高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1.1 归纳推理学业分层测评 苏教版
高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_14
学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如图2-1-19所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是________.【导学号：01580042】图2-1-19【解析】 由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a ＝3＋3＝6.【答案】 62．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎨⎧3，5， 33＝⎩⎨⎧7，9，11，43＝⎩⎨⎧13，15，17，19，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________. 【解析】 根据分裂特点，设最小数为a 1， 则ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1. ∵a 1为奇数，又452＝2 025， ∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.【答案】 453．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.【解析】 平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．【答案】 夹在两个平行平面间的平行线段相等4．观察下面不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为________．【解析】 当n ≥2时，则不等式左端就为1＋122＋132＋…＋1n 2，而右端的分母正好是n ，分子是2n －1，因此可以猜想，n ≥2时，满足的不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n .故可归纳式子为：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)． 【答案】 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2) 5．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立：a 1＋a 22≥a 1a 2，a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3，a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式是_______________________________________________．(要注明成立的条件)【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋) 6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…则52 015的末四位数字为________． 【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125， 510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125， 512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴52 015＝54×503＋3末四位数字为8 125. 【答案】 8 1257．(2016·湖北调研)如图2-1-20①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则图2-1-20(1)f (5)＝________；(2)f (2 015)的个位数字为________．【解析】 观察规律可知：f (5)＝4×5＋1＝21，f (2 015)＝2 014×2 015＋1，它的个位数字是1.【答案】 (1)21 (2)18．(2016·江西稳派调研)将2n 按如表所示的规律填在5列的数表中，设22 015排在数表的第n 行，第m 列，则第m －1列中的前n 个数的和S n ＝________.【解析】 由于2 015＝4504行第4列，所以n ＝504，m ＝4.所以S n ＝22[1－(24)504]1－24＝22 018－415.【答案】22 018－415 二、解答题9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【导学号：01580043】【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝4＝4a1，∴对任意正整数n，都有S n＋1＝4a n.10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a.证明：设M是正四面体P-ABC内任意一点，M到面ABC，面P AB，面P AC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC＝V M-ABC＋V M-P AB＋V M-P AC＋V M-PBC＝13·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC ＝34a2，VP-ABC＝212a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝63a(定值)．能力提升]1．(2016·盐城高二期终)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…类比这些等式，若6＋ab＝6ab(a，b均为正实数)，则a＋b＝______.【解析】类比已知的3个等式，知a＝6，b＝62－1＝35.所以a＋b＝41.【答案】412．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于________．【解析】如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝63，此时点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.【答案】 33．(2016·湖北宜昌高三模拟)观察下列等式： ①sin 2θ＝cos θ·2sin θ； ②sin 4θ＝cos θ(4sin θ－8sin 3θ)；③sin 6θ＝cos θ(6sin θ－32sin 3θ＋32sin 5θ)；④sin 8θ＝cos θ(8sin θ－80sin 3θ＋192sin 5θ－128sin 7θ)；⑤sin 10θ＝cos θ(10sin θ－160sin 3θ＋m sin 5θ－1 024sin 7θ＋n sin 9θ)． 则可以推测(1)n ＝________，(2)m ＝________.【解析】 由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数．数值为2n ，n 的值与sin θ的次数相同，所以式子⑤中n ＝29＝512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等，偶数式与θ的系数相反，所以⑤式中10－160＋m －1 024＋512＝10，∴m ＝672.【答案】 512 672【答案】 145．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(其中a >0，a ≠1)．(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示． (2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明．【解】 (1)由题意可得f (2)＝a 2＋a －22，f (3)＝a 3＋a －32，g (2)＝a 2－a －22，g (3)＝a 3－a －32. 则f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)＝a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54＝a 5－a －52.又g(5)＝a5－a－52，因此，g(5)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)．(2)g(5)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)，即g(3＋2)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)．于是猜测g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)．证明：∵f(x)＝a x＋a－x2，g(x)＝a x－a－x2，∴g(x＋y)＝a(x＋y)－a－(x＋y)2，g(y)＝a y－a－y2，f(y)＝a y＋a－y2，所以f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)＝a x＋a－x2·a y－a－y2＋a x－a－x2·a y＋a－y2＝a(x＋y)－a－(x＋y)2＝g(x＋y)．故g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y).。
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理知识导航 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为_____________.任何推理都包含_____________和_____________两部分，____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；___________是根据___________推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么.2.从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为_____________,简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.3.根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为_____________，简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.4.根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程为_____________，_____________、_____________是_____________常用的思维方法.知识导学学习本节内容时，要注意多观察、多总结、多回顾、多比较，尽量寻找一些规律，找出共性，产生联想，归纳出有关的结论.或类比原来研究过的内容来研究与之相似的，更深更广一些的内容，可从类似的方法、类似的结论、类似的研究手段，并用发展的观点来研究问题，如研究立体几何问题，可类比平面几何问题来研究，仔细体会归纳法和类比法在数学发展过程中的重要性.