2019年高考数学复习5函数的单调性与最值理北师大版_4198

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北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《函数的单调性和最值》典型例题剖析

《函数的单调性和最值》典型例题剖析题型1 求函数的单调区间例1、（1）求函数1()1f x x =+的减区间；（2）作出函数()|3|f x x =-. 解析（1）求函数解析式确定的单调区间应本着定义域优先的原则.（2）求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的一般转化成分段函数的形式后再求解.答案（1）函数1()1f x x =+的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则f ()()()()211212121101111x x f x f x x x x x --=-=>++++，所以()()12f x f x >，所以(,1)-∞-为1()1f x x =+的减区间.同理可得(1,)-+∞也为1()1f x x =+的减区间. （2）原函数可化为2,3,()6,33,2,3,x x f x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其图象如图所示.由图象知，函数()f x 的增区间为[3,)+∞，减区间为(,3]-∞-.规律总结利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”或“，”连接，不能用“⋃”连接.变式训练1 已知2()12f x x x =--，求()f x 的单调区间.答案 22149()1224f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.如图，作出函数()f x 的简图，观察其图象可知，函数()f x 的单调递增区间为13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和[4,)+∞，单调递减区间为(,3]-∞-和1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.易错提示上题中单调区间的表示容易错写成：函数()f x 的单调递增区间为13,[4,)2⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为1(,3],42⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦，这里区间之间不能用“⋃”相连.题型2 已知函数的单调性求参数的取值范围例2、已知函数2()2(1)2f x x a x =--+在(,4]-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.解析思路一：根据二次函数图象的开口方向和对称轴与区间的关系构造关于a 的不等式求解.思路二：利用单调性的定义进行求解.答案方法一：2()2(1)2f x x a x =--+22[(1)]2(1)x a a =--+--，()f x ∴的减区间是(,1]a -∞-.又()f x 在(,4]-∞上是减函数，14a ∴-，即3a -.∴实数a 的取值范围是(,3]-∞-.方法二：设124x x <，则()()12f x f x -2211222(1)22(1)2x a x x a x ⎡⎤⎡⎤=--+---+⎣⎦⎣⎦()[]12122(1)0x x x x a =-+-->恒成立.120x x -<， 122(1)0x x a ∴+--<，即122(1)x x a +<-恒成立.()12max 2(1)x x a ∴+<-.124,4x x <，128x x ∴+<.2(1)8a ∴-.3a ∴-.∴实数a 的取值范围是(,3]-∞-.规律总结（1）函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的取值范围.（2）若一个函数在区间[,]a b 上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.变式训练2 已知函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围.答案函数2()23f x x ax =--的图象开口向上，对称轴为直线x a =，画出草图如图所示.由图象可知函数在(,]a -∞和[,)a +∞上分别单调，因此要使函数()f x 在区间[1,2]上单调，只需1a 或2a （其中当1a 时，函数()f x 在区间[1,2]上单调递增；当2a 时，函数()f x 在区间[1,2]上单调递减），从而(,1][2,)a ∈-∞⋃+∞.易错提示本题容易漏掉一种情况，即只考虑在区间[1,2]上单调递增，或只考虑在区间[1,2]上单调递减，在区间[1,2]上单调，包含两种情况，既包括单调递增，也包括单调递减.题型3 利用单调性求函数的最值例3、（1）求函数2()2f x x x =-+在区间[0,)+∞上的最大值；（2）求函数2()1f x x =--在区间[2,6]上的最大值和最小值. 解析（1）画出函数图象，确定函数对称轴与定义域的关系，得出函数的单调性，然后根据单调性求函数的最值.（2）先利用单调性的定义证明函数在区间[2,6]上的单调性，然后根据单调性求函数的最值.答案（1）画出函数2()2f x x x =-+的图象（如图），由图象可知()f x 在[0,1]上是增函数，在[1,)+∞上是减函数，所以()f x 在[0,)+∞上的最大值是(1)1f =.（2）任取12,[2,6]x x ∈，且12x x <，则()()21f x f x -212211x x =-----()()()2121211x x x x -=++.因为1226x x ，所以()()21210,110x x x x ->++>，于是()()()21212011x x x x ->++，即()()12f x f x <，所以函数2()1f x x =--在区间[2,6]上是增函数，所以函数2()1f x x =--在区间[2,6]的左，右端点处分别取得最小值、最大值，即最大值为22(6)617f ==---，最小值为22(2)213f ==---. 方法归纳利用单调性求最大值、最小值需注意的几点：（1）写出最值时要写最高（低）点的纵坐标，而不是横坐标. （2）求最值要考虑函数的定义域.（3）求最值，尤其是闭区间上的最值，要判断单调性而不能直接将两端点值代入.变式训练3 已知函数3()21f x x =-，求函数()f x 在区间[1,5]上的最值. 答案先证明函数3()21f x x =-的单调性，设12,x x 是区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的任意两个实数，且2112x x >>，则()()()()()2112121263321212121x x f x f x x x x x --=-=----. 由于2112x x >>，所以210x x ->，且()(122121)0x x -->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数3()21f x x =-在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，所以函数()f x 在区间[1,5]上是减函数，因此，函数3()21f x x =-在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为(1)3f =，最小值为1(5)3f =.易错提示求闭区间上的最值，容易直接代入端点值求函数的最值，这样是错误的，必须先判断单调性，再求最值.规律方法总结1.准确理解函数的单调性.（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，是函数的一个“局部”性质，函数在单独的一点处没有单调性.（2）定义中的1x 和2x 有如下三个特征：①任意性：即“任意取1x 和2x ”中“任意”二字不能去掉，不能以特殊值代换.②12,x x 属于同一个单调区间. ③有大小之分，一般令12x x <.（3）函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系：比如()f x 在区间I 上是减函数，若12,x x I ∈，则()()1212f x f x x x >⇔<.2.函数的最值与值域、单调性之间的联系.（1）对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数1 yx =.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.（2）若函数()f x在闭区间[,]a b上单调，则()f x的最值必在区间端点处取得，即最大值是()f a或()f b，最小值是()f b或()f a.核心素养园地例、函数的单调性是函数的重要性质之一，利用单调性不仅能够解决具体函数的有关问题，还能够解决抽象函数的一些相关问题.已知函数()f x是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意的0,0x y>>，都有()()f xy f x=，且满足(2)1f=.（1）求(1),(4)f f的值；（2）求满足(2)(3)2f f x+-的x的取值范围.解析（1）抽象函数的求值问题一般利用赋值法求解.赋值时要目标明确，要结合已给出的函数值和要求的函数值进行恰当的赋值.（2）解抽象不等式，要充分利用条件和函数的单调性把“f”符号脱掉，转化为一般的不等式求解.答案（1）令1x y==，得(1)(1)(1)f f f=+，所以(1)0f=.令2x y==，得(4)(2)(2)112f f f=+=+=，所以(4)2f=.（2）由(2)1f=及()()()f xy f x f y=+可得211(2)(2)(4)f f f=+=+=.因为(2)(3)2f f x+-.所以(2(3))(4)f x f-.又函数()f x是定义在(0,)+∞上的增函数，所以2(3)0,2(3)4,xx->⎧⎨-⎩解得35x<.讲评本题是抽象函数不等式问题，考查学生应用所学知识把抽象问题转化为具体问題解决的能力.由于没有给出函数解析式，必须结合题目给出的条件，把f f x+-转化成两个函数值的大小，然后利用函数的单调性转化成具体(2)(3)2的不等式求解，转化过程中一定要注意函数的定义域.如果能利用赋值正确求出第（1）题，那么可以认为达到数学运算核心素养水平一的要求；如果能进行正确转化，求出第（2）题中x的取值范围，那么可以认为达到逻辑推理、数学运算核心素养水平二的要求.。

