112集合的表示方法
第一讲 集合的概念和运算
。
解析：对于新定义题，关键是读懂题目， 弄清概念的含义，准确运用。 ∵n=4, ∴ Sn {1, 2,3, 4}, ，则X可取 ,{1}, {2}, {3},
{4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {2,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}.不是偶子集有{1}，
A B 0,1,2,4,16
则a的值为（ A. 0 答案：D. B. 1
） C. 2 D. 4
a4 解析：抓住并集中的元素，由此知 a 2 16 2
a 4 或 ，∴选D。 a 16
变式题：含有三个实数的集合可表示为{a,b,lg(ab)},也可 表示为{|a|,b,0},则 a 2015 b2015 的值等于 。
7.特别提醒的几点：
①．注意区分几种常见集合
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然 后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注 意弄清其元素表示的意义是什么.
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)＞0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
集合的意义 方程f(x)＝0的解源自 不等式f(x)＞0的解集 函数y＝f(x)的定义域 函数y＝f(x)的值域 函数y＝f(x)图象上的点集
⑶
无序性
。
5.集合中元素和集合、集合与集合的关系： ⑴元素和集合的关系：若元素a 是集合A的元素， A”。 记作：a A ，否则“a
⑵集合与集合的关系：包含和不包含关系。包含关系又 分为真包含和相等关系。符号为“ ”，“＝”， ”，“ “ ”，“ ” .
特别提醒：规定空集是 空集是
集合(一、二)
1－2．集合【知识要点归纳】一、基础概念1.集合的定义一般地，指定的某些对象的全体称为集合，记作：A，B，C，D，…2.元素的定义集合中的每个对象叫做这个集合的元素，记作：a，b，c，d，…3.集合的三个特性: 、、4.集合的分类：根据集合中所含元素的个数来分: 、、5.常用数集：非负整数集（即自然数集）：有理数集正整数集实数集整数集二．集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。
2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
格式：{x∈A| P（x）}3、图示法：（1）数轴法：{x∈R|3<x<10}、{x∈R|3≤x<10}、{x∈R|3≤x≤10}（2）Venn图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
注：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.三．两种关系1.元素与集合的关系属于：a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作不属于：a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作2.集合与集合的关系说明： 1．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．2．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．四．集合的三种运算常用运算性质：1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B B ∩A ，A ∪A ＝ ，A ∪∅＝ ，A ∪B B ∪A2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝ ，()U C C A = ． 3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔ ；A ∩B ＝A ⇔【经典例题】例1：设a,b 是非零实数，那么b b a a +可能取的值组成集合的元素是例2：用描述法分别表示（1）抛物线y=x 2上的点.（2）抛物线y=x 2上点的横坐标.（3）抛物线y=x 2上点的纵坐标.例3：已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.则A 中所有元素之和是（ ）（A ）120 （B ）112 （C ）92 （D ）84例4：已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集.例5：有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅ ，且c a r d ()2A =，card()3B =.若集合X 满足X M ⊆，且A X ⊄，B X ⊄，则集合X 的个数是（ ）（A ）672（B ）640（C ）384（D ）352例6.设集合A={a |a =3n ＋2,n ∈Z}，集合B={b|b=3k －1,k ∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．例7：已知集合A ={x |-2£x £5}，集合}12|{-≤≤=p x p x B ，若A B ⊆，求实数p 的取值范围。
高中数学第一章集合11集合与集合的表示方法112集合的表示方法课堂新人教B版1!
1.1.2 集合的表示方法课堂导学三点剖析一、用列举法表示集合【例1】请用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数集;(2)自然数中不大于10的质数集;(3)A={x∈Z||x|≤2};(4)方程(x-1)2(x-2)=0的解构成的集合.思路分析:分别把各集合中的元素一一找出来写在括号内即可.解:(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10.故该集合可表示为{0,2,4,6,8,10}.(2)自然数中不大于10的质数有2,3,5,7.故该集合可表示为{2,3,5,7}.(3)绝对值小于或等于2的整数有-1,0,1,-2,2.故该集合可表示为{-2,-1,0,1,2}.(4)方程(x-1)2(x-2)=0的解为x=1或x=2.故该集合可表示为{1,2}.二、用描述法准确地表示集合【例2】用特征性质描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)坐标平面内坐标轴上的点集.思路分析:用特征性质描述法表示集合,需找准x所属的集合I和集合的一个特征性质p(x). 解:(1){x|x=2n,n∈N*};(2){x|x=3n+2,n∈N};(3){(x,y)|xy=0}.温馨提示用特征性质描述法表示集合时应注意:①由上下文易知代表元素x的范围时,x∈R可简记为x;②“竖线”不可省略;③p(x)可以是文字语言,也可以是数学符号语言.三、选择合适的表示方式来表示集合【例3】用特征性质描述法表示下列集合:(1)所有被5整除的数;(2)右图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合.思路分析:(1)中被5整除的数可表示为5n,n∈Z;(2)中的元素是坐标(x,y).解:(1){x|x=5n,n∈Z};(2){(x,y)|-1≤x≤23,21-≤y≤1,且xy≥0}.温馨提示(1)要写清楚集合中元素的代号,即代表元素,并写准确元素的特征性质.(2)要清楚集合中的元素是有序实数对(x,y),而不是数集,不要漏掉xy≥0. 各个击破类题演练1用列举法表示下列集合:(1){x|x+y=7,x∈N *,y∈N *};(2){(x,y)|x+y=7,x∈N *,y∈N *};(3){y|y=x 2-1,-2<x<3,x∈Z }.解析:(1){1,2,3,4,5,6};(2){(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)};(3){-1,0,3}.变式提升设集合B={x∈N |x +26∈N }.(1)试判断元素1,元素2与集合B 的关系;(2)用列举法表示集合B.解析:(1)当x=1时,x +26=2∈N ,∴1∈B;当x=2时,x +26=23∉N ,∴2∉B. (2)∵x +26∈N ,x∈N ,∴2+x 只能取1,2,3,6.∴x 只能取0,1,4,则B={0,1,4}.类题演练2用自然语言表示下列集合:(1){0,2,4,6,…};(2){x|x≥4};(3){x|x 是正方形}.解析:(1)所有非负偶数组成的集合.(2)所有大于或等于4的实数组成的集合.(3)所有的正方形组成的集合.变式提升2用描述法表示下列集合:(1){-1,1};(2)大于3的全体偶数构成的集合;(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合;(4)所有长方形构成的集合.解析:(1){x|x 2=1},或{x|(x-1)(x+1)=0},或{x||x|=1}.(2){x|x=2k,k>1,k∈N }.(3)所求集合表示为C={(x,y)|x<0且y<0}.(4){x|x 是长方形}.类题演练3(1)已知集合M={x∈N |x +16∈Z },求M;(2)已知集合C={x +16∈Z |x∈N },求C.解析:(1)∵x∈N ,且x +16∈Z ,∴1+x=1,2,3,6.∴x=0,1,2,5.∴M={0,1,2,5}.(2)结合(1)知x +16=6,3,2,1.∴C={6,3,2,1}.变式提升3方程2x+1=0的解集的元素是什么?用特征性质描述法表示这个集合. 解析:方程的解集的元素为21-,用描述法表示为{x|2x+1=0}.。
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高中数学课本全套pdf篇一:人教版必修1高一数学全套打包,150页)人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题:集合的含义与表示(1)课型:新授课教学目标:(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点:掌握集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生,在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而1不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。
3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程x2?1?0的解;(5) 某校2007级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。
2对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
人教版初高中数学章节目录
