高中数学选修1-2教案4：3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计
2019-2020年高中数学《复数代数形式的四则运算乘除运算》教案3新人教A版选修1-2
2019-2020年高中数学《复数代数形式的四则运算乘除运算》教案3新人教A 版选修1-2教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点：乘除运算 教学过程： 一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1） （2） （3）3. 计算：（1） （2） （类比多项式的乘法引入复数的乘法） 二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1） （2） （3）（4）探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1） （2）（3）2、已知复数，若，试求的值。
变：若，试求的值。
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ada bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中叫做实数化因子 例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算，2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：1．计算（1） （2） （3）2．若，且为纯虚数，求实数的取值。
变：在复平面的下方，求。
2019-2020年高中数学《复数的基本概念及其运算》教案1 新人教A 版选修1-2一、目标要求：(1) 复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数的代数表示与向量表示。
(2) 掌握复数的表示方法。
高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案 选修1-2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念．2．过程与方法理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．3．情感、态度与价值观利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：复数代数形式的乘除法运算．难点：复数除法法则的运用．(教师用书独具)●教学建议建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练．由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现i n运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析纠正运算中出现的错误．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)3．理解共轭复数的概念．(易错点)复数的乘法【问题导思】1．如何规定两个复数相乘？【提示】 两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？ 【提示】 满足．(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3复数的除法与共轭复数【问题导思】如何规定两个复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i≠0)相除？ 【提示】z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2.(1)z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d 为实数，c ＋d i≠0)，z 1，z 2进行除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式再把分子与分母都乘以c －d i 化简后可得结果：ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (2)共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数代数形式的乘除法运算)A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8iD ．8i(3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i3－2i＝________.【思路探究】 (1)先设出复数z ＝a ＋b i ，然后运用复数相等的充要条件求出a ，b 的值．(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．(3)先计算1＋i 1－i 再乘方，且将2＋3i3－2i的分母实数化后再合并．【自主解答】 (1)设z ＝a ＋b i ，则(1－i)(a ＋b i)＝2i ，即(a ＋b )＋(b －a )i ＝2i.根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b －a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z ＝－1＋i.故选A.(2)原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i 2＝－8.(3)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i226＋2＋3i3＋2i5＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.法二 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i226＋2＋3i i3－2i i＝i 6＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.【答案】 (1)A (2)A (3)－1＋i1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．2．记住以下结论可以提高运算速度 (1)(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； (2)1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ； (3)1i ＝－i. 计算：(1)(1－i)2；(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)；(3)2i 2＋i. 【解】 (1)(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i. (2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)＝(－34－14i ＋34i ＋34i 2)(1＋i) ＝(－34＋12i －34)(1＋i) ＝(－32＋12i)(1＋i) ＝－32－32i ＋12i －12＝－1＋32＋1－32i.(3)2i2＋i＝2i 2－i 2＋i 2－i ＝2＋4i 5＝25＋45i.虚数单位i 的幂的周期性及其应用(1)计算：－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 013；(2)若复数z ＝1＋i 1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013的值．【思路探究】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n的形式，然后再根据i n的值的特点计算求解．【自主解答】 (1)原式＝i1＋23i 1＋23i＋[(21－i )2]1 006·(21－i ) ＝i ＋(2－2i)1 006·21＋i 2＝i ＋i 1 006·21＋i2＝－22＋2－22i (2)1＋z ＋z 2＋…＋z2 013＝1－z2 0141－z，而z ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i 2＝i ，所以1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1－i2 0141－i＝1－i21－i＝1＋i.1．要熟记i n的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n联系起来以便计算求值．2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．在本例(2)中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．【解】由题意知1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013＝1·1－i2 0141－i＝1－i4×503＋21－i＝1－i21－i＝1＋i.∴原式＝1＋i.共轭复数的应用设z1，z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？【思路探究】设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论【自主解答】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＝a－b i，z2＝c－d i，∴A＝z1·z2＋z2·z1＝(a＋b i)(c－d i)＋(c＋d i)(a－b i)＝ac－ad i＋bc i－bd i2＋ac－bc i＋ad i－bd i2＝2ac＋2bd∈R，B＝z1·z1＋z2·z2＝|z1|2＋|z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，∴A与B可以比较大小．1．z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质．2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．3．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3i z＝1＋3i，求z.【解】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i(a，b∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.记错i 2值而致误设复数z 满足1＋2iz＝i ，则z ＝( )A ．－2＋iB ．－2－iC ．2－iD ．2＋i【错解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i ＋b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故选D 项． 【答案】 D【错因分析】 将i 2＝－1当成i 2＝1来运算漏掉负号．【防范措施】 在进行乘除法运算时，灵活运用i 的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．【正解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i －b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，故选C 项． 【答案】 C1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.1．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)【解析】10i 3＋i ＝10i 3－i 32＋12＝10i 3－i10＝1＋3i ， ∴其对应点的坐标为(1,3)，选A. 【答案】 A2．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】 因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.【答案】 D3．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________.【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.【答案】 －1 1 4．计算：(1)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；(2)2＋3i3－2i；(3)(2－i)2.【解】 (1)法一 (1－i)(－12＋32i)(1＋i)＝(－12＋32i ＋12i －32i 2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i 2)(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i. (2)2＋3i3－2i ＝2＋3i 3＋2i 3－2i 3＋2i＝2＋3i3＋2i32＋22＝6＋2i ＋3i －65＝5i5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2 ＝3－4i.一、选择题1．复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2iD ．5＋2i【解析】 (2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝4＋4i －1＝3＋4i.故选A. 【答案】 A2．