§1.1.2 集合(二)
1.1.2集合的表示方法
x
像这样， 将集合元素满足的特征性质或者条件用形式 写出来 表示集合的方法，叫做描述法. 其中，大括号内竖线左边的 是集合的代表元素， 竖线右边的 是集合的元素 满足的特征性质或者条件.
例2 . 用描述法表示下列集合： （1）大于2的整数组成的集合； （2）不等式 x 2 3 的解集； （3）所有直角三角形组成的集合. 解： （1） a a 2, 且 a Z （2）x （3）
（5）在直角坐标系中，由第一象限所 有点组成的.
解：（1）小于5的有理数组成的集合为：x
（2） x 1 2 不等式 的解集为：
பைடு நூலகம்
x 5, 且 x Q
x
x 1, 且 x R 或写成
x
x 1
x x 2 n , n N （3）所有的正偶数组成的集合为：
§1.1.2 集合的表示方法
一、复习引入：
1．集合的概念
某些确定的对象组成一个整体。 2．集合中元素有那些性质？ 确定性、互异性、无序性 3．空集、有限集和无 限集的概念 不含任何元素的集合叫做空集，含有有限个元素的集 合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
一．集合的表示法
集合的表示方法，常用的有列举法和描述法。
A 与 b A 也可已写成： b A 有限集、无限集、空集（ ） ：
集合与元素的关系：a 有限集：元素个数是有限个的集合。 无限集：元素个数有无限个的集合。 空集 （ ） ： 没有任何元素的集合。 集合的常用表示： 列举法 与 描述法
列举法： 将集合中的元素一一列举出来， 用一个大括号括起来表示集合的方法。
( x, y ) x 0, y 0 （5）第一象限所有点组成的集合为 ：
人教A版数学必修一四川省成都七中高一数学复习：§1.1.1(2)集合的含义.docx
高中数学学习材料唐玲出品1.1.2集合的表示一、课标要求（1）理解并会用列举法、描述法表示集合；（2）掌握集合的表示方法、常用数集及其记法，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 二、知识要点（1）表示集合共有哪些方法：______________________________________。
（2）怎样用列举法表示集合：________________________________________。
（3）怎样用描述法表示集合：________________________________________。
【答案】（1）列举法、描述法、自然语言和图示(Venn)法. （2）把集合元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来. （3）在花括号“{ }”内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中的元素所具有的共同特征.三、典型例题例1、用列举法表示下列集合：(1)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |61＋x ∈Z ，求M ； (2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝0的解集；(3)由|a|a ＋b|b|(a ，b ∈R )所确定的实数集合．解 (1)∵x ∈N ，且61＋x∈Z ，∴1＋x ＝1,2,3,6，∴x ＝0,1,2,5，∴M ＝{0,1,2,5}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，故方程组的解集为{(1,1)}．(3)要分a>0且b>0，a>0且b<0，a<0且b>0，a<0且b<0四种情况考虑，故用列举法表示为{－2,0,2}． 规律方法：(1)列举法表示集合，元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然．变式1、用列举法表示下列集合：(1)A ＝{x||x|≤2，x ∈Z }；(2)B ＝{x|(x －1)2(x －2)＝0}；(3)M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *}；(4)已知集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫61＋x ∈Z |x ∈N ，求C. 解 (1)∵|x|≤2，x ∈Z ，∴－2≤x≤2，x ∈Z ，∴x ＝－2，－1,0,1,2.∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．(2)∵1和2是方程(x －1)2(x －2)＝0的根，∴B ＝{1,2}．(3)∵x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴M ＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}． (4)结合例1(1)知，61＋x＝6,3,2,1，∴C ＝{6,3,2,1}． 例2、用描述法表示下列集合： (1)所有正偶数组成的集合；(2)方程x 2＋2＝0的解的集合； (3)不等式4x －6<5的解集；(4)函数y ＝2x ＋3的图象上的所有点的集合．解 (1)文字描述法：{x|x 是正偶数}．符号描述法：{x|x ＝2n ，n ∈N *}．(2){x ∈R |x 2＋2＝0}． (3){x ∈R |4x －6<5}．(4){(x ，y)|y ＝2x ＋3，x ∈R ，y ∈R }． 规律方法：用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么？同时要注意代表元素所具有的共同属性．变式2、用描述法表示下列集合：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上所有点的集合；(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合； (3)不等式x －3>2的解集．解 (1){(x ，y)|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a≠0}．(2)⎩⎨⎧===⎩⎨⎧+-=+=41),{(}623),{(y x y x x y x y y x }.(3){x ∈R |x －3>2}．例3、用适当的方法表示下列集合：(1)比5大3的数；(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集；(3)二次函数y ＝x 2－10图象上的所有点组成的集合． 解 (1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－3，∴方程的解集为{(2,－3)}．(3)“二次函数y ＝x 2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x ，y)|y ＝x 2－10}．规律方法：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合． 变式3、用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是质数（素数）的自然数组成的集合； (2)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合；(3)从0,1,2中抽出部分或全部数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合；(4)二元二次方程组⎩⎨⎧==2x y xy 的解集． 解 (1)列举法：{3,5,7}．(2)描述法：{ x|x 是周长为10 cm 的三角形}．(3)列举法：{0,1,2,10,12,20,21,102,120,201,210}． (4)列举法：{(0,0)，(1,1)}． 四、备选例题1、用集合表示图中阴影部分（含边界）.【解析】图中阴影部分是由直线2,4x x =-=及1,3y y =-=围成的矩形，设其中任意一点(,)P x y ，则-2≤x ≤4，-1≤y ≤3，故图中阴影部分可用集合表示为{(x ，y)| -2≤x ≤4，-1≤y ≤3}. 2、定义集合运算：A ⊙B=｛z ︳z= xy(x+y)，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（ ）A 、0B 、6C 、12D 、18 【解析】A ⊙B=｛z ︳z= xy(x+y)，x ∈A ，y ∈B ｝中，“x ∈A ，y ∈B ”是指x 和y 分别各自独立地遍取集合集合A 与B 中所有元素，再代入z= xy(x+y)就得到集合A ⊙B 的所有元素，共有4种情况：02x y =⎧⎨=⎩，03x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩， 代入z= xy(x+y)得:A ⊙B={0,6,12}，故选D.五、小结与反思1、在用列举法表示集合时应注意以下四点：(1)元素间用“，”分隔；(2)元素不重复；(3)不考虑元素顺序；(4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．2．使用描述法时应注意以下四点：(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；(2)说明该集合中元素的特征；(3)不能出现未被说明的字母；(4)用于描述的语句力求简明、确切． 