人教版初中数学章节目录七年级上册（61）第1章有理数（19）第2章整式的加减（8）第3章一元一次方程（18）第4章图形认识初步（16）_______________________________________________________________________________ 七年级下册（62）第5章相交线与平行线（14）第6章平面直角坐标系（7）第7章三角形（8）第8章二元一次方程组（12）第9章不等式与不等式组（12）第10章数据的收集整理与描述（9）_______________________________________________________________________________ 八年级上册（62）第11章全等三角形（11）第12章轴对称（13）第13章实数（8）第14章一次函数（17）第15章整式的乘除与因式分解（13）_______________________________________________________________________________ 八年级下册（61）第16章分式（14）第17章反比例函数（8）第18章勾股定理（8）第19章四边形（16）第20章数据的分析（15）_______________________________________________________________________________ 九年级上册（62）第21章二次根式（9）第22章一元二次方程（13）第23章旋转（8）第24章圆（17）第25章概率初步（15）_______________________________________________________________________________ 九年级下册（48）第26章二次函数（12）第27章相似（13）第28章锐角三角函数（12）第29章投影与视图（11）_______________________________________________________________________________%%%% 各章详细内容%%%%_______________________________________________________________________________ ～～～～七～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第一章有理数1．1正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．2有理数1．3有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3角4．4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～七年级下册第五章相交线与平行线5．1相交线5．2平行线5．3平行线的性质5．4平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6．1平面直角坐标系6．2坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7．1与三角形有关的线段7．2与三角形有关的角7．3多边形及其内角和7．4课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8．1二元一次方程组8．2消元8．3再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9．1不等式9．2实际问题与一元一次不等式9．3一元一次不等式组9．4课题学习利用不等关系分析比赛（1）数学活动小结复习题9第十章数据的收集整理与描述10．1几种常见的统计图表10．2用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁10．3课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题10～～八～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～第十一章全等三角形11．1全等三角形11．2三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明11．3角的平分线的性质数学活动小结复习题11第十二章轴对称12．1轴对称12．2轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质12．3等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动小结复习题12第十三章实数13．1平方根13．2立方根13．3实数数学活动小结复习题13第十四章一次函数14．1变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象14．2一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄14．3用函数观点看方程（组）与不等式数学活动小结复习题14第十五章整式的乘除与因式分解15．1整式的乘法15．2乘法公式阅读与思考杨辉三角15．3整式的除法15．4因式分解观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～八年级下册第十六章分式16．1分式16．1分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16．1分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17．1反比例函数17．1实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18．1勾股定理18．2勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19．1平行四边形19．2特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19．3梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形19.4课题学习：重心数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20．1数据的代表20．2数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20．3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20～～～九～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第二十一章二次根式21．1二次根式21．2二次根式乘除21、3二次根式的加减阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22．1一元二次方程22．2降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22．3实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23．1图形的旋转23．2中心对称信息技术应用探索旋转的性质23．3课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24．1圆24．2与圆有关的位置关系24．3正多边形和圆阅读与思考圆周率π24．4弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25．1概率25．2用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25．3利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25．4课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～九年级下册第二十六章二次函数26．1二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二十四章相似27．1图形的相似27．2相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29．1投影29．2三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29各章节详细知识点七年级上册第一章《有理数》1.正数与负数的概念2.正数与负数的实际意义3.有理数的概念4.数轴的概念5.相反数的概念6.绝对值的概念7.有理数的大小比较8.有理数的加法法则9.有理数的减法法则10.有理数的乘法法则11.有理数的运算律12.有理数的除法法则13.有理数的混合运算法则14.有理数的乘方相关概念（乘方、幂、底数、指数）15.有理数的乘方法则16.科学记数法17.近似数（有效数字）第二章《整式的加减》1.单项式及其相关概念（单项式、系数、次数）2.多项式及其相关概念（多项式、项、常数项、次数）3.整式4.同类项的概念5.合并同类项的法则6.去括号法则7.整式加减的运算法则第三章《一元一次方程》1.方程的概念2.一元一次方程的概念3.方程的解4.等式的性质5.一元一次方程的解法（步骤）6.一元一次方程的应用问题（和差倍分问题、数字问题、行程问题、工程问题、劳动力调配问题、增长率问题、商品利润问题）第四章《图形的初步认识》1.几何图形的概念2.立体图形的概念3.平面图形的概念4.立体图形的三视图5.立体图形的展开图6.点、线、面、体的概念7.直线的相关概念（直线、相交线、交点）8.两点确定一条直线9.点与直线的位置关系10.线段的中点11.两点之间线段最短12.两点之间的距离13.角及其相关概念14.角平分线15.余角的概念16.补角的概念17.余角（补角）的性质七年级下册第五章《相交线与平行线》1.相交线的相关概念（邻补角、对顶角）2.对顶角的性质3.垂线的相关概念（垂直、垂线、垂足）4.过一点画垂线5.垂线段最短6.点到直线的距离7.“三线八角”的相关概念8.平行的概念9.平行公理10.平行线的判定11.平行线的性质12.命题及其相关概念（命题、真命题、假命题）13.定理的概念14.平移的概念15.平移的性质第六章《平面直角坐标系》1.有序实数对的概念2.平面直角坐标系及其相关概念（平面直角坐标系、横轴、纵轴、原点、坐标、象限）3.特殊点坐标（象限符号、坐标轴上点的特征、坐标轴角平分线上点的特征、对称点坐标特征、平行于坐标轴的点的特征）4.直角坐标系的实际应用5.平移的坐标特征第七章《三角形》1.三角形的概念2.三角形的分类3.三角形的三边关系4.三角形的“三线”（高线、中线、角平分线）5.三角形的稳定性6.三角形的内角和定理7.三角形的外角8.三角形的外角性质定理9.多边形及其相关概念（多边形、对角线、正多边形）10.多边形的内角和定理11.多边形的外角和定理第八章《二元一次方程组》1.二元一次方程的概念2.二元一次方程（组）的解3.解二元一次方程（代入消元法、加减消元法）4.二元一次方程的应用5.三元一次方程组的概念6.三元一次方程组的解法第九章《不等式与不等式组》1.不等式的概念2.不等式的解3.解集4.一元一次不等式的概念5.不等式的性质6.