高三数学上学期期末试题 理(扫描版)新人教A版
高中数学 模块1 高考真题(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．但在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的．“稳定”是高考的主旋律．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新”是高考的生命线．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳，是难以拿到高分的．在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查，相对来说比较常规，难度不大，变化小，综合性低，属于基础类必得分试题，主要考查集合的概念及运算，函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质．做题时若能熟练应用概念及性质，掌握转化的技巧和方法，基本不会丢分。
若综合其他省市自主命题卷研究，必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合，强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用，提高了试题的难度，所以作为高一学生来说，从必修1就应该打好牢固的基础，培养最基本的能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题，请同学们根据所学必修1的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学习内容的小综合试题，同学们可根据目前所学内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ，文1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ，文2)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.3．(2018·某某卷，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，所以根据补集的定义得，∁U A＝{2,4,5}，故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ，文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}，故选C.5．(2018·某某卷，文1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C ＝{－1,0,1}．故选C.6．(2018·某某卷，理1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析由题意可得，∁R B＝{x|x<1}，结合交集的定义可得，A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．故选B.7．(2018·卷，文1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 答案 A解析 A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A. 8．(2018·全国卷Ⅰ，理2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0，得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，于是∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ，文7)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x ) 答案 B解析 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点．故B 正确．10．(2018·某某卷，理5)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D.11．(2018·全国卷Ⅱ，文3)函数f (x )＝e x －e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，∵f (1)＝e －e －1>0，∴排除D ；∵f (2)＝e 2－e －24＝4e 2－4e 216；f (4)＝e 4－e－416＝e 2·e 2－1e 416，∴f (2)<f (4)，排除C.因此选B.12．(2018·全国卷Ⅰ，理9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.13．(2018·全国卷Ⅰ，文12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是(－∞，0)，故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ，理12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1.又∵a >0，b <0，∴ab <0，即ab <a ＋b <0，故选B.二、填空题15．(2018·某某卷，1)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1，1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 答案 {1,8}解析 由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1,8}．16．(2018·某某卷，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．17．(2018·全国卷Ⅰ，文13)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________. 答案 －7解析 根据题意有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ，文16)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2.19．(2018·卷，理13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 y ＝sin x (答案不唯一)解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈0，2]，则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．20．(2018·某某卷，9)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析 由f (x ＋4)＝f (x )得函数f (x )的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝－1＋12＝12，因此f [f (15)]＝f 12＝cos π4＝22. 21．(2018·某某卷，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值X 围是________．答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)，当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时f (x )＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1,3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )＝x －4＝0，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.综上，λ的取值X 围为(1,3]∪(4，＋∞)．22．(2018·某某卷，理14)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．答案 (4,8)解析 当x ≤0时，方程f (x )＝ax ，即x 2＋2ax ＋a ＝ax ，整理可得，x 2＝－a (x ＋1)，很明显x ＝－1不是方程的实数解，则a ＝－x 2x ＋1，当x >0时，方程f (x )＝ax ，即－x 2＋2ax －2a ＝ax ，整理可得，x 2＝a (x －2)，很明显x ＝2不是方程的实数解，则a ＝x 2x －2，令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2x ＋1，x ≤0，x 2x －2，x >0，其中－x 2x ＋1＝－x ＋1＋1x ＋1－2，x 2x －2＝x －2＋4x －2＋4，原问题等价于函数g (x )与函数y ＝a 有两个不同的交点，求a 的取值X 围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象，同时绘制函数y ＝a 的图象如图所示，考查临界条件，结合a >0观察可得，实数a 的取值X 围是(4,8)．。
2019-2020学年人教A版北京市通州区高三(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高三上学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 2．在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知点A（2，a）为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF|等于（）A．4 B．3 C．D．24．若x＞y＞0，则下列各式中一定正确的是（）A．B．tan x＞tan yC．D．lnx＞lny5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．D．6．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A．24 B．12 C．8 D．67．对于向量，，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为﹣1；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量＝（3，﹣2），＝（1，m），若⊥（），则m＝．10．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{a n}的前n项和S n等于．11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为．12．在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，则cos B＝．13．已知a，b，a+m均为大于0的实数，给出下列五个论断：①a＞b，②a＜b，③m＞0，④m＜0，⑤．以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题．14．如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知OC⊥l，BD ⊥l（C、D为垂足），测得OC＝0.9，BD＝1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米．在规划要求下，修建道路总费用的最小值为元．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 学校比例等级优秀8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%良好37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%及格22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%不及格33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠SAD＝∠DAB＝90°，SA＝3，SB＝5，AB＝4，BC＝2，AD＝1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF∥平面SCD，求三棱锥B﹣AEF 的体积．18．已知椭圆C ：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．19．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣零点的个数．20．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n＝，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 【分析】根据题意，由并集的定义分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}；故选：A．2．在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解：∵复数＝＝＝，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A．3．已知点A（2，a）为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF|等于（）A．4 B．3 C．D．2【分析】由题意可得抛物线的焦点和准线，而|AF|等于点A到准线的距离d＝|2﹣（﹣1）|，计算可得．解：由题意可得抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线的方程为x＝﹣1，由抛物线的定义可知|AF|等于点A到准线的距离d，而d＝|2﹣（﹣1）|＝3，故|AF|＝3，故选：B．4．若x＞y＞0，则下列各式中一定正确的是（）A．B．tan x＞tan yC．D．lnx＞lny【分析】A．利用不等式的基本性质即可判断出正误．B．利用三角函数的单调性周期性即可判断出正误．C．利用指数函数的单调性即可判断出正误．D．利用对数函数的单调性即可判断出正误．解：A．∵x＞y＞0，∴＞，因此不正确；B．取x＝π+，y＝，满足x＞y＞0，但是tan x＜tan y，因此不正确；C．由x＞y＞0，∴＜，因此不正确；D．由x＞y＞0，∴lnx＞lny，因此正确．故选：D．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以：AB＝．故选：C．6．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A．24 B．12 C．8 D．6【分析】根据题意，分3步依次分析甲、乙和其他2人的站法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3步进行分析：①，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有2种，乙的站法有2种，②，乙同学与老师相邻，则乙的站法有2种，③，将剩下的2人全排列，安排在剩下的2个位置，有A22＝2种情况，则不同站法有2×2×2＝8种；故选：C．7．对于向量，，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】举例说明由不能得到；反之成立．再由充分必要条件的判定得答案．解：当，且与的夹角为120°时，有，故由，不能得到；反之，由，能够得到．∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．8．关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为﹣1；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，e x﹣1＞0．①令f（x）＝0，可得x2+ax﹣1＝0，△＞0，函数恒有两个零点，可得两个零点之积，即可判断出正误；②f′（x）＝[x2+（2+a）x+a﹣1]e x﹣1．令g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣1，△＞0．可得方程x2+（2+a）x+a﹣1＝0，有两个不相等的实数根．可得其单调性极值，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a﹣1，即可判断出正误；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，可得4﹣2（2+a）+a﹣1＝0，解得a，即可判断出正误．解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，e x﹣1＞0．①令f（x）＝0，则x2+ax﹣1＝0，△＝a2+4＞0，则函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1，正确；②f′（x）＝[x2+（2+a）x+a﹣1]e x﹣1．令g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣1，△＝（2+a）2﹣4（a﹣1）＝a2+8＞0．∴方程x2+（2+a）x+a﹣1＝0，有两个不相等的实数根．又e x﹣1＞0，∴函数f（x）有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，则函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．∴函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a﹣1，因此②不正确；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则4﹣2（2+a）+a﹣1＝0，解得a＝﹣1．∴f′（x）＝（x2+x﹣2）e x﹣1＝（x+2）（x﹣1）e x﹣1．可得x＝1时函数f（x）取得极小值，f（1）＝（1﹣1﹣1）e0＝﹣1．则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有2个．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量＝（3，﹣2），＝（1，m），若⊥（），则m＝﹣5 ．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出m的值．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m），则﹣＝（2，﹣m﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m﹣2）＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．10．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{a n}的前n项和S n等于．【分析】设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得公差d，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：在公差d不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，可得a32＝a1a7，即（2+2d）2＝2（2+6d），解得d＝1，（0舍去），则数列{a n}的前n项和S n＝2n+n（n﹣1）＝n2+n．故答案为：n2+n．11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为x2﹣y2＝1 ．【分析】设双曲线的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由题意可得c，结合渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的标准方程．解：设双曲线的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由题意可得c＝＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，两条渐近线互相垂直，可得﹣＝﹣1，解得a＝b＝1，则双曲线的标准方程为x2﹣y2＝1，故答案为：x2﹣y2＝1．12．在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，则cos B＝．【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos A的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可求解cos B的值．解：∵a＝3，，∠B＝2∠A，∴由正弦定理，可得＝＝，∴解得cos A＝，∴cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1＝．故答案为：．13．已知a，b，a+m均为大于0的实数，给出下列五个论断：①a＞b，②a＜b，③m＞0，④m＜0，⑤．以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）．【分析】利用不等式的基本性质可得由①③⇒⑤．（答案不唯一）．解：因为：若a，b满足a＞b，b＞0，则a＞b，m＞0，⇒﹣＝＝＞0；即由①③⇒⑤．（答案不唯一）．故答案为：①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）14．如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知OC⊥l，BD ⊥l（C、D为垂足），测得OC＝0.9，BD＝1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米．在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 2.1m元．【分析】根据题意找到对应的点P，Q，利用三角形相似计算即可解：根据题意，因为道路PB，QA不穿过花园，所以作AQ⊥l，垂足为Q，此时AQ最短，过B作圆O的切线BP交l于P，此时PB最短，如图：根据平行线段成比例可得AQ＝0.6，即有AQ为△BMD的中位线，所以BM＝2AB＝2，则在Rt△BMD中，DM＝1.6，又因为△PBD∽△BMD，所以PB＝＝＝1.5，故修建道路总费用的最小值为1.5m+0.6m＝2.1m，故答案为：2.1m．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（I）先化简f（x），根据周期计算公式即可得出T．（II）利用三角函数的单调性即可得出．解：＝，（Ⅰ）f（x）的最小正周期T＝，（Ⅱ）因为，所以，所以当，即x＝0时，f（x）取得最小值0；当，即时，f（x）取得最大值．16．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 学校比例等级优秀8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%良好37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%及格22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%不及格33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）【分析】（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，即可得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出随机变量X的分布列．（Ⅲ）经过计算即可得出S12与S22的关系．解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．，所以随机变量X的分布列为：X0 1 2P（Ⅲ）S12＝S22．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠SAD＝∠DAB＝90°，SA＝3，SB＝5，AB＝4，BC＝2，AD＝1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF∥平面SCD，求三棱锥B﹣AEF 的体积．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥SA，AB⊥AD，然后证明AB⊥平面SAD．（Ⅱ）建立如图直角坐标系，求出平面SAB的法向量，平面SDC的法向量，通过向量的数量积求解即可．（Ⅲ）利用V B﹣AEF＝V F﹣ABE，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△SAB中，因为SA＝3，AB＝4，SB＝5，所以AB⊥SA．又因为∠DAB＝90°所以AB⊥AD，因为SA∩AD＝A所以AB⊥平面SAD．（Ⅱ）解：因为SA⊥AD，AB⊥SA，AB⊥AD．建立如图直角坐标系则A（0，0，0）B（0，4，0），C（2，4，0），D（1，0，0），S（0，0，3）．平面SAB的法向量为．设平面SDC的法向量为所以有即，令x＝1所以平面SDC的法向量为，所以．（Ⅲ）解：因为平面AEF∥平面SCD，平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以AE∥CD，平面AEF∩平面SBC＝EF，平面SCD∩平面SBC＝SC，所以FE∥SC，由AE∥CD，AD∥BC得四边形AEDC为平行四边形．所以E为BC中点．又FE∥SC，所以F为SB中点，所以F到平面ABE的距离为，又△ABE的面积为2，所以V B﹣AEF＝V F﹣ABE＝1．18．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．【分析】（Ⅰ）由椭圆的长轴长，结合离心率求出a，b，然后求解椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：设点P（x0，y0），则，PN的中点，通过，结合函数的值域为[﹣12，20]，求解n的范围即可．法二：设点P（x0，y0），则．设PN的中点为Q，利用|MP|＝|MN|，通过函数的值域为[﹣12，20]，求解即可．解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a＝4，得a＝2又离心率，所以所以b2＝a2﹣c2＝2．所以椭圆C的方程为；．（Ⅱ）法一：设点P（x0，y0），则所以PN的中点，，．因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ⊥NP，则，即．又因为，所以所以．函数的值域为[﹣12，20]所以0≤n2≤20所以．法二：设点P（x0，y0），则．设PN的中点为Q因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ是线段PN的垂直平分线，所以|MP|＝|MN|，即，所以．函数的值域为[﹣12，20]，所以0≤n2≤20．所以．19．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣零点的个数．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）由为偶函数，g（0）＝1，把求g（x）在x∈R上零点个数，转化为求g（x）在x∈（0，+∞）上零点个数即可．利用导数研究函数单调性，再由函数零点存在性定理判定．解：（Ⅰ）f'（x）＝x cos x，∴f'（0）＝0．又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（Ⅱ）∵为偶函数，g（0）＝1，∴要求g（x）在x∈R上零点个数，只需求g（x）在x∈（0，+∞）上零点个数即可．，令g'（x）＝0，得，k ∈N，∴g（x ）在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增k∈N*，列表得：x 0 …g'（x）0 + 0 ﹣0 + 0 ﹣0 …g （x ）1 ↗极大值↘极小值↗极大值↘极小值…由上表可以看出g（x ）在（k∈N ）处取得极大值，在（k∈N）处取得极小值，又；．当k∈N*且k≥1时，，（或，）．∴g（x）在x∈（0，+∞）上只有一个零点．故函数零点的个数为2．20．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n＝，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题目中“伴随数列”的定义得，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）只要用作差法证明{b n}的单调性即可，（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有，因为，b1＞b2＞…＞b m．因为，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2，即可解得m的最大值．解：（Ⅰ）数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．因为，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）证明：因为，1≤n≤m﹣1，n∈N*，又因为a1＜a2＜…＜a m，所以有a n﹣a n+1＜0，所以，所以b1＞b2＞…＞b m成立．（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有，因为，b1＞b2＞…＞b m．所以，所以，所以，因为，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2所以（m﹣1）2≤2048，所以m≤46，又，所以m≤33，例如：a n＝64n﹣63（1≤n≤33），满足题意，所以，m的最大值是33．。