北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《函数的单调性和最值》课标解读

《函数的单调性和最值》课标解读教材分析本节的主要内容是函数的单调性和最值.函数的单调性把自变量的变化和函数值的变化定性地联系在一起，起着承前启后的作用，函数的单调性与函数的概念和函数的表示法有着密切的联系，函数的单调性和后面要学习的函数的奇偶性合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数的理论基础.函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，本节通过对具体函数图象的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的.教材中在判断函数的增减性时，既有从图象上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图象得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系.函数的单调性和最值有着广泛的实际应用，在解决函数值域、定义域、最值、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性.高考中主要考查函数单调性的判断、求函数的单调区间、函数单调性的应用.本节内容涉及的数学核心素养有数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等.学情分析学生在初中阶段通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势.学生具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.学生学习本节内容的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度，而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱这些都容易产生思维障碍.教学建议在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其是抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.教学中为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，可以采取以下形式组织学习材料:1.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示，在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段，观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数的单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段，首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”借助多媒体引导学生对“y随x的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4.在“学以致用”阶段，首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识，然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法，接着请学生板演实践.学科核心素养目标与素养1结合初中已学习的函数图象，通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，抽象概括出增函数和减函数的定义，达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.会利用单调性的定义判断和证明函数的单调性，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.3.会求函数在给定区间上的最值，达到数学运算核心素养水平一的要求.情境与问题案例一通过回顾初中学习的一次函数、二次函数、反比例函数的函数值()f x 随自变量x的变化情况，结合某天气温随时间的变化曲线，引入本节内容的教学.案例二通过系列问题的设计，复习函数的概念，引发学生回忆思考，通过回顾初中学习的一次函数的图象与性质，在已有知识基础上去探求新知识，引入课题.内容与节点函数的单调性是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后续学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等，在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.过程与方法通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量，引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 教学重点难点重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.。