一元一次不等式的解法7.一元一次不等式的应用8.一元一次不等式组的概念9.一元一次不等式组的解法第十章《数据的收集、整理与描述》1.收集数据（问卷）2.整理数据（表格）3.描述数据（条形统计图、扇形统计图）4.抽样调查的概念5.总体、个体、样本、样本容量6.简单随机抽样的概念7.直方图及其相关概念（直方图、组距、频数）8.画直方图的步骤八年级上册第十一章《全等三角形》1.全等形的概念2.全等三角形的相关概念（全等三角形、对应顶点、对应边、对应角）3.全等三角形的性质4.全等三角形的判定5.角平分线的性质6.角平分线的判定第十二章《轴对称》1.轴对称图形的概念2.关于直线对称的相关概念3.轴对称的性质4.线段垂直平分线的性质5.线段垂直平分线的判定6.作轴对称图形7.关于坐标轴对称点的特征8.等腰三角形的概念9.等腰三角形的性质10.等腰三角形的判定11.等边三角形的概念12.等边三角形的判定13.等边三角形的性质第十三章《实数》1.算术平方根的概念2.平方根的概念3.平方根的性质4.立方根的概念5.立方根的性质6.实数的概念7.实数的分类8.实数的相反数、绝对值9.实数与数轴的关系第十四章《一次函数》1.变量与常量2.函数与自变量3.函数的图像4.正比例函数的解析式5.正比例函数的图象及其性质6.一次函数的解析式7.一次函数的图象及其性质8.一次函数与一元一次方程的关系9.一次函数与一元一次不等式关系10.一次函数与二元一次方程组的关系第十五章《整式的乘除与因式分解》1.同底数的幂的乘法公式2.幂的乘方公式3.积的乘方公式整式的乘法法则4.单项式与多项式相乘的乘法法则5.多项式相乘的乘法法则6.平方差公式7.完全平方公式8.添括号法则9.同底数幂的除法法则10.单项式除单项式的法则11.多项式除以单项式法则12.因式分解的概念13.因式分解的方法（提取公因式法、公式法）八年级下册第十六章《分式》1.分式的概念2.分式的基本性质3.约分与通分4.最简分式5.分式乘除的法则6.分式加减的法则7.整数指数幂的运算性质8.分式方程的概念9.分式方程的解法10.分式方程的应用第十七章《反比例函数》1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及其性质3.反比例函数的应用第十八章《勾股定理》1.勾股定理2.勾股定理的逆定理第十九章《四边形》2.平行四边形的性质3.平行四边形的判定4.两条平行直线之间的距离5.矩形的概念6.矩形的判定7.矩形的性质8.菱形的概念9.菱形的性质10.菱形的判定11.正方形的概念12.正方形的性质与判定13.梯形概念14.梯形的分类15.等腰梯形的性质16.等腰绞刑的判定第二十章《数据的分析》1.平均数与加权平均数2.中位数3.众数4.方差九年级上册第二十一章《二次根式》1.二次根式的概念2.二次根式的两个重要公式3.代数式的概念4.二次根式的乘法法则5.二次根式的除法法则6.最简二次根式7.二次根式的加减法法则第二十二章《一元二次方程》2.一元二次方程的根3.一元二次方程的解法（直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法）4.根的判别式5.一元二次方程根与系数的关系6.一元二次方程的应用（面积问题、连续增长问题）第二十三章《旋转》1.旋转的相关概念（旋转、旋转中心、旋转角）2.旋转的性质3.中心对称的相关概念（中心对称、对称中心、对称点）4.中心对称的性质5.中心对称图形的概念6.关于原点对称的点的坐标的特征第二十四章《圆》1.圆的相关概念（圆的两种定义、圆心、半径、弦、直径、圆弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧）2.垂径定理及其推论3.弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系定理4.圆周角的概念5.圆周角定理及其推论6.圆内接多边形的概念7.圆内接四边形的性质8.点与圆的位置关系9.三点确定一个圆10.三角形的外接圆及外心11.直线与圆的位置关系及其相关概念12.切线的性质及判定定理13.切线长定理14.圆与圆的位置关系及其相关概念15.正多边形与圆的相关概念（正三角形与圆、正方形与圆、正六边形与圆）16.弧长公式及扇形面积公式17.圆锥及圆柱的侧面积及表面积第二十五章《概率》1.随机事件、不可能事件、必然事件的概念2.随机事件的性质3.概率的概念4.概率的计算公式5.用列表法、树形图计算概率6.频率与概率的关系高中数学目录此文为人教必修版新教材高中数学目录必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用（1）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（2）必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非（否定）1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点（a，∏/2）处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
集合与常用逻辑语言(期中考-考点精讲)-【金典数学】复习数学考点提分课堂系列(人教版)(原卷版)
第1章集合与常用逻辑语言（考点精讲）第1章 集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念1.集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 集合三要素：确定性.互异性.无序性.2.集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.3.元素和集合的关系：属于（a A ∈）和不属于（a A ∉）.4.常见数集：自然数集：N ，正整数集：*N 或+N ，整数集：Z ，有理数集：Q ,实数集R .5.集合的表示方法：（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{} ”括起来表示集合的方法叫列举法.（2）描述法：设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征()P x 的元素x 所组成的集合表示为{}()x A P x ∈，这种表示集合的方法称为描述法.【对点训练1】 （2021秋•福清市期中）若2{1a +∈，3，2}a ，则a 的值为( ) A ．1-或1或2B ．1-或1C ．1-或2D ．2【对点训练2】 （2021秋•福州期中）下列关系中，正确的有( ) A ．{0}∅⊆B ．{0，1}{(0,1)}=C ．Q Z ∈D ．{0}{0∈，1，2}【对点训练3】 （2021秋•仓山区校级月考）下列表示正确的个数是( )（1）0∉∅；（2）{1∅⊆，2}；（3）210{(,)|{335x y x y x y +=⎧⎫=⎨⎬-=⎩⎭，4}；（4）若A B ⊆，则A B A =．A ．0B ．1C ．2D ．3【对点训练4】 （2021秋•鼓楼区校级月考）下列集合中，表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的是( )A ．{2，1}B ．{2x =，1}y =C ．{(2,1)}D ．{(1,2)}【对点训练5】 （多选题）（2021秋•福清市校级月考）已知集合2{|1}A y y x ==+，集合2{(,)|1}B x y y x ==+，下列关系正确的是( ) A ．(1,2)B ∈B ．A B =C ．0A ∉D ．(0,0)B ∉【对点训练6】 （2021•鼓楼区校级开学）用列举法表示集合|||,0||a bx x ab a b ⎧⎫=+≠⎨⎬⎩⎭为： ．§1.2集合间的基本关系1.子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆.2.真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：集合AB(或BA ).3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4.子集个数：如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集，21n -个真子集.【对点训练1】 （2021秋•鼓楼区校级月考）已知集合{0A =，1}，22{|1B y x y =+=，}x A ∈，则集合A 、B 的关系是( )A ．AB =B ．A B ⊆C ．B A ⊂D ．B A ⊆【对点训练2】 （2021秋•台江区校级期中）已知集合{(A x =，2)||1|(2)0y x y ++-=，x R ∈，}y R ∈，{(,)|0B x y xy =，x R ∈，}y R ∈，则( )A ．AB ∈ B ．A B ⊆C ．A B ⊇D ．A B =∅【对点训练3】 （2021春•台江区校级期末）设集合{|(3)}M x y ln x ==+，{|2}N x x =，则( ) A ．M N =B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．MN =∅【对点训练4】 （2021•晋安区校级开学）已知集合{1A =，2，3，4}，{2B =，4，6，8}，则A B 的真子集个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【对点训练5】 （2021秋•鼓楼区校级期中）已知a ，b R ∈，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20212021a b +的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．1-或0【对点训练6】 （2020秋•福州期末）下列集合与集合{2A =，3}相等的是( ) A ．{(2,3)}B ．{(,)|2x y x =，3}y =C ．2{|560}x x x -+=D ．2{|90}x N x ∈-【对点训练7】 （多选题）（2021秋•连江县期中）已知集合{2M =，4}，集合{1M N ⊆，2，3，4，5}，则集合N 可以是( ) A ．{2，4}B ．{2，3，4}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【对点训练8】 （多选题）（2021秋•鼓楼区校级期中）若集合2{|60}P x x x =+-=，{|10}S x ax =-=，且S P ⊆，则实数a 的可能取值为( ) A ．0B ．13-C ．4D ．12【对点训练9】 （2021•鼓楼区校级开学）已知集合22{|(1)7340}A a R x a ax x x =∈-+++-=，{0}A ⊆，则x 的值为 ．【对点训练10】 （2021秋•台江区校级期中）设集合{|0A x x =<或1}x ，{|}B x x a =，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．§1.3集合的基本运算1.并集：由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合集合A 是集合B 与B 的并集.记作：B A .即{},AB x x A x B =∈∈或.2.