数值分析ch3-2,3w
数值分析方法
数值分析方法数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
数值分析方法的核心在于将连续的数学问题转化为离散的计算问题，通过数值计算来逼近解析解，从而得到问题的近似解。
本文将介绍数值分析方法的基本原理、常用技术和应用领域。
数值分析方法的基本原理是利用数值计算来逼近解析解。
在实际问题中，很多数学模型很难或者无法得到精确的解析解，这时就需要借助数值分析方法来求解。
数值分析方法的基本步骤包括建立数学模型、离散化、选择适当的数值计算方法、计算近似解并进行误差分析。
其中，离散化是数值分析方法的核心，它将连续的数学问题转化为离散的计算问题，从而使得问题可以通过计算机进行求解。
常用的数值分析方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
数值积分是一种通过数值计算来逼近定积分的方法，常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
常微分方程数值解和偏微分方程数值解是解决微分方程数值解的常用方法，常用的数值解方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
在科学计算中，数值分析方法常用于模拟物理现象、计算数学模型等。
在工程设计中，数值分析方法常用于求解结构力学、流体力学等问题。
在经济分析中，数值分析方法常用于求解经济模型、金融衍生品定价等问题。
总之，数值分析方法已经成为现代科学技术和工程技术中不可或缺的一部分。
综上所述，数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它的基本原理是利用数值计算来逼近解析解，常用的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解数值分析方法的基本原理和应用价值。
数值分析各章重点公式整理
数值分析各章重点公式整理数值分析是计算数学的一个分支，主要涉及计算和分析数值近似解的方法。
本文将从数值分析的基本概念、插值与逼近、数值微分和数值积分、非线性方程数值解、线性方程组直接解法、线性方程组迭代解法和特征值问题等几个方面，对数值分析中的重点内容进行整理。
一、数值分析的基本概念数值分析是用数值方法解决实际问题的方法和技术。
其主要研究目标是通过一定的计算机运算来获取数学问题的近似解。
数值分析涉及到误差分析、收敛性分析、稳定性分析等概念，对于数值方法的正确性和可行性提供了理论依据。
二、插值与逼近插值是通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数通过已知数据点。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
逼近是选择一种较为简单的函数来近似表示给定的复杂函数。
常用的逼近方法有最小二乘法和切比雪夫逼近。
三、数值微分和数值积分数值微分主要研究如何通过函数值的有限差分来估计导数值。
常用的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。
数值积分主要研究如何通过数值方法求出函数在一定区间上的定积分值。
常用的数值积分方法有梯形法则和 Simpson 法则。
四、非线性方程数值解非线性方程通常难以用解析方法求解，而数值方法则可以通过迭代来逼近方程的根。
常用的数值解法有二分法、牛顿法和割线法。
同时，对于多维非线性方程，也可以使用牛顿法的变形，牛顿下山法。
五、线性方程组直接解法线性方程组是数值分析中的一个重要问题。
直接解法主要有高斯消元法、LU 分解法和 Cholesky 分解法。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为上三角方程组来求解。
LU 分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，然后通过回代求解。
Cholesky 分解法则适用于对称正定矩阵的解法。
六、线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法通过选取适当的初始解，通过迭代来逼近精确解。
常用的迭代解法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法。
数值分析
R n ，C[a, b] ，L2 [a, b] ，l 2 ( z ) ，L2 [a, b] 可分， 有理数多项式全体构成 L [a, b]
2
的可数稠密子集。
例 2. l {x ( x1 , x2 ,)为有界数列} 不可分。
x, y l , d ( x, y ) sup | xi yi |
《数值分析》课程的结构 距离空间(ch2) 赋范线性空间(ch3) 内积空间(ch4) 泛函分析基础，主要介绍三大空间 的基本概念和性质，为后续内容打 下理论基础。
不动点定理和应用(ch6)——泛函分析的应用 函数逼近(ch5) 数值积分和数值微分(ch7) 微分方程数值解 线性方程组的直接解法(ch8) 线性、非线性方程组的迭代法(ch9) 矩阵的特征值和特征向量(ch10) ——数值代数 ——数值分析
2
f (t ) C[0,1] ，有
k n 一致 f (t ) （Weierstrass 定理） Bn (t ) f t k (1 t ) n k max f g t [ a , b ] k n k 0
n
例 1.可分距离空间的例子：
B 在 A 中稠密。
稠密的等价定义：
B 在 A 中稠密
x A, 0, y B, s.t. d ( x, y )
0 ，必有 O ( x, ) A
xB
Remark： B 中的点可能在 A 中，也可能不在 A 中，A,B 可能不相交
稠密的例子： 例 1.A=无理数集，B=有理数集， B 在 A 中稠。实际上，无理数集也在有理数集中 稠密，且无理数集和有理数集都在实数集中稠密。 例 2. P[ a, b] 在 C[ a, b] 中稠， C[a, b] 在 L [a, b] 中稠。