六、练习1、下列说法正确的是( )A 、0与{0}表示同一个集合B 、由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}C 、方程(x －1)(x －2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,2,2} D 、集合{x ∈R|4<x<5}可以用列举法表示 【答案】 B2、下列各组集合中表示同一集合的是( )A 、M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B 、M ＝{3,2}，N ＝{2,3}x=4x=-2y=3y=-1yOxC 、M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)}D 、M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1} 【答案】 B3、下列集合：①{x ＝1，y ＝2}；②{1,2}；③{(1,2)}；④{(x ，y)|x ＝1或y ＝2}；⑤{(x ，y)|x ＝1且y ＝2}；⑥{(x ，y)|(x －1)2＋(y －2)2＝0}，其中可以作为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集的有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 【答案】C ③⑤⑥4、已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y)|ax －y≤3}，且(2,1)∈A ，(1，－4)∉A ，则不．满足条件的a 的值是 ( )A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】D5、已知集合M ＝{x ∈N|8－x ∈N}，则M 中的元素最多有( )A 、7B 、8C 、9D 、10个 【答案】C6、定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ，x∈A，y∈B}．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为( )A 、0B 、2C 、3D 、6 【答案】D7、集合{1,3,5,7,9}用描述法表示为_____________________。
高中数学 1.1.2集合的表示方法 新人教A版必修1
1.列举法
将集合中的元素一一列举出来写在大括号内。
①有限集:
由两个元素0,1构成的集合 24的所有正因数构成的集合
0,1
12, 24}
{1, 2, 3, 4, 6, 8,
不大于100的自然数的全体构成的集合
②无限集:
自然数集:
0,1,2,3, ,10 0
0 ,1 ,2 ,3 ,4 , ,n ,
解:
(1) A={1,2,3,4,5} (2)B={2,3}
例2: 用特征性质描述法表示下列集合 (1){-1,1} (2)大于3的全体偶数构成的集合 (3)在平面α内，线段AB的垂直平分线
解： (1) {x| |x|=1} (2) {x| x>3,且x=2n,n∈N} (3){点P∈平面α|PA=PB}
思考： 1. 0、{0}、{ }、 的关系
2. 1,与 21,2区别在哪儿
3. 数集：x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n ,
点集：( x 1 ,y 1 ) ( x 2 ,y 2 ) ( x 3 ,y 3 ) ( , x n ,y n )
2.特征性质描述法：
如果在集合I中，属于集合A的任意 一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素x都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做 集合A的一个特征性质.
于是，集合A可以用它的特征性质p(x)
描述为： { xI P(x)
}
3.Venn图法：
用平面内一条封闭曲线的内部表示集合的方法
A1,2,3,4 B3,4,5,6
A
12 3
34 54 6 5 6
B
B
例1 用列举法表示下列集合
(1)A={x∈N| 0< x ≤5} (2)B={x| x2-5x +6=0}
1.1.2集合间的基本关系 课件2(人教A版必修1)
又 0∈N,但 0∉M,∴M⫋ N.
反思:判断两个集合间的关系时,主要是根据这两个集合中元素的特征,结合有
关定义来判断.对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可得它们之间的
关系;对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,分析之前可以用
列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系,然后再加以证明.当
m=
.
解析:∵B⊆ A,5∈B,
∴5∈A.∴m=5.
答案:5
3.集合相等与真子集
定义
记法
如果集合 A 是
集
集合 B 的子集,
合
且集合 B 是集
相
合 A 的子集,那 A=B
等
么称集合 A 与
集合 B 相等
如果集合 A⊆ B,
真 子 集
但存在元素 x∈ B,且 x∉A,我们 就称集合 A 是 集合 B 的真子
题型二
判断集合间的关系
【例 2】 集合 M={x|x2+x-6=0},N={x|2x+7>0},试判断集合 M 和 N 的关系.
分析:明确集合 M 和 N 中的元素,再依据有关的定义判断.
解:M={-3,2},N=
x|x
7 2
}
.
∵-3>- 7 ,2>- 7 , 22
∴-3∈N,2∈N.∴M⊆ N.
M⊆ N 和 M⫋ N 均成立时,M⫋ N 较准确地表达了 M 和 N 的关系.
空集是任何非空集合的真子集, 即⌀ ⫋ A(A≠⌀ ).
【做一做 4】 集合 M={x∈R|2x2+3=0}中元素的个数是( ).
A.不确定
B.2
C.1
D.0
解析:由于方程 2x2+3=0 无实根,则 M=⌀ .
第一章 §1 1.1 第2课时 集合的表示
第2课时集合的表示学习目标 1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．知识点一列举法把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法叫作列举法．思考一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？答案不需要，集合元素具有无序性．知识点二描述法通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x 满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．思考不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？答案元素的共同特征为x∈R，且x<5.知识点三有限集、无限集、空集含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作空集，记作∅.知识点四区间1．区间概念(a，b为实数，且a<b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}区间(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考区间能表示空集吗？答案不能，因为区间[a，b]((a，b))中a<b.1．由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．(×)2．集合{(1,2)}中的元素是1和2.(×)3．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(√)4．{x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合．(×)一、用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合．解(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．(学生留)反思感悟用列举法表示集合应注意的两点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素．(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合：(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合；(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合；(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴的交点组成的集合．解(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1和2，因此可以用列举法表示为{1,2}．(2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}． (4)函数y ＝2x －1的图象与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫12，0，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0.二、用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： (1)使y ＝1x －6有意义的实数x 的集合； (2)坐标平面上第一、三象限内点的集合；(3)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合； (4)方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0(m ∈Z )的解组成的集合． 解 (1)要使y ＝1x －6有意义，则x －6≠0，即x ≠6，故满足题意的实数x 的集合是{x ∈R |x ≠6}．(2)第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同，因此满足题意的点的集合是{(x ，y )|xy >0，x ∈R ，y ∈R }．