人教A版2019-2020学年湖北省黄冈市高三上学期期末数学试卷(理科)(解析版)
2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题）1．已知集合，集合B＝{x|x﹣x2＜0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}2．复数z＝的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．13．若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．已知向量，，若，则＝（）A．5 B．C．6 D．5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若AD＝5，BD＝3，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．6．若x、y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5 D．57．将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学校的不同分配方法有（）A．18种B．24种C．32种D．36种8．已知实数x＞0，y＞0，则“xy≤1”是“2x+2y≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．πB．2πC．3πD．4π10．关于函数有下列结论：①图象关于y轴对称；②图象关于原点对称；③在（﹣∞，0）上单调递增；④f（x）恒大于0．其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．②④C．③④D．①③④11．已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点（点B在F，M中间），且与抛物线C的准线交于点N，若|BN|＝7|BF|，则AF 的长为（）A．B．1 C．D．12．如图，在△ABC中，，点D在线段BC上，且BD＝3DC，，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．4 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在log20.2，20.2，0.20.3三个数中，则最大的数为．14．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为．15．设数列{a n}满足a1＝a，（a n+1﹣1）（1﹣a n）＝2a n（n∈N*），若数列{a n}的前2019项的乘积为3，则a＝．16．已知函数f（x）＝（x+1）sin x+cos x，若对于任意的（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|＜a||成立，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题有6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数．（1）求的值；（2）求f（x）的最小正周期及单调增区间．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n+1＝4n﹣1，n＝1，2，3…，（1）求数列{a n}的通项；（2）设S n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，求S n．19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+a sin x（k，a为实数）．（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；（2）当k＝4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围．20．已知椭圆Γ：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点F（c，0）的直线l与椭圆交于B，C两点，当BC⊥x轴时，三角形ABC的面积为18．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线x＝c分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得PM⊥PN，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．21．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布N（45，152），若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X 的分布列与数学期望．（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545；P （μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973）22．已知函数f（x）＝alnx﹣（x﹣1）e x，其中a为非零常数．（1）讨论f（x）的极值点个数，并说明理由；（2）若a＞e，（i）证明：f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点且x1＞1，求证：x0+2lnx0＞x1．参考答案一、选择题（本题共12小题）1．已知集合，集合B＝{x|x﹣x2＜0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤1}，B＝{x|x＜0或x＞1}，∴A∩B＝{x|x＜0}．故选：D．2．复数z＝的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．解：z＝＝，则复数z＝的虚部为：﹣1．故选：C．3．若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心，进而分析可得圆心在直线x+y+a＝0上，将圆心坐标代入直线方程可得a﹣2﹣1＝0，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆的方程为x2+y2﹣2x+4y+1＝0，其圆心为（1，﹣2），若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则圆心在直线x+y+a＝0上，则有a+1﹣2＝0，解可得a＝1；故选：A．4．已知向量，，若，则＝（）A．5 B．C．6 D．【分析】通过向量的数量积求解x，然后求解向量的模．解：向量，，若，可得﹣x﹣10＝﹣7，解得x＝﹣3，所以＝（﹣4，3），则||＝＝5．故选：A．5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若AD＝5，BD＝3，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得∠ADB＝120°，在△ABD中，运用余弦定理，求得AB，以及DE，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解．解：∵∠ADB＝180°﹣60°＝120°，在△ABD中，可得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB，即为AB2＝52+32﹣2×5×3×（﹣）＝49，解得AB＝7，∵DE＝AD﹣BD＝2；∴＝＝．故选：B．6．若x、y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5 D．5【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1）．化目标函数z＝3x﹣2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣5．故选：C．7．将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学校的不同分配方法有（）A．18种B．24种C．32种D．36种【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有C31A21A22＝12种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有C21C32A22＝12种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有12+12＝24种；故选：B．8．已知实数x＞0，y＞0，则“xy≤1”是“2x+2y≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】通过举反例得到“xy≤1”推不出“2x+2y≤4”；再由“2x+2y≤4”⇒“xy≤1”．能求出结果．解：∵实数x＞0，y＞0，∴当x＝3，y＝时，2x+2y＝23+＞4，∴“xy≤1”推不出“2x+2y≤4”；反之，实数x＞0，y＞0，“2x+2y≤4”⇒“xy≤1”．∴实数x＞0，y＞0，则“xy≤1”是“2x+2y≤4”的必要不充分条件．故选：B．9．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】首先利用函数的关系式的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．解：函数的图象向左平移个单位，得到y＝2sin（）的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）＝2sin（2x+）+1的图象，由于若g（x1）•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，所以函数在x＝x1和x2时，函数都取得最大值．所以（k∈Z），解得，由于且x1，x2∈[﹣2π，2π]，所以，同理，所以．故选：C．10．关于函数有下列结论：①图象关于y轴对称；②图象关于原点对称；③在（﹣∞，0）上单调递增；④f（x）恒大于0．其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．②④C．③④D．①③④【分析】利用函数的奇偶性、单调性直接求解．解：函数，在①中，f（﹣x）＝（1+）＝﹣（1+）＝（+）＝（1+）＝f（x）．∴函数是偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；在②中，函数是偶函数，图象关于y轴对称，故②错误；在③中，在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2＜0，f（x2）﹣f（x1）＝﹣（1+）＝+＞0，∴函数在（﹣∞，0）上单调递增，故③正确；在④中，当x＞0时，＞0，1+＞0，f（x）＞0，当x＜0时，＜0，1+＜0，f（x）＞0．∴f（x）恒大于0，故④正确．故选：D．11．已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点（点B在F，M中间），且与抛物线C的准线交于点N，若|BN|＝7|BF|，则AF 的长为（）A．B．1 C．D．【分析】由题意画出图形，求出AB的斜率，得到AB的方程，求得p，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A的坐标，再由抛物线定义求解AF的长．解：如图，过B作BB′垂直于准线，垂足为B′，则|BF|＝|BB′|，由|BN|＝7|BF|，得|BN|＝7|BB′|，可得sin，∴cos∠BNB′＝﹣，tan∠BNB′＝﹣，又M（，0），∴AB的方程为y＝﹣，取x＝0，得y＝，即F（0，），则p＝1，∴抛物线方程为x2＝2y．联立，解得．∴|AF|＝．故选：C．12．如图，在△ABC中，，点D在线段BC上，且BD＝3DC，，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．4 C．D．【分析】设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝[4sin（2θ+φ）﹣1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．解：设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC．∵BD＝3DC，，∴S△ABD＝S△ABC，∴，∴，同理AB＝8sin（∠BAC﹣θ），∴S△ABC＝＝＝＝（其中tanφ＝），∵0＜θ＜∠BAC，∴当2θ+φ＝时，sin（2θ+φ）max＝1，∴．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在log20.2，20.2，0.20.3三个数中，则最大的数为20.2．【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log20.2＜log21＝0，∴log20.2＜0，∵20.2＞20＝1，∴20.2＞1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴0＜0.20.3＜1，∴20.2最大，故答案为：20.2．14．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为．【分析】由题意画出图形，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．解：如图，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2＝1，b2＝3，则c＝2，则以O为圆心，以2为半径的圆的方程为x2+y2＝4．联立，解得P（，）．∴S△OPF＝×2×＝．故答案为：．15．设数列{a n}满足a1＝a，（a n+1﹣1）（1﹣a n）＝2a n（n∈N*），若数列{a n}的前2019项的乘积为3，则a＝ 2 ．【分析】本题先根据递推式的特点可知a n≠1，然后将递推式可转化为a n+1＝．再根据a1＝a逐步代入前几项即可发现数列{a n}是以最小正周期为4的周期数列．再算出一个周期内的乘积为1，即可根据前2019项的乘积为3求出a的值．解：由题意，根据递推式，a n≠1．故递推式可转化为a n+1＝．∵a1＝a，∴a2＝，a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝，a5＝＝＝a．∴数列{a n}是以最小正周期为4的周期数列．∴a1•a2•a3•a4＝a••（﹣）•＝1．∵2019÷4＝504…3，∴a1•a2…a2019＝a1•a2•a3＝a••（﹣）＝＝3，解得a＝2．故答案为：2．16．已知函数f（x）＝（x+1）sin x+cos x，若对于任意的（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|＜a||成立，则实数a的取值范围为[1，+∞）．【分析】求导可知函数f（x）在上为增函数，进而原问题等价于对于任意的（x1≠x2），均有，构造函数h（x）＝f（x）﹣ae x，则函数h（x）在上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．解：f'（x）＝sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）cos x，任意的（x1≠x2），f'（x）＞0恒成立，所以f（x）单调递增，不妨设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），又，故|f（x1）﹣f（x2）|＜a||等价于，即，设，易知函数h（x）在上为减函数，故h′（x）＝（x+1）cos x﹣ae x≤0在上恒成立，即在上恒成立，设，则＝，故函数g（x）在上为减函数，则g（x）max＝g（0）＝1，故a≥1．故答案为：[1，+∞）．三、解答题：本大题有6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数．（1）求的值；（2）求f（x）的最小正周期及单调增区间．【分析】（I）结合和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后直接代入即可求解，（2）结合正弦函数的性质即可求解．解：（Ⅰ）因为，＝所以，（2）f（x）的最小正周期．令，解得所以f（x）的单调增区间为．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n+1＝4n﹣1，n＝1，2，3…，（1）求数列{a n}的通项；（2）设S n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，求S n．【分析】（1）利用数列的递推关系式推出a n+1﹣a n﹣1＝4，通过当n为奇数，当n为偶数，，分别求解通项公式．（2）化简S n＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1），然后求解数列的和即可．解：（1）∵a n+a n+1＝4n﹣1，n＝1，2，3…①，∴a n﹣1+a n＝4（n﹣1）﹣1，n＝2，3，4…②①﹣②得a n+1﹣a n﹣1＝4，n＝2，3…当n为奇数，，当n为偶数，所以．（2）S n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，S n＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）＝．19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+a sin x（k，a为实数）．（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；（2）当k＝4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围．【分析】（1）求导后，列表得x，f′（x），f（x）的变化情况，进而求得最大值；（2）依题意，4cos2x﹣a cos x﹣6≤0恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解．解：（1）当k＝0，a＝2时，f（x）＝﹣sin2x+2sin xf′（x）＝﹣2cos2x+2cos x＝﹣4cos2x+2cos x+2＝2（2cos x+1）（1﹣cos x），则x，f′（x），f（x）的变化情况如下：∴＝．（2）f（x）在R上单调递增，则f′（x）＝4﹣2（cos2x﹣sin2x）+a cos x≥0对∀x∈R 恒成立．得4cos2x﹣a cos x﹣6≤0，设t＝cos x∈[﹣1，1]，g（t）＝4t2﹣at﹣6，则g（t）≤0在[﹣1，1]上恒成立，由二次函数图象，得﹣2≤a≤2．20．已知椭圆Γ：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点F（c，0）的直线l与椭圆交于B，C两点，当BC⊥x轴时，三角形ABC的面积为18．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线x＝c分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得PM⊥PN，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．【分析】（1）由离心率及三角形ABC的面积和a，b，c之间的关系求出椭圆方程；（2）由（1）知A的坐标，设直线BC的方程，及B，C的坐标，进而写直线AB，AC的方程，与直线x＝c联立求出M，N的坐标，假设存在P点，是PM⊥PN，使数量积等于零，求出P点坐标．【解答】解（1）由已知条件得，解得；所以椭圆Γ的方程为；（2）设动直线BC的方程为y＝k（x﹣2），B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB、AC的方程分别为和，所以点M、N的坐标分别为，联立得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0，所以；于是，假设存在点P（t，0）满足PM⊥PN，则（t﹣2）2+y M y N＝0，所以t＝﹣1或5，所以当点P为（﹣1，0）或（5，0）时，有PM⊥PN．21．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布N（45，152），若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X 的分布列与数学期望．（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545；P （μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973）【分析】（1）设样本的中位数为x，可得，解得x．（2）μ＝45，σ＝15，μ+2σ＝75，旅游费用支出在7500元以上的概率为P（x≥μ+2σ）＝，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7500元以上．（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6，利用二项分布列即可得出．解：（1）设样本的中位数为x，则，解得x＝45，所得样本中位数为45（百元）．（2）μ＝45，σ＝15，μ+2σ＝75，旅游费用支出在7500元以上的概率为P（x≥μ+2σ）＝＝，0.0228×750＝17.1，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上．（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6．，，，，故其分布列为．22．已知函数f（x）＝alnx﹣（x﹣1）e x，其中a为非零常数．（1）讨论f（x）的极值点个数，并说明理由；（2）若a＞e，（i）证明：f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点且x1＞1，求证：x0+2lnx0＞x1．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，（2）（i）转化为证明f′（x）＝0只有一个零点，结合函数与导数知识可证；（ii）由题意可得，，代入可得，，结合函数的性质可证．解：（1）解：由已知，f（x）的定义域为（0，+∞），∵，①当a＜0时，a﹣x2e x＜0，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）内单调递减，无极值点，②当a＞0时，令g（x）＝a﹣x2e x，则由于g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（0）＝a＞0，，所以存在唯一的x0∈（0，+∞），使得g（x0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极值点．（2）证明：（i）由（1）知．令g（x）＝a﹣x2e x，由a＞e得g（1）＝a﹣e＞0，所以g（x）＝0在（1，+∞）内有唯一解，从而f′（x）＝0在（0，+∞）内有唯一解，不妨设为x0，则f（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以x0是f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，则当x＞1时，＜0，故h（x）在（1，+∞）内单调递减，从而当x＞1时，h（x）＜h（1）＝0，所以lnx＜x﹣1．从而当a＞e时，lna＞1，且f（lna）＝aln（lna）﹣（lna﹣1）e lna＜a（lna﹣1）﹣（lna ﹣1）a＝0又因为f（1）＝0，故f（x）在（1，+∞）内有唯一的零点．（ii）由题意，即，从而，即．因为当x1＞1时，lnx1＜x1﹣1，又x1＞x0＞1，故，即，两边取对数，得lne，于是x1﹣x0＜2lnx0，整理得x0+2lnx0＞x1．。
人教A版新教材高一上学期数学期末试卷(含答案解析)
化简得 ，解得 ；
当 时，不等式 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
综上所述， ，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】原式=
．
14．【答案】
【解析】当 ，即 ，解得 ．
15．【答案】
【解析】设 ，
则由题意知：函数 的一个零点在 内，另一个零点在 内，
（2） 的定义域为 ，
且 ，
所以 是奇函数．
（3）又 ，即 ，
有 ．
当 时，上述不等式 ，解得 ．
19．【答案】（1） ；（2） 时， ； 时， ．
【解析】（1）
，
所以 的最小正周期为 ．
（2）∵ ，∴ ，
当 ，即 时， ，
当 ， 时， ．
20．【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ．
【解析】（1） ， ．
【解析】根据题意，当 时， ， ，
则 ，
又 或 ，则 ．
（2）根据题意，若 ，则 ，
分2种情况讨论：
①当 时，有 ，解可得 ；
②当 时，
若有 ，必有 ，解可得 ，
综上可得： 的取值范围是 ．
18．【答案】（1） ；（2）奇函数，证明见解析；（3） ．
【解析】 ，若要式子有意义，
则 ，即 ，所以定义域为 ．
19．（12分）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值，并分别写出相应的 的值．
20．（12分）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ．
（1）求 及 的值；
（2）求函数 在 上的解析式；
（3）若关于 的方程 有四个不同的实数解，求实数 的取值范围．
(部编本人教版)最新版高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法试题 新人教A版选