学习本节，不但是学习课本上的知识，更重要的是学习数学中的这种学习和研究方法，来研究课本以外的知识，学会探索，勇于探索，注意知识的前后、纵横联系. 疑难突破1.归纳推理剖析：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是作出科学发现的重要手段，所得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验.可从正反两个方面举例理解.2.类比推理剖析：类比推理在日常生活中常用，可以由一种事物的特征、启发得到尚未熟悉或尚未被发现的事物的研究，是从特殊到特殊的推理.类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现新问题、探索新知识的功能.如研究球时常与圆类比；研究立体方面的问题常与平面问题类比；研究双曲线、抛物线常与椭圆相类比，这种思维方式，可以使旧知识得到发展，将新旧知识联系起来，使科学不断发展.典题精讲【例1】设f(n)=n2+n+41，n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值.同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,…,10的结果进行归维推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.由此猜想，n 为任何正整数时f(n)=n 2+n+41都是质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41,∴f(40)为合数，∴猜想的结论不正确.绿色通道：归纳推理是从个别到一般，从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段,通过归纳得到猜想结论.一般来说，归纳推理发现真理的过程为：从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形成一般命题→结论的猜想→证明.变式训练:)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n ,写出1、2、3、4的值,归纳并猜想出结果. 解：取n=1,2,3,4分别得54,43,32,21，观察4个结果都是分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1，猜想：原式=1+n n . 推算：由111)1(1,,3121321,211211+-=+-=⨯-=⨯n n n n , ∴原式=111111141313121211+=+-=+-++-+-+-n n n n n . 【例2】两个同心圆中，任作大圆的弦XY 交小圆于P 、Q ，大圆半径为R ，小圆半径为r ，求证：PX×PY 为定值.思路分析：本题PX×PY 为定值，定值是多少？我们可先由特殊到一般，我们可先取特殊位置，如XY 为大圆的直径等.解：当XY 为大圆的直径时，PX×PY=(R+r)·(R=r)=R 2-r 2.当XY 为小圆的切线时，P 、Q 重合，PX×PY=OX 2-OP 2=R 2-r 2.猜想：过点P 作一直径MN ，由相交弦定理，得PX·PY=PM·PN=(R+r)(R -r)=R 2-r 2(为定值).绿色通道：类比是对知识进行理线串连的好方法，在平时学习中，常以一两个对象为中心，把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆和运用，思维过程一般为：从具体问题→类比推理→联想→形成一般命题→结论的猜想→证明预见.变式训练:类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即a +b =b +a ,(a +b )+c =a +(b +c ).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即a +x =b ,则x =b -a .(4)在实数加法中，任意实数与0相加不改变大小，在向量加法中任意向量a +0=a .【例3】从大、小正方形的数量关系上，观察图2-1-1所示的几何图形，试归纳得出的结论.图2-1-1思路分析：从个别事例归纳总结，得到一般性的结论.解：从大、小正方形的数量关系上容易发现：1=12，1+3=2×2=22，1+3+5=3×3=32，1+3+5+7=4×4=42，1+3+5+7+9=5×5=52，1+3+5+7+9+11=6×6=62，猜想：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.绿色通道：本题为图形语言，要善于观察图形的前后联系和变化，找出规律.变式训练:把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图2-1-2所示.则第七个三角形点数是( )A.27B.28C.29D.30图2-1-2答案：B问题探究问题1：意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年出版的《算经》一书中，记述了有趣的兔子问题，假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？若一直推算下去，可得到一个数列{a n}.若a1=a2=1，你能归纳出当n≥3时a n的递推关系吗？导思：从具体问题出发，经过观察、分析再进行归纳，归纳离不开观察、分析，我们应从数值特征、从式子结构、从已知与未知的必然联系等方面观察、分析、探究.应注意所探究的事物或现象的本质属性和因果关系，才能发现规律.探究：我们将各个月的大兔子对数依次排列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……通过观察我们会发现每个数为前两个数之和.∴a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*).问题2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.导思：类比推理，就是根据两个不同的对象的某些方面相同或相似推测他们在其他方面也可能相同或相似的思维方式.它是思维过程由特殊到特殊的推理.利用直角三角形的有关性质，通过观察四面体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题，提出猜想，结论中S2=S12+S22+S32为真命题.探究：类比时应先找共性，抓特点,前提类比、结论类比.考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可类比选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象，在图2-1-3中的四面体P—DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,图2-1-3设S1、S2、S3和S分别表示△PDF、△PDE、△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边和一条斜边.四面体中有3个“直角面”，S1、S2、S3和一个“斜面”S，于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2=S12+S22+S32成立.。
高中数学推理与证明23数学归纳法学业分层测评苏教版
【课堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学 第二章 推理与证明2.3数学归纳法学业分层测评 苏教版选修 2-2( 建 用 ： 45 分 )学 达 ]一、填空1 11*1. f ( n ) ＝ 1＋ 2＋ 3＋⋯＋ 3n － 1( n ∈ N ) ，那么 f ( n ＋ 1) － f ( n ) 等于 ________.【分析】f ( n ＋1) －( )＝1＋ 1 ＋ 1 ＋⋯＋1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 － ( n ) ＝ 1 ＋fn 2 33n － 1 3n 3n ＋1 3n ＋ 2 f 3n1 13n ＋ 1＋3n ＋ 2.111【答案】3n＋3n ＋ 1 ＋ 3n ＋22.(2016 ·无 高二期末) 用数学 法 明不等式“1111n ＋ 1＋＋ 2＋＋3＋⋯＋3 ＋1＞nnn2512”，当 n ＝1 ，不等式左 的 ：________.【分析】不等式左 分子是 1，分母是从 n ＋ 1 向来到3n ＋ 1 的分数之和， 当 n ＝1 ，1 11n ＋ 1＝ 2,3 n ＋ 1＝ 4，左 2＋ 3＋ 4.1 1 1【答案】＋ ＋ 2 3 4n23. 用数学 法 明： “2＞ n ＋ 1 于 n ≥ n 0 的正整数 n 都成立” ， 第一步 明中的初步 n 0 取 ________.【 学号： 01580053】【分析】∵当 ＝1 ，21＝ 12 ＋ 1；当n ＝2 ， 22 ＜ 22＋ 1，当 n ＝3 ， 23＜32＋1；n当 n ＝ 4 ， 24＜ 42＋ 1；当 n ≥5 ，2n ＞ n 2＋ 1 恒成立 .∴ n 0＝ 5.【答案】 54. 若 f ( n ) ＝ 12＋ 22＋32＋⋯＋ (2 n ) 2， n ∈N * ， f ( k ＋1) － f ( k ) ＝______________.【分析】f ( k ) ＝ 12＋ 22＋ 32 ＋⋯＋ (2 k ) 2 ，f ( k ＋ 1) ＝ 12＋ 22＋ 32＋⋯＋ (2 k ) 2＋ (2 k ＋ 1) 2＋(2 k ＋2) 2，f ( k ＋ 1) － f ( k ) ＝ (2 k ＋1) 2＋ (2 k ＋2) 2.【答案】(2 k ＋ 1) 2＋ (2 k ＋ 2) 25. 已知数列 {} 的前和＝ 2( ≥2) ，而＝1，通 算， ， ，猜想＝a n S n a aaa a annn 12 3 4 n________.【分析】a1＝1＝2， a2＝2， a3＝2， a4＝2，猜想 a n＝2.n n＋1×22×33×44×5【答案】2n n＋n n＋6. 用数学法明 a ＋ b ≥a b n( a，b是非数，n∈ N* ) ，假n＝k命成立22以后，明 n＝ k＋1命也成立的关是两同乘以________.k＋k＋＋b，右也出了要的a＋b k＋【分析】要想法出 a1＋b1，两同乘以a221.【答案】a＋ b 27. 以下是用数学法明“∈N*， 2n＞n 2”的程，明： (1)当n＝ 1 ， 21＞ 12，n 不等式然成立 .(2) 假当n＝k( k∈ N* ) 不等式成立，即k2 ＞k2.那么，当n ＝＋1 ，2k＋ 1k k kk2＋k2≥k2＋ 2＋1＝(k＋1)2.＝2×2＝ 2 ＋ 2 ＞k k即当 n＝ k＋1不等式也成立 .依据 (1) 和 (2)，可知任何n∈N*不等式都成立.此中的步________( 填序号 ).【分析】在k＋1k k k222＋ 2k＋ 122＝2×2＝2＋ 2 ＞k ＋k ≥k顶用了 k≥2k＋1，是一个不确立的 . 如k＝ 2 ，k2＜ 2k＋ 1.【答案】(2)8. 用数学法明12＋ 22＋⋯＋ ( n－ 1) 2＋n2＋ ( n－1)2＋⋯＋ 22＋ 12＝nn2＋，3由 n＝ k 的假到明n＝ k＋1，等式左增添的式子是_____.【分析】当＝k ，左＝12＋ 22＋⋯＋ (k－ 1)2＋k2＋ (k－1) 2＋⋯＋ 22＋ 12.n 当 n＝k＋1 ，左＝22222k－222 1 ＋2＋⋯＋ k ＋( k＋1) ＋k＋ (1) ＋⋯＋2＋ 1 ，因此左增添的式子( k＋ 1)2＋ k2.【答案】( k＋1) 2＋k2二、解答9. 用数学法明：当*23n n n∈N， 1＋2＋ 3＋⋯＋ n＜ ( n＋1) .【明】(1) 当n＝ 1 ，左＝1，右＝ 2,1 ＜ 2，不等式成立 .