函数与方程1
高考数学(文)一轮复习课件：1-9函数与方程(人教A版)
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■ ·考点梳理· ■ 1. 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交 点⇔函数y＝f(x)有零点．
思考：上述等价关系在研究函数零点、方程的根及 图象交点问题时有什么作用？
思考：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝ f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲 线，且有f(a)·f(b)<0呢？
提示：不一定．由图(1)、(2)可知．
3．二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且ff((aa))··ff((bb)<0 的函数y＝ f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值 的方法叫做二分法． (2)用二分法求函数零点近似解的步骤 第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0 ，给定精 确度ε；
观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－ log3|x|有4个零点．
3. [2012·徐州模拟]根据下面表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________．
x
－1 0 1 2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4
5
答案：(1，2)
3. 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其 实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范 围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是 这个函数零点的近似值．
4. 要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的 选取和最后精确度的判断.
一次函数与一元一次方程的关系--教学设计
《一元一次不等式与一次函数（1）》教案一、教学内容分析本节内容是在学生已有对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组等的认识之后，从变化和对应关系的角度，对一元一次不等式的运算进行更深入的讨论，是站在更高起点上的动态分析。
通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，用函数的观点加深对这些已经学习过的内容的认识，加强知识间的横向和纵向联系，发挥函数的统领作用，构建和发展相互联系的知识体系。
二、教学目的1、知识与技能目标：（1）通过观察函数图象、求方程的解和不等式的解集，体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的联系；（2）会用图象法解一元一次不等式。
2、数学思考目标：通过对一次函数与一元一次不等式关系的探究及相关实际问题的解决,体会数形结合的思想。
3、问题解决目标：能利用一次函数与一元一次不等式的内在关系，解决实际问题。
4、情感态度目标：培养学生的探究精神，体会事物之间的相互联系，进一步感受数学的价值。
三、教学重点重点：通过观察函数图象解一元一次不等式。
四、教学难点难点：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系。
五、教学准备学情分析：学生学习了一次函数、一元一次方程和二元一次方程组，已能初步理解函数与方程的联系，同时也具备了一定的数形结合的意识和能力，积累了利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。
教法分析：基于本节课的内容特点和初二年级学生的年龄特征，遵循“让学生主动积极参与学习，发挥其学习的主体性”的教学理念，我决定采用“启发引导、自主学习、合作探究”的教学模式，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。
六、教学流程框图七、教学过程设计预计时间（分）教学内容教师活动学生活动教学评价5分钟1、创设情境、引入新知深圳市宝安中学在全市率先开展了“学会生存”的必修课，目前“中学生生存教育的理论与实践研究”已成为学校独立承担的全国教育科学“十一五”规划教育部重点资助课题。
在周一的“防止踩踏”疏散课上，初一（4）班的同学在警报响起3秒后疏散距离y（米）与时间x（秒）满足关系式是y=2x-5。
高一数学必修1《函数与方程》教案
高一数学必修1《函数与方程》教案高一数学必修1《函数与方程》教案函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系;3.函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f(x)，当y 0时，就转化为不等式f(x) 0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式;(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要;(4)函数f(x)=(1+x)(n N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论;(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程习题理
§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) ．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0 实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解：y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知函数f (x )＝2x＋x 3－2单调递增，∵f (0)＝1－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f (x )在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B .(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象．如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1.故选B .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.(2014·苏锡模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．解：由f (x 2)＋f (k －x )＝0得f (x 2)＝－f (k －x )，因为f (x )是奇函数，有－f (k －x )＝f (x －k )，故有f (x 2)＝f (x －k )，又f (x )是R 上的单调函数，所以方程x 2＝x －k 即x 2－x ＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k ＝14，故填14.类型一 判断函数零点所在的区间(2014·北京)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．(2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)解：∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B .类型二 零点个数的判断(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数即为函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )交点个数及函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )交点个数之和，而y ＝1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜x ≤1，7－x 2，x ≥2，x 2－1，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )有两个交点，又y ＝－1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0＜x ＜1，5－x 2，x ≥2，x 2－3，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a ，b ]上满足f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．(2014·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________． 解：当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2， 即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，解法一：令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：f ′(x )＝2＋1x，由x ＞0知f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 而f (1)＝－4＜0，f (e)＝2e －5＞0，f (1)f (e)＜0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f (x )的零点个数是2.故填2.类型三 已知零点情况求参数范围(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期[0，3)上的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．(2015·河南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2， x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .方程－x ＋2＝0的解为x ＝2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为x ＝－1或－2.若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2，即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D .1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．函数y ＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一坐标系内分别做出y 1＝x ，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B .2．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .3．