(3)满足题意的点的集合是{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈R }． (4)方程的解组成的集合是{x |x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0，m ∈Z ，x ∈R }． (学生)反思感悟 利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合的代表元素．例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内． (3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写． (5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素．如{直角三角形}，{自然数}等． 跟踪训练2 用描述法表示下列集合： (1)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解 (1)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，解得x ＝2，y ＝－3. 所以方程的解集为{(x ，y )|x ＝2，y ＝－3}．(2)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}． 三、集合表示法的综合应用例3 选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集： (1)大于1且小于70的正整数构成的集合； (2)方程x 2－22x ＋2＝0的实数解构成的集合；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集．解 (1)设大于1且小于70的正整数构成的集合为A ，则集合A 中有68个元素，是有限集，用描述法表示为A ＝{x ∈N |1<x <70}．(2)设方程x 2－22x ＋2＝0的实数解构成的集合为B ，因为Δ＝8－8＝0，所以该方程有2个相等的实数解，即集合B 中存在1个元素，则B 是有限集．用描述法表示为B ＝{x |x 2－22x ＋2＝0}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝4，y ＝－2，也可用列举法表示为{(4，－2)}，是有限集．反思感悟 (1)如果集合中的元素比较少或所含元素不易表述，宜用列举法． (2)如果集合中的元素比较多或有无限个元素，宜用描述法． 跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x －2>6的解构成的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．解 (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2){x |x ＝2n ＋1且x <1 000，n ∈N }． (3){x |x >8}． (4){1,2,3,4,5,6}．1．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}答案 B解析 方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B 正确． 2．下列四个集合中，是空集的是( ) A ．{0}B ．{x |x >8或x <5}C ．{x ∈R |x 2＋1＝0}D ．{x ∈N |3.5<x <4.5}答案 C解析 选项A ，B ，D 都含有元素，而选项C 中无元素，故选C. 3．集合{x ∈N ＋|x <5}的另一种表示法是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}答案 B解析 N ＋是正整数组成的集合．4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________________． 答案 {x |x ＝2n ，n ∈N ＋}解析 正整数中所有的偶数均能被2整除．5．用列举法表示集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，86－x ∈N ＝________.答案 {5,4,2，－2} 解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ，∴6－x ∈{1,2,4,8}，此时x ∈{5,4,2，－2}，即A ＝{5,4,2，－2}．1．知识清单：(1)用列举法和描述法表示集合．(2)两种表示法的综合应用．2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：点集与数集的区别．1．集合{2,4,6,8,10}用描述法表示出来应是()A．{x|1<x<10}B．{x|2≤x≤10}C．{x|x≤10，x∈N}D．{x|x＝2n，n∈N,1≤n≤5}答案 D解析集合{2,4,6,8,10}用描述法表示出来应是{x|x＝2n，n∈N,1≤n≤5}，故选D.2．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．－2∈A B．1∉A C．－3∈A D．0∈A答案 D解析∵0>－1，故0∈A，选D.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，用自然语言描述M应为()A．满足y＝x2的所有函数值y组成的集合B．满足y＝x2的所有自变量x的取值组成的集合C．函数y＝x2图象上的所有点组成的集合D．以上均不对答案 A解析由于集合M＝{y|y＝x2}的代表元素是y，而y为函数y＝x2的函数值，则M为满足y＝x2的所有函数值y组成的集合．4．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}答案 B解析{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，故选B.5．(多选)下列结论不正确的是()A ．集合{x ∈R |x 2＝1}中有两个元素B ．集合{0}中没有元素 C.13∈{x |x <23}D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合 答案 BCD解析 {x ∈R |x 2＝1}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x |x <23}＝{x |x <12}，13>12，13∉{x |x <23}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．6．已知集合A ＝{x | 3x －7<0，x ∈N ＋}，用列举法表示集合A ＝__________ 答案 {1,2}解析 因为A ＝{x |3x －7<0，x ∈N ＋}，所以A ＝{1,2}．7．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________________． 答案 {a |a ≤－2} 解析 ∵1∉{x |2x ＋a >0}， ∴2×1＋a ≤0，即a ≤－2. 8．下列六种表示方法： ①{x ＝1，y ＝4}；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4； ③{1,4}； ④(1,4)； ⑤{(1,4)}；⑥{x ，y |x ＝1或y ＝4}．其中，能表示“一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合”的是________(把所有正确答案的序号填在横线上)． 答案 ②⑤9．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)方程(x －1)(x －2)＝0的解集；(6)不等式2x －1>5的解集．解 (1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){a |a 是梯形}或{梯形}． (4){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (5){1,2}． (6){x |x >3}．10．设y ＝x 2－ax ＋b ，A ＝{x |y －x ＝0}，B ＝{x |y －ax ＝0}，若A ＝{－3,1}，试用列举法表示集合B .解 集合A 中的方程为x 2－ax ＋b －x ＝0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0. 因为A ＝{－3,1}，所以方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两根为－3,1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＋1＝a ＋1，－3×1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3.所以集合B 中的方程为x 2＋6x －3＝0，解得x ＝－3±23， 所以B ＝{－3－23，－3＋23}．11．已知P ＝{x |2<x ≤k ，x ∈N }，若集合P 中恰有4个元素，则( ) A ．6<k <7 B ．6≤k <7 C ．5<k <6 D ．5≤k <6答案 B解析 ∵P ＝{x |2<x ≤k ，x ∈N }，且集合P 中恰有4个元素， ∴P ＝{3,4,5,6}，∴6≤k <7.12．(多选)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素可以为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 ABCD解析 1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8，根据集合中元素的互异性可得集合M 中有4个元素．13．已知集合M ＝{x |x ＝3n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z }，且a ∈M ，b ∈N ，c ∈P ，若d ＝a －b ＋c ，则( ) A ．