交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 是集合B 与B 的交集.记作：B A .即{},AB x x A x B =∈∈且.3.补集：对于集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集， 记作:UA ,即{|,}UA x x U x U =∈∉且.【对点训练1】 （2022春•鼓楼区校级期末）已知全集U R =，集合{|112}M x Z x =∈--和{|21N x x k ==+，*}k N ∈的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．无穷多个【对点训练2】 （2022春•福州期末）设集合{}1|11,|214x M x x N x ⎧⎫=-=<<⎨⎬⎩⎭，则(MN = )A ．{|10}x x -<B ．{|21}x x -<C ．{|11}x x -<D ．{|20}x x -<<【对点训练3】 （2022春•鼓楼区校级期末）已知集合{}2{|1},|2,A x y x B y y x x R =-==-+∈，则(AB = )A ．(-∞，2]B ．[1，2]C ．[1，2)D ．[1，)+∞【对点训练4】 （2022春•鼓楼区校级期末）已知集合{|(1)(3)0}A x Z x x =∈+-<，2{|0}B x x =>，则(AB = )A ．{0，1，2}B ．{1-，0，1，2}C ．{1-，1，2}D ．{1，2}【对点训练5】 （2022•鼓楼区校级三模）已知集合M ，N 是R 的子集，且M N ⊆，则()(RMN =⋂) A ．MB ．NC ．∅D ．R【对点训练6】 （2022•鼓楼区校级模拟）已知全集为R ，集合2{|log (1)}A x y x ==+，1|1B x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则(RAB = )A ．{|1}x x >B ．{|01}x x <C ．{|10x x -<或1}x >D ．{|10x x -<<或1}x >【对点训练7】 （2022春•福州期末）集合{2M =，4，6，8，10}，{|16}N x x =-<<，则(MN =)A ．{2，4}B ．{2，4，6}C ．{2，4，6，8}D ．{2，4，6，8，10}【对点训练8】 （2021秋•福州期末）设集合2{|340}A x x x =--<，{|3}B x x =<，则(A B = )A ．{|1}x x <-B ．{|4}x x <C ．{|41}x x -<<D ．{|13}x x -<<【对点训练9】 （2022春•台江区校级期末）已知集合2{|0}1x A x x -=>+，3{|log 1}B x x =，则(A B =)A ．(-∞，1)(2-⋃，3]B ．(2，3]C ．(0,2)D ．(,2)-∞【对点训练10】 （2021秋•福州期末）已知集合{2A =-，1}-，2{*|20}B x N x x =∈--，则(AB =) A ．∅B ．{2-，1-，1}C ．{2-，1-，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2}【对点训练11】 （2022春•福州期末）设集合{|24}x A x =，集合{|(1)}B x y lg x ==-，则AB 等于()A ．(1,2)B ．[2，)+∞C ．(1,)+∞D ．[1，2]【对点训练12】 （2022春•福州期末）已知集合{|2}M x y x ==-，{|23}N x x =-<<，则(MN =)A ．{|32}x x -<B ．{|32}x x -<<C ．{|22}x x -<D ．{|22}x x -<< 【对点训练13】 （2021秋•仓山区校级期中）已知集合{|}12xA x y ==-，{||3|2}B y y x ==---，则(AB = )A ．[2-，0)B ．(-∞，2]-C ．(-∞，0]D ．(,0)-∞【对点训练14】 （2021秋•鼓楼区校级期中）设全集{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3}，{3B =，4}，则()(U A B =⋂ )A ．{1，2，5，6，7}B ．{2}C ．{3}D ．{1，4，5，6，7}【对点训练15】 （2021秋•福州期中）设全集U Z =，集合{|17A x x =<，}x Z ∈，{|21B x x k ==-，}k Z ∈，则()(U A B =⋂ ) A ．{1，2，3，4，5，6}B ．{1，3，5}C ．{2，4，6}D ．∅【提分变式1】 （2021春•福州期末）已知集合2{|2}A x x x =<，集合{|13}B x x =<<，则(AB =)A ．{|23}x x <<B ．{|12}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|02}x x <<【提分变式2】 （2021•鼓楼区校级模拟）集合1{|28}4xA x =，2{|log ()1}B x x a =->，若A B =∅，则a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．(1,)-+∞C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞【提分变式3】 （2021春•鼓楼区校级期中）设集合{2A =，3，5}，2{|60}B x Z x x m =∈-+<，{3}A B =，则(AB = )A ．{2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{2，3，5}D ．{2，3，4，5}【提分变式4】 （2020秋•福州期末）已知全集*{|4}U x N x =∈，集合{1A =，2}，{2B =，4}，则()(U A B =⋃ )A ．{1}B ．{1，3}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2，3}【提分变式5】 （2021春•台江区校级期中）集合{|(1)}A x y ln x ==-，{|0}B x x =>，则(A B = )A ．(0,1)B ．(0,)+∞C ．[0，)+∞D ．(1,)+∞【提分变式6】 （2021•鼓楼区校级模拟）已知集合2{|0}A x x x =-<，{|1B x x =>或0}x <，则( ) A ．B A ⊆B ．A B ⊆C ．AB R =D ．A B =∅【提分变式7】 （2021秋•鼓楼区校级期中）已知集合{|14}A x N x =∈-，{|23}B x x =-，则(A B =)A ．[1-，3]B ．[2-，4]C ．{0，1，2，3}D ．{1，2，3}【提分变式8】 （2021秋•鼓楼区校级月考）已知全集{1U =，3，5，7，9}，集合{5A =，7}，{1U A =，2a ，||}a ，则a 的值为( )A ．3B ．3-C ．3±D ．9±【提分变式9】 （2021秋•鼓楼区校级月考）已知集合{(,)|22}M x y x y =+=，集合{(,)|4}N x y x y =-=，则MN 是( )A ．2x =，2y =-B ．(2,2)-C ．{2，2}-D ．{(2,2)}-【提分变式10】 （2021春•鼓楼区校级期中）已知集合2{|20}A x x x =-<，{|10}B x x =-，则集合(AB = )A ．{|02}x x <<B ．{|01}x x <C ．{|1}x xD ．{|12}x x <【提分变式11】 （2021秋•鼓楼区校级期中）设全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{2A =，3，5}，{3B =，4，6}，则()(U A B = )A ．{3}B ．{4，6}C ．{1，3，4，6}D ．{2，3，4，5，6}【提分变式12】 （2020秋•台江区校级期末）已知集合{|34}M x x =-<，2{|280}N x x x =--，则() A ．M N R =B ．{|34}MN x x =-<C ．{|24}MN x x =-D ．{|24}MN x x =-<【提分变式13】 （多选题）（2021秋•福州期中）已知全集{0U =，1，2，3，4，5，6，7}，集合{|5}A x N x =∈<，{1B =，3，5，7}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{0，2，4}B ．{2，4}C ．()U ABD ．()()U U A B【提分变式14】 （多选题）（2021秋•鼓楼区校级月考）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B ，则下列选项正确的有 A ．AB B =B ．A B B =C ．()U A B =∅ D ．()U AB =∅【提分变式15】 （2021秋•鼓楼区校级期中）已知全集U R =，集合2{|log |2|1}A x x a =-，{|3327}x B x =<<． （1）当3a =时，求A B ；（2）在①B A ⊆；①AB ≠∅；①()A B A =⋃⋃，任选一个条件，求实数a 的取值范围．【提分变式16】 （2021秋•鼓楼区校级期中）已知集合{|28}x A x R =∈<，{|0.25x B y R y =∈=+，}x R ∈． （1）求AB ；（2）集合{|11}C x m x m =--，若集合()C AB ⊆，求实数m 的取值范围．【提分变式17】 （2021•鼓楼区校级开学）已知集合2{|32}A x y x x ==--，22{|210}B x x x m =-+-． （1）若3m =，求AB ；（2）若0m >，A B ⊆，求m 的取值范围．【提分变式18】 （2022春•福州期末）已知集合{|(2)}1A x y ln x x ==-+，{|21}B x a x a =<<+．（1）若1a =，求A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围．【提分变式19】 （2021秋•鼓楼区校级月考）设全集U R =，已知集合{|25}A x x =-，{|08}B x x =<<，{|C x x a =<或10}x >．（1）求A B ； （2）求UAB ；（3）若A C =∅，求a 的取值范围．【提分变式20】 （2021秋•鼓楼区校级月考）已知集合{|211}A x a x a =-<<+，2{|0}B x x x =-． （1）若1a =，求A B ；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围．【提分变式21】 （2021秋•闽侯县校级月考）已知集合3|01x A x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，{|21}B x m x m =<<-．（1）当1m =-时，求A B ；（2）若AB A =，求实数m 的取值集合．【提分变式22】 （2020秋•福州期末）已知集合2{|(6)}A x y lg x x ==-++，集合2{|0}B x x ax =-<，(0)a >．（1）当5a =时，求A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围．