统一考试 (36)一、选择题. (36)二、填空题. (37)三、解答题. (38)2013年全国硕士研究生入学统一考试 (40)一、选择题 (40)二、填空题. (41)三、解答题 (42)22014年全国硕士研究生入学统一考试 (44)一、选择题. (44)二、填空题. (45)三、解答题. (46)2015年全国硕士研究生入学统一考试 (48)一、选择题. (48)二、填空题. (50)三、解答题. (50)2016年全国硕士研究生入学统一考试 (52)一、选择题 (52)二、填空题 (53)三、解答题. (54)2017年全国硕士研究生入学统一考试 (56)一、选择题 (56)二、填空题. (58)三、解答题. (58)2018年全国硕士研究生入学统一考试 (60)一、选择题. (60)二、填空题. (61)3三、解答题. (62)2019年全国硕士研究生入学统一考试 (64)一、选择题 (64)二、填空题 (65)三、解答题 (65)考研数学历年真题解析——数学（二）2005年全国硕士研究生入学统一考试 (71)一、填空题. (71)二、选择题 (73)三、解答题. (77)2006年全国硕士研究生入学统一考试 (84)一、填空题. (84)二、选择题. (86)三、解答题 (90)2007年全国硕士研究生入学统一考试 (98)一、选择题. (98)二、填空题. (103)三、解答题. (106)2008年全国硕士研究生入学统一考试 (113)4一、选择题 (113)二、填空题 (115)三、解答题． (118)2009年全国硕士研究生入学统一考试 (126)一、选择题. (126)二、填空题. (130)三、解答题. (132)2010年全国硕士研究生入学统一考试 (140)一、选择题. (140)二、填空题 (144)三、解答题 (147)2011年全国硕士研究生入学统一考试 (154)一、选择题 (154)二、填空题. (157)三、解答题 (159)2012年全国硕士研究生入学统一考试 (167)一、选择题 (167)二、填空题. (170)三、解答题 (173)52013年全国硕士研究生入学统一考试 (181)一、选择题 (181)二、填空题. (184)三、解答题 (186)2014年全国硕士研究生入学统一考试 (191)一、选择题. (191)二、填空题. (194)三、解答题. (195)2015年全国硕士研究生入学统一考试 (202)一、选择题. (202)二、填空题. (204)三、解答题 (205)2016年全国硕士研究生入学统一考试 (214)一、选择题. (214)二、填空题 (216)三、解答题 (218)2017全国硕士研究生入学统一考试 (227)一、选择题 (227)二、填空题. (228)6三、解答题. (231)2018全国硕士研究生入学统一考试 (237)一、选择题. (237)二、填空题 (239)三、解答题 (242)2019全国硕士研究生入学统一考试 (251)一、选择题 (251)二、填空题 (253)三、解答题 (255)7考研数学历年真题——数学（二）欢迎使用高教考试在线电子教材32005年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在题中横线上.1.设(1sin )xy x =+，则x dy π== .2.曲线32)y =的斜渐近线方程为 .3.10=⎰.4.微分方程2ln xy y x x '+=满足1(1)9y =−的解为. 5.当0x →时，2()x kx α=与()x β=则k = .6.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果||1A =，那么||B =.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内.7.设函数()n f x =()f x 在(,)−∞+∞内( )（A ）处处可导. （B ）恰有一个不可导点.（C ）恰有两个不可导点.（D ）至少有三个不可导点.4 8.设函数()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“M N ⇔”表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( )（A ）()()F x f x ⇔是偶函数是奇函数.（B ）()()F x f x ⇔是奇函数是偶函数．（C ）()()F x f x ⇔是周期函数是周期函数.（D ）()()F x f x ⇔是单调函数是单调函数. 9.设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t t y t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x 轴交点的横坐标是( ) （A ）1ln 238+.（B ）1ln 238−+.（C ）8ln 23−+.（D ）8ln 23+. 10.设区域22{(,)|4,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b为常数，则D σ=( ) （A ）ab π.（B ）2ab π. （C ）()a b π+. （D ）()2a b π+.11.设函数(,)()()()x y x y u x y x y x y t dt ϕϕψ+−=++−+⎰，其中函数具ϕ有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有 ( )（A ）2222u u x y∂∂=−∂∂. （B ）2222u u x y ∂∂=∂∂. （C ）222u u x y y∂∂=∂∂∂. （D ）222u u x y x ∂∂=∂∂∂.12.设函数11()1x x f x e−=−，则 ( )（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点. （B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点.（C ）0x =都是()f x 的第一类间断点，1x =都是()f x 的第二类间断点. （D ）0x =都是()f x 的第二类间断点，1x =都是()f x 的第一类间断点. 13.设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是 ( )（A ）10λ≠. （B ）20λ≠. （C ）10λ=.（D ）20λ=.14.设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，,A B **分别为,A B 的伴随矩阵，则( )（A ）交换A *的第1列与第2列得到B *. （B ）交换A *的第1行与第2行得到B *. （C ）交换A *的第1列与第2列得到B *−. （D ）交换A *的第1行与第2行得到B *−.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分11分)设函数()f x 连续，且(0)0f ≠，求极限0()()lim()xx x x t f t dtx f x t dt→−−⎰⎰.16.(本题满分12分) 如图，1C 和2C 分别是1(1)2x y e =+和x y e =的图像，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图像，过2C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l .记12,C C 与x l 所围成的面积为1()S x ；23,C C 与y l 所围成的图形的面积为2()S y .如果12()()S x S y =，求曲线3C 的方程()x y ϕ=. 17.(本题满分11分)如图，曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个 拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数， 计算定积分320()()x x f x dx '''+⎰.18.(本题满分12分)用变量代换cos (0)x t t π=<<化简微分方程2(1)0x y xy y '''−−+=，并求其满足01x y ==，02x y ='=的特解.19.(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =.证明：(Ⅰ)存在(0,1)ξ∈，使得(=1f ξξ−）；(Ⅱ)存在两个不同的点,(0,1)ηζ∈，使得()()1f f ηζ''=. 20.(本题满分10分)已知函数(,)z f x y =的全微分22dz xdx ydy =−，并且(1,1)2f =，求(,)f x y 在椭圆域22{(,)|1}4y D x y x =+≤上的最大值和最小值.21.(本题满分9分) 计算二重积分22|1|Dxy d σ+−⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤．22.