d ∈M B ．d ∈N C ．d ∈P D ．d ∈M 且d ∈N答案 B解析 由题意，设a ＝3k ，k ∈Z ，b ＝3y ＋1，y ∈Z ，c ＝3m －1，m ∈Z ，则d ＝3k －(3y ＋1)＋3m －1＝3(k －y ＋m )－2，令t ＝k －y ＋m ，则t ∈Z ，则d ＝3t －2＝3t －3＋1＝3(t －1)＋1，t ∈Z ，则d ∈N ，故选B.14．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A ＝ {－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一) 答案 不是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12解析 由于2的倒数12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．若一个元素a ∈A ，则1a ∈A .若集合中有三个元素，故必有一个元素a ＝1a ，即a ＝±1，故可取的集合有⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，3，13等．15．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数是( ) A ．18 B ．17 C ．16 D ．15答案 B解析 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M 中的元素是有序数对(a ，b )，所以集合M 中的元素共有17个，故选B.16．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈N ，62＋x ∈N .(1)试判断元素1和2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B .解 (1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，所以1∈B ,2∉B .(2)因为62＋x ∈N ，x ∈N ，所以2＋x 只能取2,3,6， 所以x 只能取0,1,4， 所以B ＝{0,1,4}．。
1.1.2集合及其表示法(2)集合的表示法Microsoft Word 97 - 2003 文档
1.1.2 集合的表示方法[教学目标]掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[教学重点]集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[教学难点]集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.一、复习引入1．回忆集合的概念2．集合中元素有那些性质？ 、 、3．集合的分类： 、 、二、集合的表示方法集合的表示方法常用列举法和描述法列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程0652=+-x x 的解的集合，可表示为{2,3}，也可表示为{3,2}描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程0652=+-x x 的解的集合可表示为}065{2=+-x x x ．集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示．三、概念应用【例1】 用列举法表示下列集合（1）},110{Z m Z m m ∈∈+ },110110){2(Z m Z m m ∈∈++ },,3|),){(3(N y N x y x y x ∈∈=+ },,3|){4(N y N x y x x ∈∈=+【例2】用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合（3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点（4）}75,64,53,42,31{【答案】（1）},15{N k k x x ∈+=；（2）},,0),{(R y R x xy y x ∈∈>；},,12),{(2R y R x x x y y x ∈∈+-=；（4）}5,,2{*≤∈+=n N n n n x x1、哪些性质可作为集合{}1,1-的特征性质？2、平行四边形的哪些特征性质，可用来描述所有平行四边形构成的集合？3、问题：以下集合①}1|),{(2+=x y y x ；②2{|1}x y x =+；③}1|{2+=x y y ；④2{1}y x =+ 是同一个集合吗？集合表示法的应用：【例3】（1）已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝（2）若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B=【例4】已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=，且A 中只有一个元素，求x 的值． 【答案】01==a a 或【例5】设集合},12{},,2{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==．若B b A a ∈∈,，试判断b a +与B 、A 的关系．【答案】A b a B b a ∉+∈+,【例6】设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.四、课堂练习:1、下列表示同一个集合的是（ ）A ．)}3,2{()},2,3{(==N MB ．}3,2{},2,3{==N MC ．)}3,2{(},2,3{==N MD ．φ==N M },0{【答案】B2、用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N x x ∈∈-【答案】（1）()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0；（2）{}3,1-；（3）∅；（4）{}7,1,1,3,4--1、知识：2、题型与方法：3、注意问题：五、课后作业：1、用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C【答案】（1）}6,4,2{；（2）},23{N n n x x ∈+=；（3）},,0,0),{(R y R x y x y x ∈∈><2、已知集合},1{},,2{2A x x y y B Z x x x A ∈-==∈≤=，用列举法分别表示集合B A 、【答案】}3,0,1{},2,1,0,1,2{-=--=B A3、设集合{},3A n n Z n =∈≤，集合{}21,B y y x x A ==-∈， 集合，试用列举法分别写出集合A 、B 、C.(){}2,1,C x y y x x A ==-∈。
集合的概念及其表示(二)
1.1.2集合的概念及其表示（二）教学目标：了解有限集、元限集概念，掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，渗透抽象、概括思想。
教学重点：集合的表示方法教学难点：正确表示一些简单集合课 型：自学辅导法教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境复习提问集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何表示？二、活动尝试阅读教材第二部分，问题如下：（1）集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？（2）有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。
三、师生探究1．请用列举法表示下列集合（投影a ）：（1）小于5的正奇数.（2）能被3整除且大于4小于15的自然数.（3）方程x 2-9=0的解的集合.2．请用描述法表示下列集合：（4）到定点距离等于定长的点.（5）由适合x 2-x-2>0的所有解组成集合.（6）方程组⎩⎨⎧=+=+2732223y x y x 的解集 3．用描述法分别表示(投影2):（1）抛物线x 2=y 上的点.（2）抛物线x 2=y 上点的横坐标.（3）抛物线x 2=y 上点的纵坐标.四、数学理论（一）通过预习提纲师生共同归纳集合表示方法，通用的表示方法有：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
例如，“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}由“young 中的字母” 构成的集合，写成{y,o,u,n,g}由“book 中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合。
必修1,1.1.2集合表示法02
沈师大附属学校导学案课题：1.1.2《集合的表示方法》共1课时一. 学习目的：学习集合的两种表示法及其所使用的集合记法。
明白列举法或特征性质描述法表示的集合的方法，尤其要注意的是特征性质描述法中对特征性质的理解。
感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义.二. 学习指导：1．重点；集合的表示方法.2．难点：集合的特征性质的概念及运用特征性质描述法正确的表示一些简单的集合.3. 注意事项：（1）注意体会集合的特征性质，了解集合的特征性质，从而更准确地认识集合.（2）注意区分两种表示集合的方法.（3）一般地，无限集不宜采用列举法，但，在不易发生误解的情况下，可以列出几个元素作为代表元素，其它元素用省略号表示. 例：自然数集N可表示为{0，1，2，3， ，n， }.三. 学习策略：阅读教材归纳用列举法表示集合，做例题体会列举法。
并把{}a与a加以区别。
看书画出特征性质的概念，特征性质描述法所使用的集合记法。
