三角形与四边形专题强化测试题
北师大版四年级数学下册第二单元《认识三角形和四边形》检测卷(含答案)
北师大版四年级数学下册第二单元《认识三角形和四边形》检测卷（全卷共7页，满分100分，70分钟完成）一、选择题（每题2分，共20分）1．丽丽要用三根小棒首尾顺次相连摆出一个等腰三角形，下面四组答案中，哪一组的小棒可以摆出一个等腰三角形？（）。
A．4，5，7B．2，2，4C．3，9，9D．4，4，92．小明和小刚分别用杆子围了篱笆（如图），下面说法正确的是（）。
A．小明围的容易变形B．小刚围的容易变形C．两人围的都容易变形D．两人围的都不容易变形3．两个完全相同的直角三角形不可能拼成（）。
A．长方形B．平行四边形C．梯形D．三角形4．等边三角形是（）三角形。
A．直角B．钝角C．锐角5．一个三角形两个内角之差等于第三个内角，这三角形一定是（）三角形。
A．锐角B．直角C．钝角D．等腰6．下面说法正确的是（）。
A．梯形是特殊的平行四边形B．正方形是特殊的长方形C．平行四边形是特殊的长方形D．平行四边形是特殊的正方形7．一个等腰三角形的顶角是一个底角的3倍。
这个三角形的顶角和一个底角分别是______度和______度。
横线上依次需要填入（）。
A．102°；35°B．108°；36° C．105°；35°8．下图是一个正方形，它有（）。
A．四组平行线四组垂线B．两组平行线四组垂线C．两组平行线六组垂线D．两组平行线五组垂线9．下列4个图形中与众不同的是（）。
A．B．C．D．10．三角形两边分别是5cm和9cm，第三边的长可能是（）。
A．4cm B．14cm C．12cm二、填空题（每题2分，共20分）1．看一看，想一想，填一填。
（下图为等腰梯形）写出一组平行线：_________，写出一组垂线：_________，写出一组相等的边：_________，写出一组相等的角：_________。
2．如果两个内角相等，那么这个三角形是________ 三角形。
北师大版四年级数学下册第二单元 认识三角形和四边形专项试卷附答案
北师大版四年级数学下册单元达标测试卷第二单元认识三角形和四边形一、认真审题，填一填。
(第5小题3分，其余每小题2分，共17分)1．右图说明( )。
2．一个三角形至少有( )个锐角，最多有( )个直角。
3．把三角形的三个角剪下来，顶点重合拼在一起，可以拼成一个( )角，这三个角的度数和是( )。
4．一个等腰三角形的两条边的长度分别是3厘米和7厘米，这个等腰三角形的周长是( )厘米。
5．张叔叔家的太阳能热水器支架损坏了(如图)，需要更换钢条，钢条的长度可能为( )(填序号)① 0.9米② 2.7米③ 0.3米这一支架的使用体现了三角形具有( )的特性，生活中( )也运用了这一特性。
6．一个等腰三角形的顶角是60°，它的底角是( )°，按角分，这个三角形是( )三角形。
7．某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎了，如右图，现在要到玻璃店配一块一模一样的玻璃，若只带一块，则应带( )号去。
8．从两根2厘米、两根4厘米和两根9厘米的小棒中选出三根围成一个等腰三角形，围成的三角形的周长最长是( )厘米，最短是( )厘米。
二、仔细推敲，选一选。
(将正确答案的序号填在括号里)(每小题2分，共12分)1．同学们，这学期我们又认识了很多图形，它们之间有着密切的联系。
比如长方形和正方形的关系可以用左图表示，还有( )之间的关系也可以用这样的图(右图)表示。
A．A：四边形，B：平行四边形B．A：长方形，B：平行四边形C．A：平行四边形，B：梯形2．下面( )组长度的小棒能围成等腰三角形。
(单位：cm)A．2，2，5 B．6，6，2 C．3，4，53．等腰三角形中，有一个内角是50°，另外两个内角( )。
A．一定是50°和80°B．一定都是65°C．可能是50°和80°，也可能都是65°4．数一数，右图中有( )个三角形。
A．5B．8C．105．如图，将长方形和三角形交叉摆放，重叠的部分是( )。
中考数学冲刺专题训练(附答案)：三角形与四边形
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学冲刺专题训练（附答案）：三角形与四边形一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ） A ．16 B ．12C ．14D ．12或16【答案】A 【解析】解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形； 若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16， 故选：A ．2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B 【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴∠EBM=12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线， ∴∠ECM=12∠ACM ， 则∠BEC=∠ECM-∠EBM=12×（∠ACM-∠ABC ）=12∠A=30°， 故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝57，则BC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．3D ．6【答案】D 【解析】∵∠C ＝90°，cos ∠BDC ＝57， 设CD ＝5x ，BD ＝7x ， ∴BC ＝6x ，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ， ∴AD ＝BD ＝7x ， ∴AC ＝12x ， ∵AC ＝12， ∴x ＝1， ∴BC ＝6； 故选D.4．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A ．8 B ．12C ．16D ．32【答案】C 【解析】 如图所示：四边形ABCD 是菱形，12AO CO AC ∴==， 12DC BO BD ==，AC BD ⊥， 面积为28，∴12282AC BD OD AO ⋅=⋅=① 菱形的边长为6，2236OD OA ∴+=②，由①②两式可得：222()2362864OD AO OD OA OD AO +=++⋅=+=，8OD AO ∴+=，2()16OD AO ∴+=，即该菱形的两条对角线的长度之和为16， 故选C ．5．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB =DE B ．AC =DF C ．∠A =∠D D ．BF =EC【答案】C 【解析】解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选项错误； 选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项错误； 选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项正确；选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误． 故选C ．6．如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE ∆的周长为（ ）A ．28B ．24C ．21D ．14【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =，AB CD =，AD BC =， ∵平行四边形的周长为28， ∴14AB AD += ∵OE BD ⊥，∴OE 是线段BD 的中垂线， ∴BE ED =，∴ABE ∆的周长14AB BE AE AB AD =++=+=， 故选：D ．7．如图，在ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】C 【解析】由折叠可得，90ACD ACE ︒∠=∠=，90BAC ︒∴∠=，又60B ︒∠=，30ACB ︒∴∠=，26BC AB ∴==，6AD ∴=，由折叠可得，60E D B ︒∠=∠=∠=，60DAE ︒∴∠=，ADE ∴∆是等边三角形， ADE ∴∆的周长为6318⨯=，故选：C ．8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF 、有以下结论：①AN ＝EN ，②当AE ＝AF 时，BEEC＝2﹣2，③BE+DF ＝EF ，④存在点E 、F ，使得NF ＞DF ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 ①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM ＝∠ADM ＝∠FDN ＝∠ABD ＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM=，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90 AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt △CEF 中，OC ＝12EF ＝22x ， △EAF 中，∠EAO ＝∠FAO ＝22.5°＝∠BAE ＝22.5°， ∴OE ＝BE ， ∵AE ＝AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE （HL ）， ∴AO ＝AB ＝1， ∴AC ＝2＝AO+OC ，∴1+22x ＝2， x ＝2﹣2，∴BE EC ＝1(22)22---＝(21)(22)2-+＝22； 故②不正确； ③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF ＝AH ，∠DAF ＝∠BAH ， ∵∠EAF ＝45°＝∠DAF+∠BAE ＝∠HAE ， ∵∠ABE ＝∠ABH ＝90°， ∴H 、B 、E 三点共线， 在△AEF 和△AEH 中，AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH （SAS ）， ∴EF ＝EH ＝BE+BH ＝BE+DF ， 故③正确；④△ADN 中，∠FND ＝∠ADN+∠NAD ＞45°， ∠FDN ＝45°， ∴DF ＞FN ，故存在点E 、F ，使得NF ＞DF ， 故④不正确； 故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 与点D ，连结AD ，若∠B =40°，∠C =36°，则∠DAC 的度数是____________．【答案】34° 【解析】由作图过程可知BD=BA ， ∵∠B=40°， ∴∠BDA=∠BAD=12(180°-∠B)=70°， ∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°. 故答案为34°. 10．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE α=．连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则 a 的值为________．【答案】53或53【解析】 分两种情况：①当点B '落在AD 边上时，如图1． 四边形ABCD 是矩形，90BAD B ︒∴∠=∠=，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，1452BAE B AE BAD '︒∴∠=∠=∠=，AB BE ∴=，315a ∴=， 53a ∴=；②当点B '落在CD 边上时，如图2． ∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ︒∴∠=∠=∠=∠=，AD BC a ==．将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，90B AB E '︒∴∠=∠=，1AB AB '==，35EB EB a '==，2221DB B A AD a ''∴=-=-，3255EC BC BE a a =-=-=． 在ADB '∆与B CE '∆中，90A 90B AD EBC B DD C ︒︒⎧∠=∠=-∠'''⎨∠=∠=⎩， ADB B CE ''∴∆⋃∆，DB AB CE B E'''∴=，即2112355a a a -=，解得153a =，20a =（舍去）． 综上，所求a 的值为53或53． 故答案为53或53． 11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90°得ABG ∆，则CF 的长为_____．【答案】6-25 【解析】作FM AD M FN AG N ⊥⊥于，于 ，如图，易得四边形CFMD 为矩形，则4FM ＝∵正方形ABCD的边长为4，点是的中点，2DE ∴＝，∴224225AE =+=∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG ，∴252349090AG AE BG DE GAE ABG D ∠∠∠︒∠∠︒＝＝，＝＝，＝，＝，＝＝ 而90ABC ∠︒＝ ， ∴点G 在CB 的延长线上，∵AF 平分∠BAE 交BC 于点F ，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即F A 平分∠GAD ， ∴FN ＝FM ＝4， ∵11••22AB GF FN AG ＝, ∴425254GF ⨯==, ∴4225625CF CG GF +=-＝﹣＝﹣ ． 故答案为6-25．12．如图，在平面直角坐标系中，OA ＝1，以OA 为一边，在第一象限作菱形OAA 1B ，并使∠AOB ＝60°，再以对角线OA 1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA 1A 2B 1，再依次作菱形OA 2A 3B 2，OA 3A 4B 3，……，则过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为_____．【答案】（-32018，3）2019） 【解析】过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，∵四边形OAA1B是菱形，∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，∴A1C＝32，AC＝12，∴OC＝OA+AC＝32，在Rt△OA1C中，OA1＝2213OC AC+=，∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，∴∠A3A2B1＝90°，∴∠A2B1A3＝60°，∴B1A3＝23，A2A3＝3，∴OA3＝OB1+B1A3＝33＝（3）3∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（3）2，设B1A3的中点为O1，连接O1A2，O1B2，于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B133）1，∴过点B1，B2，A2的圆的圆心坐标为O1（0，23，∵菱形OA3A4B3的边长为333，∴OA4＝934，设B2A4的中点为O2，连接O2A3，O2B3，同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（3）2，∴过点B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，33），…以此类推，菱形OA2019A2020B2019的边长为（3）2019，OA2020＝（3）2020，设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O2018B2019，求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（3）2018，∴点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，∵2018÷12＝168…2，∴点O2018在射线OB2上，则点O2018的坐标为（﹣（3）2018，（3）2019），即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为：（﹣（3）2018，（3）2019），故答案为：（﹣（3）2018，（3）2019）．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.=；（1）求证：BG DEFH=，求菱形ABCD的周长。
三角形与四边形提高题
三角形与四边形提高题一．解答题（共30小题）1．如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S n．（1）计算S1、S2、S3、S4．（2）总结出S n与S n﹣1的关系，并猜想出S1+S2+S3+S4+…+S n与n的关系．2．（2013•淄博）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF 与EF的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．3．将两个用钢丝设计成的能够完全重合的直角三角形模型ABC和直角三角形DEF按如图所示的位置摆放，使点B、F、C、D在同一条直线上，且AB和DE、EF分别相交于点P、M，AC和DE相交于点N．（1）试判断线段AB和DE的位置关系，并说明理由；（2）若PD=AC，线段PE和BF有什么数量关系，请说明你的理由．4．如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF（1）如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为_________，位置关系为_________（不证明）．（2）如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a（O＜a＜45°），则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．（3）如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是_________．5．如图，在△ABC中，AB=AC，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF交AC于点F，使∠AEF=∠B．（1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；（2）请你探索：当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．6．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE 为斜边作等腰直角△CDE，连接AD，（1）当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是_________．（2）AD与BC有什么位置关系？说明理由．（3）四边形ABCD的面积是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果没有，说明理由．7．直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，点P是三角形ABC内一点，且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，（1）判断PC与PB的位置关系，并对你的判断加以说明．（2）△ABP与△APC的面积比．8．（2010•内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）证明：△BDF是等腰直角三角形．（2）猜想线段AD与CF之间的关系并证明．10．如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，将△ABC绕斜边AB的中点O旋转至△DEF 的位置，DF交AB于点P，DE交BC于点Q．请猜想OQ与OP有怎样的数量关系？并证明你的结论．11．（1）如图甲，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作正方形ABEF，ACMN，BCGH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？（直接写出结果，不需证明）（2）如图乙，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形ABE，ACM，BCH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明；（3）如图丙，锐角三角形ABC中，分别以AC，BC为边作任意平行四边形ACMN，BCGH，面积分别设为P，Q，NM和HG的延长线相交于点D，连接CD，在AB外侧作平行四边形ABEF，使得BE，AF平行且等于CD，面积设为S，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明．12．如图所示，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF．（1）如图（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为_________，位置关系为_________（不需要证明）．（2）如图（2），将△BEF绕B点顺时针旋转α°（0＜α＜45），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论并证明．（3）如图（3），E点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（3），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？直接写出你的结论，不需要证明．13．（2013•富宁县模拟）将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的直角三角形ABC绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=30°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的直角三角形DBE绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=65°，其它条件不变，如图③，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．14．（2013•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF 改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．15．（2010•石家庄二模）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN 为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_________；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_________；位置关系为_________．16．己知：正方形ABCD．（1）如图①，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．（2）如图②，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图③，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB，得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．17．（2012•葫芦岛二模）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM．（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM 的数量关系为_________；（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．18．（2011•南通）如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）．（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°时，求证：△AOE1为直角三角形．19．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？20．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．21．（2011•辽阳）已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC=CD，E为CD的中点．（1）如图（1）当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；（2）如图（2）当点M在线段EC上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．22．如图，△ABC与△DEC是两个全等的直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠DCE，AB=4，BC=2，△DEC绕点C旋转，CD、CE分别与AB相交于点F、G（都不与A、B点重合），设BG=x．回答下列问题：（1）设CG=y1，请探究y1与x的函数关系，并直接写出y1的最小值；（2）设AF=y2，请探究y2与x的函数关系．23．（2012•丰台区一模）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是_________；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．24．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．25．以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是_________，线段AM 与DE的数量关系是_________；（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．26．（2011•邯郸一模）（1）如图1，四边形ACDG与四边形ECBH都是正方形，且B，C，D在一条直线上，连接DE并延长交线段AB于点F．求证：AB=DE，AB⊥DE；（2）如果将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且==，则AB与DE的数量关系与位置关系会发生什么变化？请说明你的看法和理由．（3）如果将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，∠BCE=∠ACD=90°，且=k，且请直接写出AB与DE的数量关系与位置关系．27．锐角为45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BC、FP均在直线l上，边EF与边AC重合．（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．28．如图1，E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点（点E与A、C不重合），以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连接AD，BE．我们探究下列图中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第（2）题图5中，连接BD、AE，且a=4，b=3，k=，求BD2+AE2的值．29．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由；（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°点D在线段BC上运动，试探究CF与BC位置关系．30．已知△ABC和△ADE分别是以AB．AE为底的等腰直角三角形，以CE，CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH．（1）如图1，当D点在AB上时，则∠DEH的度数为_________；CH与CD的数量关系是_________，并说明理由；（2）将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图2：则∠DEH的度数为_________，CH与CD之间的数量关系为_________；（3）将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转α（O°＜α＜45°）得图3，请探究CH与CD之间的数量关系，并给予证明．。
中考数学压轴题专项复习练习---三角形与四边形专题练习
中考数学压轴题专项复习练习---三角形与四边形1．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：（1）△EAB≌△EDC；（2）∠EFG＝∠EGF．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AF＝CE．（1）求证：△BAE≌△DCF；（2）若BD⊥EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．3．如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC 的延长线交于点N．（1）求证：△ABE≌△NCE；（2）若AB＝3n，FB＝GE，试用含n的式子表示线段AN的长．4．如图1，在△ABC 和△EDC 中，AC=CE=CB=CD ；∠ACB=∠DCE=90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB ，BC ，分别交于M ，H ．（1）求证：CF=CH ；（2）如图2，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．5．如图，在ABC 中， 90ACB ∠=︒， CD 为AB 边上的中线，过点D 作DE 上DE BC ⊥于E ，过点C 作AB 的平行线与DE 的延长线交于点F ，连接BF ， AF ．（1）求证：四边形BDCF 为菱形；（2）若四边形BDCF 的面积为24， :2:3CE AC =，求AF 的长．6.如图，在四边形纸片ABCD 中，∠B=∠D=90°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，将AB ，AD 分别沿AE ，AF 折叠，点B ，D 恰好都和点G 重合，∠EAF=45°．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）求证：三角形ECF 的周长是四边形ABCD 周长的一半；（3）若EC=FC=1，求AB 的长度．E FA GDC B 7. 如图，在正方形ABCD 中，边长AB=3，点E （与B ，C 不重合）是BC 边上任意一点，把EA 绕点E 顺时针方向旋转90°到EF ，连接CF ．（1）求证：CF 是正方形ABCD 的外角平分线；（2）当∠BAE=30°时，求CF 的长．8．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点．（）求证：．（）若，，，点是的中点，求的长．9.已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）若tan∠PAO＝，求边AB的长．10．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．11．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连结FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF、BE．且BE⊥FG；（1）求证：BF＝BG．（2）若tan∠BFG＝，S△CGE＝6，求AD的长．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，B C＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？13.在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，点F，G在直线BC上，且BE＝EG，∠AEF＝∠BE G．（1）如图1，求证：△ABE≌△FGE；（2）如图2，当∠ABC＝120°时，求证：AB＝BE＋BF；（3）如图3，当∠ABC＝90°，点F在线段BC上时，线段AB，BE，BF的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)14．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，则PB＝ ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．15.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．16．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G．（1）求四边形OEBF的面积；（2）求证：OG•BD=EF2；（3）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，求AE的长．17．已知：如图1，A（0，12），B（16，0），Rt△CDE中，∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝8，把它的斜边放在x 轴上，点C与点B重合．如图2，FA⊥y轴，△CDE从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向点O 匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿直线AF向右匀速移动，点Q为直线CD与线段AB的交点，连结PQ，作PM⊥x轴于M，交AB于N，当点M与点E相遇时，△CDE和点P同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）在整个运动过程中，当点D落在线段AB上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设△CDE与△BMN重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式（不用写自变量t的取值范围）．18.如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D 作DE//OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2-12+36+|n-2m|=0.(1)求A、B两点的坐标?(2)若点D为AB中点,求OE的长?(3)如图2,若点P(x,-2x+6)为直线AB 在x 轴下方的一点,点E 是y 轴的正半轴上一动点,以E 为直角顶点作等腰直角△PEF,使点F,求点P 的坐标.19．已知如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ，点D 在AB 上，DE ⊥AB 交BC 于E ，点F 是AE 的中点（1）写出线段FD 与线段FC 的关系并证明；（2）如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD 与线段FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE 绕点B 逆时针旋转一周，如果BC ＝4，BE ＝2，直接写出线段BF 的范围．20.某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD 中，AB ＝6，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与D 点重合，三角板的一边交AB 于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q.(1)求证：DP ＝DQ ；(2)如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ 的平分线DE 交BC 于点E ，连接PE ，他发现PE 和QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；图1(3)如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若AB∶AP＝3∶4，请帮小明算出△DEP的面积．21.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．22.已知，如图①，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝6，AB＝12，BC＝10．Rt△EFG（∠EGF＝90°）的边EF与BC完全重合，FG与BA在同一直线上．现将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，连接FM，当点E运动到点D时，Rt△EFG和点M都停止运动．设点M运动的时间为t（s）（1）当点Q是AC的中点时，求t的值；（2）判断四边形CHFM的形状，并说明理由；（3）如图③，连接HM，设四边形ABMH的面积为s，求s与t的函数关系式及s的最小值．23．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE 方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．。
中考数学平面几何压轴(三角形与四边形)训练15题(精选无答案)
中考平面几何压轴（三角形与四边形）训练15题（精选）1.如图，四边形ABCD 是平行四边形，且对角线AC , BD 交于点O ，点M , N 分别在AD , BC 上，且AM = CN ,点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点.(1)求证:OE = OF ;(2)连接BM 交AC 于点H ,连接HE ，HF ;(i)如图2，若HE ∥AB ,求证: FH ∥AD ;(ii)如图3,若四边形ABCD 为菱形且DM = 2AM ,∠EHF=60°，求AC BD 的值.2.(1)如图①，在矩形ABCD 的AB 边上取一点E ，将ΔADE 沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的A′处，若AB =6，BC =10，求AEEB 的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B′处，若BC ·CE =24，AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在ΔABC 中，∠BAC =45°，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AD =10，AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD+53EF 的值.3. 在正方形ABCD 中，AB =10, AC 是对角线，点O 是AC 的中点，点E 在AC 上，连接DE ，点C 关于DE 的对称点是C',连接DC' ,EC'.(1) 如图1，若DC'经过点O ,求证:OC ′CE = √22. (2) 如图2，连接CC'，BC',若∠ADC' = 2∠CBC',求CC'的长;(3) 当点B , C', E 三点共线时，直接写出CE 的长.4.如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．（1）求证：ED= EC；（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C 重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，已知AB= 1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．5.如图，在正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN.(1)如图1，若M，N都在线段BD上，且AN = NE，求∠MAN;(2)如图2.当点M在线段DB 延长线上时,AN = NE,(1)中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明;(3)如图3,若点M在DB的延长线上,N在BD的延长线上,且∠MAN=135°(i)AB=√6,MB=√3,求DN.(ii)求证:2AM2 - MB 2= MN2 - BN2.6.如图，在RtΔABC与RtΔBDE中,∠BAC=∠BDE=90°,∠ABC=∠DBE=α.（1)如图1,当α= 60°,且点E为BC的中点时,若AB=2,连接AD.求AD的长度；（2)如图2,若α≠ 60°,且点E为BC中点时,取CE中点F,连接AF、DF。
数的三角形与四边形练习题
数的三角形与四边形练习题
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 下面哪个图形是三角形？
A. 正方形
B. 长方形
C. 圆形
D. 梯形
2. 下面哪个图形是四边形？
A. 圆形
B. 三角形
C. 梯形
D. 半圆形
3. 一个三角形有几个顶点？
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4. 一个正方形有几个边？
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5. 一个长方形有几个直角？
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题（每题6分，共30分）
1. 一个三角形有___ 条边。
2. 一个长方形有___ 个直角。