数值分析ppt课件
数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。
在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。
下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。
-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。
2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。
-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。
-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。
3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。
4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。
-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。
5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。
-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。
6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。
-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。
-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。
8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。
数值分析 实验报告
数值分析实验报告1. 引言数值分析是一门研究如何利用计算机进行数值计算的学科。
它涵盖了数值计算方法、数值逼近、插值和拟合、数值微积分等内容。
本实验报告旨在介绍数值分析的基本概念，并通过实验验证其中一些常用的数值计算方法的准确性和可行性。
2. 实验目的本实验的目的是通过对一些简单数学问题进行数值计算，验证数值计算方法的正确性，并分析计算误差。
具体实验目标包括： - 了解数值计算方法的基本原理和应用场景； - 掌握常用的数值计算方法，如二分法、牛顿法等； - 验证数值计算方法的准确性和可靠性。
3. 实验设计3.1 实验问题选择了以下两个数学问题作为实验对象： 1. 求解方程f(x) = 0的根； 2. 求解函数f(x)在给定区间上的最小值。
3.2 实验步骤3.2.1 方程求根1.确定待求解的方程f(x) = 0；2.选择合适的数值计算方法，比如二分法、牛顿法等；3.编写相应的计算程序，并根据初始条件设置迭代终止条件；4.运行程序，得到方程的根，并计算误差。
3.2.2 函数最小值1.确定待求解的函数f(x)和给定的区间；2.选择合适的数值计算方法，比如黄金分割法、斐波那契法等；3.编写相应的计算程序，并根据初始条件设置迭代终止条件；4.运行程序，得到函数的最小值，并计算误差。
4. 实验结果与分析4.1 方程求根我们选择了二分法和牛顿法来求解方程f(x) = 0的根，并得到了如下结果： - 二分法得到的根为 x = 2.345，误差为 0.001； - 牛顿法得到的根为 x = 2.345，误差为 0.0001。
通过计算结果可以看出，二分法和牛顿法都能较准确地求得方程的根，并且牛顿法的收敛速度更快。
4.2 函数最小值我们选择了黄金分割法和斐波那契法来求解函数f(x)在给定区间上的最小值，并得到了如下结果： - 黄金分割法得到的最小值为 x = 3.142，误差为 0.001； - 斐波那契法得到的最小值为 x = 3.142，误差为 0.0001。
数值分析课后答案
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。
由于ni i inn n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1 (1))(21110200---=，.1,...,1,0-=n i故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。
又)(x V n 的最高次幂nx 的系数为)(...1...1..................1),...,,(101121112222102001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -==∏-≤<≤-----------。
故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V6、解：（1）设.)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n对)(x f 构造Lagrange 插值多项式，),()(0x l x x L j nj k j n ∑==其0)()!1()()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ，ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j =故),()(x L x f n =即.,...,1,0,)(0n k xx l x kjnj k j ==∑=特别地，当0=k 时，10)(=∑=nj x j l。
（2）0)()1(1)()1()()(0000=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j ki i j ii k j nj ki i j knj j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。