(本题满分9分)确定常数a ，使向量组1(1,1,)T a α=，2(1,,1)T a α=，3(,1,1)T a α=可由向量组1(1,1,)T a β=，2(2,,4)T a β=−，3(2,,)T a a β=−线性表出，但向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表出.23.(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且AB O =，求线性方程组0Ax =的通解．2006年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在题中横线上. 1.曲线4sin 52cos x xy x x+=−的水平渐近线方程为.2.设函数231sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a =.3.广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.4.微分方程(1)y x y x−'=的通解是 .5.设函数()y y x =由方程1yy xe =−确定，则x dy dx==.6.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪−⎝⎭，E 为2阶单位阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则||B =.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内. 7.设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若0x ∆>，则( )（A ）0dy y <<∆. （B ）0y dy <∆<. （C ）.（D ）0dy y <∆<.0y dy ∆<<8.设函数()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是第一类间断点，则()xf t dt ⎰是( )（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数．（C ）在0x =间断的奇函数. （D ）在0x =间断的偶函数.9.设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于( )（A ）ln31−. （B ）ln31−−. （C ）ln 21−−.（D ）ln 21−.10.函数212x x x y C e C e xe −=++满足的一个微分方程是( )（A ）23xy y y xe '''−−=. （B ）23xy y y e '''−−=. （C ）23x y y y xe'''+−= （D ）23xy y y e '''+−=.11.设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰( )（A ）(,)xdx f x y d y（B ）(,)f x y d y .（C ）(,)ydy f x y dx . （D ）0(,)f x y dx .12.设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A ）若(,)0x f x y '=，则(,)0y f x y '=（B ）若(,)0x f x y '=，则(,)0y f x y '≠ （C ）若(,)0x f x y '≠，则(,)0y f x y '= （D ）若(,)0x f x y '≠，则(,)0y f x y '≠. 13.设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是( )（A ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. （B ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. （C ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关. （D ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.14.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得到B ，再将B 的第1列的1−倍加到第2列得C ，记110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则( )（A ）1C P AP −=（B ）1C PAP−=（C ）T C P AP =.（D ）TC PAP =.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)试确定常数A B C 、、的值，使得.其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.16.(本题满分10分)求arcsin xxe dx e⎰.17.(本题满分10分)设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰. 23(1)1()xeBx Cx Ax o x ++=++18.(本题满分12分)设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,)n n x x n +==．（I ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 19.(本题满分10分)证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++． 20.(本题满分12分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶连续导数，z f =且满足等式22220z z x y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u '''+=； （Ⅱ）若(1)0f =，(1)1f '=，求函数()f u 的表达式. 21.(本题满分12分)已知曲线L 的方程为221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=−⎩． （I ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点(1,0)−引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L (对应于0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.22.(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=−⎧⎪++−=−⎨⎪+++=⎩，有3个线性无关解．（I ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =（Ⅱ）求,a b的值，及方程组的通解.23.(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)Tα=−−，2(0,1,1)Tα=−是线性方程组0Ax=的两个解．（I）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交变换Q和对角阵Λ，使得TQ AQ=Λ.2007年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.当0x +→时，与x 等价的无穷小量是( )（A ）1xe− （B ）ln1x−.（C ）11x +−（D ）1cos x −.2.函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=−在[,]ππ−上的第一类间断点是x =( )（A ）0（B ）1． （C ）2π−. （D ）2π. 3.如图，连续函数()y f x =在区间[3,2]−−，[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[2,0]−，[0,2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()()xF x f t dt =⎰，则下列结论正确的是( )（A ）3(3)(2)4F F =−−.（B ）5(3)(2)4F F =. （C ）3(3)(2)4F F −= （D ）5(3)(2)4F F −=−−.4.设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误．．的是( )（A ）若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.（B ）若0()()lim x f x f x x→+−存在，则(0)0f =.（C ）若0()lim x f x x→存在，则(0)f '存在.（D ）若0()()lim x f x f x x →−−存在，则(0)f '存在.5.曲线1ln(1)xy e x=++的渐近线的条数为( )（A ）0.（B ）1．（C ）2.（D ）3.6.