3. 一个正方形的所有边长都相等，它有___ 条对等边。
4. 一个梯形有___ 对平行边。
5. 一个圆形的边界称为___ 。
三、解答题（共50分）
1. 画出一个直角三角形，并标明它的各个边和角。
2. 画出一个平行四边形，并标明它的对等边。
3. 画出一个梯形，并标明它的平行边和非平行边。
4. 画出一个正方形，并标明它的对等边和直角。
5. 画出一个五边形，并标明它的顶点和边。
参考答案：
一、1. B 2. C 3. B 4. C 5. C
二、1. 3 2. 2 3. 4 4. 2 5. 圆周
三、略
请根据上述题目进行订正。
注意：请根据孩子们的年级和水平适量调整题目的难易程度。
中考数学总复习三角形与四边形测试卷A(含答案).doc
中考数学总复习 三角形与四边形 测试卷A（测试时间60分钟,满分100分）一、选择题（每题4分，共32分）1.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知Zl = 30° ,则Z2的大小是A. 30°B. 45°C. 60°D. 65°2. 如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点0, AD=AE.还需添加一个条件才能使△ ABE^AACD,则不能添加的那个条件是（）A. ZB=ZCB. ZAEB=ZADCC. BD = CED. DC = EB3. 若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是（）C. OA=OB ・D. OA=AD5.如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点0, AB 丄AC,若AB=4, AC = 6,则BD 的 长是 （）6. 若顺次连接四边形ABCD 四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD —定是7. 下列命题是真命题的是A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形C. 四条边相等的四边形是菱形D. 正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形8. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,已知下列6个条件:①AB 〃DC ；②AB = DC ；③AC=BD ； @ZABC=90° ；⑤OA = OC ； ⑥OB = OD,则不能使四边形ABCD 成为矩形的是（A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥二、填空题（每题5分，共20分）9. 如图，己知直线AB 、CD 相交于点0, OA 平分ZEOC, ZDOB = 35° ,则ZEOC=A. 8B. 9C. 10D. 11 A.矩形 C.对角线相等的四边形 B.菱形D.对角线互相垂直的四边形A. ZABC = 90°B. AC=BD,10. 如图，ZkABC 屮，已知AB=8, BC=6, CA = 4, DE 是屮位线，贝lj DE= _____________第9题 第10题 第11题 笫12题11. 在AABC 中，AB=AC = 5, BC=6.若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是 ______________ . 12. 如图所示，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD ±,且AE = EF = FA.下列结论:①厶ABE^AADF ；②CE = CF ；③ZAEB = 75° ；④BE+DF = EF ；⑤SAABE+SAADFF = SACEF.其 中正确的是 __________ .(只填写序号)三、解答题(第13、“题每题10分.第15、16题每题14分，共48分)23.己知：如图,AC=AC, D 是BC 的中点，AB 平分ZDAE, AE 丄BE,垂足为E. 求证：AD = AE.第13题14.如图，在ZXABC 中，ZABC=90° , ZBAC = 60° , AACD 是等边三角形，E 是AC 的屮点，连接BE 并延长，交DC 于点F,求证：(1) AABE^ACFE(2) 四边形ABFD 是平行四边形.第14题ADA15.在平行阿边形ABCD中，过点D作DE丄AB于点F在边CD ±, DF = BE,连接AF, BF.⑴求证：四边形BFDE是矩形;⑵若CF = 3, BF = 4, DF = 5,求证：AF 平分ZDAB第15题16.⑴如图⑴，正方形ABCD, EF分别在边BC上，ZEAF=45°,延长CD到点G,使DG = BE,连结EF, AG,求证：EF = FG.(2)如图⑵,等腰直角AABC中，ZBAC = 90° = 45°若BM = 1, CN = 3,求MN 的长.图（1）图（2）第16题A卷答案:H・4.8 12.①②③⑤ 13・略14. 15・略1・ C 2. D 3. B 4. D 5. C 6. D 7. C 8. C 9. 70°10. 3 16. (1)略；(2)V10。
北师大版四年级数学下册第二单元《认识三角形和四边形》检测卷(含答案)
北师大版四年级数学下册第二单元《认识三角形和四边形》检测卷满分：100分时间：60分钟一、分一分，填一填。
（填序号）（共8分）➀➁➂➃➄➅➆➇➈➉⑪⑫⑬⑭立体图形有（），平面图形有（），三角形有（），四边形有（）。
二、填一填。
（每空2分，共24分）1．如右图，李老师为方便线上教学，购买了一个手机支架。
这个支架设计应用了三角形的（）。
2．在一个三角形的三个内角中，∠1 = 30°，∠2 =70°，∠3 =（），这是个（）三角形。
3．一个三角形中，最大的角是75°，这个三角形是（）三角形。
4．右图是个直角三角形，已知∠1 = 18°，那么∠2 =（）°；用这样的两个三角形可以拼成一个（）三角形，新图形的内角和是（）°。
5．等腰三角形的一个底角是45°，按角分，这是一个（）。
6．一个三角形三条边的长度分别是10厘米、10厘米、10厘米，按边分，这个三角形是（）三角形。
7．一个三角形中至少有（）个角是锐角。
8．一个三角形的两条边分别是8厘米和5厘米，第三条边必须比（）厘米长，比（）厘米短。
三、判断题。
（对的打“√”，错的打“ ”）（每小题1分，共5分）（）1．三角形大的，内角和就大。
（）2．等边三角形的周长是12厘米，它的边长是4厘米。
（）3．只有两个锐角,没有直角的三角形--定是钝角三角形。
（）4．有一个角是60°的任意三角形，一定是正三角形。
（）5．有三根小棒分别是3.3厘米、2.5厘米和0.6厘米，把这三根小棒首尾顺次连接能组成一个三角形。
四、选择题。
（将正确答案的序号填在括号里）（每小题1分，共6分）1．如下图，没有运用三角形稳定特性的是（）。
A B C2．所有的等边三角形都是（）三角形。
A. 钝角B. 锐角C. 直角3．把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（）。
A. 30°和60°B. 45°和45°C. 60°和60°4．右边图形被纸板挡住一部分，这个图形是什么形状的？下面说法正确的是（）。
中考数学复习——三角形与四边形专题训练(含解析)
中考数学复习——三角形与四边形专项训练一．选择题（共9小题） 1．（2020•新昌县校级模拟）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 已知：如图，∠BEC ＝∠B +∠C ． 求证：AB ∥CD ．证明：延长BE 交★于点F ．则∠BEC ＝■+∠C （三角形的外角等于它不相等的内角之和）． 又∠BEC ＝∠B +∠C ，得∠B ＝▲． 故AB ∥CD （●相等，两直线平行）． 则回答错误的是（ ）A ．★代表CDB ．■代表∠EFC C ．▲代表∠EFCD ．●代表同位角 2．（2020•上虞区校级一模）已知△ABC 的两条中线的长分别为5、10．若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为（ ） A ．7 B ．8 C ．14 D ．15 3．（2020•柯桥区模拟）如图所示，∠α的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 4．（2020•越城区模拟）用三角板作△ABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt △ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，AE =13AB ，AF =13AC ，分别以EF 、FC 为直径作半圆，面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）BE 、A ．S 1+S 3＝2S 2B ．S 1+S 3＝4S 2C ．S 1＝S 3＝S 2D ．S 2=13（S 1+S 3）6．（2019•诸暨市模拟）已知，关于x 的不等式组{x −2x ＜02x −1≥7至少有三个整数解，且存在以3，a ，5为边的三角形，则a 的整数解有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 7．（2019•上虞区一模）在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，且BC ＝m •BD ，过D 点作直线AB ，AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB ＝n •AC ．则xx xx=（ ）A ．1x (x +1)B ．1x (1−x )C ．1x (1−x )D ．1x (x −1)8．（2019•上虞区一模）为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）．小聪为了说明“A ．正方形；B ．矩形；C ．四边形；D ．菱形；E ．平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、①、①、①”所标注的各区域中，正确的填法依次是（ ）（用名称前的字母代号表示）A ．C 、E 、B 、D B ．E 、C 、B 、D C ．E 、C 、D 、B D ．E 、D 、C 、B 9．（2019•诸暨市模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB ∥y 轴，CD 交x 轴于点M ，过原点的直线EF 分别交AD 、BC 边于点E 、F ，以EF 为一边作矩形EFGH ，并使EF 的对边GH 所在直线过点M ，若点A 的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH 的面积的大小变化情况是（ ）A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小二．填空题（共10小题）10．（2020•越城区模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE ＝∠B ＝30°，且xx xx=32，那么xx xx的值是 ．11．（2019•诸暨市模拟）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4．则S 1﹣S 2+S 3+S 4等于 ．12．（2018•柯桥区模拟）长度分别为3，4，5，7的四条线段首尾相接，相邻两线段的夹角可调整，则任意两端点的距离最大值为 ． 13．（2018•上虞区模拟）在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在边BC 上，E 在斜边AB 上，若△ADE 是等腰直角三角形，则BE 的长为 ． 14．（2020•新昌县校级模拟）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是直线BC 上一点，且BE ＝BO ，连结AE ，若∠BAC ＝60°，则∠CAE 的度数是 ．15．（2020•嵊州市模拟）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝12，点P 在菱形的边上，若满足PE +PF ＝a 的点P 只有4个，则a 的取值范围是 ．16．（2020•嵊州市模拟）如图，在矩形ABCD 中，E 是直线BC 上一点，且CE ＝CA ，连结AE ．若∠BAC ＝60°，则∠CAE 的度数为 ．17．（2019•绍兴模拟）如图，在正方形ABCD 中，分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点E ，∠EAB 的度数是 ．18．（2018•绍兴二模）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为（﹣4，0）．正方形OEFG 的顶点F 落在y 轴的正半轴上，直线AE 与直线FG 相交于点P ，若△OEP 的其中两边之比为√2：1，则点P 的坐标为 ．19．（2018•上虞区一模）如图，平面直角坐标系中O 是原点，①OABC 的顶点A ，C 的坐标分别是（8，0），（3，4），点D ，E 把线段OB 三等分，延长CD ，CE 分别交OA ，AB 于点F ，G ，连结FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；①△OFD 与△BEG 相似；①四边形DEGF 的面积是20；①OD =4√53；其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）三．解答题（共21小题） 20．（2020•新昌县模拟）如果一个直角三角形的三边长分别为a ﹣d ，a ，a +d ，（a ＞d ＞0），则称这个三角形为均匀直角三角形．（1）判定 按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是（ ） A .1，2，3；B .1，√3，2；C .1，√3，3；D .3，4，5．（2）性质 求证：任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3：4．（3）应用 如图，在一块均匀直角三角形纸板ABC 中剪一个矩形，且矩形的一边在AB 上，其余两个顶点分别在BC ，AC 上，已知AB ＝50cm ，BC ＞AC ，∠C ＝90°，求剪出矩形面积的最大值．21．（2020•柯桥区模拟）如图，在△ABC 中，G 为边AB 中点，∠AGC ＝α．Q 为线段BG 上一动点（不与点B 重合），点P 在中线CG 上，连接P A ，PQ ，记BQ ＝kGP ． （1）若α＝60°，k ＝1， ①当BQ =12BG 时，求∠P AG 的度数．①写出线段P A 、PQ 的数量关系，并说明理由．（2）当α＝45°时．探究是否存在常数k ，使得①中的结论仍成立？若存在，写出k 的值并证明；若不存在，请说明理由．22．（2019•上虞区一模）在平面直角坐标系xOy 中，A （t ，0），B （t +2√2，0），对于线段AB 和点P 给出如下定义：当∠APB ＝90°时，称点P 为线段AB 的“直角视点”． （1）若t =−√2，在点C （0，√2），D （﹣1，√62），E （√22，√62）中，能够成为线段AB “直角视点”的是 ． （2）直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是（4√3，0），∠OMN ＝30°．①线段AB 的“直角视点”P 在直线MN 上，且∠ABP ＝60°，求点P 的坐标．①在①的条件下，记Q 为直线MN 上的动点，在点Q 的运动过程中，△QAB 的周长存在最小值，试求△QAB 周长的最小值 ．①若存在线段AB 的“直角视点”在△MON 内部，则t 的取值范围是 ．23．（2019•柯桥区模拟）如图，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．24．（2018•新昌县模拟）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，点M是AC的中点，在AD上取点E，使得DE＝AM，EM与DC的延长线交于点F．（1）当∠BAC＝90°时，①求AE的长；①求∠F的大小．（2）当∠BAC≠90°时，探究∠F与∠BAC的数量关系．25．（2018•柯桥区模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．26．（2020•上虞区模拟）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C分别是x，y轴上的点，且B（16，0），C（0，8），D为线段AC的中点，sin A=45，E（0，a）为y轴正半轴上的任意一点，连结DE，以DE为边按顺时针方向作正方形DEFG．（1）填空：点A的坐标为；（2）记正方形DEFG的面积为S，①求S关于a的函数关系式；①当DF∥AB时，求S的值；（3）是否存在满足条件的a的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的a 的值；若不存在，说明理由．27．（2020•上虞区模拟）如图，矩形ABCD的四个顶点在正△EFG的边上，已知正△EFG的边长为2，记矩形ABCD 的面积为S，边长AB为x．求：（1）S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；（2）当S=√32时，x的值．28．（2020•新昌县模拟）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝12，BC＝16，点O是对角线AC的中点，点E是AD 边上的动点，连结EO并延长交BC于点F，过O作GH⊥EF，分别交矩形的边于点G，H．（1）当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，①求证：四边形HFGE是菱形．①求AE的取值范围．（2）当四边形HFGE的面积为144时，求AE的长．29．（2020•新昌县模拟）小明对教材“课题学习”中的的“用一张正方形折出一个正八边形”的问题进行了认真的探索，他先把正方形ABCD沿对角线AC对折，再把∠BAC对折，使点B落在AC上，记为点E，然后沿CE的中垂线折叠，得到折痕PQ，如图1，类似地，折出其余三条折痕GH，IJ，KO，得到八边形GHIJKOPQ，如图2．（1）求证：△CPQ是等腰直角三角形；（2）若AB＝a，求PQ的长．（用含a的代数式表示）；（3）我们把八条边长相等，八个内角都相等的八边形叫做正八边形．试说明八边形GHIJKOPQ是正八边形，请把过程补充完整．解：理由如下：①∴∠GQP＝135°．同理可得：∠QPO＝∠POK＝∠OKJ＝∠KJI＝∠JIH＝∠IHG＝∠HGQ＝135°．①∴PQ＝QG．同理可得：QG＝GH＝HI＝IJ＝JK＝KO＝PO＝PQ．∴八边形GHIJKOPQ是正八边形．30．（2020•越城区模拟）如图，在①ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形．31．（2019•柯桥区模拟）如图，矩形OABC放置于平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、C分别在x、y轴上，OA ＝8，OC＝6，动直线MN交线段OA于点M，交线段AC于点N，且OM＝AN．（1）计算AC的长度，并求当MN∥AB时AN的长．（2）连结MC，当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标．（3）记矩形OABC关于直线MN的轴对称图形为矩形O'A'B'C'，O与O'，A与A'，B与B'，C与C'分别为对应点，当M、N与这四对对应点的其中一对点为顶点组成的四边形恰好是菱形时，直接写出点M的坐标．32．（2019•柯桥区模拟）如图1，正方形ABCD中，AB＝5，点E为BC边上一动点，连接AE，以AE为边，在线段AE右侧作正方形AEFG，连接CF、DF．设BE＝x（当点E与点B重合时，x的值为0），DF＝y1，CF＝y2．小明根据学习函数的经验，对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程．（1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x与y1、y2的几组对应值，请补全表格：x012345y1 5.00 4.12 3.61 4.12 5.00y20 1.41 2.83 4.24 5.657.07（2）根据表中各组数值，在同一平面直角坐标系xOy中，画出函数y1的图象．（3）结合图2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，请直接写出BE长度．（精确到0.1）33．（2019•绍兴模拟）有一道作业题：（1）请你完成这道题的证明；已知：如图1，在正方形ABCD中，G是对角线BD上一点（G与B，D不重合）连结AG，CG求证：△BAG≌△BCG（2）做完（1）后，小颖善于反思，她又提出了如下的问题，请你解答．如果在射线CB 上取点E ，使GE ＝GC ，连结GE ． ①如图2，当点E 在线段CB 上时，求证：AG ⊥EG ． ①探究线段AB ，BE ，BG 之间的数量关系． 34．