三种集合表示法的适用范围
高中数学一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法集合的表示
第2课时集合的表示考点学习目标核心素养列举法表示集合掌握用列举法表示有限集数学抽象理解描述法格式及其适用情况，并会数学抽象描述法表示集合用描述法表示相关集合区间及其表示会用区间表示集合数学抽象学会在集合的不同表示法中作出选择集合表示法的简单应用数学抽象和转换问题导学预习教材P5倒数第4行－P8的内容，思考以下问题：1．集合有哪几种表示方法？它们如何定义？2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？4．如何用区间表示集合？1．列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．■名师点拨(1)应用列举法表示集合时应关注以下四点①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物．(2)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．2．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．■名师点拨(1)应用描述法表示集合时应关注以下三点①写清楚集合中元素的符号，如数或点等；②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；③不能出现未被说明的字母．(2)注意区分以下四个集合①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y ＝x2＋1的图像上的点组成的集合；④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.3．区间的概念及表示(1)区间的定义及表示设a，b是两个实数，而且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)关于无穷大的两点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．( )(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )(4)集合{x|x>3，且x∈N}与集合{x∈N|x>3}表示同一个集合．( )(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×方程x2－1＝0的解集用列举法表示为( )A．{x2－1＝0} B．{x∈R|x2－1＝0}C．{－1，1} D．以上都不对解析：选C.解方程x2－1＝0得x＝±1，故方程x2－1＝0的解集为{－1，1}．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}解析：选B.因为x－3<2，x∈N*，所以x<5，x∈N*，所以x＝1，2，3，4.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1<x<5}．答案：{0，1，2，3，4} {x∈N|－1<x<5}(1){x|－1≤x≤2}可用区间表示为________；(2){x|1<x≤3}可用区间表示为________；(3){x|x>2}可用区间表示为________；(4){x|x≤－2}可用区间表示为________；答案：(1)[－1，2] (2)(1，3] (3)(2，＋∞)(4)(－∞，－2]用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ； (2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N . 【解】 (1)因为－2≤x ≤2，x ∈Z ， 所以x ＝－2，－1，0，1，2， 所以A ＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根， 所以M ＝{2，3}．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. 所以B ＝{(3，2)}．(4)因为15的正约数有1，3，5，15， 所以N ＝{1，3，5，15}．列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}．(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}．(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N ”可以表示为{0，1，2，3，…}．[注意] (1)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R }都是不确切的．(2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ； (2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ； (3)小于8的质数组成的集合C ；(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图像的交点组成的集合D .解：(1)大于1且小于6的整数包括2，3，4，5， 所以A ＝{2，3，4，5}．(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3，3， 所以B ＝{－3，3}．(3)小于8的质数有2，3，5，7， 所以C ＝{2，3，5，7}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图像的交点为(1，4)，所以D ＝{(1，4)}． 用描述法表示集合用描述法表示下列集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 的图像上的所有点组成的集合； (2)不等式2x －3<5的解组成的集合； (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解】 (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图像上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，xy≥0}．(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．使用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同属性． (3)不能出现未被说明的字母．(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)由方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2小于7的整数．解：(1)用描述法表示为{x ∈R |x (x 2－2x －3)＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}． (2)用描述法表示为{x ∈Z |2<x <7}，用列举法表示为{3，4，5，6}． 区间及其表示把下列数集用区间表示：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－12；(2){x |x ＜0}； (3){x |－2＜x ≤3}； (4){x |－3≤x ＜2}； (5){x |－1＜x ＜6}．【解】 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞； (2)(－∞，0)； (3)(－2，3]； (4)[－3，2)； (5)(－1，6)．解决区间问题应注意的五点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b －a 称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a }．(2)注意开区间(a ，b )与点(a ，b )在具体情景中的区别． (3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圆的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示． (5)要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆，用“∞”作为区间端点时，要用开区间符号．1．若[2a ＋1，3a －1]为一确定区间，则实数a 的取值范围为________． 解析：由题意知3a －1＞2a ＋1，即a ＞2. 答案：(2，＋∞)2．不等式2x ＋3≤0的解集可用区间表示为________． 解析：由2x ＋3≤0，得x ≤－32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 3．使15－x有意义的x 的取值范围为________(用区间表示)． 解析：要使15－x有意义，则5－x ＞0，即x ＜5. 