i 是虚数单位，复数5＋3i4－i＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i【解析】5＋3i 4－i ＝5＋3i 4＋i 42＋1＝17＋17i17＝1＋i. 【答案】 C3．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝53＋4i 25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.【答案】 D4．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.【答案】 B5．(2013·湖北高考)在复平面内，复数z ＝2i 1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i 1＋i 1－i＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．【答案】 D 二、填空题6．(2013·江苏高考)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 【解析】 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－42＝5.【答案】 57．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.【解析】3＋b i 1－i ＝3＋b i 1＋i2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.【答案】 38．当z ＝－1－i 2时，z 2 012＋z 2 014＝________.【解析】 z ＝－1－i 2，∴z 2＝－2i 2＝－i ，∴z2 012＝(－i)2 012＝1，z 2 014＝(－i)2 014＝－1，∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0.【答案】 0 三、解答题 9．计算下列各题： (1)1＋i71－i＋1－i 71＋i－3－4i 2＋2i 34＋3i；(2)1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7； (3)(－32－12i)12＋(2＋2i 1－3i)8. 【解】 (1)原式＝[(1＋i)2]31＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －83－4i1＋i 21＋i3－4i i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i 1＋i i＝8＋8－16－16i ＝－16i.(2)1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[11＋i2]2＋i 7＝162(－1＋i)－14－i＝－(162＋14)＋(162－1)i. (3)(－32－12i)12＋(2＋2i 1－3i)8 ＝(－i)12·(－32－12i)12＋(1＋i 12－32i )8 ＝(－12＋32i)12＋[1＋i 2]4·12－32i [12－32i 3]3 ＝[(－12＋32i)3]4＋(－8＋83i) ＝1－8＋83i ＝－7＋83i.10．复数z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z <0，求纯虚数a . 【解】 z ＝2i ＋3－3i 2＋i＝1－i ， ∵a 为纯虚数，设a ＝m i(m ∈R ，m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋(m2－2)i<0， ⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2<0m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 所对应的点在第几象限？ 【解】 结合⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc 可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝z (1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0， ∴z ＝1－i 1＋2i 1＋i ＝1－i 21＋2i 1＋i 1－i＝2－i ，∴复数z 所对应的点在第四象限.(教师用书独具)已知z 1、z 2∈C ，z 1＋2z 2∈R ，且5z 1z 2＋5z 22z 1＝1，求证：z 2－3z 1为纯虚数． 【思路探究】 由题目条件推出(z 2－3z 1)2，再证明其小于0即可．【自主解答】 ∵5z 1z 2＋5z 22z 1＝1， ∴10z 21＋5z 22＝2z 1·z 2，即z 21＋4z 22＋4z 1·z 2＝－9z 21－z 22＋6z 1·z 2，也即－(z 1＋2z 2)2＝(3z 1－z 2)2.∵z 1＋2z 2∈R ，z 1≠0，z 2≠0，∴－(z 1＋2z 2)2<0，∴(3z 1－z 2)2<0，∴(3z 1－z 2)2为负实数，∴z 2－3z 1为纯虚数．1．证明z 为纯虚数的方法：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，证明a ＝0且b ≠0；(2)z 2<0⇔z 为纯虚数；(3)z ≠0，且z ＋z ＝0⇔为纯虚数．2．证明z ∈R 的方法：(1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，证明b ＝0；(2)z ∈R ⇔z ＝z ；(3)z ∈R ⇔z 2≥0；(4)z ∈R ⇔|z |2＝z 2.设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，若z 1＋z2∈R ，则a 、b 应满足什么条件？并说明理由． 【解】 z1＋z 2＝a ＋b i 1＋a 2－b 2＋2ab i ＝a ＋b i a 2－b 2＋1－2ab i a 2－b 2＋12＋2ab 2＝a 3＋ab 2＋a －b a 2＋b 2－1i a 2－b 2＋12＋4a 2b 2∈R ，∴b(a2＋b2－1)＝0，∴b＝0或a2＋b2＝1.复数复数的概念复数相等的充要条件复数与复数分类共轭复数复数的模复数的运算复数的减法法则(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d ＝|z1－z2|复数的加法法则(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i复数加法的几何意义复数的乘法法则(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i复数的除法法则a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_15
§3.2.2复数代数形式的乘除运算【学习目标】1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；【重点难点】重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.【学法指导】复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.【问题探究】探究一、复数的乘法运算引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：=⋅21z z其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.引导2:试验证复数乘法运算律（1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究二、复数的除法运算引导1：复数除法定义：满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者di c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1.例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()21i +.引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.例3计算(12)(34)i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.例4计算ii i i 4342)1)(41(++++- 引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】1.复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - 2.设复数z 满足12i i z +=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i +3.复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ）A.i -B.iC.1-D.14.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来. 提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.【总结反思】知识 .重点 .能力与思想方法 .【自我评价】你完成本学案的情况为( )A.很好B.较好C.一般D.较差。
人教版A版高中数学选修1-2课件3.2.2《复数代数形式的乘除运算》教学设计
教学设计§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程：一．复习引入学生回顾并回答：复数的加减法及其几何意义。
（师）前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致，那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？（师生互动）让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得的结果与教科书的规定对照，从而引入新课。
二．讲解新课１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3(2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3(3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3 ，（师讲解）例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.（生）练习1若复数12121,3,z i z i z z =+=-=（ ）答案42i +思考：例2中3+4i 与3-4i 有何特殊关联？引出共轭复数概念。
人教版高中选修1—2数学3.2复数代数形式的四则运算教案(5)
复数代数形式的四则运算导学一、建立复数运算的原则作为复数的实数，在复数集里运算和在实数集里的运算是一致的.二、复数的加法和减法1．数学语言表达：12z a bi z c di =+=+，，则12()()z z a c b d i ±=±+±．2．文字语言表达：两个复数相加（减），就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），所得结果仍是复数.3．复数加减法的几何意义：由于复数z a bi =+←−−−→一一对应点()Z a b ，←−−−→一一对应OZ ，因此复数的加减法可以利用向量的加减法来表示．若111z x y i =+，222z x y i =+对应的向量22()OZ x y =，，且1OZ 和2OZ 不共线（共线时可以直接计算），以1OZ 和2OZ 为邻边作平行四边形12OZ ZZ ，则1212O Z O Z O Z z z =+=+，211212Z Z OZ OZ z z =-=-，故复数加（减）法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则（向量减法的三角形法则）．三、复数的乘法和除法1．规定复数的乘法按照如下法则进行：设12z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么它们的积2()()()()a bi c di ac bci bdi ac bd bc ad i ++=++=-++．说明：复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把2i 换成1-，再把实部、虚部分别合并．2．虚数单位i 的乘方：计算复数的乘积要用到复数的单位i 的乘方，n i 有如下性质：1i i =，21i =-，32i i i i ==-·，4321i i i i i i ==-=-=··．从而对于任何n *∈N ，都有4144()n n n i i i i i i +===··，同理可证421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．这就是说，如果n *∈N ，那么有41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．说明：（1）上述公式中，说明n i 具有周期性，且最小正周期是4． （2）n 可推广到整数集． （3）4()k k ∈Z 是i 的周期．3．复数的除法：已知z a bi =+，如果存在一个z '，使1z z '=·，则z '叫做z 的倒数，记作1z ，有了倒数的概念我们可以规定除法的运算法则：将商a bic di++看作分数，分子分母同乘以分母的共轭复数c di -，把分母变为实数，化简可得运算结果，即()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-=++- 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d ++-+-==++++．4．共轭运算性质：1212z z z z ±=±，1212z z z z =··，11222(0)z zz z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，z z =．5．模运算性质：1212z z z z =··，11222(0)z z z z z =≠， 22221212122()z z z z z z ++-=+，121212z z z z z z -±+≤≤．其中两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方，即22zz z z ==·． 6．常用结论：①2(1)2i i ±=±；②11i i i+=-，11ii i -=-+；③设1322w i -=+， 则21210(0)n n n w w w w w n ++++=++=∈N ，且31w =．。