（2019•上虞区一模）在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD ﹣2DE =√2BM ”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是 ． （3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若xx xx=13，CM ＝2，则线段DG ＝ ．35．（2019•柯桥区模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．（1）①依题意补全图1； ①求证：∠EDC ＝∠BAD ；（2）①小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为： ；①小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ．想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ．想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形． ……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．（一种方法即可） 36．（2018•柯桥区模拟）定义：等腰三角形ABC ，如果腰长是底边长的两倍，则称三角形ABC 是等腰倍边三角形． （1）如图1，等腰倍边三角形ABC ，AB ＝AC ，BC ＝2，则AB ＝ ，tan B ＝ ；（2）如图2，平行四边形ABCD ，AB ＝8，对角线交于点O ，若分成的四个以O 为顶点的三角形中存在等腰倍边三角形，求AC +BD 的值．37．（2018•绍兴二模）在四边形ABCD 中，∠B +∠D ＝180°，对角线AC 平分∠BAD ．（1）问题发现：如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，求证：AD+AB＝AC；（2）思考探究：如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，则（1）中的结论是否仍成立？请说明理由；（3）拓展应用：如图3，若∠DAB＝90°，AD＝2，AB＝3，求线段AC的长度．38．（2018•绍兴二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若m＝6，在点P的运动过程中，① 求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．①①求当点A与点E距离最近时t的值，并求出该最近距离．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于1，求符合条件的m的取值范围．39．（2018•上虞区模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．概念理解：在“矩形、菱形和正方形”这三种特殊四边形中，不一定是“等邻角四边形”的是．问题探究：如图，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝3，BC＝9，P为线段BC上一动点（不包含端点B，C），Q为直线CD上一动点，连结P A，PQ，在P，Q的运动过程中始终满足∠APQ＝∠B，当CQ达到最大时，试求此时BP的长．应用拓展：在以60°为等角的等邻角四边形ABCD中，∠D＝90°，若AB＝3，AD=√3，试求等邻角四边形ABCD 的周长．40．（2018•上虞区模拟）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．（1）求证：△EDC≌△HFE；（2）连接BE、CH．①四边形BCHE是怎样的特殊四边形？证明你的结论．①当AB与BC满足什么数量关系时，四边形BCHE为菱形？试说明你的理由．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．【答案】D【解答】证明：延长BE交CD于点F．则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于它不相等的内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC，故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故★代表CD，■代表∠EFC，▲代表∠EFC，●代表内错角．故选：D．2．【答案】C【解答】解：如图，△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点O，且AD＝5，BE＝10，延长OD至G，使DG＝OD，则O为AG中点．∵O是重心，∴OB＝2OE，∵OB+OE＝BE＝10，∴OE=13BE=103，同理，可得OD=13AD=53，∴CG＝2OE=203，OG＝2OD=103，∵OC＜OG+CG=203+103=10，CF=32OC，∴CF＜10×32=15，∵第三条中线的长是整数，∴第三条中线长的最大值为14．故选：C．3．【答案】A【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故选：A．4．【答案】A【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．5．【答案】B【解答】解：∵在Rt△ABC中，AE=13AB，AF=13AC，∴AE=12BE，AF=12CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2=14BE2+14CF2．∴12π•14EF2=18π•（14BE2+14CF2），即S2=14（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．6．【答案】B【解答】解：解不等式①，可得x＜2a，解不等式①，可得x≥4，∵不等式组至少有三个整数解，∴a＞3，又∵存在以3，a，5为边的三角形，∴2＜a＜8，∴a的取值范围是3＜a＜8，∴a的整数解有4、5、6，7共4个，故选：B．7．【答案】C【解答】解：连接AD，∵BC＝m•BD，∴CD＝（1﹣m）BD∴S△ACD＝（1﹣m）S△ABD，又∵S△ABD=12⋅xx⋅xx，S△ACD=12⋅xx⋅xx，∴12⋅xx⋅xx=（1﹣m）12⋅xx⋅xx，∵AB＝n•AC，∴AC•DF＝（1﹣m）n•AC•DE ∴DF＝（1﹣m）n•DE∴xxxx=1(1−x)x故选：C．8．【答案】A【解答】解：①表示四边形，①表示平行四边形，①或①表示菱形或矩形，故选：A．9．【答案】B【解答】解：如图，设GH交AD于K，AD与轴交于点P．∵∠OEP+∠HEK＝90°，∠HEK+∠HKE＝90°，∴∠HKE＝∠OEP，∵∠OPE＝∠H＝90°，∴△OPE∽△EHK，∴xxxx=xxxx，∴OP•EK＝HE•OE，易证四边形OMKE是平行四边形，∴EK＝OM，∴OP•OM＝HE•OE，∵矩形ABCD的面积为定值，∴OP•OM是定值，∴HE•OE是定值，∵矩形EFGH的面积＝2HE•EO，∴矩形EFGH的面积是定值．故选：B．二．填空题（共10小题）10．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠DAE＝∠B＝30°，∴∠DAE＝∠B＝∠C，∵∠AED＝∠BEA，∴△ADE∽△BAE，∴xxxx=xxxx=xxxx，∴AE2＝DE×BE，同理：△ADE∽△CDA，∴xxxx=xxxx，∴AD2＝DE×CD，∴xx2xx2=xxxx=（32）2=94，设CD＝9x，则BE＝4x，∵xxxx=xxxx，∴AB=xxxx×BE=32×4x＝6x，作AM⊥BC于M，如图所示：∵AB＝AC，∴BM＝CM=12 BC，∵∠B＝30°，∴AM=12AB＝3x，BM=√3AM＝3√3x，∴BC＝2BM＝6√3x，∴DE＝BE+CD﹣BC＝13x﹣6√3x，∴xxxx=√3x63x=13√318−1；故答案为：13√318−1．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：过F 作AM 的垂线交AM 于D ，可证明Rt △ADF ≌Rt △ABC ，Rt △DFK ≌Rt △CAT ，所以S 2＝S Rt △ABC ．由Rt △DFK ≌Rt △CAT 可进一步证得：Rt △FPT ≌Rt △EMK ，∴S 3＝S △FPT ，又可证得Rt △AQF ≌Rt △ACB ，∴S 1+S 3＝S Rt △AQF ＝S Rt △ABC ．易证Rt △ABC ≌Rt △EBN ，∴S 4＝S Rt △ABC ，∴S 1﹣S 2+S 3+S 4＝（S 1+S 3）﹣S 2+S 4＝S Rt △ABC ﹣S Rt △ABC +S Rt △ABC＝6﹣6+6＝6，故答案是：6．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，已知4条线段的四边长为3、4、5、7；①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7；7﹣5＜7＜7+5，能构成三角形，此时任意两端点的最长距离为7；①选3、4+5、7作为三角形，则三边长为3、9、7；7﹣3＜9＜7+3，能构成三角形，此时任意两端点的最大距离为9．故答案为：9．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点E 作EF 作∥AC ，交BC 于点F ，∴∠BFC ＝∠C ＝90°，∵∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°∴AB ＝2AC ＝2，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：CB =√xx 2−xx 2=√3，∵△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝DA ，∵∠DAC +∠ADC ＝90°，∠EDF +∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝∠EDF在△ADC 和△DEF 中，{∠xxx =∠xxx xx =xxxx xx =xx，∴△ADC ≌△DEF （AAS ），∴DF ＝AC ＝1，设CD ＝x ，所以EF ＝x ，BF =√3−1﹣x∵EF ∥AC∴xx xx =xx xx ，即x 1=√3−√3， 解得：x ＝2−√3，∴BE ＝2x ＝4﹣2√3，故答案为：4﹣2√3．14．【答案】15°．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∵∠BAC ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OB ，∵BE ＝BO ，∴AB ＝BE ，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAE ＝45°，∴∠CAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ＝60°﹣45°＝15°，故答案为：15°．15．【答案】a ＝4√7或12＜a ＜8√7．【解答】解：不妨假设点P 在线段BC 上，作点E 关于BC 的对称点G ，EG 现BC 交于点K ，连接FG 交BC 于点P ，此时PE +PF 的值最小，如图1，过F 作FH ⊥EK 于点H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝12，∠ACB ＝60°，∵点E ，F 将对角线AC 三等分，∴AE ＝EF ＝FC ＝4，∴GK ＝EK ＝EC •sin ∠ACB ＝4√3，CK =12CE ＝4，∵FH ⊥EG ，BC ⊥EG ，∴HF ∥BC ，∵EF ＝FC ，∴xx =xx =12xx =2√3，∴HF =12xx =2，∴xx =√xx 2+xx 2=√(6√3)2+22=4√7，根据菱形的对称性知，当PE+PF＝a＝4√7时，在菱形ABCD的四边各存在一点满足条件PE+PF＝a；当点P在C点时，PE+PF＝8+4＝12，当P点在B点时，连接BD，与AC交于点O，如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=12xx=6，∴xx=xx⋅xxx∠xxx=6√3，∵OE＝OF=12EF＝2，∴PE＝PF=√(6√3)2+22=4√7，∴xx+xx=8√7，当点P由C运动到B时，PE+PF的值由最大值12减小到4√7再增加到8√7，由菱形的对称性质知，当12＜PE+PF＜8√7时，即12＜a＜8√7时，在菱形ABCD的四边各存在一点满足条件PE+PF＝a；综上，点P在菱形的边上，若满足PE+PF＝a的点P只有4个，则a的取值范围是a＝4√7或12＜a＜8√7．故答案为：a＝4√7或12＜a＜8√7．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，如图，当点E在点B左侧时，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠AEC＝75°，若点E'在点C右侧时，∵AC＝CE'，∴∠CAE'＝∠CE'A，∵∠ACB＝∠CAE'+∠CE'A＝30°，∴∠CAE'＝15°，综上所述：∠CAE的度数为75°或15°，故答案为75°或15°．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，当点E在正方形ABCD内，∵四边形ABCD是正方形∴AD＝CD，∠ADC＝∠DAB＝90°∵分别以点C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E∴CD＝DE＝EC＝AD，∴∠EDC＝60°∴∠ADE＝30°，且AD＝DE∴∠DAE＝75°∴∠BAE＝15°当点E在正方形ABCD外，同理可得：∠BAE＝75°故答案为：15°或75°18．【答案】见试题解答内容【解答】解：①如图1，当P与F重合时，满足OP：OE=√2：1，∵四边形OEFG是正方形，∴∠OFE＝45°，∵∠AOF＝90°，∴∠OAF＝∠OFE＝45°，∴OA＝OF＝4，∴F（0，4），即P（0，4）；①如图2，当AE⊥x轴时，满足PE=√2OE，则EP∥OF，OE∥PG，∴四边形PEOF是平行四边形，∴EP＝OF=√2OE，Rt△AOE中，∵OA＝AE＝4，∴OE＝EF＝4√2，同理得：EP=√2EF＝8，∴P（﹣4，12）；①如图3，过P 作PM ⊥x 轴于M ，直线FG 交x 轴于N ，满足OP =√2PE 成立；设OE ＝a ，PF ＝b ，则EF ＝FG ＝OG ＝GN ＝a当OP =√2PE 时，则有OP 2＝2PE 2∴OG 2+PG 2＝2（EF 2+PF 2）即：a 2+（a +b ）2＝2（a 2+b 2）化简可得b ＝2a∴PN ＝4a ，即xx xx =14 而OE ∥PN∴△AOE ∽△ANP∴xx xx =xx xx =14 而OA ＝4，∴ON ＝12∴OG ＝GN ＝6√2，PN ＝24√2∴PM ＝MN ＝24而ON ＝12，∴OM ＝12∴点M 的坐标为（﹣12，0），点P 的坐标为（﹣12，24）．故答案为：P （0，4）或P （﹣4，12）或P （﹣12，24）19．【答案】见试题解答内容【解答】解：①∵四边形OABC 是平行四边形，∴BC ∥OA ，BC ＝OA ，∴△CDB ∽△FDO ，∴xx xx=xx xx ， ∵D 、E 为OB 的三等分点， ∴xx xx =21=2， ∴xx xx =2，∴BC ＝2OF ，∴OA ＝2OF ，∴F 是OA 的中点；所以①结论正确；①如图2，延长BC 交y 轴于H ，由C （3，4）知：OH ＝4，CH ＝3，∴OC ＝5，∴AB ＝OC ＝5，∵A （8，0），∴OA ＝8，∴OA ≠AB ，∴∠AOB ≠∠EBG ，∴△OFD ∽△BEG 不成立，所以①结论错误；①由①知：F 为OA 的中点，同理得；G 是AB 的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG=12OB，FG∥OB，∵OB＝3DE，∴FG=32 DE，∴xxxx=32，过C作CQ⊥AB于Q，S①OABC＝OA•OH＝AB•CQ，∴4×8＝5CQ，∴CQ=32 5，S△OCF=12OF•OH=12×4×4＝8，S△CGB=12BG•CQ=12×52×325=8，S△AFG=12×4×2＝4，∴S△CFG＝S①OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG＝8×4﹣8﹣8﹣4＝12，∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴x△xxxx△xxx=（xxxx）2=49，∴x四边形xxxxx△xxx=59，∴x四边形xxxx12=59，∴S四边形DEGF=20 3；所以①结论错误；①在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2＝BH2+OH2，∴OB=√42+(3+8)2=√137，∴OD=√137 3，所以①结论错误；故本题结论正确的有：①；故答案为：①．三．解答题（共21小题）20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）A、∵1+2＝3，∴1，2，3三条线段不能组成三角形，故A不符合题意；B、当√3−d＝1，√3+d＝2，得d＝1+√3，d＝2−√3，∵1+√3≠2−√3，故B不符合题意；C、∵1+√3＜3，∴1，√3，3三条线段不能组成三角形，故C不符合题意；D、当4﹣d＝3，4+d＝5，得d＝1，∵32+42＝52，∴3，4，5能组成均匀直角三角形，故D符合题意；故选D．（2）∵直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，∴（a﹣d）2+a2＝（a+d）2，化简得a2﹣4ad＝0，∴a（a﹣4d）＝0，∵a＞d＞0，∴a﹣4d＝0，∴a＝4d，∴较小直角边与较大直角边的比是（a﹣d）：a＝3d：4d＝3：4；（3）∵Rt△ABC是均匀直角三角形，∴设AC＝a﹣d，BC＝a，AB＝a+d，∵AB＝50，∴d＝50﹣a，∴AC＝2a﹣50，∵AC2+BC2＝AB2，∴（2a﹣50）2+a2＝502，∵a＞0，∴a＝40，∴BC＝40，AC＝30，过C作CH⊥AB于H交EF于M，∴CH=xx⋅xxxx=30×4050=24，∵四边形DEFG是矩形，∴设FG＝x，∴CM＝24﹣x，∵EF∥AB，∴△CFE∽△CBA，∴xxxx=xxxx，∴xx50=24−x24，∴EF=25(24−x)12，∴S矩形DEFG＝FG•EF=25x(24−x)12=−2512（x﹣12）2+300，∴剪出矩形面积的最大值是300cm2．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如图1，在GC上取点M，使得GM＝GA，连接AM，∵∠AGM＝α＝60°，∴△AGM为等边三角形，∴AG＝GM，∠MAG＝60°，∵BQ=12 BG，∴Q为GB的中点，∵G为AB的中点，∴AG＝BG＝2BQ，∵k＝1，∴BQ＝GP，∴GM＝AG＝BG＝MG＝2GP，∴GP＝MP，∴AP平分∠MAG，∴∠P AG＝∠P AM＝30°；①如图2，在AG上取点N，连接PN，使得PN＝PG，∵∠PGN＝60°，∴△PGN是等边三角形，∵BG＝GA，∴BQ＝PG＝PN＝NG＝GQ，∴GQ＝AN，∵∠ANP＝∠QGP，∴△ANP≌△QGP（SAS），∴P A＝PQ；（2）存在，k=√2，使得①中的结论成立；证明：如图3，过点P作PG的垂线交AG于点H．∵∠AGC＝45°，∴∠PHG＝45°，∴PH＝PG，∠PHA＝∠PGQ＝135°，∵xx=√2xx，xx=√2xx，∴HG＝BQ，∵AG＝BG，∴AH＝GQ．∴△AHP≌△QGP（SAS）∴P A＝PQ．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）若t =−√2，则A （−√2，0），B （√2，0）， 则AB ＝2√2，∴AB 2＝8，∵点C （0，√2），D （﹣1，√62），E （√22，√62）， 由勾股定理得：AC 2＝（√2）2+（√2）2＝4，BC 2＝（√2）2+（√2）2＝4， ∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴点C 是线段AB 的“直角视点”； 同理：AD 2＝（√2−1）2+（√62）2=92−2√2，BD 2＝（√2+1）2+（√62）2=92+2√2， ∴AD 2+BD 2＝9≠AB 2，∴∠ADB ≠90°，∴点D 不是线段AB 的“直角视点”； 同理：AE 2＝（√2+√22）2+（√62）2＝6，EE 2＝（√2−√22）2+（√62）2＝2， ∴AE 2+BE 2＝8＝AB 2，∴∠AEB ＝90°，∴点E 是线段AB 的“直角视点”； 故答案为：C 、E ；（2）①分两种情况：a 、△ABP 在M 点左侧时；当MN 与x 轴的夹角∠OMN 在x 轴上方时， ∵点P 是线段AB 的“直角视点”， ∴∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∵∠ABP ＝60°，∴∠P AB ＝30°，∴PB =12AB =√2，P A =√3PB =√6， 如图1所示：作PG ⊥AB 于G ， 则PG =12P A =√62，∵点M 的坐标是（4√3，0），∠OMN ＝30°， ∴OM ＝4√3，GM =√3PG =3√22， ∴OG ＝OM ﹣GM ＝4√3−3√22，∴P （4√3−3√22，√62）；当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，同理得：P（4√3−3√22，−√62）；b、△ABP在M点右侧时，同理得：P（4√3+3√22，√62）或（4√3+3√22，−√62）；综上所述，点P的坐标为（4√3−3√22，√62）或（4√3−3√22，−√62）或（4√3+3√22，√62）或（4√3+3√22，−√62）；①∵AB＝2√2，若△QAB的周长最小，则AQ+BQ的值最小，作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，连接AA'，则AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，∵∠OMN＝30°，∴∠MAA'＝60°，∵AG=√3PG=3√2 2，∴BG＝AB﹣AG=√22，A'G=√3AG=3√62，由勾股定理得：A'B=√x′x2+xx2=√14，∴△QAB最小值为2√2+√14；故答案为：2√2+√14．