设()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，设()(1,2,,)n u f n n ==，则下列结论正确的是( )（A ）若12u u >，则{}n u 必收敛. （B ）若12u u >，则{}n u 必发散. （C ）若12u u <，则{}n u 必收敛（D ）若12u u <，则{}n u 必发散.7.二元函数(,)f x y 在(0,0)点可微的一个充分条件是( )（A ）(,)(0,0)lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →−=.（B ）0[(,0)(0,0)]lim0x f x f x →−=，0[(0,)(0,0)]lim 0y f y f y →−=.（C ）(,)lim0x y →=.（D ）0lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →''−=，0lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →''−=.8.设函数(,)f x y 连续，则二重积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于( )（A ）10arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.（B ）10arcsin (,)ydy f x y dx ππ−⎰⎰.（C ）1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.（D ）1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ−⎰⎰9.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关．．．．的是( )（A ）122331,,αααααα−−−. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）1223312,2,2αααααα−−−. （D ）1223312,2,2αααααα+++. 10.设矩阵211121112A −−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−−⎝⎭，100010000B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A 与B ( )（A ）合同且相似. （B ）合同但不相似.（C ）不合同但相似.（D ）既不合同也不相似.二、填空题：11~16小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 11.30arctan sin limx x xx→−= .12.曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对于4t π=的点处的法线斜率为.13.设函数123y x =+，则()(0)n y = .14.二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''−+=的通解为y = . 15.设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y x z f x y =，则z z xy x y∂∂−=∂∂ .16.设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分11分)设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t tf t dt t dt t t−−=+⎰⎰，其中1f −是f 的反函数，求()f x .18.(本题满分10分) 设D是位于曲线2x ay −=(1,0)a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.(Ⅰ)求区域D 绕x 轴旋转一所成旋转体的体积为()V a ； (Ⅱ)求a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. 19.(本题满分11分)求满足微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.20.(本题满分10分)已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程11y y xe−−=确定.设(ln sin )z f y x =−，求x dzdx=，22x d z dx =21.(本题满分11分)设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶连续导数且存在相等的最大值，()()f a g a =，()()f b g b =证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.22.(本题满分11分).设二元函数2 ,||||1(,)||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，其中{(,)|||||2}D x y x y =+≤.23.(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=−有公共解，求a 的值及所有公共解．24.(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征值11λ=，22λ=，32λ=−，且1(1,1,1)T α=−是A 的属于1λ 的一个特征向量.记534B A A E =−+，其中E 为3阶单位阵.(Ⅰ)验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值和特征向量； (Ⅱ)求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．1.设2()(1)(2)f x x x x =−−，则()f x '的零点个数为 ( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3．2.如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()axf x dx '⎰等于( )（A ）曲边梯形ABOD 面积． （B ）梯形ABOD 面积． （C ）曲边三角形ACD 面积． （D ）三角形ACD 面积．3.在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意的常数)为通解的是( )（A ）440y y y y ''''''+−−=（B ）440y y y y ''''''+++=． （C ）440y y y y ''''''−−+=（D ）440y y y y ''''''−+−=．4.判定函数ln ||()sin |1|x f x x x =−，则()f x 间断点的情况 ( )（A ）有一个可去间断点，一个跳跃间断点． （B ）有一跳跃间断点，一个无穷间断点．（C ）有两个无穷间断点． （D ）有两个跳跃间断点．5.设函数()f x 在(,)−∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的( ) （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛． （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛． （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛．6.设函数f 连续，若2222(,)uvD F u v dxdy x y=+⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂()（A ）2()vf u （B ）()vf u ． （C ） 2()vf u u ． （D ）()vf u u． 7.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵若3A O =，则( )（A ）E A −不可逆，E A +不可逆． （B ）E A −不可逆，E A +可逆．（C ）E A −可逆，E A +可逆． （D ）E A −可逆，E A +不可逆．8.设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭则在实数域上与A 合同矩阵为 ( )（A ）2112−⎛⎫⎪−⎝⎭（B ）2112−⎛⎫⎪−⎝⎭．（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）1221−⎛⎫⎪−⎝⎭．二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．9.已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →−=−，则(0)f = ．10.微分方程2()0xy x e dx xdy −+−=的通解是y = ．