(2) 假当n＝k( k∈ N* ) 不等式成立，即1＋ 22＋33＋⋯＋k k＜( k＋ 1) k，那么，当n＝ k＋1，左＝1＋23k k ＋1＜( k＋ 1)k k＋ 12＋ 3 ＋⋯＋k＋ ( k＋1)＋ ( k＋1)＝ ( k＋1) k( k＋ 2) ＜( k＋ 2) k＋1＝ ( k＋ 1) ＋ 1] k＋1＝右，即左＜右，即当 n＝ k＋1不等式也成立 .依据 (1) 和 (2)，可知不等式任意∈ N*都成立 .n110. 已知数列 { a n } 足 a n ＋ 1＝，a 1＝ 0. 猜想 { a n } 的通 公式， 并用数学 法 明 .2－ a n【解】由 a ＋1＝1 ， a 1＝ 0，得n2－ a n21 131241 3a ＝ 2－ 0＝ 2， a ＝1＝ 3， a ＝ 2＝ 4，2－ 22－ 3a 5＝ 142－3＝ 5，⋯.4n － 1上述 果，可得猜想a n ＝ n ( n ＝ 1,2,3 ，⋯).下边用数学 法 明 个猜想：(1) 当 n ＝ 1 ，猜想 然成立.k － 1(2) 假 当 n ＝ k 猜想成立，即 a k ＝ k ，那么，当 n ＝ k ＋ 1 ， a k ＋ 1＝11＝kk ＋ － 1，＝k＝k ＋12－a－1k ＋ 1k2－ k即当 n ＝ k ＋ 1 ，猜想也成立 .－ 1依据 (1) 和 (2)nnn，可知猜想 a ＝n 全部正整数都成立，即 数列{ a } 的通 公式 .能力提高 ]1. 用数学 法 明“当n 正偶数 x n － y n 能被 x ＋ y 整除”第一步n ＝________ ，命 成立；第二步 假 写成________.【分析】 因为 n 正偶数，第一步n ＝ 2 ，命 成立 第二步， 假 **n ＝ 2k ( k ∈ N ) 命 成立，即 n ＝ 2k ( k ∈N )【答案】2假 n ＝ 2k ( k ∈ N * ) x 2 k － y 2k 能被 x ＋ y 整除.x 2k － y 2k 能被 x ＋ y 整除 .2. 用数学 法 明： 凸n 形 角 的条数f ( n ) ＝ 1 ( － 3)( n≥4) ， (k ＋1)与f ( k )2n nf的关系是 _______________________________________________.*1【分析】 假 n ＝ k ( k ≥4， k ∈ N ) 成立， f ( k ) ＝ 2k ( k － 3) ，当 n ＝k ＋ 1 ，多出一条 ， 上增添的 角 条数k ＋ 1－ 2＝ k －1 条，因此 f ( k＋ 1) ＝ f ( k ) ＋ k － 1.【答案】f ( k ＋ 1) ＝ f ( k ) ＋ k － 13. 用数学 法 明： “1＋1＋ 1＋⋯＋n1＜ n ( n ＞1) ”， 由 n ＝ k ( k ＞1) 不等式成立，2 32 － 1推 n＝ k＋1，左增添的的数是________.当 n＝ k＋1，左是111111【分析】1＋2＋3＋⋯＋2k－1＋2k＋⋯＋2k＋1－1增添的是2k＋11k＋ 1k＋1＝ 2k，故左增添的的数是2k.k＋⋯＋ k ＋ 1，共有 2 －1－22 ＋12－1【答案】2k4. 用数学法明34n＋ 22n＋1整除的程中，当4( k＋ 1) ＋22( k＋＋ 5能被 14n＝ k＋1，3＋ 51) ＋1形 __________.【学号：01580054】【分析】当n＝k＋1，34( k＋ 1) ＋ 2＋52(k ＋ 1) ＋1＝81·34k＋ 2＋25·52k＋ 1＝25(3 4k ＋ 2＋52k ＋ 1)＋4k ＋ 256·3 .【答案】25(34k＋ 22k＋ 14k ＋2＋ 5) ＋56·35.函数 y＝ f ( x)任意数 x， y 都有 f ( x＋ y)＝ f ( x)＋ f ( y)＋2xy.(1) 求f (0) 的；(2)若 f (1)＝1，求 f (2)， f (3)，f (4)的；(3)在 (2)的条件下，猜想 f ( n)( n∈N*)的表达式，并用数学法加以明.【解】(1) 令x＝y＝ 0，得f (0 ＋0) ＝f (0) ＋f (0) ＋2×0×0? f (0) ＝ 0.(2) f (1) ＝ 1，f (2) ＝f (1 ＋ 1) ＝ 1＋1＋ 2＝ 4，f(3) ＝f (2 ＋ 1) ＝ 4＋ 1＋2×2×1＝ 9，f(4) ＝f (3 ＋ 1) ＝ 9＋ 1＋2×3×1＝ 16.(3)猜想 f ( n)＝n2，下边用数学法明.当 n＝1， f (1)＝1足条件.假当n ＝ (∈N*) 成立，即f() ＝k2，当＝＋1，( ＋1)＝() ＋(1) ＋2 k k k n k f k f k f k＝k2＋1＋2k＝( k＋1)2，从而可适合 n＝ k＋1足条件，因此任意的正整数n，都有 f ( n)＝n2.。
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学业分层测评含解析新人
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学业分层测评含解析新人2.1.1 合情推理学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2021・厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示：图2-1-7按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A．6n－2 C．6n＋2B．8n－2 D．8n＋2【解析】观察易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根??由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n－1个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列，易求得通项公式为an＝6n＋2.【答案】 C2．数列－3,7，－11,15，?的通项公式可能是( ) A．an＝4n－7 B．an＝(－1)(4n ＋1) C．an＝(－1)(4n－1) D．an＝(－1)n＋1nn(4n－1)n【解析】当数列中负项、正项交替出现时，用(－1)来控制；若是正项、负项交替出现，则用(－1)n＋1来控制．【答案】 C3．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：图2-1-8那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是( ) A．(1)，(2) C．(2)，(4)B．(1)，(3) D．(1)，(4)【解析】由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．【答案】 C4．下列推理正确的是( )A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把(ab)与(x＋y)类比，则(x＋y)＝x＋y D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则(xy)z＝x(yz)【解析】 A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)； B错误，因为sin(x＋y)＝sin xcos y＋cos xsin y；C错误，如当n＝2时，若xy≠0，则(x＋y)＝x＋2xy＋y≠x＋y； D正确，类比的是加法、乘法的结合律．【答案】 D 5．给出下列等式：1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111，12 345×9＋6＝111 111， ?猜测123 456×9＋7等于( ) A．1 111 110 C．1 111 112B．1 111 111 D．1 111 11322222nnnnn【解析】由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111. 【答案】 B 二、填空题6．已知＝8・22＋＝2・ 32，333＋＝3・83，844＋＝4・ 154，?.若158＋ata(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________. t2【解析】由所给等式知，a＝8，t＝8－1＝63，∴a＋t＝71. 【答案】 71111357．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋?＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3， 23n22观察上述结果，可推测一般的结论为__________.3456【解析】∵f(2)＝，f(4)>2＝，f(8)>，f(16)>3＝，∴由此可推测一般性的结论2222为f(2)≥nn＋22. n【答案】f(2)≥n＋228．对于命题“如果O是线段AB上一点，则|OB|・OA＋|OA|・OB＝0”，将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC・OA＋S△OCA・OB＋S△OBA・OC＝0，将它类比到空间的情形应为：若→→→→→→→O是四面体ABCD内一点，则有________________________________________________．【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为→→→→VO-BCD・OA＋VO-ACD・OB＋VO-ABD・OC＋VO-ABC・OD＝0.【答案】 VO-BCD・OA＋VO-ACD・OB＋VO-ABD・OC＋VO-ABC・OD＝0 三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中： (1)三角形两边之和大于第三边． 1(2)三角形的面积S＝×底×高．21(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.2?请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．【解】由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．→→→→1(2)四面体的体积V＝×底面积×高．31(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.410．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2-1-9(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．图2-1-9(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2， f(4)－f(3)＝4×3，?f(n－1)－f(n－2)＝4・(n－2)， f(n)－f(n－1)＝4・(n－1)．∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋?＋(n－2)＋(n－1)] ＝2(n－1)・n，∴f(n)＝2n－2n＋1.[能力提升]21．观察下列各式： 1＝1， 2＋3＋4＝3， 3＋4＋5＋6＋7＝5， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝7， ?