(2013·天津)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：判断函数f (x )的零点个数可转化为判断方程f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0的根的个数，由此得到|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B .4．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解：由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上，f (x 1)<f (x 0)＝0；在(x 0，＋∞)上，f (x 2)>f (x 0)＝0.故选B .5．(2014·黄冈九月质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33cos2x 在区间[－3，3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：令g (x )＝1＋x －x22＋x33， 则g ′(x )＝1－x ＋x 2＞0，故g (x )在R 上单调递增，而g (－3)g (3)＜0，故g (x )在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y ＝cos2x 在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C .6．(2015·浙江模拟)函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：作出两函数的大致图象如图所示．两函数图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点， 故所有交点的横坐标之和为6.故选B .7．设f (x )＝2x－x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .解：∵x 0是函数f (x )的一个正数零点，即f (x 0)＝2x 0－x 0－4＝0，知f (2)＝22－2－4＜0，f (3)＝23－3－4＞0，∴x 0∈(2，3)，再由y ＝2x与y ＝x ＋4在(0，＋∞)上只有一个交点知a 值惟一．又∵a ∈N ，∴a ＝2.故填2.8．(2014·安庆六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0， 若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋2m ＝0，则f (x )＝－2m ，由图象知，当1≤－2m ＜2，即－1＜m ≤－12时，直线y ＝－2m 与y ＝f (x )的图象有三个交点．故填⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，求函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点构成的集合．解：先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1. 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.故所求为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.10．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：f (x )在(0，1)上恰有一个零点，显然a ≠0. ∴有两种情形：①f (0)f (1)＜0，得(－1)·(2a －2)＜0⇒a ＞1；②Δ＝0且方程f (x )＝0的根在(0，1)内，令Δ＝0⇒1＋8a ＝0⇒a ＝－18，得f (x )＝－14(x 2＋4x ＋4)，此时f (x )＝0的根x 0＝－2∉(0，1)．综上知a ＞1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c . ∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2， 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2.∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0，即g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝||x cos （πx ），则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解：原问题可转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上的交点个数问题．由题意知函数f (x )为偶函数，且周期为2.当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，g (x )≥0，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上两函数图象有6个交点，故选B .。
高考数学一轮复习函数与方程
对于在区间[a，b]如图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不
断地把它的零点所在区间 一分为二 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零
点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
目录
4.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0；
目录
（多选）有如下说法，其中正确的有
（
）
A.函数f（x）的零点为x0，则函数f（x）的图象经过点（x0，0）时，函数值一定
变号
B.连续不断的函数，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
C.函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0
在区间[a，b]上一定有实根
c）（x－a）的两个零点分别位于区间 （
）
A.（a，b）和（b，c）内
B.（－∞，a）和（a，b）内
C.（b，c）和（c，＋∞）内
D.（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析：A 函数y＝f（x）是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b
＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f
知，当直线y＝2mx的斜率在kOA，kOB之间时，有三个交点，即kOA＜2m＜
1
1
1
1
kOB，因为kOA＝－ ，kOB＝1，所以－ ＜2m＜1，解得－ ＜m＜ .
3
3
6
2
答案 （2）A
目录
｜解题技法｜
利用函数零点求参数（范围）的方法
目录
考向2 探究函数多个零点（方程根）问题
− 2 −2, ≤ 0,
2020届高考数学命题猜想及专题练习--函数与方程﹑函数模型及其应用1(含解析)
2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件
解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)
＝2|x|－1，则函数g(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( B )
A．9
B．10
C．11
D．18
[解析] 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再
考向 2 函数零点个数的确定——师生共研
x2＋x－2，x≤0， 1.函数 f(x)＝－1＋ln x，x>0 的零点个数为( B )
A．3
B．2
C．7
D．0
[解析] 解法一：(直接法)由 f(x)＝0 得
x≤0，
x>0，
x2＋x－2＝0 或－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x_轴__有交点⇔函数y＝ f(x)有__零__点____.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有___f_(_a_)f_(_b_)＜__0_____，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存 在c∈(a，b)，使得___f_(c_)_＝__0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
点所在的大致区间是( C )
1
A．e，1
C．(2，e)
B．(1,2) D．(e，＋∞)
2 [解析] y＝f(x)＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，因为 y＝ln x 与 y＝
2
2
－x在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)＝ln x－x在(0，＋∞)上单调递增，
数学 必修1 函数与方程 总复习
高中数学 必修1 数学———函数与方程一．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。
注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
示范教案{§1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在}
第四章函数应用函数的应用是学习函数的一个重要方面．学生学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题．通过函数的应用，对完善函数的思想，激发应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助．本章主要内容：函数与方程、实际问题的函数建模．在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图像与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系．求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间．让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情．在实际问题的函数建模这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣．“数学建模”也是高考考查的重点．本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”，从而提高自己的数学能力．因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系；(2)数学思想方法；(3)认知规律．1．1 利用函数性质判定方程解的存在整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系．课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想．本节充分体现了函数图像和性质的应用．因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法．