2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).4.不等式<0的解集是()A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x·log2x>0.又x>0,所以log2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为.2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是.|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即x>-,故原不等式的解集为.8.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a=.0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4.当a>0时,有-<x<,因为不等式的解集为(-1,2),所以解得两值相矛盾舍去.当a<0时,有<x<-,则解得a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f(x)=(a∈R).(1)若a=3,解不等式:f(x)≥2;(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.当a=3时,不等式f(x)≥2即为≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.于是或从而x≥4,或x≤-2.故原不等式解集为{x|x≥4或x≤-2}.(2)f(x)的定义域为R,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立,所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g(x)=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|,于是|a+1|≥2,解得a≥1,或a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).10.已知函数f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R).(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;(2)若f(x)≤2x的解集包含,求a的取值范围.当a=1时,不等式f(x)≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x≥时,不等式为3x≥2,解得x≥,故x≥;②当-1≤x<时,不等式为2-x≥2,解得x≤0,故-1≤x≤0;③当x<-1时,不等式为-3x≥2,解得x≤-,故x<-1.综上,原不等式的解集为.(2)因为f(x)≤2x,所以|x+a|+|2x-1|≤2x,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x≤-a+1.由已知得解得-≤a≤0.故a的取值范围是.B组1.不等式的解集为()A.[0,1)B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞),所以<0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即<x<.因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则故5<b<7.5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤-时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-.当-<x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得x>.由x>2,则x>2.综上所述,原不等式的解集为.6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤.因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以于是a=3.。
河南省洛阳市高三数学“一练”试题 理(含解析)新人教A版
河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。
江西省宜春市2012届高三数学上学期期末统考试卷 理 新人教A版
左视图主视图江西省宜春市2012届高三上学期期末统考试卷数学(理)试题（注意：请将答案填在答题卡上）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1． 已知集合A=﹛a, 3﹜，集合{}Z x x x B ∈<≤-=,21|,且A ∩B=｛0｝,若集合 S=A ∪B ，则S 的真子集有 （ ）.A ．7个B ．8个C ．15个D ．16个 2.设R m ∈，且32)(i i m ⋅+(i 为虚数单位)为负实数，则m =（ ） A ． 2 B ． 1 C ． 0 D ． -1 3．函数21ln)(--=xx x f 的零点所在区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞）4．6的展开式中常数项是（ ） A ．36C - B ．160 C ．-160 D ．-85．由直线6π-=x ，67π=x ，y ＝0与曲线y ＝sin x 所围成的封闭图形的面积为（ ）A ． 2－3B ．4－ 3C ．32+D ． 34+6.已知ABC ∆，D 是BC 边上的一点，2||,1||,||||==⎭⎫⎝⎛=AC AB AC AB AD λ， 若记b AC a AB ==,，则用b a,表示所得的结果为（ ）A ．b a 2121-B ．b a 3131-C ．b a3131+- D ．b a 3132+7．函数y =x 为（ ）A ．54 B ．52 C ．552 D ．1 8．y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-2211y x y x y x ，若)0,0(>>+=b a by ax z \的最大值为7，则b a 223+的最小值为（ ）A ．27 B ．7 C ．213D ．9 9．某几何体的主视图与左视图如图所示，则该几何体的俯视图可以是（ ）② ① ③ ④第13题A.①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32011si n )1(2011)1333π=-+-a a （，62011cos)1(2011)1200932009π=-+-a a （，则2011S =（ ）A ．0B ．2011C ．4022D ．32011二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上） 11．3位教师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村 最多去2人，则不同的分配方法种数是 .（用数字作答） 12．已知双曲线的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切， 且双曲线的右焦点为抛物线x y 122=的焦点， 则该双曲线的标准方程为 . 13．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入关于i 的条件是 . 14．若存在,3)21(∈x 使不等式t ＋x x-1>||ln x e 成立， 则实数t 的取值范围为 .15.设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x D ∈，都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”．已知()f x 是 定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的 “2012型增函数”，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 16．（本小题12分）在⊿ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为,c b a 、、4=a （1）若524=b ，4cos 5B =，求A 的值； （2）若8=⋅，BAC θ∠=，求函数)22cos(3cos 2)(2θπθθ+-=f 最小值.17．（本小题12分）一个袋中装有4个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1、2、3、4，甲、乙、丙、丁依次有放回地随机抽取1个球 ，摸到球的编号分别为d c b a ,,,. （1）若四人抽取的编号数都不相同，则称这四人为“完美组” ，求这四人在一次P D C A B 抽取中荣获“完美组”的概率；（2）若某人抽取的编号x 能使方程6=++++d c b a x 成立，就称该人为“幸运人”， 设这4人在一次抽取中．．．．．获得“幸运人”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望ξE .18．（本小题12分）如图所示，平面多边形ABCDP 是由梯形ABCD 和等边△PAD 组成，已知AB//DC ，BD=2AD=4，AB=2DC=52，现将△PAD 沿AD 折起，使点P 的射影O 恰好落在直线AD 上. （1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PAB 所成的二面角的余弦值.19．（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：a S a S a n n n -=-)(（a 为常数）. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若2=a 时，证明：3211111111321<++++++++n S S S S .20．（本小题13分）已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，N （0,2-），并且满足1212NF F F =，31=⋅MF MN . （1）求此椭圆的方程；（2）设A 、B 是上半椭圆上满足NB NA λ=的两点，其中]1,31(∈λ，求直线AB 的 斜率的取值范围.BCPDA21．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x x =+.（1）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （2）设2()2()3()F x f x x k x k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能， 求出该切线方程；若不能，请说明理由.数学（理科）答题卡一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11． ；12． ；13． ； 14． ；15． ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）即816cos θ≤ 所以 1cos 2θ≥ ， 又0＜θ＜π 所以0＜θ3π≤ ……8分()[1cos(2)]1cos 22cos 212f πθθθθθ=-+++-=++2sin(2)16πθ=++ …9分因0＜θ3π≤，所以6π＜5266ππθ+≤， 1sin(2)126πθ≤+≤…11分 ∴5266ππθ+=，当3πθ=，min 1()2122f θ=⨯+=…12分17．解：（1）这四人在一次抽取中的基本事件有：444444=⨯⨯⨯种，抽取的编号都不相同的基本事件有：2444=A 种，故所求的概率3234244==P …6分（2）ξ可能取值为0，3，即摸到1且4人的和是5的有（1，1，1，2），（1，1，2，1）， （1，2，1，1），（2，1，1，1），此时人数均为3；而摸到2的且另3人的和是2不可能有，摸到3的且另3人的和是1不可能有， 摸到4的且另3人的和是-2不可能有，此时人数为0.…8分 P （ξ=3）=4/256=1/64，P （ξ=0）=252/256=63/64，…10分ξE =3/64.…12分…11分18．(1)证明：由题意知平面PAD ⊥平面ABCD ，又BD=2AD=4，AB=52可得AB 2=AD 2+BD 2，则BD ⊥AD ，又AD 为平面PAD 与平面ABCD 的交线，则BD ⊥平面PAD ；……6分 （2）如图建立空间直角坐标，易知A （1，0，0）， B （-1，4，0），P （0，0，3），)3,4,1(--=，)0,4,2(-=，平面PDA 的法向量为=（0，1，0），设平面PAB 的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，得⎩⎨⎧=-=-+-042034y x z y x ，故可取)332,1,2(=，则1957||||,cos =⋅=〉〈n m ， 所以平面PAD 与平面PAB 所成的二面角的余弦值为1957.……12分 19．解：（1）当1=n 时∴1,=a a ，当2n ≥时，由a S a S a n n n -=-)(， 得a S a S a n n n -=----111)(相减得1-=n n aa a …3分 当0=a 时0=n a ，…4分 当0≠a 时1nn a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n n n a a a a -=⋅=；…5分 综上：nn a a =…6分（2）若2=a 时，221-=+n n S ，112122112111111+=-<-=+∴-++n n n n S S ………8分 设11111121++++++=n S S S S ， 则)111111(111211++++++++<-n S S S S S )11(21111+-++=n S S S …10分 32113211121<+-=+-+<n n S S S S ……12分 20．解：（1）由1212NF F F =，31=⋅MF ，M （0，b ）,F 1(-c,0),F 2(c,0)∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=1132)2(222b c b c c c , ∴2222=+=c b a 从而所求椭圆的方程为.1222=+y x ………………6分（2）N B A NB NA ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.设直线AB 的方程为)2(+=x k y ，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12),2(22y x x k y 消去x 得22)21(22=+-y y k ，即.02412222=+-+y k y k k根据条件可知222421()80k k k+∆=-⋅> 且≠k 解得.22||0<<k ………8分 设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+.122,1242221221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x +=+=λλ得⎩⎨⎧=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+.122,124)1(222222k k y k k y λλ 消去.128)1(222+=+k y λλ得 令⎥⎦⎤⎝⎛∈+=1,31,)1()(2λλλλφ，则.111)21()(222λλλλλλφ-=-='++=' 由于0)(,131<'≤<λφλ，)(λφ在⎥⎦⎤⎝⎛1,31上的减函数， 从而316)(4<≤λφ，即， 31612842<+≤k 22||2121412≤<⇒≤<⇒k k 又.22||0<<k 2221,0<<∴>k k ， 因此直线AB 的斜率的取值范围是2221<<k ………………13分 21．解：（1）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x '=-=+-=+-由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+． …… 3分又10,2x x x >+≥2x =时等号成立．故min 1(2)x x+=a ≤ ……6分（2）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =--11 结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……9分 ①—②得2ln ()()().mm n m n k m n n -+-=- 所以02ln 2.mnk x m n =--由④得0022.k x x =- 所以2(1)2()ln .1mmm n n m n m n n --==++⑤……11分 设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+ 设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+，2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++ 所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=，即2(1)ln 0.1u u u --<+ 也就是，2(1)ln 1mm n m n n -<+，此式与⑤矛盾．所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴．……14分 ① ② ③④。
高中数学 期末检测试卷(B)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
期末检测试卷(B)C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．设f (x )为偶函数，且x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则下列说法正确的是( )A ．f (0.5)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6>f (sin 0.5)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f (sin 2)>f (cos 2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下面各式中，正确的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4B ．cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D ．cos π12＝cos π3－cos π4 10．函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么( ) A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值 B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值 C ．f (x )在定义域内是偶函数 D ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称 11．下面选项正确的有( ) A ．存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝π3B ．α，β是锐角△ABC 的内角，是sin α>cos β的充分不必要条件C ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2是偶函数D ．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象12．若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象不可以是( )三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为________．14．设x >0，y >0，x ＋y ＝4，则1x ＋4y的最小值为________．15．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝3x －1(－3<x ≤0)，f (x )＝f (x ＋3)，则f (2 019)＝________.16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0－x 2－2x ＋1，x <0，函数f (x )有________个零点，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值X 围是________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)设函数f (x )＝6＋x ＋ln(2－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |2x＞1}． (1)求A ∪B ；(2)若集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集，求a 的取值X 围．18.(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos (α＋β)＝－13，其中0<α<π2，0<β<π2. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．19．(12分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≤0，log 2x ＋1，x >0.(1)作出函数f (x )的图象，并写出单调区间；(2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，某某数m 的取值X 围．期末检测试卷(B)1．解析：因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2xx －2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －2>0＝{x |x <－2或x >2}，B ＝{x |1<2x <8}＝{x |0<x <3}，因此A ∩B ＝{x |2<x <3}．故选A.答案：A2．解析：要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋1≠0，解得x ≥－3，且x ≠－1，∴f (x )的定义域为{x |x ≥－3，且x ≠－1}． 答案：A3．解析：sin 140°cos 10°＋cos 40°sin 350° ＝sin 40°cos 10°－cos 40°sin 10° ＝sin (40°－10°)＝sin 30°＝12.答案：C4．解析：∵f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋27－9＝19>0，∴f (2)·f (3)<0，∴函数在区间(2,3)上存在零点． 答案：C5．解析：若命题p 是假命题，则“不存在x 0∈R ，使得x 20＋2ax 0＋a ＋2≤0”成立， 即“∀x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋a ＋2>0”成立，所以Δ＝(2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a ＋1)(a －2)<0，解得－1<a <2， 所以实数a 的取值X 围是(－1,2)，故选B. 答案：B6．解析：x ＝ln π>ln e＝1，y ＝log 52<log 55＝12，z ＝1e >14＝12，且z <1，故y <z <x . 答案：C7．解析：因为函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3， 因为g (x )为偶函数，所以φ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，因为φ＝π6可以推导出函数g (x )为偶函数，而函数g (x )为偶函数不能推导出φ＝π6，所以“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的充分不必要条件．答案：A8．解析：x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则f (x )在(0,1)上单调递减，A ：0.5<π6，所以f (0.5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，A 错误；B ：0.5<π6，∴0<sin 0.5<sin π6<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f (sin 0.5)，B 错误；C ：∵0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，C 正确；D ：－1<cos2<0，f (cos 2)＝f (－cos 2)，sin 2－(－cos 2)＝sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2＋π4>0，所以1>sin2>(－cos 2)>0，所以f (sin 2)<f (－cos 2)＝f (cos 2)，D 错误．故选C.答案：C9．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝sin π4cos π3＋32cos π4，∴A 正确；∵cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝22sin π3－cos π4cos π3，∴B 正确；∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＝cos π4cos π3＋64，∴C 正确；∵cos π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4≠cos π3－cos π4，∴D 不正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：由|x －1|>0得，函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >1－x ＋1，x <1，则g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，D 正确；因为f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，所以a >1，所以f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A 正确，B 错误； 又f (－x )＝log a |－x －1|＝log a |x ＋1|≠f (x )，所以C 错误．故选AD. 答案：AD11．解析：A 选项：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则sin x ＋cos x ∈[－2， 2 ]．又－2<π3<2，∴存在x ，使得sin x ＋cos x ＝π3，可知A 正确； B 选项：∵△ABC 为锐角三角形，∴α＋β>π2，即α>π2－β∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，可知B 正确；C 选项：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2＝cos 2x 3，则cos2－x 3＝cos 2x 3，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2为偶函数，可知C 正确；D 选项：y ＝sin 2x 向右平移π4个单位得：y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，可知D 错误．本题正确选项ABC.答案：ABC12．