答案：(－∞，5) 集合表示方法的简单应用已知集合A ＝{x ∈R |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围．【解】 ①当m ＝0时，原方程为－2x ＋3＝0，x ＝32，符合题意．②当m ≠0时，方程mx 2－2x ＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m ≤0，得m ≥13，即当m ≥13时，方程mx 2－2x ＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m ＝0或m ≥13.1．(变条件)若将本例中的“至多只有一个”改为“恰有一个”，如何求解？解：当m ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，即集合A 中只有一个元素32，符合题意；当m ≠0时，Δ＝4－12m ＝0， 即m ＝13.综上可知，m ＝0或m ＝13.2．(变条件)若将本例中的“至多只有”改为“至少有”，如何求解？解：A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由例题解析可知，当m ＝0或m ＝13时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－12m >0，即m <13且m ≠0.所以A 中至少有一个元素时，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≤13.此题容易漏解m ＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当m ＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当m ≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对m 进行分类讨论.已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}解析：选D.由A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ＝0.计算得出，p ＝－3，q ＝4.则(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3； 即(x －1)2－4(x －1)＝0； 则x －1＝0或x －1＝4， 计算得出，x ＝1或x ＝5. 所以集合B ＝{1，5}．1．已知集合A ＝{x |－1<x <3，x ∈Z }，则一定有( ) A ．－1∈A B ．12∈A C ．0∈AD ．1∉A解析：选C.因为－1<0<3，且0∈Z ，所以0∈A .2．将集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1用列举法表示，正确的是( ) A ．{2，3} B ．{(2，3)} C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2，3)解析：选B.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1＝{(2，3)}． 3．给出下列说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x ，y )|x >0，y >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{y |y ＝x 2－1，x ∈R }与{y |y ＝x －1，x ∈R }是不相同的；④不等式2x ＋1>0的解集可用区间表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 其中正确的是________(填序号)．解析：对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点(x ，y )，所以①正确；对于②，方程x －2＋|y ＋2|＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，解集为{(2，－2)}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2}，所以②不正确；对于③，集合{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，集合{y |y ＝x －1，x ∈R }＝R ，这两个集合不相同，所以③正确；对于④，不等式2x ＋1>0的解集为{x |x >－12}，用区间表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，所以④正确． 答案：①③④4．设集合A ＝{4，a }，集合B ＝{2，ab }，若A 与B 的元素相同，则a ＋b ＝______． 解析：因为集合A 与集合B 的元素相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，ab ＝4，即a ＝2，b ＝2.故a ＋b ＝4.答案：4[A 基础达标]1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．一次函数y ＝2x －1的图像上的所有点组成的集合解析：选D.本题中的集合是点集，其表示一次函数y ＝2x －1的图像上的所有点组成的集合．故选D.2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}解析：选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C 中t ＝0时，x ＝－3，不属于给定的集合；只有D 是正确的．故选D.3．已知集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0，1}，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选A.由题意，x 2＋ax ＝0的解为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a ，所以a ＝－1.4．(2019·襄阳检测)已知集合A ＝{1，2，4}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝x y ，x ∈A ，y ∈A ，则集合B 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B.因为A ＝{1，2，4}．所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝x y ，x ∈A ，y ∈A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，14，2，4，所以集合B 中元素的个数为5. 5．下列说法中正确的是( ) ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．只有②和④解析：选C.①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．6．不等式3x －13≤x 的解集可用区间表示为________．解析：由3x －13≤x ，得x ≤16，故不等式的解集为{x |x ≤16}，可用区间表示为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，16. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，167．用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N *}为____________．解析：集合A 是由方程x ＋y ＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1，故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．答案：{(0，3)，(1，2)，(2，1)}8．已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－3x ＋a ＝0}用列举法表示为________． 解析：因为－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，所以(－5)2＋5a －5＝0，解得a ＝－4.所以x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4，所以{x |x 2－3x ＋a ＝0}＝{－1，4}．答案：{－1，4}9．用列举法表示下列集合：(1){x |x 2－2x －8＝0}；(2){x |x 为不大于10的正偶数}；(3){a |1≤a <5，a ∈N }；(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N ； (5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}．