另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物．三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点根据二次函数图像与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图像与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面的学习埋好伏笔．思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h＝20t－5t2，问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如图1.图1思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图像性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．推进新课新知探究提出问题①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图像.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图像.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图像.④观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之间有什么关系？⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图像不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图像(图2)．图2 图3 图4②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图像的关键(图4)．④方程的根与函数的图像和x 轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图像穿过x 轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图像如图2.②方程的实数根为1，图像如图3.③方程没有实数根，图像如图4.④方程的根就是函数的图像与x 轴交点的横坐标．⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图像与x 轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数．a.当Δ＞0时，一元二次方程有两个不等的实根x 1，x 2，相应的二次函数的图像与x 轴有两个交点(x 1,0)、(x 2,0)；b.当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实根x 1＝x 2，相应的二次函数的图像与x 轴有唯一的交点(x 1,0)；c.当Δ＜0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x 轴没有交点．⑥一般地，对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫作函数y ＝f (x )的零点． ⑦方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图像与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．⑧观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图像，我们发现函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,1]上有零点．计算f (－2)与f (1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f (－2)f (1)＜0，函数y ＝x 2－2x －3在区间(－2,1)内有零点x ＝－1，它是方程x 2－2x －3＝0的一个根．同样地，f (2)f (4)＜0，函数y ＝x 2－2x －3在(2,4)内有零点x ＝3，它是方程x 2－2x －3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )f (b )＜0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应的方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解．应用示例思路1例1 已知函数f (x )＝3x －x 2，问：方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法．由于本题中方程f (x )＝0无法解，故用定理法，判断f (－1)f (0)＜0是否成立．解：因为f (－1)＝3－1－(－1)2＝－23＜0， f (0)＝30－(0)2＝1＞0，函数f (x )＝3x －x 2的图像是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评：本题主要考查函数零点的概念及其判断方法．当无法解方程f (x )＝0时，通常用定理法判断函数零点的存在性.变式训练1. 判断函数y ＝|x －1|－2零点的个数．解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图像(图5)，图5函数y ＝|x －1|－2的图像与x 轴有两个交点，所以函数y ＝|x －1|－2有两个零点．2．求证：函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点． 证法一：因为一元二次方程2x 2－3x －2＝0的判别式Δ＝32＋4×2×2＝25＞0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根．所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法二：因为一元二次方程2x 2－3x －2＝0可化为(2x ＋1)(x －2)＝0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根x 1＝2，x 2＝－12. 所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法三：因为函数f (x )＝2x 2－3x －2的图像是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方，即f (0)＝－2＜0，所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．如图6.图6点评：判断函数零点个数可以结合函数的图像．方法：零点⇔函数方程的根⇔两图像的交点．数学思想：转化思想和数形结合思想.例2 判定方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2. 分析：转化判断函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点． 解：考虑函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1，有f (5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，f (2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f (x )的图像是开口向上的抛物线(如图7)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．图7所以方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f (a )·f (b )＜0，则在区间(a ，b )内，方程f (x )＝0至少有一个实数解”，指出了方程f (x )＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解.变式训练关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a 的取值范围．图8解：设f (x )＝x 2－ax ＋a 2－7，图像为开口向上的抛物线(如图8)．因为方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f (x )＝x 2－ax ＋a 2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f (x )＝x 2－ax ＋a 2－7的图像与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧．只需f (2)＜0，即4－2a ＋a 2－7＜0，所以－1＜a ＜3.思路2例1 若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有解，求实数a 的取值范围．活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：①有解包括有一解和有两解，要分类讨论．②用一般解法固然可以，若结合函数图像观察分析，可以找到捷径．③有两种情况：a.a ＝0；b.a ≠0，Δ≥0.解：令f (x )＝2ax 2－x －1，(1)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个解时，f (0)·f (1)＜0或a ≠0且Δ＝0，由f (0)·f (1)＜0，得(－1)(2a －2)＜0，所以a ＞1.由Δ＝0，得1＋8a ＝0，a ＝－18， 所以方程为－14x 2－x －1＝0，即x ＝－2∉(0,1)(舍去)．综上可得a ＞1. (2)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有两个解时，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，f 0>0，f 1>0，0<14a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a <0或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，f 0<0，f 1<0，0<14a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a >0，容易解得实数a 不存在．综合(1)(2)，知a ＞1.变式训练若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，x ＝0满足题意．(2)当a ≠0时，设f (x )＝ax 2＋3x ＋4a .方法一：若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9－16a 2≥0，－32a <1，af 1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －34≤a ≤34，a >0或a <－1.5，a >0或a <－0.6.∴0＜a ≤34. 综上(1)(2)，得0≤a ≤34. 