解析：函数y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 由函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数， 得0<a <1.当x >1时，函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以通过函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到，结合各选项可知只有D 选项符合题意．故选ABC.答案：ABC13．解析：设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1，∴3π8＝12·α·12，∴α＝3π4. 答案：3π414．解析：∵x ＋y ＝4，∴1x ＋4y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ，又x >0，y >0，则y x＋4xy≥2y x ·4x y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝43，y ＝83时取等号， 则1x ＋4y ≥14×(5＋4)＝94. 答案：9415．解析：∵f (x )＝f (x ＋3)， ∴y ＝f (x )表示周期为3的函数， ∴f (2 019)＝f (0)＝3－1＝13.答案：1316．解析：作出函数f (x )的图象如下图所示，由图象可知，函数f (x )有且仅有一个零点，要使函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象有且仅有三个交点，则1＜m ＜2.答案：1 (1,2)17．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧6＋x ≥02－x >0得，－6≤x ＜2；由2x＞1得，x ＞0；∴A ＝[－6,2)，B ＝(0，＋∞)；∴A ∪B ＝[－6，＋∞)； (2)A ∩B ＝(0,2)；∵集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集； ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a ＋1≤2；解得0≤a ≤1；∴a 的取值X 围是[0,1]．18．解析：(1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝22(sin β－cos β)＝15，所以sin β－cos β＝25， 所以(sin β－cos β)2＝sin 2β＋cos 2β－2sin βcos β＝1－sin 2β＝225，所以sin 2β＝2325.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos(α＋β)＝－13， 其中0<α<π2，0<β<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝265，sin(α＋β)＝223， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×265＋223×15＝22－615.19．解析：(1)画出函数f (x )的图象，如图所示：由图象得f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增． (2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点， 则f (x )和y ＝m 有2个交点，结合图象得1<m ≤2. 20．解析：(1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－12.21．解析：(1)由题意可得处理污染项目投放资金为(100－x )百万元， 所以N (x )＝0.2(100－x )，所以y ＝50x10＋x ＋0.2(100－x )，x ∈[0,100]．(2)由(1)可得，y ＝50x 10＋x ＋0.2(100－x )＝70－⎝ ⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋x 5＝72－⎝⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋10＋x 5≤72－20＝52，当且仅当50010＋x ＝10＋x5，即x ＝40时等号成立．此时100－x ＝100－40＝60.∴y 的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．22．解析：(1)若y ＝f k (x )是偶函数，则f k (－x )＝f k (x )，即2－x＋(k －1)·2x ＝2x＋(k －1)·2－x即2－x －2x ＝(k －1)·2－x －(k －1)·2x ＝(k －1)(2－x －2x)，则k －1＝1，即k ＝2； (2)∵f 0(x )＋mf 1(x )≤4，即2x －2－x ＋m ·2x ≤4，即m 2x ≤4－2x ＋2－x， 则m ≤4－2x＋2－x2x＝4·2－x ＋(2－x )2－1，设t ＝2－x， ∵1≤x ≤2，∴14≤t ≤12.word- 11 - / 11 设4·2－x ＋(2－x )2－1＝t 2＋4t －1，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5， 则函数y ＝t 2＋4t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数， ∴当t ＝12时，函数取得最大值y max ＝14＋2－1＝54，∴m ≤54. 因此，实数m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54； (3)f 0(x )＝2x －2－x ，f 2(x )＝2x ＋2－x ，则f 2(2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2， 则g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )＋4＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2，设t ＝2x －2－x ，当x ≥1时，函数t ＝2x －2－x 为增函数，则t ≥2－12＝32， 若y ＝g (x )在[1，＋∞)有零点，即g (x )＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2＝λt －t 2＋2＝0在t ≥32上有解，即λt ＝t 2－2，即λ＝t －2t， ∵函数y ＝t －2t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则y min ＝32－2×23＝16，即y ≥16.∴λ≥16，因此，实数λ的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞.。
高三数学上学期模块试卷(a卷)(含解析)-人教版高三全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市龙河中学高三（上）模块数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f（x）=+的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A． y=x，y= B． y=lgx2，y=2lgxC． y=|x|，y=（）2 D． y=1，y=x03．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={（x，y）|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A． {x|x＜1} B． {x|x＞1} C． {x|0＜x＜1} D．∅4．设，，，则（）A． a＜b＜c B． c＜b＜a C． c＜a＜b D． b＜a＜c5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．6．函数f（x）=log（﹣3x+2）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，1） B．（2，+∞） C．（﹣∞，） D．（，+∞）7．f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上为增函数则在（0，+∞）上（）A．两个都是增函数 B．两个都是减函数C． f（x）为增函数g（x）为减函数 D． f（x）为减函数g（x）为增函数8．已知函数f（x）=a x在（O，2）内的值域是（a2，1），则函数y=f（x）的图象是（）A． B． C． D．9．设x＞y＞1，0＜a＜1，则下列关系正确的是（）A． x﹣a＞y﹣a B． ax＜ay C． a x＜a y D． log a x＞log a y10．函数y=x2与函数y=|lgx|图象的交点个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 311．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1对任意x∈（0，1]恒有f（x）≥0成立，则实数a的取值X围是（）A． [1，+∞） B． [﹣，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，﹣]12．函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．幂函数的图象过点（2，），则它的解析式是．14．A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值X围是．15．若定义在区间（1，2）内的函数f（x）=log3a（x﹣1）满足f（x）＞0，则a的取值X 围是．16．对于函数f（x）=x﹣2﹣lnx，我们知道f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，用二分法求函数f（x）在区间（3，4）内的零点的近似值，我们先求出函数值f（3.5），若已知ln3.5=1.25，则接下来我们要求的函数值是f （）．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．已知：函数f（x）=+lg（3x﹣9）的定义域为A，集合B={x|x﹣a＜0，a∈R}，（1）求：集合A；（2）求：A∩B≠∅，求a的取值X围．18．已知函数f（x）=log a（ax﹣）（a＞0，a≠1为常数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若a=2，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域．19．某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R（m）=5000m﹣500m2（0≤m≤5，m∈N）（I）试写出第一年的销售利润y（万元）关于年产量x单位：百台，x≤5，x∈N*）的函数关系式；（说明：销售利润=实际销售收人一成本）（II ）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u （x）（万元）与年产量x（百台）的关系满足u（x）=500x+500（x≤3，x∈N*），问年产量x 为多少百台时，工厂所得纯利润最大？20．已知函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．21．已知函数f（x）=2a•4x﹣2x﹣1．（1）当a=1时，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，求a的取值X围．22．已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式．2014-2015学年某某省某某市龙河中学高三（上）模块数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f（x）=+的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次根式的性质，以及分母不为0，得不等式组，解出即可．解答：解：由，得x＞﹣1且x≠1，故选C．点评：本题考查了二次根式的性质，求函数的定义域问题，是一道基础题．2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A． y=x，y= B． y=lgx2，y=2lgxC． y=|x|，y=（）2 D． y=1，y=x0考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：证明题．分析：考查各个选项中的两个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，否则，便不是同一个函数．解答：解：A中的两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．B中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．C中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．D中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．综上，只有A中的两个函数是同一个函数．故选 A．点评：本题考查函数的三要素，当且仅当两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系时，才是同一个函数．3．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={（x，y）|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A． {x|x＜1} B． {x|x＞1} C． {x|0＜x＜1} D．∅考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：计算题．分析：由集合M={x|y=ln（1﹣x）}是数集，集合N={（x，y）|y=e x，x∈R}是点集，知M ∩N=Φ．解答：解：∵集合M={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}是数集，集合N={（x，y）|y=e x，x∈R}是点集，∴M∩N=Φ，故选D．点评：本题考查集合的交集的求法，解题时要注意对数函数的定义域的应用．4．设，，，则（）A． a＜b＜c B． c＜b＜a C． c＜a＜b D． b＜a＜c考点：不等关系与不等式；指数函数的单调性与特殊点．专题：不等式的解法及应用．分析：借助于中间量0，1，即可得出结论．解答：解：∵＜=0，＜=1且b＞0，=3，∴a＜b＜c，故选A．点评：本题考查大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得函数在[2，+∞）上是减函数，故自变量的绝对值越小，对应的函数值越大．再根据|4|＞|﹣|＞|﹣3|，可得f（﹣3）、f（﹣）、f（4）的大小关系．解答：解：由于偶函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上是增函数，故函数在[2，+∞）上是减函数，故自变量的绝对值越小，对应的函数值越大．再根据|4|＞|﹣|＞|﹣3|，故有f（﹣3）＜f（﹣）＜f（4），故选：B．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．6．函数f（x）=log（﹣3x+2）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，1） B．（2，+∞） C．（﹣∞，） D．（，+∞）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：先确定函数的定义域，进而根据一次函数和对数函数的性质，分别判断内，外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，得到答案．解答：解：∵函数的定义域为﹣3x+2＞0，∴x＜．令u=﹣3x+2，∵f（u）=log u是减函数，要求f（x）的单调增区间，只需求u=﹣3x+2的递减区间，即（﹣∞，）．故选：C点评：本题主要考查了对数函数的单调区间，复合函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答本题的关键，解答时易忽略函数的定义域7．f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上为增函数则在（0，+∞）上（）A．两个都是增函数 B．两个都是减函数C． f（x）为增函数g（x）为减函数 D． f（x）为减函数g（x）为增函数考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：运用奇函数，偶函数的定义，单调性的概念，判断．解答：解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），设0＜x1＜x2，﹣x2＜﹣x1＜0∵f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＜0，﹣f（x2）+f（x1）＜0，f（x1）＜f（x2），g（﹣x2）﹣g（﹣x1）＜0，g（x2）＜g（x1）∴f（x）为增函数，g（x）为减函数故选：C点评：本题考查了函数的奇偶性的定义，单调性的定义，属于容易题．8．已知函数f（x）=a x在（O，2）内的值域是（a2，1），则函数y=f（x）的图象是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的值域确定a的取值X围，进而确定指数函数的单调性．解答：解：因为f（0）=1，f（2）=a2，所以由函数f（x）=a x在（O，2）内的值域是（a2，1），得函数单调递减，即0＜a＜1，所以函数对应的图象为A．故选A．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，利用函数的值域确定函数的单调性是解决本题的关键．9．设x＞y＞1，0＜a＜1，则下列关系正确的是（）A． x﹣a＞y﹣a B． ax＜ay C． a x＜a y D． log a x＞log a y考点：指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点．专题：转化思想．分析：由y=a x（0＜a＜1）减函数，结合x＞y＞1，根据减函数的定义可得结论．解答：解：∵y=a x（0＜a＜1）减函数又∵x＞y＞1∴a x＜a y故选C点评：本题主要考查指数函数，幂函数和对数函数的图象和性质，主涉及了利用其单调性来比较数的大小，还考查了转化思想．10．函数y=x2与函数y=|lgx|图象的交点个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系内画出函数y=x2与y=|lgx|的图象，可以得出图象交点的个数．解答：解：在同一坐标系内画出函数y=x2与y=|lgx|的图象，如图所示：由图象知，函数y=x2与y=|lgx|图象在（0，1）内有一个交点，在[1，+∞）上无交点．故选：B．点评：本题考查了一元二次函数与对数函数的图象与性质的问题，是容易题．11．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1对任意x∈（0，1]恒有f（x）≥0成立，则实数a的取值X围是（）A． [1，+∞） B． [﹣，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，﹣]考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：方法一、讨论判别式小于0，或判别式大于0，区间在对称轴的左边或右边，由单调性考虑最小值不大于0，解出不等式组即可；方法二、运用参数分离，得到2a≤x在x∈（0，1]恒成立，对右边运用基本不等式，求得最小值2，解2a≤2，即可得到．解答：解法一：依题意可得△=4a2﹣4≤0，或或，解得﹣1≤a≤1，或或，即有﹣1≤a≤1，或a＜﹣1或a∈∅，故实数a的取值X围是：（﹣∞，1]解法二：f（x）=x2﹣2ax+1对任意x∈（0，1]恒有f（x）≥0成立，即有2a≤x在x∈（0，1]恒成立，由于x≥2，当且仅当x=1取最小值2，则2a≤2，即有a≤1．故选C．点评：本题考查含参二次不等式恒成立问题可运用二次函数的性质和判别式，也可通过参数分离，运用基本不等式求最值，属于中档题．12．函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；对数函数的图像与性质．专题：压轴题；数形结合．分析：可采用反证法做题，假设A和B的对数函数图象正确，由二次函数的图象推出矛盾，所以得到A和B错误；同理假设C和D的对数函数图象正确，根据二次函数图象推出矛盾，得到C错误，D正确．解答：解：对于A、B两图，||＞1而ax2+bx=0的两根为0和﹣，且两根之和为﹣，由图知0＜﹣＜1得﹣1＜＜0，矛盾，对于C、D两图，0＜||＜1，在C图中两根之和﹣＜﹣1，即＞1矛盾，C错，D正确．故选：D．点评：考查学生会利用反证法的思想解决实际问题，要求学生掌握二次函数和对数函数的图象和性质．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．幂函数的图象过点（2，），则它的解析式是y=x﹣2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．分析：已知函数为幂函数，求其解析式，假设解析式为y=x m，幂函数图象过点（2，），只需把点代入解析式中，求出m的值即可．解答：解：设幂函数的解析式为y=x m，已知幂函数的图象过点（2，），所以2m=，即m=﹣2，所以它的解析式为y=x﹣2．故答案为y=x﹣2点评：首先明白什么是幂函数，再利用待定系数法求幂函数的解析式，是函数的基本知识．14．A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值X围是a≥或a=0 ．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：分别讨论a的取值X围，利用方程根的个数即可得到结论．解答：解：若a=0，则ax2﹣3x+2=0等价为﹣3x+2=0，解得x=，此时A={}满足条件．若a≠0，当判别式△=9﹣8a=0时，即a=时，即集合A有一个元素满足条件．当判别式△=9﹣8a＜0时，即a＞时，即集合A有0个元素满足条件．综上：a≥或a=0，即a的取值X围是a≥或a=0，故答案为：a≥或a=0．点评：本题主要考查集合元素和集合关系的判断，利用方程根的个数是解决本题的关键．15．若定义在区间（1，2）内的函数f（x）=log3a（x﹣1）满足f（x）＞0，则a的取值X 围是（0，）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；数形结合．分析：由x∈（1，2），先确定x﹣1的X围（0，1），再结合对数函数的图象解决即可．解答：解：因为x∈（1，2），所以x﹣1∈（0，1），由f（x）＞0得0＜3a＜1，所以0＜a＜故答案为：（0，）点评：本题考查对数函数的图象和对数函数的单调性与特殊点，解答关键是数形结合，属基本题型的考查．16．对于函数f（x）=x﹣2﹣lnx，我们知道f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，用二分法求函数f（x）在区间（3，4）内的零点的近似值，我们先求出函数值f（3.5），若已知ln3.5=1.25，则接下来我们要求的函数值是f （ 3.25 ）．考点：二分法求方程的近似解．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x﹣2﹣lnx在区间（3，4）上连续且单调递增，f（3）=1﹣ln3＜0，f （4）=2﹣ln4＞0，f（3）f（4）＜0，由此可得函数的零点所在的初始区间，再计算函数值f（3.5），即可得出接下来我们要求的函数值．解答：解：函数f（x）=x﹣2﹣lnx在区间（3，4）上连续且单调递增，f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，f（3）f（4）＜0，故用二分法求函数f（x）=x﹣2﹣lnx的零点时，初始的区间大致可选在（3，4）上．又f（3.5）=3.5﹣2﹣ln3.5=0.25＞0，∴f（3）f（3.5）＜0，零点区间大致可选在（3，3.5）上，则接下来我们要求的函数值是区间（3，3.5）中点的函数值f （ 3.25）．故答案为：3.25．点评：本题主要考查函数的零点的定义，二分法求方程的近似解，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．已知：函数f（x）=+lg（3x﹣9）的定义域为A，集合B={x|x﹣a＜0，a∈R}，（1）求：集合A；（2）求：A∩B≠∅，求a的取值X围．考点：对数函数的定义域；集合关系中的参数取值问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）被开方数大于等于0，对数的真数大于0，可求出集合A．（2）由A∩B≠∅，可知A与B有公共元素，可解出实数a的取值X围．解答：解（1）∵f（x）=+lg（3x﹣9）∴4﹣x≥0且3x﹣9＞0，即x≤4且x＞2，则A={x|2＜x≤4}（2）B={x|x﹣a＜0，a∈R}={x|x＜a}，由A∩B≠∅，因此a＞2，所以实数a的取值X围是（2，+∞）．点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及并集及运算和子集的概念，属于基础题．18．已知函数f（x）=log a（ax﹣）（a＞0，a≠1为常数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若a=2，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据对数函数成立的条件，即可求函数f（x）的定义域；（2）利用换元法，令2x﹣=t，再根据函数单调性得出不等式，解得即可．解答：解：（1）∵f（x）=log a（ax﹣）∴ax﹣＞0∴（a﹣1）＞0，∵＞0，∴a﹣1＞0，∵a＞0，∴＞．∴x＞，所以定义域为（，+∞）．（2）a=2时，f（x）=log2（2x﹣），令2x﹣=t，则t=2x﹣=2（﹣）2﹣因为x∈[1，9]，所以t∈[1，15]，所以log21≤log2（2x﹣）≤log215，即0≤f（x）≤log215所以函数f（x）的值域为[0，log215]．点评：本题主要考查复合函数的单调性以及函数的定义域和值域，考查学生的计算能力，属于基础题．19．某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R（m）=5000m﹣500m2（0≤m≤5，m∈N）（I）试写出第一年的销售利润y（万元）关于年产量x单位：百台，x≤5，x∈N*）的函数关系式；（说明：销售利润=实际销售收人一成本）（II ）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u （x）（万元）与年产量x（百台）的关系满足u（x）=500x+500（x≤3，x∈N*），问年产量x 为多少百台时，工厂所得纯利润最大？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用销售利润=实际销售收人一成本，成本=固定成本+增加成本，即可得出；（Ⅱ）利用工厂所得纯利润=工厂销售利润﹣人员的年支出费用，及二次函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ），由题意可得，y=5000x﹣500x2﹣500﹣1000x，即y=﹣500x2+4000x﹣500，（x≤5，x∈N*）．（Ⅱ）设工厂所得纯利润为h（x），则h（x）=﹣500x2+4000x﹣500﹣u（x）=﹣500x2+3500x﹣1000=（x≤3，x∈N*）．∴当x=3时，函数h（x）取得最大值h（3）=5000．当年产量为3百台时，工厂所得纯利润最大，最大利润为5000万元．点评：正确理解销售利润=实际销售收人一成本、成本=固定成本+增加成本、工厂所得纯利润=工厂销售利润﹣人员的年支出费用、二次函数的单调性是解题的关键．20．已知函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，其次判断f（﹣x）±f（x）=0是否成立即可；（2）利用函数的单调性的定义即可判断证明．解答：解：（1）∵函数f（x）=a﹣（a∈R），定义域为实数集R．①∵f（﹣x）﹣f（x）==+==0，∴f（﹣x）=f （x）对于任意实数x都成立，∴函数f（x）是偶函数；②又f（﹣x）+f（x）=+a﹣=2a﹣×2，此式对于任意的实数x不满足f（﹣x）+f（x）=0，故此函数不是奇函数．（2）解：判断：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．证明：任取0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，由0＜x1＜x2，∴，，∴，，又，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．点评：熟练掌握函数的奇偶性的判断方法和证明函数的单调性是解题的关键．21．已知函数f（x）=2a•4x﹣2x﹣1．（1）当a=1时，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，求a的取值X围．考点：函数的零点与方程根的关系；函数的零点．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）问题转化为a=1时解方程f（x）=0；（2）f（x）有零点，则方程2a•4x﹣2x﹣1=0有解，分离出a后转化为求函数的值域问题；解答：解：（1）当a=1时，f（x）=2•4x﹣2x﹣1．令f（x）=0，即2•（2x）2﹣2x﹣1=0，解得2x=1或（舍去）．∴x=0，函数f（x）的零点为x=0；（2）若f（x）有零点，则方程2a•4x﹣2x﹣1=0有解，于是2a===，∵＞0，2a=0，即a＞0．点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查方程的思想，属中档题．22．已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：（I）由题意知f（f（2）﹣22+2）=f（2）﹣22+2，f（1）=1，由上此可推出f（a）=a．（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0所以对任意x∈R，有f（x）﹣x2+x=x0，因为f（x0）=x0，所以x0﹣x02=0，故x0=0或x0=1．由此可推导出f（x）=x2﹣x+1（x∈R）．解答：解：（I）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x所以f（f（2）﹣22+2）=f（2）﹣22+2又由f（2）=3，得f（3﹣22+2）=3﹣22+2，即f（1）=1若f（0）=a，则f（a﹣02+0）=a﹣02+0，即f（a）=a．（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0所以对任意x∈R，有f（x）﹣x2+x=x0在上式中令x=x0，有f（x0）﹣x02+x0=x0又因为f（x0）=x0，所以x0﹣x02=0，故x0=0或x0=1若x0=0，则f（x）﹣x2+x=0，即f（x）=x2﹣x但方程x2﹣x=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾．故x0≠0若x0=1，则有f（x）﹣x2+x=1，即f（x）=x2﹣x+1，此时f（x）=x有且仅有一个实数1．综上，所求函数为f（x）=x2﹣x+1（x∈R）点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．。