2019届高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ2.2函数的单调性与最大小值学案理北师大版

§2.2 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间． 2．函数的最值知识拓展函数单调性的常用结论 (1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增加的，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减少的．(2)对勾函数y＝x ＋ax(a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，递减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞)．( × ) (3)函数y ＝1x的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ ) 题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是____________．答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞)) 3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是________．答案 24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的递减区间为________．答案 (2，＋∞)6．若函数f (x )＝|2x ＋a |的递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．答案－6解析由图像(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a＝－6.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．答案 2解析当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.题型一确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性典例 (1)(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D解析由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的递增区间为(4，＋∞)．故选D.(2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间是__________________________________．答案 [－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图像如图．由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2 解析式含参数的函数的单调性典例判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上是增加的．证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14. 又因为1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上是增加的．引申探究如何用导数法求解本例？解因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x2，因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8，又1＜a ＜3，所以2ax 3－1＞0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练 (1)(2017·郑州模拟)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132231x x －＋的递增区间为( )A ．(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞答案 B解析易知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 为减函数，t ＝2x 2－3x ＋1的递减区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34.∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132231x x －＋的递增区间是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34.(2)函数f (x )＝|x －2|x 的递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．(0,2] D ．[2，＋∞)答案 A解析由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的递增区间；当x <2时，(－∞，1]是函数f (x )的递增区间， [1,2]是函数f (x )的递减区间．题型二函数的最值1．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减少的，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上是增加的，所以f (x )在[－1,1]上是减少的，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x ＞1，则f (x )的最小值是________．答案 26－6解析当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x ＞1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.3．(2017·浙江)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定．随着b 的变动，相当于图像上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图像左右移动，则M－m 的值在变化，故与a 有关，故选B. 思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．题型三函数单调性的应用命题点1 比较大小典例已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 答案 D解析根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式典例若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)答案 B解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.命题点3 求参数范围典例 (1)(2018·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－3 B ．a ＜3 C ．a ≤－3D ．a ≥－3(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 答案 (1)C (2)C 解析 (1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.∴a 的取值范围是a ≤－3.(2)由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1.(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13. 思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2,4]上是减少的，则实数a 的值是________．答案 8解析 f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (2x －a )，x >a 2，－x (2x －a )，x ≤a2(a >0)，作出函数图像(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 4，a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a4≤2，a 2≥4，解得a ＝8.(2)(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增加的，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (19log x )>0的解集为________________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3解析由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也是增加的．∴f (19log x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (19log x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， ∴19log x ＞12或－12＜19log x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案 A解析函数y ＝x ＋1的递增区间是(－1，＋∞)，在(0，＋∞)上为增函数，故选A. 2．(2017·河南中原名校第一次质检)函数y ＝12log (－x 2＋x ＋6)的递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析由－x 2＋x ＋6＞0，得－2＜x ＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的递减区间．利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2,3)上的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上是增加的”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析若函数f (x )在R 上是增加的，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上是增加的”的充分不必要条件．4．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则a >0且a －1≥0，即a ≥1.5．(2017·天津)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b 答案 C解析 ∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8，∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c . 故选C.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2] 答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的递增区间为________．答案 [3，＋∞)解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图像的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上是减少的，在[3，＋∞)上是增加的．所以函数f (x )的递增区间为[3，＋∞)． 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．答案 [0,1)解析由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数g (x )的图像如图所示，其递减区间为[0,1)．9．(2017·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上是增加的，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.11．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围．(1)证明设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的．(2)解设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.12．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．解 f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－2a ＋2. 由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去． ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.13．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D解析由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋a x －2a 在(|a |，＋∞)上为增函数，故选D.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上是减少的，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上是减少的，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上是减少的，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件： ①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )．则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝________. 答案 34 解析由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②，令x ＝1，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)＝12. 令x ＝13，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝14. 由③结合f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝12，令x ＝23，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫29＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝14，因为19<18<29且函数f (x )在[0,1]上为非减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝34.16．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x－2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0，当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立，所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。