【提分变式23】 （2021•晋安区校级开学）已知全集U R =，函数()3(10)f x x lg x =-+-的定义域为集合A ，集合{|57}B x x =<． （1）求集合A ； （2）求()U B A ．【提分变式24】 （2021秋•仓山区校级期中）已知集合{|17}A x x =<，{|210}B x x =<<，{|}C x x a =<，全集为实数集R ． （1）求A B ，()R A B ；（2）如果AC ≠∅，求a 的取值范围．§1.4充分条件与必要条件1.命题：可以判断真假的陈述句叫命题；2.充分条件.必要条件与充要条件如果“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，我们就说由p 可以推出q ，记作p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能提出结论q ，记作p q ⇒/，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件；如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔ 此时则p 是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们就说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p q ⇔，那么p 与q 互为充要条件.【对点训练1】 （2022春•福州期末）“0m n >>”是22m n >的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【对点训练2】 （2022春•福州期末）设a ，b R ∈，则使a b >成立的一个必要不充分条件为( ) A ．lna lnb >B ．22a b >C ．1a b >-D ．1a b >+【对点训练3】 （2022春•福州期末）“2log 5x >”的一个必要不充分条件是( ) A ．2log 10x <B ．0.5log 0.2x >C ．2x >D ．4log 35x >【对点训练4】 （2022春•台江区校级期末）设x R ∈，则“02x <<”是“230x x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【对点训练5】 （2022•福州模拟）“0a b <<”是“11a b a b-<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【对点训练6】 （2021秋•福州期末）“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【对点训练7】 （2019秋•福州期末）实数1a >，1b >是2a b +>的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【对点训练8】 （2021秋•台江区校级月考）已知p ：“01a <<，1b >”， q ：“()(0,1)x f x a b a a =->≠的图象不过第一象限”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【对点训练9】 （2020秋•福州期末）设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【对点训练10】 （2020秋•福清市校级月考）已知1:12p x -，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞，4]B ．[1，4]C ．(1，4]D ．(1,4)【对点训练11】 （2020秋•福州期中）24x >成立的一个充分非必要条件是( ) A ．23x >B ．||2x >C ．2xD ．3x >【对点训练12】 （2021秋•鼓楼区校级月考）已知:13p x -，22:210(0)q x x a a -+->，若p 是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．【对点训练13】 （2021秋•仓山区校级期中）已知集合22{|240}A x x ax a =-+-，{||25|3}B x x =->． （1）当3a =时，求AB ；（2）若“R x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【对点训练14】 （2021秋•福州期中）已知全集为R ，集合{|5}A x m x m =-<<，{|210}B x x =<． （1）若6m =，求AB ，()R A B ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围．【对点训练15】 （2021秋•台江区校级期中）已知函数()43f x x x -++的定义域为A ，集合{|11}B x a x a =-<<+．（1）求集合A ；（2）若全集{|5}U x x =，2a =，求UAB ；（3）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求a 的取值范围．§1.5全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.记为,()x p x ∀∈M .（2）存在量词与存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.记为,()x p x ∃∈M . 2.全称量词命题与存在量词命题的否定（1）全称量词命题p ：,()x p x ∀∈M ，它的否定p ⌝：,().x p x ∃∈M ⌝ （2）存在量词命题p ：,()x p x ∃∈M ，它的否定p ⌝：【对点训练1】 （2021秋•福州期末）命题“0x ∀>，210x -”的否定是( ) A ．0x ∃，210x -> B ．0x ∀>，210x -> C ．0x ∃>，210x -> D ．0x ∀，210x ->【对点训练2】 （2021秋•福州期中）命题“0x ∃>，13x x+”的否定是( ) A ．0x ∃>，13x x +> B ．0x ∃，13x x + C ．0x ∀，13x x +> D ．0x ∀>，13x x+> 【对点训练3】 （2021秋•鼓楼区校级期中）命题“x Q ∀∈，210x x ++>”的否定为( ) A ．x Q ∃∈，210x x ++> B ．x Q ∀∈，210x x ++ C ．x Q ∃∈，210x x ++D ．x Q ∃∉，210x x ++【对点训练4】 （2021春•福州期末）已知命题:0P a ∃<，使得102021a +>，则命题p ⌝为( )A ．0a ∃，使得102021a + B ．0a ∀<，都有102021a +<C ．0a ∃<，使得102021a +D ．0a ∀<，都有102021a +【对点训练5】 （2020秋•福州期末）若命题0:1p x ∃<，21x <，则p ⌝为( ) A ．1x ∀<，21x B ．1x ∀<，21x <C ．01x ∃<，201x D ．01x ∃，21x < 【对点训练6】 （2021春•仓山区校级期末）已知命题:p x R ∀∈，2230ax x ++>的否定是真命题，那么实数a 的取值范围是( ) A ．13a <B ．103a< C ．13aD ．13a【对点训练7】 （2021•鼓楼区校级模拟）命题“[2x ∀∈-，)+∞，31x +”的否定为( ) A ．0[2x ∃∈-，)+∞，031x +< B ．0[2x ∃∈-，)+∞，031x +C ．0[2∀∈-，)+∞，031x +<D ．0(,2)x ∀∈-∞-，031x +【对点训练8】 （2021秋•鼓楼区校级月考）已知命题:[1p x ∀∈，)+∞，22x >，则p 的否定是 ．。
1.1集合的含义与表示
1.1 集合的含义与表示【学习目标】1. 认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法；了解从属关系；2. 掌握集合的表示方法,并能正确地表示一些简单的集合. 重点:集合的表示方法 难点:描述法 【引入新课】在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 【探究新知】 探究1:集合的概念(1) 1～10以内所有的素数（质数）； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的正方形； (4)翔宇班2019级全体学生.思考：上述4个集合中的元素分别是什么? 这4个实例的共同特征是什么?归纳定义：一般地，我们把 统称为元素，把 叫做集合（简称为集）.注：集合通常用大写的拉丁字母C B A ,,…表示，集合中的元素用小写的拉丁字母a ,b ,c …表示.探究2:集合元素的三个特征思考1：咱班的所有美女能不能构成一个集合？由此说明集合中的元素具有什么性质？ 思考2：由实数2、3、2组成的集合有几个元素？由此说明集合中的元素具有什么性质？ 思考3：由实数1、2组成的集合记为M ,由实数2、1组成的集合记为N ,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么特征？归纳元素的特征： 。
思考：如果用A 表示2019级翔宇班全体学生组成的集合，用a 表示2019级翔宇班的一位同学，b 是一名枣庄三中的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系? 由此看见元素与集合之间有什么关系？归纳：如果a 是集合A 的元素，就说 ，记作 ；如果a 不是集合A 的元素，就说 ，记作 .探究4:常用数集及其记法N ；N *或N + ；Z ； Q ；R探究5:集合的表示方法思考1：地球上的四大洋组成的集合怎么表示呢？归纳定义列举法: .注意：大括号不能缺失,不必考虑顺序,元素之间用“,”隔开；思考2: 你能用列举法表示不等式37-<x 的解集吗? 归纳定义描述法: 。