①如图3所示：当B点与O重合，则t+2√2=0，∴t＝﹣2√2；当A与M重合时，t＝4√3，∴若存在线段AB的“直角视点”在△MON内部，t的取值范围是﹣2√2＜t＜4√3；故答案为：﹣2√2＜t＜4√3．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠MON ＝90°，∴∠OBA +∠OAB ＝90°，∵∠OBA 、∠OAB 的平分线交于点C ，∴∠ABC +∠BAC =12×90°＝45°， ∴∠ACB ＝180°﹣45°＝135°；故答案为：135；（2）在△AOB 中，∠OBA +∠OAB ＝180°﹣∠AOB ＝180°﹣n °，∵∠OBA 、∠OAB 的平分线交于点C ，∴∠ABC +∠BAC =12（∠OBA +∠OAB ）=12（180°﹣n °），即∠ABC +∠BAC ＝90°−12n °，∴∠ACB ＝180°﹣（∠ABC +∠BAC ）＝180°﹣（90°−12n °）＝90°+12n °；（3）∵BC 、BD 分别是∠OBA 和∠NBA 的角平分线，∴∠ABC =12∠OBA ，∠ABD =12∠NBA ，∠ABC +∠ABD =12∠OBA +12∠NBA ，∠ABC +∠ABD =12（∠OBA +∠NBA ）＝90°，即∠CBD ＝90°，同理：∠CAD ＝90°，∵四边形内角和等于360°，∴∠ACB +∠ADB ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，由（1）知：∠ACB ＝90°+12n °，∴∠ADB ＝180°﹣（90°+12n °）＝90°−12n °， ∴∠ACB +∠ADB ＝180°，∠ADB ＝90°−12n °；（4）∠E 的度数不变，∠E ＝40°；理由如下：∵∠NBA ＝∠AOB +∠OAB ，∴∠OAB ＝∠NBA ﹣∠AOB ，∵AE 、BC 分别是∠OAB 和∠NBA 的角平分线，∴∠BAE =12∠OAB ，∠CBA =12∠NBA ，∠CBA ＝∠E +∠BAE ，即12∠NBA ＝∠E +12∠OAB ， 12∠NBA ＝∠E +12（∠NBA ﹣80°）， 12∠NBA ＝∠E +12∠NBA ﹣40°，∴∠E ＝40°．24．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当∠BAC ＝90°时，①AE ＝AD ﹣DE =√22AB ﹣DE =5√22−52；①连接DM ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，AD ＝DC ．∵点M 是AC 的中点，∴DM ＝MC ＝AM ＝DE ，DM ⊥AC ，∴∠MDC ＝∠MDE ＝45°，∴∠DEM =12（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠F ＝90°﹣67.5°＝22.5°；（2）当∠BAC ≠90°时，∠BAC ＝4∠F ．理由如下：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴∠ADC ＝90°．设∠BAC ＝4x ，则∠DAC ＝2x ．∵点M 是AC 的中点，∴DM ＝MC ＝AM ＝DE ，∴∠ADM ＝∠DAC ＝2x ，∴∠DEM =12（180°﹣2x ）＝90°﹣x ， ∴∠F ＝90°﹣DEM ＝90°﹣（90°﹣x ）＝x ，∴∠BAC ＝4∠F ．25．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF ，在△ABC 和△DEF 中，{∠x =∠xxx =xxxx xx =xx，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．26．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵sin A =45，OC ＝8，∠AOC ＝90°，∴xx xx =45， ∴8xx =45，∴AC ＝10，∴OA =√xx 2−xx 2=√102−82=6，∴A （﹣6，0）．故答案为：（﹣6，0）；（2）①如图1，过点D 作DH ⊥y 轴于H ，∵D 为AC 的中点，∴DH ＝3，HO ＝4，EH ＝a ﹣4，∴S ＝DE 2＝EH 2+DH 2＝（a ﹣4）2+9；①当DF ∥x 轴时，点H 即为正方形DEFG 的中心，∴EH ＝DH ＝3，∴a ＝4+3＝7，∴S ＝（7﹣4）2+9＝18；（3）①当点F 落在BC 边上时，如图2，作DM ⊥y 轴于M ，FN ⊥y 轴于N ，在△DEM 与△EFN 中，{∠xxx =∠xxx =90°xxxx =xxxx xx =xx，∴△DEM ≌△EFN （AAS ），∴NF ＝EM ＝a ﹣4，EN ＝DM ＝3，∵EC ＝a ﹣8，∴CN ＝11﹣a ，∵NF ∥OB ，∴△CNF ∽△COB ，∴xx xx =xx xx ， ∴x −416=11−x 8．∴a =263．①当点G 落在BC 边上时，如图3，作DM ⊥y 轴于M ，GN ⊥DM 轴于N ，延长NG 交x 轴于点Q ，则四边形OMNQ 为矩形，由①同理可得△DEM ≌△GDN ，∴GN ＝DM ＝3，DN ＝EM ＝a ﹣4，∵GQ ＝1，QB ＝2，∴OQ＝MN＝14，又∵MN＝DN﹣DM＝a﹣4﹣3＝14，∴a＝21；①当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，∴OE＝DM＝3，即a＝3；①当点G落在AC边上时，如图5，∵∠CDE＝∠AOC＝90°，∠DCE＝∠OCA，∴△DCE∽△OCA，∴xxxx=xxxx，∴8−x10=58，∴a=7 4，显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况．综上可得，当a=263或21或3或74时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．27．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝x，则DC＝x，∵△EFG是等边三角形，∴ED＝DC＝x，∵正△EFG的边长为2，∴DF＝2﹣x，在Rt△DF A中，sin F＝sin60°=xxxx=xx2−x，∴DA=√32（2﹣x），∴S=√32（2﹣x）×x，即S关于x的函数表达式为S=−√32x2+√3x，自变量x的取值范围为0＜x＜2；（2）当S=√32时，√32=−√32x2+√3x，解得x＝1．28．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如图1，∵在矩形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∵∠EOA＝∠EOC，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴OE＝OF，同理可得：OG＝OH，又∵GH⊥EF，∴四边形HFGE是菱形；①当GH与BD重合时，如图2，∵在矩形ABCD中，DC＝AB＝12，BC＝16，∴BD=√xx2+xx2=√122+162=20，∴OB＝OD＝10，在Rt△ABD和Rt△EOD中，cos∠EDO＝cos∠ADB=4 5，∴DE=xxxxxxxxx=1045=12.5，∴AE＝AD﹣DE＝3.5，当GH与AC重合时，如图3，同理可得：sin∠AEO=xxxx=sin∠BAC=xxxx=45，∴10xx=45，∴AE＝12.5，∴3.5＜AE＜12.5．即当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，AE的取值范围是3.5＜AE＜12.5．（2）①当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的两条边上时，当点G在AD上，如图4，由（1）可知四边形HFGE是菱形，且菱形的高是12．∵S四边形HFGE＝144，∴EG＝12，∴EH＝EH＝12＝AB，∴EH⊥HF，∴四边形HFGE是正方形，由于正方形HFGE和矩形ABCD的对称轴为同一条，∴AE=12（16﹣12）＝2．同理可证：当点G在BC上时，如图5，AE＝14．①当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，如图6，过点O作OP⊥AD，OQ⊥CD，交AD，CD分别于点P，Q，则四边形POQD为矩形，∴∠POQ＝90°，∴∠POE＝∠GOQ，又∵∠EPO＝∠OQG＝90°，∴△EPO∽△GQO，∵OP=12AB＝6，OQ=12AD＝8，∴xxxx=xxxx=68=34，∴xxxx=xxxx=34，设EF＝3a，HG＝4a，∴S四边形HFGE=12EF•HG=12×3a×4a＝144，解得a＝2√6，∴OE=3x2=3√6，∴EP=√xx2−xx2=3√2，∴当E点在P点左侧时，AE＝8﹣3√2，由对称性可得，当点E在P点右侧时，如图7，AE＝8+3√2，综上所述，AE的长为8+3√2或8﹣3√2或2或14．29．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵正方形ABCD沿对角线AC对折，∴PQ⊥CE，∵AC为正方形的对角线，∴∠ACQ＝∠ACP＝45°，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，∴△CPQ是等腰直角三角形；（2）由折叠可知：QE＝CQ，CP＝PE，∵△CPQ是等腰直角三角形，∴QE＝CQ＝CP＝PE，∠BCD＝90°，∴四边形CQEP是正方形，∴PQ＝CE，在正方形ABCD中，AC=√2a，由折叠可知：AE＝AB＝a，∴CE=√2a﹣a，∴PQ=√2a﹣a．（3）①∵△CPQ是等腰直角三角形，∴∠CQP＝45°；①设AB＝a，由（2）可知：PQ=√2a﹣a，∵△CPQ是等腰直角三角形，∴CQ＝a−√22 a，同理可得：DG＝a−√22 a，∴QG＝CD﹣DG﹣CQ＝a﹣（a−√22a）﹣（a−√22a）=√2a﹣a．30．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，{xx=xx xx=xx xx=xx，∴△AEH≌△CGF．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF．∴△BEF≌△DGH．∴EF＝HG．又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF．∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴EFGH 是菱形．31．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1中，设OM ＝AN ＝m ．在Rt △AOC 中，∵∠AOC ＝90°，OC ＝6，OA ＝8，∴AC =√xx 2+xx 2=10，∵MN ∥AB ，AB ∥OC ，∴MN ∥OC ，∴xx xx =xx xx ， ∴8−x 8=x 10，∴m =409，∴AN =409．（2）如图2﹣1中，当∠MNC ＝90°时，设OM ＝AN ＝n ．∵∠ANM ＝∠AOC ，∠MAN ＝∠OAC ，∴△MAN ∽△CAO ，∴xx xx =xx xx ， ∴xx 10=x 8，∴AM =54n ，∵OM +AM ＝8， ∴n +54n ＝8，∴n =329，∴M （329，0）．如图2﹣2中，当∠CMN ＝90°时，作NH ⊥AM 于H ，设OM ＝AN ＝a ，则AH =45a ，HN =35a ，MH ＝8﹣a −45a ＝8−95a ， ∵△COM ∽△MHN ，∴xx xx =xx xx ，∴68−95x =x 35x ， 解得a =229，∴M （229，0）． 综上所述，满足条件的M 的坐标为（329，0）或（229，0）．（3）①如图3﹣1中，当四边形ONO ′M 是菱形时，易证ON ＝OM ＝AN ＝CN ＝5，此时M （5，0）．①如图3﹣2中，当四边形AMA ′N 是菱形时，易证OM ＝AM ＝4，此时M （4，0）．①如图3﹣3中，当四边形CMC ′N 是菱形时，设OM ＝AN ＝b ，∵CM ＝CN ，∴62+b 2＝（10﹣b ）2，解得b =165，此时M （165，0）．①如图3﹣4中，当四边形BNB ′M 是菱形时，设OM ＝AN ＝c ，作NJ ⊥AB 于J ．∵BM ＝BN ，∴62+（8﹣c ）2＝（6−35c ）2+（45c ）2， 解得c =8011，此时M （8011，0）． 综上所述，满足条件的点M 的坐标为（5，0）或（4，0）或（165，0）或（8011，0）．32．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）补全表格如下：x 0 12 3 4 5 y 15.0 4.12 3.61 3.61 4.12 5.00 y 20 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07（2）函数图象如下：（3）结合函数图象2，解决问题：当△CDF 为等腰三角形时，BE 的长度约为2.59（图中点A ）， 当DF ＝CD ＝y 1＝5时x ＝5（图中点C ）当CF＝CD＝y2＝5时x＝3.5（图中点B）故答案为：2.59或5或3.5．33．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，∴BD平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG，又∵AB＝BC，BG＝BG，∴△BAG≌△BCG（SAS）；（2）①如图2，由（1）知△BAG≌△BCG，∴∠BAG＝∠BCG，∴GE＝GC，∴∠BCG＝∠GEC，∴∠GEC＝∠BAG，又∵∠GEC+∠BEG＝180°，∴∠BAG+∠BEG＝180°，∴∠ABE+∠AGE＝180°，又∵∠ABE＝90°，∴∠AEG＝90°，∴AG⊥EG．①如图3，当点E在线段CB上时，作GH⊥BC于H，在Rt△BGH中，BH=√22 BG，∵BE＝BH﹣EH①，AB＝BH+CH①，∵GE＝GC，∴EH＝CH，∴①+①，得：AB+BE＝2BH，∴AB+BE=√2BG；如图3，当点E在线段CB延长线上时，作GH⊥BC于H，在Rt △BGH 中，BH =√22BG ，∵BE ＝EH ﹣BH ①，AB ＝BH +HC ①，∴①﹣①，得：AB ﹣BE ＝2BH ，∴AB ﹣BE =√2BG ．34．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，过点M 作MP ∥CD ，交BD 于点P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，∠CBD ＝∠CDB ＝45°，∵PM ∥CD ，∴∠NDE ＝∠MPE ，∠BPM ＝∠CDB ＝45°，∴△BPM 是等腰直角三角形，∴PM ＝BM ，PB =√2BM ，∵BM ＝DN ，∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，{∠xxx =∠xxxxxxx =xxxx xx =xx，∴△EPM ≌△EDN （AAS ），∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =√2BM ，即BD ﹣2DE =√2BM ；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB ＝∠BCD ＝90°，∵∠CBD ＝45°，∴△BMP 是等腰直角三角形，∴BM ＝PM ＝DN ，与（1）证法类似：△EPM ≌△EDN （AAS ），∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD +PD ＝BD +2DE ，根据勾股定理得：BP =√2BM ，即BD +2DE ＝BP =√2BM ，故答案为：BD +2DE =√2BM ；（3）如图3，∵AB ∥CD ，∴AB ∥DN ，∴△ABF ∽△DNF ，∴AF ：FD ＝AB ：ND ，∵AF ：FD ＝1：2，∴AB ：ND ＝1：2，设AB ＝x ，则DN ＝2x ，∵BM ＝DN ，∴x +2＝2x ，x ＝2，∴AB ＝AD ＝2，DF =43，。
专题五 三角形、四边形-天津市滨海新区2020届九年级中考数学专题复习检测试题
学校 姓名 准考证号……○…………○…………○…………○…………○…………○…………○…………○…………○…………2020年滨海新区初三数学中考专题复习检测试卷（五）三角形、四边形本试卷共4页，分值100分，测试时间45分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）（2）如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DCB 的是( )（A ）∠A ＝∠D （B ）∠ACB ＝∠DBC （C ）AC ＝DB （D ）AB ＝DC（3）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形. 下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 ( )诚 信 友 善（A ） （B ） （C ） （D ）（4）右图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 ( )（5）一副直角三角板如图叠放在一起，点D 在AC 上，点F 在BA 上，BC ∥FD ，∠A ＝∠FDE ＝90°，则∠BFE 的度数为( )（A ） （B ）（D ）（C ） 第（4）题第（2）题第（5）题（A ）75° （B ）70° （C ）65° （D ）60°（6）由5个小立方体搭成如图所示的几何体，从左面看到的平面图形是（ ）（7）如图，四边形ABCD 为菱形，A ，B 两点的坐标分别是20（，），01（，），点C ， D 在坐轴上，则菱形ABCD 的周长等于（ ）（A ）45 （B ）43 （C ）5 （D ）20（8）如图，在底边BC 为23，腰AB 为2的等腰三角形ABC 中，DE 垂直平分AB于点D ，交BC 于点E ，则ACE △的周长为（ ） （A ）23+ （B ）223+ （C ）4 （D ）33（9）如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD .若AE ＝2，PF ＝8， 则图中阴影部分的面积为( )（A ）10 （B ）12 （C ）16 （D ）18（10）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的点，2EC =，90AEP ∠=︒，且EP 交正方形外角的平分线CP 于点P ，则PC 的长为 ( ) （A ） 2 （B ）22（C ） 1 （D ） 2二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）（A ） （B ）第（6）题（D ）（C ） B第（7）题yO A xDC第（8）题第（9）题第（10）题学校 姓名 准考证号……○…………○…………○…………○…………○…………○…………○…………○…………○…………（11）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E . 若AD =3，DB =2，BC =6，则DE 的长为 .（12）矩形COED 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点D 的坐标是(1，3)，则CE的长是 .（13）如图，四边形ABCD 是矩形，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC ＝6，则四边形CODE 的周长为 .（14）如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为点D 、E ，若AD ＝2.5 cm ，DE ＝1.7 cm ，则BE 的长为 ． （15）△ABC 是等边三角形，BD 为AC 边上的中线，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，若CE ＝2，∠E ＝30°，则线段BC 的长为 ．（16）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点M 是 AB 的中点，若OM =4，AB =6，则AC 的长为 ．（17）如图，在中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF FC : 等于 ．