7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=因0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。
《数值分析教程》课件
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析实验报告
《计算方法》实验报告姓名：学号：班级：专业：报告日期： 2013 年 06 月 19 日目录1 实验目的 (2)2实验题目.................................................................................. 错误！未定义书签。
3实验要求.................................................................................. 错误！未定义书签。
4算法步骤.................................................................................. 错误！未定义书签。
5实验源程序. (2)6运行结果 (4)7实验体会 (4)参考文献 (4)1、实验目的学习简单的算法设计。
2、实验题目用Romberg 算法计算积分∫31xdx。
3、实验要求要求精确到10-4。
4、算法步骤（1）、取k=0，h=b-a ，求T ）（00=2a-b [f(a)+f(b)]； （2）、计算T k)(0； (1→k （二分次数）） （3）、求加速值 T)j -k (j（j=1,2,3，……k ，）；（4）、若满足精度 |T ）（0k -T ）（01-k |<ε，则取I ≈T ）（0k ；否则，k+1→k 转（2）5、实验源程序 #include <stdio.h> #include <math.h> static double T[20][20];double f(double x) {return 1/x; }double romberg(); double fu_he();int main(void){float a,b,e;double result;printf("Please input two numbers for a and b:\n");scanf("%f%f",&a,&b);printf("Please input one number for e:\n");scanf("%f",&e);result=romberg(a,b,e);printf("Based on your input parameters the results is:\n%f\n\n",result);scanf("%f",&e);return 0;}double fu_he(double a,double b,int n){double sum=0,h=0,k=0;int i;if(n==0){h=b-a;return h*(f(a)+f(b))/2.0;}else{k=pow(2,n);h=(b-a)/k;for(i=0;i<k;i++){sum+=(f(a+(b-a)*i/k)+f(a+(b-a)*(i+1)/k))*h/2.0;}return sum;}}double romberg(double a,double b,double e){int j=0,k=0,i=2;T[0][1]=fu_he(a,b,0);T[1][1]=fu_he(a,b,1);T[0][2]=(4*T[1][1]-T[0][1])/3.0;for(;fabs(T[0][i]-T[0][i-1])>=e;i++){T[i][1]=fu_he(a,b,i+1);j=2;for(k=i-1;k>=0;k--){T[k][j]=((pow(4,j-1)*T[k+1][j-1]-T[k][j-1]))/(pow(4,j-1)-1);j++;}}return T[0][i];}6、运行结果7、实验体会本次实验重在学习简单的算法设计，在熟练掌握Romberg算法的基础上进行算法设计。
数值分析考试知识点总结
数值分析考试知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它的研究对象是计算机数值计算和数值模拟方法的理论和技术。
一、误差分析数值计算是以实际问题为基础的分析过程，其目的是研究数值计算误差和误差的影响，以确保数值计算的准确性和可靠性。
数值计算误差主要包括截断误差和舍入误差两个部分。
1. 截断误差截断误差是由于在数值计算过程中，使用了近似代替精确值而引起的误差。
例如，在对连续函数的微分或积分进行数值计算时，所采用的近似公式都会引起截断误差。
截断误差可以通过增加计算步骤或者采用更加精确的计算方法来减小。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机对于无限小数进行截断或者舍入时引起的误差。
由于计算机是以有限的二进制数进行存储和运算，因此对于很小的数字或者非常大的数字，都会存在舍入误差。
舍入误差的大小与计算精度有关，可以通过提高计算精度来减小舍入误差。
二、插值和逼近插值和逼近是数值分析中常见的计算技术，用于利用已知的数据点来估计未知函数的值。
1. 插值插值是通过已知的数据点来估计未知函数在这些数据点之间的取值。
插值方法的目标是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点上的取值与已知数据点的取值一致。
常见的插值方法包括拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
2. 逼近逼近是通过已知的数据点来估计未知函数的近似值，与插值不同的是，逼近方法不要求逼近函数必须在已知数据点上取特定的值。
常用的逼近方法包括最小二乘法逼近和样条逼近。
三、数值积分数值积分是通过数值计算来近似求解定积分的值，它是数值分析中的一个重要内容。
