2019届高三数学第二十次考试试题 理 新人教版
福建省莆田第一中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
2018-2019学年莆田一中高三上学期期末理科数学考试2019-1-27命题人：钱剑华 审核人：曾献峰一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若21zi i=-+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B = ( )A. (0,2)B. (1,0)-C. (2,0)-D. (2,2)-3.下列叙述中正确的是( )A.命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题为“a +b 不是偶数，则a 、b 都是奇数”B.“方程221Ax By +=表示椭圆”的充要条件是“A B ≠”C.命题“2,0x R x ∀∈>”的否定是“200,0x R x ∃∈≥”D. “m =2”是“1l ：()2140x m y +++=与2l ： 320mx y +-=平行”的充分条件4．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( )A ．80B ．85C ．90D ．955.《九章算术》一书中，第九章“勾股”中有如下问题:今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何?其意思是,今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边长为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为( ) A.320π B.310π C.4π D 5π6．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．8－4π3 B ．8－π C ．8－2π3D ．8－π37．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈ZD.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 8．函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )9．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为( ) A ．4B ．5C ．2D ．1310．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为()f x '，若对于任意实数x ，有f (x )＞()f x '，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，e 4)D ．(e 4，＋∞)11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a c MF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A ．(0，2－1) B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫0，22 D ．(2－1,1)12.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为 ( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是 .14. ()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为 .15．2016年9月3日，二十国集团(G20)工商峰会在杭州开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，杭州市决定举办大型歌舞晚会．现从A 、B 、C 、D 、E 5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有 .16．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx ，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是 .三．解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. （本小题满分12分）在等比数列}{n a 中，首项81=a ，数列}{n b 满足n n a b 2log =，且15321=++b b b .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）记数列}{n b 的前n 项和为n S ，又设数列}1{n S 的前n 项和为n T ，求证：43<n T . 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，平面SAD ⊥平面ABCD ，P 为AD 的中点，SA ＝SD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3.(1)求证：SP ⊥AB ； (2)求直线BS 与平面SCD 所成角的正弦值； (3)设M 为SC 的中点，求二面角S —PB —M 的余弦值． 19.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1—50名和951—1000名的学生进行了调查，得到表格中的数据，试问：能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？ (3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取9人，进一步调查他们良好的养眼习惯，并且在这9人中任抽取3人，记名次在1—50名的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.20. (本小题满分12分)已知点C 为圆22(1)8x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=，2AP AM =.（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,F H ,O 是坐标原点，且2334OF OH ≤⋅≤时，求k 的取值范围. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1x ，其中a ＞0. (1)若f (x )在(2，＋∞)上存在极值点，求a 的取值范围； (2)设∀x 1∈(0,1)，∀x 2∈(1，＋∞)，若f (x 2)－f (x 1)存在最大值，记为M (a )，则 当a ≤e ＋1e 时，M (a )是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
山东省威海市2019届高三二模考试理科数学试题(解析版)