11.曲线sin()ln()xy y x x +−=在点(0,1)处的切线方程是．12.曲线23(5)y x x =−的拐点坐标为． 13.设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)z x ∂=∂．14.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ，若行列式|2|48A =−，则λ= ． 三、解答题：15~23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本题满分9分)求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx→−． 16.(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程确定，其中()x x t =是初值问题020xt dx te dt x −=⎧−=⎪⎨⎪=⎩的解，求22d y dx ．17.(本题满分9分)20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰计算21⎰．18.(本题满分11分) 计算，其中．19.(本题满分11分)设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且．对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式． 20.(本题满分11分)（I ）证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=−⎰；（II ）若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足(2)(1)ϕϕ>，32(2)()x dx ϕϕ>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，使得()0ϕξ''<． 21.(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值． 22.(本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x xx x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰{}(,),02,02D x y x y =≤≤≤≤()f x [0,)+∞(0)1f =[0,)t ∈+∞0,x x t ==()y f x =x x ()f xb 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ． (III)当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解． 23.(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1−的特征向量，向量3α满足A ααα323=+，（I ）证明123,,ααα线性无关； （II ）令123(,,)P ααα=，求1P AP −．2009年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.函数3()sin x x f x xπ−=的可去间断点的个数为( )（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）无穷多个.2.当0x →时，()sin f x x ax =−与2()ln(1)g x x bx =−是等价无穷小则( ) （A ）1,1/6a b ==−. （B ）1,1/6a b ==. （C ）1,1/6a b =−=−.（D ）1,1/6a b =−=.3.设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0) ( )（A ）不是(,)f x y 的连续点. （B ）不是(,)f x y 的极值点.（C ）是(,)f x y 的极大值点. （D ）是(,)f x y 的极小值点.4.设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)y xydx f x y dy dy f x y dx −+=⎰⎰⎰⎰( )（A ）2411(,)xdx f x y dy −⎰⎰.（B ）241(,)xxdx f x y dy −⎰⎰.（C ）2411(,)ydy f x y dx−⎰⎰（D ）221(,)ydy f x y dx ⎰⎰.5.若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点(1,1)处的曲率圆为222x y +=，则函数()f x 在区间(1,2)内( )（A ）有极值点，无零点. （B ）无极值点，有零点.（C ）有极值点，有零点.（D ）无极值点，无零点.6.设函数()y f x =在区间[1,3]−上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰的图形为( )（A ） （B ）（C ） （D ）7.设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为( )（A ）**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.（B ）**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 8.设,A P 均为3阶矩阵,T P 为P 的转置矩阵,且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若123(,,)P ααα=,1223(,,)Q αααα=+,则T Q AQ 为 ( )（A ）210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.（B ）110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.25（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ （D ）100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.曲线21022ln(2)t u x e duy t t −−⎧=⎪⎨⎪=−⎩⎰在点(0,0)处的切线方程为.10.已知||1k x e dx +∞−∞=⎰，则k =. 11.1limsin x n e nxdx −→∞=⎰.12.设()y y x =是由方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则202x d y dx==.13.函数2xy x =在区间(0,1]上的最小值为.14.设,αβ为3维列向量,T β为β的转置.若矩阵Tβα相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则Tβα=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分9分)求极限40(1cos )[ln(1tan )]limsin x x x x x→−−+.16.(本题满分10分)计算不定积分ln(1(0)dx x +>⎰.2617.(本题满分10分)设(,,)z f x y x y xy =+−,其中f 具有二阶连续偏导数.求dz 与2zx y∂∂∂.18.(本题满分10分)设非负函数()(0)y y x x =≥满足微分方程20xy y '''−+=.当曲线()y y x =过原点时,其与直线1x =及0y =围成的平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 19.(本题满分10) 计算二重积分()Dx y dxdy −⎰⎰,其中22{(,)|(1)(1)2,}D x y x y y x =−+−≤≥. 20.(本题满分12分)设()y y x =是区间(,)ππ−内过点(的光滑曲线.当0x π−<<时,曲线上任一点处的法线都过原点；当0x π≤<时,函数()y x 满足0y y x ''++=.求函数()y x 的表达式.21.(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,则存在(,)a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'−=−.(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在(0,)(0)δδ>内可导,且0lim ()x f x A +→'=,则(0)f +'存在,且(0)f A +'=.22.(本题满分11分)设2711111111,10422A ξ−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对（I ）中的任意向量23,ξξ,证明123,,ξξξ线性无关. 23.