人教版高中数学选修1-2教案：3.2.2 复数的代数形式的乘除运算
编写时间：2020年 月 日 2020-2021学年 第一学期 编写人：马安山 课 题3.2.2 复数的代数形式的乘除运算授课班级高二(17)授课时间2020年 月 日学习目标 一、知识与技能：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
二、过程与方法：通过例题和习题的训练，引导学生从实数的运算入手，由具体到抽象总结出运算规律，提高学生的运算能力。
三、情感,态度与价值观：培养学生良好的思维品质，感受为真理而执著追求的精神，进行辩证唯物注意教育。
教学重点 复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点 复数的代数形式的乘除运算 课 型新 课主要教学方法自主学习、思考、交流、讨论、讲解教学模式 合作探究，归纳总结 教学手段与教具几何画板、智慧黑板．教 学 过 程 设 计各环节教学反思一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(1+4i)+(7-2i) （2）(5-2i)+(-1+4i)-(2-3i) （3）(3-2i)-[(-4+3i)-(5+i)]3. 计算：（1）)32()31(-⨯+ （2）)()(d c b a +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法） 二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则：i bc ad bd ac bdi adi bci ac di c bi a )()())((2++-=+++=++。
例1．计算（1）)27()41(i i -⨯+ （2）)41()27(i i +⨯-（3）[(3-2i)×(-4+3i)]×(5+i) （4）(3-2i)×[(-4+3i)×(5+i)] 探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1）(1+4i)×(1-4i) （2）(1-4i)×(7-2i)×(1+4i ）（3）2)23(i +2、已知复数Z ，若(2+3i)Z ≥8，试求Z 的值。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_4
3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计学习目标：1.掌握复数代数形式的乘除运算.2.理解复数乘除的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念学习重点：复数的乘除运算法则及其应用．学习难点：复数的代数形式的化简．学习过程：回顾旧知：复数相加(减),就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,即:()()a bi c di +±+=计算：(1)(14)(72)i i +-+(2)(52)(14)(23)i i i --+--+(3)(32)(43)(5)]i i i --+-+-[设计意图：复习回顾上节所学内容，加深对复数的加减基本运算的理解和运用。
问题探究计算 (1)(1(2⨯ (2)()()a b c d +⨯+新知导学1. 复数乘法运算法则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈是任意两个复数，那么它们的积 ()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.设计意图：由多项式乘多项式的运算，归纳出复数乘法运算法则，学会用类比的方法探索新知。
跟踪训练：(1) (14)(72)i i +⨯- (2) (72)(14)i i -⨯+(3) [(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ (4) (32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[设计意图：通过四个跟踪训练，引出复数乘法的运算律，承上启下。
2. 复数乘法运算律：(1) 交换律：1221z z z z =，(2) 结合律：()()123123z z z z z z =，(3) 分配律：()1231213z z z z z z z +=+.跟踪训练：(1) (14)(14)i i +⨯- (2) 2(32)i +设计意图：通过这两个跟踪练习，引出共轭复数的概念，并能运用简单的公式法求复数。
人教课标版高中数学选修1-2：《复数代数形式的四则运算》教案-新版
3.2 复数代数形式的四则运算一、教学目标 1.核心素养通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.（2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质.（3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.学习重点复数代数形式四则运算法则. 4.学习难点复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用. 二.教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材P 56---P 60,完成P 58和P 60相应练习题 任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则 任务3 利用复平面理解复数加减法的几何意义 2.预习自测1.设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋bi 为（ ） A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i 答案：D解析：∵z 1＋z 2＝(2＋bi )＋(a ＋i )＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋bi ＝－2－i .2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i )－(2＋i )＝－1－3i .故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限. 3.若复数z 满足z ＋(3－4i )＝1，则z 的虚部是（ ） A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案：B解析：z ＝1－(3－4i )＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4. （二）课堂设计 1.知识回顾1. 复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a,b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a ＋b i ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )3. 复数z ＝a ＋bi (a,b ∈R )的模为22z a b =+2.问题探究问题探究一：复数的加减法●活动一 怎样计算复数的加法与减法?设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d R =+=+∈,是任意两个复数，那么（1）复数1z 与2z 的和的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++ （2）复数1z 与2z 的差的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-. ●活动二 从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）. ●活动三 复数的和与差还是一个复数吗？ 显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数.●活动四 我们以前学过的运算律还能在复数中使用吗？ 对任意123,,z z z C ∈.（1）交换律：1221z z z z +=+；（2）结合律：123123()()z z z z z z ++=++.●活动五 复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？（1）复平面内的点(,)Z a b OZ ←−−−→uu u r 一一对应平面向量（2）复数i z a b OZ =+←−−−→uu u r一一对应平面向量 （3）复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图，OZ uu u r 表示复数12z z +所对应的向量，12Z Z uuuu r 表示复数12z z -所对应的向量，即OZuu u r表示复数()()i a c b d +++所对应的向量，12Z Z uuuu r表示复数()()i a c b d -+-所对应的向量注： 两个复数的差12z z -表示与连接两个终点12,z z 且指向被减数的向量对应. 问题探究二：复数的乘除法●活动一 复数的乘法怎么算？复数的乘法是否有似曾相识的感觉？设1z =a ＋b i ，2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ）是任意两个复数，则1z ·2z =（a ＋b i ）（c ＋d i ）=_________________.从上面可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ●活动二 复数的乘法是否也满足运算律呢？ 对任意123,,z z z C ∈. （1）交换律：2121z z z z ⋅=⋅（2）结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅1z●活动三 复数的除法又该如何计算呢？设1z =a ＋b i , 2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ，且c ＋d i≠0），122222i i(i 0)i z a b ac bd bc ad c d z c d c d c d+++==++≠+++ 几个运算性质：①i 的幂的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ). ②(1±i)2＝±2i ，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+，1i i=-. ③设13i 22ω=-+，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.●活动四 什么叫做共轭复数？一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常记复数i(,)z a b a b R =+∈的共轭复数为i(,)z a b a b R =-∈.共轭复数有如下性质：①z R z z ∈⇔=；②22z z z z ⋅==；③2z z a +=，2i z z b -=；④1212z z z z +=+，1212z z z z -=-；⑤1212z z z z ⋅=⋅，1122z zz z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(z 2≠0).例 1 计算下列各题： (1)3(2-3i)(2i)12+-++； (2)i 1i 1()()i 2332----+；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i).(4)已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z . 【知识点：复数的四则运算】详解：33=(22)(3)i 11i 22-+-++=-（1）原式 111111=()(1)i i 322366-++--+=+（2）原式.（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i. （4）z ＋1＋2i ＝10－3i ，∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.点拔：复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.例2 设及分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在复平面内作出复数z 1＋z 2所对应的向量.