（18）如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB 为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作 个．（19）如图，ABC △是边长为2的等边三角形，D 是BC 的中点，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接DE 交AC 于点F ，则AEF △的面积为 ．ABCD 第（12）题第（11）题 ECDAB 第（13）题第（14）题第（15）题第（17）题CFAE DB第（16）题M ODCBA第（18）题BCDEFGA第（20）题ABCDE F第（19）题（20）正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为22，点B在线段DG上，则DG的长为．三、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）（21）（本小题10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=42，∠BAD=∠ADE=60°，AD=5，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，求DE的长．（22）（本小题10分）将△ABC和△ACD按照如图所示的位置放置，其中∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，BC＝43，△ABC的角平分线BE交AC于点E，连接DE，求DE的长．第（22）题第（21）题学校 姓名 准考证号……○…………○…………○…………○…………○…………○…………○…………○…………○…………2020年滨海新区初三数学中考专题复习检测试卷（五）三角形、四边形---参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）（11）518（12） 10 （13）12 （14）0.8 cm （15）4 （16）10 （17）12: （18）5 （19）833 （20）62+三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）（21）（本小题10分）解：解：如图，延长CE 、DE ，分别交AB 于G 、H ， ∵ ∠BAD =∠ADE = 60°， ∴ △ADH 是等边三角形 ∴ DH =AD =AH = 5, ∠DHA = 60° ∵ AC =BC ,CE 平分∠ACB ，∠ACB =90° ∴ 822=+=BC AC AB ,题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 答案 BCDDADABCA第（21）题421==AB AG ,CG ⊥AB ∴ GH = AH -AG = 5-4 = 1 ∵ ∠DHA = 60° ∴ ∠GEH = 30° ∴ EH =2GH =2∴ DE = DH- EH = 5-2 = 3（22）（本小题10分）解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，则DF ＝CF ＝12AC . ∵∠ABC ＝90°－∠BAC ＝60°， BE 是△ABC 的角平分线， ∴∠EBC ＝12∠ABC ＝30°， 又∵BC ＝43， ∴CE ＝4，AC ＝12， ∴DF ＝CF ＝6， ∴EF ＝CF －CE ＝2，∴在Rt △DFE 中，由勾股定理可得DE ＝DF 2＋EF 2＝210.第（22）题。
三角形与四边形测试卷
三角形与四边形测试卷一、选择题1.（2014•广西玉林）在等腰△ABC 中，AB =AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是（ B ）A.1cm ＜AB ＜4cmB.5cm ＜AB ＜10cmC.4cm ＜AB ＜8cmD.4cm ＜AB ＜10cm2.（2014•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ D ）A.1，2，3B.1，1，C.1，1，D.1，2，3.(2014年四川资阳，第6题3分)下列命题中，真命题是（ D ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ． 对角线互相垂直的四边形是菱形C ． 对角线相等的四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形4.（2014山东泰安）在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题：（1）若AB =A 1B 1，AC =A 1C 1，∠A =∠A 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1；（2）若AB =A 1B 1，AC =A 1C 1，∠B =∠B 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1；（3）若∠A =∠A 1，∠C =∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1；（4）若AC ：A 1C 1=CB ：C 1B 1，∠C =∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1．其中真命题的个数为（ B ）A ．4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个5.（2014•毕节）如图1，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C =∠E ，AD ：DE =3：5，AE =8，BD =4，则DC 的长等于（ ）A ． B ．C ．D ．6.(2014•天津)如图2，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ：FC 等于（ D ）A ．3：2 B ．3：1C ． 1：1D ．1：27.（2014•武汉）如图3线段AB 两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的21后得到线段CD ，则端点C 坐标为（ A ） A ．（3，3） B ．（4，3） C ．（3，1） D ．（4，1）8.（2014南京）如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是（﹣2，1），点C 的纵坐标是4，则B 、(1) (2) (3)(4)C两点的坐标分别是（B）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）9.（2014山东泰安）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（D）A．10°B．20°C．7.5°D．15°10.（2014安徽）如图矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（B）A．B. C．D．二.填空题1.（2014•滨州）如图1，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．2.（2014•扬州）如图2，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE= 50°．3.（2014•新疆）如图3，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．4.（2014•泰州）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE 的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于1或2 cm．5.（2014·昆明）如图4，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，第14题图QHGFEDCBA(1) (2) (3) (4) (5)折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 12 cm6.10. （2014•泰州）如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为y=（x ＞0）．三．解答题：1．（2014•莱芜）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．（1）求证：BE=CD；（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，∴AB=AC，∴∠BAE=∠CAD，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴BE=CD；（2）∵AD⊥BC，∴BD=CD，∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD，∴∠BAE=∠BAD，在△ABD和△ABE中，，∴△ABD≌△ABE（SAS），∴∠EBF=∠DBF，∵EF∥BC，∴∠DBF=∠EFB，∴∠EBF=∠EFB，∴EB=EF，∴BD=BE=EF=FD，∴四边形BDFE为菱形．2．（2014•遵义）如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE，在△ODF与△OBE中，∴△ODF≌△OBE（AAS）∴BO=DO；（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°，∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）∴OE=OF，∴GF=OF=OE，即2FG=EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG==，∵AB∥CD，∴=，即=，∴AD=2，3.（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，又∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC，在△ADE和△CDN中，，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN．。
专题测试卷——三角形与四边形(加强版)
中考数学专题测试卷（加强版）三角形与四边形(时间：90分钟 满分：120分)班级 姓名 学号 成绩一、选择题：（每小题3分，共36分）1. 如图，五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE 、∠AED 、∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）A ．90°B ．180°C ．210°D ．270°2. 下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【 】A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种3. 已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=12BC ，则△ABC 底角的度数为【 】 A ．45° B ．75° C ．45°或75°D ．60° 4.如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线l ∥BE ，则∠1的度数为（ ） A ．30° B ．36° C ．38° D ．45° 5.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ） A ．3cm B ．6cm C ．cm D ．cm 6.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG =1，则AE 的边长为（ ）A ．2B ．4C ．4D ．8 7.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为【 】 A ．3 B ．3.5 C ．2.5 D ．2.8 8. 如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E 、F 分别为AB ．AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为【 】第1题 第4题第5题第6题A ．17B ．16C ．15D ．149. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG =，则△EFC 的周长为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．810. 若以A （-0.5，0），B （2，0），C （0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在【 】A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11. 如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD 的下底在x 轴上，且B 点坐标为（4，0），D 点坐标为（0，3），则AC 长为【 】A ．4B ．5C ．6D ．不能确定12. 如图，在△ABC 中∠A =60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM =PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC =45°时，BN =PC ．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：（每小题3分，共18分）13. 若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．14. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC=1，则EF= ．15. 如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 ．16. 如图，□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且∠BAD =60°，∠F =110°，则∠DAE 的度数为 ．17. 如图，▱ABCD 中，∠ABC =60°，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE ∥BD ，EF ⊥BC ，EF =，则AB 的长是 ．18. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ．BD ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE= ．第17题 第7题 第8题 第9题 第11题第12题 第14题 第15题第16题第18题三、计算题：（每小题6分，共12分）19.如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC. 若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.EDC BA20.已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，求梯形的面积。
中考复习之—三角形与四边形练习题(含答案)
中考复习之——三角形与四边形1、三角形与平行四边形联手1，在平行四边形ABCD中, ∠ABC的平分线交C D于点E, ∠ADC的平分线交A B于例1、如图点F. 试判断A F与CE是否相等，并说明理由.解：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB=CD ，∠A=∠C，∠ADC= ∠CBA∵DF 平分∠ADC ，BE 平分∠CBA∴∠ADF=1/2 ∠ADC=1/2 ∠CBA= ∠CBE在△ADF 和△CBE 中∠A=∠CAD=BC∠ADF= ∠CBE∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF=CE2、三角形与矩形联手5，矩形ABCD 中，点 E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF⊥AE于例2、如图F，连结DE，求证：DF＝DC．证明：∵AE=AD∴∠AED=∠ADE∵AD‖BC ∴∠CED=∠ADE∴∠CED=∠AED∵∠DFE=∠C=90∠CED=∠AED（已证）DE=DE（公共边）∴△DFE≌△DCE（AAS）∴DF=DC例3、如图4所示，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为 F.（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.解：∵AB平行DC ∴∠AED=∠EDC∵CF⊥DE ∴∠DFC=∠DAE又∵DE=AB且AB=DC ∴DE=DC∵∠AED=∠EDC ∠DAE=∠DFC DE=DC∴△AED全等于△FCD∴AD=CF例4、如图6，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O点的直线EF与AB，CD 的延长线分别交于E，F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形．是菱形？证明你的结论证明：1、证明：∵矩形ABCD∴OA＝OC，AB∥CD∴∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO∴△BOE≌△DOF （AAS）2、EF⊥AC时，四边形AECF为菱形∵△BOE≌△DOF∴OE＝OF又∵OA＝OC∴平行四边形AECF∵EF⊥AC∴菱形AECF（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）例5、在矩形ABCD 中，AB=2，AD= 3．（1）在边CD 上找．一点E，使EB 平分∠AEC，并加以说明；F．E P 并延长交A B 的延长线于（2）若P 为BC 边上一点，且B P=2CP，连接①求证：点 B 平分线段A F；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．解：（1）∵∠AEB= ∠BEC=∠ABE∴∠AEB= ∠ABEAB=AE=2DE=1( 勾股定理计算)∴DE=EC=1E 是DC 的中点（2）∵⊿ECP∽⊿FBP∴EC/BF=PC/PB=1/2∴BF=2A F点B 平分线段②由（1）知⊿AED ≌⊿BEC⊿ABE 是等边三角形在⊿PEC 中tan∠PEC=√3/3∴∠PEC=30 o=∠F∴⊿AEF 是直角三角形∴AF=2AE=2AB3、三角形与正方形联手点(点G 与C、D 不重例6、如图8 所示，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG，连结B G，DE．我们探究下列B G、线段D E 的长度关系及所在直线的位置关系：图中线段D E 的长度关系及所在直线的位置关系；B G、线段（1）①猜想如图 1 中线段②将图 1 中的正方形CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a b，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（08年义乌市）（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BE DG的值．解：（1）①BG⊥DE，BG=D；E②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=D，C CG=C，E∠BCD=∠ECG=9°0，∴∠BCG∠=DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=D，E∠CBG∠=CDE，又∵∠CBG∠+BHC=9°0，∴∠CDE+∠DHG=9°0，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC/DC＝CG/CE =b/a ，又∵∠BCG∠=DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG∠+BHC=9°0，∴∠CDE+∠DHG=9°0，∴BG⊥DE．B E、DG．（3）连接根据题意，得A B=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=9°0∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25A D ，以线BC 上一动点，连接9- 甲，在△ ABC 中，∠ACB 为锐角．点 D 为射例 7、如图AD 为一边且在AD 的右侧作正方形A DEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点 D 在线段B C 上时（与点 B 不重合），如图9- 乙，线段C F、BD 之间的位置关系为▲，数量关系为▲．