在本节末“思考与讨论”中，动脑思考两个小题的答案并总结。
四．预习内容：（1）列举法：。
例1：用列举法表示高一（1）班同学的全体这个集合。
解：例2：用列举法表示方程21x=的解的全体这个集合。
解：（2）特征性质描述法：一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质()p x，而不属于集合A的元素都不具有性质()p x，则性质()p x叫做集合A的一个特征性质。
于是，集合A可以用它的特征性质()p x描述为：, 它表示集合A是由集合I中具有特征性质()p x的所有元素构成的。
这种表示集合的方法称为，简称描述法。
例3：用特征性质描述法表示大于3且小于8的整数全体这个集合。
解：例4：用特征性质描述法表示大于3且小于8的实数全体这个集合。
解：例5：用描述法表示方程21x=的解的全体这个集合。
解：例6：用特征性质描述法表示大于3的偶数全体这个集合。
解：例7：用特征性质描述法表示在平面α内，线段AB的垂直平分线这个集合。
1.1.2 集合间的基本关系 学案(人教A版必修1) (2)
1．1.2 集合间的基本关系——题型探究类型一 子集、真子集的概念问题【例1】 已知集合M ＝{x|x ＜2且x ∈N }，N ＝{x|－2＜x ＜2且x ∈Z }．(1)试判断集合M 、N 间的关系．(2)写出集合M 的子集、集合N 的真子集．[思路探索] 把用描述法表示的集合用列举法表示出来，以便于观察集合的关系和写子集与真子集．解 M ＝{x|x ＜2且x ∈N }＝{0,1}，N ＝{x|－2＜x ＜2，且x ∈Z }＝{－1,0,1}．(1)M N.(2)M 的子集为： ，{0}，{1}，{0,1}，N 的真子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．[规律方法] 1.写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集： 和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A 含n 个元素，那么它子集个数为2n ；真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.【活学活用1】 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }．B ＝{x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A C B 的集合C 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 易知A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，又A C B.∴集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案 D类型二 集合的相等问题【例2】 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，则a 2 013＋b 2 014的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1[思路探索] 集合相等 集合的元素相同 a ≠0 b ＝0，a 2＝1 a 2013＋b 2014＝－1.解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}， 又a ≠0，∴b a＝0，∴b ＝0. ∴a 2＝1，∴a ＝±1.又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 013＋b 2 014＝(－1)2 013＋02 014＝－1.答案 C[规律方法] 1.本题以“0”为着眼点，b a中a 不为0为突破口． 2．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知矛盾的情形．例如本题中a ＝1不满足互异性，否则会错选D.【活学活用2】 设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ＝B ，求实数a 的值．解 由A ＝B 及两集合元素特征，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±1，a ＝1或a ＝2. 因此a ＝1，代入检验满足互异性．∴a ＝1.类型三 由集合间的关系求参数范围问题【例3】 已知集合A ＝{x|－3≤x ≤4}，B ＝{x|2m －1＜x ＜m ＋1}，且B A.求实数m 的取值范围．[思路探索] 借助数轴分析，注意B 是否为空集．解 ∵B A ，(1)当B ＝ 时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠ 时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得m ≥－1.[规律方法] 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．2．此类问题要注意对空集的讨论．【活学活用3】 已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围．解 (1)若A B ，由图可知a ＞2.(2)若B A ，由图可知1≤a ≤2.方法技巧 分类讨论思想在集合关系中的应用所谓分类讨论，就是当问题所涉及的对象不能统一解决时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案．在集合包含关系或涉及集合的元素含有参数时，常借助分类讨论思想转化求解．【示例】 (2013·济南高一检测)已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x|mx －3＝0}，且B A ，求实数m 的集合．[思路分析]解 由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3.∴集合A ＝{1,3}．(1)当B ＝ 时，此时m ＝0，满足B A.(2)当B ≠ 时，则m ≠0，B ＝{x|mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m . ∵B A ，∴3m ＝1或3m＝3，解之得m ＝3或m ＝1. 综上可知，所求实数m 的集合为{0,1,3}．[题后反思] 1.解答诸如含有集合包含关系的题目时，一定要警惕“ ”这一陷阱，考虑不周而漏掉对空集的讨论，往往造成不应有的失分，初学者要切记．2．在方程或不等式中，当一次项或二次项系数含参数时，在参数取值范围不确定的情况 下要注意分类讨论.作业1．集合{0}与∅的关系是( )．A ．{0}B ．{0}∈C ．{0}＝D ．{0}解析 空集是任何非空集合的真子集，故A 正确．集合与集合之间无属于关系，故B 错；空集不含任何元素，{0}含有一个元素0，故C 、D 均错．答案 A2．已知集合A ＝{x|－1＜x ＜4}，B ＝{x|x ＜a}，若A B ，则实数a 满足( )．A ．a ＜4B ．a ≤4C ．a ＞4D ．a ≥4解析 由A B ，结合数轴，得a ≥4.答案 D3．已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 解析 ∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1.答案 －14．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B A ，则实数m ＝________. 解析 ∵B ＝{3，m 2}，A ＝{－1,3,2m －1}，且B A ，∴m 2∈{－1,3,2m －1}，又m 2≠3，∴m 2＝2m －1，解得m ＝1，经检验合题意．答案 15．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集．解 ∵A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．课堂小结1．子集和真子集(1)A B 包含两种情况：A ＝B 和A B.当A 是B 的子集时，不要漏掉A ＝B 的情况．(2)在真子集的定义中，A B 首先要满足A B ，其次至少有一个x ∈B ，但x A.(3)集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其中包含关系有：包含于( )、包含( )，真包含于( )、真包含( )等，用这些符号时要注意方向．2．空集(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若利用“A B”或“A B”解题，要讨论A＝ 和A≠ 两种情况．3．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.。
§1.2集合之间的关系(2)
说明：本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。