方法二：若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9－16a 2≥0，x 1＋x 2<2，x 1－1x 2－1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9－16a 2≥0，x 1＋x 2<2，x 1x 2－x 1＋x 2＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9－16a 2≥0，－3a<2，4＋3a ＋1>0，解得0＜a ≤34. 综上(1)(2)，得0≤a ≤34. 点评：有两种方法：(1)结合函数图像利用函数符号列不等式组．(2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例2 已知函数f (x )＝3x ＋x －2x ＋1， (1)判断函数零点的个数；(2)找出零点所在区间.解：(1)设g (x )＝3x ，h (x )＝－x －2x ＋1， 作出它们的图像(图9)，两函数图像交点的个数即为f (x )零点的个数．图9所以两函数图像有且仅有一个交点，即函数f (x )＝3x ＋x －2x ＋1有且仅有一个零点． (2)因为f (0)＝－1，f (1)＝2.5，所以零点x ∈(0,1)．变式训练证明函数f (x )＝2x ＋4x －4有且仅有一个零点．8 16图10由表和图10可知，f (0)＜0，f (1)＞0，则f (0)f (1)＜0，这说明f (x )在区间(0,1)内有零点．下面证明函数在定义域(－∞，＋∞)内是增函数．设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋4x 1－4－(2x 2＋4x 2－4)＝2x 1－2x 2＋4(x 1－x 2)＝2x 2(2x 1－x 2－1)＋4(x 1－x 2)．∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0,2x 1－x 2－1＜0,2x 2＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∴函数在定义域(－∞，＋∞)内是增函数．则函数f (x )＝2x ＋4x －4有且仅有一个零点.知能训练1．讨论函数y ＝e x ＋4x －4的零点的个数．活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由．函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图像和性质．(1)利用f (a )f (b )＜0及函数的单调性．(2)作出y ＝e x 和y ＝4－4x 的图像，把函数y ＝e x ＋4x －4的零点的个数转化为方程ex ＝4－4x 根的个数，再转化为上述两函数图像交点的个数．解：(方法一)由表可知，f (0)＜(0,1)内有零点，由于函数在定义域(－∞，＋∞)内是增函数，图11所以它仅有一个零点．(方法二)作出y ＝e x 和y ＝4－4x 的图像(图11)，即可直观地看出零点的个数为1.总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程；(2)画图像；(3)利用f (a )f (b )＜0及函数的单调性；同时这些方法是有机联系的．2．已知m ∈R ，设P ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立；Q ：函数f (x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点，求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围．解：由题意知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2＋8. 当a ∈[1,2]时，a 2＋8的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m ≤8.由已知得Q 中：f (x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43的判别式Δ＝4m 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋43＝4m 2－12m －16＞0，得m ＜－1或m ＞4.综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧2≤m ≤8，m <－1或m >4，解得实数m 的取值范围是(4,8]． 拓展提升问题：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f (a )f (b )＞0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答．利用函数图像进行探索分析：①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解：零点个数可以是任意自然数．下面讨论在区间[－3,3]上函数零点个数，(1)可能没有零点如图12.图12 图13(2)可能有一个零点如图13.(3)可能有两个零点如图14.图14 图15(4)可能有三个零点如图15.(5)可能有n(n∈N＋)个零点，图略．点评：在区间[－3,3]上函数零点个数可以是任意自然数．借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习的兴趣．课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．作业课本练习2、3.设计感想本节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话题，发人深思而紧贴本节主题，为后面讲解埋好了伏笔．因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以本节结合二次函数的图像性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题．本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高．另外，本节目的明确、层次分明、难度适中，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢．备课资料[备选例题]求下列函数的零点，并画出函数的图像．(1)y＝－x2－x＋2；(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．活动：教师点拨提示：求函数的零点可转化为求相应方程的根．解：(1)如图16，令y＝0，即－x2－x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.所以所求函数的零点为－2,1.(2)如图17，令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，解得x1＝2，x2＝－2，x3＝1，x4＝2.所以所求函数的零点为2，－2，1,2.图16 图17(设计者：赵冠明)。
3.1.1函数与方程
考察下列一元二次方程与对应的二次函数： (1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3； (2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1； (3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3. 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的
坐标吗？
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课堂讲义
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答案
方程 函数
存在定理，二是利用函数图象． 2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间 的判断中的应用 ，若 f(x)图象在[ a，b] 上连续，且 f(a)· f(b) ＜0，则 f(x)在(a，b)上必有零点，若 f(a)· f(b)＞0，则 f(x)在 (a，b)上不一定没有零点．
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课堂讲义
[ 预习导引]
1．函数的零点
第三章 函数的应用
f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x) 对于函数y＝f(x)，把使__________ 的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系；
x轴 有交点⇔ 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_____
有零点 ． 函数y＝f(x) _________
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课堂讲义
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第三章 函数的应用
3．函数零点存在的判定方法
连续不断 的一条 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__________
f(a)·f(b)＜0 曲线，并且有 _______________. 那么，函数 y ＝ f(x) 在区间
f(c)＝0 (a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__________. 温馨提示：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一 定存在零点；反过来，若函数 y ＝ f(x) 在区间 (a ， b) 内有零 点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立．
高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第四讲 函数的零点及建模(1)函数与方程
函数与方程
第一页，编辑于星期六：八点 四十七分。
忆一忆知识要点
1．函数的零点 (1)函数零点的定义 一般地，我们把使函数 y＝f(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 y ＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 数 y＝f(x)
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判断函数在给定区间上 零点的存在性
例 1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用 零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解． 解 (1)方法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0， f(8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0， 故 f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
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函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二 是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是 充分条件，而并非是必要条件．