【知识点：复数的四则运算，复数加减法的几何意义】 【思路探究】利用加法法则求z 1＋z 2详解：∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ，∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i ∵15,3OZ =uuu r （），24,1OZ =uuu r （），由复数的几何意义可知，12OZ OZ +uuu r uuu r 与复数z 1＋z 2对应， ∴12OZ OZ +uuu r uuu r ＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量12OZ OZ OZ +=uuu r uuu r uu u r如图所示.点拔：1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.变式：在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量. 解：z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i.复数z 1－z 2所对应的向量为21Z Z uuuu r.例3 （1）设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. （2）已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值.【知识点：复数的模，复数的模的几何意义，复数加减法的几何意义；数学思想：数形结合】（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ).由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，∴2ac ＋2bd ＝0. ∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2.∴|z1－z2|＝2.（2）【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.解法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆.如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.(1)(2)解法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.点拔：|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.例4 （1）计算61i23i 1i32i ++⎛⎫+⎪--⎝⎭.（2）计算：2013 23i21i123i⎛⎫-++ ⎪⎪-+⎝⎭；(3)若复数1i1iz+=-，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值.【知识点：复数的四则运算】（1）分析：先计算1i1i+-再乘方，且将23i32i+-的分母实数化后再合并.详解：626(1i)23i32i62i3i6 =i1i 255⎡⎤+++++-+=+=-+⎢⎥⎣⎦()()原式又解：626(1i)23i i23i i =i1i 232i i23i⎡⎤++++=+=-+⎢⎥-+⎣⎦()()原式().（2）【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解.详解：10062i(123i)22(2)=1i 1i 123i ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式 100622(1i)=i 2i 2+⎛⎫+⋅⎪-⎝⎭10062(1i)=i i 2++⋅222=i 22--+(3)201422013111z z z zz-++++=-L ， 而21i (1i)2i =i 1i (1i)(1i)2z ++===--+，所以201422201311i 11i 11iz z z zz --++++===+--L 点拔：1.要熟记i n 的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若3i 13i z z z ⋅-⋅=+，求z .【知识点：复数的四则运算，共轭复数】详解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点拔：1.22z z z z ⋅==是共轭复数的常用性质.2.实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔ z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数.3.若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 3.课堂总结 【知识梳理】1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.2.复数加减法的几何意义3.复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.4.复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 【重难点突破】(1)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，实质上是合并同类项，不必死记公式.(2)复数加法的几何意义：如果复数12z z ，分别对应于向量12OP OP uuu r uuu r、，那么，以12OP OP 、为两边作平行四边形，对角线OS 表示的向量OS uu r就是12z z +的和所对应的向量.复数减法的几何意义：两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. (3)复数的乘法，也可按照多项式的乘法法法则计算，实质上也是合并同类项，同样不必死记公式.(4)两个复数相除较简便的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简 .(5)复数除法的核心是分母实数化，类似分母有理化. 4.随堂检测 1.21i=+（ ） A.22 B.2 C.2 D.1 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】 原式211i==+ 2.复数i(2－i)等于（ ） A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.3.已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于（ ） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】由(1－i)2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.（三）课后作业 ★基础型 自主突破 1.()212i1i +-等于（ ）A.11i 2--B.11i 2-+C.11i 2+D.11i 2-答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】 原式12i i12i 2+==-+- 2. i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（ ） A.i B.－i C.1 D.－1 答案：A解析：【知识点：共轭复数相关概念，i 的周期性】 方法一：i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二：i607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.3.已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)等于（ ） A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】4.复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】 5.复数z 满足(i)i 2i z -=+，则z =（ ） A.1i -- B.1i - C.13i -+ D.12i - 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】2iz i i+-=，∴1z i =- 6.复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（ ） A.2+i B.2－i C.－1+iC.－1－i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数的定义】(3)(2)15i i z i -++==-+，1z i =-- 7.若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（ ）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】117(117)(2)3525i i i z i i +++===+- 8. (1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案：1i -+解析：【知识点：复数的四则运算】 原式6(23i)(32i)5i i 11i 325++=+=-+=-++ ★★能力型 师生共研1.已知复数z 满足z (1＋i )＝1＋ai (其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B 解析：【知识点：复数的四则运算】由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝(1＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，a ∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限，故选B.2.若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2,3b c ==B.2,1b c ==-C.2,1b c =-=-D.2,3b c =-=答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，复数的相等】 把12i +代入方程20x bx c ++=，利用复数的相等即可3.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i +为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】4.设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A.若2z ≥0，则z 是实数B.若2z <0,则z 是虚数C.若z 是虚数，则2z ≥0D.若z 是纯虚数，则2z <0答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】6.设复数1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ，若12z z 的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为______.答案：6解析：【知识点：复数的概念，复数的四则运算】∵a ∈R ，1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ， ∴12z z ＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i 2＝a －22＋a ＋22i ，依题意a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6.7.若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案：5解析：【知识点：复数的模，复数的四则运算】∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎨⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b.∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋bi |＝|2－i |=222(1)+-＝ 5.8.计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i).答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算】解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i ，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i ，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i★★★探究型 多维突破A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】2.已知1122,,,x y x y R ∈，定义运算“⊙”为1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为________.答案：90o解析：【知识点：复数的四则运算】设 111a b i ω=+，222a b i ω=+ （12,0a a ≠）故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12211-=⋅a b a b . 从而有1212121OP OP b b k k a a ==-g g ，故21OP OP ⊥. 