解：(1){x |x 2－2x －8＝0}，列举法表示为{－2，4}．(2){x |x 为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}．(3){a |1≤a <5，a ∈N }，列举法表示为{1，2，3，4}．(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N ，列举法表示为{1，5，7，8}． (5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}，列举法表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．10．用描述法表示下列集合：(1){0，2，4，6，8}；(2){3，9，27，81，…}；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，34，56，78，…； (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．解：(1){x ∈N |0≤x <10，且x 是偶数}．(2){x |x ＝3n ，n ∈N *}．(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －12n ，n ∈N *. (4){x |x ＝5n ＋2，n ∈Z }．[B 能力提升]11．若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：选C.集合A 中只有一个元素，即方程kx 2＋4x ＋4＝0只有一个根．当k ＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k ≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k ＝0，即k ＝1.所以实数k 的值为0或1.12．设P 、Q 为两个实数集，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B.因为0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}．故选B.13．(2019·襄阳检测)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z }，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z }，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则( )A ．a ∈M ，b ∈PB ．a ∈P ，b ∈MC ．a ∈M ，b ∈MD ．a ∈P ，b ∈P解析：选A.设x 0＝2n ＋1，y 0＝2k ，n ，k ∈Z ，则x 0＋y 0＝2n ＋1＋2k ＝2(n ＋k )＋1∈M ，x 0y 0＝2k (2n ＋1)＝2(2nk ＋k )∈P ，即a ∈M ，b ∈P ，故选A.14．设a ∈N ，b ∈N ，a ＋b ＝2，集合A ＝{(x ，y )|(x －a )2＋(y －a )2＝5b }，(3，2)∈A ，求a ，b 的值．解：由a ＋b ＝2，得b ＝2－a ，代入(x －a )2＋(y －a )2＝5b 得：(x －a )2＋(y －a )2＝5(2－a )①，又因为(3，2)∈A ，将点代入①，可得(3－a )2＋(2－a )2＝5(2－a )，整理，得2a 2－5a ＋3＝0，得a ＝1或1.5(舍去，因为a 是自然数)，所以a＝1，所以b＝2－a＝1，综上，a＝1，b＝1.[C 拓展探究]15．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素有多少个？解：若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5＋1＝11(个)；若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．所以共有11＋4＝15(个)．。
(新教案)集合的表示方法
教师活动学生活动设计意图元素的集合集合当然也可以用图示法表示。
例1：用适当的方法表示下列集合⑴由24与30的所有公约数组成的集合答：{1,2,3,4}⑵大于10的所有自然数组成的集合答：{x│x>10,x∈N}⑶所有正偶数组成的集合答：{x│x=2n,n∈N*}直角坐标系中，第二象限内的点构成的集合答：{（x,y）│x<0.y>0}抛物线y=x2上的所有点组成的集合{(x,y)│y=x2}（二）各种表示法的适用范围它们各有优点．用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析．（l）有的集合可以分别用三种方法表示．例如“小于的自然数组成的集合”就可以表为：①列举法：；②描述法：；③图示法：如图1。
（2）有的集合不宜用列举法表示．例如“由小于的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素—一列举出来，但这个集合可以这样表示：①描述法：；②图示法：如图2．（3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义．例如：①集合中的元素是，它表示函数中自变量的取值范围，即；②集合中的元素是，它表示函数值。
的取值范围，即；③集合中的元素是点，它表示方程的解组成的集合，或者理解为表示曲线上的点组成的集合；学生回答问题加深对概念的巩固和应用④集合 中的元素只有一个，就是方程 ，它是用列举法表示的单元素集合．实际上，这是四个完全不同的集合．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素—一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．例2：把下列集合用另一种方法表示出来 1．{x │x 2-x-6=0}2．{y │y= x 2-x-6,x ∈R} 3．{(x,y)│y= x 2-x-6,x ∈R }4．{(x,y)│x+y=5,x ∈N*，y ∈N* } 分析：（1）－2，3（2）代表元素是y ，这个集合是当x 取任意实数时，二次函数y= x 2-x-6的所有函数值的集合。
表示集合的三种基本方法
表示集合的三种基本方法
表示集合的三种基本方法是：子集构造法、并集构造法和规格语法(set-builder notation)。
子集构造法是指一个集合可以由他的子集来构成，其中一个集合A包含所有的子集B，C，D，…，那么它就可以用A = {B, C, D, …}来表示。
这种方法也可以把一个复杂的集合分解成几个子集来构造，比如说有一个集合S，它可以由S1和S2构成，那么它可以用S = S1∪S2来表示，它的意思就是S1和S2的并集就是S。
并集构造法是指一个集合可以由它的并集来构成，其中一个集合A包含所有的子集B，C，D，…，那么它就可以用A = ∪{B, C, D, …}来表示。
这种方法可以把一个复杂的集合分解成几个子集来构成，比如说有一个集合S，它可以由S1，S2，S3构成，那么它可以用S = S1∪S2∪S3来表示，它的意思就是S1，S2，S3的并集就是S。
规格语法(set-builder notation)是一种比较抽象的表示方式，它可以用来表示一个集合的成员，比如说有一个集合S={x | x是偶数}，那么可以用S={x | x为偶数}来表示，它的意思就是集合S包含所有的偶数。
总之，表示集合的三种基本方法是子集构造法、并集构造法和规格语法(set-builder notation)。
子集构造法
可以将一个复杂的集合分解成几个子集来构成；并集构造法可以将一个复杂的集合由它的并集来构成；规格语法(set-builder notation)可以用来表示一个集合的成员。
集合的表示法
作业
课堂练习：
课本P6 1、2、3
课后作业：
课本P6 1、2、3
Thank you！
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解：
（ 1） （ 2）
（ 3）
{ 4 ，5 ，6 ，7 ，8 } { 1 ，-1 }
{ 2，4 ，6，8， …，96，98 }
集合中的元素具有：
确定性、 互异性、 无序性.
互异性也叫无重性 是 指集合中的元素 互异性 不能重复出现. 无序性是指集 无序性 合中的元素不 计较排列次序.
确定性 确定 性是指组 成集合的元素 是确定的.
解（1）
0,1,2 （2） x x 2 （3） ( x, y) y x
练一练：
选择适当的方法表示下列集合： （1）小于5的有理数组成的集合； （2） x 1 2 不等式 的解集； （3）所有的正偶数组成的集合. （4）大于-1且小于3的整数组成的集 合 （5）平面直角坐标系中，直线上 y x 的 点组成的集合。
解答：
解： （1）小于5的有理数组成的集合为：
（2）x 1 2 不等式 的解集为：
x
x 5, 且 x Q
x
x 1, 且 x R 或写成 x x 1
（3）所有的正偶数组成的集合为：
x x 2n, n N
（4）大于-1且小于3的整数组成的集合
将集合元素满足的特征性质或者条件用形式 写出来 表示集合的方法，叫做描述法. 其中，大括号内竖线左边的 是集合的代表元素， 竖线右边的 是集合的元素 满足的特征性质或者条件.