为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有最好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教：28275061@【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中导学案 §1.2集合之间的关系(2)学习目标：巩固元素与集合，集合与集合之间的关系.理解真子集的概念，会找给定集合的子集与真子集学习重点、难点：两个集合之间的关系及其应用； 学习过程：一、复习引入： 1．用恰当的符号填空（1）{}a ____{,,}a b c （2）a ____{,,}a b c （3）{,,}b c a ____{,,}a b c （4）∅____{,,}a b c（5）2 (){}1,2- （6）1 {}Z b a b a x x ∈+=,,2| 2．若集合{1,}A a =，2{1,}B a =，且A B =，则实数___a =. 3．满足条件{}{}5,4,3,2,12,1⊆⊆M 的集合M 的个数是 个. 二、新知探究：1．由上面的习题可以看出{}{}c b a a ,,⊆，不仅如此，我们也能看出，后面的集合中至少有一个元素不属于前面的集合，这又是一种集合之间的关系.我们把{}a 叫做{}c b a ,,的真子集；2.对于两个集合A ，B ，结合上面的例子，说一说真子集的概念；3．定义： ； 4．规定：空集是任意集合的子集：思考：空集是任意集合的真子集吗？为什么？ 三、例题选讲例1．试写出集合{}1,0及{}c b a ,,的真子集，并概括真子集个数与集合元素个数之间的关系.例2．若集合{}01|2=++=x ax x A 有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围.变式：若集合{}01|2=++=x ax x A 有且仅有四个子集，求实数a 的取值范围.例3．设集合{}2|60A x xx =+-=，{}B |10x ax =+=，若AB ，求实数a 的值.例4．已知集合{|22}A x x =-≤≤（1）若集合{|}B x x a =≤满足A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若非空集合{|251}C x a x a =-≤≤+满足A C ⊆，求实数a 的取值范围； （3）若集合{|251}C x a x a =-≤≤+满足C A ⊆，求实数a 的取值范围.练习： 1．若集合{}|2A x x =≥，{}|a B x x =≥（1）若A B =，则实数a 的取值范围是 ； （2）若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ；（3）若AB ，则实数a 的取值范围是 . 2．若集合{|12,}A x x x R =<∈≤，{|1,}B x x a x R =∈≤≤．（1）当AB 时，则实数a 的取值范围是 ； （2）当B A ⊆时，则实数a 的取值范围是 .例5．已知集合{}2,1=S ，集合{}023|2=+-=x ax x T ，且S T =，求实数a 的值. 变式：已知集合{}2,1=S ，集合{}023|2=+-=x ax x T ，且S T ⊆，求实数a 的取值范围.例6．设集合{}0|2=--=m x x x M ，且{}3,2⊆M ，求实数m 的取值范围.四、学习小结：1. 已知集合M ＝{0，1，2}，则M 的真子集有 个，它们分别是_____________________.2. 满足Ma ⊆}{的集合},,,{d cb a M 共有 个.3. 设A ＝{正方形}，B ＝{平行四边形}，C ＝{四边形}，D ＝{矩形}，E ＝{多边形}，则A 、B 、C 、D 、E 之间的关系是 . 4. 用适当的符号填空： （1） ___{0}∅（2） 2 {(1,2)}（3）{3,5}____2{|8150}x x x -+=（4）{}31|,_______|0x x x x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R（5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z n n x x ,2| ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z n n x x ,21|5. 若集合A={1，3，x }，B={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 .6. 设{}===∈B x y y x A R y x ,),(,,⎭⎬⎫=⎩⎨⎧1),(x yy x ，则B A ,间的关系为 . 7. 已知集合{}{}1|,1|2====ax x M x x P ，若P M ⊆,则实数a 的值为 .8. 已知集合{}=≤≤=B x x A ,21}{1,1≥≤≤a a x x（1）若AB ，求实数a 的取值范围；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.9. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,04|2，(){}R x a x a x x B ∈=-+++=,0112|22，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．10. 已知{}95,4,22+-=x x A ，{}a ax x B ++=2,3，(){}1,312-++=x a x C（1）求使,2B ∈BA 的x a ,的值；（2）求使的值的x a C B ,=.单元练习 集合之间的关系1. 给出以下四个对象，其中能构成集合的有 个.①教2011届高一的年轻教师； ②你所在班中身高超过1.70米的同学； ③2010年广州亚运会的比赛项目； ④1,3,5.2. 集合{}N y N x x y y ∈∈+-=,,6|2的非空真子集有 个.3. 集合(){}N y N x y x y x ∈∈=+,,1632|,用列举法表示为 .4. 如果集合A 满足{}{}2,1,0,12,0-⊆⊆A ，则这样的集合A 个数为 .5. 集合{x|x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 的取值范围是 ．6. 设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则N M ,的关系是 .7. 已知{}21|>-<=x x x A 或，{}04|<+=a x x B ，当A B ⊆时，则实数a 的取值范围是 ．8. 设{}28150A x x x =-+=，{10}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数=a .9. 已知集合S 满足四个条件:①S 中有三个元素；②若S m ∈，则S m∈-11，③S ∉1，④S ∈2，那么集合=S .10. 已知{}{}2,,1,21,1,1q q B p p A =++=，且B A =，求实数q p ,的值.11. 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．12. 已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11aA a+∈-. （1）若3a =-，求出A 中其它所有元素；（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素？ （3）根据（1）（2），你能得出什么结论.学习心得：。
2021北师大版(2019)高中数学必修一教案：：1.1.2 集合的基本关系含解析
第一章预备知识第1节集合1.2集合的基本关系集合的基本关系是继上一节集合的基本概念之后的又一个基本知识，集合之间的关系是包含与被包含的包含关系，元素与集合是属于与不属于的从属关系，在言语表达和符号书写时，要求要准确、简洁，它是高中数学的基本符号语言，为下一节集合的运算奠定基础，同时对于学生养成简洁、准确的数学语言，良好的思维习惯和规范的书写习惯等都非常重要。
(1)知识目标：掌握子集、真子集的含义及其符号表示，准确使用“包含”“包含于”等语言表述和“、 、 、=”等符号表示；掌握集合相等的含义；能使用Venn图表示集合间的包含关系，熟练写出一个集合的子集和真子集。
(2)核心素养目标：灵活运用集合的符号语言表示有关数学对象，读懂、会用抽象的数学符号（数学语言）进行数学表达，提升学生的数学抽象能力和概括能力，同时培养学生良好的思维习惯和规范的书写习惯。
（1）集合与集合的关系，子集、真子集的概念；（2）熟练使用“、 、 、=”等符号表示集合间的关系，以及用Venn图表示集合间的关系；掌握空集是任何集合的子集，熟练写出一个集合的所有子集，了解一个集合的子集个数的计算；（3）数学语言和符号表示的规范性和准确性。
多媒体课件一、知识的引入思考讨论：问题1：某学校高一（1）班全体35位同学组成集合，其中女同学组成集合：若，则与集合是什么关系？问题2：用表示所有矩形组成的集合，表示所有平行四边形组成的集合:若，则与集合是什么关系？问题3：所有有理数都是实数，则有：若，则试问以上问题所涉及到的两个集合之间有什么关系？二、新知识1、子集的概念一般地，对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都属于集合，即若，则，那么称集合是集合的子集。
符号表示： (或)读作：集合包含于集合（或集合包含集合）如上面问题1“女生集合包含于班级集合”，记作。
注意：①概念中的关键词“任何一个元素”，相当于“所有元素”；②元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的从属关系，集合与集合的关系是“包含”或“不包含”的包含关系；③符号“”的开口方向的集合要“大”一些。
新人教版必修一1.1.2集合的基本关系课件
复习回顾
昨天所学知识，请用数学语言描
述集合与集合之间的关系？
2、真子集的概念
若集合 A B ，存在元素 x B且x A， 则称集合A是集合B的真子集
记作：AB（或BA） Nhomakorabea3、空集的概念
不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：
规定：空集是任何集合的子集，是任何 非空集合的真子集。
• 判断正误
• • • • 1.空集是任何一个集合的真子集。 2.任一集合必有两个或两个以上的子集。 3无限集的真子集是有限集。 4若B A，那么凡不属于集合A的元素 必不属于集合B。
课前练习
1.已知A=｛x|x=2k-1,k∈Z} B= ｛x|x=2k+1,k∈N} , 则集合A与B的关系 是
例题研究
例1. 设A={x,x²,xy}, B={1,x,y},且A=B， 求实数x,y的值． 例2.已知集合P=｛x|x² +x-6=0} , Q=｛x|ax+1=0}，若Q P，求a取 值的集合。
2x 1 例3. 已知集合A=｛x| >1} 3
的取值范围.