2019年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足z（1+i）=（3+i）2，则|z|=（）A. B. C. D. 82.已知集合，，，则A∩B=（）A. B. C. D.3.如图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 94.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M，为其终边上一点，则cos2α=（）A. B. C. D.5.若x，y满足约束条件，，，则z=3x-y的最大值为（）A. 2B. 1C. 0D.6.函数的图象可由y=2cos2x的图象如何变换得到（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位7.若P为△ABC所在的平面内一点，且，则△ABC的形状为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形8.已知函数f（x）=ln x+ln（a-x）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）的值域为（）A. B. C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A. 6B. 8C.D.10.在△ABC中，AC=3，向量在向量的投影的数量为-2，S△ABC=3，则BC=（）A. 5B.C.D.11.已知函数f（x）的定义域为R，，对任意的x∈R满足f'（x）＞4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为（）A. B. C. D.12.设F1，F2为双曲线＞，＞的左右焦点，点P（x0，2a）为双曲线上的一点，若△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在的展开式中，x4的系数是______．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p=______．15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=2，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为______．16.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数m经过6次运算后得到1．则m的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是递增的等比数列，a5=48，4a2，3a3，2a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b1=a2，b n+1=b n+a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，PA=2AB=2，AC⊥CD，PD与平面PAC所成角的正切值为C2．（Ⅰ）证明：BC∥平面PAD；（Ⅱ）若M是BP的中点，求二面角P-CD-M的余弦值．19.某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如表：甲市场以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X（单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润．（Ⅰ）当n=19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（Ⅱ）以销售利润的期望为决策依据，判断n=17与n=18应选用哪一个．20.在直角坐标系xOy中，设椭圆：＞＞的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B=60°，点，在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ 面积取得最大值时，求直线l的方程．21.已知函数＞．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当m∈[0，1）时，函数＞有最大值．设g（x）的最大值为h（m），求函数h（m）的值域．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B满足，求△AOB面积的最大值．23.已知正实数a，b满足a+b=2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若对任意正实数a，b，不等式|x+1|-|x-3|≥ab恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z（1+i）=（3+i）2，得z=，∴|z|=||=．故选：C．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵集合，∴A={y|-1≤y≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0，2]．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查集合的运算及关系，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据茎叶图中数据，计算平均数为×（86+80+x+90+91+91）=89，解得x=7．故选：B．根据茎叶图中数据计算平均数即可．本题考查了利用茎叶图中数据计算平均数的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：∵M，∴OM==．∴sinα==．∴cos2α=1-2sin2α=1-2×（）2=．故选：D．易得OM的长度，利用二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义即可求解．本题主要考查了二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：z=3x-y，得y=3x-z，平移直线y=3x-z，由图象可知当直线y=3x-z经过点B（1，1）时，直线y=3x-z的截距最大，此时z最大，z max=3×1-1=2．即z的最大值是2．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：函数=2，把函数的图象向左平移个单位，得到：y=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故：要得到y=2sin（）的图象，只需将y=2cos2x的图象向右平移个单位即可．故选：B．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】，解：∵，∴||=||∴y根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等即ABCD为矩形，C=则△ABC的形状为直角三角形故选：C．由已知可得||=||，根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，可判断本题主要考查了向量加法及减法的平行四边形法则的简单应用，属于基础试题8.