(本题满分11分) 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++−+−.(Ⅰ)求二次型f 的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.282010年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.若( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）32.设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数μλ,使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ−是该方程对应的齐次方程的解，则( )（A ）21,21==μλ． （B ）21,21−=−=μλ． （C ）31,32==μλ．（D ）32,32==μλ． 3.设曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a = ( )（A ）4e ．（B ）3e .（C ）2e .（D ）e .4.设m ，n 均是正整数，则反常积分0⎰的收敛性 ( )（A ）仅与m 的取值有关． （B ）仅与n 的取值有关.（C ）与,m n 的取值有关. （D ）与,m n 的取值无关.5.设函数(,)z z x y =是由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且 20F '≠，则z z xy x y∂∂+=∂∂ ( )（A ）x（B ）z（C ）x− （D ）z −()f x =296.2211lim()()n nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( )（A ）1201(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰． （B ）1001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰． （C ）1101(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰．（D ）112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰．7.设向量组Ⅰ：12,,,r ααα可由向量组Ⅱ：12,,,s βββ线性表示.则下列命题正确的是( )（A ）若向量组I 线性无关，则s r ≤ （B ）若向量组I 线性相关，则r s > （C ）若向量组II 线性无关，则s r ≤ （D ）若向量组II 线性相关，则r s > 8.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于( )（A ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0111（B ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−0111（C ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−0111（D ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−0111二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''−+−=的通解为y =.10.曲线3221x y x =+的渐近线方程为.11.函数ln(12)y x =−在0x =处的n 阶导数()(0)n y =.3012.当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ=的弧长为.13.已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽ω以3/cm s 的速率增加．则当12l cm =，5cm ω=时，他的对角线的增加速率为.14.设,A B 为3阶矩阵，且||3A =，||2B =，1||2A B −+=，则1||A B −+=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分10分) 求函数2221()()x t f x x t e dt −=−⎰的单调区间与极值．16.(本题满分10分) (Ⅰ)比较[]⎰⎰⋯=+11),2,1(ln )1ln(ln n dt t t dt t t n n与的大小，说明理由；(Ⅱ)记[]⎰⋯=+=1),2,1()1ln(ln n dt t t u nn ,求极限lim n n u →∞.17.(本题满分11分)设函数由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩(1)t >−所确定，其中()t ψ具有2阶导数，且5(1)2ψ=，(1)6ψ'=，已知2234(1)d y dx t =+，求函数()t ψ. 18.(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐，底面 是长轴为2a ，短轴为2b 的椭圆． 32b 时现将贮油罐平放，当油罐中油的高度为(如图)，计算油的质量．(长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为常数3/kg m ρ)3119.(本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂.确定,a b 的值，使等式在变换x ay ξ=+，x by η=+下简化为20uξη∂=∂∂． 20.(本题满分10分)计算2sin DI r θ=⎰⎰，其中(,)|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭． 21.(本题满分10分)设函数()f x 闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =，1(1)3f =．证明：存在1(0,)2ξ∈，1(,1)2η∈，使得22()()f f ξηξη''+=+． 22.(本题满分11分)设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，(Ⅰ)求λ，a ；(Ⅱ)求方程组Ax b =的通解． 23.(本题满分11分)设0141340A a a −⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，正交矩阵Q 使得TQ AQ 为对角矩阵．若Q 的第2,1)T ，求,a Q ．322011年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =−与kcx 是等价无穷小( ) （A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==− （C ）3,4k c == （D ）3,4k c ==−．2.()0(0)0,f x x f ==已知在处可导，且则，2330()2()lim x x f x f x x→−=( ) （A ）)0(2f '− （B ）)0(f '− （C ）)0(f '（D ）03.函数)3)(2)(1(ln )(−−−=x x x x f 的驻点个数为 ( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）34.微分方程2(0)xx y y e e λλλλ−''−=+>的特解形式为( )（A ） （B ）（C ） （D ）5.设函数)(x f ，()g x 均具有二阶连续导数，且满足(0)0f >，(0)0g <，且(0)(0)0f g ''==.则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 ( )（A ）(0)0(0)0f ''''<>,g （B ）(0)0(0)0f ''''<<,g ． （C ）(0)0(0)0f ''''>>,g （D ）(0)0(0)0f ''''><,g ．)(x xe ea λλ−+()xx ax e e λλ−+()xx x aebe λλ−+2()x x xae be λλ−+336.设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是 ( )（A ）I J K<<（B ）I K J<<（C ）J I K<<（D ）K J I<<7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =( ) （A ）12PP （B ）112P P − （C ）21P P （D ）121P P −．8.设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为 ( )（A ）13,αα （B ）12αα,（C ）123ααα,, （D ）234ααα,,．二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.