. 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意：描述法表示集合应注意集合的代表元素如2{(,)|1}x y y x =-；2{|1}y y x =-；2{|1}x y x =-不同.例1.用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x x =2的所有实数根组成的集合； (3)由1~20以内的所有质数组成的集合.例2.用描述法表示下列集合：（1）不等式23>-x 的所有解组成的集合; （2）直线1+=x y 上所有点组成的集合; （3）所有奇数组成的集合.例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程02-2=x 的所有实数根组成的集合;（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.例4.已知集合A 是由三个元素,25a a +,12组成的，且，求.【当堂检测】1.下列给出的对象中，能组成集合的是( )A.一切很大的数B.好心人C.漂亮的小女孩D.方程x 2－1＝0的实数根 2.下面说法正确的是( )A.所有在N 中的元素都在N *中B.所有不在N *中的数都在Z 中C.所有不在Q 中的实数都在R 中D.方程4x ＝－8的解既在N 中又在Z 中 3.由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.44. .设A ＝{x ∈N |1≤x <6}，则下列正确的是( ) A.6∈A B.0∈A C.3∉A D.3.5∉A5.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可6.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( )A.{x |x ＝4k －1，k ∈Z }B.{x |x ＝2k －1，k ∈Z }C.{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }D.{x |x ＝2k ＋3，k ∈Z } 7.用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为8.一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是【课堂小结】1.1 集合的含义与表示--课时作业A一、选择题1．已知集合A 由x <1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A2．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 3．下列结论中，不正确的是( )A ．若a ∈N ，则－a ∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈ZC ．若a ∈Q ，则|a |∈QD ．若a ∈R ，则3a ∈R4．已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y|y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．1∈MC ．－2∉MD ．2∈M5．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形6．已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{0,1,2} 7．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈A D ．－34∉A 二、填空题8．在方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素． 9．下列所给关系正确的个数是________． ①π∈R ；②3D ∈/Q ；③0∈N *；④|－4|D ∈/N *.10．如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是___________________．. 11．已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a ＋b ＝____.13．已知集合M 中的元素是正整数，且满足命题“如果x ∈M ，则(4－x )∈M ”，则满足条件的集合M 的个数为________． 三、解答题14．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值．15．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值．16．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．1.1 集合的含义与表示--课时作业B一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( )A ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1} B ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2} C ．{1,2} D ．{(1,2)}2．集合A ＝{x ∈Z |－2<x <3}的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合C ．点(x ，y )D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 4．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m |m ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |}为( )A ．{0,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．{1，－3}5．下列选项中，集合M ，N 相等的是( ) A ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3} B ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} C ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}D ．M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2} 6．集合{3，52，73，94，…}用描述法可表示为( )A ．{x |x ＝2n ＋12n ，n ∈N *}B ．{x |x ＝2n ＋3n ，n ∈N *}C ．{x |x ＝2n －1n ，n ∈N *} D ．{x |x ＝2n ＋1n，n ∈N *} 7．下列命题中正确的是( )①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上命题都不对***m ∈N *}，若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，则下列结论中可能成立的是( )A ．2 006＝a ＋b ＋cB ．2 006＝abcC ．2 006＝a ＋bcD ．2 006＝a (b ＋c )二、填空题9．方程x 2－5x ＋6＝0的解集可表示为_______________． 10．集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为_____________．11．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________． 12．定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝{x |x －23<0}，则集合A －B ＝____________. 13．给出下列集合：①{(x ，y )|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠－3}；②{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠1，y ≠1且⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠2，y ≠－3}；③{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠1，y ≠1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≠2，y ≠－3}；④{(x ，y )|[(x －1)2＋(y －1)2]·[(x －2)2＋(y ＋3)2≠0]}．其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”的序号有________． 三、解答题14．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．15．用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．16．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，用列举法表示集合P ＋。
(word版)高一数学集合练习题及答案
高一数学集合的练习题及答案一、、知点：本周主要学集合的初步知，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之的关系及集合的运算等。
在行集合的运算要注意使用Venn。
本章知构集合的概念列法集合的表示法集合特征性描述法真子集包含关系子集相等集合与集合的关系交集集合的运算并集集1、集合的概念集合是集合中的不定的原始概念，教材中集合的概念行了描述性明：“一般地，把一些能确定的不同的象看成一个整体，就个整体是由些象的全体构成的集合〔或集〕〞。
理解句，把握4个关：象、确定的、不同的、整体。
象――即集合中的元素。
集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一一象的，它关注的是些象的全体。
确定的――集合元素确实定性――元素与集合的“附属〞关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意有限集和无限集是非空集合来的。
我理解起来并不困。
我把不含有任何元素的集合叫做空集，做Φ。
理解它不妨思考一下“0与Φ〞及“Φ与{Φ}〞的关系。
几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要牢。
3、集合的表示方法1〕列法的表示形式比容易掌握，并不是所有的集合都能用列法表示，同学需要知道能用列法表示的三种集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素多但呈一定的律的有限集，如{1，2，3，⋯，100}③呈一定律的无限集，如{1，2，3，⋯，n，⋯}●注意a与{a}的区●注意用列法表示集合，集合元素的“无序性〞。
2〕特征性描述法的关是把所研究的集合的“特征性〞找准，然后适当地表示出来就行了。
但关点也是点。
学多加就可以了。
另外，弄清“代表元素〞也是非常重要的。
如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{〔x，y〕|y＝x2}是三个不同的集合。
4、集合之的关系●注意区分“附属〞关系与“包含〞关系“附属〞关系是元素与集合之的关系。
“包含〞关系是集合与集合之间的关系。
掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“〞等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是根本要求。
绝对素数
数据组织为基础。“面向过程”的含义就是指我们的程序设计是以数据为基础的加工处理过
程。
我们用并查集的思想来组织绝对素数信息。一个数经过任意的置换形成一个集合，我们
需要快速查找这个集合中的任意一个元素是否是绝对素数。这时有两个问题需要解决。首先
是如何标识一个集合及一个数是否在这个集合中，另外一个问题就是这个集合中的数是否是
绝对素数/集合
1 ….. 1
…..