例2 . 用描述法表示下列集合： （1）大于2的整数组成的集合； （2）不等式 x 2 3 的解集； （3）所有三角形组成的集合. 解： （1） x x 2, 且 x Z （2） x
1.2集合的表示法解读
1.4.2
并集
定义： 一般的，对于两个给定集合A，B，把它们 所有的元素合并在一起构成的集合，叫做A 与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”。
A
B
A
B
1.4.2
对于任何两个集合都有
并集
（1）A∪B=B∪A； （2）A∪A=A； （3）A∪ = ∪A=A。 若A B，则A∪B=B；若A B，则 A∪B=A
1.3.1 子集，空集，真子集
很容易由上面几个例子看出集合A中的任何 一个元素都是集合B的元素，集合A，B的 关系可以用子集的概念来表述。
1.3.1 子集，空集，真子集
1. 子集 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一 个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集 合B的子集，记作：A B （或 B A）， 读作A包含于B（或B包含A）。
1.3.2 集合的相等
对于两个集合A与B，如果A B，且B A，则称集合A与B相等，记作A=B。
例如：A={x|x2=4}，B={2，-2} A和B就是两个相等的集合。
1.3.2 集合的相等
例1：说出下面两个集合的关系 （1）A={1，3，5，7}，B={3，7}； （2）C={x|x2=1}，D={-1，1}； （3）E={偶数}，F={整数}。
1.4.1
交集
很容易看出集合C中的元素既在集合A中， 又在集合B中。
A
C
B
1.4.1
交集
2、交集的概念 一般的，由所有属于集合A又属于集合B的 元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的 交集，记作AB
1.4.1
A B
交集
A∩B ≠ Φ
相交
A∩B=Φ
不相交 A∩A=A
1.5 充分条件与必要条件
集合的表示方法
用列举法表示下列集合
（1）我国古代四大发明组成的集合； （2）大于2且小于15的所有素数组成的集合； （3）方程x2=4的所有实数解组成的集合； （4）所有正偶数组成的集合
（1）{造纸术，印刷术，指南针，火药}； （2）{3，5，7，11，13，}； （3）{2，-2}； （4）{2，4，6，…，2n，…}
（1）[-1，3]; （2）（0，1]; （3）[2，5）； （4）（0，2）； （5）（-∞，3）； （6）[2，+∞）；
（2）{x|0<x≤1}; （4）{x|0<x<2}; （6）{x|x≥2};
小结
（1）列举法表示集合； （2）描述法表示集合； （3）运用区间表示集合；
Thank s
ห้องสมุดไป่ตู้
区间及其表示2
（5）集合{x|x≥a}可以简写为[a，+∞）； （6）集合{x|x>a}可以简写为(a，+∞）； （7）集合{x|x≤a}可以简写为（-∞，a]； （8）集合{x|x<a}可以简写为（-∞，a)；
用区间表示下列集合
（1）{x|-1≤x≤3} ; （3）{x|2≤x<5}; （5）{x|x<3};
（1）∉； （2）∉； （3）∉； （4）∉；
例1：用适当的方法表示下列集合
（1）方程x（x-1）=0的所有解组成的集合A； （2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B；
解：（1）因为0和1都是方程x（x-1）=0的解，而且这个方程只有两个 解，所以A={0，1}； （2）因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此 B={（x，y）|x>0，y>0};
描述法
（1）格式1：{x|p（x）}，p（x）称为集合A的一个特征性质。如： 所有平行四边形组成的集合可以表示为：{x|x是一组对边平行且相等的 四边形}； 所有能被3整除的整数组成的集合可以表示为：{x|x=3n，n∈Z}； 所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为：{x|x=3n+1，n∈N}； （2）格式2：{x∈I|p（x）}，表示在集合I中，具有特征p（x）的所有 元素组成的集合。如： 所有被3除余1的自然数组成的集合既可以表示为：{x|x=3n+1，n∈N}， 也可以表示为{x∈N|x=3n+1，n∈Z}。
1.1 集合的表示方法(第2课时)
（1）A={0，
1}
（2）B={(x,y)|x>0,y>0}
判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法。
练一练
1.请用描述法表示下列集合：
（1）方程x 2 − 4 = 0的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B.
[来源
②{1,2,3，…}；
③将 x＝0 代入 y＝2x＋1，得 y＝1，即交点是(0,1)．
故交点组成的集合是{(0,1)}．
3（2）用描述法表示下列集合：
（3）不能出现未说明的字母，如｛ = 2｝未说明的取值情况，故集
合中的元素不确定.
（4）所有描述内容都要写在大括号里面，如写法｛ = 2｝，∈Z不符合要求，
应改为｛ = 2，∈Z ｝
典例2
用适当的方法表示下列集合：
（1）方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A；
自然数集N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝
（3）当集合所含元素属性特征不易表述时，用列举法比较方便，如
｛, + , 2 , ｝
集合的分类
【有限集】含有有限个元素的集合
【无限集】含有无限个元素的集合
典例1
用列举法表示下列集合
（1）小于8的所有自然数的集合；
（2）方程x 2 + x = 0的所有实数根组成的集合.