=+→x x x 10)221(lim ___________. 10.微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解y =___________.11.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s =____________.12.设函数,0(),00,0x e x f x x λλλ−⎧>=>⎨≤⎩，则=⎰+∞∞−dx x xf )(____________.13.设平面区域D 由y x =，圆y y x 222=+及y 轴所组成，则二重积分__Dxyd σ=⎰⎰．3414.二次型3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为___.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）已知函数αx dt t x F x⎰+=2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0==+→+∞→x F x F x x ，试求α的取值范围.16.（本题满分11分）设函数()y y x =有参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.17.（本题满分9分）设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导，且在1x =处取得极值(1)1g =,求211x y zx y==∂∂∂．18.（本题满分10分）设函数()y y x =具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α是曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若dxdydx d =α，求()y x 的表达式. 19.（本题满分10分）（Ⅰ）证明：对任意正整数n ，都有nn n 1)11ln(11<+<+； （Ⅱ）设111ln (1,2,)2n a n n n=++⋯+−=⋯,证明数列}{n a 收敛. 20.（本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y 旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成.（Ⅰ）求容器的容积.（Ⅱ）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m ；重力加速度为2/s gm ；水的密度为33/10m kg ）．21.（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，⎰⎰=Da dxdy y x f ),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，计算二重积分(,)xyDI xy f x y dxdy ''=⎰⎰.22.（本题满分11分）设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1Tα=，()31,3,5Tα=不能由向量组()11,1,1T β=，()21,2,3T β=，()33,4,Ta β=线性表示．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示. 23.（本题满分11分）设矩阵A 为三阶实对称矩阵，且()2R A =，111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(Ⅰ)求A 的所有特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵A .2012年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.曲线221x x y x +=−渐近线的条数为( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）32.设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =−−−，其中n 为正整数，则(0)f '=( )（A ）1(1)(1)!n n −−− （B ）(1)(1)!n n −− （C ）1(1)!n n −− （D ）(1)!n n −3.设0n a >(1)n =，2，，12n n S a a a =+++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件. （C ）必要非充分条件 （D ）即非充分又非必要条件.4.设2sin (1,2,3)k xk I e xdx k π==⎰，则有( )（A ）123I I I <<（B ）321I I I <<（C ）231I I I <<（D ）213I I I <<5.设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）1212,x x y y ><（B ）1212,x x y y >>.（C ）1212,x x y y << （D ）1212,x x y y <>6.设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)Dxy dxdy −=⎰⎰( ) （A ）π（B ）2（C ）2− （D ）π−7.设1234123400110,1,1,1c c c c αααα−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量线性相关的为( )（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα（C ）134,,ααα（D ）234,,ααα.8.设A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且1100010002P AP −⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ −=( )（A ）100020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（B ）100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（D ）200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.设()y y x =是由方程21yx y e −+=所确定的隐函数，则22x d ydx==.10.22222111lim ()12n n n nn n→∞+++=+++ .11.设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2z z x y x y∂∂+=∂∂ .12.微分方程2(3)0ydx x y dy +−=满足条件1|1x y ==的解为y = .13.曲线2(0)y x x x =+<上的曲率为2的点的坐标是 .14.设A 为3阶矩阵，||3A =，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则||BA *=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分） 已知函数11()sin x f x x x+=−，记0lim ()x a f x →=（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若当0x →时，()f x a −与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.16.（本题满分10分） 求函数222(,)x y f x y xe+−=的极值．17.（本题满分12分）过点(0,1)作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 18.（本题满分10分） 计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中区域D 由曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.19.（本题满分10分）若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+−=及()()2xf x f x e ''+=，（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）求曲线220()()xy f x f t dt =−⎰的拐点．20.（本题满分10分）证明：21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+−<<−．21.（本题满分10分） （Ⅰ）证明方程11n n x x x −+++=（n 为大于1的整数）在区间1(,1)2内有且仅有一个实根；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限．