②当点D 在线段B C 的延长线上时，如图9- 丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？B C 上运动．试探究：当△ABC 满足一个（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90o，点D 在线段什么条件时，CF⊥BC（点C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC ＝4 2 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边D E 与线段C F 相．交于点P，求线段C P 长的最大值解：（1）①CF 与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF ，∠DAF=90o．∵∠BAC=90，o∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC，∴△DAB≌△FAC ，∴CF=BD∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90，o AB=AC ，∴∠ABC=45，o∴∠ACF=45o，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即CF⊥BD（2）画图正确当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁）．理由是：过点 A 作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即CF⊥BD（3）当具备∠BCA=45o 时，过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）∵DE与CF交于点P 时，∴此时点D位于线段C Q上，∵∠BCA=45，o可求出AQ= CQ=4．设C D=x ，∴DQ=4―x，容易说明△AQD∽△DCP，∴，∴，．∵0＜x≤ 3 ∴当x=2时，CP有最大值1．4三角形与梯形联手11，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E是CD 的中点，BE的延长线与AD 例8、已知：如图的延长线相交于点 F ．（1）求证：△BCE 和△FDE 全等（2）连结BD，CF ，判断四边形BCFD 的形状，并证明你的结论．1、证明：∵AD∥BC∴∠CFE＝∠BAE，∠FCE＝∠ABE∵E是BC的中点∴BE＝CE∴△ABE≌△FCE （AAS）∴AB＝CF2、菱形ABFC证明：∵AD∥BC，AB＝CF∴平行四边形ABFC∵△ADC沿AE折叠至△AEC，∠D＝90∴∠AEC＝∠D＝90∴AF⊥BC∴菱形ABFC例9、如图12，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是AD 的中点，求证：MB MC ．（1）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB=DC ，∠A=∠D．∵M 是AD 的中点，∴AM=DM ．在△ABM 和△DCM 中，AB ＝DC ∠A＝∠D AM ＝DM ∴△ABM ≌△DCM （SAS）．∴MB=MC ．例10、如图13 所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC 与BD 相交于点O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．解：∵ABCD 是等腰梯形∴AB=DC ∠ABC= ∠DCBBC 是公共边∴△ABC ≌△DCB(SAS)还有△ABD ≌△DCA(SAS)∵AD ‖BC ∠ABC= ∠DCB∴∠BAD= ∠CDAAD 是公共边且AB=DC∴△ABD ≌△DCA(SAS)14，在梯形ABCD 中，AD ∥BC，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF∥AB ，例11、已知：如图BF 的延长线交DC 于点E。
河北省中考数学复习四边形专项训练(五)三角形与四边形试题(含解析)
专项训练(五) 三角形与四边形一、选择题1. 如图，∠AOB的度数可由量角器测得，作∠AOB的平分线OC，那么∠AOC的度数为(C)第1题图°°°°1【解析】∵∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠AOB＝25°.22.如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36km/h；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27km/h.两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为km，那么两船距离最近时的时刻为(C)第2题图：35 ：34 ：33 ：32【解析】设xh后两船距离最近．根据题意，得36x＝－27x.解得x＝h ＝18min.所以两船距离最近时的时刻为 7：33.如果一个三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4，那么它是(A)A.锐角三角形B. 钝角三角形C.直角三角形D. 钝角三角形或直角三角形1【解析】设三角形的三个内角的度数分别为2，3，4，那么2＋3＋4＝180°.解得kk4.20°.所以这个三角形最大的内角为4×20°＝80°.所以此三角形是锐角三角形．在以下三角形中，假设AB＝AC，那么不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(B)2A B C D【解析】A.作∠的平分线即可．C.过点作的垂线即可．D.以点为顶点AB ABC BC为一边在三角形内部作一个72°的角即可．只有选项B不能被一条直线分成两个小等腰三角形．5.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上．设木棍的中点为P，假设木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离(A)第5题图A.不变B. 变小C. 变大 D.无法判断1【解析】如答图，连接OP.在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，∴OP＝2AB.由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动， OP都是一个定值．3第5题答图如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.假设AB＝6cm，那么△DEB的周长为(A)第6题图A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm【解析】∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.∴∠C＝∠AED.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝EAD.∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED(AAS)．∴AC＝AE，CD＝DE.∴BD＋DE＝BD＋CD＝BC＝AC＝AE.∴△DEB的周长为BD＋DE＋BE＝AE＋BE＝AB＝6cm.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是BC上的点，DF∥AB交AC于点F，DE∥AC交AB 于点E，那么四边形AFDE的周长为(B)4第7题图【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠FDC，∠EDB＝∠C.∵AB AC，∴∠B＝∠C.∴∠B＝∠EDB，∠C＝∠FDC.∴BE＝ED，DF＝FC.∴?AFDE的周长为AB＋AC12.如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.假设BF12，AB＝10，那么AE的长为(D)第8题图A.13B.14C.15D.16【解析】如答图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠BEA.∴AB＝BE.同理AB＝AF.∴AF＝BE.∴四边形ABEF是平行四边形．∵ AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF1 2 2 2 2＝2BF＝6.∴OA＝AB－OB＝10－6＝8.∴AE＝2OA＝16.59.(导学号5892921)有3个正方形如下图放置，阴影局部的面积依次记为S1，S2，那么S1∶S2等于(D)第9题图∶2B.1∶2 C.2∶3D.4∶911EF3AC1【解析】如答图．由题意，得EF＝AC，CG＝AC.∴＝.易证△DEF∽△HCG.∴S∶32G C2ACS2＝4∶9.6二、填空题如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动．点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，那么最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．第10题图【解析】设最快xs后，四边形ABPQ成为矩形．由BP＝AQ，得3x＝20－2x.解得x＝4.11.(导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形的边长为2，点OABC第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°.假设将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到菱形OA′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为(6，－6)．7第11题图【解析】如答图，作B′H⊥x轴于点H，连接OB，OB′.∵四边形OABC为菱形，∴OB平分∠AOC.∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝∠BOC＝30°.∵菱形OA′B′C′由菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°得到，∴∠BOB′＝75°，OB′＝OB.∴∠COB′＝∠BOB′－∠BOC＝45°.2∴△OB′H为等腰直角三角形．易得OB′＝OB＝23，∴OH＝B′H＝2OB′＝ 6.∴点B′的坐标为( 6，－6)．第11题答图12.( 导学号5892921)如图，把矩形卡片ABCD放在每格宽度都为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．假设α＝37°，那么矩形卡片ABCD的周长约为2003 4mm.注：sin37 °＝5，cos37°＝58第12题图【解析】如答图，过点作⊥于点，过点⊥于点.∵＋∠＝90°，BEl EDFl FDAF∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝α＝37°.根据题意，得BE＝24mm，DF＝48mm.在Rt△ABE 中，sinBEBE24＝40(mm)．在Rt△ADF中，cos∠ADF＝DF α＝，∴AB＝sin373，∴AB AD5DF8AD＝cos37°≈＝60(mm)．∴矩形卡片ABCD的周长约为2×(40＋60)＝200(mm)．第12题答图三、解答题(2021，唐山古冶区三模)如图，在△ABC中，直线EF垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交EF于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；9求证：四边形AECF是菱形；假设ED＝6，AE＝10，那么菱形AECF的面积是多少？第13题图【思路分析】(1)由EF为线段AC的垂直平分线得到AD＝CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用AAS证得两个三角形全等．(2)根据全等得到AE＝CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形为菱形．(3)由菱形的性质和勾股定理求出，得出AC AECF AD的长，进而求得菱形的面积．证明：∵EF为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.∴△AED≌△CFD(AAS)．证明：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA.∴EC＝EA＝FC＝FA.∴四边形AECF为菱形．解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF.∵ED＝6，AE＝10，∴AD＝102－62＝8.∴AC＝2AD＝16.1 1∴菱形AECF的面积为2×2·AC·DE＝2×2×16×6＝96.14. 如图，在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点 F，连接BD.求∠AEC的度数；求证：BE＝DC；( 3)是线段EF 上一动点(不与点重合)，在点运动过程中，能否使△成为等E BDP腰直角三角形？假设能，写出点 P满足的条件并证明；假设不能，请说明理由．10第14题图【思路分析】 (1) 由矩形的性质与三角形外角的性质即可得出结果．(2)由矩形的性质得出AB＝DC，AD∥BC，再由平行线的性质得出∠AEB＝∠EAD＝45°，即可得出结论．(3)连接CP，证出△CEF为等腰直角三角形，再由P是线段EF的中点得出EP＝CP，∠ECP＝45°，∠EPC90°，由SAS证得△BEP≌△DCP，即可得出结论．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°.∵∠DAB的平分线交BC于点E，∴∠BAE＝∠EAD＝45°.∴∠AEC＝∠ABC＋∠BAE＝90°＋45°＝135°.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AD∥BC.∴∠AEB＝∠EAD＝45°.∴∠BAE＝∠AEB＝45°.∴AB＝BE.∴BE＝DC.解：在点P运动过程中，能使△BDP成为等腰直角三角形，此时P是线段EF的中点．证明：如答图，连接CP.∵四边形ABCD是矩形，DC的延长线交∠DAB的平分线于点F，∴∠ECF＝90°，AB∥DF.∴∠F＝∠BAE＝45°.∵∠FEC＝∠AEB＝45°，∴∠F＝∠FEC.∴CE＝CF.∵P是线段EF的中点，∴EP＝CP，∠ECP＝45°，∠EPC＝90°.∴∠DCP＝∠DCB＋∠ECP＝90°＋45°＝135°.∵∠BEP＝∠AEC＝135°，∴∠BEP＝∠DCP.11BE＝DC，在△BEP和△DCP中，∠BEP＝∠DCP，EP＝CP，∴△BEP≌△DCP(SAS)．∴BP＝DP，∠BPE＝∠DPC.∴∠BPD＝∠BPE＋∠DPE＝∠DPC＋∠DPE＝∠EPC＝90°.∴△BDP为等腰直角三角形．第14题答图12。
七年级数学三角形与四边形练习题
七年级数学三角形与四边形练习题题目：七年级数学练习题：三角形与四边形
说明：以下是一组七年级数学练习题，涵盖了三角形与四边形的知识点。
请同学们认真思考并尽量独立完成，加深对这些形状的理解和应用。
题目1：三角形特征辨识
根据以下信息，判断下列每个三角形的特征：等边三角形（E）、等腰三角形（I）、直角三角形（R），或者都不是（N）。
1）边长分别为3cm、3cm、3cm；
2）两边长分别为7cm和7cm，底边长为5cm；
3）一个角为90度，其余两边长度分别为4cm和5cm。
题目2：三角形角度求解
计算下列三角形中缺失的角度。
1）边长为5cm、4cm和3cm的三角形，求最小的角度；
2）等腰三角形的底角是60度，求顶角的度数；
3）一个角为80度，另外两个角分别为60度和x度，求x的值。
题目3：四边形名称辨识
根据以下信息，判断下列每个四边形的名称：矩形（R）、正方形（S）、平行四边形（P），或者都不是（N）。
1）各边边长都相等；
2）对边平行且相等；
3）两对对边都相等，但不一定平行。
题目4：四边形面积计算
计算下列四边形的面积。
1）长方形的长为8cm，宽为5cm；
2）正方形的边长为10cm；
3）平行四边形的底边长为6cm，高为3cm。
题目5：四边形周长计算
计算下列四边形的周长。
1）矩形的长为12cm，宽为6cm；
2）正方形的边长为7cm；
3）平行四边形的底边长为4cm，高为5cm。
答题后，请与同学互相讨论答案，解释解题方法和答案的理由。
如有不明之处，请向老师提问。
祝大家学习愉快！。
2024河南中考数学复习 四边形中的三角形问题 强化精练 (含答案)
2024河南中考数学复习四边形中的三角形问题强化精练基础题1.两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝()A.α－90°B.α－45°C.180°－αD.270°－α第1题图2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠CAB＝60°，AB＝6，则BD的长为()第2题图A.8B.10C.12D.183.如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB.过点D作DE∥AB交BC于点E，若BC＝10，CE＝4，则DE的长为________．第3题图4.(2023福建)如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为________．第4题图5.(2023台州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________．第5题图6.如图所示，任意四边形ABCD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若四边形ABCD的面积为m，那么四边形EFGH的面积是________．第6题图7.如图，在边长为5的菱形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接BD，DE，DF，EF，若BD＝8，则△DEF的面积为________．第7题图8.(万唯原创)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，E是BC的中点，连接BD，DE，若BD⊥CD，则四边形ABED的周长为_______________________________________．第8题图9.(2023临沂)如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是_____________．第9题图10.(2023甘肃省卷)如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝_______________________________________________cm.第10题图11.(2023重庆A卷改编)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于________．第11题图12.(2023广东省卷)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．第12题图拔高题13.(2023平顶山一模)如图，点E在正方形ABCD边AD上，且AE＝2DE＝2，点P是线段AB上一动点(点P不与点A重合)，连接EP，将△AEP沿EP所在直线折叠，点A的对应点为A′，过点A′作A′F⊥AB于点F，当点A′落在正方形ABCD的对角线上时，线段BF的长为_____________________________．第13题图14.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AB边上一点，将△BEC沿着CE翻折，点B的对应点为F，连接AF，当△AEF为直角三角形时，求BE的长．第14题图.把CD绕点C旋转，点D的对应点15.如图，BD为矩形ABCD的对角线，AB＝5，BC＝154为E，当CE∥BD时，求DE的长．第15题图参考答案与解析1.C 【解析】如解图，根据矩形的性质知，∠2＋∠4＝90°，∠3＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∵∠1＝α，∠1＋∠3＝180°，∴∠3＝180°－α，∴∠2＝180°－α.第1题解图2.C 【解析】已知∠CAB ＝60°，根据矩形的性质可得AO ＝BO ＝OD ，∴△AOB 是等边三角形，∵AB ＝6，∴AO ＝BO ＝AB ＝OD ＝6.