但不能写成｛实数集｝｛全体实数｝｛R｝
（2）列举法表示集合时要注意：
①元素之间用逗总结
哪些集合适合用列举法表示呢？
（1）含有有限个元素且元素个数较少的集合
（2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解
2023年高考数学总复习第一章 集合与常用逻辑用语 第1节：集合(学生版)
2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第1节集合考试要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A ⊆B 真子集A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}表示4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()2.若集合P＝{x∈N|x≤2023}，a＝22，则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝()A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}4.(易错题)(2021·南昌调研)集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则由实数a的取值组成的集合为()A.{－2}B.{1}C.{－2，1}D.{－2，1，0}5.(2021·西安五校联考)设全集U＝R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则(∁U A)∩B＝()A.{x|x<0}B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤2}D.{x|x>2}6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T ＝()A. B.S C.T D.Z考点一集合的基本概念1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为()A.3B.4C.5D.62.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且86－x∈N}＝________.4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.考点二集合间的基本关系例1(1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.训练1(1)(2022·大连模拟)设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则a2022＋b2023的值为()A.0B.1C.－2D.0或－1(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A.(1，3)B.[1，3]C.[1，＋∞)D.(－∞，3]考点三集合的运算角度1集合的基本运算例2(1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}角度2利用集合的运算求参数例3(1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B 中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](2)已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A.a <－2B.a ≤－2C.a >－4D.a ≤－4训练2(1)(2021·全国甲卷改编)设集合M ＝{x |0<x <4}，N x |13≤x <aM ∩N ＝N ，则a 的取值范围为()A.a ≤13B.a >4C.a ≤4D.a >13(2)集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝∅，则a 的取值范围是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]Venn 图的应用用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn 图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.例1设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N +}，若A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1，5，7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，则A ＝________，B ＝________.例2(2020·新高考海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%例3向100名学生调查对A，B两件事的看法，得到如下结果：赞成A的人数是全体的35，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成.另外，对A，B都不赞成的人数比对A，B都赞成的学生人数的13多1人，则对A，B都赞成的学生人数为________，对A，B都不赞成的学生人数为________.1.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()A.{3}B.{1，6}C.{5，6}D.{1，3}2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5)B.[2，5)C.(2，5]D.[2，5]3.(2021·浙江卷)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝()A.{x|x>－1}B.{x|x≥1}C.{x|－1<x<1}D.{x|1≤x<2}4.(2022·河南名校联考)已知集合A＝{a，a2，0}，B＝{1，2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.±15.已知集合A＝{x∈Z|y＝log5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2<0}，则()A.A∩B＝AB.A∪B＝BC.B AD.A B6.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M 的个数是()A.0B.1C.2D.37.(2022·太原模拟)已知集合M＝{x|(x－2)2≤1}，N＝{y|y＝x2－1}，则(∁R M)∩N＝()A.[－1，＋∞)B.[－1，1]∪[3，＋∞)C.[－1，1)∪(3，＋∞)D.[－1，1]∪(3，＋∞)8.设集合A ＝{x |(x ＋2)(x －3)≤0}，B ＝{a }，若A ∪B ＝A ，则a 的最大值为()A.－2B.2C.3D.49.(2021·合肥模拟)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，集合B ＝{x ||x －1|≤2}，则A ∩B ＝________.10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A ＝{x |y ＝x －3}，B ＝{x |1<x ≤9}，则(∁R A )∩B ＝________.11.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________.12.已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，b 2，2a }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.13.若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}14.(2020·浙江卷)设集合S ，T ，S ⊆N +，T ⊆N +，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x ＜y ，则y x ∈S .下列命题正确的是()A.若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.16.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－12，12，1}，若M与N“相交”，则a＝________.。
列举法的表示方法
列举法的表示方法在数学和逻辑学中，列举法是一种常见的表示方法，用于将一组元素或事物按照一定的顺序逐个列出来，以便进行研究、分析或描述。
它是一种简洁明了的方式，可以帮助我们更好地理解和运用相关概念。
本文将介绍列举法的表示方法，并以实例进行说明。
一、逐个列举法逐个列举法是最基本和直接的表示方法之一。
它通常用于将有限数量的元素逐个列出，并用逗号或其他符号进行分隔。
例如，我们可以使用逐个列举法表示自然数集合{1，2，3，4，5}，其中每个元素都被列出并用逗号分隔。
二、横线表示法横线表示法是一种常见的列举法，尤其适用于表示具有一定规律的元素集合。
它使用横线将元素进行连接，以表示它们之间的关系或规律。
例如，我们可以使用横线表示法表示偶数集合{2，4，6，8，...}，其中省略号表示元素的规律性延续。
三、集合表示法集合表示法是一种常用的数学表示方法，用于表示集合的元素和特征。
它使用大括号包围元素，并使用逗号分隔不同的元素。
同时，还可以使用条件句描述集合中元素的特征。
例如，我们可以使用集合表示法表示正整数集合{x | x > 0}，其中x表示正整数，并使用竖线与条件句相连。
四、表格表示法表格表示法是一种清晰而整齐的列举方式，常用于展示具有多个属性或特征的元素集合。
它使用表格来呈现元素以及与之相关的特征，每一行表示一个元素，每一列表示一个属性。
例如，我们可以使用表格表示法列举一个学生名单，包括学生的姓名、年龄、性别等属性。