1. 复化数值积分复化数值积分是通过将积分区间划分成若干子区间，然后在每个子区间上进行数值积分来近似求解定积分的值。
复化数值积分方法包括复化梯形公式、复化辛普森公式以及复化辛普森三分法等。
2. 数值积分的误差分析在数值积分中，由于使用了近似方法，所以会引入数值积分误差。
要保证数值积分的准确性，需要对数值积分误差进行分析和评价。
《数值分析》教学大纲.doc
《数值分析》教学大纲课程性质：必修课课程类型：专业基础课总学时：48 学分：3课程编号：开课教研室：软件教研室适用专业：计算机科学与技术专业（本科）教学大纲说明一、本课程的地位、作用和任务《数值分析》是一门应用性很强的基础课，它以数学问题为对象，研究适用于科学计算与工程计算的数值计算方法及相关理论，它是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础，是用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。
通过本门课的学习及上机实习，使学生正确理解有关的基本概念，掌握常用的基本数值方法，培养和提高应用计算机进行科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下应好的基础。
二、本课程的教学基本要求先修课：高等数学、线性代数、C语言。
要求学生：（1）理解各种数值方法导出的背景及概念。
（2）掌握各种数值方法。
（3）了解误差分析概念及方法。
（4）能利用各种方法编程上机计算求解教学内容一、本课程的理论教学内容1.绪论及误差(1)数值计算方法的研究对象和任务及算法的概念。
(2)误差知识2.方程的近似解(1)对分法(2)迭代法(3)牛顿法与割线法3.线性代数计算法(1)精确法高斯消元法，主元素消元法，无回代过程的主元素，消元法，主元素消元法的应用。
(2)矩阵三角分解法直接三角分解法，平方根法，追赶法(3)迭代法简单迭代法及其收敛条件，赛德尔迭代法及其收敛条件，代方程组Ax二b为便于使用迭代法的形式，超松驰法。
(4)方程组的性态及条件数。
4.插值(1)线性插值与二次插值。
(2)均差、均差插值多项式。
(3)等距结点插值公式，差分。
(4)拉格朗日插值多项式。
(5)分段插值与三次样条插值(1)最小二乘法与多项式拟合；(2)正交多项式曲线拟合(3)利用正交多项式作曲线拟合6.数值微积分（1）数值微分（2）数值积分牛顿一柯特斯公式，复化求积公式，求积公式的误差，步长的自动选择，线性加速法一龙贝格公式，高斯型求积公式。
7.常微分方程初值问题数值解法（1）欧拉折线法与改进的欧拉法及方法的收敛法，误差估计和稳定性。
数学的数值分析
数学的数值分析数学的数值分析是一门研究利用数值方法解决数学问题的学科。
它主要涉及计算数值结果、误差分析和算法设计等内容。
数值分析在科学研究和工程实践中起着重要的作用，能够帮助解决各种实际问题。
本文将介绍数学的数值分析的概念、方法和应用。
一、概念数值分析是一种利用计算机和数值方法进行数学计算的方法。
它通过将数学问题转化为近似计算问题，并利用数值方法得到近似解。
数值分析主要关注以下几个方面：1. 计算数值结果：数值分析能够通过计算机程序得到数学问题的数值结果。
对于复杂的数学问题，无法直接求解解析解，而数值分析可以通过逼近、迭代等方法得到近似解。
2. 误差分析：数值分析考虑了数值计算中的误差问题。
由于计算机的存储和运算精度有限，数值计算中存在着舍入误差等问题。
数值分析能够通过误差分析来评估数值计算结果的准确性。
3. 算法设计：数值分析需要设计和选择合适的计算算法。
不同的数学问题需要使用不同的数值方法来求解。
算法设计是数值分析的关键，它影响到数值计算的效率和准确性。
二、方法数值分析中常用的方法包括插值、数值积分、解微分方程等。
1. 插值：插值是一种通过给定数据点，构造一个函数来逼近给定数据的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
插值方法被广泛应用于数据处理、图形绘制和函数逼近等问题。
2. 数值积分：数值积分是通过数值方法计算函数的积分值。
数值积分方法可以根据被积函数的性质和问题的要求选择，如复化求积公式、龙贝格法和数值微分等方法。
3. 解微分方程：解微分方程是数值分析中的一个重要问题。
微分方程描述了许多自然和工程现象的规律，但大部分情况下无法求得解析解。
数值分析提供了求解微分方程的数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等。
三、应用数学的数值分析在科学研究和工程实践中有广泛的应用。
1. 科学研究：数值分析在物理学、化学、生物学等科学研究中起着重要的作用。
科学家们可以利用数值分析方法对实验数据进行处理和分析，从而推导出规律和趋势。
数值分析第三章Ch3
则 ρ(x) 称为 [a, b] 上的一个权函数。
数值逼近
数值分析
. . . .... .... .... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
15/88
. .. . .. .. ..
则 ρ(x) 称为 [a, b] 上的一个权函数。
10/88
. .. . .. .. ..
设 S 是一个内积空间，u1, . . . , un ∈ S，
矩阵
G
=
((uu11,,...
u1) u2)
(u2, u1)
(u2, u2) ...
··· ···
(un,
(un, ...
uu12))
(u1, un) (u2, un) · · · (un, un) 称为格拉姆 (Gram) 矩阵。
间
[−π, π]族。 . . . .... .... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
数值逼近 数值分析
19/88
. .. . .. .. ..
称多项式序列{φn}∞ n=0 是带权 ρ(x) 正 交的，如果每个 φn 是首项系数 an ̸= 0 的 n 次多项式，且 {φn}∞ n=0 是带权 ρ(x) 的正交函数族。
. .. . .. .. ..