∴BD ＝BO ＋OD ＝12.3.6【解析】∵DE ∥AB ，∴∠EDB ＝∠ABD ，∵AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠EDB ＝∠CBD ，∴DE ＝BE ，∵BC ＝10，CE ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝10－4＝6，∴DE ＝6.4.10【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ，CD ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠BEO ，∵O 为BD 的中点，∴OD ＝OB ，∴△DOF ≌△BOE (AAS)，∴DF ＝BE ，∴CD －DF ＝AB －BE ，∴CF ＝AE ＝10.5.25【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，BC ＝AD ＝6，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠FBC ，∵CF ⊥BE ，∴∠CFB ＝90°，在△ABE 和△FCB 中，∠A ＝∠BFC ，∠AEB ＝∠FBC ，BE ＝CB ，∴△ABE ≌△FCB (AAS)，∴BF ＝AE ，∵BE ＝CB ＝6，∴AE ＝BE 2－AB 2＝62－42＝25，∴BF ＝25.6.12m 【解析】如解图，连接BD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，交EH 于点N ，∵E ，H分别为AB ，DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD ，∴AN ⊥EH ，∵E 为AB 的中点，EH ∥BD ，∴AN ＝12AM ，∴S △AEH ＝14S △ABD ，同理可得，S △FCG ＝14S △BCD ，∴S △AEH ＋S △FCG ＝14(S △ABD ＋S △BCD )＝14m ，∴S △BEF ＋S △DHG ＝14m ，∴S 四边形EFGH ＝S 四边形ABCD －(S △AEH ＋S △FCG )－(S △BEF ＋S △DHG )＝12m .第6题解图7.9【解析】如解图，连接AC 交BD 于点O ，记EF 交BD 于点G ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，且AO ＝CO ，BO ＝DO ＝12BD ＝4，在Rt △ABO 中，AB ＝5，BO ＝4，∴AO ＝3，∴AC ＝6，∵E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，∴线段EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝3，设EF 与BD 的交点为G ，则GO ＝12BO ＝2，∵DO ＝4，∴DG ＝6，∴S △EFD ＝12EF ·DG ＝12×3×6＝9.第7题解图8.8【解析】由题知，∠BDC ＝90°，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝DE ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝∠EBD ＝∠EDB ，又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD ，∴AB ＝BE ＝AD ＝DE ，∴四边形ABED 的周长为2＋2＋2＋2＝8.9.14【解析】如解图，∵点D 是AB 靠近A 的三等分点，∴BD ＝2AD ，∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ，∴DF BC ＝AD AB ，即DF 9＝13，∴DF ＝3，∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BD BA ，即DE 6＝23，∴DE ＝4，∵得到的四边形DFCE 为平行四边形，∴CE ＝DF ＝3，CF ＝DE ＝4，∴得到的平行四边形纸片的周长为2(DF ＋DE )＝2×(3＋4)＝14.第9题解图10.23【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，则AO ＝CO ，BO ＝OD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝CD ，∠DAC ＝∠BAC ＝∠DCA ＝∠BCA ，AC ⊥BD ，∵∠DAB ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∠DAC ＝∠BAC ＝∠DCA ＝∠BCA ＝30°，∴BD ＝AB ＝6cm ，∴AO ＝AB 2－BO 2＝33(cm)，∴AC ＝2AO ＝63(cm)，∵BE ⊥AB ，DF ⊥CD ，∴∠CDF ＝∠ABE ＝90°，∴△CDF ≌△ABE (ASA)，∴AE ＝CF ，∵AE ＝CF ＝AB cos 30°＝632＝43(cm)，∴EF ＝AE ＋CF －AC ＝23(cm).第10题解图11.2α【解析】在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD ＝∠ABC ＝∠ADC ＝90°，如解图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABG ，则AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG ，∠ABG ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABG ＋∠ABC ＝180°，∴G ，B ，E ，三点共线，∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF＝45°，∴∠GAE ＝∠FAE ＝45°，在△FAE 和△GAE 中＝AGFAE ＝∠GAE ＝AE，∴△FAE ≌△GAE (SAS)，∴∠AEF ＝∠AEG ，∵∠BAE ＝α，∴∠AEB ＝90°－α，∴∠AEF ＝∠AEB ＝90°－α，∴∠FEC ＝180°－∠AEF －∠AEB ＝180°－2×(90°－α)＝2α.第11题解图12.15【解析】如解图，∵四边形ABCD ，ECGF ，IGHK 均为正方形，∴CD ＝AD ＝10，CE ＝FG ＝CG ＝EF ＝6，∠CEF ＝∠F ＝90°，GH ＝IK ＝4，∴CH ＝CG ＋GH ＝10，∴CH ＝AD ，∵∠D ＝∠DCH ＝90°，∠AJD ＝∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ (AAS)，∴CJ ＝DJ ＝5，∴EJ ＝1，∵GL ∥CJ ，∴△HGL ∽△HCJ ，∴GL CJ ＝GH CH ＝410＝25，∴GL ＝2，∴FL ＝4，∴S 阴影＝S 梯形EJLF ＝12(EJ ＋FL )·EF ＝12×(1＋4)×6＝15.第12题解图13.5－72或1【解析】∵AE ＝2DE ＝2，∴AE ＝2，DE ＝1，∴AD ＝AE ＋DE ＝2＋1＝3，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝AB ＝3，∠DAB ＝90°，由折叠的性质可得，AE ＝A ′E ＝2，∠DAB ＝∠PA ′E ＝90°，AP ＝A ′P ，∠AEP ＝∠A ′EP ，①当点A ′落在对角线AC 上时，此时点P 与点F 重合，如解图①，连接AC ，∴∠EA ′F ＝∠AFA ′＝∠EAF ＝90°，∴四边形AEA ′F 为矩形，AE ＝A ′E ，∴四边形AEA ′F 为正方形，∴AF ＝AE ＝2，∴BF ＝AB －AF ＝3－2＝1；②当点A ′落在对角线BD 上时，如解图②所示，以A 为原点，建立直角坐标系，使AB 边落在x 轴上，AD 边落在y 轴上，则点D (0，3)，B (3，0)，E (0，2)，设BD 所在直线解析式为y＝kx ＋b (k ≠0)＝b＝3k ＋b ＝－1＝3，∴BD 所在直线解析式为y ＝－x ＋3，设点A ′的坐标为(a ，－a ＋3)，∵E (0，2)，A ′E ＝2，∴(0－a )2＋[2－(－a ＋3)]2＝22，解得a ＝1＋72或1－72(舍去)，∴AF ＝1＋72，∴BF ＝AB －AF ＝3－1＋72＝5－72；综上，线段BF 的长为5－72或1.第13题解图14.解：分类讨论：①如解图①，若∠AEF ＝90°，∵∠B ＝∠BCD ＝90°＝∠AEF ，∴四边形BCFE 是矩形，∵将△BEC 沿着CE 翻折，∴CB ＝CF ，∴四边形BCFE 是正方形，∴BE ＝BC ＝AD ＝6；②如解图②，若∠AFE ＝90°，∵将△BEC 沿着CE 翻折，∴CB ＝CF ＝6，∠B ＝∠EFC ＝90°，BE ＝EF ，∵∠AFE ＋∠EFC ＝180°，∴A ，F ，C 三点共线，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10，∵AE 2＝AF 2＋EF 2，∴(8－BE )2＝16＋BE 2，∴BE ＝3；③若∠EAF ＝90°，∵CD ＝8＞CF ＝6，∴点F 不可能落在直线AD 上，∴不存在∠EAF ＝90°，综上所述，BE ＝3或6.第14题解图15.解：如解图，当CD 绕点C 顺时针旋转时，过点E 作EF ⊥CD 于点F ，∴∠EFC ＝∠BCD ＝90°，CE ＝CD ＝5，∵BD ∥CE ，∴∠FCE ＝∠BDC ，∴△EFC ∽△BCD ，∴EF CF ＝BC CD ＝1545＝34，∵CE ＝5，∴EF ＝3，CF ＝4，∴DF ＝CD －CF ＝1，∴DE ＝EF 2＋DF 2＝32＋12＝10；当CD 绕点C 逆时针旋转时，过点D 作DF ′⊥E ′C ，交E ′C 延长线于点F ′，则E ′，C ，E 三点共线，∵CD ＝CE ，∴S △DCE ＝12DC ·EF ＝12CE ·DF ′，∴DF ′＝EF ＝3，∴CF ′＝CD 2－F ′D 2＝4，∴DE′＝F′D2＋E′F′2＝310.综上所述，DE的长为10或310.第15题解图。
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中考专题训练------三角形与四边形(3)1. 若一个角的补角是119°30′，则这个角等于 ；2. 如图，已知直线a 、b 被直线l 所截，a ∥b ，如果∠1=350，那么∠2= ；3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是3和6，那么这个等腰三角形的周长是 ；4. 已知梯形的上底长为3cm ，下底长为7cm ，则此梯形中位线长为＿＿＿＿＿＿＿cm 。
5. 在数学活动课上，老师带领学生去测量河两岸A 、B 两处之间的距离，先从A 处出发与AB 方向，向前走了10米到处，在C 处测得∠ACB=600，（如图所示），那么A ，B 之间的距离约为 米（参考数据：3=1.732…，2=1.414,计算结果到0。
1米）6. 如图4，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，且∠B=α,AD=2，BD=x ，则用α，x 表示图中三角形面积的关系式为________________。
7. 以2和5为边长的等腰三角形的周长是 ；8. 已知∠AOB ＝400，OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC 的余角等于_______度。
9. 如图，是用对顶角的量角器圆锥形零件的锥角的示意图，则此零件的锥角等于 度； 10. 如图，已知A 、B 两点被一座小山隔开，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，若NM=75米，则AB 两点的距离是 米；11. 已知：如图6，∠ACB ＝∠DBC ，要使ΔABC ≌ΔDCB ，只需增加的一个条件是＿＿＿＿＿（只需填写一个你认为适合的条件）12. 如图7中，阴影部分表示的四边形是＿＿＿＿＿＿＿。
13. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm ，将△ABC 绕点B 旋转至△A ‘BC ’的位置，且使点A 、B 、C ‘三点在一条直线上， 则点A 经过的最短路线的长度是 ；14. 试比较下面两个几何图形的异同，和两个不同点。
例如：相同点：正方形的对角线相等，正五边形的对角线也相等。
不同点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形。
相同点：（1）；（2）；不同点：（1） ；（2） ；15. 如图第12题，点A （乡镇）、B （村）、C （村）同处一片平坦的地区，计划经过点A 修筑一条水泥直路l ，使点B 、C 到l 的距离相等，在图中画出直线l （用虚线表示能说明画图过程的有关线条）16. 已知AD 是ΔABC 的角平分线，E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，连结C AB图4图7图617. 在Rt ΔABC 中，∠<A ∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么A 等于 度； 18. 如图，梯形ABCD 中， AD//BC,对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm,BD=12cm,则该梯形的中位线的长等于 。
19. 正三角形的边长为a ，则它的面积为 .20. 圆锥的母线长8㎝ ，底面半径为2㎝，则侧面展开图的面积为 ㎝2。
21. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分DAB ∠,且AB=AE ，AD=AD,有如下四个结论：① AC ⊥BD ；②BC=DE;③DAB DBC ∠=∠21;④ABE ∆是正三角形，请写出正确结论的序号 （你认为正确结论的序号都填上）22. 图1是一个三角形，分别连结这个三角形的中点得到图2；再分别连结图2中间的小三角形的中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：（1）将下表填写完整：（2）在第n 个图形中有 个三角形（用含n 的式子表示）23. 圆锥的轴截面是（ ）A 、梯形 B 、等腰三角形 C 、矩形 D 、圆 24. 下列图形中对称轴最多的是 （ ）A 、圆B 、正方形C 、等腰三角形D 、线段25. 圆锥的侧面展开图是（ ）A 、三角形 B 、矩形 C 、圆 D 、扇形26. 如图，把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开，展在一个平面上，则侧面展开图是（ ）A 、圆 B 、扇形 C 、矩形 D 、梯形27. 如图，在ABC ∆中，AB=AC ， 036=∠A ，BD,CE 分别为ABC ∠和ACB ∠的角平分线，且相交于点F ，则图中等腰三角形有（ ）（A ）6个（B ）7个 (C) 8个 （D ）9个28. 如图，下面对图形的判断正确的是（）A 、非对称图形B 、既是轴对称图形，又是中心对称图形C 、是轴对称图形，非中心对称图形D 、是中心对称图形，非轴对称图形29. 如图，正六边形ABCDEF 的边长是a,分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，图1图2图3ABAA 、261a π B 、231a π C 、232a π D 、234aπ30. 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若9,4==∆∆COD AOB S S ，则四边形ABCD 的面积的最小值为（ ）（A ）21 (B) 25 (C) 26 (D) 3631. 如图，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH为（ ） A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形 32. 下列命题正确的是 （ ）A 、 对角线相等的四边形是矩形B 、相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形C 、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧D 、三点确定一个圆 33. 如图Rt△ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=32则AC 的长是（ ）A.3 B 、22 C 、 3 D.32334. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，则结论①AB=BC=CD=DA ；②AO=BO=CO=DO ，③AC ⊥BD 中正确的有（ ）A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个35. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=1，BC=3，CD=4。
梯形的高DH 与中位线EF 交于点G ，则下列结论中：①△DGF ≌△EBH ；②四边形EHCF 是菱形；③以CD 为直径的圆与AB 相切于点E 。
正确的有（ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个36. 如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ADB=∠CDE，且BD ：DE=2：1，则△BDE 的面积与△DEC 的面积比为（ ）A. 2：1 B 、5：2 C 、3：1 D.4：137. 有些国家的国设计成了轴对称图形，观察下列代表国旗的图案中，你认为是轴对称图形的是（ ）A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个38. 今年5月，我市某社区居民得知“法轮功”练习者关淑云为求“圆满”，竟当众掐死自己9岁亲生女儿戴楠的消息后，自发地聚集在一起签名声讨“法轮功”。
姓名 班级 学号他们在广场上摆放了一桌用于签名，每张长桌单独摆放时，可容纳6人同时签名（如图1，每个小半圆代表1个签名位置），并排摆放两张长桌同时可容纳10人同时签名（如图2），若按这种方式摆放10张长桌（如图3），可同时容纳的签名人数是（ ）A 、42B 、84C 、60D 、82ADCBHEFGCEFH AB D40. 已知，如图6，∠CAB=∠DBA ，AC=BD ，AD 交BC 于点O 。
求证：（1）△CAB ≌△DBA ；（2）OC=OD 。
41. 已知，如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 中点。
求证：四边形BCDE 是菱形。
42. 如图8，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，将矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，AB 与x 轴正方向成30°的角，求点B 、C 的坐标。
43. 如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，BD ⊥DC ，且BD 平分∠ABC ，若梯形的周长为20cm ，求此梯形的中位线长。
44. 已知：如图，点O 为□ABCD 的对角线BD 的中点，直线EF 经过点O ，分别交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，求证：AE=CF 。
45. 如图，D 、E 、F 分别是ΔABC 的三边AB 、AC 、BC 的中点，BF=2，BD=3，求四边形BDEF 的周长。
46. 如图7，是一个矩形的门窗，在装修房屋时，为了把它设计成美观大方的图案，设计师要求在举矩形中设计若干个全等的三角形，使其面积的和等于矩形的面积。
⑴请你按要求在矩形中画出你的设计图形；⑵写出你的设计方案。
ADB图747. 如图8，是十堰市郧县汉江斜拉桥的剖面图。
BC 是桥面，AD 是桥墩，设计大桥时工程师要求斜拉的钢绳AB 等于AC.大桥建成后，工程技术人员要对大桥质量进行验收，由于桥墩AD 很高，无法直接测量钢绳AB 、AC 的长度。
请你用三种方法检验AB 、AC 的长度是否相等？（检验工具为刻度尺、量角器；检验时，人只能站在桥面上。
）48. 已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F.求证：AD ⊥EF 。
49. 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点。
求证：（1）ΔABE ≌ΔCDF ；（2）四边形BFDE是平行四边形。
50. 如图，点E 、F 在BC 上，BE=FC ，AB=DC ，∠B=∠C 。
求证：ΔABF ≌ΔDCE 。
51. 已知：如图△ABC 中，AB ＝AC ，CD 、BE 是△ABC 的角平分线。
求证：AD ＝AE 。
52. 如图：已知D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点。
求证：AE 与DF 互相平分。
EFDACBF53．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC交于点Q。
探究：设点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点Q在边CD上时，四边形PBCQ的面积为y，求y与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，ΔPCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使ΔPCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。