22.（本题满分11分）设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（Ⅰ）计算||A ；（Ⅱ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.23.（本题满分11分）已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪− ⎪−⎝⎭，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求正交变换x Qy =将二次型f 化成标准形.2013年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.设cos 1sin ()x x x α−=,其中()2x πα<,则当0x →时,()x α是 ( )（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小. （C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 等阶的无穷小.2.设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +−=确定,则2lim 1n n f n →∞⎡⎤⎛⎫−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）（A ）2（B ）1（C ）1− （D ）2−.3.设函数sin ,0()2,2x x f x x πππ≤≤⎧=⎨<≤⎩,0()()x F x f t dt =⎰,则( )（A ）x π=是函数()F x 的跳跃间断点.（B ）x π=是函数()F x 的可去间断点. （C ）()F x 在x π=处连续但不可导. （D ）()F x 在x π=处可导.4.设函数111,1(1)()1,ln x e x f x x e x xαα−+⎧<<⎪−⎪=⎨⎪≥⎪⎩,若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛,则( )（A ）2α<−（B ） （C ） （D ）2α>20α−<<02α<<。
现代数学与中学数学
现代数学与中学数学数学，这门古老而深邃的学科，一直伴随着人类文明的发展。
在现代社会，数学的应用领域不断拓展，其理论和方法也日益丰富和复杂。
而中学数学，作为数学教育的基础阶段，对于培养学生的逻辑思维、创新能力和解决问题的能力起着至关重要的作用。
那么，现代数学与中学数学之间有着怎样的联系和区别呢？现代数学是一个极其广泛和深入的领域，涵盖了众多分支，如代数、几何、分析、拓扑、数论等等。
它的发展速度惊人，新的理论和方法不断涌现。
现代数学更注重抽象思维和逻辑推理，常常运用高度复杂的数学工具和概念来解决各种实际和理论问题。
相比之下，中学数学则是现代数学的一个简化和基础版本。
它主要包括代数、几何、三角等基本内容，旨在为学生提供必要的数学知识和技能，为进一步学习和未来的生活打下基础。
中学数学的教学内容相对固定，注重基础知识的传授和基本技能的训练。
尽管中学数学看起来较为简单，但它却是通往现代数学的重要阶梯。
在中学数学中，学生学会了基本的运算、方程的求解、图形的性质等，这些都是进一步学习现代数学的基石。
例如，代数中的方程和不等式，在中学阶段学生学会了一元一次方程、二元一次方程组等的解法，而在现代数学中，这些方法被拓展到更复杂的方程和不等式，如高次方程、非线性方程等。
几何方面，中学数学中的平面几何和立体几何为学生建立了空间观念和逻辑推理能力。
在现代数学中，几何的研究更加深入和抽象，如拓扑学研究的是空间的性质在连续变换下的不变性。
从教学方法和学习方式来看，现代数学的学习往往需要学生具备更强的自主学习能力和探索精神。
在大学和研究机构中，学习现代数学更多地依赖于个人的阅读、思考和研究，以及与同行的交流和合作。
而中学数学的教学则通常以教师讲解为主，学生通过大量的练习来巩固知识。
然而，这并不意味着中学数学的学习就是机械的记忆和模仿。
优秀的中学数学教师会引导学生思考问题的本质，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
现代数学的研究成果也在不断地影响着中学数学的教学内容和方法。
现代数学与中学数学
现代数学与中学数学数学是一门古老而重要的学科，它在人类文明的发展中扮演着重要的角色。
随着科技的进步和社会的发展，现代数学与中学数学之间的联系变得越来越密切。
本文将探讨现代数学与中学数学之间的关系，并通过几个例子来说明这种关系是如何实现的。
首先，现代数学在中学数学中的应用取得了显著的成果。
以代数为例，高中阶段的数学课程涉及到代数的基本概念和运算，如多项式、方程和不等式。
而现代数学的发展使得代数的应用范围更加广泛，例如线性代数和抽象代数等分支学科。
这些现代代数的概念和方法可以帮助中学生更好地理解代数的基础知识，从而提高他们解决实际问题的能力。
另外，几何学也是中学数学中的重要组成部分。
中学的几何学主要涉及到平面几何和立体几何，包括图形的性质、相似与全等、立体图形的体积和表面积等内容。
而现代几何学的发展使得几何学的应用更加广泛，例如拓扑学和非欧几何学等。
这些现代几何学的观念和方法可以帮助中学生更好地理解几何学的基础知识，并拓展他们的思维方式。
在数学的应用方面，现代数学在中学数学中发挥着重要作用。
数学在科学、工程和经济等领域的应用越来越广泛，而中学数学为培养学生的数学思维和解决实际问题的能力提供了基础。
通过中学数学的学习，学生可以了解到数学在现实世界中的应用，并为将来的学习和职业做好准备。
此外，现代数学的研究也为中学数学的教学提供了新的理论和方法。
中学数学的教学方法一直在不断发展和改进，以提高学生的学习效果和兴趣。
而现代数学的研究成果可以为中学数学的教师提供更多的教学资源和思路，帮助他们设计更具有挑战性和启发性的教学内容和活动。
总结起来，现代数学与中学数学之间存在着紧密的联系。
现代数学在中学数学中的应用和发展使得中学数学更加丰富和有趣，同时也为学生和教师提供了更多的学习和教学资源。
因此，我们应该重视现代数学与中学数学之间的关系，将其融入到中学数学的教学中，以培养学生的数学素养和应用能力，为他们的未来发展打下坚实的基础。
现代数学与中学数学应用1
现代数学与中学数学应用1在当今社会，数学的应用无处不在，从日常生活中的购物消费到科学研究中的复杂计算，从经济领域的数据分析到工程技术的精确设计，数学都发挥着至关重要的作用。
而现代数学的发展更是为解决各种实际问题提供了强大的理论支持和工具。
中学数学作为数学教育的基础阶段，不仅为学生后续的学习打下坚实的基础，也与现代数学有着紧密的联系，并在实际应用中展现出独特的价值。
现代数学是一个极其广泛和深奥的领域，涵盖了众多分支和前沿研究方向。
其中，像概率论、数理统计、线性代数、微积分等内容，已经成为许多领域不可或缺的工具。
例如，在金融领域，概率论和数理统计被广泛应用于风险评估和投资决策；在图像处理和人工智能中，线性代数是核心的数学基础；而微积分则在物理学、工程学等领域中用于描述和分析变化的现象。
中学数学虽然在深度和广度上无法与现代数学相媲美，但它包含了数学的基本概念、原理和方法，是通向现代数学的重要阶梯。
中学数学中的代数、几何、函数等知识，不仅培养了学生的逻辑思维和运算能力，也为他们理解和应用现代数学奠定了基础。
以函数为例，中学数学中对函数的定义、性质和图像的研究，让学生初步了解了变量之间的关系。
而在现代数学和实际应用中，函数的概念得到了极大的拓展和深化。
比如，在物理学中，物体的运动轨迹可以用函数来描述；在经济学中，需求函数、供给函数等帮助分析市场的供求关系。
再看几何知识，中学阶段学习的平面几何和立体几何，培养了学生的空间想象能力和推理能力。
在现代数学中，几何与拓扑学、微分几何等领域相结合，用于研究更复杂的空间结构和形状。
在建筑设计、计算机图形学等领域，几何知识的应用更是直观可见。
现代数学的一些方法和思想也逐渐渗透到中学数学教学中。
比如，数学建模的思想，通过建立数学模型来解决实际问题，这在中学数学的应用题中已经有所体现。
通过让学生将实际问题转化为数学问题，并用所学知识求解，培养了学生的应用意识和创新能力。
中学数学在实际生活中的应用也十分广泛。
研究生数学试题2024
研究生数学试题2024
研究生数学试题2024指的是在2024年研究生招生考试中，用于测试考生数学学科知识和应用能力的试卷。
通常，研究生数学试题比本科阶段难度更高，涉及更深层次和更广泛的数学知识，同时强调对数学理论的理解和应用能力的考察。
以下是一些示例题目：
1.证明题：证明当n趋向于无穷大时，调和级数（1+1/2+1/3+...+1/n）的
极限为无穷大。
2.计算题：求下列函数的导数：
(a) y = x^3 + 2x^2 - 3x
(b) y = ln(x + sqrt(1+x^2))
3.解答题：给定一个无向图G，其节点数为n，求最小生成树的Kruskal算法
的时间复杂度。
总结：研究生数学试题2024指的是在2024年研究生招生考试中使用的数学试卷。
这些试题旨在测试考生对数学理论的理解和应用能力，通常涉及更深层次和更广泛的数学知识。
通过这些题目，可以评估考生是否具备研究生阶段所需的数学素养和综合能力。
数学与应用考研真题及答案