2019大一轮高考总复习文数北师大版讲义：第2章第02节

第二节函数的单调性与最值1．增函数与减函数的定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上．(1)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．(2)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．2．单调区间、单调性及单调函数(1)单调区间：如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间，在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数：如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．3．函数的最大值和最小值(1)两个易误点①易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．②函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．(2)复合函数的单调性形如y ＝f (v (x ))的复合函数的增减性如下：(3)①函数y ＝－f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反；②函数f (x )恒正或恒负时，函数y ＝1/f (x )与y ＝f (x )的单调性相反；③在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数；减函数－增函数＝减函数，增函数－减函数＝增函数．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( )(3)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(5)所有的单调函数都有最值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2．(教材习题改编)函数y ＝(2m －1)x ＋2在R 上是减少的，则( ) A ．m >12B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：选B 若y ＝(2m －1)x ＋2在R 上是减少的，则2m －1<0，即m <12.3．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x 与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．4．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]5．函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为______；f(x)max＝________.解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.答案：[1,4]8判断函数的单调性[明技法]判断函数单调性的方法(1)定义法：取值→作差→变形→定号→下结论．(2)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．(3)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．(4)图像法：从左往右看，图像逐渐上升，单调增；图像逐渐下降，单调减．[提能力]【典例】(2018·佛山联考)讨论函数f(x)＝axx2－1(a>0)在(－1,1)上的单调性．解：方法一(定义法)设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2(x21－1)(x22－1)＝a(x2－x1)(x1x2＋1)(x21－1)(x22－1).∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0. 又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．方法二(导数法)f′(x)＝(ax)′(x2－1)－ax(x2－1)′(x2－1)2＝a(x2－1)－2ax2(x2－1)2＝a(－x2－1)(x2－1)2＝－a(x2＋1) (x2－1)2.∵a >0，x ∈(－1,1)，∴f ′(x )<0. ∴f (x )在(－1,1)上是减函数． [刷好题]1．(金榜原创)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x解析：选A 对于选项A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；B 、C 、D 选项中的函数在(0，＋∞)内的单调性不确定，故选A ．2．(2018·长春质检)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.求函数的单调区间 [明技法]求函数单调区间的方法[提能力]【典例】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D ． (2)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．解：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图像如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为 [－1,0]和[1，＋∞)． [母题变式] 若将本例(2)中函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为[1－2，1]和[1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．[刷好题]1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图像可知函数的单调减区间是[1,2]． 2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1, ＋∞) B ．⎝⎛⎦⎤－∞， 34 C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞解析：选B 令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18. 因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上单调递减．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增．函数单调性的应用[析考情]函数单调性结合函数图像以及函数其他性质的应用是近几年高考命题的热点．试题常以选择题、填空题的形式出现，考查函数最值或值域问题、比较函数值大小、解含“f ”符号的不等式以及求参数等问题，试题难度中档．[提能力]命题点1：求函数最值(值域)问题【典例1】 (2018·榆林检测)函数f (x )＝x x －1(x ≥2)的最大值为________．解析：f ′(x )＝(x －1)－x (x －1)2＝－1(x －1)2，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2. 答案：2命题点2：比较函数值的大小【典例2】已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．b <a <c C ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B 方法一由题意知f (x )＝f (2－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫2＋12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .方法二由对称性及单调性得其图像草图如图所示．结合图像得f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3)，即b <a <c . 命题点3：解函数不等式问题【典例3】已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为____________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) 命题点4：求参数的值或取值范围问题【典例4】 (2018·凯里模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D ．[悟技法]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解． (4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[刷好题]1．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)解析：选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．2．(2018·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选D ∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数， ∴a ≤1，又∵g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，∴a >0，∴0<a ≤1.3．已知定义在R 上的函数f (x )是增函数，则满足f (x )<f (2x －3)的x 的取值范围是________．解析：依题意得，不等式f (x )<f (2x －3)等价于x <2x －3，由此解得x >3，即满足f (x )<f (2x －3)的x 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞) 4．若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6.。

高三数学第5讲函数的单调性与最值复习课件文北师大版

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第5讲 │ 要点探究
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第5讲 │ 规律总结规律总结
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第5讲 │ 函数的单调性与最值
第5讲函数的单调性与最值
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第5讲 │ 知识梳理知识梳理
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第5讲 │ 知识梳理
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第5讲 │ 知识梳理
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第5讲 │ 要点探究要点探究
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第5讲 │ 要点探究
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第5讲 │ 要点探究
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第5讲 │ 要点探究

函数的单调性和最值高中数学北师大版必修第一册

结论
增
调递减
图象
自左向右图象逐渐上升
自左向右图象逐渐下降
特征
图
示
名师点析 x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈I;
(2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1<x2.
微练习
若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在(0,+∞)
+1
+2
变式训练 3 判断函数 f(x)=
≠
1
2
在(-2,+∞)上的单调性.
解任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,
1-2
+2+1-2
=a+ +2 ,
∵f(x)=
+2
1
1-2
1-2
∴f(x2)-f(x1)= + +2 − + +2 =(1-2a)·( +2 −
=[2(x1+x2)-3](x1-x2).由 x1,x2∈
3
-∞,
4
且 x1<x2,得
3 3
x1+x2< +
4 4
=
3
,x1-x2<0,
2
则 2(x1+x2)<3,即 2(x1+x2)-3<0,
所以 f(x2)>f(x1),故函数
f(x)=-2x2+3x+3
在区间
3
-∞, 4
上单调递增.
反思感悟利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤

函数的单调性和最值高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

在区间D上单调性的符号表述吗？
函数的单调性定义
设函数y=f（x）定义域为D
如果对于任意的x1，x2 D
，当x1<x2时
, 都有f(x1)<f(x2),那么就称函数y=f(x)是增函
数;特别地，当I是定义域的一个区间时，称
函数y=f(x)在区间上单调递增。
图形表示
设函数y=f（x）定义域为D
如果对于任意的x1，x2 D
间[-6, -5]上函数值y随x值的增大而增大呢？
本节课我们要用定量的方法来刻画函数值随自变量
的增大而增大（或减小）的变化规律----函数的单调性
问题1：我们之前研究过二次函数，现在我们以函
数y=x2 为例，从图像上我们可以看出在区间 (,0] 上，
y随x的增大而减小，请问你是怎么理解“y随x的增大而
（3）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究方法有
什么体会？
体现了由特殊到一般、具体到抽象、由形到数的过程，从而提
升了我们的数学运算、直观想象及数学抽象等数学核心素养。
作业布置
1、必做题教材第62页习题2-3 A组第一题
2、知识升华
y f ( x)在区间A是增加的（x1，x2 A）
任意x1 x2 , 都有f ( x1 ) f ( x2 )
当x从-3增大到-2，函数值f（x）从9减小到4；
当x从-2增大到-1，函数值f（x）从4减小到1。
问题3：这样的变化过程能写完吗？你能借助字母符号，
归纳上述具体数值变化的共同点吗？
只要 x1<x2
，就有 f( x1)> f( x2)
。
问题4：这里对 x 1 ， x 2 有什么要求？只取区间

2019年高三理科数学北师大版一轮复习：函数的单调性与最值

解析：函数 f(x)的对称轴为 x＝1，单调增区间为[1，4]，f(x)max ＝f(－2)＝f(4)＝8.
答案：[1，4] 8
设定义在[－1，7]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的增区间为________．
解析：由图可知函数的单调递增区间为[－1，1]和[5，7]．
答案：[－1，1]，[5，7]
a（x2－x1）＝，由于－1＜x1＜x2＜1，（x1－1）（x2－1）
所以 x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，函数 f(x)在(－1，1)上单调递减；当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，函数 f(x)在(－1，1)上单调递增．
区间D 叫做函数 y＝f(x)的单调区间． ___________
2．函数的最值与值域 (1)最值前提设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I，都有 (1)对于任意 x∈I，都条件
f(x)≤M ； ___________
(2)存在 x0∈I，使得
f(x)≥M ；有___________
(2)存在 x0∈I，使得
f(x0)＝M ___________
结论 M 为最大值
f(x0)＝M ___________
M 为最小值
(2)值域 ①函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值．因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值． ②常见函数的值域一次函数的值域为 R；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为 {y∈R|y≠0} ；指数函数的值域是 {y|y>0}；对数函数的值域是 R；正、余弦函数的值域是[－1， 1]，正切函数的值域是 R.

2019届北师大版高三数学(理)复习学案：学案5 函数的单调性与最值(含答案)