【答案】D【解析】解：根据题意，对于函数f（x）=lnx+ln（a-x），有f（a-x）=ln（a-x）+ln[a-（a-x）]=lnx+ln（a-x）=f（x），则函数f（x）的图象关于直线x=对称，若函数f （x ）=lnx+ln （a-x ）的图象关于直线x=1对称，则有=1，则a=2， 则f （x ）=lnx+ln （2-x ）=ln （2x-x 2），其定义域为（0，2）， 设t=2x-x 2，则y=lnt ，又由t=-（x-1）2+1，0＜x ＜2，则有0＜t≤1，则y=lnt≤0，即函数f （x ）的值域为（-∞，0]； 故选：D ．根据题意，分析可得f （a-x ）=f （x ），即可得函数f （x ）的图象关于直线x=对称，据此可得a 的值，进而可得f （x ）=lnx+ln （2-x ）=ln （2x-x 2），设t=2x-x 2，则y=lnt ，由换元法分析可得答案．本题考查函数的对称性，涉及换元法求函数的值域，关键是求出a 的值，属于基础题． 9.【答案】B【解析】解：根据三视图知，该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥P-ABCD ， 且长方体的长、宽、高分别为4、2、3，如图所示；结合图中数据，计算该四棱锥的体积为：V 四棱锥P-ABCD =V 三棱锥C-BDP +V 三棱锥D-ABP =××4×2×3+××4×3×2=8． 故选：B ．根据三视图知该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：AC=3，向量在向量的投影的数量为-2，S△ABC=3，可得|AB|cosA=-2，|AB|•|AC|•sinA=3，即|AB|sinA=2，即tanA==-1，内角A=135°，|AB|==2，|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|•|AC|•cosA=8+9-2•2•3•（-）=29，即|BC|=，故选：C．由向量的投影和三角形的面积公式，可得A，|AB|，再由余弦定理可得所求值．本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查向量的投影的定义，以及化简运算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：令g（x）=f（x）+1-2x2，则g′（x）=f′（x）-4x＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（）=f（）+1-2×=-+1-=0，∴g（x）＞0的解集为x＞，∵cos2α=1-2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α＞0等价于f（sinα）+1-2sin2α＞0，即g（sinα）＞0，∴sinα＞，又α∈[0，2π]，∴＜α＜．故选：A．令g（x）=f（x）+1-2x2，求导可得g（x）单调递增，且g（）=0，故不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为g（sinα）＞0的解集．本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：如图设P在第一象限，内切圆的圆心为I，内切圆与PF1，PF2，F1F2分别切与点E，F，G，根据圆的切线的性质得：PE=PF，F1E=F1G，F2F=F2G，根据双曲线的定义知：PF1-PF2=2a，即（PE+F1E）-（PF-F2F）=2a，∴F1G-F2G=2a，①又F1G+F2G=2c，②，联立①②解得F1G=a+c，F2G=c-a，∴G（a，0），∴内心I的横坐标为a，∵△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，∴△PF1F2的重心的横坐标为a，由三角形的重心坐标公式可得a=，解得x0=3a，∴P（3a.2a），将P的坐标代入双曲线可得：-=1，即9-=1，化简得3a2=2c2，所以离心率e==．故选：A．根据双曲线的定义和切线长定理可得内心的横坐标，从而可得重心的横坐标，再根据重心的坐标公式可得x0=3a，再将P的坐标代入双曲线可得．本题考查了双曲线的性质，属难题．13.【答案】80【解析】解：在的展开式的通项公式为T r+1=•25-r•，令5-=4，可得r=2，可得x4的系数是•23=80，故答案为：80．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】2或8【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，如图：可得|FQ|=3，所以p=5±|FQ|，所以P=2或8．故答案为：2或8．画出图形，利用抛物线的性质转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.【答案】16π【解析】解：如图，因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，设AB=a，BC=b，球的半径为r．连接AC1∩A1C=O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=，又因为三棱锥O-ABC的体积为1，即，即，所以r==≥=2，当且仅当a=b时等号成立，所以球O表面积的最小值为S=4πr2=16π．故填：16π．设AB=a，BC=b，球的半径为r．连接AC1∩A1C=O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=，三棱锥O-ABC的体积为1，即，即，表示出r，根据基本不等式可得r的最小值，从而得到球的表面积的最小值．本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等．属于中档题．16.【答案】64、10、1、8．【解析】解：根据题意，正整数m经过6次运算后得到1，则正整数m经过5次运算后得到2，经过4次运算后得到4，经过3次运算后得到8或者1，分2种情况讨论：①，当经过3次运算后得到8时，经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5，则m的值为64或10，②，当经过3次运算后得到1时，经过2次运算后得到2，则经过1次运算后得到4，则m的值为1或8；综合可得：m的值可能为64、10、1、8．故答案为：64、10、1、8．根据题意，利用正整数m经过6次运算后得到1，结合变化的规则，进行逐项逆推即可得答案．本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）设首项为a1，公比为q的递增的等比数列，a5=48，4a2，3a3，2a4成等差数列．故：，解得：q=2或1（舍去），整理得：a1=3，所以：，（Ⅱ）数列{b n}满足b1=a2，b n+1=b n+a n，所以：b1=6．则：b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1，=a n-1+a n-2+…+a2+a1+b1，=，=3•2n-1+3所以：S n=b1+b2+…+b n=．