B {x | x 2a 0} ，若A B，求实数α
2.集合P= ｛x|y= x 1 } ,集合Q= ｛y|y= x 1 }则P与Q的关系是——— —
思考
1，下列集合 ,{a},{a,b} 分别 有几个子集。从中你能猜测出什 么结论？{a,b,c} 由几个子集？ 2. 若有{a,b} M {a,b,c,d}, 则满足条件的M由几个？ 3.设A={0，1} ，B={x|x A} 则A与 B应具有什么关系？
§1_1_2子集、全集、补集
§1.1.2子集、全集、补集教学过程：（一）问题情景【问题1】：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。
而是继续引导学生；欲知谁准确，让我们一起来观察.研探.【问题2】：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？如何用语言来表达这种关系？ ⑴}01|{2=+=x x A ,}0|{2<=x x B ⑵}2,1{=A ,}023|{2=+-=x x x B⑶{2,4,6},{6,4,2}E F ==（二）形成概念1、 两个集合相等定义---------如果两个集合所有的元素完全相同(即A 中元素都是B 的元素, B 中元素也都是A 的元素),则称这两个集合相等.记作A=B观察下面几个例子：⑴{}{}1,1,1,0,1,2A B =-=-⑵}|{},|{是三角形是正三角形x x B x x A == ⑶}3,2,1{=A ，}3,1,2{=B ⑷}2|{},3|{≥=>=x x B x x A【问题3】你能发现集合A 中的元素与集合B 中的元素有什么关系了吗？如何用语言来表达这种关系？2.子集⑴ 定义-----如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集, 记作：()A B B A ⊆⊇或读作：集合A 包含于集合B(或集合B 包含集合A).【问题4】：你能举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn 图表示吗？【问题5】：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比，思考得出结论：⑵ 性质【问题6】一个集合能够是它自己的子集吗?【问题7】空集是任何集合的子集吗?空集是空集的子集吗?【问题8】对于集合 A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A 与C 的关系如何呢?⑵性质：①若,,A B B A A B ⊆⊆=且则.②任何一个集合是它自身的子集即A ⊆A③空集是任何集合的子集.即对于任何一个集合A ，有Φ⊆A. ④对于集合 A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C 。
集合(2)
1§1.1 集合与几何的表示方法（2）学习目标：1、会用列举法表示简单的结合。
2、明确描述法表示集合的 预习内容：模块一：预习与体会（认真阅读教材5-7页，回答下列问题）1.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。
2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，在画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有 的共同特征。
2.阅读教材表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x 2=x 的所有实数根组成的集合;(3)由1~20以内的所有质数组成的集合模块二：自学与探究考点一：集合的表示方法——列举法、描述法、图示法。
【问题1】列举法的基本格式是 描述法的基本格式是 【问题2】用列举法表示下列集合: (1)、小于5的正奇数组成的集合;(2)、能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合; (3)、方程x 2-9=0的解组成的集合; (4)、{15以内的质数}; (5)、{x|x-36∈Z ,x ∈Z }.变式训练11.用列举法表示下列集合:(1)x 2-4的一次因式组成的集合; (2){y|y=-x 2-2x+3,x ∈R ,y ∈N };(3)方程x 2+6x+9=0的解集; (4){20以内的质数};(5){(x,y)|x 2+y 2=1,x ∈Z ,y ∈Z }; (6){大于0小于3的整数};(7){x ∈R |x 2+5x-14=0}; (8){(x,y)|x ∈N 且1≤x<4,y -2x=0};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈N ,y ∈N }.【问题3】用描述法分别表示下列集合: (1) 二次函数y=x 2图象上的点组成的集合;(2) 数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3) 不等式x-7<3的解集.变式训练2用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集; (2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解 (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合; (6)方程组⎩⎨⎧==+1y -x 1,y x 的解的集合;(7){1,3,5,7,…}; (8)x 轴上所有点的集合;(9)非负偶数; (10)能被3整除的整数.模块三：合作与交流 用适当的方法表示下列集合 （1） 大于-3且小于10的所有正偶数构成的集合（2） 大于0.9且不大于6的自然数的全体构成的集合 （3） 15的正约数的全体构成的集合 （4） 15的质因数犬的提构成的集合（5） 绝对值等于2的实数的全体构成的集合 （6） 9的平方根的全体构成的集合（7） 能够整除111的偶数的全体构成的集合2模块四：课堂检测教科书P5-P6 练习1、2模块五：课后巩固1.下列集合表示法正确的是（ ）A.｛１，２，２，３｝B.｛全体实数｝C.｛有理数｝D.不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝ 2.用列举法表示下列集合①{*|x N x ∈是15的约数}._______; ②(){}{}{}1212,|,,,;x y x y ∈∈________________________;③},)1(|{N n x x n∈-=________;④｛数字和为5的两位数｝________; ⑤{}3216(,)|,,x y x y x N y N +=∈∈___________________________; 3.用列举法和描述法分别表示方程ｘ２－5ｘ＋６＝０的解集。
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§1.1.2 集合(二)●教学时间第二课时●课 题§1.1.2 集合(二)●教学目标(一)教学知识点1.了解有限集、无限集概念．2.掌握表示集合方法．3.了解空集的概念及其特殊性．(二)能力训练要求通过本节教学，培养学生逻辑思维能力．(三)德育渗透目标渗透抽象、概括的思想．●教学重点集合的表示方法，空集．●教学难点正确表示一些简单集合．●教学方法自学辅导法在学生自学基础上，进行概括、总结．●教具准备投影片三张第一张：(记作§1．1．2 A)请用列举法表示下列集合： (1)小于5的正奇数(2)能被3整除且大于4小于15的自然数(3)方程 x 2－9＝0的解的集合(4)｛15以内的质数｝(5)｛x ｜x-36∈Z ，x ∈Z ｝ 第二张：(记作§1．1．2 B)用描述法分别表示： (1)抛物线x 2＝y 上的点(2)抛物线x 2＝y 上点的横坐标(3)抛物线x 2＝y 上点的纵坐标(4)数轴上离开原点的距离大于6的点的集合(5)平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合第三张：(记作§1．1．2 C)补充练习1.方程组⎩⎨⎧=-=+52y x y x 的解集用列举法表示为____________；用描述法表示为_______________．2.｛(x ，y )｜x ＋y ＝6，x ，y ∈N ｝用列举法表示为____________．●教学过程Ⅰ．复习回顾集合元素的特征有哪些?怎样理解?试举例说明．集合与元素关系是什么?如何表示?Ⅱ．讲授新课1.集合的表示方法通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：(1)列举法：把集合中元素一一列举出来的方法．