河北省唐山市2014届高三数学上学期期末考试试题 理(扫描版)
唐山市2013—2014学年度高三年级第一学期期末考试
理科数学参考答案
一、选择题
A卷：ADDCCABCDBBA
B卷：BBDCCABCDBDD
二、填空题
（13）8（14）45（15）－12（16）(2n＋1)3n－1
三、解答题
（17）解：
P(A)＝，P(B)＝P(C)＝．
（Ⅰ）记“一家单位既没获奖励又没被罚款”为事件D，则
P(D)＝[P(A)]4[P()]2[P(C)]2＋C[P(A)]3[P()][P(B)]2[P(C)]＝．…4分
（Ⅱ）X的可能取值为－1，0，8，18．
P(X＝18)＝[P(A)]4[P(B)]2＝，
P(X＝8)＝[P(A)]4C[P(பைடு நூலகம்)][P()]＝，
＝sin2B＋1－cos2B＝2sin(2B－)＋1．…9分
因为0＜B＜，0＜－B＜，所以＜B＜，从而＜2B－＜ ，
故当B＝时，S的最小值为．…12分
（18）解：
（Ⅰ）取AB中点为O，连结OD，OP．
因为PA＝PB，所以AB⊥OP．
又AB⊥PD，OP∩PD＝P，所以AB⊥平面POD，
因为OD平面POD，所以AB⊥OD．…3分
所以k＋k－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2＝－8x1x2＝16．…12分
（21）解：
（Ⅰ）设g(x)＝xex＋1，则g(x)＝(x＋1)ex．
当x∈(－∞，－1)时，g(x)＜0，g(x)单调递减；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p．…4分
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4p＋4．
高考数学 热点题型和提分秘籍 专题05 函数的单调性与最值 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题05 函数的单调性与最值理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的性质． 【热点题型】题型一 函数单调性的判断例1、(1)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1)(2)函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是________(填“增函数”或“减函数”)． 【答案】 (1)C(2)减函数 【解析】【提分秘籍】(1)图象法作图象→看升降→归纳单调性区间(2)转化法(3)导数法求导→判断f′x正、负→单调性区间(4)定义法取值→作差→变形→定号→单调性区间求函数的单调区间，一定要注意定义域优先原则．【举一反三】下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)【答案】A【解析】题型二求函数的单调区间例2、求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝log1(x2－3x＋2)．2解析(1)由于y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1x ≥0，－x 2－2x ＋1x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2x ≥0，－x ＋12＋2x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．【提分秘籍】(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．常用的方法有：①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．③图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(2)若函数f (x )的定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的X 围内进行．【举一反三】求下列函数的单调区间，并指出其增减性． (1)y ＝(a >0且a ≠1)；(2)y ＝log 12(4x －x 2)．题型三函数单调性的应用例3、已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝e x＋sin x ，则( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (2) 【答案】D【解析】由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )＝e x ＋cos x >0恒成立，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2)．【提分秘籍】1．高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．2．高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度： (1)利用函数的单调性比较大小．(2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题． (3)利用函数的单调性求参数．(4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题．【方法规律】(1)含“f ”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)分段函数单调性解法为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性一致外，还要注意两段连接点的衔接.【举一反三】已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )．(1)求f (1)的值；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.则⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0.∴不等式的解集为{x |－1≤x <0}． 【变式探究】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －a x <1log a x x ≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，则a 的取值X 围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,3) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 【解析】【高考风向标】【2015高考某某，理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.【2015高考某某，理15】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==. 【答案】①③④⑤ 【解析】（2014·卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D【解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．（2014·某某卷）设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．【答案】1【解析】由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. （2014·某某卷）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R，∃a ∈D ，f (a )＝b ”；②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；④若函数f(x)＝a ln(x＋2)＋xx2＋1(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】（2014·某某卷）已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值X围．【解析】(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0， 解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值X 围是(e －2，1)．（2013·某某卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值X 围． 【解析】所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.（2013·某某卷）设函数f(x)＝e x＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若曲线y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值X围是( )A．[1，e] B．[e－1－1，1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]【答案】A【解析】因为y0＝sin x0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1]上(有意义时)是增函数，对于y 0∈[－1，1]，如果f(y 0)＝c ＞y 0，则f(f(y 0))＝f(c)＞f(y 0)＝c ＞y 0，不可能有f(f(y 0))＝y 0.同理，当f(y 0)＝d ＜y 0时，则f(f(y 0))＝f(d)＜f(y 0)＝d ＜y 0，也不可能有f(f(y 0))＝y 0，因此必有f(y 0)＝y 0，即方程f(x)＝x 在[－1，1]上有解，即e x＋x －a ＝x 在[－1，1]上有解．显然，当x ＜0时，方程无解，即需要e x＋x －a ＝x 在[0，1]上有解．当x≥0时，两边平方得e x＋x －a ＝x 2，故a ＝e x－x 2＋x.记g(x)＝e x－x 2＋x ，则g′(x)＝e x－2x ＋1.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，e x＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，e x＞e ＞1，0>－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0.综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[1，e]，从而a 的取值X 围是[1，e]．（2013·某某卷）函数y ＝x33x －1的图像大致是( )【答案】C【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A ；当x<0时，x 3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B ；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C 中的图像．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．x 0∈R，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝0 【答案】C【解析】【高考押题】1.函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A. k >12 B. k <12C. k >－12D. k <－12【答案】D【解析】使y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k ＋1<0，即k <－12.2.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A. y ＝x 3B. y ＝|x |＋1C. y ＝－x 2＋1 D. y ＝2－|x |【答案】B 【解析】3.已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A. f (4)>f (－6)B. f (－4)<f (－6)C. f (－4)>f (－6)D. f (4)<f (－6) 【答案】C【解析】由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，∴f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．4. 函数y ＝(12)2x 2－3x ＋1的递减区间为( )A. (1，＋∞)B. (－∞，34)C. (12，＋∞)D. [34，＋∞)【答案】D【解析】设t ＝2x 2－3x ＋1，其递增区间为[34，＋∞)，∴复合函数递减区间为[34，＋∞)，选D 项．5. 函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A. (－∞，0)∪(12，2] B. (－∞，2]C. (－∞，12)∪[2，＋∞) D. (0，＋∞)【答案】A【解析】∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，y ＝2x －1在(－∞，1)上为减函数，在[2,5)上也为减函数，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪(12，2]． 6. 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x .则f (x )的值域是( )A. [－94，0]∪(1，＋∞)B. [0，＋∞)C. [－94，＋∞)D. [－94，0]∪(2，＋∞)【答案】D 【解析】7. 函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为________． 【答案】[3，＋∞)【解析】定义域x 2－2x －3≥0，∴x ≤－1或x ≥3，函数的递增区间为[3，＋∞)． 8. 函数y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值X 围是________．【答案】a ≥2 【解析】y ＝xx ＋a＝1－ax ＋a，依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a )、(－a ，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a ，即a ≥2.9.设函数f (x )的图象关于y 轴对称，又已知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f －x ＋f xx<0的解集为________．【答案】(－1,0)∪(1，＋∞) 【解析】10.已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (13)＝1.(1)求f (1)；(2)若f (x )＋f (2－x )<2，求x 的取值X 围．解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0. (2)∵2＝1＋1＝f (13)＋f (13)＝f (19)，∴原不等式等价于f [x (2－x )]<f (19)，由f (x )为(0，＋∞)上的减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2－x >0，x 2－x >19，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2－x >0，1－223<x <1＋223，⇒1－223<x <1＋223，即x 的取值X 围为(1－223，1＋223)．11. 已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值X 围．12.已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解：(1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ]，(a >0)． (2)函数f (x )的定义域为[0，14]，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈[1，32]，f (x )＝F (t )＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， ∵t ＝4t 时，t ＝±2∉[1，32]，又t ∈[1，32]时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈[13，613]． 即函数f (x )的值域为[13，613]．。
福建莆田一中2012届高三数学上学期期末理试卷新人教A版
莆田一中2011-2012学年上学期期末试卷高三 数学（理科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分；每题只有一个正确答案） 1. 函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是( ) (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）2. 设{a n }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。
已知a 2a 4=1, 37S =, 则5S =( ) （A ）152 (B)314 (C)334(D)1723. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣, 则AM ∣∣=( )（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）14. 设椭圆以正方形的两个顶点为焦点且过另外两个顶点，那么此椭圆的离心率为( )(A) 1 (B)(C) (D) 15. E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）(A)1627 (B)23 (C) 3(D) 346.根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63．5万元B ．64．5万元C ．67．5万元D ．71．5万元 7．在ABC ∆中，下列说法不正确的是（ ） (A) sin sin A B >是a b >的充要条件(B) cos cos A B >是A B <的充要条件(C) 222a b c +<的必要不充分条件是ABC ∆为钝角三角形 (D) 222a b c +>是ABC ∆为锐角三角形的充分不必要条件8．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ）Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．1189. 已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为( )10. 直线：y=x +D的圆：22((1)3x y +-=交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )(A) 76π (B) 54π (C) 43π (D) 53π二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
高三数学模拟试卷(23)(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学试题
某某省某某市X家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（23）一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．复数的虚部是__________．2．已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a=__________．3．已知，，则=__________．4．设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k=__________．5．△ABC 中，“A=”是“sinA=”的__________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是__________．①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β．7．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为__________．8．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为__________．9．已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为__________．10．函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移单位后，得到的图象解析式为__________．11．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=__________．12．求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为__________．13．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是__________．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是椭圆上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且，则点P横坐标的最大值为__________．二．解答题：（本大题共6小题，计90分）15．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）某某数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值X围．16．已知函数f（x）=2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D、E、F分别是BC，PB，CA的中点．（1）证明平面PBF⊥平面PAC；（2）判断AE是否平行于平面PFD，并说明理由；（3）若PC=AB=2，求三棱锥P﹣DEF的体积．18．如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，AB=10m，CD=3m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距3m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？19．设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作直线l交椭圆于P、Q两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若PB2⊥QB2，求直线l的方程；（3）设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4，]，求△B2PQ的面积S的取值X围．20．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值X围．三、附加题（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，向量=．求向量，使得A2a=b．22．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．23．