可以得出的一般结论是( )A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－2)＝n B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－2)＝(2n －1) C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－1)＝n D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－1)＝(2n －1)【解析】观察已知等式，第n个等式左边都是2n－1个数相加，第1个数是n，等式右边是(2n－1).由此可得一般结论为：22222222n＋(n＋1)＋(n＋2)＋?＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.【答案】 B2．已知x>0，由不等式x＋≥213xx414xx4x・＝2，x＋2＝＋＋2≥3・・2＝3，?xx22x22x*x我们可以得出推广结论：x＋n≥n＋1(n∈N)，则a＝( ) A．2n C．3n1【解析】∵x＋≥2B．n D．nn2axxx・＝2，x13xx4x＋2＝＋＋2≥3・・2＝3. x22x22x4xx4?a由此猜想，x＋xn＝xn个 n所以a＝n，选D. 【答案】 Dnnn＋xn≥n＋1，3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：________.【解析】利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P-ABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝a2＋b2＋c22.【答案】在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则三棱锥P-ABC的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22*4．如图2-1-10所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N，m≥2)．图2-1-10(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，?时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式； (3)求a10，并说明a10表示的实际意义； (4)已知an＝9 900，问an是数列的第几项？【解】 (1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3,4,5，?时的士兵人数分别为12,20,30，?.故所求数列为6,12,20,30，?.(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，?，所以猜想an＝(n＋1)・(n＋2)，n∈N.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．*感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析
高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________.【解析】f(n＋1)－f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.【答案】13n＋13n＋1＋13n＋22.(2016·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1＞2512”，当n＝1时，不等式左边的项为：________.【解析】不等式左边分子是1，分母是从n＋1一直到3n＋1的分数之和，当n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，左边项为12＋13＋14.【答案】12＋13＋143.用数学归纳法证明：“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取值________.【导学号：01580053】【解析】∵当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22＜22＋1，当n＝3时，23＜32＋1；当n＝4时，24＜42＋1；当n≥5时，2n＞n2＋1恒成立.∴n0＝5.【答案】 54.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，n∈N*，则f(k＋1)－f(k)＝______________.【解析】f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，则f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.【答案】 (2k ＋1)2＋(2k ＋2)25.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝________.【解析】 a 1＝1＝21×2，a 2＝22×3，a 3＝23×4，a 4＝24×5，猜想a n ＝2n (n ＋1). 【答案】 2n (n ＋1)6.用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________.【解析】 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b 27.以下是用数学归纳法证明“n ∈N *时，2n ＞n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即2k ＞k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N *不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).【解析】 在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论.如k ＝2时，k 2＜2k ＋1.【答案】 (2)8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是_____.【解析】 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.【答案】 (k ＋1)2＋k 2二、解答题9.用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n ＜(n ＋1)n .【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k ＜(k ＋1)k ，那么，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1＜(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋2)＜(k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边＜右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N *都成立.10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0.试猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解】 由a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0，得 a 2＝12－0＝12，a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23＝34， a 5＝12－34＝45，….归纳上述结果，可得猜想a n ＝n －1n (n ＝1,2,3，…).下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n ＝1时，猜想显然成立.(2)假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝k －1k ，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k＝12－k －1k＝k k ＋1＝(k ＋1)－1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想a n ＝n －1n 对所有正整数都成立，即为数列{a n }的通项公式.能力提升]1.用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n －y n 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________.【解析】 由于n 为正偶数，第一步应检验n ＝2时，命题成立.第二步，应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立，即n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除.【答案】 2 假设n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除2.用数学归纳法证明：凸n 边形对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)时，f (k ＋1)与f (k )的关系是_______________________________________________.【解析】假设n＝k(k≥4，k∈N*)时成立，则f(k)＝12k(k－3)，当n＝k＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k＋1－2＝k－1条，所以f(k＋1)＝f(k)＋k－1.【答案】f(k＋1)＝f(k)＋k－13.用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n＞1)”，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________.【解析】当n＝k＋1时，左边是1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1增加的是12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共有2k＋1－1－2k＋1＝2k项，故左边应增加的项的项数是2k.【答案】2k4.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.【导学号：01580054】【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k ＋2.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋25.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.当n＝1时，f(1)＝1满足条件.假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。
高中数学 第二章 推理与证明章末复习 苏教版选修1 -2
π9－2＋sin
29π－2＋sin
39π－2＋…＋sin
89π－2＝43×4×5；
……
照此规律，
sin
2nπ＋1－2＋sin
2n2＋π 1－2＋sin
2n3＋π 1－2＋…＋sin
22nn＋π1－2＝
_43_n_(_n_＋__1_)(_n_∈__N__*)_.