0
0
….
下标
13 ….
31
….
103
3ine NUM 3 #define N 1000 int prime[N];
（1）用筛选法产生素数信息 prime； （2）修改 prime 数组，以产生“绝对素数/集合”信息; （3）打印所有的绝对素数;
可以在老师之前的讲义上找到第 1 步的 C 代码.。第 2 步是本程序的关键，可以如下 细化为：
（2.1）根据整数的位数计算下标的范围，例如当 NUM=3 时，min_i=101, max_i=999
int a[NUM], father, x; //数组 a 用于记录整数的各个数字 for(n=min_i; n<=max_i; n++) {//（2.2）逐个分析 NUM 位整数，并修改 prime 信息
x=n; //（2.2.1）将整数 x 分解成数字数组 a,例如 n=317, a={3, 1, 7} //（2.2.2）对 a 升序排序得到{1, 3, 7} //（2.2.3）生成新的整数 father=137。对于 n=101 来说 father=0 //（2.2.4）修改 prime[n]和 prime[father] }
301，310。由于其中有数字 0，显然其中有非素数的数，于是这六个数都不是绝对 素数。当一个数中含数字 0 时，其组合的数，例如 013、031 实际上是位数更低的
中等职业教育规划教材数学(山东省基础类)目录
中等职业教育规划教材数学目录数学—101第一章集合1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合地表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件阅读与实践02第二章2.1一元二次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式阅读与实践03第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用阅读与实践04第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用阅读与实践05第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用阅读与实践06第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2空间几何体的体积阅读与实践数学—207三角函数7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像、性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角阅读与实践08第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的直角坐标运算8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量的内积的直角坐标运算阅读与实践09第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量和向式方程9.1.2直线的斜率和点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行99.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程阅读与实践10第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置关系阅读与实践11第十一章概率与统计初步11.1技术的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3简单的随机抽样11.3系统抽样11.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的概率分布估计总体发布11.4.2用样本的数字特征估计数字特征11.5一元线性回归分析。
高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{|x x x ∈A A =∅=∅ B A ⊆AB B ⊆B{|x x x ∈A A =A ∅=B A ⊇B B ⊇（ ）⑼ 集合的运算律：交换律：结合律:分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的.;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===.,A A A A A A ==叫做象， 叫做原象。
第1章群论基础
1.6.1 Abel群的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 非Abel群的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.3 小阶群表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
参考文献
25
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第 1 章 群论基础
§1.1 基本概念
§1.1.1 群的定义
1.2.2 共轭类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 子群和陪集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
b = a−1 = a, ; b = e, ; a = e, .
• a2 = a a = e, .
• a2 = b, ab = e, ba = e, b2 = a.
所以三元群只有一种, 其乘法表列于表 1.2 中.
很明显, 以这种方式来确定乘法表非常不方便. 后面讲述的一系列定理将帮助我们有
1.2.4 Lagrange定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5 不变子群和商群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
人教版数学高一必一 112 集合的表示-精品
2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示 集合的方法.
xÎ I p(x)
元素的一般符号及 取值范围
元素所具有的共同特征
其中描述法中共同特征的语言形式有三种： 文字语言、符号语言、图形语言
说明： ⑴无限个元素的集合一般采用描述法 ⑵优点：形式简洁，充分体现集合中元素特征 ⑶注意以下几点：
①写清楚集合中的代表元素，如数或点等 ②说明集合中元素的共同性质，如方程、不
1.1.1 集合的含义与表示
第2课时 集合的表示
例1. 用负偶数组成的集合； (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合； (3)由1~20以内的所有质数组成的集合. (4)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合
解：(1){2，4，6，8}. (2){0，1}. (3){2，3，5，7，11，13，17，19}. (4) {(0,1)}
例4：已知集合A= {x|x是 小 于 6的 正 整 数 }
B= {x|x是 小 于 10的 质 数 }
C= {x|x是 24和 36的 公 约 数 }
用列举法表示集合A、B、C并用列举法表示下面的M、 N：
（1）M= {x|xA且 xC}
（2）N= {x|xB且 XC}
1.判断下列集合的写法是否正确,如正确,请说出
2.元素与集合. 3.集合的表示:
①自然语言; ②字母表示; ③列举法; ④描述法. ⑤文氏图法
作业
作业本：1.1A—2, 3，4 活页：提能演练二
巩固提升
区分下列集合 ， 设x R, y R
A {x | y x 2 1} B { y | y x 2 1} C {( x, y) | y x 2 1} D { y x 2 1}
数学分析 第一章 集合与映射
引例3.
向 y 轴投影
(点集) (点集)
定义1.2.1 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y x y f (x)
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像（也称为原像）. 集合 X 称为映射 f 的定义域 ，记为Df=X; Y 的子集
f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 ,记为Rf 。
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
有理数集
Q
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q p
q Z, p N, p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
正实数集 R x x R, 且 x 0
特殊集合 x x R 且 x2 1 0
开区间 闭区间 半开区间 无限区间
点的 邻域
数学分析中常用 的实数集
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
pN+, qN+,q≤p, q，p互质。我们按以下方式排列这
些有理数。见P8.