(2)描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．［师］由方程x 2－1＝0的所有解组成的集合可以表示为｛－1，1｝，不等式x －3＞2的解集可以表示为｛x ｜x －3＞2｝．下面请同学们思考：投影片：(§1．1．2 A)请用列举法表示下列集合 (1)小于5的正奇数(2)能被3整除且大于4小于15的自然数(3)方程x 2－9＝0的解的集合(4)｛15以内的质数｝(5)｛x ｜x-36∈Z ，x ∈Z ｝ ［生］(1)满足题条件小于5的正奇数有1，3．故用列举法表示为｛1，3｝(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6，9，12．故用列举法表示为｛6，9，12｝(3)方程x 2－9＝0的解为－3，3．故用列举法表示为｛－3，3｝(4)15以内的质数 2，3，5，7，11，13．故该集合用列举法表示为｛2，3，5，7，11，13｝(5)满足x-36∈Z 的x 有：3－x ＝±1，±2，±3，±6，解之x ＝2，4，1，5，0，6， －3，9．故用列举法表示为｛2，4，1，5，0，6，－3，9｝［师］通过我们对上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么?［生］依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在．［师］用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“，”隔开并放在大括号内．除了刚才练习题目中涉及到的问题外，还有如下问题，注意比较各问题的形式，试用描述法表示下列集合．(6)到定点距离等于定长的点让学生充分考虑，相互研讨后师给出结果｛(x ，3)｜(x －a )2＋(y －b )2＝r 2｝(7)方程组⎩⎨⎧=+=+2732223y x y x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=+2732223|),(y x y x y x (8)由适合x 2－x －2＞0的所有解组成集合｛x ｜x 2－x －2＞0｝下面给出问题，经学生考虑后回答：投影片：(§1．1．2 B)用描述法分别表示：(1)抛物线x2＝y上的点．(2)抛物线x2＝y上点的横坐标．(3)抛物线x2＝y上点的纵坐标．(4)数轴上离开原点的距离大于6的点的集合．(5)平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合．［生］(1)集合中的元素是点．它是坐标平面内的点，其坐标是一个有序实数对，可表示为｛(x，y)｜x2＝y｝(2)集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐标，用描述法表示即为｛x｜x2＝y｝(3)集合中的元素是实数．该实数是符合条件的平面上点的纵坐标．用描述法表示即为｛y｜x2＝y｝．(4)该集合中元素是点．而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，所以可以表示成｛x∈R｜｜x｜＞6｝．(5)平面直角坐标系中点是该集合元素．该点可以用一对有序实数对表示，用描述法即可表示为｛(x，y)｜xy＞0｝．［师］同学们通过对上述问题的解答，解决该类问题的关键是什么?［生］(经讨论后得出结论)解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素．［师］集合中元素的公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但必须抓住其实质．［师］再看两例1.用列举法表示1到100连续自然数的平方；2.｛x｝，｛x，y｝，｛(x，y)｝的含义是否相同．［生］2．｛x｝表示单元素集合；｛x，y｝表示两个元素集合；｛(x，y)｝表示含一点集合.而对于1题经教师指导给出结论，该集合列举法表示为｛1，4，9，25，…，1002｝.2.集合的分类师指出：(1)有限集——含有有限个元素的集合．(2)无限集——含有无限个元素的集合．那么投影(§1．1．2 A)中的集合和(§1．1．2 B)中的集合是有限集还是无限集，经重新投影后，学生作答．［生］投影片(§1．1．2 A)中的五个集合都是有限集．投影片(§1．1．2 B)中的五个集合都是无限集．3.空集［师］ 表示空集，既不含任何元素的集合．例如：｛x｜x2＋2＝0｝，｛x｜x2＋1＜0｝请学生相互举例、验证，师补充说明：［师］集合的表示除了列举法和描述法外，还有文恩图(文氏图)叙述如下：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合．如图：表示任意一个集合A表示{3，9，27}表示{4，6，10}边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ⅲ．课堂练习(一)课本P6练习1、21.解：(1)满足题意的集合可用描述法表示｛x∈N｜x＞10｝；它是一个无限集．(2)满足题意的集合可用列举法表示如下：｛2，3，6｝；它是一个有限集．(3)满足题意的集合可用列举法表示如下：｛－2，2｝；它是一个有限集．(4)满足题意的集合可用列举法表示如下：｛2，3，5，7｝；它是一个有限集．2.解：(1)该集合可用描述法表示如下：｛x｜x是4与6的公倍数｝；它是一个无限集．(2)该集合可用描述法表示如下：｛x｜x＝2n，n∈N*｝；它是一个无限集．(3)该集合可用描述法表示如下：｛x｜x2－2＝0｝；它是一个有限集．(4)不等式4x－6＜5的解集可用描述法表示如下：｛x｜x＜411｝；它是一个无限集．问题的解决主要靠判断集合中元素的多少，进而确定表示方法．(二)补充练习投影片：(§1．1．2 C)补充练习1.方程组⎩⎨⎧=-=+52y x y x 的解集用列举法表示为____________；用描述法表示为_______________．2.｛(x ，y )｜x ＋y ＝6，x ，y ∈N ｝用列举法表示为_______________．［师］问题解决的关键主要是判断进而确定集合中元素是什么?上述两例的元素．例1为方程组的解，例2为方程的解．1.解：因⎩⎨⎧=-=+52y x y x 的解集为方程组的解． 解该方程组x ＝27，y ＝－23 则用列举法表示为｛(23,27-)｝ 用描述法表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-=+52|),(y x y x y x 2.解：因x ＋y ＝6，x ，y ∈N 的解有：6 15 24 33 42 51 60⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==y x y x y x y x y x y x y x 故列举法表示该集合，就是｛(0，6)，(1，5)，(2，5)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)｝Ⅳ.课时小结1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以．2.注意∅在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究．Ⅴ.课后作业(一)课本P 7习题1．1 2，3．2.解：(1)因组成中国国旗图案的颜色为红色，黄色．故可用列举法表示该集合｛红，黄｝，有限集．(2)因世界上最高的山峰为珠穆朗玛峰．故该集合用列举法表示｛珠穆朗玛峰｝，它是有限集．(3)由题构成的自然数为一位数、二位数、三位数．即为｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213，231，312，321｝，它是有限集．(4)满足题意的平面内点有无数个．用描述法表示｛P ｜P 0＝ｌ｝(0是定点，ｌ是定长)，它是无限集．3.解：(1)因题是用列举法表示．其描述法就是｛x ｜(x －1)(x －5)＝0｝(2)因｛x ｜x 2＋x －1＝0｝是用描述法表示．故其列举法为｛251,251+---｝． (3)因｛2，4，6，8｝是用列举法表示．则其描述法就是｛x ｜x 是大于1且小于9的偶数｝．(4)因｛x∈N｜3＜x＜7｝是用描述法表示．则其列举法为｛4，5，6｝.(二)预习内容：1.预习课本P7～P8子集，子集的概念及空集的性质.2.预习提纲：(1)两个集合A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？(2)一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么?(3)空集有哪些性质?●板书设计。