如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE 沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．24．附加题：在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）．（1）小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？（2）小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望．某某省某某市X家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（23）一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．复数的虚部是．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据复数的除法法则计算即可．解答：解：==，所以复数的虚部是．故答案为：．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题．2．已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a=1．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：求解二次不等式化简集合N，然后由交集的运算可得a的值．解答：解：由N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}={x|0＜x＜，x∈Z}={1}，又M={a，0}且M∩N≠∅，所以a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．3．已知，，则=﹣．考点：两角和与差的正切函数．分析：所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．解答：∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣点评：考查了两角和公式的应用，属于基础题．4．设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k=6．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k解答：解：由等比数列的通项公式可得，=4又∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵S k=63，∴∴2k=64∴k=6故答案为：6点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5．△ABC 中，“A=”是“sinA=”的充分不必要条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的求值．分析：根据A=可以判断sinA=，得到前者可以推出后者，举出一个反例来说明后者不一定推出前者，得到前者是后者的充分不必要条件．解答：解：若A=，根据三角函数的特殊值知sinA=，即前者可以推出后者，当sinA=，比如sin=，显然A=，不成立．得到前者不能推出后者，∴综上可知前者是后者的充分不必要条件，故答案为：充分不必要点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是①．①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β．考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对每一选择支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：对于①，根据线面垂直的判定定理，如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．可知该命题正确；对于②，根据线面平行的判定定理可知少条件：“n不在平面β内”，故不正确；对于③，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交．可知该命题不正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知“α∥β”，故不正确．故答案为：①．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．7．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．8．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量数量积的坐标运算公式，可得得=x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值．解答：解：以AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）设E（x，0），其中0≤x≤1∵=（x，﹣1），=（1，0），∴=x•1+（﹣1）•0=x，∵点E是AB边上的动点，即0≤x≤1，∴x的最大值为1，即的最大值为1故答案为：1点评：本题考查向量数量积的最大值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．9．已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合Ω和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可．解答：解：区域Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分，如图的红色三角形的内部，它的面积S=；再观察集合A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，表示的图形在直线x﹣2y=0下方，直线x=4的左边并且在x轴的上方，如图的黄色小三角形内部可以计算出它的面积为S1==4根据几何概率的公式，得向区域Ω上随机投一点P，P落入区域A的概率为P=故答案为：点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题．10．函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移单位后，得到的图象解析式为y=sin（2x﹣）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由图知，A=1，T=π，可求ω，再由ω+φ=可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．解答：解：由图知，A=1，T=π，∴T=π，ω==2，又×2+φ=+2kπ（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=；∴y=f（x）的解析式为y=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向右平移单位后得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查识图与运算能力，属于中档题．11．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．解答：解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以0＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．12．求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．考点：类比推理．专题：规律型．分析：类比求“方程（）x+（）x=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．解答：解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R 上单调递增，由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），∴x2=x+2，解之得，x=﹣1或x=2．所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．13．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，根据公比q与1的关系进行分类，由等比数列的前n项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简所求的式子即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，当q=1时，有S3=3a1、S9=9a1、S6=a1，不满足S3，S9，S6成等差数列；当q≠1时，因为S3，S9，S6成等差数列，所以2×=+，化简得2q6﹣q3﹣1=0，解得q3=或q3=1（舍去），则===，故答案为：．点评：本题考查等比数列的前n项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前n 项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是椭圆上的一个动点，点P在线段OA 的延长线上，且，则点P横坐标的最大值为15．考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据向量共线定理设，结合题意算出．设A（x，y）、P（m，n），由向量的坐标运算公式，化简得m=λx=，再利用基本不等式求最值，可得当A点横坐标为时，P点横坐标的最大值为15．解答：解：∵点P在线段OA的延长线上，∴设（λ＞1），由得，可得．设A（x，y），P（m，n），则可得m=λx====，为了研究点P横坐标m的最大值，根据A点在椭圆上，设x∈（0，5），可得≥2=，∴m=≤=15，由此可得：当且仅当，即A点横坐标x=时，P点横坐标的最大值为15．故答案为：15点评：本题已知椭圆上的动点满足的条件，求点P横坐标的最大值．着重考查了向量的数量积及其运算性质、向量的坐标运算公式、基本不等式与椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．二．解答题：（本大题共6小题，计90分）15．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）某某数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值X围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值X围，从而可求集合M；（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a ＜x＜a}，②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，③当a=2﹣a即a=1时，N=φ三种情况进行求解解答：解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．16．已知函数f（x）=2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法．专题：解三角形．分析：（1）根据诱导公式和二倍角公式、两角和的正弦公式对解析式化简，再由周期公式求f（x）的最小正周期；（2）把条件代入f（x）的解析式化简，再由A的X围和正弦值求A，结合三角形面积公式条件和余弦定理求出边a．解答：解：（1）f（x）=2==sin2x+（1+cos2x）+2=sin2x+cos2x）+3=2sin（2x+）+3∴T==π．（2）由f（A）=4得2sin（2A+）+3=4，∴sin（2A+）=，又∵A为△ABC的内角，∴＜2A+＜，∴2A+=，A=．由S△ABC=，得bcsinA=×1×c×=，c=2．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3，∴a=．点评：本题考查了三角恒等变换、正弦函数的性质的应用，以及余弦定理的综合应用，关键是正确对解析式进行化简，属于中档题．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D、E、F分别是BC，PB，CA的中点．（1）证明平面PBF⊥平面PAC；（2）判断AE是否平行于平面PFD，并说明理由；（3）若PC=AB=2，求三棱锥P﹣DEF的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（1）先根据PC⊥平面ABC，BF⊂平面ABC得到PC⊥BF；再结合BF⊥AC即可得到BF⊥平面PAC，进而证明结论；（2）先假设AE∥平面PFD，借助于假设证得平面ABE∥平面PFD，与P∈平面PFD，P∈平面ABE相矛盾，即可说明结论；（3）直接根据D，E，F分别为BC，PB，CA的中点，把所求体积进行转化；转化为V P﹣BDF即可求出结论．解答：解：（1）∵PC⊥平面ABC，BF⊂平面ABC．∴PC⊥BF．由条件得BF⊥AC，PC∩AC=C．∴BF⊥平面PAC，BF⊂平面PBF，∴平面PBF⊥平面PAC．（2）：AE不平行于平面PFD．反证法：假设AE∥平面PFD，∵AB∥FD，FD⊂平面PFD．∴AB∥平面PFD．∵AE∩AB=A，∴平面ABE∥平面PFD．∵P∈平面PFD，P∈平面ABE．矛盾．则假设不成立，所以：AE不平行于平面PFD（3）∵D，E，F分别为BC，PB，CA的中点．∴V P﹣DEF=V C﹣DEF=V E﹣DFC=V E﹣BDF=V P﹣BDF=××S△BDF•PC=××S△ABC•PC=××××2×2××2=．点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定以及棱锥体积的求法．棱锥体积的求法常用转化思想，变为易求的几何体的体积，考查计算能力．18．如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，AB=10m，CD=3m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距3m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：设钢丝绳长为ym，∠CFD=θ，（1）（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=7），求导，由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（2）（其中0＜θ＜θ0，），求导，由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值．解答：解：（1）设钢丝绳长为ym，∠CFD=θ，则（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=7），，易知为（0，θ0）上的增函数，且当tanθ=时，y′=0；故在（0，θ0）上先减后增，故当时，即时，y min=8；（2）设钢丝绳长为ym，∠CFD=θ，则（其中0＜θ＜θ0，），，令y'=0得sinθ=cosθ，当时，即时，；答：按方法（1），米时，钢丝绳最短；按方法（2），米时，钢丝绳最短．点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．19．设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作直线l交椭圆于P、Q两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若PB2⊥QB2，求直线l的方程；（3）设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4，]，求△B2PQ的面积S的取值X围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为F2（c，0）．已知△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，可得c=2b，在Rt△AB1B2中，，从而a2=b2+c2=20．即可得到椭圆的方程．（2）由（1）得B1（﹣2，0），可设直线l的方程为x=my﹣2，代入椭圆的方程，得到根与系数的关系，利用PB2⊥QB2，⇔，即可得到m．（3）当斜率不存在时，直线l：x=﹣2，此时|MN|=4，，当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），利用点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离，可得t=，得k的取值X围；把直线l的方程代入椭圆的方程点到根与系数的关系，代入|B1B2|×|y1﹣y2|，再通过换元，利用二次函数的单调性即可得出S的取值X围．解答：解：（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为F2（c，0）．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，得c=2b，在Rt△AB1B2中，，从而a2=b2+c2=20．因此所求椭圆的标准方程为：．（2）由（1）得B1（﹣2，0），可设直线l的方程为x=my﹣2，代入椭圆的方程．化为（5+m2）y2﹣4my﹣16=0．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则，，又，B2P⊥B2Q，所以=（m2+1）y1y2﹣4m（y1+y2）+16===0，∴m2=4，解得m=±2；所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．（3）当斜率不存在时，直线l：x=﹣2，此时|MN|=4，，当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），则圆心O到直线l的距离，因此t=，得，联立方程组：得（1+5k2）y2﹣4ky﹣16k2=0，由韦达定理知，，所以，因此．设，所以，所以，综上所述：△B2PQ的面积．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．20．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值X围．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由等差数列的定义，若数列{a n}是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd．结合a n+1+a n=4n﹣3，得即可解得首项a1的值；（2）由a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*），用n+1代n得a n+2+a n+1=4n+1（n∈N*）．两式相减，得a n+2﹣a n=4．从而得出数列{a2n﹣1}是首项为a1，公差为4的等差数列．进一步得到数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．下面对n进行分类讨论：①当n为奇数时，②当n为偶数时，分别求和即可；（3）由（2）知，a n=（k∈Z）．①当n为奇数时，②当n为偶数时，分别解得a1的取值X围，最后综上所述，即可得到a1的取值X围．解答：解：（1）若数列{a n}是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd．由a n+1+a n=4n﹣3，得（a1+nd）+[a1+（n﹣1）d]=4n﹣3，即2d=4，2a1﹣d=﹣3，解得d=2，a1=．（2）由a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*），得a n+2+a n+1=4n+1（n∈N*）．两式相减，得a n+2﹣a n=4．所以数列{a2n﹣1}是首项为a1，公差为4的等差数列．数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．由a2+a1=1，a1=2，得a2=﹣1．所以a n=（k∈Z）．①当n为奇数时，a n=2n，a n+1=2n﹣3．S n=a1+a2+a3+…+a n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣2+a n﹣1）+a n=1+9+…+（4n﹣11）+2n=+2n=．②当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+…+a n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）═1+9+…+（4n﹣7）=．所以S n=（k∈Z）．（3）由（2）知，a n=（k∈Z）．①当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n﹣1﹣a1．由≥5，得a12﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10．令f（n）=﹣4n2+16n﹣10=﹣4（n﹣2）2+6．当n=1或n=3时，f（n）max=2，所以a12﹣a1≥2．解得a1≥2或a1≤﹣1．②当n为偶数时，a n=2n﹣3﹣a1，a n+1=2n+a1．由≥5，得a12+3a1≥﹣4n2+16n﹣12．令g（n）=﹣4n2+16n﹣12=﹣4（n﹣2）2+4．当n=2时，g（n）max=4，所以a12+3a1≥4．解得a1≥1或a1≤﹣4．综上所述，a1的取值X围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．点评：本小题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n项和、不等式的解法、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于压轴题．三、附加题（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，向量=．求向量，使得A2a=b．考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：先计算A2==，再利用矩阵的乘法求向量．解答：解：∵矩阵A=，∴A2==，设=，由A2=得=，即，解得，所以=．点评：本题考查矩阵与向量乘法的意义，考查学生的计算能力，比较基础．22．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．专题：计算题．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．解答：解：由得，两式平方后相加得x2+（y﹣1）2=1，…∴曲线C是以（0，1）为圆心，半径等于的圆．令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρ=2sinθ．即曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．…点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=．23．如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE 沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：（I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由线面垂直的性质可得PB⊥DE；（II）分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设PE=a，可得点B、D、C、P关于a的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PCD的一个法向量为=（1，1，），由PD与平面PBC所成的角为30°和向量的坐标，建立关于参数a的方程，解之即可得到线段PE 的长．解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…可得，，…设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…∵，PD与平面PBC所成角为30°，…∴，即，…解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…点评：本题给出平面图形的翻折，求证线面垂直并在已知线面角的情况下求线段PE的长，着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．24．附加题：在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）．（1）小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？（2）小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；计数原理的应用．专题：计算题．分析：（1）若小明买的三瓶口味均不同，有C83=56种；若其中两瓶口味一样，有C81C71=56种；若三瓶口味一样，有8种．由此能求出小明共有几种选择．（2）ξ的取值为0，1，2，3.=；=；；．由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）若小明买的三瓶口味均不同，有C83=56种；若其中两瓶口味一样，有C81C71=56种；若三瓶口味一样，有8种．所以小明共有56+56+8=120种选择．（2）ξ的取值为0，1，2，3．=；=；；．所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P其数学期望．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)4