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(1)函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是___②_____(填 序号)． ①(－2，－1); ②(－1,0)； ③(0,1); ④(1,2)． 解析 ∵f′(x)＝2xln 2＋3>0， ∴f(x)＝2x＋3x 在 R 上是增函数．
(1)y＝g(x)－m 有零点即 y＝g(x)与 y＝m 的图象有交点，所以可 以结合图象求解．(2)g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根⇔y＝f(x)与 y ＝g(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．
专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程
第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．例1(1)(2022·杭州模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x) x的图象可能是()log＝1b(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是()A．a＋b≤0 B．a－b>0C．a－b≤0 D．a＋b≥0规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)(2022·山东名校大联考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<b<c(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．考点二 函数的零点 核心提炼判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 考向1 函数零点个数的判断例2 已知f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 5|x |的零点个数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8考向2 求参数的值或范围例3 (2022·河北联考)函数f (x )＝e x 和g (x )＝kx 2的图象有三个不同交点，则k 的取值范围是________．规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2 (1)(2022·合肥模拟)若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－2e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e －x －2B ．y ＝f (x )e x ＋2C ．y ＝f (x )e x －2D ．y ＝f (－x )e x ＋2(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，若关于x 的方程f (x )＝a (x ＋1)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．考点三 函数模型及其应用核心提炼解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．例4 (1)(2022·西安模拟)2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球．中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv ＝v e ln m 0m 1，其中Δv 为火箭的速度增量，v e 为喷流相对于火箭的速度，m 0和m 1分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭v e 达到5公里/秒，m 0m 1从100提高到600，则速度增量Δv 增加的百分比约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)A ．15%B ．30%C ．35%D ．39%(2)(2022·福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L ＝00GG L D ，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 3≈0.477 1)( )A ．11B ．22C ．227D ．481易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型．(2)构建的函数模型有误．(3)忽视函数模型中变量的实际意义．跟踪演练3 (1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)河水污染质量指数为m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝r k ＋⎝⎛⎭⎫m 0－r k e kt -v (m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系式：y＝220301,010100012,10100,20tt tt+⎧<⎪⎪⎨⎪⋅⎪⎩≤，≤≤为了保障水果在销售时的新鲜度不低于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log23≈1.6)() A．20小时B．25小时C．28小时D．35小时。
一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系
5x−1= 2x+5
−3
O
解：
由 5x−1=2x+5 ，
y
得
3x−6=0 ．
y=x+3
（1）
x
y=3x −6
由图看出直线y = 3x−6与x 轴的交点为（２，0），得 x=２．
O２
x
− 6
y
2．利用函数图象解出x:
9
5x−1= 2x+5
解法２：画出两个函数
y=5x−1 和y=2x+5的图象．
y=2x+5
直线 y1 = 6x-4 的点在 y2 = 3x+2的下方 即当x<2时， y1 < y2
∴ 不等式 6x-4 < 3 x +2 的解集是 x <2
y Y=3x-6
02
x
-6
=-3 1、已知函数Y=3X+9，当X————————，函数
的值等于0。当X————————，函数的值大于0。当X———————— ，函数的值不
大于6。
>-3
≤- 2
y Y=3x+9
9 6
-3
-2 0
x
2、如图，直线L1, L2交于一点P，若y1 ≥y2 ，则（ ）
B
A. x ≥ 3
B. x ≤3
C. 2 ≤ x ≤ 3
D. x ≤ 4
3、某单位准备和一个体车主或一国营出租车公 司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千 米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2 元，观察下列图象可知(如图1-5-2)，当x_>_1_5_0_0___ 时，选用个体车较合算．
求一元一次方程ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解， 从“函数值”看就是x为何值时函数y= ax+b的值为 0求．一元一次方程ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解， 从“函数图象”看就是求直线y= ax+b与 x 轴交
一次函数与一元一次方程之间的关系
一次函数与一元一次方程之间的关系1. 概述一次函数与一元一次方程是初等数学中的重要概念，它们之间存在着密切的通联。
通过研究一次函数与一元一次方程之间的关系，可以帮助我们更好地理解数学概念，提升解决实际问题的能力。
2. 一次函数的定义一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数且a不等于零。
一次函数的图像是一条直线，因此也称为线性函数。
一次函数的特点是经过点（0，b），斜率为a。
3. 一元一次方程的定义一元一次方程是指形式为ax+b=0的方程，其中a和b是已知常数且a不等于零。
一元一次方程的解是使得等式成立的未知数的值。
4. 一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程之间有着密切的通联。
通过一次函数的表达式y=ax+b，我们可以得到一元一次方程ax+b=0。
而通过一元一次方程ax+b=0，我们也可以得到一次函数的表达式y=ax+b。
5. 一次函数的斜率与一元一次方程的解一次函数的斜率a代表了直线的倾斜程度，而一元一次方程的解x就是使得方程成立的值。
通过一次函数的斜率a，我们可以判断直线的走势，而通过一元一次方程的解x，我们可以得到使得等式成立的值。
6. 一次函数的图像与一元一次方程的解一次函数的图像是一条直线，而一元一次方程的解对应了直线与x 轴的交点。
通过一次函数的图像，我们可以直观地看出直线与x轴的交点坐标，而通过一元一次方程的解，我们可以计算出交点的具体数值。
7. 解一元一次方程画一次函数的图像通过解一元一次方程来画一次函数的图像是一种常见的方法。
首先根据一元一次方程ax+b=0，求出未知数x的值，然后将这些值代入一次函数的表达式y=ax+b，得到对应的y值，最后用这些点画出一次函数的图像。
8. 画一次函数的图像解一元一次方程通过画一次函数的图像来解一元一次方程也是一种常见的方法。
首先根据一次函数的表达式y=ax+b，画出函数的图像，然后找到直线与x轴的交点坐标，即为一元一次方程的解。
18《函数与方程、不等式之间的关系》函数 PPT教学课件(第1课时)
第三章 函 数
栏目 导引
第三章 函 数
【解】 (1)Δ＝49＞0，方程 2x2＋5x－3＝0 的两 根为 x1＝－3，x2＝12， 作出函数 y＝2x2＋5x－3 的图像，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为x－3＜x＜12.
栏目 导引
第三章 函 数
(2)原不等式等价于 3x2－6x＋2≥0，Δ＝12＞0，
元二次不等式的解法
核心素养 数学抽象
直观想象、 数学运算
第三章 函 数
问题导学 预习教材 P112－P114 的内容，思考以下问题： 1．函数零点的概念是什么？ 2．函数的零点与方程的根有什么关系？ 3．一元二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数与判别式 Δ 之间有什么关系？
栏目 导引
f(2)＝6m＋5＞0， m＞－56，
所以－56＜m＜－12，即 m 的取值范围是－56，－12.
栏目 导引
第三章 函 数
(2)根据函数图像与 x 轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出图
像如图所示：
Δ＞0，
由图像得0f(＜0)－ ＞m0，＜1， f(1)＞0，
m＞1＋ 2或m＜1－ 2， －1＜m＜0，
即m＞－12，
所以－12＜m＜1－ 2，
m＞－12，
即 m 的取值范围是－12，1－
2.
栏目 导引
第三章 函 数
(1)解此类问题一般从四个方面考虑： ①抛物线的开口方向； ②一元二次方程根的判别式； ③对应区间端点函数值的符号； ④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系． (2)对一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根的分布总结如下 表(其中 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，对于 a＜0 的情况可依照 a＞0 的情况列出)：