数学与应用考研真题及答案一、数学与应用概述数学与应用是考研数学中的一项重要内容，涵盖了数学在实际应用中的各个领域。
通过了解历年的数学与应用考研真题及答案，可以对数学与应用的考题类型、难度以及解题思路有更加清晰的认识和了解。
二、数学与应用真题分析为了更好地理解数学与应用考研真题及答案，下面我们以2019年的数学与应用考研试题为例进行分析。
1.选择题选择题是数学与应用考研中常见的题型。
以下是2019年数学与应用考研试题中的一道选择题：设X~N(2, 1)，则P(0≤X≤3)等于（）。
A.0.4772B.0.3413C.0.2389D.0.6827正确答案是B。
解答该题时，需要运用正态分布的概率计算方法，根据正态分布的性质，得出正确答案。
2.填空题填空题在数学与应用考研中也很常见。
以下是2019年数学与应用考研试题中的一道填空题：已知方程组x + 2y + 3z = 6x + ky + 5z = 9mx + 8y + 7z = 3其中k、m为实数，若方程组有无穷多解，则k等于_____。
正确答案是4。
解答该题时，需要通过高斯消元法或矩阵的方法求解方程组，并得到合适的解。
3.解答题解答题考察了考生对于数学与应用知识的理解和运用能力。
以下是2019年数学与应用考研试题中的一道解答题：已知f(x)为定义在R上的可微函数，且对任意x，y有f(x+y)=f(x)+f(y)−x−y，若f(1)=3，f'(0)=2，则f(x)的解析式为______。
正确答案是f(x) = x^2 + 1。
解答该题时，需要从已知条件出发，利用可微函数的定义和导数的性质进行推导和计算，得出正确的解析式。
三、数学与应用答案解析对于以上提到的数学与应用考研真题及答案，我们需要仔细进行解析和推导，确保答案的正确性。
对于选择题，我们需要掌握相应的概率知识；对于填空题，需要熟练掌握线性方程组的解法；而对于解答题，需要理解函数的定义和导数的性质，灵活运用相关知识进行解答。
2024年考研高等数学一现代几何学的基本思想历年真题
2024年考研高等数学一现代几何学的基本思想历年真题现代几何学作为高等数学的重要分支之一，在考研中占据着重要的地位。
了解并掌握现代几何学的基本思想，对于考生们顺利通过2024年考研高等数学一是至关重要的。
本文将通过回顾历年真题，来解析现代几何学的基本思想，帮助考生们更好地备战2024年考研高等数学一。
第一部分：直线与平面的位置关系1. 点到直线的距离计算问题在现代几何学中，点到直线的距离计算是一个基本且重要的问题。
通过观察历年真题中的相关题目，我们可以发现，点到直线的距离可以通过点到直线的垂线或者利用线段的长度等方式来计算。
考生在解题过程中应该注意不同题目的特点，选择合适的计算方法。
2. 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系也是考研高等数学一中经常涉及到的一个概念。
在历年真题中，我们可以看到不同形式的直线与平面的位置关系，如直线与平面的交点、直线在平面上平行或垂直等。
考生需要熟练掌握直线与平面的位置关系的判断方法，并能够正确运用于解题中。
第二部分：曲线的性质与参数方程1. 曲线的几何性质对于曲线的几何性质的理解是现代几何学中的重要内容之一。
在历年真题中，我们可以看到不同类型的曲线，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
考生需要掌握各种曲线的基本性质，如对称性、焦点、直径、离心率等，并能够根据题目中所给条件进行运用和推导。
2. 参数方程与曲线的关系参数方程是解决曲线与直线问题的重要工具。
在历年真题中，我们可以看到不同的参数方程与曲线的关系，如椭圆的参数方程、双曲线的参数方程等。
考生需要了解参数方程的定义、性质及其与曲线的关系，能够正确利用参数方程解决相关问题。
第三部分：空间几何与球面几何1. 空间几何的基本思想空间几何是现代几何学的重要分支之一，对考生而言也是一个难点。
在历年真题中，我们可以看到空间几何与点、直线、平面等相关题目。
考生需要掌握空间几何的基本思想，如空间直线的位置关系、空间中两直线的角度等，并能够应用到解题过程中。
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①式两边积分，有
又 过点 ，从而C=0
四、（10分）证明：若 ，则
解：记 ，由于 ，故 在 上连续，在 内可导。
由拉格朗日中值定理存在 ，有 ，
即 ，同理存在 ，有
又 在 上递减， ，
，也就是：
五、
（10分）求顶点在坐标原点的锥面 与平面 所围成的锥体的体积。
解：任取 ，过点 作垂直于 轴的平面，截面为椭圆，其方程为 ，截面面积
回代求得：
所以原方程组的解为
十、（10分） 使用二分法求解 于[1,2]内的根，二分3次即可。
解：记 ， ， 在区间（1，2）内有零点，记为 。
取区间（1，2）的中点 ， ，所以 ;
取区间（1，1.5）的中点 ， ，所以 ;
取区间（1.25，1.5）的中点 ， ，所以
所以 的近似解为1.375.
解：由 有：
现有样本 ，故似然函数为
①
①式两边取自然对数，得：
两边对 求导，得：
令 ，解得
的最大似然估计值的计算公式为
八、（10分） 甲同学在他的盒子中放了200个玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告诉其他任何人），甲同学当众宣布：他的这些球中黑球所占比例p=3%，乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10个），观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1）假如乙同学发现他任取的10个球中2个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的说法？（2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球，问此时乙同学对甲同学的说法又应做何反应？
=0.237451
于是
1－ － = 1－0.732140－0.237451 = 0.030409。
上述结果表明，若甲同学所说的200个球中黑球所占比例为3%为真的话，则任取10个球，出现至少2个黑球的概率为0.030409。这样的抽样做100回，遇到这种情况（至少取到2个黑球）将不到4回，现在，只做一回抽样（乙同学取10个球）就遇上了这种罕见的事情，这和实际推断原理断定的结果：小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的，产生了矛盾，究其原因，产生这种矛盾的根源在于甲同学的说法p=3%，因此乙同学应该拒绝假设H0：p=3%，认为甲同学的200个球中黑球所占比例将远大于3%，从而拒绝甲同学的说法，认为甲同学宣称的200个球中黑球所占比例为3%不可信。
解：（1）、把甲同学的说法当作一种假设，即令H0：p=3%，假定p=3%真确，这时200个球中的黑球数应为6，用我们在概率中学过的方法，来计算任取10个球中至少有2个是黑球的概率。
令 表示任取10个球中恰有 个黑球这一事件的概率，则
= P{“乙同学所取的10个球中无黑球”}
= P{“乙同学所取的10个球中恰有一个黑球”}
（2）、如果乙同学任取的10个球中没有黑球，全是白球的话，则乙同学只好承认甲同学宣称的200个球中黑球所占比例为3%可能是可信的。
九、（10分） 用选主元素的Gauss消元法求解
请指明消元、回代过程。
解：
做（第i个方程）+ （第1个方程）， 。完成第一步消元得：
做第三个方程+ 第二个方程，完成第二步消元得：
故
六、（10分） 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.3,0.6。今各投2次。求甲比乙投中次数多的概率。
解：设甲、乙两人各投篮两次，投中的次数分别为 ，则 ， 。
甲比乙投中次数多的概率为0.1248。
七、（10分） 要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做试验。假定把50只小白鼠随机地分成10组，每组5只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时间后，观察每组小白鼠患癌的个数，得到 ，则 ，这里 就是这种物质致癌的概率。试导出 的最大似然估计值的计算公式。
年月日
现代数学与中学数学
考试卷
一、(10分) 对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例
（1） （2）
解：（1）错。
令
则
（2）正确。
设 的定义域分别为A、B、C，
对
二、（10分） 若函数 在点 可导，计算
（1） （2）
解：（1）
（2）
三、（10分） 求一函数 ，其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。
研究生课程进修班试卷封面
*********
单 位：登封市嵩阳高级中学
专 业：数学
考试科目：现代数学与中学数学
考试分数：
2013年9月6日
东北师范大学研究生课程进修班考试市嵩阳高级中学
专业数学
年月日
题号
分数
签名
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总分
评阅教师签字：