人教版数学高三期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【来源】2020届湖南省高三上学期期末统测数学（文)试题 【答案】B2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定【来源】海南省文昌中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题 【答案】A3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】D4．已知圆C 1：（x +a ）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．B ．94C ．32D ．2【来源】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二（上)期中数学（理科)试题 【答案】B5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）【来源】甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文)试题 【答案】A6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53【来源】湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二10月联考文科数学试卷 【答案】D7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 【答案】C8．若不等式22log (5)0x ax -+>在[4,6]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞）B ．20(,)3-∞ C ．(,5)-∞D ．29(,)5-∞【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】C9．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．无法确定【来源】2020届广东省珠海市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】B10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（ ）【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】A11．在ABC ∆中3AB =，5BC =，7AC =，则边AB 上的高为( )A B C D 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B12．不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b -=( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B13．各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若224n n n a S a -=，则2019S 为( )A ．BC ．2019D ．4038【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，则使不等式1000成立的n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】C16．ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1a =，b =4B π=，则A =( )A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．23π【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =,则（ ） A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】C18．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．3【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题 【答案】A19．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析) 【答案】D20．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】A21．在ABC ∆中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b c A B C ++++的值为（ ）A ．1B ．2C D ．【来源】辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一下学期期末数学(文)试题 【答案】B二、填空题22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷) 【答案】923．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝_____．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3524．如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____.【来源】2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷（带解析) 【答案】1025．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 【来源】智能测评与辅导[文]-等比数列 【答案】6426．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】9-27．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d <，()11a f x =+，20a =，()31a f x =-，其中()242f x x x =-+，则{}n a 的前10项和10S =________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】70-28．若x ，y 满足约束条件22020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】2-29．已知数列{}n a 满足11a =，()13N n n n a a n *+⋅=∈，那么数列{}n a 的前9项和9S =______.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】24130．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】()()0,2U三、解答题31．如图，在平面四边形ABCD 中，BC ＝3，CD ＝5，DA 2=，A 4π=，∠DBA 6π=．（1）求BD 的长： （2）求△BCD 的面积．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】（1）7；（2 32．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(II)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【来源】湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 33．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}． （1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．【来源】2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末文数学卷（带解析) 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 34．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 35．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积. 【来源】2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题 【答案】（1）6A π=；（2）见解析36．设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2f A =-，且A 为钝角，求sin C 的值. 【来源】2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1437．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【来源】2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文)试题【答案】(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 38．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长. 【来源】2020届福建省莆田市（第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题【答案】（1）3π；（239．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【来源】北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷【答案】（1）（240．已知函数2()2()f x x mx m R =-++∈，()2x g x =. （1）当2m =时，求2()(log )f x g x >的解集；（2）若对任意的1[1,1]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使不等式12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】（1）(0,2)（2）11[,]22-41．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【来源】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(],0-∞；(Ⅲ)103k -<<．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【来源】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+43．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，523a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足13b =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S . 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n a n =-；(2) 1332n n S +-= 44．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值.(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式； (2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n nb n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n n a n -=；(2)21141n S n =-+，4545．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)3C π=，(2)ABC S ∆=46．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos a cB C b b-=-. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b +=ABC V 的面积.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】（1）3C π=；（2）447．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若a =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题试卷第11页，总11页 【答案】（1）3A π=（2）7+48．在正项数列{}n a中，11a =，()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT . 【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】（1）22n n a +=，2n n b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++49．在ABC ∆中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求ABC ∆周长的最小值。
浙江省湖州市2015届高三上学期期末考试样卷数学理试题 扫描版含答案
湖州市2014学年第一学期期末考试样卷高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分）36分.)9.()2,3 ；()(),01,-∞+∞；[]0,2 10.2 ； 011.2π ；2 ；94π+13.12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.12 15.[]0,1 三、解答题(本大题共5小题，共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．(本小题满分15分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =． 已知向量2cos ,sin 2B m B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,2n =，且//m n ．(Ⅰ) 若512A π=，求边c 的值； (Ⅱ) 求AC 边上高h 的最大值．解析:(Ⅰ)方法一：由//m n ，得22cos2BB =，--------------------------------2分即1cos B B +=,得1sin()62B π-=，-----------------------------------------------4分又0B π<<，所以5666B πππ-<-<，故66B ππ-=，即3B π=.--------------6分结合512A π=，得4C π=由正弦定理sin sin b cB C=得, c =----------------------------------------------------8分方法二: 由//m n ，得22cos 2B B =，----------------------------------------------2分则22cos2sin cos 222B B B =，又cos 02B ≠，故cos 22B B =，即tan23B =，--------------------------------------------------------------------------------------4分 又0B π<<，所以022B π<<，故26B π=，即3B π=.--------------------------------6分 结合512A π=，得4C π=.由正弦定理sin sin b cB C=得， c =-------------------------------------------------------8分(Ⅱ) 设AC 边上的高为h，则131sin 2224ABC S bh h ac B ac ∆====，----------10分即h =， 222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥， -----------------14（等号成立当且仅当a c =）所以9ac ≤，因此h =≤， 所以AC 边上的高h的最大值为h =． -----------------------------------------------15分 17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥11C A ABB -中，11//A A BB ，1A A ⊥平面ABC ，2ACB π∠=，11AC AA ==，12BC BB ==．（Ⅰ）求证：平面1A AC ⊥平面1B BC ； （Ⅱ）若点C 在棱AB 上的射影为点P ， 求二面角11A PC B --的余弦值．（Ⅰ）证明：因为1A A ⊥平面ABC ，所以1A A BC ⊥， …………………………2分又因为AC BC ⊥，所以BC ⊥平面1A AC ， ………………………4分 所以平面1A AC ⊥平面1B BC . …………………………5分 （Ⅱ）解法1：先考查二面角1A PC A --和二面角1B PC B --，因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA CP ⊥，又因为CP AB ⊥， 所以CP ⊥面11A ABB ，所以1CP AP ⊥，1CP B P ⊥， 所以11A PB ∠即二面角的11APC B --一个平面角， ……………………7分 A1AB第17题图因为11tan A PAAP∠===……………………9分112tanBBB PBBP∠===，……………………11分所以()1111tan tanAPB APA B PBπ∠=-∠-∠，所以()1111tan tanA PB A PA B PB∠=-∠+∠……………………12分1111tan tan1tan tanA PAB PBA PAB PB∠+∠=--∠∠……………………13分23552===，……………………14分所以11cos6A PB∠=，所以二面角11A PC B--……………………15分解法2：因为1AA⊥面ABC，所以1AA CP⊥，又因为CP AB⊥，所以CP⊥面11A ABB，所以1CP A P⊥，1CP B P⊥，所以11A PB∠即为二面角的11A PC B--一个平面角.…………………8分因为CP AB⊥，所以5AP=，5BP=，…………………………10分所以1A P==1B P===，…………………12分又因为直角梯形11A ABB可得11A B=，…………………………13分所以22211111111cos2A PB P A BA PBA PB P+-∠=，…………………………………14分所以116cos6A PB+-∠==所以二面角11A PC B--的余弦值为6……………………………15分解法3：如图所示，以CA为x轴，以CB为y轴，过C作z轴，建立空间直角坐标系，则可知()1,0,0A，()11,0,1A，()0,2,0B，()10,2,2B，42,,055P⎛⎫⎪⎝⎭，……8分则()11,0,1CA=，42,,055CP⎛⎫= ⎪⎝⎭.设平面1A PC的一个法向量是()1,,1n x y=，可得：104255xx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩12xy=-⎧⇒⎨=⎩即()11,2,1n=-．……………………………………………10分同理可得1B PC的一个法向量是21,1,12n⎛⎫=-⎪⎝⎭，……………………………………12分所以二面角11APC B--的余弦值为12126n nn n==．………………………15分18．(本小题满分15分)已知二次函数()2f x x bx c=++（,b c R∈）．(Ⅰ) 若()()12f f-=，且不等式()211x f x x≤≤-+对[]0,2x∈恒成立，求函数()f x的解析式；(Ⅱ) 若0c <，且函数()f x 在[]1,1-上有两个零点，求2b c +的取值范围． 解析：(Ⅰ)因为(1)(2)f f -=，所以1b =-，---------------------------------------3分因为当[0,2]x ∈，都有()2|1|1x f x x ≤≤-+，所以有(1)1f =， --------------------------6分 即1c =，所以2()1f x x x =-+； --------------------------------------------7分(Ⅱ)解法1：因为()f x 在[1,1]-上有两个零点，且0c <，所以有(1)0,(1)0,0,f f c -≥⎧⎪≥⎨⎪<⎩10,10,0,b c b c c -++≥⎧⎪⇒++≥⎨⎪<⎩-------------------------11分（图正确，答案错误，扣2分）通过线性规划可得222b c -<+<. ---------------------------------------------15分（若答案为222b c -≤+≤，则扣1分）解法2：设()f x 的两个零点分别12,x x ，所以12()()()f x x x x x =--，--------9分 不妨设1[1,0)x ∈-，2(0,1]x ∈，--------------------------------------------------------------11分 因为12(2)(2)(2)f x x =--，且12(2,3]x -∈，22[1,2)x -∈，----------------13分 所以(2)(2,6)f ∈，所以222b c -<+<.-------------------------------------------------15分 （若答案为222b c -≤+≤，则扣1分） 19．(本小题满分15分)已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为()1,0F ，上顶点为()0,1B ．(Ⅰ) 过点B 作直线与椭圆C 交于另一点A ，若0AB BF ⋅=，求ABF ∆外接圆的方程； (Ⅱ) 若过点()2,0M 作直线与椭圆C 相交于两点G ，H ，设P 为椭圆C 上动点，且满足OG OH tOP +=(O 为坐标原点) ．当1t ≥时，求OGH ∆面积S 的取值范围．解析：(Ⅰ) 由右焦点为()1,0F ，上顶点为()0,1B 得1,1b c ==， 所以22a =.-------------------------------------------------------------------------3分 （,,a b c 每个1分）所以椭圆方程为22121x y +=，因为0AB BF ⋅=，可求得点41(,)33A --，--------------------------------4分 因为ABF ∆为直角三角形，AF 中点坐标11(,)66--，且AF =所以ABF ∆外接圆方程为221125()()6618x y +++=.--------------------6分(Ⅱ)设过点M 的直线方程为2x my =+， --------------------------------------------7分,G H 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，联立方程221,22,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(2)m y +4my +20+=，28160m ∆=->⇒22m >，因为12242m y y m +=-+，12222y y m =+，-------------------------------------------------9分 所以12||y y-==22m =+，------------11分因为OG OH tOP +=，所以点1212(,)x x y y P t t++， 因为点P 在椭圆C 上， 所以有221212()2()2x x y y t t+++=， 化简得2221212[()4]2()2m y y y y t ++++=， 因为12242my y m +=-+，所以得2222244()(2)8()162022m m m m t m m -++-+-=++，化简22162m t=-，-------13分 因为1t ≥，所以2214m <≤，因为1212||2OGH S y y ∆=⋅⋅-=，(t t =∈，所以OGH S ∆=t t=+ 令4()g t t t =+，因为()g t 在(0,2]t ∈上单调递减，在t ∈上单调递增，所以02OGH S ∆<≤分20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足 21n n a S -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()1n n n b a =--，记12111n nT b b b =+++．求证：2n T <．解析：（Ⅰ）当1n =时，1121a S -=，解得11a =，---------------------------------------------1分 当2n ≥时，21n n a S -=，1121n n a S ---=，-----------------------------------------------------------------------2分两式相减得：122n n n a a a --=，即12n n a a -=， ------------------------------------------------------------------------------------------5分 所以{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=，------------------6分 （Ⅱ）证法1：当n 为偶数时，21212312111112221212221n n n n n n n n n b b --------++=+=+-+------------------------------7分 2121232211222n n n n n -----+⎛⎫⎛⎫<=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，--------------------------------10分n T 012321111111222222n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=12122n ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；-----------11分当n 是奇数时，12111n n T b b b =+++<1211111n n b b b b +++++2<. 综上可知2n T <.---------------------------------------------------------------------------------14分 证法2：当1,2,3,4n =时，112T =，232T =，31710T =,412970T =不等式显然成立-------8分 当5n ≥时,要证明2n T <，只要证明012111111221212(1)2(1)n n n n---++++<+-----， 只要证明2342121111112121212(1)2(1)2n n n n ---+++++<+-+----. --------9分 又因为当5n ≥时，1216(1)0n n ---≥， 即1(1615)216(1)0,n n ----≥ 故()11162(1)152,n n n ----≥⋅()12152(1)2,8n n n ----≥⋅ 而234211111112121212(1)2(1)n n n n ---++++++-+---- 3421111115151557222888n -≤+++++⋅⋅⋅ -----------------------------------------------12分 43111()11822157151()2n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++⋅- ----------------------------------------------------------------------13分 112250157155252<++=<.-------------------------------------------------------------------------------14分。
人教A版(2019)数学必修(第一册)：期末测试卷(含答案)1
人教A版(2019)数学必修(第一册)：期末测试卷(含答案)1 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1期末测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}12,3,4,5U =，，集合{}1,2A =，则UA =（ ）A.{}12，B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅2.已知角α的终边上有一点)5M -，则sin α等于（ ）A.57-B.56-C.58-D.3.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 4.函数223y x x =-+，12x -≤≤的值域是（ ） A .R B .[]36，C .[]26，D .[)2+∞，5.已知tan 32α=，则cos α的值为（ ）A .45B .45-C .415D .35-6.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[]01，上的增函数”是“()f x 为[]34，上的减函数”的（ ） A .既不充分也不必要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .充要条件7.函数()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的解析式为（ ）A .sin 22y x =-B .2cos31y x =-C .πsin 215y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D .π1sin 25y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭8.下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递减的是（ ） A .1y x= B .x y e -= C .21y x =-+D .lg y x =9.已知集合1|282x A x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭R ＜＜，{}|11B x x m =∈-+R ＜＜，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是（ ） A .2m ≥ B .2m ≤C .2m ＞D .22m -＜＜10.若函数()()()101x x f x k a a a a -=--＞，≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是（ ）ABCD11.已知 5.10.9m =，0.95.1n =，0.9log 5.1p =，则这三个数的大小关系是（ ） A .m n p ＜＜ B .m p n ＜＜ C .p m n ＜＜D .p n m ＜＜12.具有性质()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211xy x -=+；③010111.x x y x x x⎧⎪⎪==⎨⎪⎪-⎩，＜＜，，，，＞ 其中满足“倒负”变换的函数是（ ） A .①② B .①③C .②③D .①二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.已知幂函数()f x 的图象过点182⎛⎫⎪⎝⎭，，则()27f =________.14.若关于x 的不等式()21230a x x -+-＞有解，则实数a 的取值范围是________. 15.给出下列命题：①()72cos π22f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是奇函数；②若α，β都是第一象限角，且αβ＞，则tan tan αβ＞； ③直线3π8x =-是函数33sin 2π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴；④已知函数()2π3sin 12f x x =+，使()()f x c f x +=对任意x ∈R 都成立的正整数c 的最小值是2. 其中正确命题的序号是________.16.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()02x ∈，时，()212f x x =，则()7f =________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知角α终边上一点()43P -，，求()πcos sin π211π9πcos sin 22αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.（本小题满分12分）已知函数()22sin cos 2cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，求方程()1g x =在[]0πx ∈，上的解集.19.（本小题满分12分）设a 是实数，()2221x xa a f x ⋅+-=+. （1）证明：()f x 是增函数.（2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数.20.（本小题满分12分）已知函数()2π4sin 14f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，且给定条件p ：“ππ42x ≤≤”.（1）求()f x 的最大值及最小值；（2）若条件q ：“()2f x m -＜”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）自2018年10月1日起，《中华人民共和国个人所得税》新规定，公民月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：（1）如果小李10月份全月的工资、薪金为7 000元，那么他应该纳税多少元？（2）如果小张10月份交纳税金425元，那么他10月份的工资、薪金是多少元？（3）写出工资、薪金收入()＜≤（元/月）与应缴纳税金y（元）的函数关系式.014000x x22.（本小题满分12分）已知函数()22=-+的两个零点为1f x x mxx=和x n=.（1）求m，n的值；（2）若函数()()22g x x ax a =-+∈R 在(]1-∞，上单调递减，解关于x 的不等式()log 20a nx m +-＜.期末测试 答案解析一、 1.【答案】B【解析】因为{}12,3,4,5U =，，集合{}12A =，，所以{}3,4,5U A =. 2.【答案】B 【解析】6OM =，5sin 6α∴=-.3.【答案】B【解析】量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B . 4.【答案】C【解析】函数()222312y x x x =-+=-+，对称轴为直线1x =.由12x -≤≤可得，当1x =时，函数取得最小值为2，当1x =-时，函数取得最大值为6，故函数的值域为[]26，，故选C . 5.【答案】B【解析】2222222222cos sin 1tan 134222cos cossin22135cos sin 1tan 222ααααααααα---=-====-+++. 6.【答案】D【解析】由已知()f x 在[]10-，上为减函数，∴当34x ≤≤时，140x --≤≤，∴函数()f x 在[]34，上是减函数，反之也成立，故选D . 7.【答案】D【解析】由函数()f x 的图象得，函数()f x 的最大值为2，最小值为0，周期7ππ4π2010T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=.又函数()f x 过点π110⎛⎫ ⎪⎝⎭，和7π020⎛⎫⎪⎝⎭，，所以只有选项D 符合题意，故选D . 8.【答案】C【解析】由于1y x=为奇函数，故排除A ；由于()x y f x e -==，不满足()()f x f x -=-，也不满足()()f x f x -=，故它是非奇非偶函数，故排除B ；由于21y x =-+是偶函数，且在区间()0+∞，上单调递减，故C 满足条件；由于lg y x =是偶函数，但在区间()0+∞，上单调递增，故排除D ，故选C . 9.【答案】C【解析】{}1|28|132x A x x x ⎧⎫=∈=-⎨⎬⎩⎭R ＜＜＜＜.x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，AB ∴，13m ∴+＞，即2m ＞.10.【答案】A【解析】函数()()(1x x f x k a a a -=--＞0，)0a ≠在R 上是奇函数，()00f ∴=，2k ∴=，又()x x f x a a -=-为减函数，所以01a ＜＜，所以()()log 2a g x x =+，定义域为()2-+∞，，且单调递减，故选A . 11.【答案】C【解析】设函数()0.9x f x =，() 5.1x g x =，()0.9log h x x =，则()f x 单调递减，()g x 单调递增，()h x 单调递减，()5.100.901f ∴=＜＜，即01m ＜＜；()0.95.101g =＞，即1n ＞；()0.90.95.1log 5.1log 10h ==＜，即0p ＜，p m n ∴＜＜.故选C .12.【答案】C【解析】对于①，()1111ln ln111x x f f x x x x--⎛⎫==- ⎪+⎝⎭+≠，不满足“倒负”变换的函数； 对于②，()222222111111111x x x f f x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎝⎭===-=- ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，满足“倒负”变换的函数； 对于③，当01x ＜＜时，11x ＞，()f x x =，()1f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当1x ＞时，101x ＜＜，()1f x x =-，()11f f x x x⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当1x =时，11x =，()0f x =，()()110f f f x x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，满足“倒负”变换的函数.综上，②③是符合要求的函数.故选C . 二、13.【答案】13【解析】设幂函数()af x x =，由图象经过点182⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得182a=，13a ∴=-，()13f x x -∴=，()13127273f -∴==. 14.【答案】23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【解析】当10a -=时，不等式化为230x -＞，显然有解；当10a -＞时，二次函数()()2123f x a x x =-+-开口向上，显然()0f x ＞有解； 当10a -＜时，要使不等式有解，应为()41210a ∆=+-＞，23a ∴＞，213a ∴＜＜. 综上，实数a 的取值范围是23a ＞. 15.【答案】①③④ 【解析】①()7π2cos 22sin 22f x x x ⎛⎫=--=⎪⎝⎭是奇函数，故①正确.②当°30α=，°300β=-时，αβ＞，但tan tan αβ＜，故②错误.③将3π8x =-代入3π3sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭后，y 取最大值3，故③正确.④()1cos π5331cos π222x f x x -=⨯+=-.()f x 的最小正周期是2，而()()f x c f x +=对任意x ∈R 都成立，则说明正整数c 是()f x 的周期，则c 的最小值是2，故④正确. 16.【答案】12-【解析】函数()f x 是R 上的奇函数，即()()f x f x -=-，()()2f x f x +=-，()()()222f x f x f x ∴++=-+=即()()4f x f x +=，可得函数周期4T =.那么()()()731f f f ==-，()()f x f x -=-，()()11f f ∴-=-.当()02x ∈，时，()212f x x =，则()112f =.()172f ∴=-. 三、17.【答案】角α的终边过点()43P -，，3tan 4y x α∴==-，（4分）()πcos sin πsin sin 32tan 11π9πsin cos 4cos sin 22ααααααααα⎛⎫+-- ⎪-⋅⎝⎭∴===--⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（10分） 18.【答案】（1）()π214f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由()πππ2π22π242k x k k -++∈Z ≤≤，得()3ππππ88k x k k -+∈Z ≤≤，()f x ∴的单调递增区间是()3ππππ88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，.（6分） （2）由已知，得()π214g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()1g x =π204x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()ππ28k x k ∴=+∈Z .（9分）[]0πx ∈，，π8x ∴=或5π8x =，∴方程()1g x =的解集为π5π85⎧⎫⎨⎬⎩⎭，.（12分）19.【答案】（1）证明：()2221x x a a f x ⋅+-=+.设12x x ＜，则()()()()()1212121212222222221212121x x x x x x x x a a a a f x f x ⨯-⋅+-⋅+--=-=++++，又由12x x ＜理，得()()120f x f x -＜，则()f x 在R 内为增函数.（5分）（2）根据题意，()2222121x x x a a f x a ⋅+-==-++，则()221x f x a --=-+，()221x f x a -=-++，（8分）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即222121x x a a --=-+++，变形可得()()1210x a -+=恒成立，故1a =.（12分）20.【答案】（1）()ππ21cos 2212sin 2214sin 2123f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又ππ42x ≤≤， ππ2π2633x ∴-≤≤.（4分） π34sin 2153x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤， ()max 5f x ∴=，()min 3f x =.（6分）（2）由（1）得，()35f x ≤≤.()2f x m -＜，()22m f x m ∴-+＜＜.又p 是q 的充分条件，2325m m -⎧∴⎨+⎩＜，＞， 解得35m ＜＜.∴实数m 的取值范围为{}|35m m ＜＜.（12分）21.【答案】（1）700050002000-=（元）， 应交税为15003%50010%95⨯+⨯=（元）.（3分）（2）小张10月份交纳税金425元，由分段累进可得15003%45⨯=；()4500150010%300-⨯=； 4254530080--=，8020%400÷=，则他10月份的工资、薪金是5000150030004009900+++=（元）.（7分）（3）当014000x ＜≤时，可得()()()00500050000.03500065004565000.1650095004530000.195000.2950014000x x x y x x x x ⎧⎪-⨯⎪=⎨+-⨯⎪⎪+⨯+-⨯⎩，＜≤，，＜≤，，＜≤，，＜≤，即为0050000.03150500065000.1605650095000.21555950014000.x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩，＜≤，，＜≤，，＜≤，，＜≤（12分） 22.【答案】（1）根据题意，知1x =和x n =是方程220x mx -+=的两个根， 由根和系数的关系可知112n m n +=⎧⎨⋅=⎩，， 3m ∴=，2n =.（4分） （2）函数()g x 的对称轴为直线2a x =， ()g x 在()1-∞，上单调递减，12a ∴≥，2a ∴≥.（8分） ∴由（1）知，()()log 2log 210a a nx m x +-=+＜，0211x ∴+＜＜，102x ∴-＜＜，∴原不等式的解集为102⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（12分）。
【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题05 直线的倾斜角与斜率(学生版+解析版)
专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30B ．45C ．60D ．902．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0B ．3πC ．2π D ．π3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．34π C ．54π D ．2π 4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6B ．-7C ．-8D ．-95．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3）B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A ．-1B ．-2C ．2D ．18．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ）A ．0B ．2π C ．56π D ．π10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．⎡⎢⎣⎦D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____．15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限.16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________.17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒． 19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α. （1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α. （1）写出α关于m 的函数解析式； （2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围； （2）直线l 倾斜角α的范围；23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】D 【解析】直线x ∴其倾斜角为90. 故选：D .2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0 B ．3πC ．2π D ．π【答案】C 【解析】直线1x =与x 轴垂直，故倾斜角为2π. 故选：C.3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．2π 【答案】B 【解析】由题意，直线10x y ++=的斜率为1k =- 故3tan 14k παα==-∴= 故选:B4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6 B ．-7C ．-8D ．-9【答案】D 【解析】(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 三点在同一条直线上，∴直线AB 和直线AC 的斜率相等， ∴11112383k --=---，解得9k =-．故选：D ．5．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α=， 又0180α︒︒≤<，120α︒∴=，故选：C6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==，则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为321213-=---，显然点()2,3-不满足题意；过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为12101-=-，显然点()0,1满足题意； 过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为321312-=-，显然点()3,3不满足题意； 过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为22031-=-，显然点()2,3-不满足题意； 即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上， 故选：B.7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】D 【解析】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-, 由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-， 所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D8．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B 【解析】直线xsinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π） 故选：B ．9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ） A ．0 B ．2π C ．56π D ．π【答案】A 【解析】tan 3πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭tan 0α=，0απ≤<，0α∴=.故选:A10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．,33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞-⎝⎦3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan3πα≥=2tan tan3πα≤=故(,k ∈-∞)+∞. 故选：B 二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】A. 若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<,是正确的；B. 若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率. 故选：ABC12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率． 【答案】BD 【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90︒时，斜率不存在 故选：BD13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12x =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线重合，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确． 故选：AC. 三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____． 【答案】(0，－2) 【解析】因为Q 在y 轴上，所以可设Q 点坐标为()0,y ，又因为tan120︒==2y =-，因此()0,2Q -，故答案为()0,2-.15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0, 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3．16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________. 【答案】[0°，45°)∪(135°，180°) 【解析】直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，45°)∪(135°，180°) 故答案为[0°，45°)∪(135°，180°) 17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 【答案】3[0,][,)44πππ 【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒．【答案】(0,2P 【解析】设(0,)P y ，201PA y k -=-，tan120︒∴＝201y --，2y ∴=P ∴点坐标为(0,2.19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α.（1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.【答案】（1）13-；（2）10；45 【解析】（1）因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α， 所以1tan 3α=- （2）由（1）知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 10cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α.（1）写出α关于m 的函数解析式；（2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围. 【答案】（1）3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）3,3m .【解析】（1）直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α，当0m =时，2πα=当0m >时，则斜率3tan k m α==，3arctan m α=， 当0m <时，则斜率3tan k m α==，3arctan mαπ=+， 所以3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩； （2）当,32ππα时，33,,0,3k m m ，当2πα=时，0m =， 当3,24ππα时，3,1,3,0k m m ， 综上所述：3,3m .22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围；（2）直线l 倾斜角α的范围；【答案】（1）11k -≤≤（2）3044ππααπ≤≤≤<或 【解析】（1）2(1)110pA k --==-- 1(1)120pB k --==- l 与线段AB 相交pA pB k k k ∴≤≤11k ∴-≤≤（2）由（1）知0tan 11tan 0αα≤≤-≤<或由于tan 0,2y x π⎡⎫=⎪⎢⎣⎭在及(,0)2π-均为减函数3044ππααπ∴≤≤≤<或 23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.【答案】(1) 15t =；(2) k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈ 【解析】(1)由题意可得()42,30(6,3)AB =+-=，(6,3)AM t AB t t ==， ()12,30(3,3)AC =+--=-，所以(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，则CM AB ⊥，∴()()6633334590CM AB t t t ⋅=-++=-=， ∴解得15t =； (2)由01t ≤≤，AM t AB =，可得点M 在线段AB 上，由题中A 、B 、C 点坐标，可得经过A 、C 两点的直线的斜率11k =-，对应的倾斜角为34π，经过C 、B 两点的直线的斜率22k =，对应的倾斜角为2arctan ,则由图像可知(如图所示)，直线CM 的斜率k 的取值范围为：1k ≤-或2k ≥，倾斜角的范围为：3[arctan 2,]4πθ∈.。