学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(f(x 1)>f(x 2))，那么就说f(x)在区间D 上是______________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b]，那么(x 1－x 2)(f(x 1)－f(x 2))>0⇔1－2x 1－x 2>0⇔f(x)在[a ，b]上是________；(x 1－x 2)(f(x 1)－f(x 2))<0⇔1－2x 1－x 2<0⇔f(x)在[a ，b]上是________．(3)单调区间：如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的__________．(4)函数y ＝x ＋ax(a>0)在 (－∞，－a)，(a ，＋∞)上是单调________；在(－a ，0)，(0，a)上是单调______________；函数y ＝x ＋ax(a<0)在______________上单调递增．2．最值一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M.那么，称M 是函数y ＝f(x)的____________．自我检测1．(2018·杭州模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有 ( )A ．f(a)<f(2a)B ．f(a 2)<f(a)C ．f(a 2＋a)<f(a)D ．f(a 2＋1)>f(a)3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( ) A ．y ＝1－2x B ．y ＝x －1C ．y ＝－x 2＋2x D ．y ＝54．(2018·合肥月考)设(a ，b)，(c ，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x 1∈(a ，b)，x 2∈(c ，d)，x 1<x 2，则f(x 1)与f(x 2)的大小关系是 ( )A ．f(x 1)<f(x 2)B ．f(x 1)>f(x 2)C ．f(x 1)＝f(x 2)D ．不能确定5．当x ∈[0,5]时，函数f(x)＝3x 2－4x ＋c 的值域为 ( )A ．[c,55＋c]B ．[－43＋c ，c]C ．[－43＋c,55＋c] D ．[c,20＋c]探究点一函数单调性的判定及证明例1 设函数f(x)＝x ＋ax ＋b(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f(x)是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f(x)>0，且f(5)＝1，设F(x)＝f(x)＋1，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论．探究点二函数的单调性与最值例2 (2018·烟台模拟)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f(x)＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三抽象函数的单调性例3 (2018·厦门模拟)已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R ，总有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R 上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x 1x 2)＝f(x 1)－f(x 2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (12分)求f(x)＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【答题模板】解 f(x)＝(x －a)2－1－a 2，对称轴为x ＝a.(1) 当a<0时，由图①可知，f(x)min ＝f(0)＝－1，f(x)max ＝f(2)＝3－4a.[3分](2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min ＝f(a)＝－1－a 2，f(x)max ＝f(2)＝3－4a.[6分](3)当1<a≤2时，由图③可知，f(x)min ＝f(a)＝－1－a 2，f(x)max ＝f(0)＝－1.[9分](4)当a>2时，由图④可知，f(x)min ＝f(2)＝3－4a ，f(x)max ＝f(0)＝－1. 综上，(1)当a<0时，f(x)min ＝－1，f(x)max ＝3－4a ；(2)当0≤a<1时，f(x)min ＝－1－a 2，f(x)max ＝3－4a ；(3)当1<a≤2时，f(x)min ＝－1－a 2，f(x)max ＝－1； (4)当a>2时，f(x)min ＝3－4a ，f(x)max ＝－1.[12分] 【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x ＝a ，而a 的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．2．若函数f(x)，g(x)在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)＋C 具有相同的单调性．(2)f(x)与af(x)，当a>0时，具有相同的单调性，当a<0时，具有相反的单调性．(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与1具有相反的单调性．(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)＋g(x)是增(减)函数．(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)·g(x)当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2018·泉州模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2009·天津)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x≥0，4x －x 2， x<0，若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．(2009·宁夏，海南)用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x ＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 ( )A．4 B．5 C．6 D．74．(2018·丹东月考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1]5．(2018·葫芦岛模拟)已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值 ( )A．一定大于0 B．一定小于0C6．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．7．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝1是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数．8．设0<x<1，则函数y＝1x＋11－x的最小值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2018·湖州模拟)已知函数f(x)＝a－1|x|.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．10．(12分)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．11．(14分)(2018·鞍山模拟)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有＋a＋b>0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f(x＋12)<f(1x－1)；(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．答案自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数减函数(3)单调区间(4)递增递减(－∞，0)，(0，＋∞) 2.最大(小)值自我检测1．B [由已知得a<0，b<0.所以二次函数对称轴为直线x＝－b2a<0，且图象开口向下．] 2．D [∵a2＋1>a，f(x)在R上单调递增，∴f(a2＋1)>f(a)．]3．C [常数函数不具有单调性．]4．D [在本题中，x1，x2不在同一单调区间内，故无法比较f(x1)与f(x2)的大小．]5．C [∵f(x)＝3(x －23)2－43＋c ，x ∈[0,5]，∴当x ＝23时，f(x)min ＝－43＋c ；当x ＝5时，f(x)max ＝55＋c.]课堂活动区例1 解题导引对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝2＋1＋－2＋1＋1＋2＋＝－2－x 11＋2＋.∵a>b>0，∴b －a<0，∴(b －a)(x 2－x 1)<0，又∵x ∈(－∞，－b)∪(－b ，＋∞)，∴只有当x 1<x 2<－b ，或－b<x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b ，或－b<x 1<x 2时，f(x 2)－f(x 1)<0，即Δy<0.∴y ＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1 解在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f(x 2)>f(x 1)，F(x 2)－F(x 1)＝[f(x 2)＋12]－[f(x 1)＋11]＝[f(x 2)－f(x 1)][1－112]，∵f(x)是R 上的增函数，且f(5)＝1，∴当x<5时，0<f(x)<1，而当x>5时f(x)>1； ①若x 1<x 2<5，则0<f(x 1)<f(x 2)<1，∴0<f(x 1)f(x 2)<1，∴1－112<0，∴F(x 2)<F(x 1)；②若x 2>x 1>5，则f(x 2)>f(x 1)>1，∴f(x 1)·f(x 2)>1，∴1－112>0，∴F(x 2)>F(x 1)．