五、图形表示法图形表示法是一种直观而生动的列举方式，常用于呈现具有空间关系的元素集合。
它通过图形或图表的形式展示元素之间的关系或特征。
例如，我们可以使用图形表示法列举一个城市的地标，标示出每个地标在地图上的位置。
六、数列表示法数列表示法用于表示具有一定规律的数值序列，它以一个或多个初始项开始，并使用递推关系确定后续的项。
数列表示法可以使用通项公式或递归公式来描述元素之间的关系。
例如，我们可以使用数列表示法表示斐波那契数列{xx | xx = xx−1 + xx−2，x0 = 0，x1 = 1}，其中xx表示斐波那契数列的第x个元素。
高中数学-集合-函数及其表示
集合一、知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法：即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法：即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R.4、元素与集合之间的关系是属于与不属于，分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.二、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2、如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3、如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集，记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）. 4、不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5、性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆.三、集合的基本运算：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下B （读作“B （读作“{|A B x x ={|A B x x =实战演练1、设全集U ={1，2，3，4，5，6} ，设集合P ={1，2，3，4} ，Q ={3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=（ ）A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2、已知集合，，则满足条件的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B ð为（ ） A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}4、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A5、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________6、已知集合，，下列结论成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．7、设集合,集合是函数的定义域；则（ ）A. B. C. D.8、已知集合，，则= ( )A ．B ．C ．D ． 9、设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =( ) A.{,,}246 B.{1,3,5} C.{,,}124 D.U10、设集合M=，N=，则M ∩N =（ ）A ．B ．C ．D ． 11、若全集U=｛x ∈R|x 2≤4} A=｛x ∈R||x+1|≤1}的补集U C A 为2{|320,}A x x x x =-+=∈R {|05,}B x x x =<<∈N AC B ⊆⊆}4,3,2,1{=M }2,2{-=N M N ⊆M N M = N N M = }2{=N M {3213}A x x =-≤-≤B lg(1)y x =-A B =(1,2)[1,2][,)12(,]12{}320A x R x =∈+>{}(1)(3)0B x R x x =∈+->A B (,1)-∞-2(1,)3--2(,3)3-(3,)+∞{}1,0,1-{}2|x x x ={}1,0,1-{}0,1{}1{}0A |x ∈R |0＜x ＜2|B |x ∈R |0≤x＜2|C |x ∈R |0＜x≤2|D |x∈R |0≤x≤2| 12、已知全集U =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则 =A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6} 13、集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 14、若集合，，则= . 15、设集合，，则（ ）A 、B 、C 、D 、 16、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则 A.A ⊂≠B B.B ⊂≠A C.A=B D.A∩B=∅ 17、不等式的解集是为 （A ） （B ） （C ）（-2，1）（D ）∪()()U U C A C B ⋂{|lg 0}M x x =>2{|4}N x x =≤MN =(12)，[12)，(12]，[12]，}012|{>-=x x A }1|{<=x x B B A {,}A a b ={,,}B b c d =A B ={}b {,,}b c d {,,}a c d {,,,}a b c d 102x x -<+(1,)+∞(,2)-∞-(,2)-∞-(1,)+∞答案1. D Q {3，4，5}，∴C U Q ={1，2，6}，∴ P ∩（C U Q ）={1，2}.2. D:{}{}1,2,1,2,3,4A B ==,,1,2C ∈,则集合C 的个数为422=，故选3. C4. {}-1,25. 12⎡⎢⎣6.：，。
点集与数集的表示方法(一)
点集与数集的表示方法(一)点集与数集的表示方法在数学领域中，点集和数集是我们经常遇到的概念。
它们在数学模型、数据结构和算法等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍点集和数集的表示方法。
1. 点集的表示方法点集是由一组点组成的集合，每个点可以是二维坐标中的一个点，也可以是多维空间中的一个点。
以下是几种常见的点集表示方法：•显式法表示：显式法表示是通过列举所有的点来表示点集。
例如，对于一个二维平面上的点集，可以通过列举所有的坐标对来表示。
例如，点集{(-1, 2), (3, -4), (0, 0)}可以用显式法表示为：{(-1, 2), (3, -4), (0, 0)}。
•隐式法表示：隐式法表示是通过一定的条件来表示点集。
例如，可以通过一个方程来表示一个平面上的点集。
例如，一个以原点为中心，半径为5的圆可以用隐式法表示为：x^2 +y^2 = 25。
•参数方程表示：参数方程表示是通过参数的取值范围来表示点集。
例如，可以用参数t表示一个曲线上的点集。
例如，一个以原点为起点的单位圆可以用参数方程表示为：{ (cos(t),sin(t)) | 0 <= t <= 2π }。
2. 数集的表示方法数集是由一组数字组成的集合，它可以是有限的也可以是无限的。
以下是几种常见的数集表示方法：•列举法表示：列举法表示是通过列举所有的数字来表示数集。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}可以用列举法表示为：{1,2, 3, 4, 5}。
•描述法表示：描述法表示是通过一定的条件来表示数集。
例如，可以用描述法表示一个正整数的数集，即所有大于0且为整数的数字集合，可以表示为：{ n | n > 0, n ∈ Z }。
•区间法表示：区间法表示是通过给定一个起始点和一个终止点来表示连续的数集。
例如，可以用区间法表示一个介于2到5之间的实数数集，可以表示为：[2, 5]。
•集合法表示：集合法表示是通过另一个集合来定义数集。
集合的表示方法
• 1、自然语言法 • 用文字叙述的形式描述集合的方法叫自 然语言法，在使用此方法要注意叙述清楚 即可。如：参加2010年广州亚运会的运动 员构成的集合。
• 2、列举法 • 把集合的元素一一列举出来，并用 “｛｝”括起来表示集合的方法叫列举法。 2 如由方程 x 3x 2 0 的解构成的集合可以表示成｛1、2｝
• 3、描述法 • ⑴用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。 • ⑵具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一 般符号及取值（或变化）范围，在画一条竖线，在竖线后 写这个集合中元素所具有的共同特征 • ⑶描述法的一般形式是 x i p( x) , 其中x是集合中元素 的代表形式，i是元素的取值范围，在画一条竖线，在竖线 后写这个元素所具有的共同特征，如不等式x-6>0的解集 为x>6,可表示成 x R x 6 • ⑷列举法和描述法的优缺点 • 列举法有直观，明了的特点，但有些集合是不能用列举法 表示的，如x-1>0的解集，其缺点是不易看出集合中的具 体元素。
5、函数自变量构成的集合，例如函数y=x2+1图像上的点构成的 集合为｛(x，y)| y=x2+1 ｝ 6、多元方程（组）的解构成的集合，例如二元一次方程组
x y 2 x y 0
x y 2 的解构成的集合可表示为 ( x, y ) | x y 0
集合中的元素分析法
• 集合之间的关系和基本运算都是通过集合 的元素定义的，因此求解集合问题时，首 先要明确有关集合元素的特征与性质，再 按照“先定元素，再定性质”的方法进行。
Hale Waihona Puke 1、方程的解构成的集合，例如方程f(x)=0的解构成的集合为
集合的初步了解集合的概念和表示方法
集合的初步了解集合的概念和表示方法集合是数学中一个重要的概念，它是由一些特定对象组成的整体。
在集合论中，集合是由无序、互异的元素组成的。
本文将从初步了解集合的概念和表示方法两个方面进行讨论。
一、集合的概念集合是数学中一个基本的概念，它是由一些确定的对象组成的。
这些对象被称为元素，而元素的种类可以是任意的，可以是数字、字母、词语或者复杂的结构。
集合中的元素通常是无序排列的，即不考虑元素的顺序。
同时，一个集合中的元素是互异的，即集合中的元素各不相同。
集合的基本概念包括空集、有限集和无限集。
空集是不包含任何元素的集合，通常用符号∅表示。
有限集是包含有限个元素的集合，而无限集则是包含无穷个元素的集合。
二、集合的表示方法集合的表示方法有三种主要形式，包括列举法、描述法和集合运算法。
1. 列举法列举法是最简单直接的表示方法。
它通过列举集合中的元素来表示整个集合。
例如，集合A中包含元素1、2和3，可以表示为A={1, 2, 3}。
这种表示方法通常适用于元素个数较少的集合。
2. 描述法描述法是通过描述集合中元素的共同特征或满足的条件来表示集合。
例如，集合B表示所有正整数，可以表示为B={x｜x是正整数}。
这种表示方法适用于元素个数无限的集合，它能够简洁地表达集合中元素的规律。
3. 集合运算法集合运算法是通过集合之间的运算来表示新的集合。
常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集表示包含两个集合中所有元素的集合，交集表示两个集合中共有的元素组成的集合，差集表示从一个集合中去除另一个集合中的元素得到的集合，补集表示相对于一个全集中的另一个集合的差集。
三、总结本文初步介绍了集合的概念和表示方法。
集合是由一些特定对象组成的整体，包括空集、有限集和无限集。
集合的表示方法有列举法、描述法和集合运算法，分别通过列举元素、描述共同特征和进行集合运算来表示集合。
在数学中，集合是进行许多其他数学概念和推理的基础，深入理解和掌握集合的概念与表示方法对于数学学习和应用具有重要意义。
高一数学必修一 第一章 知识点与习题讲解
精心整理必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲§1.1.1集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1.把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，基本形式为{*N 或N +N ，2-解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．x =a =1x =-⑶方程有一解为x =代入得a =1x =+，合． 综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.包含包含A 的元，记作B A =，则A B A =，则¤例题精讲：1】用适当的符号填空：）{菱形}{平行四边形等腰三角形}{等边三角形，；，∈，，. （）. 两A =易知B ≠A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆； （ii ）若0a ≠时，得1{}N a =.若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-.点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅”，因为A =∅时存在A B ⊆.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}.若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0,所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去. 若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0,即(x -1)(2x +1)=0.又x ≠1，所以只有1x =-. A B （读作“A B （读作“,()U B AB ð.{|3A B x =()U A B =【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ；（2）()A A B C ð.解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C BC =------.∴()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.A-13 5 9 x解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C AB ，()UC AB ，()()U U C A C B ，()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}AB =，则(){1,2,3,4,6,7,9}UC AB =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，()U C B =由计算结果可以知道，()()U U C B C AB =，()()U U C B C AB =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C AB =与()()()U U U C A C B C AB =，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.4讲§1.1.3集合的基本运算（二）：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中)()()U U U C B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2.集合元素个数公式：()()()()n ABn A n B n A B =+-.3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维¤例题精讲：}{}21,,9,5,1a B a a -=--，若{}9A B =，求实数{}9B =，则有：={9, 0, 4}－，不合题意，故舍去；不合题意，故舍去；P 14B组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =；当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}AB =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}AB a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论.罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}，B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若AB =B ，求实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-.由AB =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之集合B =,UC x A ∉且：根据题意可知，{|B x x -={1,3,4,7,8}=()U C B .进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，了解构成函数的要素，B y =). 3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121y x =+-；（2）y =.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-；（2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠.所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+.所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1xf x x-=+.求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式素（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －. 又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x)=33x x-+⎪⎩(,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵0(,1)∈-∞，∴f(0)=，∴f3-3=2+12=52，即f [f (0)]=52. 【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（教材P 26练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|x x y x -≥⎧=-=⎨.区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasingfunction ）.仿照增函数的定义可定义减函数.2.如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3.判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2)→判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <.则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x x R ∈，且12x x <.则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.b b0<，即(f得到f ¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1.定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x =M .那么，称M 是函数()y f x =的最大值（MaximumValue ）.仿照最大值定义，可以给出最小值（MinimumValue ）的定义.2.配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224(24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3.单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4.图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值. 解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件.现在他采用提高解10(10)x -件，所赚得的利润为8)[10010(10)]x --.即2280160010(x +-=-时，max 360y =所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大,最大利润为】求函数21y x x =+-的最小值解在t ≥（解（作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-.所以函数的最大值为3,最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.第9讲§1.3.2函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1.定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（evenfunction ）.如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（oddfunction ）.2.具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-；（2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()(()f x x x f x x x-=--=--=--，所以为奇函数..2(3f a 又∵()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减. 又(0)(0)f f -=-，解得(0)0f =，所以()f x 的图象在R 上递减. ∵22(33)(32)f a a f a a +-<-， ∴223332a a a a +->-，解得1a >.点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点.由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ）A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减．2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是（）,B ∈A B B A B C A C U U D.B C A C U U11.下列函数中为偶函数的是（）A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y12.如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0或1C ．1D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________．14．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{ab a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a . 16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分）17.已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18.19.x ）在R 20.}；）］，1＝f 所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．19.．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1． 当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．20. 二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称， ∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-. ．。
模糊集合的表示方法
模糊集合的表示方法
模糊集合可以通过以下几种方式来表示：
1.标准表示法：用一个元素属于模糊集合的隶属度来表示该元素在模糊集合中的“程度”。
例如：设模糊集合A表示“高”，则A的标准表示法为
A={(x,μA(x))|x∈X}，其中μA(x)表示元素x在A中的隶属度。
2.数值表示法：用一个有限的实数数列表示模糊集合中各个元素的隶属度。
例如：设模糊集合A表示“高”，则A的数值表示法为
A={μ1,μ2,…,μn}，其中n表示元素的个数，μi表示第i个元素在A 中的隶属度。
3.图形表示法：用一个图形来表示模糊集合。
例如：设模糊集合A表示“高”，则A的图形表示法可以是一个三角形，该三角形的顶点表示该模糊集合的取值范围，在这个范围内，元素的隶属度随着距离顶点的远近而递减。
4.语言表示法：用自然语言来描述模糊集合。
例如：设模糊集合A表示“高”，则A的语言表示法为“身高比较高的人”。
用区间法表示集合
用区间法表示集合摘要：1.区间法表示集合的概念2.区间法表示集合的优点3.区间法表示集合的应用实例4.如何在数学运算中使用区间法表示集合5.总结正文：集合是数学中的一个基本概念，它包含了具有某种特定性质的元素。
在数学研究中，表示集合的方法有很多，其中区间法是一种常见且实用的表示方法。
一、区间法表示集合的概念区间法表示集合是一种用开区间、闭区间或半开区间来表示集合的方法。
对于一个实数集合，如果它包含端点，那么我们可以用闭区间表示；如果它不包含端点，那么我们可以用开区间表示。
例如，集合{1≤x≤3}可以用闭区间[1,3]表示，而集合{x>3}可以用开区间(3, +∞)表示。
二、区间法表示集合的优点区间法表示集合具有以下优点：1.直观：用区间表示集合，可以直观地表示出集合中的元素范围。
2.方便：在计算集合的并、交、补等运算时，区间法表示集合可以简化运算过程。
3.易于比较：通过观察区间的关系，可以方便地比较两个集合的大小和包含关系。
三、区间法表示集合的应用实例在实际问题中，区间法表示集合有着广泛的应用。
例如，在物理领域，可以用区间表示一个物体的速度范围；在经济学领域，可以用区间表示商品的价格区间；在生物学领域，可以用区间表示某种基因在群体中的分布范围等。
四、如何在数学运算中使用区间法表示集合在数学运算中，我们需要将集合用区间表示，然后根据区间的性质进行运算。
以下是一些基本运算规则：1.并集：两个区间并集表示的是一个更大的区间，覆盖了原两个区间的所有实数。
2.交集：两个区间交集表示的是一个较小的区间，它是原两个区间共有的部分。
3.补集：一个区间的补集表示的是另一个区间，它们在数轴上互为补集。
五、总结区间法表示集合是一种直观、方便且实用的表示方法，它在数学及其应用领域有着广泛的应用。
101集合的含义与表示法
3≠x2-2x 解得x≠-1,且x≠0,且x≠3.
x≠x2-2x
集合的表示法
你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？ 集合的表示法之三：描述法。 试说明下面集合的元素性质： (1) {x|y=x2+1}; (2) {y|y=x2+1};
(3) {(x,y)|y=x2+1}.
集合的表示法
试说出下面集合的元素：
集合的特征二：元素的互异性。 两个集合相等的条件
集合的表示法
阅读课本第3页，思考下列问题
（1）元素、集合通常用什么字母表示？
（2）元素与集合有什么样的关系？ 通常用
什么符号表示？
（3）有哪些常用的数集？它们通常用什么符号表示？
3、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集） ： 全体非负整数组成的集合.记作N （2）正整数集:
集合的概念 案例分析 （7）余杭高级中学2014级自主（1）班全体女同学； （8）余杭高级中学2014级自主（1）班全体漂亮的女 同学； （9）余杭高级中学2014级自主（1）班全体个子很高 的同学；
集合的概念
元素：我们把研究对象统称为元素。 集合：把一些元素组成的总体称为集合。
集合的特征一：元素的确定性。
所有正整数组成的集合.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数组成的集合.记作Z （4）有理数集 ：全体有理数组成的集合.记作Q （5）实数集： 全体实数组成的集合 .记作R
注：（ 1 ）自然数集与非负整数集 是相同的，也就是说，自然数集包 括数0.
（2）非负整数集内排除0的集, 记作N* 或N+ .
集合的含义与表示法
集合的学习内容简介 一、集合是数学的基本概念之一。 二、集合有它自身的一整套的知识体系。
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自然语言：
自然语言是比较少用的方法,多数用于口头表示集合中,少数用于书面.
列举法：
列举法用于表示集合内元素较少的集合或者是无限集但是可以直观的看出集合内元素的规律,列举法的优点在于它比较简便,直观
描述法是比较常用的方法；
一般用于集合内的元素是无限个或是有些时候集合内的元素是实数或者为一个点,且这些元素具有不断共同特征.
若这些元素是有限或无限个但是无法找出其中的规律所在就不可用描述法了，就使用列举法.。