3.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，且z 1＝z 2，则λ的取值范围是_____________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：【知识点：复数的四则运算，三角函数的值域】由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916， 因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 4.已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则 y x 的最大值为________. 答案： 3解析：【知识点：复数的加减法的几何意义，复数的模，直线的斜率的应用】∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 5.已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】设D （x,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +y i)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i=1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i.6.已知复数z 满足: 13i ,z z =+-求22(1i)(34i)2z ++的值.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模，复数的概念】设i(,)z a b a b =+∈R ，而13i ,z z =+-即2213i i 0a b a b +--++=,则224,10,43i.3,30a a b a z b b ⎧=-⎧⎪++-=⇒=-+⎨⎨=-=⎩⎪⎩22(1i)(34i)2i(724i)247i34i22(43i)43i z ++-++===+-+-.(四)自助餐1.若12,z z ∈C ，1212z z z z --+是（ ）A.纯虚数B.实数D.不能确定答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的概念】121212i,i(,,,),(i)(i)(i)(i)--=+=+∈+=+-+-+z a b z c d a b c d z z z z a b c d a b c d R 22ac bd =+∈R .2.为正实数，i 为虚数单位，i 2i a +=，则a =（ ） A.2 B.3 C.2D.1答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】2i |1i |12,i +=-=+=a a aa >0,故3a =. 3.36(13i)2i (1i)12i -+-++++的值是（ ） A.0B.1C.iD .2i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】33336(13i)2i 13i (2i)(12i)-1+3i 15i ()()()+(1i)12i 2i 52i 5-+-+-+-+-+=+=++=i+i =2i .4 若复数z 满足3(1)i 1z z -+=,则2z z +的值等于（ ）A .1D .13i 22-+答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】13i133i 3i 10,i ,2213i z z z ω+---===-+=-221z z ωω+=+=-.5.已知33i (23i)z -=⋅-,那么复数z 在复平面内对应的点位于（） A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】33132223iz i i -==+-6.已知复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝（ ）A.－2iB.－iC.iD.2i答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】解：B 依题意得z z －－z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.7.设456121z i i i i =++++L ，456121z i i i i =⋅⋅⋅L 则12,z z 的关系是（）A .12z z =B .12z z =-C .121z z =+D .无法确定答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，等比数列的前n 项和，等比数列的前n 项和】491(1)1111i i i z i i--===--，456127221z i i ++++===L 故选A. 8.已知2()i i (i 1,n n f n n -=-=-∈N )，集合{}()f n 的元素个数是（ ） A.2B.3C.4D.无数个答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】00-12-23-31(0)i -i 0,(1)i-i =i-=2i,(2)i -i 0,(3)i -i =-2i.i f f f f ======9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A ,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案：C解析：【知识点：复数的加减法的几何意义】A 点坐标为(6,5),B 点坐标为(-2,3),则中点C 的坐标为(2,4),∴C 点对应的复数为2+4i.10.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i ＋i ·z 等于（ ）A.－2B.－2iC.2D.2i解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴ z i ＋i ·z ＝1－i ＋i (1－i )＝(1－i )(1＋i )＝2.故选C.11.若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为（ ）A.－4B.－45C.4D.45答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎨⎧ 3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45. 故选D12.若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】∵z 1－i ＝i ，∴z ＝i (1－i )＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i .故选A.13.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）A.AB.BC.CD.D解析：【知识点：复数的概念，复平面，共轭复数】表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.14.设z =（2-i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .答案：5解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】15. i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若1z =2-3i,则2z = . 答案：2z = -2+3i解析：【知识点：复数的几何意义】由于z 1对应的点的坐标为(2,-3),所以z 2对应的点的坐标为(-2,3), 2z = -2+3i .16.（1） i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)已知复数z ＝(5＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.答案：-2；21解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】（1）(1－2i )(a ＋i )＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2（2）因为z ＝(5＋2i )2＝25＋20i ＋(2i )2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 17.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________. 答案：1解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. 18.－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________. 答案：1i +解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i . 19.已知f (x )＝⎩⎨⎧ 1＋x ，x ∈R ，(1＋i)x ，x ∉R ，则f [f (1－i )]＝________. 答案：3∵f (1－i )＝(1＋i )(1－i )＝2，∴f [f (1－i )]＝f (2)＝1＋2＝3.20.已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i )z 是纯虚数，求z .答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，复数的模】设z ＝x ＋y i （x, y ∈R ），∵ |z |＝5，∴ x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z =(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数，∴340,430,x y x y -=⎧⎨+≠⎩联立三个关系式解得4,3,x y =⎧⎨=⎩或4,3.=-⎧⎨=-⎩x y∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i21.设1zz +是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，共轭复数，复数的模】 ∵1z z + 是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，即20(z 1)(z 1)zz z z ++=++, 设(x,y R)z x yi =+∈，则222()20x y x ++=∴ 2211(y 0)24x y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.它为复数z 对应点的轨迹方程. 22.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO→、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数. 答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】①AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i . ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i . ②CA→＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . ③OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .点评：因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.23.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i . ∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6).三、数学视野以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论产生于十八世纪.1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们.因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一. 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了.二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献.复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响.。
人教版数学选修1-2高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》单元教材教学分析
3、依赖社会教育（社会有关部门的支持与配合）
课时安排
第一课时：复数的乘法运算
第二课时：复数的除法运算
第三课时：复数的乘除法运算的推理以及习题课
第四课时：课堂测验
……
说明
日常的抽查学生的掌握情况。
人教版数学选修1-2高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》单元教材教学分析
学段及学科
高中数学
教材版本
人教版数学选修1-2
单元名称
《3.2.2复数代数形式的乘除运算》
单元教材主题内容与价值作用