综上，F(x)在(－∞，5)为减函数，在(5，＋∞)为增函数．例2 解 (1)当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x＋2，设x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵1<x 1<x 2，∴1－12x 1x 2>0，∴f(x 1)－f(x 2)<0，∴f(x 1)<f(x 2) ∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f(x)恒成立，故a>－3.方法二 f(x)＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正，满足题意，当a<0时，函数f(x)递增；当x ＝1时，f(x)min ＝3＋a ，于是当且仅当f(x)min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.方法三在区间[1，＋∞)上f(x)＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a>0恒成立．即a>－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a>－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值．∴a>－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a>－3. 变式迁移2 解设1<x 1<x 2.∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x 1)－f(x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0.又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a>－x 1x 2恒成立．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f(x)为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．(1)证明设x 1>x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1－x 2＋x 2)－f(x 2) ＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)－f(x 2) ＝f(x 1－x 2)又∵x>0时，f(x)<0.而x 1－x 2>0，∴f(x 1－x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在R 上为减函数． (2)解 ∵f(x)在R 上是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．又∵f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1) ∴f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f(1)＝f(x 1)－f(x 1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x>1时，f(x)<0，∴f(x 1x 2)<0，即f(x 1)－f(x 2)<0，∴f(x 1)<f(x 2)，∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f(x 1x 2)＝f(x 1)－f(x 2)得f(93)＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2. 由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x>0时，由f(|x|)<－2，得f(x)<f(9)，∴x>9；当x<0时，由f(|x|)<－2，得f(－x)<f(9)， ∴－x>9，故x<－9，∴不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．课后练习区1．A [f(x)对称轴x ＝a ，当a≤1时f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴“a＝1”为f(x)在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．]2．C [由题知f(x)在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a<1.] 3．C由题意知函数f(x)是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．]4．D [f(x)在[a ，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a≤1.]5．A [∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f(x 1)>f(－x 2)＝－f(x 2)， f(x 2)>f(－x 3)＝－f(x 3)， f(x 3)>f(－x 1)＝－f(x 1)，∴f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)>－f(x 2)－f(x 3)－f(x 1)． ∴f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)>0.]6．[0，32]解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－－－.画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析举例：设f(x)＝x ，易知①②④均不正确． 8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1－，当0<x<1时，x(1－x)＝－(x －12)2＋14≤14.∴y≥4.9．(1)证明当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f(x 1)－f(x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分) ∴f(x 1)<f(x 2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………………………………………………………(6分)(2)解由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x ＋1x，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………………………………………………………………(8分)∵h′(x)＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x2>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．…………………………………………………………(10分)故a≤h(1)，即a≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(12分) 10．解设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)≥0，由题意知，f(x)的对称轴为－a2.(1)当－a2<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤73.又a>4，故此时的a 不存在．……………………………………………………………(4分)(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f(－a 2)＝3－a －a24≥0得－6≤a≤2.又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.……………………………………………………………(8分)(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0得a≥－7. 又a<－4，故－7≤a<－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a≤2.………………………………………………(12分) 11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数， ∴f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)＋f(－x 2)＝1＋－x 2x 1＋－x2·(x 1－x 2)，由已知得1＋－x 2x 1＋－x2>0，x 1－x 2<0，∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．∴f(x)在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分) (2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x＋12≤1，－1≤1x －1分∴－32≤x<－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am≥0，对a ∈[－1,1]成立．下面来求m 的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m 2≥0.①若m ＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a ∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a 的一次函数，若g(a)≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0， ∴m≤－2，或m≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或|m|≥2.……………………………………………………(14分)。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练5函数的单调性与最值理北师大版