北师大版数学高一必修1学案第四章4.1函数与方程
[核心必知]1．利用函数性质判定方程解的存在(1)函数零点：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，其就是方程f(x)＝0的解．(2)函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．利用二分法求方程的近似解(1)二分法：在区间[a，b]上f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0，通过不断地把方程的解所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，进而得到一个近似解．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．(2)用二分法求方程近似解的过程(如图)：其中“初始区间”是一个两端函数值异号的区间；“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义：方程解满足要求的精确度．[问题思考]1．函数的零点是一个点吗？提示：不是，是一个使f(x)＝0的x的取值．2．函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系？提示：等价关系，函数有几个零点⇔相应方程有几个根⇔相应函数的图像与x轴有几个交点．3．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)＞0，在区间(a，b)上就没有零点吗？提示：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，当f(a)·f(b)＜0时在(a，b)上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当(a，b)是f(x)的单调区间时只有一个零点；当f(a)·f(b)＞0时也不一定没有零点．讲一讲1．(1)函数f (x )＝4x －16的零点为________． (2)函数f (x )＝x －4x 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(3)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)(4)已知函数f (x )＝2x －3x 2.问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ [尝试解答] (1)令4x －16＝0，则4x ＝42，解得x ＝2，所以函数的零点为x ＝2. 答案：2(2)选C 令f (x )＝0，而x －4x ＝0，∴x ＝±2，故有两个．(3)选C 由f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，知函数f (x )的零点在区间(0,1)内． (4)∵f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0，又∵函数f (x )＝2x －3x 2的图像是连续曲线， ∴f (x )在区间[－1,0]内有零点， 即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．(1)求函数f (x )的零点的方法：令f (x )＝0，解方程f (x )＝0即可． (2)判断函数零点的个数，常用的方法有：①解方程法：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断． ②用定理法：用零点存在性定理并结合函数的单调性．③利用图像的交点法：有些题目可先画出某两个函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像，其交点的横坐标是函数y ＝f (x )－g (x )的零点．(3)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f (x )＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理：①函数图像的连续性；②区间端点函数值的符号相反．练一练1．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，18 B.⎣⎡⎦⎤18，14 C.⎣⎡⎦⎤14，12 D.⎣⎡⎦⎤12，1 解析：选C f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫π4＋log 214π2＋log 212＝⎝⎛⎭⎫π4－2⎝⎛⎭⎫π2－1＜0. 2．试判断方程x 3＝2x 在区间[1,2]内是否有实数解． 解：设函数f (x )＝x 3－2x ，则f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝8－4＝4＞0， ∴f (1)·f (2)＜0.又函数f (x )＝x 3－2x 的图像是连续曲线，∴函数f (x )＝x 3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x 3＝2x 在区间[1,2]内至少有一个实数解．讲一讲2．当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？ [尝试解答] (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a ＞0时， 设f (x )＝ax 2－2x ＋1，因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＞0，a－2＋1＜0，4a－4＋1＞0，解得34＜a＜1.(3)当a＜0时，设方程的两根为x1，x2，则x1·x2＝1a＜0，x1，x2一正一负，不符合题意．综上，当34＜a＜1时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．若将本例中根的存在情况变为一根小于1，另一根大于1，则a的取值如何？解：设f(x)＝ax2－2x＋1，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，f(1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，f(1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，a－2＋1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，a－2＋1＞0.解得0＜a＜1.解决该类问题，有两种常用途径：(1)利用零点的判定定理构建不等式求解．(2)画出符合题意的草图，转化为函数问题．数形结合构建关于参数的方程或不等式，从而求解．练一练3．已知函数f(x)＝x2－x－m在区间(－1,1)上有零点，求实数m的取值范围．解：法一：①当函数f(x)＝x2－x－m＝⎝⎛⎭⎫x －122－m －14， 其对称轴x ＝12∈(－1,1)，故函数在区间(－1,1)上只有1个零点时，Δ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，f (－1)·f (1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f (1)＝0.即1＋4m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，m (m －2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，－m ＝0. 解得m ＝－14或0＜m ＜2或m ＝0.②当函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1,1)上有2个零点时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，2－m ＞0，－m ＞0.解得－14＜m ＜0.综上所述，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－14，2. 法二：函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1,1)上有零点 ⇔方程x 2－x －m ＝0在区间(－1,1)上有解 ⇔方程x 2－x ＝m 在区间(－1,1)上有解 ⇔函数y ＝x 2－x 与函数y ＝m 在区间 (－1,1)上有交点，∵函数y ＝x 2－x 在区间(－1,1)上的值域为⎣⎡⎭⎫－14，2，∴－14≤m ＜2，∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－14，2.讲一讲3．求方程lg x ＝3－x 的近似解(精确到0.1)． [尝试解答]令f (x )＝lg x ＋x －3，在同一坐标系中，作出y ＝lg x 和y ＝3－x 的图像如图所示，观察图像可以发现lg x ＝3－x 有唯一解x 0，x 0∈[2,3]，且f (2)＜0，f (3)＞0， 利用二分法可列下表：计算次数左端点 右端点 1 2 3 2 2.5 3 3 2.5 2.75 4 2.5 2.625 52.562 52.625由于区间(2.562 5,2.625)内的所有值若精确到0.1都为2.6，所以原方程的近似零点为2.6.求方程近似解的步骤：①构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n ，n ＋1)，n ∈Z ；②利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间M ；③写出方程的近似解．练一练4．求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个正数零点(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：计算次数左端点右端点11 22 1.5 23 1.5 1.754 1.625 1.755 1.687 5 1.756 1.718 75 1.757 1.718 75 1.734 375由上表可知，区间[1.718 75,1.734 375]中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[解]法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．[尝试用另一种方法解题]法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图像．由图像，知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点．1．函数y ＝x 2＋2x －3的零点和顶点的坐标为( ) A ．3,1；(－1，－4) B ．－3，－1；(－1,4) C ．－3,1；(1，－4) D ．－3,1；(－1，－4) 答案：D2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )解析：选C 当且仅当函数f (x )在区间[a ，b ]上连续且f (a )·f (b )＜0时，才能用二分法求其零点，观察函数的图像知：选项A 中函数没有零点；选项B 和D 中函数虽然有零点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C 中函数有零点，且符合零点存在定理的条件．3．