在复数这一章节中，同学们将在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
单元复数代数形式的乘除法运算；
3.理解并掌握共轭复数的概念及其应用.
重点、难点与关键
1.掌握复数的乘除法
2.能推导出复数的一些公理
教学方法和手段的设计
讲解法，小组讨论法
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
1、强化学校教育（班主任工作、思想政治课、团队活动、校园文化）
人教新课标版数学高二-人教选修1-2学案设计复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算问题导学一、复数的乘法、除法运算活动与探究11．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )·z ＝( )． A ．1＋3i B ．3＋3i C ．3－i D ．32．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )．A ．2B ．－2C ．－12D ．12迁移与应用1．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2为纯虚数，则x ＝( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．22．已知x ，y ∈R ，且x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i，求x ，y 的值．复数乘除运算法则的理解：(1)复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)复数乘法可推广到若干个因式连乘，且满足乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律．二、共轭复数的应用活动与探究21．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )． A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－22．复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z ＝(a ＋2z )2．迁移与应用1．复数z ＝3＋i(1－3i)2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．22．若复数z 满足z i ＝i －1，则z ＝________．1．若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z ，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求z ．2．掌握共轭复数的概念注意两点： (1)结构特点：实部相等、虚部互为相反数；(2)几何意义：在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称． 三、虚数单位i 的幂的周期性活动与探究3i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝( )．A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i迁移与应用已知z ＝1＋i2，则1＋z 50＋z 100的值是( )．A ．3B ．1C ．2＋iD ．i虚数单位i 的周期性：(1)i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)． (2)i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N )． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．(1)(ac －bd )＋(ad ＋bc )i (2)z 2·z 1 z 1·(z 2·z 3) z 1z 2＋z 1z 3 预习交流1 4－2i2．实部相等，虚部互为相反数 共轭虚数 z a －b i预习交流2 (1)提示：设复数z ＝a ＋b i(a ，b R )，在复平面内对应的点为Z (a ，b )； 其共轭复数z ＝a －b i 在复平面内对应的点为Z ′(a ，－b )．显然两点关于x 轴对称． (2)－3－3i3．ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i预习交流3 －1－3i 课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 1．思路分析：复数相乘直接利用复数乘法运算法则，类比多项式相乘进行运算．A 解析：∵z ＝1＋i ，∴(1＋z )·z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋2i ＋i －1＝1＋3i ．2．思路分析：将已知复数分子、分母乘以分母的共轭复数，然后利用复数乘法运算，求出复数的实部、虚部．A 解析：1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(2－a )＋(2a ＋1)i 5＝2－a 5＋2a ＋15i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧2－a5＝0，2a ＋1≠0，∴a ＝2．迁移与应用 1．D 解析：∵z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝x －2＋(2＋x )i 且z 1·z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，2＋x ≠0.∴x ＝2． 2．解：∵x 1＋i ＋y 1＋2i ＝51＋3i ，∴x (1－i)2＋y (1－2i)5＝5(1－3i)10，即5x (1－i)＋2y (1－2i)＝5－15i ，(5x ＋2y )－(5x ＋4y )i ＝5－15i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5.活动与探究2 1．思路分析：先求z ，再结合复数四则运算法则确定z 2＋z 2的虚部． A 解析：因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ． 而z 2＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝(1－i)2＝－2i ， 所以z 2＋z 2＝0，故选A ．2．思路分析：将z ＝1＋i 代入az ＋2b z ＝(a ＋2z )2中，利用复数相等转化为实数问题． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ． 又∵(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， ∵a ，b 都是实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，b 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－4，b 2＝2. ∴所求实数为a ＝－2， b ＝－1或a ＝－4，b ＝2． 迁移与应用 1．A 解析：z ＝3＋i (1－3i)2＝3＋i1－23i －3＝3＋i－2－23i ＝(3＋i)(－2＋23i)(－2－23i)(－2＋23i)＝－34＋14i ， z ＝－34－14i ， 所以z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－342＋⎝⎛⎭⎫142＝14． 2．1－i 解析：∵z ＝i －1i＝1＋i ，∴z ＝1－i ． 活动与探究3 思路分析：利用i n 的周期规律将各式化简即可．A 解析：∵i 3＝－i ，i 5＝i ，i 7＝i 3＝－i ， ∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝1i －1i ＋1i －1i＝0． 迁移与应用 D 解析：z ＝1＋i 2，所以z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i2＝i ，于是1＋z 50＋z 100＝1＋i 25＋i 50＝1＋i －1＝i ． 当堂检测1．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( )． A ．1＋i B ．1－i C ．2＋2i D ．2－2i 答案：B 解析：由(1＋i)z ＝2得22(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z --====-++-． 2．复数z ＝1－i ，则1z＋z ＝( )． A ．13i 22+ B ．13i 22- C ．33i 22- D ．31i 22- 答案：D 解析：∵z ＝1－i ，111i 311i 1i i 1i 222z z +∴+=+-=+-=--． 3．已知复数2ii 1z -＝， z 为z 的共轭复数，则z ＋(1＋i)＝( )． A ．2 B ．2i C ．2＋2i D ．2－2i 答案：C 解析：2i 2i(1i)22i 1i i 1(i 1)(1i)2z ---+====------， ∴z ＝1＋i ， ∴z ＋(1＋i)＝2＋2i ．4．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 答案：1 解析：∵i(z ＋1)＝－3＋2i ， ∴z ＋1＝32ii-+＝－(－3＋2i)i ＝2＋3i ， ∴z ＝1＋3i ，∴z的实部为1．5．求1＋i＋i2＋…＋i2 013＝__________．答案：1＋i解析：∵i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0，n＝4k，k N*．∴原式＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋i2 013＝1＋i2 013＝1＋i．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_3
<<复数代数形式的乘除运算>>教学设计
复数代数形式的四则运算,即复数代数形式的加法,减法,乘法和除法,重点是加法和乘法.复数加法和乘法的法则是规定的,其合理性表现在与实数加法,乘法的法则是一致的,而且实数加法,乘法的有关运算律在这里仍然成立.减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算的规定也与实数运算是一致的.所以对于高中生来说,法则易于理解和接受,只需采用类比的思想方法,再利用1
2-
i,就可以将复数的四
=
则运算归结为实数的四则运算了.
鉴于以上分析,本堂课的教学宜教师少讲,学生多练,练悟结合,从而达到熟能生巧的效果.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.2 复数的四则运算》
复数的除法运算
教学目标：
知识与技能目标：
理解并掌握复数的代数形式的除法运算法那么，熟练进行复数除法的运算。
了解共轭复数的定义及性质
过程与方法目标：
理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法那么的运用。
教学过程：
一、复习回忆，新课引入：
问题1、完成练习：〔1〕〔2〕〔3〕问题2、总结复数加、减、乘法运算法那么
加法：
减法：
乘法：
问题3、的共轭复数：
共轭复数性质：，，
二、师生互动、新课讲解：
问题4、复数满足，求
问题5、复数除法定义：
满足的复数叫做除以的商，其中是实数，记为或
思考：〔1〕计算
〔2〕类比化简无理分式的方法，你能给出问题4中其他的解法吗？问题6、除法法那么：
，cdi≠0
总结：分子分母同乘以分母的共轭复数，即把分母“实数化〞
三、稳固练习
问题7、计算：
练习：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕
〔6〕
变式1：，求实数
变式2：假设，，且为纯虚数，求实数的值
四、课堂小结
本节课你有哪些收获？。
最新人教版高中数学选修3.2.2《复数代数形式的乘除运算》教学设计
3. 2. 2 复数代数形式的乘除运算教学设计学习目标1．理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，理解除法是乘法运算的逆运算.2．理解并掌握复数的乘法实质就是多项式展开，除法运算实质是分母实数化类问题．重点：复数的乘除运算法则及其应用．难点：复数的代数形式的化简．学习过程一．认知预习阅读教材P109-P111页的内容，并解答问题：1、类比两个多项式相乘，()()a b c d ac ad bc bd ++=+++。
你能总结出复数相乘的运算规则吗？设1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈是任意两个复数二、探究新知探究一、乘法运算律：①交换律：1221z z z z =，②结合律：()()123123z z z z z z =，③分配律：()1231213z z z z z z z +=+.这些运算律对复数成立吗？你能推导①吗？小试牛刀(1)(2＋i)(2－i) （2）1-2i 3+4i -2+i ⋅⋅（）（）（）（3）3+4i 3-4i （）（） 241+i （）（）思考：观察（1）（3）计算结果，它们的实部与虚部有什么特点？探究二、共轭复数共轭复数有什么特点？1、实部虚部特点：2、模有什么关系：3、乘积有什么特点：总结共轭复数的概念：探究三、复数除法、运算规则类比实数的除法如：（1）34342-3=2-3a a a a ++÷（）（）22÷==(2)（（ 两个实数相除可以写成分数的形式，在进行复数运算的时候我们也将复数相除写成分数的形式如：12(12)(34)34ii i i ++÷-=-接下来我们应该怎样去计算？（实数运算分母为无理数时是怎样处理的——分母有理化）你能总结出复数除法的运算规则吗？三、达标检测1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于 ( )A ．－iB ．iC ．－1D ．12、i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i等于 ( ) A ．1＋i B ．5＋5i C ．－5－5i D ．－1－i3．复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .四、归纳与小结（1）掌握复数的乘法运算法则，两个复数的乘法，实质上是按多项式的展开法则进行的，没有必要记住公式；（2）两个复数的除法，将分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母化为实数，分子再按照复数乘法进行运算.。