3－1 3＋1 解析 第一个等式中 1＝ 2 ，2＝ 2 ；
矛盾的方法.
题型探究
类型一 合情推理与演绎推理
例1 (1)观察下列等式：
sin
π3－2＋sin
23π－2＝43×1×2；
sin
π5－2＋sin
25π－2＋sin
35π－2＋sin
45π－2＝43×2×3；
sin
π7－2＋sin
27π－2＋sin
37πห้องสมุดไป่ตู้2＋…＋sin
67π－2＝43×3×4；
sin
1
1
跟踪训练2 已知x>0，y>0，求证：( x 2＋ y 2 ) 2 > ( x 3＋ y 3 ) 3 .
1
1
证明 要证明 ( x 2＋ y 2 ) 2 ( x 3＋ y 3 ) 3>
只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，
只需证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
只需证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.
答案
(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡 片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看 了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的 卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字1是和_3_______. 解析 由题意可知丙不拿2和3. 若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意. 故甲的卡片上的数字是1和3.
高中数学 第二章 推理与证明教案 苏教版选修22
第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理第1课时归纳推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解合情推理的含义，认识归纳推理的基本方法与步骤，能利用归纳推理进行简单的推理应用．2．过程与方法通过学生的积极参与，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义．让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会如何利用归纳去猜测和发现一些新的结论，培养学生归纳推理的思维方式．3．情感、态度与价值观正确认识合情推理在数学中的重要作用，并体会归纳推理在日常活动和科学发现中的作用．学生通过主动探究、合作学习，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，养成认真观察事物、发现探索新知识的良好思维品质．●重点难点重点：归纳推理的含义与特点，能进行简单的归纳推理．难点：运用归纳推理得到一般性的结论，做出猜想．归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养，突出体现数学的人文价值和实际应用价值，因此，在高中数学的模块中，归纳推理就显得格外的举足轻重了．为了突破难点，引导学生合作交流，发现特殊实例的共性，抓住本质特征，作出合理猜想．(教师用书独具)●教学建议关于归纳推理的教学，建议以学生熟悉的实例为载体，创设问题情境．例如“猜职业”、“哥德巴赫猜想”等引导学生进行观察、分析、归纳推理，并借助例题具体说明在数学发现的过程中归纳猜想的作用、采取合作交流，培养学生合作学习的意识与数学思维能力．在课堂上渗透数学文化教育，让学生通过数学文化的学习，了解数学发展中起重大作用的历史事件和人物，激发学习数学的兴趣．●教学流程创设问题情境，引导学生得出归纳推理的意义和特点.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握数、式中归纳推理的一般规律.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握图形中归纳推理的特点与思路.⇒学习例3及其变式训练，求解简单实际问题的归纳推理并体会应用的广泛性.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.课标解读1.了解归纳推理的含义，能用归纳推理进行简单的推理(重点、难点)．2．体会归纳推理在数学发现中的作用，归纳推理结论的真假(易错点).归纳推理【问题导思】1．(1)若a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝2，…你能猜想出数列{a n}的通项公式吗？(2)直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】(1)a n＝n(n∈N*)；(2)三角形的内角和都是180°.2．在解决上述问题时，经历了怎样的思维过程？【提示】列出部分→归纳现象→得出结论．1．推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．2．归纳推理(1)归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.3．归纳推理的特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．代数中有关数、式的归纳推理已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列通项公式a n，并证明结论的正确性．【思路探究】由a1＝1求a2的值，进而求a3，a4→分析a1，a2，a3，a4的特征→猜想a n→数学证明【自主解答】(1)由a1＝1，且a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)，令n＝1，得a2＝3，令n＝2，n＝3，进而得a3＝7，a4＝15，(2)由a1＝21－1，a2＝22－1，a3＝23－1，a4＝24－1.可归纳猜想，得a n＝2n－1(n∈N*)．证明如下：由a n＋1＝2a n＋1，得a n＋1＋1＝2(a n＋1)．∴{a n＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴a n＋1＝2·2n－1＝2n，因此a n＝2n－1.1．在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式；要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数(序号n)之间的关系，这是解题的关键．2．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些共同的特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．已知：1＞12；1＋12＋13＞1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32；1＋12＋13＋…＋115＞2；…根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论． 【解】 1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…猜想不等式的左边共有2n －1项，最后一项的分母为2n－1，右边为n 2，由此可得一般性结论．1＋12＋13＋…＋12n －1＞ n 2(n∈N *)．几何图形、图表中的归纳推理数一数图2－1－1中的凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E ，然后用归纳推理得出它们之间的关系．图2－1－1【思路探究】 先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数，观察它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论．【自主解答】正方体：F＝6 V＝8 E＝12；三棱柱：F＝5 V＝6 E＝9；五棱柱：F＝7 V＝10 E＝15；四棱锥：F＝5 V＝5 E＝8；两个同底面的四棱锥组成的组合体：F＝8 V＝6 E＝12；通过以上观察发现F，V，E满足F＋V－E＝2.所以归纳得：在凸多面体中，面数F、顶点数V和棱数E满足以下关系：F＋V－E＝2.1．在几何中随点、线、面等元素的增加，探究点数、线数、面数等满足的关系及相应的线段、交点、区域部分图形等的增加情况常用归纳推理解决，通过比较，寻找规律是解决该类问题的关键．2．应用归纳推理，注意两点：(1)从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．有两种花色的正六边形地面砖，按如图2－1－2所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有条纹的正六边形的个数是多少？图2－1－2【解】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 …个数 6 11 16 …由上表可以看出有条纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有条纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)．故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.实际问题中的归纳推理蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形．如图2－1－3所示，为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．图2－1－3试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式．(不要求证明) 【思路探究】 根据前三个图形，找出正六边形增加的规律．【自主解答】 由图形可知：每个图形最外面有6×(n－1)个正六边形：f(4)＝f(3)＋18＝19＋18＝37，f(5)＝f(4)＋24＝37＋24＝61， 因为f(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， f(4)－f(3)＝37－19＝3×6， f(5)－f(4)＝61－37＝4×6， … …所以当n≥2时，有f(n)－f(n －1)＝6(n －1)． 以上各式相加，当n≥2时，f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]， ∴f(n)＝f(1)＋6×（n －1）n 2＝3n 2－3n ＋1.1．在本例中，应注意两点：(1)图形的特点，每个图形从宏观上看均为一大正六边形，每一边上均有n 个小正六边形，(2)式的变化，通过式子，寻求f(n)与f(n －1)的关系，转化成数列问题．2．利用归纳推理，可以使我们对许多实际问题总结出一般性的结论，掌握事物的本质规律．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…这就是斐波那契数列．此数列中，a1＝a2＝1，当n≥3时，请归纳出a n与a n－1间的递推关系式．【解】因为2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，8＝3＋5，…逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n ∈N*)．归纳不完整致误对任意的正整数n，猜想2n与n2的大小关系．【错解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32.归纳猜想：当n＝1时，2n＞n2；当n≥2时，2n≤n2.【错因分析】对于2n与n2，n仅取1，2，3来判断它们的大小关系，这不具有代表性，忽略了对n＞3时情形的归纳．【防范措施】进行归纳推理时，防止归纳的局限性，可多考查一些特殊情形，从中寻找规律，发现一般性的结论．【正解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52；当n＝6时，26＞62.归纳猜想：当n＝1或n≥5时，2n＞n2；当n＝2或4时，2n＝n2；当n＝3时，2n＜n2.1．归纳推理是从个别事实中推演出一般性结论的推理方法，应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，为学习研究提供方向．