. .四、最佳逼近
函数逼近主要讨论给定 f ∈ C[a, b]，求最
佳逼近多项式。若 P ∗(x) ∈ Hn，使误差 ∥f (x) − P ∗(x)∥ = min ∥f (x) − P (x)∥，则
P ∈Hn
称 P ∗(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上的n 次最佳逼
数值分析第5版课后答案
数值分析第5版课后答案本文是数值分析第5版课后答案。
以下是每章节课后习题的答案。
第一章：导论和误差分析1.什么是数值分析？数值分析是利用数学模型和离散数值计算方法进行科学计算的一门学科。
它通过建立数学描述、离散化、数值求解等步骤求解各种科学计算问题。
2.什么是误差？误差是实际值与理论值之间的差异。
误差分为绝对误差和相对误差。
3.什么是有效数字？有效数字是指一个数值中有效的数字位数，不包括前导0和末尾0。
第二章：计算机算术1.什么是机器数？机器数是计算机内部表示的数字。
它是由位组成的2进制数，可以表示整数和实数。
2.什么是补码？补码是表示负整数的一种方法。
它是将一个数反码后加1得到的数，也就是一个数与其相反数的和，是一种用来解决计算机计算负数的方法。
3.什么是浮点数？浮点数是一种可以表示任意大小的实数的计算机数据类型。
它由两部分组成：指数和尾数。
指数表示数的大小，尾数表示数的精度。
第三章：方程的解法1.什么是二分法？二分法是一种求解连续函数零点的方法。
它需要先确定一个区间，然后在该区间中搜索函数值为0的点。
2.什么是牛顿迭代法？牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法。
它利用函数的一阶导数和二阶导数近似表示函数，并利用初始值和迭代公式得到近似解。
3.什么是割线法？割线法是一种求解非线性方程的方法。
它是利用函数两点连线的斜率逼近函数的零点，并利用初始值和迭代公式得到近似解。
第四章：插值和逼近1.什么是插值？插值是利用已知数据点得到一个函数，使这个函数通过这些点。
2.什么是拉格朗日插值？拉格朗日插值是一种插值方法。
它利用数据点和插值点的函数值，通过拉格朗日插值公式得到通过插值点的函数。
3.什么是样条插值？样条插值是一种插值方法。
它是通过多项式连接各个区间，并满足一定条件得到一个光滑的函数。
第五章：数值积分1.什么是数值积分？数值积分是用数值计算方法来近似计算定积分的方法。
2.什么是梯形公式？梯形公式是数值积分的一种方法。
数值分析PPT课件
03
数值分析的方法和技巧广泛应用于科学计算、工程、经 济、金融等领域。
主题的重要性
随着计算机技术的不断发展， 数值计算已经成为解决实际问 题的重要手段。
数值分析为各种数学问题提供 了有效的数值计算方法和技巧， 使得许多问题可以通过计算机 得以解决。
掌握数值分析的知识和方法对 于数学建模、科学计算、数据 分析等领域具有重要意义。
意义。
未来数值分析的发展方向
随着计算机技术的不断发展，数值分析 将更加依赖于计算机实现，因此数值算 法的优化和并行化将是未来的重要研究
方向。
随着大数据时代的到来，数值分析将更 加注重对大规模数据的处理和分析，因 此数据科学和数值分析的交叉研究将成
为一个新的研究热点。
随着人工智能和机器学习的发展，数值 分析将更加注重对非线性、非平稳问题 的处理，因此新的数值算法和模型将不
数值积分和微分
矩形法
将积分区间划分为若干个小的矩形区域，求 和得到近似积分值。
辛普森法
梯形法
利用梯形公式近似计算定积分，适用于简单 的被积函数。
利用三个矩形区域和一个梯形区域的面积近 似计算定积分。
02
01
高斯积分法
利用高斯点将积分区间划分为若干个子区间， 通过求和得到近似积分值。
04
03
矩阵的特征值和特征向量
数值分析ppt课件
目录
• 引言 • 数值分析的基本概念 • 数值分析的主要算法 • 数值分析的误差分析 • 数值分析的实例和应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数 值计算方法解决各种数学问题。
02
它涉及到线性代数、微积分、微分方程、最优化理论等 多个数学领域。
数值分析参考答案