作业：p10 2(2),5
5 .笛卡尔( Descartes )乘积集合
设A与B是两个集合，在集合A中任取一个元素x， 在集合B中任取一个元素y，组成一个有序对 (x,y)。
把这样的有序对 (x,y)作为新的元素，它们全体组成
高中数学人教A版必修1课件：1、1、1集合的含义与表示
列举法表：B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}。
思考:结合此例，列举法和描述法表示集合时各自的特点和
适Байду номын сангаас的对象。
课后练习P5 1,2 18
合作交流：
已知A=｛a-2,2a2+5a,10｝,且-3∈A，求a。
把“方程( x-1) ( x+2)=0的所有实数根”组成的 集合表示为：{1，-2}
14
例1 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合；
{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 } (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；
{0，1} (3)由1～20以内的所有素数组成的集合。
重点：集合的含义及表示方法。 难点：1.对新概念、新符号的理解与区分；
2.集合表示方法的恰当选择。
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自主学习：
根据自学提纲（知识点），自学P2~3页。 1、元素、集合的概念？ 2、集合中元素的三大特征？ 3、集合与元素间的关系，符号表示？ 4、一些常用的数集及其记法？
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学生展示：
1、集合、元素的概念 元素 ——我们把研究的对象统称为元素；
做才能省力呢？
用杠杆尺来研究这个问题。杠杆尺上有支点， 左右两边都有到支点距离的标记。
研究杠杆
研究杠杆的秘密
实验任务 研究杠杆 实验工具 杠杆尺、钩码
1.左右两边的钩码数一样多； 2.杠杆尺两边分别只挂一串钩码，不能 实验要求 一边同时挂几串； 3.杠杆尺两边必须平衡； 4.做好实验记录。
研究杠杆
拓展延伸
费力杠杆：费力省距离，如鱼竿、人的手臂等都是 费力杠杆，但是它们节省了很多的距离。
集合的内容与概念
集合的内容与概念集合是数学中的一个基本概念，它是指把具有共同特征的对象放在一起，形成一个整体。
集合中的对象可以是数字、图形、坐标、字母、词语等等。
集合的概念主要包括集合的定义、集合的表示方法、集合的运算以及集合的特性等内容。
首先，集合的定义是指将具有共同特征的对象放在一起，形成一个整体。
一个集合可以由具有某种共同特征的元素构成，而元素通常可以是个体、事物、概念或其他的对象。
例如，如果我们把所有的奇数放在一起，这个集合就是由所有的奇数构成的。
其次，集合的表示方法有两种常见的方式，一种是列举法，另一种是描述法。
列举法是将集合中的元素逐个列举出来，用大括号{}括起来，元素之间用逗号隔开。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}就是一个由元素1、2、3、4、5构成的集合。
描述法是用描述语言表达集合中的元素的共同特征。
例如，描述法可以表示为集合{ x x 是正整数，且x < 6}，表示由小于6的正整数构成的集合。
再次，集合的运算包括并集、交集、差集、补集以及笛卡尔积等。
并集是指将两个或多个集合中的元素放在一起，构成一个新的集合。
交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
差集是指一个集合减去另一个集合后剩下的元素组成的集合。
补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合。
笛卡尔积是指两个集合中的所有元素按照一定的规则组合起来构成一个新的集合。
这些运算在集合论中起着重要的作用，能够帮助我们研究集合之间的关系。
最后，集合还有一些特性，如互斥、包含、等价、自反、对称、传递等。
互斥是指两个集合没有任何的共同元素。
包含是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素。
等价是指两个集合具有相同的元素。
自反是指一个集合中的每个元素与自身相等。
对称是指如果一个集合中的一个元素与另一个集合中的一个元素相等，那么这两个集合互相具有这个元素。
传递是指如果一个集合中的一个元素与另一个集合中的一个元素相等，而后一个元素又与第三个集合中的一个元素相等，那么第一个元素与第三个集合中的元素也相等。
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技巧点拨：使用描述法时，还应注意以下几点： ①写清集合中代表元素的符号，如实数或实数对或点的坐 标表示； ②说明该集合中元素具有的特征性质，如方程、不等式、 函数或几何图形等； ③描述法的语言形式主要有两种：文字语言和符号语言， 如表示直角坐标轴上的点的集合． 文字语言：{点P|P是直角坐标轴上的点}； 符号语言：{(x，y)|xy＝0}．
（3）在平面 a 内，线段AB的垂直平分线.
分析:对于用描述法表示的集合，要从本质上去认识它， 看清集合的“代表元素”，判断出我们要研究的集合元 素所共有的“特征性质”.
解: (1) 这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于 1的实数，即|x|＝1于是这个集合可以表示为
{x||x|=1}. (2)这个集合的一个特征性质可以描述为
列举法的优点与适应范围： (1)优点:可以明确集合中具体的元素 及元素的个数. (2)使用列举法必须注意: ①元素间用“，”分隔. ②集合中的元素必须满足三个特性. ③元素不能遗漏. ④适用范围: ⅰ.含有有限个元素且个数较少的集合. ⅱ.有些集合的元素较多，元素的排列又呈现
一定的规律，在不致于发生误解的情况下，也可以列出 几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 例如:不大于100的自然数构成的集合可表示为
例1 用列举法表示下列集合： （1）A＝{x∈N｜0<x≤5 } ； （2）B＝{x |x2-5x+6 ＝0}. [分析]对于(1)集合A中“x∈N”且“0<x ≤5”共同限制了 集合元素的属性，而（2）中所求的也即是方程的解集， 解方程即得. 解：（1）A＝{1,2,3,4,5}；
（2）B＝{2,3}.
对于元素较多的集合或者根本就不能将元素一一列举的 集合用“描述法”来表示就显得简洁明了。
什么是描述法呢？ 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都 具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p (x), 则性质p (x)叫做集合A的一个特征性质.于是，集合A可以 用它的特征性质p (x)描述为
练习:用列举法表示下列集合: （1）由x2-9=0方程的所有实数根组成的集合.
{3, 3}
（2）由小于8的所有素数组成的集合.
{2, 3, 5, 7}
（3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合.
{(1, 4)}
例2 用描述法表示下列集合: （1）{-1,1}； （2）大于3的全体偶数构成的集合；
引入新课
前面我们学过，可以用自然语言 描述一个集合，也可以用一个 “{ }”来表示一个集合，元素 之间用逗号隔开，那表示一个集 合具体有哪些方法呢？这一节课 我们就来研究！
思考1 怎样表示“方程x2-5x=0 在实数内解的全体” 组成的集合C？ 解答：可以这样表示：C={0，5}. 像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法. 思考2 怎样用列举法来表示“由大于3小于 10的整数组成的集合”？ 解答：{4，5，6，7，8，9}.
例3 用适当的方法表示下列集合： (1)比4大2的数； (2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集； (3)不等式x－2>3的解的集合； (4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合．
分析:由题目可获取以下主要信息： ①已知4个集合； ②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比4大2的数就 是6，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将 方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，不等 式的解有无数个，宜采用描述法；对于(4)，所给二次函 数图象上的点有无数个，宜采用描述法．
集合也可以写作{x|3<x＜10}.
描述法的一般形式为： { x∈I|p(x)}
x为该集合 的代表元素
p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性质
使用描述法必须注意： ①写清该集合中元素的代表符号； ②准确说明该集合中元素的特征； ③应对代表元素进行说明； ④多层描述时,应当准确使用“且”与“或”； ⑤所有描述的内容都要写在“｛ ｝”内； ⑥集合符号“｛ ｝”已包含“所有”的意思, 因而大括号内的文字描述,不应该再用“全体”， “全部”，“所有”或“集”等词语.
练习:用描述法表示下列给定的集合：
（1）不等式4x－5 < 3的解集.
{ x | x2 }
（2）二次函数y=x2-4的函数值组成的集合.
{ y | y 4 }
（3）反比例函数 y 2 的自变量的值组成的集合.
x
{ x |x0 } （4）不等式 3x 4 2x 的解集.
{ x | x4 } 5
{x∈I|p (x)} 它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的. 这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简表示为：
{ x∈R 3< x＜10 }
代表元素
所有元素所共有 的“特征性质”
注意：在不致发生误解时，x的取值集合可以省略不写. 例如，在实数集R中取值“∈R”常常省略不写，像上述
1.1.2 集合的表示方法
学习目标
1、知识目标：使学生掌握常用的集合表示方法，能选择自 然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题； 2、能力目标：提高学生运用数学语言的能力，感受集合语 言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界； 3、情感目标：通过合作学习，培养学生的合作精神.
{0,1,2,3,…，100} ⅲ.无限集有时也可用上述的列举法表示. 例如:自然数集N可表示为{0,1,2,3,…，n,…}.
思考3 能不能用列举法表示“由大于3小于10的实数组成 的集合”? 解答：我们不能用列举法来表示大于3小于10的实数组成 的集合，因为这个集合的元素是列举不完的，而元素的排 列又不呈现明显的规律.
x>3，且x=2n,n∈N. 于是这个集合可以表示为
{x|x>3,且x=2n,n∈N}.
（3）设点P为线段AB的垂直平分线上任一
点，点P和线段AB都在平面 a 内，则这
个集合的特征性质可以描述为 PA＝PB
于是这个集合可以表示为
{点P∈平面 a ｜PA＝PB}.
在几何中， 通常用大写 字母表示点 （元素），用 小写字母表 示点的集合， 应注意区别.