2．我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．1．由数列1，10，100，1 000，…，猜测该数列的第n项可能是________．【解析】该数列可整理为100，101，102，103….【答案】10n－12．如图2－1－4所示的是由火柴杆拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成． 通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．图2－1－4【解析】 设a n 表示第n 个图形中的火柴杆数，易知a 1＝4，a 2＝4＋3＝7，a 3＝7＋3＝10，a 4＝10＋3＝13….∴a n ＝3n ＋1. 【答案】 13 3n ＋13．(2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，照此规律，第n 个等式可为________ 【解析】 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2.【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）24．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1，2，3，…)，试用归纳法归纳出这个数列的通项公式．【解】 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；a 3＝a 21＋a 2＝13；a 4＝a 31＋a 3＝14.归纳可得，数列{a n }的前四项都等于相应序号的倒数，由此可以猜测，这个数列的通项公式为a n ＝1n(n ＝1，2，3，…)．一、填空题图2－1－51．如图2－1－5所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．【解析】通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1.得第36颗珠子一定为白色的．【答案】白2．(2013·无锡高二检测)如图2－1－6所示，第n个图形中，小正六边形的个数为________．图2－1－6【解析】a1＝7，a2＝7＋5＝12，a3＝12＋5＝17，∴a n＝7＋5(n－1)＝5n＋2.【答案】5n＋23．正整数按下表的规律排列，则上起第2 005行，左起第2 006列的数应为________．【解析】第2 006行的第一个数为2 0062，第2 005行的第2 006列的数是以2 0062为首项，－1为公差的等差数列的第2 007项，∴该数为2 0062＋(－1)×2 006＝2 005×2 006.【答案】 2 005×2 0064．(2012·江西高考改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________．【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】1235．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于________．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111【解析】等号右边应为n＋1个“1”．【答案】 1 111 1116．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形图2－1－7那么下列图形中，图2－1－8可以表示A*D，A*C的分别是________．【解析】由已知图形，抓共性不难总结出：A“|”，B“□”(大)，C“—”，D“□”(小)．故A*D为(2)，A*C为(4)．【答案】(2)，(4)7．经计算发现下列不等式：2＋18＜210， 4.5＋15.5＜210，3＋2＋17－2＜210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________．【解析】 ∵2＋182＝10，4.5＋15.52＝10，3＋2＋17－22＝10， ∴不难得出，若a ＋b ＝20，a ＋b ＜210. 【答案】 若a ＋b ＝20，则a ＋b ＜2108．(2013·镇江高二检测)设函数f(x)＝x x ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝xx ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________．【解析】 函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.分母中常数项依次为2，4，8，16，…，其通项为2n. 又函数中，分子都是x .∴当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2n－1）x ＋2n.【答案】x（2n－1）x ＋2n二、解答题9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中的不等式，为什么？【解】 不等式左边和式个数分别为3，4，5，…时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，…，其分子依次为32，42，52，…，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，…. 故当不等式左边和式个数为n 个时，归纳猜想右边应为n 2（n －2）π(n≥3，n ∈N *)，故所求为1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2（n －2）π(n ≥3，n ∈N *)．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n∈N *)．11．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 求m －n ＋p 的值．【解】 观察等式可知，cos α的最高次项的系数：2，8，32，128构成了公式比为4的等式数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得 1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350.(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m(12)10－1 280×(12)8＋1 120×(12)6＋n ×(12)4＋p×(12)2－1，即n ＋4p ＝－200.(2) 联立(1)(2)， 得n ＝－400，p ＝50.故m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962.(教师用书独具)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图1 图2他们研究过图1中所示的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中所示的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．则289，1 024，1 225，1 378中既是三角形数又是正方形数的是________．【自主解答】 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.同理可得正方形数构成的数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2. 将289，1 024，1 225，1 378分别代入上述两个通项公 式，可得使n 都为正整数的只有1 225. 【答案】 1 225设n≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________．【解析】 由T 2＝0，T 4＝0，…猜想T n ＝0(n 为偶数)．T 3＝123－133，T 5＝125－135，…猜想T n ＝12n －13n (n 为奇数)，因此可得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数【答案】 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数第2课时 类比推理(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去．2．过程与方法正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识．3．情感、态度与价值观认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识．●重点难点重点：了解合情推理的含义，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理．难点：类比时寻求合适的类比对象；培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力．(教师用书独具)●教学建议本节教材内容要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理——类比推理进行了概括和总结，让学生在学习过程中体会类比推理在数学结论的发现、证明与数学体系构建中的作用．(1)创设恰当的教学问题情境，如鲁班锯的发现、物理学家惠更斯提出了光波这一科学概念，从而提炼出类比推理的一般过程，概括出类比推理的含义．(2)分组交流，合作学习，讲练结合，将班上同学分成六个小组，分组讨论．从具体问题出发——观察、分析比较、联想——归纳，类比——提出猜想，让学生充分感受和体验类比推理的过程．●教学流程创设问题情境，引导学生提炼类比推理的一般过程和含义.⇒借助例1及其变式训练，使学生掌握数列中定义、性质公式的类比.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面图形和空间图形的类比规律.⇒通过例3及其变式训练，理解合情推理的应用广泛性并体会其作用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识与思想方法.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行学后反馈、矫正.课标解读 1.结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理(重点、难点)． 2．区别归纳推理与类比推理，了解合情推理的合理性(易混点).类比推理【问题导思】已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质． 【提示】 (1)四面体任意三个面的面积大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.2．上述两个推理是从特殊到一般的推理吗？【提示】不是．是从三角形的特征推出四面体的特征，两个推理是从特殊到特殊的推理．1．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．类比推理的特征(1)类比推理是两类事物之间的特殊到特殊的推理；(2)类比推理的结果是猜测性的，不一定可靠．合情推理【问题导思】类比推理与归纳推理有何本质的不同？【提示】类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．1．合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用．数列中的类比推理设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．【思路探究】 等差数列的性质结论多与和、差有关，等比数列的性质结论多与积、商有关，注意到类比结论中出现T 16T 12这一形式与S 16－S 12对应，易得答案．【自主解答】 等比数列类比等差数列，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】 T 8T 4 T 12T 81．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n 项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系．