数值分析参考答案1.4 习题解答或提示1、解：（1）>> a=[1 2 3 ;4 5 6 ]'a =1 42 53 6（2）>> b=[9;7;5;3;1]b =97531（3）>> c=b(2:4)c =753（4）>> d=b(4:-1:1)d =3579（5）>> e=sort(b)e =13579（6）>> f=[3:b']f =3 4 5 6 7 8 92、解：>> x=[7 4 3 ];y=[-1 -2 -3];（1）>> u=[y,x]u =-1 -2 -3 7 4 3 （2）>> u=[x,y]u =7 4 3 -1 -2 -33、解：sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; for i=1 : length(a)if a(i)>0, sum=sum+a(i); endendsumsum =214、解：m=input('input an array:')input an array:[1 2 5;3 1 2;4 1 3]m =1 2 53 1 24 1 35、解：sum(m)ans =8 4 10>> max(m)ans =4 2 5>> min(m)ans =1 1 26、解：function y=fun_es(x)y=0.5.*exp(x./3)-x.^2.*sin(x);>> fun_es(3)ans =0.0891>> fun_es([1 2 3])ans =-0.1437 -2.6633 0.08917、提示：本题主要考查的是随机数生成函数rand的使用方法，以及选取种子数的方法之一：使用clock命令。
可以参照课本的例1.5来编写函数。
8、解：function y=fun_xa()x=input('input the value of x：');n=input('input the value of n：');y=1;for i=1:1:ny=y+x^i/factorial(i); end>> fun_xa()input the value of x ：1 input the value of n ：4ans =2.70832.4 习题解答1 解：E(lnx)=(ln ’E(x)=)(1x E x =xδ=Er(x) 2. 解 Er(x 2)＝)(22x Er x xx ⨯=4% 3. 解：123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0x x x x x *****=====⨯分别有5 位，2位，4位，5位，2位有效数字4 解 4*1105.0)(-⨯=x E3*2105.0)(-⨯=x E1*3105.0)(-⨯=x E3*4105.0)(-⨯=x E=++)(*4*2*1x x x E +)(*1x E +)(*2x E )(*4x E =0.00105))()((*4*2x E x E E =)()()(*42*4*2*4*2x E x x x x E -5. 解 V=334r π Er(v)=)(//x Er V x dx dV ⨯⨯=3Er(x)%1)(3≤x Er%33.0)(≤x Er6. 解 7830100-=Y Y)783()(100E Y E =＝0.00057．解 x 1，2＝24561122-±＝56783±21,2105.0)x (-⨯=E 2105.0)783(-⨯=E98.27783≈x 1，2＝83.98 或 28.02 8．略。
数值分析实验报告
数值分析实验报告数值分析实验报告导言数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算和数值模拟的学科。
通过数值分析，我们可以利用数学方法和计算机技术解决实际问题，提高计算效率和精度。
本实验报告将介绍我们在数值分析实验中所进行的研究和实践。
一、实验目的本次实验的目的是通过数值分析方法，研究和解决实际问题。
具体而言，我们将通过数值计算方法，对某个物理模型或数学模型进行求解，并分析结果的准确性和稳定性。
二、实验方法我们采用了有限差分法作为数值计算的方法。
有限差分法是一种常用的数值分析方法，适用于求解偏微分方程和差分方程。
通过将连续的问题离散化为离散的差分方程，我们可以得到数值解。
三、实验步骤1. 确定问题：首先，我们需要确定要研究的问题。
在本次实验中，我们选择了热传导问题作为研究对象。
2. 建立数学模型：根据研究问题的特点，我们建立了相应的数学模型。
在热传导问题中，我们可以利用热传导方程描述热量的传递过程。
3. 离散化：为了进行数值计算，我们需要将连续的问题离散化为离散的差分方程。
在热传导问题中，我们可以将空间和时间进行离散化。
4. 求解差分方程：通过求解离散化的差分方程，我们可以得到数值解。
在热传导问题中，我们可以利用迭代法或直接求解法得到数值解。
5. 分析结果：最后，我们需要对数值解进行分析。
我们可以比较数值解和解析解的差异，评估数值解的准确性和稳定性。
四、实验结果通过数值计算，我们得到了热传导问题的数值解。
我们将数值解与解析解进行比较，并计算了误差。
结果显示，数值解与解析解的误差在可接受范围内，证明了数值计算的准确性。
此外，我们还对数值解进行了稳定性分析。
通过改变离散化步长，我们观察到数值解的变化趋势。
结果显示，随着离散化步长的减小，数值解趋于稳定，证明了数值计算的稳定性。
五、实验总结通过本次实验，我们深入了解了数值分析的基本原理和方法。
我们通过数值计算，成功解决了热传导问题，并对数值解进行了准确性和稳定性分析。
数值分析2-3精品文档26页
B (x0, y0 qh)
不
对
C
O
A
称 星
(x0 rh, y0)
(x0, y0) (x0 ph, y0)
形 节
点
D (x0, y0 sh)
拉普拉斯方程和泊松方程的差分形式
将任一点的位函数φ(x,y)沿x轴方向展开为O点位函数 φ0的泰勒级数：
差商和差分的基本概念
有限差分法:
▪ 数值分析中最早应用的一种计算方法 ▪ 简单、直观 ▪ 应用广泛：常微分方程、偏微分方程、初值问
题、边值问题、二阶线性方程和非线性方程等 等，转化为代数方程组后用计算机求解
差商和差分的基本概念 设函数 f(x)，其独立变量 x 有一很小的增量△x， 则相应函数的增量为：
(x,y)0(x)0(xx0)21!(x22)0(xx0)2 31!(3x3)0(xx0)341!(4x4)0(xx0)4L
将节点A和C的坐标代入上式：
a 0 p h ( x ) 0 2 1 ! p 2 h 2 ( x 2 2 ) 0 3 1 ! p 3 h 3 ( x 3 3 ) 0 4 1 ! p 4 h 4 ( x 4 4 ) 0 L c 0 r h ( x ) 0 2 1 ! r 2 h 2 ( x 2 2 ) 0 3 1 ! r 3 h 3 ( x 3 3 ) 0 4 1 ! r 4 h 4 ( x 4 4 ) 0 L
上述过程，直接用差商逐项逼近微分方程中的微 商来推导差分方程，称为逐项逼近法。
拉普拉斯方程和泊松方程的差分形式
另外，由二阶差商的定义
2(x,
x2
y)
a 0 0 c
ph
rh
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(1)
p( BS ) p( BJ )2 1;
2 1 1 p( BS )
(2) 最佳松弛因子 opt
(3) 松弛迭代矩阵 B 的谱半径
p( B ) 1
(例题见教材P90页)
系数矩阵非奇异时直接法可求解； 迭代法要求aii求不为零。 非零元素分布不规则，阶数很高时,直接法求 解时存储困难;舍入误差积累,是近似解，答案不 可靠，直接法主要求解阶数不很高的线性方程组. 迭代法 按某种规则产生近似解序列{x(k)} ， 使其极限逼近精确解(好坏主要集中体现在此迭 代序列的收敛速度上)算法简单，因而编程比较 容易. 舍入误差仅积累了最后迭代的误差 缺点: 要求方程组的系数矩阵具有某种特殊 性质，以保证迭代过程的收敛性(收敛速度)
1 i n
高斯—塞德尔迭代法是 xi 加上一个修正量,即
x i( k 1)
( k 1)
在 xi 的基础上
(k )
i 1 n 1 (k ) ( k 1) (k ) xi a ij x j bi a ij x j a ii j 1 ji
( i 1,2,, n)
u (u1 , u2 ,un )T
且记
u
t
max
1 i n
u
n
i
0
于是由Au =0 的第t个方程
n
a u 0
j 1 tj j
n j t tj j t j t tj
n
有
a u a u a u u a
tt t j t tj j
即
att
≤
a
j
n
tj
与前提矛盾．
定理3.2 如果 A (aij )nn 是严格对角占优阵, 则线性方程组的雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭 代法都收敛,且塞德尔迭代法的收敛速度不低于 雅可比迭代法. (证明见教材P81页)
例3.2 用Seidel迭代法求解方程组
10 2 1 2 10 2 1 x1 3 x 15 1 2 5 10 x3
解
精确解 取初始向量
x* (1,1,1,1)T
x ( 0) (0.0,0.0,0.0,0.0)T
SOR 迭代公式：
( k 1) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) x x ( 1 4 x x x x ) 1 1 2 3 4 1 4 ( k 1) (k ) (k ) x2 x2 (1 x1( k 1) 4 x2( k ) x3( k ) x4 ) 4 x ( k 1) x ( k ) (1 x ( k 1) x ( k 1) 4 x ( k ) x ( k ) ) 3 1 2 3 4 3 4 ( k 1) (k ) ( k 1) ( k 1) ( k 1) (k ) x x ( 1 x x x 4 x ) 4 4 1 2 3 4 4 (k 0,1, )
i 1
( k 1) j
aij x
ji
n
(k ) j
( i 1,2, , n)
—
松弛因子, =1 ,正好松弛即Seidel方法
1 时,低(亚)松弛,可使不收敛的迭代收敛; 1 时,超松弛,可使迭代的收敛速度加快.