2018版高中数学苏教版选修1-2教学设计：3.2.2复数代数形式的乘除运算
322复数代数形式的乘除法运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算”过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 +即：如果a, b, c, d€ R，那么a+bi=c+di：= a=c, b=d+，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程：学生探究过程：21•虚数单位i：(i)它的平方等于-1，即i =-1;⑵实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立•2. i与一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程x2=—1的一个根，方程x2=—1的另一个根是—i.4n+1 . ・ 4n+2 , ・ 4n+3 . ・ 4n ,3. i 的周期性：i =i, i =-1, i =-i, i =1 -复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*■4. 复数的定义：形如a bi(a,^ R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部•全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*■3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z二a • bi(a,b • R)，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式.4.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a・bi(a,b・R)，当且仅当b=0时，复数a+bi (a、b € R)是实数a;当b丰0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5•复数集与其它数集之间的关系：N-Z”Q：R-C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a, b, c, d€ R，那么a+bi = c+di：= a=c, b=d,一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小•如果两个复数都是实数，就可以比较大小.只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b € R)可用点Z(a, b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数・对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0, 0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数•故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数・8. 复数z i 与Z2的和的定义：Z i+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数Z1 与Z2 的差的定义：z「z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+( b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律：Z1 + z2=Z2+Z1.11. 复数的加法运算满足结合律:(Z什Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)・讲解新课：1. 乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行:(a+bi)(c+di)=(ac－设Z i = a+bi, z2=c+di(a、b、c、d € R)是任意两个复数，那么它们的积bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2. 乘法运算律：(1) Z1(Z2Z3)=(Z1Z2)Z3证明：设Z1=a1+b1i, Z2=a2+b2i, Z3=a3+b3i(a1, a2, a3, b1, b2, b3€R).T Z!Z2=(a i+b i i)(a2+b2i)=(a i a2-b i b2)+(b i a2+a i b2)i,Z2Z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a i a2-b i b2=a2a i-b2b i, b i a2+a i b2=b2a i+a2b i.…Z i Z2=Z2Z i ・(2) Z i(Z2+Z3)=Z i Z2+Z i Z3证明：设Z i=a i+b i i, Z2=a2+b2i, Z3=a3+b3i(a i, a2, a3, b i, b2, b3€R)・t (Z i Z2)Z3=[(a i+b i i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a i a2-b i b2)+(b i b2+a i b2)i](a3+b3i)=[(a i a2-b i b2)a3-(b i a2+a i b2)b3]+[(b i a2+a i b2)a3+(a i a2-b i b2)b3]i=(a i a2a3-b i b2a3-b i a2b3-a i b2b3)+(b i a2a3+a i b2b3+a i a2b3-b i b2b3)i,同理可证：Z i(Z2Z3)=(a i a2a3-b i b2a3-b i a2b3-a i b2b3)+(b i a2a3+a i b2a3+a i a2b3-b i b2b3)i,--(Z i Z2)Z3=Z i(Z2Z3).(3) Z i(Z2+Z3)=Z i Z2+Z i Z3・证明：设Z i=a i+b i i, Z2=a2+b2i, Z3=a3+b3i(a i, a2, a3, b i, b2, b3€R)・「Z i(z2+z3)=(a i+b i i) [ (a2+b2i)+(a3+b3i) ] =(a i+b i i) [ (a2+a3)+(b2+b3)i] =[a i(a2+a3)-b i(b2+b3)] + [ b i(a2+a3)+a i(b2+b3)] i=(a i a2+a i a3-b i b2-b i b3)+( b i a2+b i a3+a i b2+a i b3)i.z i z2+z i z3=(a i+b i i)(a2+ b2i)+(a i+b i i)(a3+b3i)=(a i a2-b i b2)+(b i a2+a i b2)i+(a i a3-b i b3)+(b i a3+a i b3)i=(a i a2-b i b2+a i a3-b i b3)+( b i a2+a i b2+b i a3+a i b3)i=(a i a2+a i a3-b i b2-b i b3)+( b i a2+b i a3+a i b2+a i b3)i二Z i(z2+Z3)=Z i z2+Z l Z3.例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)【解析】(1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：(1) (3+4i) (3-4i) ; (2) (1+ i) 2.【解析】(1) (3+4i) (3-4i) =3 2- (4i) 2=9-(-16)=25;2 2(2) (1+ i) =1+2 i+i =1+2 i-1=2 i.3. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数-虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数+通常记复数z的共轭复数为z。
人教新课标B版高中数学高二选修1-2学案 复数代数形式的乘除运算
3．2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一 复数的乘法及其运算律 思考 怎样进行复数的乘法运算？梳理 (1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积 (a ＋b i)(c ＋d i)＝____________________. (2)复数乘法的运算律 对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有知识点二 共轭复数当两个复数的____________，____________________时，这两个复数叫做互为____________，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝__________. 知识点三 复数的除法法则思考 类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法则吗？类型一 复数代数形式的乘法运算例1 (1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________. 引申探究1．若本例(1)中复数(1＋2i)(a ＋i)表示的点在第二象限，则a 的取值范围是____________． 2．将本例(2)中z 1·z 2是实数改为z 1·z 2是纯虚数，求z 2.(2)已知复数z 1＝(12－32i)(1＋i)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.反思与感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开；再将i 2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． (2)常用公式①(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2(a ，b ∈R )； ②(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )； ③(1±i)2＝±2i.跟踪训练1 (1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．(2)已知复数z 满足z (z ＋2)＝4＋3i ，求z .类型二 复数代数形式的除法运算例2 (1)已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q(2)计算：①3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ；②(1＋i )71－i ＋(1－i )71＋i －(3－4i )(2＋2i )34＋3i .反思与感悟 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式；②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． (2)常用公式①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i. 跟踪训练2 (1)i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则log 2(a －b )的值是( )A ．1 B.32 C ．2D ．3(2)已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则|z |＝________. 类型三 共轭复数例3 (1)复数z 的共轭复数记作z .已知(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ，则z ＝________. (2)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·(z －3i)＝101－3i，求z .反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练3 (1)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋2i ＝2－n i ，则m ＋n im －n i的共轭复数为________．(2)已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．1．若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i2．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝m －i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数m 可以是( ) A ．i B ．i 2 C ．i 3D ．i 43．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2－zz ＝________.4．计算：(1)(12＋32i)(4i －6)；(2)(1－i )(1＋2i )1＋i .5．已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．答案精析问题导学 知识点一思考 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理 (1)(ac －bd )＋(ad ＋bc )i (2)z 2z 1 z 1(z 2z 3) z 1z 2＋z 1z 3 知识点二实部相等 虚部互为相反数 共轭复数 a －b i 知识点三思考 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 题型探究例1 (1)－3 (2)4＋2i解析 (1)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i 的实部与虚部相等，可得a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3.(2)z 1＝(12－32i)(1＋i)＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，即a ＝4， ∴z 2＝4＋2i. 引申探究 1．(－12，2)解析 (1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2a ＋1>0，解得－12<a <2.2．解 由例1(2)知，z 1·z 2＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，∵z 1·z 2是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2＝0，4－a ≠0，得a ＝－1，∴z 2＝－1＋2i.跟踪训练1 (1)2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0， 得a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.(2)解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. 由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i.得⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3， 解得⎩⎨⎧x ＝－1－112，y ＝－32或⎩⎨⎧x ＝－1＋112，y ＝－32，所以z ＝(－1－112)－32i 或z ＝(－1＋112)－32i. 例2 (1)D∴复数z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.](2)解 ①方法一 3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝(3＋2i )(2＋3i )－(3－2i )(2－3i )(2－3i )(2＋3i )＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i 13＝2i.方法二 3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i ＝i ＋i ＝2i.②原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －8(3－4i )(1＋i )2(1＋i )(3－4i )i＝(2i)3·i ＋(－2i)3·(－i)－8·2i (1＋i )i＝8＋8－16－16i ＝－16i. 跟踪训练2 (1)A (2)22解析 (1)2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝32－12i ＝a ＋b i ， ∴⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－12，log 2(a －b )＝log 22＝1. (2)(1＋3i)z ＝1＋i ， z ＝1＋i1＋3i ＝(1＋i )(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝1＋3＋(1－3)i 4，∴|z |＝14(1＋3)2＋(1－3)2＝224＝22.例3 (1)5＋i解析 ∵(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ， ∴z －3＝4＋3i 1＋2i ，z ＝3＋4＋3i1＋2i ，z ＝3＋(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3＋10－5i5＝5－i ，则z ＝5＋i.(2)解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 由z ·(z －3i)＝101－3i ，得z z －3z i ＝1＋3i ，a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，z ＝－1或z ＝－1－3i. 跟踪训练3 (1)i解析 m ，n ∈R ，且m ＋2i ＝2－n i ， 可得m ＝2，n ＝－2，m ＋n i m －n i ＝2－2i 2＋2i ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )2＝－i.所以它的共轭复数为i. (2)解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4. 当堂训练1．B [∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.] 2．B 3．－1＋2i解析 ∵z ＝－1－i ，∴z ＝－1＋i ， 2－z z＝2－(－1＋i )－1－i ＝3－i－1－i＝－1＋2i.4．解 (1)(12＋32i)(4i －6)高中数学-打印版校对打印版 ＝12·4i ＋12·(－6)＋32i·4i ＋32i·(－6) ＝2i －3－6－9i ＝－9－7i.(2)(1－i )(1＋2i )1＋i＝(1－i )(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(－2i )(1＋2i )2＝－i(1＋2i)＝2－i.5．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_27
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数 。
③类比 ，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
其中 叫做实数化因子
例3．计算 ， （师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算 ，
2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：
1．计算（1） （2） （3）
2．若 ，且 为纯虚数，求实数 的取值。变： 在复平面的下方，求 。
作业：P
板书设计
教学反思
课后反思
3.计算：（1） （2） （类比多项式的乘法引入复数的乘法）
二、讲授新课：
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则： 。
例1．计算（1） （2） （3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1） （2） （3）
2、已知复数 ，若，试求 的值。变：若 ，试求 的值。
3.2.2掌握复数的代数形式的乘、除运算
项目
内容
课题
3.2.2掌握复数的代数形式的乘、除运算。
修改与创新
教学目标
掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重、
难点
重点:复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
难点:乘除运算教学准备直尺、Fra bibliotek笔教学过程
一、复习准备：
1.复数的加减法的几何意义是什么？
2.计算（1） （2） （3）
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_1
复数的除法法则是：
两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简
4.复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的复数x+yi（x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商
5.除法运算规则：
两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简
点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而（c+di）·（c－di）= + 是正实数。所以可以分母实数化。把这种方法叫做分母实数化法
例题计算(1+2i) (3-4i)
本节小结：
（1）复数乘法法则：（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i
（2）共轭复数：复数= a+bi的共轭复数为= a-bi
（3）复数除法法则：（a+bi）÷（c+di）=
课后作业：课本第112页习题3. 2 A组Biblioteka ，5，6 B组1，2教学反思：
2.乘法运算律： （1） =
（2） （ ）=（ ）
（3） （ + ）= +
例题：计算(1)（3+4i）(-2-3i) (2) (3)（3+4i）(3-4i)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2.2 复数代数形式的乘除法运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如(,)+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部a bi ab R复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)z a bi a b R=+∈，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi ab R+∈，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z的共轭复数为z。
4.复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c +di 的商，记为：(a +bi)÷(c +di)或者dic bi a ++5.除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将dic bi a ++的分母有理化得：原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法例3计算(12)(34i i +÷-解：(12)(34)i i +÷-1234i i+=-22(12)(34)386451012(34)(34)342555i i i i i i i i ++-++-+====-+-++例4计算i i i i 4342)1)(41(++++-解：i ii i 4342)1)(41(++++-22143247(7)(34)343434i i i i i i i +-++++-===+++ 21432825251.2525i i i i ++--===- 例5已知z 是虚数，且z +z1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数. 证明：设z =a +bi (a 、b ∈R 且b ≠0)，于是z +z 1=a +bi +bia +1=a +bi +ib a b b b a a a b a bi a )(222222+-+++=+-. ∵z +z 1∈R ，∴b －22b a b +=0. ∵b ≠0，∴a 2+b 2=1.∴22)1(])1][()1[()1()1(11b a bi a bi a bi a bi a z z ++-++-=+++-=+-.11212012])1()1[(12222i a b a bi a b a i b a b a b a +=+++=+++--+++-=∵b ≠0，a 、b ∈R ，∴i a b 1+是纯虚数巩固练习：1.设z =3+i ,则z1等于A.3+iB.3－iC.101103+iD.i 101103+ 2.aib bi a ai b bi a +-+-+的值是A.0B.iC.－iD.13.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数521z z i +的虚部为 A.1B.－1C.iD.－i 4.设iy i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________,y =___________.[答案]1.D 2.A 3.A 4.53 , －59课后作业：教学反思： 复数的乘法法则是：(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. 复数的除法法则是：2222d c ad bc d c bd ac di c bi a +-+++=++i (c +di ≠0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简。