2．类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b(m≠n，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ，n ∈N *且m ≠n )．类比上述结论，求b m ＋n ，并说明理由．【解】 类比得b m ＋n ＝n －m b na m.理由如下：设等比数列{b n }的公比为q ， 则b m ＋n ＝b m q n.又b m b n ＝b 1q m －1b 1q n －1＝q m －n ＝a b . ∴q ＝(ab)1m －n .因此b m ＋n ＝b m q n＝a (a b )n m －n ＝(b na m )1n －m ＝n －mb na m.几何中的类比推理在平面几何里，有勾股定理：设△ABC的两条边BC ，AC 互相垂直，则BC 2＋AC 2＝AB 2.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得出的正确结论是________．【思路探究】三角形是由直线段围成的封闭图形，三棱锥(四面体)是由三角形围成的封闭图形，因此三角形的边长之间的关系类比到空间为三棱锥的面的面积之间的关系．【自主解答】考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个侧面两两垂直的三棱锥，作为直角三角形的类比对象．直角三角形3个侧面两两垂直的三棱锥∠C＝90°∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°3条边的长度分别为a，b，c 4个面的面积分别为S1，S2，S3和S2条直角边a，b和1条斜边c 3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S 类比勾股定理的结构，猜想在三棱锥中，S2＝S21＋S22＋S23.1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中．2．类比与归纳推理虽然不一定正确，但都是经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出合理猜想的推理，为研究学习提供了一盏明灯．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程为xx 0＋yy 0＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.【答案】 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1合情推理的创新应用我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n}的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明．(3)在第(2)问中，若a1＝2，公和为5，求a18和S21.【思路探究】先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再根据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项的和．【自主解答】(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列.(2)由(1)知a n＋a n＋1＝a n＋1＋a n＋2，所以a n＋2＝a n.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)由“等和数列”的定义，知a1＝a3＝a5＝…＝a19＝a21＝2.a2＝a4＝a6＝…＝a18＝a20＝3.因此a18＝3.S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝5×10＋2＝52.1．本题通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，考查学生的类比应用能力．2．从类比出新数列的定义出发，由特殊到一般，归纳出数列规律，类比是一个伟大的引路人，在探求知识的过程中，我们要充分运用类比的方法，由已知探究未知．设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________．【解析】等差数列运用“倒序相加”求和．令t＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)①则t＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)．②∵f(x)＝12x＋2，∴f(1－x)＝121－x＋2＝2x2＋2·2x＝2x2（2x＋2），因此f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋2x2（2x＋2）＝12＝22，故①＋②，得2t＝12×22＝62，∴t＝3 2.【答案】3 2误将类比所得结论作为推理依据致误已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＜0，a 2x 2＋b 2x ＋c 2＜0的解集分别为M ，N ，则“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的________条件．【错解】 在方程a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0中，若“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”，则两个方程同解．由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2知两个不等式同解，故“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的充要条件．【答案】 充要【错因分析】 错解将方程的同解原理类比到不等式中，忽略了不等式与等式的本质区别．【防范措施】 类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误，因此要理解好类比对象的本质，忌盲目类比．【正解】 当a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝b 2＝c 2＝－1，则M ＝∅，N ＝R ，即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2D /⇒M ＝N ；当M ＝N ＝∅时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，则a 1a 2≠b 1b 2≠c 1c 2， 即M ＝ND /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.综上知“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的既不充分也不必要条件． 【答案】 既不充分也不必要1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．3．要熟练掌握一些常见的类比推理，如等式与不等式、椭圆与双曲线的类比，特别是等差数列与等比数列的类比和平面几何与立体几何(包括三角形与四面体、矩形与长方体、圆与球)的类比，需掌握它们的类比特点与一些常用结论．1．若数列{a n }是等差数列，则通项为b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 的数列{b n }(n∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)，则有通项为d n ＝________的数列{d n }(n ∈N *)也是等比数列．【解析】 “和”变“积”，“商”变“开方”． 【答案】nc 1·c 1·…c n2．下面使用类比推理恰当的序号是________．①“若a·3＝b·3，则a ＝b”类推出“a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ”； ②“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”类推出“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ③“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”；④“(ab)n＝a n b n”类推出“(a＋b)n＝a n＋b n”．【解析】①②④均错．【答案】③3．在平面直角坐标系O—xy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O—xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C 不同时为0)表示________．【解析】平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O—xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C 不同时为0)表示过原点的平面．【答案】过原点的平面4．类比圆的下列特征，找出球的相关特征．(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长和面积可求．【解】(1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球面；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求．一、填空题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【解析】“边的中点”类比为“各面的中心”．【答案】中心2．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．【解析】乘积类比和，幂类比积．∴a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×93．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.事实上，由平面几何和立体几何的知识，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系．【答案】1∶84．在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为________．【解析】平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．【答案】在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：(1)“mn＝nm”类比得“a·b＝b·a”；。
高中数学第2章推理与证明2.1.1.1归纳推理课件苏教版选修12
图形(túxíng)中的归纳推理
(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 2-1-2 的规律拼成若干个 图案，则第 n 个图案中有黑色地面砖的块数是________.
图 2-1-2
第十四页，共39页。
(2)根据图 2-1-3 中线段的排列规则，试猜想第 8 个图形中线段的条数为 __________.
第十八页，共39页。
寻找 关系
―→
从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量的关系
↓
结构 联系
―→
从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次 变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化
↓
归纳 结论
―→
常转化为数列中的归纳推理问题，如可通过图形展 现的有关数据，构造某一数列的前几项，然后利 用归纳数列的某一问题进行解决
第二十二页，共39页。
已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝12an＋a1n.求出 a1， a2，a3，a4，并推测 an.
【精彩点拨】 由递推关系写出前 4 项，化为统一形式，观察即可.