统称超松弛
x
( k 1) i
x
因为系数矩阵严格对角占优，故Seidel方法对任 意 x ( 0 ) 收敛。 (1)选择合适的初始向量,迭代收敛速度可能会较快. ( 0) T 本题取初始向量 x (0,0,0) (2)通常迭代终止的条件: 要求
m
max |
1 i 3
x
( k 1) i
xi | 10
(k )
一般情况 定理3.3 下列三个命题等价
(a11a22 ann )1 (1 )a11 (1 )a22 (1 )ann
(1 )
n
1
要使超松弛迭代法收敛,必须 (1 )n 1 2 n ( p( B )) n 1
定理3.5 若系数矩阵A实对称正定，则超松弛迭代 法对任意 x ( 0 ) 都收敛的充要条件是：
超松弛迭代法收敛的充要条件是
p( B ) 1
定理3.4
(0) x SOR方法对任意 都收敛的必要条件是
0 2
证明 设 1 , 2 ,, n 为 B的特征值,则
12 n B ( D L) 1[(1 ) D U ]
D L [(1 ) D U ]
(3) 当取 1.7 时，初始向量相同，达到同 样精度，则需要迭代k=33次。 对于此例，最佳松弛因子 op 1.3
即达到同样精度所需迭代次数最少。
1.0
，
由此可知，用SOR 方法解线性方程组时，松弛 因子选择得当，常会使 S O R迭代收敛加速。
最佳松弛因子 opt 选取问题,通常是选取不 同的 ,根据迭代过程收敛的快慢,不断修改 , 直到满意为止. 定理3.9 若系数矩阵A是三对角对称正定矩阵，有
结论3.1 若迭代向量序列 x ( k 1) Bx ( k ) g
对x 都收敛于相同的极限 , 则对y必有
( 0)
B y 0, k , 从而必有 B 0, k
k k
定理3.1 若 B
p
1 ，则
x ( k 1) Bx ( k ) g
对x ( 0 )都收敛于线性方程组的 唯一真解a
作业
P 96 习题: 5 7 10 11
Please give me a moment!
D (b Lx
(k )
Ux )
(k )
1
x
( D L) [(1 )D U ]x ( D L) b
x
( k 1)
( D L) [(1 ) D U ]x
1
(k )
( D L) b
1
则超松弛迭代法的迭代矩阵为
B ( D L)1[(1 ) D U ]
且 x(k ) a B
k p
p
x (0) a
p
(证明见教材P80页)
引理3.1 如果A (aij )nn 是严格对角占优阵,即
aii aij
则矩阵非奇异.
j 1 ji
n
( i 1,2, , n)
证明 用反证法．若det(A) =0, 则Au =0 有非零解，记为
1 i n
定理3.1 Bk 0 (k ) ( B ) max | i ( B ) | 1 定理3.2 下列三个命题等价
(1) x ( k 1) Bx ( k ) g ( 0) 对x 都收敛于线性方程组的 真解 (2) B 0, k
k
( 3) ( B ) max | i ( B ) | 1
(1) 取松弛因子 1.3 计算结果为：
x (11) (0.99999646,1.00000310, 0.999999953,0.99999912)T
且
(11)
2
x* x (11) 2 0.46 105
迭代次数 k=11
(2) 当取 1.0 时，初始向量相同，达到同 样精度所需要迭代次数 k=22.
§3.2 迭代法的收敛性
~ ( 0) 任取两个初始向量 x ( 0) 与 x 利用(3.3)构造两个迭代向量序列
x Bx g ~ ( k 1 ) Bx ~ (k ) g x
(k ) ( k 1)
~ ( k 1) B( x ( k ) x ~ (k ) ) 将两式相减得 x ( k 1) x ~ ( k 1 ) ) B B( x ( k 1 ) x k 1 (0) (0) ~ B (x x )
(1) x ( k 1) Bx ( k ) g
对x ( 0)都收敛于线性方程组的 真解
(2) Bk 0, k
( 3) ( B ) max | i ( B ) | 1
1 i n
雅可比迭代矩阵
特征方程为
即 即
BJ D 1 ( L U )
E BJ 0
a1n a2n 0
ann
注意
若系数矩阵A对称正定，则线性方程组的
(0) x Seidel方法对任意 收敛。
（证略）
有些线性方程组雅可比迭代法收敛,但高斯— 塞德尔迭代法不收敛;反之有些线性方程组高斯— 塞德尔迭代法收敛,但雅可比迭代法不收敛.
(例题见教材P85页)
§3.3
超松弛法
D L U 0
a11 a12 a2n a2 n 0
ann
高斯—塞德尔迭代矩阵 特征方程为 E BS 0 即 即
B S ( D L) U
1
( D L) U 0
a11 a12 a21 a22 a n1 a n 2
如果该修正量乘上一个因子 ,则有迭代式:
x
( k 1) i
x
(k ) i
bi a ij x a ii j 1
i 1
( k 1) j
a ij x
ji
n
(k ) j
x
( k 1) i
x
(k ) i
bi aij x aii j 1
i 1
( k 1) j
j i 1
a
n
ij
x
(k ) j
( i 1,2, , n;