课时分层训练(五) 函数的单调性与最值A 组基础达标一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．] 2．(2017·广州七中期末)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )【导学号：79140027】A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)A [f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2.其图像如图，由图像可知函数的单调递减区间是[1,2]．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 4．(2018·北京西城区二模)下列函数中，值域为[0,1]的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝sin xC ．y ＝1x 2＋1D ．y ＝1－x 2D [A 中，x 2≥0；B 中，－1≤sin x ≤1；C 中，0＜1x 2＋1≤1；D 中，0≤1－x 2≤1，故选D.]5．定义新运算○+：当a ≥b 时，a ○+b ＝a ；当a ＜b 时，a ○+b ＝b 2，则函数f (x )＝(1○+x )x －(2○+x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12C [由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]二、填空题6．函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________．(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]7．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 【导学号：79140028】6 [易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6.]8．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [函数f (x )＝x 2－2ax －3的图像开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图像可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，但单调性不同，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值.【导学号：79140029】[解] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a ，当a ＞1时，a －1a＞0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0＜a ＜1时，a －1a＜0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a，a ≥1.∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组能力提升11．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[0,2) C ．[0,1)D ．[－1,1)C [函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a .∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C.]12．(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]13．函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.]14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值.【导学号：79140030】[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.。

2019年高考数学复习课时分层训练5函数的单调性与最大小值文北师大版

课时分层训练(五) 函数的单调性与最大(小)值A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．] 2．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减少的，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增加的B ．减少的C ．先增后减D ．先减后增B [由题意知，a ＜0，b ＜0，则－b2a ＜0，从而函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减少的．]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )【导学号：00090019】A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0，解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上是增加的，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上是减少的，又y ＝ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，254上是增加的，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．(2017·长春质检)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.]5．(2018·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6]D ．[2，＋∞)B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2是定义域R 上的增函数．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.] 二、填空题6．(2018·上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是________．32 [法一：易知y ＝－x ，y ＝1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上单调递减，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上单调递减，∴f (x )max ＝f (－2)＝32.法二：函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x2.易知f ′(x )＜0，可得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上单调递减，所以f (x )max ＝2－12＝32.]7．(2017·江苏常州一模)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵0＜－x 2＋22≤22， ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝f (0)＝log 222＝32，∴f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.] 8．(2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．[3，＋∞) [当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －1.由题意知a －1≥2，∴a ≥3.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0， ∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． ∴f (x )在(0，＋∞)上是增加的．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增加的， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围. 【导学号：00090020】 [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.2分∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上是增加的.5分(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减少的， 8分又f (x )在(1，＋∞)上是减少的， ∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1].12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·唐山模拟)函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)B [函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，在x ∈(－1，＋∞)时，函数y 是单调递减函数，在x ＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时，y 的最小值为0，∴m 的取值范围是－1＜m ＜2.故选B.]2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.－6 [f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2.∵函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.]3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.3分(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，5分即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数. 7分 (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 9分而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.12分。

北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《函数的单调性和最值》重点难点突破

《函数的单调性和最值》重点难点突破1.函数的单调性和最值.设函数()f x 的定义域为D ：如果对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就称函数()y f x =是增函数.特别地，当I 是定义域D 上的一个区间时，也称函数()y f x =在区间I 上单调递增.如果对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就称函数()y f x =是减函数.特别地，当I 是定义域D 上的一个区间时，也称函数()y f x =在区间I 上单调递减.如果函数()y f x =在区间I 上单调递增或单调递减，那么就称函数()y f x =在区间I 上具有单调性此时，区间I 为函数()y f x =的单调区间.若存在实数M ，对所有的x D ∈，都有()f x M ，且存在0x D ∈，使得()0f x M =，则称M 为函数()y f x =的最大值.同样地，可以定义函数()y f x =的最小值，函数的最大值和最小值统称为最值.2.判断函数单调性的方法.（1）定义法：即“取值→作差→变形→定号→判断”.（2）利用函数的运算性质：如若(),()f x g x 为增函数，则①()()f x g x +为增函数； ②1()f x 为减函数(()0)f x >;(()0)f x ；④()f x -为减函数.（3）利用复合函数关系判断单调性.法则是“同增异减”，即若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数.（4）图象法.3.函数单调性的应用.（1）利用单调性比较大小.（2）利用单调性确定函数的值域或求函数的最值.。

05-第三节函数的单调性和最值-课时1 函数的单调性高中数学必修一北师大版

2.下列说法正确的是( D )
A.若定义在 , 上的函数有无穷多对1 ,2 ∈ , ，使得1 < 2 时，
有 1 < 2 ，则在 , 上单调递增
B.若定义在上的函数在区间(−∞, 0]上单调递增，在区间 0, +∞ 上
也单调递增，则函数在上是增函数
D.4
【解析】函数 = 2 − 2 + 3的图象开口向上，对称轴为直线 = ，
又该函数的单调递减区间是(−∞, 2]，所以(−∞, 2] = (−∞, ],所以 = 2.
变式1：“单调区间”变为“在区间上单调”已知函数 = 2 − 2 + 3在
[2, +∞)
(−∞, 2]上单调递减，则实数的取值范围是________.
（3）若的函数值恒为正或恒为负，为常数，则当 > 0时，与

具有相反的单调性；当 < 0时，

与

具有相同的单调性.
（4）在 , 的公共单调区间上，若，均单调递增，则
+ 单调递增；若单调递增，单调递减，则 −
3
1 − > 0,
1
【解析】由 = 为 0, +∞ 上的减函数，可得ቐ2 − 1 > 0,

1 − > 2 − 1,
1
（先考虑定义域.）解得
2
<<
2
1 2
，所以实数的取值范围是( ， ).
3
2 3
【归纳总结】利用函数单调性解不等式其实质是根据 1 与 2 的大小
关系推得1 ,2 的大小关系，进而求解，即先利用函数的相关性质将不等

2.3.1函数的单调性和最值课件-高一上学期数学北师大版(2019)

2.3.1 函数的单调性和最值
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思考讨论
(1)如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？
提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次 32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名.
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总结归纳
函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义证明，今后还要学习其他方法（导数等）判断函数的单调性。
在函数的很多问题中（求值域、求极值等）都要用到函数的单调性。
课后作业 1.教材P60，练习1、2、3. 2.教材P62，习题2—3： A组第1、2、3、4题
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