(北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B 因为y ＝在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫12x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x 在定义域内有唯一零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2，f (1)·f (2)＜0，用二分法逐次计算时，若x 0是[1,2]的中点，则f (x 0)＝________.解析：由题意知f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＝f (1.5)，代入解析式易计算得0.625. 答案：0.6255．(湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 解析：由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0＜b ＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 答案：(0,2)6．判断下列函数在给定的区间内是否存在零点． (1)f (x )＝x 2－8x ＋16，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]； (3)f (x )＝2x －3，x ∈[2,4]．解：(1)f (1)＝9，f (8)＝16，f (1)·f (8)＞0，但是f (4)＝0且4∈[1,8]，所以函数在区间[1,8]内存在零点4.(2)由于f (1)＝log 2(1＋2)－1＝log 232＞0，f (3)＝log 2(3＋2)－3＝log 258＜0，因此f (1)·f (3)＜0，又函数f (x )在区间[1,3]上的图像是连续曲线，所以函数在区间[1,3]内存在零点．(3)因为函数的定义域为(－∞，3)∪(3，＋∞)，所以函数y ＝f (x )的图像在区间[2,4]上不是一条连续曲线，故不能用零点的存在性定理来判断是否存在零点．函数的图像如图所示，观察图像，可得函数在区间[2,4]内不存在零点．一、选择题1．下列函数有两个零点的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝2log 2xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 012，x ＞0，x 3，x ≤0 解析：选D 易知A 只有一个零点；对于B ，方程x 2＋2x ＋3＝0无解；对于C ，令2log 2x ＝0，也无解；对于D ，y ＝0有两解x ＝2 012和x ＝0.2．(重庆高考)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b ) 和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a ) 和(c ，＋∞)内解析：选A 令y 1＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＝(x －b )·[2x －(a ＋c )]，y 2＝－(x －c )(x －a )，由a <b <c 作出函数y 1，y 2的图像(图略)，由图可知两函数图像的两个交点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，即函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．3．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是 ( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B ∵f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，则函数f (x )的零点所在的大致区间是(1,2)．4．若方程|ax |＝x ＋a (a ＞0)有两个解，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．∅解析：选A 分三种情况，在同一坐标系中画出y ＝|ax |和y ＝x ＋a 的图像如图：结合图像可知方程|ax |＝x ＋a 有两个解时，有a ＞1.二、填空题5．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，可知，f (2)、f (3)分别等于－1、16，又因为f (2.5)＝458＞0，显然下一个有根的区间为[2,2.5)． 答案：[2,2.5)6．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．解析：分别作出函数f (x )＝3－x 2与函数g (x )＝2－x 的图像，如图所示．∵f (0)＝3，g (0)＝1，∴从图像上可以看出它们有2个交点．答案：27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，则函数y ＝f (x )－2的零点是________． 解析：当x ≤1时，y ＝3x －2，令y ＝0，得x ＝log 32≤1，当x ＞1时，y ＝－x －2，令y ＝0，得x ＝－2不合题意，综上，零点是log 32.答案：log 328．已知y ＝x (x －1)·(x ＋1)的图像如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)＋0.01，则方程式f (x )＝0①有三个实根；②当x ＜－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；③当－1＜x＜0时，恰有一实根；④当0＜x＜1时，恰有一实根；⑤当x＞1时，恰有一实根．正确的有________．解析：函数f(x)的图像如图所示，由图像易知，当x＜－1时，方程f(x)＝0恰有一实根；当－1＜x＜0时，方程f(x)＝0没有实根；当0＜x＜1时，恰有两个实根；当x＞1时，没有实根．答案：①②三、解答题9．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．解：设函数f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数f(x)＝x3－x－1的图像是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，用计算器可算得f(1.25)＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．再取(1.25,1.5)的中点x2＝1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.22＞0，因为f(1.25)·f(1.375)＜0，所以x0∈(1.25,1.375)．同理，可得x0∈(1.312 5,1.375)，x0∈(1.312 5,1.343 75)．由于区间(1.312 5,1.343 75)内的所有数精确到0.1都是1.3，所以1.3是方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个近似解．10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数h (x )＝f (x )－ax ，x ∈[2,3]时有唯一零点，且不是重根，求实数a 的取值范围；(3)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)h (x )＝f (x )－ax ＝x 2－(a ＋1)x ＋1，则h (2)＝3－2a ，h (3)＝7－3a . 所以h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一零点，且不是重根，只需⎩⎨⎧ h (2)≤0，h (3)≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧ h (2)≥0，h (3)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a ≤0，7－3a ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ≥0，7－3a ≤0，解得32≤a ≤73. 经验证，知当a ＝32时，方程h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一解x ＝2；当a ＝73时，方程h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一解x ＝3；故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，73.(3)由题意，得f (x )＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0在区间[－1,1]上恒成立．设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其图像的对称轴为直线x ＝32，所以g(x)在区间[－1,1]上是减少的．所以只需g(1)＞0，即m＋1＜0，解得m＜－1. 即m的取值范围为(－∞，－1)．。
函数、方程及函数的应用1
(3)假设 a，b， c 存在，由①知抛物线的对称轴为 x＝ 2 4 ac － b b －1，且 f(x)min＝0，∴－ ＝－ 1， ＝ 0， 2a 4a 2 2 ∴b＝ 2a，b ＝4ac，∴4a ＝4ac，∴a＝ c. 1 由②知∀ x∈ R，都有 0≤f(x)－ x≤ (x－ 1)2， 2 令 x＝ 1 得 0≤f(1)－1≤ 0⇒f(1)－ 1＝ 0⇒ f(1)＝1⇒ a＋b ＋ c＝ 1， a＋ b＋c＝1， 由b＝ 2a， a＝ c 1 1 得 a＝ c＝ ， b＝ ， 4 2
解得 15 3<v<30，
所以， v 的取值范围是 (15 3，30)．
►
探究点四
二次函数零点及二次方程的根
例 4 已知函数 f(x)＝x －1，g(x)＝a|x－1|. (1)若|f(x)|＝g(x)有两个不同的解，求 a 的值； (2)若当 x∈R 时，不等式 f(x)≥g(x)恒成立，求 a 的取 值范围．
规律技巧提炼
1．判断函数的零点，要善于运用“三个转化”，时常将 函数的零点问题转化为函数图象与 x 轴的交点问题， 或转化为 两个函数图象交点问题．需特别注意的是下面式子是错的： “ f(a)f(b)<0⇔ 函数 y＝ f(x)在区间 (a， b)内有零点”． 2．对函数零点的考查，通常以函数为载体判断方程根的 个数，或以此为背景求参数的范围，此类问题都是利用数形结 合，借助函数图象 (复杂函数的图象可用导数工具 )加以解决． 3．解实际应用题，要注意建模思想、建模方法的应用， 可以借助散点图等选取模型， 也可以以图表的方式直接寻求变 量间的关系建立模型． 4．解“二次型”问题，要善于借助二次函数的图象．
1 1 1 2 1 1 1 2 当 a＝c＝ ，b＝ 时，f(x)＝ x ＋ x＋ ＝ (x＋1) ，其顶 4 2 4 2 4 4 1 2 点为(－1,0)满足条件①，又 f(x)－ x＝ (x－1) ∀ x∈ R，都有 4 1 2 0≤f(x)－x≤ (x－1) ，满足条件②. 2 ∴存在 a，b，c∈R，使 f(x)同时满足条件①、②.
函数与方程及函数的综合应用课件——高三数学一复习
2
x 1
品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析 (1)当0<x<50时,L(x)=50x- 1 x 2 10 x -200=- 1 x2+40x-200,
6
4 3
3 2
6
2
函数f(x)的一个零点位于 , 内,即x0∈ , .故选C.
6 4
答案 C
6 4
考法二 已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)
1.直接法:利用零点构建关于参数的方程(组)或不等式(组),直接求解.
2.参数分离法:将参数与自变量分离,转化为求函数的最值或值域.
2
2
当x≥50时,L(x)=50x-52x- 7 200 +1 200-200=1 000- 2 x 7 200 ,
x 1
1 2
x 40 x 200,0 x 50,
所以L(x)= 2
1 000 2 x 7 200 , x 50.
3.5专题三、函数与方程及
函数的综合应用
知识梳理
基础篇
考点一 函数的零点
1.函数的零点
1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=
f(x)的零点.
注意:零点不是点,是满足f(x)=0的实数x.
2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的
一次函数与一元一次方程1-
能够存够200元.
利用图像法求方程6x-3=x+2的解 方法一：将方程6x-3=x+2变形为5x-5=0 画出y=5x-5的图像 由图像可知y=5x-5与x轴的交点为（1， 0）所以x=1
y=5x-5
1
-5
利用图像法求方程6x-3=x+2的解 方法二： 方程6x-3=x+2可以转化为y=6x-3与y=x+2在自变量x 为何值时函数值相等 即从图象上可以看出y=6x-3与y=x+2的交点的 横坐标就是方程6x-3=x+2的解 由图像可以看出y=6x-3与y=x+2的交 点的坐标是（1，3） 即原方程的解为：x=1 y=6x-3 y=x+2 (1,3)
全国每年都有大量土地被沙漠吞没,改造沙漠,保护土地资源已 经成为一项紧迫的任务,某地区现有土地面积100万km2,沙漠面积 200万km2,土地沙漠化的变化情况如图所示. (1)如果不采取措施,那么到第5年底,该地区沙漠面积新增加___万 km2; 新 增沙 漠 面积 /万 km 2
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势
y=2x-1
6
方法三：由于2t+5=17可变形为：2t-12=0从图象上看，直 -12 线y=2t-12与x轴的交点为（6，0）得x=6
某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存 放在储蓄盒内,希望捐给希望工程,盒内原有40元,2个 月后盒内有80元. (1) 求盒内钱数y(元)与存钱月数x之间的函数关系式 (不要求写出的取值范围); (2) 在直角坐标系中作出该函数的图象; (3) 观察图象回答:按上述方法,该同学经过______个月
扩大,那么从现在开始,第____年底后,该 地区将丧失土地资源; (3) 如果从现在开始采取植树造林等措施, 每年改造4万km2沙漠,那么第___年底,该
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函数与方程（１）
【本课重点】 １： 函数的零点与方程根的关系.
２： 函数观点处理问题.
【预习导引】
１：完成下列表格
２：二次函数()2
237f x x x =+-在R 上有 个零点 ，在（0，３）上有 个零点。
【三基探讨】﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 【典例练讲】
例１、已知函数()f x 的图象是不间断的，并有如下的对应值表：
那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（ ）个 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
例２．方程ln 2x x =必有一个根的区间是（ ）
()A.1,2 ()B.2,3 1C.,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
()D.3,+∞
例３．（1）、求证：函数3
2
()1f x x x =++在区间()2,1-- 上存在零点．
（2）当m = （给出一个实数值即可）时，函数3
2
()f x x x m =++ 在区间()2,1--上存在零点．
例４．（1）对于函数3
()21f x x x =+-，能否给出一个区间[a,b]，使得函数()f x 在(a,b)
上有零点？
（2）判断函数()238x
f x x =+-是否存在零点，若存在，有几个，并指出其零点所在的大概区间
（备选题）设关于x 的方程2
(2)20x k x k +-+-=有实根αβ,求2
2
y αβ=+关于k 的函数表达式，并求y 的最值。
【课堂反馈】
1．若函数()b ax x f +=只有一个零点2，那么函数()ax bx x g -=2
的零点是（ ）
Ａ、2,0 Ｂ、 21,
0 Ｃ、 21,0- Ｄ、 2
1- 2：对于函数2
()f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>则函数()f x 在区间(,)a b 内（ ） Ａ、一定有零点 Ｂ、一定没有零点 Ｃ、可能有两个零点 Ｄ、至多一个零点
3：已知函数2
y ax bx c =++，如果a b c >>，且0a b c ++=，则它的函数图象是哪个 （ ）
A B C D
【课后检测】
1、对于函数()2
f x x bx c =++，若()()0,0f m f n ><(m<n)，则函数
()x f 在区间(),m n 内 （ ）
A 、一定没有零点
B 、可能有两个零点
C 、有且只有一个零点
D 、一个或两个零点
2、已知二次函数()x f y =有两个相异零点21,x x ，且函数()x f y =满足
()()x f x f -=+33，则=+21x x ______
3、二次函数2
()f x ax bx c =++若1212()()()f x f x x x =≠则12()f x x +=（ ），
A 、2b a -
B 、b
a
- C 、c D 、 244ac b a -
4、．方程22
2=+-x x
的实数根的个数是 （ ）
A 、0个
B 、1 个
C 、2个
D 、3个
5、若方程2
210ax x --=在（0，1）内恰有一解，则的取值范围 （ ） A 、1a < B 、1a > C 、11a -<< D 、01a ≤<
6、已知R a ∈，讨论关于x 的方程a x x =+-862
的实数解的个数。
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
7、已知函数bx c ++2
y=2x 在3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
上是增 函数，两个零点1212,,2,x x x x -=满足则这个二次函数的解析式为
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
8：已知二次函数()x f 的二次项系数为a 且不等式()2f x x >-的解集为(1,3) （1）若方程()60f x a +=有两个相等的根，求()x f 解析式 （2）若()x f 的最大值为正数,求a 的取值范围
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
【感悟札记】﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。