第二十三页，共39页。
【自主解答】 ∵Sn＝12an＋a1n，∴a1＝12a1＋a11，∴a21＝1. 又∵an>0，∴a1＝1； a1＋a2＝12a2＋a12，即 1＋12a2＝21a2，∴a2＝ 2-1； a1＋a2＋a3＝12a3＋a13， 即 2＋12a3＝21a3，∴a3＝ 3- 2；
图 2-1-1 【解析】 a1＝7，a2＝7＋5＝12，a3＝12＋5＝17， ∴an＝7＋5(n-1)＝5n＋2. 【答案】 5n＋2
第七页，共39页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理自我小测 苏教版选修2-2(2021年整理)
高中数学第2章推理与证明2.1.1 合情推理自我小测苏教版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章推理与证明2.1.1 合情推理自我小测苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第2章推理与证明2.1.1 合情推理自我小测苏教版选修2-2的全部内容。
高中数学 第2章 推理与证明 2.1。
1 合情推理自我小测 苏教版选修2—21．把1,3，6，10,15,21，…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如图所示，则第七个三角形数是________．2．我们把1，4,9,16，25,…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示,则第n 个正方形数是________．3．如图所示，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为__________．4．有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是__________．5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式2S ⨯=底高，可推知扇形面积公式S 扇＝________。
6．已知f 1(x ）＝cos x ，f 2（x ）＝f ′1（x )，f 3(x )＝f ′2(x )，f 4(x )＝f ′3（x ），…，f n (x )＝f ′n －1(x ），n ≥2，且n ∈N *，则f 2 011(x )＝__________.7．下图所示为一串黑白相间排列的珠子，第36颗珠子应是__________颜色的．8．观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2,13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4）2，…,根据上述规律,第五个等式为________________．9．已知函数1133()5x xf x--=，1133()5x xg x-+=.分别计算f（4）－5f（2）g(2)和f(9)－5f（3)g（3）的值，由此概括出涉及f(x)和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式．10．类比等差数列的定义，给出等和数列的概念，并利用等和数列的性质解题：已知数列{a n｝是等和数列，a1＝2，公和为5，求a18和S21.参考答案1答案：28 解析：第n个三角形数比前一个多n。
高中数第二章推理与证明2.1.1合情推理课件苏教版选修22
知识点三 合情推理 1.合情推理的含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实、正确的 结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推 理过程.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理. 2.合情推理的过程 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想
高中数第二章推理与证明2.1.1合情推理课件 苏教版选修22
学习 目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发展中的作用.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一 推理的定义与结构形式 1.定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理. 2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实 (或假设)，叫做 前提 ，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫做 结论. 思考 (1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？ 答案 不一定完全可靠. (2)推理一般用哪些关联词？ 答案 推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因 为……所以……”“根据……可知……”“如果……那么……” “若……则……”.
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当堂检测
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1.已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋145＝4 145，…. 若 6＋ab＝6 ab(a，b∈R), 则 a，b 的值分别为__6__，__3_5_. 解析 观察式子的特点可知，分式ab的分子 a 与根号外的数相同， 而分母b则为该数的平方减1.
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解析答案
课堂小结 1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 2.类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性； (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命 题(猜想).
高中数学 第2章 推理与证明 章末小结 知识整合与阶段检测(含解析)苏教版选修2-2-苏教版高二选修
第2章推理与证明[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷 一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大． 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．(某某高考)观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1. 解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1；③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误． 答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ＝m OA ＋n OB 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(某某高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推．设BA ＝a 1，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋nnxn ≥n ＋1，故a ＝n n.答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．(某某高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数N (n,4)＝n 2， 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4.⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立 ∴1a ＋1b ＋1ab≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n (n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5na n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×52＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n＝n ＋a n ·5n， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n . 17．(本小题满分14分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos(60°＋2α)2＋34sin 2α＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1， 则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1① 而(2－a )a ≤⎝⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1， 即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1， 显然与①矛盾， 所以原结论成立．19．(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32. S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74. S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， 则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k＝2k ＋1－12(k ＋1)－1， 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立， 即a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．(2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立， 即a k ≥2k－1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。
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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明2.1.1.1 归纳推理学业分层测评 苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________.【解析】 从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.【答案】 1232．经计算发现下列不等式：2＋18<210，4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.【解析】 ∵2＋182＝10，4.5＋15.52＝10，3＋2＋17－22＝10， ∴不难得出，若a ＋b ＝20，a ＋b <210. 【答案】 若a ＋b ＝20，则a ＋b <210 3．观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …，照此规律，第n 个等式可为________． 【解析】 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n n ＋2.【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋24．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，则72 013的末两位数字为________.【导学号：01580032】【解析】 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4. 又2 013＝4×503＋1， 所以72 013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.【答案】 07 5．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f ((f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f ((f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f ((f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.【解析】 函数结果的分母中x 项系数所组成的数列为1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.分母中常数项依次为2,4,8,16，…，其通项为2n. 又函数中，分子都是x .∴当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝xn－x ＋2n.【答案】xn－x ＋2n6．(2016·青岛高二检测)容易计算2×5＝10,22×55＝1 210，222×555＝123 210，2 222×5 555＝12 343 210.根据此规律猜想22…229位×55…559位所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为________．【解析】 由已知可归纳出22…229位×55…559位＝ 123 456 789 876 543 210，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为898. 【答案】 8987．(2016·东北三校高二联考)某种平面分形图如图215所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．图215则n级分形图中共有________条线段．【解析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝3×2－3条线段，二级分形图中有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律得n级分形图中的线段条数a n＝3·2n－3(n∈N*)．【答案】3·2n－3(n∈N*)8．把正整数按一定的规则排成了如图216所示的三角形数表，设a ij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j行．如a42＝8，若a ij＝2 009.则i 和j的和为________．12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24…………………【解析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j ＝107.【答案】107二、解答题9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1且S n－1＋1S n＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式．【解】当n＝1时，S1＝a1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图216所示的三角形数：图216将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 014是数列{a n }的第几项？ (2)用k 表示b 2k －1.【解】 (1)a n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5， b 3＝2＝a 9，b 4＝2＝a 10，b 5＝2＝a 14， b 6＝2＝a 15，…b 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.即b 2 014是数列{a n }的第5 035项． (2)由(1)知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5kk －2.能力提升]1．已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 014(x )的表达式为________．【解析】 由f 1(x )＝x1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x1＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ，故可猜想f 2 014(x )＝x1＋2 014x . 【答案】x1＋2 014x2．观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋×12n ＝________. 【解析】 观察所给等式知，第n 个等式的右边为1－1n ＋n.【答案】 1－1n ＋n3．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请写出一个一般性的命题：___________________.【答案】 sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝324．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图216①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图216(1)求f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1的值．【解】 (1)f (5)＝41. (2)f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，……由上式规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1fn －1＝12n n －＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， ∴1f ＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .。