抛物线的简单几何性质新
新教材高中数学3-2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质课件新人教A版选择性必修第一册
[方法技巧] 过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点的弦的端点为 A(x1，y1), B(x2， y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方 程联立、消元，由根与系数的关系求出 x1＋x2 即可．
[对点练清] 1．[变条件]本例中，若点 A，B 是倾斜角为 60°的直线与抛物线
对称轴 顶点
离心率
_x__轴
_O__(0_,_0_) _e_＝__1__
__y__轴
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)抛物线 x2＝2py(p>0)有一条对称轴为 y 轴．
()
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心． ( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．
(4)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线．
∴y1＝ 33x1，与 y21＝2px1 联立， 解得 y1＝2 3p. ∴|AB|＝2y1＝4 3p.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两
点，且|AF|＝3|BF|＝3，求此抛物线的方程． 解：设抛物线的准线交 x 轴于点 F′，分 别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 A′， B′，直线 l 交准线于点 C，如图所示． 则|AA′|＝|AF|＝3，|BB′|＝|BF|＝1，|AB| ＝4，|FF′|＝p，所以||BABA′′||＝||BACC||，即13＝ |B|CB|C＋| 4，解得|BC|＝2，又||BFBF′ ′||＝||BCCF||，即1p＝23，解得 p＝32， 所以抛物线方程为 y2＝3x.
D．1
答案：D
4．过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，
抛物线的简单几何性质
F
x 2 py ( p 0)
2
y
O F
l
x l
y0 y0
x
2、抛物线的焦半径公式：
| PF | d
点P ( x0 , y0 )在对应抛物线上 , p y 2 px ( p 0) :| PF | x0 ; 2
2
3、若A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )是y 2 px( p 0)的
y A
E
O D
M
F
B
x
对这个结论的再发现: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
|y1|· |y2|=p2
几何解释,就是
M
2
MK NK KF
K
N
3、若点A、B在此抛物线的准线上的射影分别为 A1、B1 , 则A1 FB1
y A
E
O D
M F
B x
课堂小结
1.抛物线有许多几何性质，探究抛物 线的几何性质，可作为一个研究性学 习课题，其中焦点弦性质中的有些结 论会对解题有一定的帮助. 2.焦点弦性质y1y2＝－p2是对焦点在x 轴上的抛物线而言的，对焦点在y轴 上的抛物线，类似地有x1x2＝－p2.
小结： 抛物线的焦点 弦有及其丰富的内涵， 有如下的一些结论： 2p (1) AB x1 x2 p sin 2 (为直线AB的倾斜角 ). 2 p 2 (2) y1 y2 p ; x1 x2 . 4
2
p y 2 px ( p 0) :| PF | x0 ; 2 p 2 x 2 py( p 0) :| PF | y0 ; 2 p 2 x 2 py( p 0) :| PF | y0 . 2
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。
本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。
这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。
这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。
2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。
这条直线称为抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。
对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。
对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。
将其代入方程中得到对应的 y坐标。
4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。
焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。
准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。
焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。
5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。
焦距的计算公式为f = 1/(4a)。
由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。
当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。
根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。
当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。
抛物线的简单几何性质
x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；
抛物线的简单几何性质
消去 y，整理得 4x2－17x＋4＝0， 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝ 147＋2＝245. 所以，线段 AB 的长为245.
[点评] 过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长问 题是抛物线中常见问题．解决此类问题，通常有三种 解法：(1)焦点弦长公式，
|AB|＝ p－y1－y2
典例精析
类型一 抛物线的简单几何性质 [例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距 离为3，求抛物线的方程． [分析] 先确定抛物线方程的形式，再依条件求待 定参数．
[解] 椭圆 9x2＋4y2＝36 可化为x42＋y92＝1，得抛物 线的对称轴为 x 轴．
(2)顶点在原点，对称轴为y轴时的抛物线方程可设 为x2＝ay(a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时， 抛物线开口向下．
类型二 抛物线的焦点弦问题 [例 2] 斜率为43的直线 l 经过抛物线 y2＝2px 的
焦点 F(1,0)，且与抛物线相交于 A、B 两点． (1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段 AB 的长； [分析] (1)由抛物线焦点坐标得 p 值，求出抛物
(3)方法一：如图 4，知直线 AB 斜率必存在 故设 AB 方程为 y－1＝m(x－1) 即 y＝mx－m＋1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则由yx＝2＝m4xy－m＋1 得 x2－4mx＋4m－4＝0
图4
则 x1＋x2＝4m，而x1＋2 x2＝1 即 x1＋x2＝2 ∴4m＝2，m＝12， 故直线 AB 方程为 x－2y＋1＝0.
方法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xx2122＝ ＝44yy12① ②
高二数学抛物线的简单几何性质2
第2课时抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。
4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。
2.3.2抛物线的简单几何性质
x≤0
y∈ R y≥0 (0,0) 1
x∈ R y ≤0
x∈R
y
O F
y轴
l 2 x = -2py F (0, p ) x
（p>0）
2
p y 2
例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点,并且过点 M(2, 2 2 ),求它的标准方程. 例4 斜率为1的直线l经过抛物线 y2 = 4x的焦点F，且与抛物 线相交于A,B两点,求线段AB的长. 方法1：求出A,B两点坐标，用两点间距离公式求|AB|. 方法2：利用|AF|=dA到准线， |BF|=dB到准线，表示|AB|. 例5 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k, 当k为何值时，直线l与抛物线:只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点.
o
p 2
p 2.o xy源自p 0, 2 . o
y2=2px
y
x
.o
y
x
o
.
y x
.
o
y x
y2= -2px
x2=2py
x2= -2py
方 程 特 点
（1）方程的左边是二次项，等号的右边是一次项；
（2）焦点在一次项的那个轴上，坐标是一次项系数的
（3）抛物线的准线的方程是一次项系数的— （4）焦点到准线的距离为p
2.3.2 抛物线的简单几何性质
y2=2px 1.范围： x≥0,y∈R 抛物线关于x轴对称。 2.对称性： 对称轴叫做抛物线的轴。 3.顶点: （0，0) 叫做抛物线的顶点。 4.离心率:
K
d
o
﹒ F x
M
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距 离之比，叫做抛物线的离心率。e=1
抛物线的简单几何性质
y
1 y2
k
(x 4x
2)
Y
可得ky2 4 y 4(2k 1) 0 (1)当k 0时，由方程得 y 1.
P·
把y 1代入y2 4x,得x 1 .
O
X
4
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(1 ,1) 4
例1 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k 为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点？
(0,0)
e=1
x2 2 py ( p 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
(0,0) e=1
( p 0) x R 对称中心
例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点， 并且经过点(2,2 2),求它的标准方程。
（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大
课堂小结
（1）抛物线的简单几何性质 （2）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点 （3）应用性质求标准方程的方法和步骤
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
3、注重数形结合的思想。
例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
点A的坐标为(
y02 2p
,
y0
),则直线OA的方程为y
抛物线的准线是x p
2.3.2抛物线的简单几何性质课件人教新课标1
例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的
焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线
段AB的长.
解法一:
y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A
所以直线AB的方程为y=x -1 o F x
联立方程组得 y2 4x ①
B
y x 1
②
y
②代入①得 (x-1)2=4x
A
整理得 x2-6x+1=0
可知 |AF|=dA=x1+1， |BF|=dB=x2+1，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A’
dA A
所以直线AB的方程为
y=x -1 ①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x，得 (x-1)2=4x
y
A’
A
整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 3 2
直线l的方程为
P
y=kx+2k+1
o
x
y=kx+(2k+1)
由方程组 y2=4x
(І)
可得 ky2-4y+4(2k+1)=0 (П) (1)当k=0时，由方程(П)，得 y=1
把x1 y=1代入y2=4x ， 得
y
4
这时，直线l与抛物线只有 一个公共点 (1/4 ， 1 )
P
(2)当k≠0时，方程(П)的
oF x
解得: ， x1 3 2 2
B
x2 3 2 2
将x1 ， x2代入y=x-1得AB坐标为
A(3 2 2,2 2 2) B(3 2 2,2 2 2)
原创3：2.3.2 抛物线的简单几何性质
∴－1＜k＜13，因此－1＜k＜31且 k≠0.
综上可知，斜率 k 的取值范围为k－1＜k＜பைடு நூலகம்3且k≠0
.
题目类型三、抛物线的焦点弦问题
例 3、 已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过 焦点且倾斜角为π4的直线 l 被抛物线所截得的弦长为 6，求抛 物线方程．
【思路探究】 (1)焦点在 x 轴上的抛物线方程如何设？ (2)过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求？它被抛物线 截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？
3．过抛物线焦点的弦长 设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p＞0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p＞0) |AB|＝y1＋y2＋p x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2)
【变式训练】 本例中，若把直线的倾斜角改为 135°，被抛物线截得的 弦长改为 8，其他条件不变，试求抛物线的方程． 【解】 如图，依题意当抛物线方程设为 y2＝2px(p＞0) 时，
抛物线的准线为 l，则直线方程为 y＝－x＋12p.
设直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2
标准方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py (p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
图形
范围 x≥0，y∈R 性 对称轴 x轴 质 顶点 O(0,0)
离心率 e＝1
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 y轴
知识点二、直线与抛物线的位置关系
【问题导思】 1．直线与抛物线有哪几种位置关系？ 【提示】 三种：相离、相切、相交． 2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相 切吗？ 【提示】 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的 直线与抛物线相交时，也只有一个交点．
抛物线的简单几何性质(综合)
外切
总结词
当抛物线的焦点在圆外，且圆心在抛物线上 时，抛物线与圆相切于两点，即外切。
详细描述
外切的情况发生在抛物线的焦点位于圆心所 在直线的另一侧时。此时，圆心到抛物线准 线的距离等于圆的半径，因此抛物线与圆相 切于两点。
相交
总结词
当抛物线的焦点在圆内或圆在抛物线上时， 抛物线与圆有两个交点，即相交。
抛物线的简单几何性质(综合)
目 录
• 抛物线的定义与基本性质 • 抛物线的对称性 • 抛物线的几何变换 • 抛物线与直线的交点 • 抛物线与圆的位置关系 • 抛物线的实际应用
01 抛物线的定义与Байду номын сангаас本性质
定义
01
抛物线是一种二次曲线，其方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a neq 0$。
关于原点的对称性
总结词
抛物线关于原点的对称性表现为，将抛物线绕原点旋转180度，其形状和位置 保持不变。
详细描述
当抛物线绕原点旋转180度时，抛物线的开口方向发生改变，顶点的位置也发生 改变，但抛物线的形状和位置保持不变，即关于原点对称。
03 抛物线的几何变换
平移
总结词
平移不改变抛物线的形状和开口方向，只是沿垂直或水平方向移动抛物线。
联立方程法
将抛物线的方程与直线的 方程联立，解出交点的坐 标。
判别式法
利用二次方程的判别式来 判断直线与抛物线是否有 交点，以及交点的个数。
参数方程法
利用抛物线的参数方程， 将参数表示为交点的坐标。
交点与弦长
弦长公式
根据抛物线与直线的交点坐标，利用弦长公式计算弦长。
抛物线的简单几何性质
抛物线与其他图形位置关系探讨
与坐标轴交点
与其他二次曲线关系
抛物线可以与坐标轴交于一点、两点 或不相交，这取决于抛物线的方程和 系数。
抛物线与椭圆、双曲线等二次曲线可 以有不同的位置关系，如相切、相交 或相离。
与直线交点
抛物线与直线的交点个数可以是0个 、1个或2个，具体情况需要联立方程 求解。
位置关系在解题中应用举例
准线
抛物线的准线是一条与对称轴平行的直线，且到焦点的距离等于焦距。对于标准 方程 $y^2 = 4px$，准线的方程为 $x = -p$。
开口方向与对称轴
开口方向
抛物线的开口方向由标准方程中的 $x$ 或 $y$ 的系数决定。对于标准方程 $y^2 = 4px$，抛物线开口向右；对于 $x^2 = 4py$，抛物线开口向上；以 此类推。
对于开口向上的抛物 线 y = ax^2 (a > 0) ，焦点坐标为 (0, 1/4a)。
对于一般形式的抛物 线，焦点坐标可以通 过配方和平移等方法 求得。
对于开口向下的抛物 线 y = -ax^2 (a > 0)，焦点坐标为 (0, 1/4a)。
顶点和焦点关系探讨
抛物线的顶点是离焦点最近的点，也是抛物线的对称中心。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0)，可以 通过完成平方等方法，将其转化为标准形式，进而求得准线 方程。
对称轴方程求法
对于标准形式的抛物线 y^2 = 2px (p > 0)，其对称轴方程为 x = 0，即 y轴。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0)，其对称轴方程为 x = -B/2A。
2024-2025学年高中数学3.3.2抛物线的简单几何性质教案新人教A版选择性必修第一册
c. 学生解决实际问题时，是否能够将问题抽象为抛物线模型，并正确运用所学知识。
2. 针对存在的问题，给出以下改进建议：
a. 对于标准方程掌握不足的学生，建议加强基础知识的复习，特别是椭圆、双曲线与抛物线之间的联系。
b. 对于几何性质理解不深的学生，建议通过绘制图像、实际操作等方式，加强直观认识。
c. 对于实际问题解决能力不足的学生，建议多参与小组讨论、实验活动等，提高将理论知识应用于实际的能力。
3. 定期对学生的作业情况进行总结，及时调整教学方法，以提高教学效果：
a. 根据作业完成情况，调整课堂教学的节奏和深度，确保学生能够跟上教学进度。
b. 对于普遍存在的问题，可以在课堂上进行集中讲解，帮助学生克服难点。
2024-2025学年高中数学 3.3.2 抛物线的简单几何性质教案 新人教A版选择性必修第一册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容
2024-2025学年高中数学 3.3.2 抛物线的简单几何性质教案，本节内容选自新人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线3.3抛物线部分。具体内容包括：
情感升华：
结合抛物线内容，引导学生思考数学与生活的联系，培养学生的社会责任感。鼓励学生分享学习抛物线的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的抛物线简单几何性质，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的抛物线内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
4. 数学运算：在解决抛物线相关问题时，培养学生熟练运用数学公式和运算方法，提高数学运算能力。
人教A版高中数学选修1-1课件122.3.2《抛物线的简单几何性质》(新)
关于y轴 对称，无
(0,0)
e=1
( p 0) x R 对称中心
例 1 已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过定点
P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线
y2 4x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶
没有公共点?
分析:直线与抛物
线有一个公共点
的情况有两种情
联立可得点B的纵坐标为y p2 .
y0
所以DB // x轴。
小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、 离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;
2.3.2 抛物线的简单几何性质 (二)
图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率
y2 2 px ( p 0)
A
F B
x
联想3 :由于焦点比较特殊，
对于在抛物线的轴上的一
般的点， 结论又会怎样呢?
y
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的 O 直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2 , y2 )
D
A
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂 线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜
y
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜
=2｜EH｜
HE
所以EH是以AB为直径的
OF
x
圆E的半径，且EH⊥l，因 D A
而圆E和准线l相切．
解：因为直线AB过定点F且不与x轴平 y
(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
抛物线的简单几何性质(位置)
抛物线与双曲线的位置关系
将抛物线和双曲线的方程联立，求解得到交点。根据交点 的个数和性质，可以判断抛物线与双曲线的位置关系。
03 抛物线对称性质
对称轴与对称中心
对称轴
对于一般的抛物线 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，其对称轴为直线 x = b/2a。特别地，当抛物线方程为 y = ax^2 时，对称轴为 y 轴。
已知焦点和准线求方程
01
根据抛物线的定义，已知焦点和准线可以唯一确定一条抛物线，
进而求出其方程。
已知焦点和曲线上一点求方程
02
通过设点法或待定系数法，可以求出抛物线的方程。
应用场景
03
在解决与抛物线相关的问题时，经常需要利用焦点来求解抛物
线的方程。
焦点在解决实际问题中应用
光学应用
在光学中，抛物线的焦点 性质被广泛应用于凸透镜、 凹透镜等光学器件的设计 和分析。
在解决与抛物线相关的距离问题时，可以利用准线的这一性质，通过计算点到直线的距离来间接求得点到焦点的 距离。
利用准线求曲线方程问题
性质描述
已知抛物线的准线方程和焦点坐标，可以推导出抛物线的标准方程。
应用场景
在求解与抛物线相关的曲线方程时，可以通过分析准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义和性质， 构建出抛物线的方程。
抛物线的顶点位于其对称 轴上，对于标准方程y^2 = 2px，顶点为(0,0)。
抛物线是轴对称图形，其 对称轴为通过顶点且垂直 于x轴的直线。对于标准 方程y^2 = 2px，对称轴 为y轴。
对于标准方程y^2 = 2px， 焦点为(p,0)，准线方程为 x = -p。
3.3.2抛物线的简单几何性质
2 （舍）故选：D
例题分析2
已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，过 F 且倾斜角为 的直线l 与抛物线相交于 A, B 两
4 点， AB ＝8 ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，交于点 Q .下列说法不正确的是（ ）
A． QA QB
B． AOB ( O 为坐标原点)的面积为 2 2
【答案】D 【解析】由题设，令 AB 为 x ky p ，联立抛物线方程并整理得 y2 2kpy p2 0 ，
2
∴若 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则 y1 y2 2kp ， y1 y2 p2 ，又 AF 2 BF 易得| y1 | 2 | y2 | ，
∴
y1
4kp,
a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 与抛物线
y2
4cx
（其中 c
a2 b2 ）交于 A，B 两点，若
AB 4c ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 3 B．B．2 C． 5 D． 2 1
【答案】D 【分析】
由 AB 4c ，求得 yA yB 2c ，代入抛物线方程求得 xA xB c ，然后把点的坐标代入双 曲线方程，即可解得离心率.
x ，因为 y
1 ，所以 kQA x
1
x1 ， B x2, y2 在
y 2
x ，因为 y
1 ，所以 kQB x
1 x2 ，
所以 kQA kQB
1 x2
1 x1
1 x1 x2
1，QA QB
，故 A
正确；
由 y1 y2 x1 x2 x1 x2 2 4x1 x2 4 2 ，得
错误；
由 y2 41 得 y 2 ，所以 M 在抛物线内部，抛物线的准线方程为l : x 1，
2.3.2抛物线的简单性质
2.3.2抛物线的简单几何性质1．范围[师]因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性[师]以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点[师]抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y的顶点就是坐标原点．4．离心率[师]抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．练习：1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10（B ）8（C ）6（D ）42．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ B ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）63．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ C ）（A ）a 2（B ）a21（C ）a 4（D ）a44．动点P 到直线x ＋4=0的距离比到定点M(2, 0)的距离大2，则点P 的轨迹是 （ ） （A ）直线 （B ）圆 （C ）抛物线 （D ）双曲线5．过抛物线y 2=4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 、N 的横坐标x 1与x 2之积为（ ）（A ）4 （B ）16 （C ）32 （D ）646．在抛物线y 2＝4x 上有点Ｍ，它到直线y ＝x，如果点Ｍ的坐标为（a ，b ）， a 、b ∈R ＋，则ba 的值为（ ）（A ）2（B ）21 （C ）１ （D ）7．平移抛物线y 2=x ，并使顶点在以(－1,0)，(0,2)为端点的线段上运动，则抛物线截直线y=x 所得的线段长的最大值是 （ ）（A ）34 （B ）23（C ）10 （D ）38．抛物线22y px =与直线y ＝k(x －1)的一个交点A 的坐标是（4，4），点A 到焦点的距离是 （ ）（A ）4 （B ）92（C ）5 （D ）69．若抛物线y ＝2x 2上两点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－21，则实数m 的值为 （ ）（A ）21 （B ）32（C ）52（D ）210．对于抛物线C ：24y x =，若点M （x 0,y 0）在抛物线的内部（即2004y x <），则直线l ：y 0y ＝2（x ＋x 0）与抛物线C （ ）（A ）恰有一个公共点 （B ）恰有两个公共点（C ）可能一个也可能两个公共点 （D ）没有公共点 7．过抛物线y 2=8x 上一点P(2, -4)与抛物线仅有一个公共点的直线有（）A1条B2条 C3条D1条或3条8．直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为 （ ）（A ）1-或2（B ）1-（C ）2（D ）31±9．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．y 2＝±32x （2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．x 2＝8y（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．x 2＝－8y10．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于 90°例1 过抛物线px y 22=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点， 求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切． [师]运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ， 则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜ ∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜ 所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切．练习1．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是()122-=x y 2.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（⎪⎪⎭⎫⎝⎛±22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45）3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．x 2＝±16 y4．以椭圆1522=+y x的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．545．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程（答案：x y 122=或x y 42-=）6．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？520米（2）通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2= （3）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(2222=--⇒py kp y 和4)2(22222=++-p k x p p k x k 221py y -=⇒和21x x =例2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，求这个正三角形的边长．分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x 轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．解：如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则 1212px y =，2222px y =又|OA|＝|OB|，所以 22222121y x y x +=+即22212122px x px x +=+0)(2)(212221=-+-x x p x x 0)](2)[(2121=-++x x p x x∵ 02,0,021>>>p x x ，∴ 21x x =．由此可得||||21y y =，即线段AB 关于x 轴对称． 因为x 轴垂直于AB ，且∠AOx ＝30°，所以3330tan 011==x y所以py px y 3212111=⋅=，py AB 342||1==练习：1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求这个正三角（答案：边长为p34）2．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，（答案：x y =2）3．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程（答案：x y 22=）如图2-8，抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，过点A 、B 、M 作抛物线准线l 的垂线AC 、BD 、MN ．垂足分别是C 、D 、N ．连结AN 、BN ．求证：（1）|MN |＝12|AB |；（2）FN ⊥AB ；（3）设MN 与抛物线交于Q ，则Q 是MN 的中点； 证明：（1）由抛物线的定义，得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |． 图2-8 又|MN |＝12（|AC |＋|BD |），所以，|MN |＝12（|AF |＋|BF |）＝12|AB |；（2）在Rt △ANC 与Rt △ANF 中，|AN |＝|AN |，|AC |＝|AF |， 由（1）知，△ANB 是直角三角形，MN 是斜边上得中线， 所以，∠MAN ＝∠MNA ，而∠MNA ＝∠CAN ，所以，∠MAN ＝∠CAN ．所以，Rt △ANC ≌△ANF ，∠AFN ＝∠ACN ＝90°． 所以，FN ⊥AB ．（3）在Rt △MNF 中，由抛物线的定义，得|QN |＝|QF |， 所以，∠QNF ＝∠QFN ．于是，∠QFM ＝∠QMF ，|QF |＝|QM |． 所以，|NQ |＝|QM |，Q 是MN 的中点．。
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p ， 0 为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________； 2
以
p ， 0 为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________； 2 p 2
以 0， 为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________；
2、 过点 Q(4， 1) 作抛物线 y 8 x 的弦 AB，恰被 Q 平分，求 AB 所在的直线方程。
2
3
3、已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，若抛物线上一动点 P 到 A(2， ) 、F 两点距离之和的最小值为 4，求抛物线 C 的方程。
3 2
五、课堂小结
六、当堂作业
图 象
x
范 围 焦点 坐标 顶点 坐标 离 心 率 对 称 轴 焦 半 径 准线 方程 p 的几 何意 义 通 径
三、典型例题
2
【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程 【例 1】抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135 的直线，被抛物线截 得的弦长为 8，试求抛物线的方程。
课题
抛物线的简单几何性质
1、熟记抛物线的所有简单几何性质 2、能根据性质解决有关抛物线的问题
课型
新授
课 1 时 记 录：
学习目标
一、自学指导 复习巩固 1. ____________________________________________________________________ 叫做抛物线； _______________叫做抛物线的焦点，________________叫做抛物线的准线；焦点在 x 轴上抛物 线的标准方程为_________________，其焦点坐标为__________，准线方程为________________， 其中 p 的几何意义为________________. 2. 以
1．抛物线 y 10 x 的焦点到准线的距离是（
2
）
15 D． 10 2 2 2．若抛物线 y 8 x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ，则点 P 的坐标为（
A． B． 5 C． A． (7, 14)
2
5 2
） 。
B． (14, 14)
C． (7, 2 14)
D． (7, 2 14)
0
【题型二】有关焦点弦的问题 【例 2】斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 4 x 的焦点，且与抛物线相交于 A、B 两点，求线段
2
AB 的长。
四、跟踪训练
1、已知过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，且 | AB |
2
5 p ，求 AB 2
所在的直线方程。
3．抛物线 y 6 x 的准线方程为＿＿＿＿＿. 4．在抛物线 y 4 x 上求一点，使这点到直线 y 4 x 5 的距离最短。
2
42Βιβλιοθήκη 1. 范围： 2. 对称轴 3． 顶点： 4. 离心率： 同理可得其它三种抛物线简单的几何性质。 二、小结：抛物线的简单几何性质一览表 标准 方程 y2＝2px（p＞0） y O F x y2＝－2px（p＞0） y F O x X2＝2py（p＞0） y F O x x2＝－2py （p＞0） y O F
以 0，-
p 为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为_______________. 2
3. 完成下表： 标准方程 y 图 象 O F x y F O x y F O x y O F 焦点坐标 准线方程
x
p 的几何意义
1
二、新课探究
一、抛物线 y 2 px( p 0) 的简单几何性质