【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用叠加法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列通项公式的求法中的应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCVD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，CA∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，∴∠DPC为PD与平面PAC所成角，在Rt△PAC中，tan∠DPC==，在Rt△PAC中，PC=，∴CD=，在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=60°，∵∠BCA=60°，∴在底面ABCD中，BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．解：（Ⅱ）设BC的中点为N，连结AN，则AN⊥BC，由（Ⅰ）知BC∥AD，∴AN⊥AD，分别以AN，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），C（，，0），D（0，2，0），M（，-，1），则=（-，，0），=（0，2，-2），=（，，），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，=（，，），设平面CDM的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（，，），设二面角P-CD-M的平面角为θ，则cosθ===．故二面角P-CD-M的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，CD⊥平面PAC，∠DPC为PD与平面PAC所成角，由此能证明BC∥平面PAD．（Ⅱ）设BC的中点为N，连结AN，则AN⊥BC，分别以AN，AD，AP为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向时法能求出二面角P-CD-M的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，当X≥19，T=500×19=9500；当X＜19，T=500×X-（19-X）×100=600X-1900，所以T与X的函数解析式为T=，，＜，由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3；乙市场需求量为8，9，10的概率分别为0.2，0.5，0.3，设销售的利润不少于8900元的事件记为A，当X≥19，T=500×19=9500＞8900，当X＜19，600X-1900≥8900，解得X≥18，由题意可知，P（X=16）=0.3×0.2=0.06；P（X=17）=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23；所以P（A）=P（X≥18）=1-0.06-0.23=0.71．（Ⅱ）当n=17时，E（T）=（500×16-1×100）×0.06+500×17×0.94=8464；当n=18时，E（T）=（500×16-2×100）×0.06+（500×17-1×100）×0.23+18×500×0.71=8790；因为8464＜8790，所以应选n=18．【解析】（Ⅰ）先分2段求出T与X的函数关系式，再利用函数的解析式求得概率；（Ⅱ）计算两个期望比较大小，作出决策．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由∠AF1B=60°，可得a=2b，由点，在C上，可得+=1，∴b2=1，a2=4，∴椭圆C的方程为+y2=1，（Ⅱ）联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，∵直线l与椭圆相切，∴△=16（4k2+1-m2）=0，即4k2+1=m2，设P（x1，y1），可得x1==-，则y1==，∴|OP|2=+===4-又直线l与圆O相切，可得|OQ|=，则|OQ|2===4-∴|PQ|===，∴S△OPQ=|PQ|•|OP|=•=•=•≤，当且仅当k=1时取等号，此时m2=1+4=5，则m=±，故直线l的方程为y=x+或y=x-．【解析】（Ⅰ）由∠AF1B=60°，可得a=2b，由点在C上，可得+=1，解得b2=1，a2=4，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立，根据判别式求出4k2+1=m2，即可求出点P的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=e2x+2×e2x=e2x，x＞-1，令h（x）=-2x2+（2a-2）x+a-1，△=4（a2-1），当-1≤a≤1时，△≤0，则h（x）≤0，即f′（x）≤0，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，当a＜-1或a＞1时，此时△＞0，设h（x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1=，x2=，若a＜-1，可知x1＜-1＜x2，则x∈（x2，+∞），f′（x）＜0，x∈（-1，x2），f′（x）＞0，若a＞1，可知-1＜x1＜x2，则x∈（-1，x1），（x2，+∞），f′（x）＜0，x∈（x1，x2），f′（x）＞0，综上所述，当a＜-1时，f（x）在（，+∞）上单调递减，在（-1，）上单调递增，（，+∞）上单调递减，在（，）当a＞1时，f（x）在（-1，），上单调递增，证明：（Ⅱ）＞，∴g′（x）====，由（Ⅰ）可知当a=1时，f（x）=e2x在（0，+∞）单调递减，且f（0）=1，f（1）=0，∴对任意m∈[0，1），存在唯一x m∈（0，1]，使f（x m）=m，（反之对任意x m（0，1]存在唯一m∈[0，1），f（x m）=m），∴当x∈（0，x m）时，f（x）＞m，此时g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x m）上单调递增，当x∈（x m，+∞）时，f（x）＜m，此时g′（x）＜0，函数g（x）在（x m，+∞）上单调递减，∴当x=x m时，g（x）取得最大值，即最大值h（m）=g（x m）====令p（x）=e2x，p′（x）=-e2x≤0，（0＜x≤1），∴p（x）在（0，1]上单调递减，∴p（1）≤h（m）＜p（0），即-e2≤h（m）＜-2，∴h（m）的值域为[-e2，-2）．【解析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调的关系即可求出，（Ⅱ）先求导，g′（x）=，由（Ⅰ）可知当a=1时，构造函数，再根据导数和函数最值的关系即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，可得C2的直角坐标方程为：x+-6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|==2，圆C1的普通方程为x2+y2-4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），S△AOB=|OA||OB|sin=ρ1ρ2=4cosθcos（θ+）=4（cos2θ-sinθcosθ）=4（-）=2+2cos（2θ+），所以△AOB面积的最大值为2+2．【解析】（Ⅰ）消参可得C1的普通方程，再根据互化公式可得C1的极坐标方程．（Ⅱ）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（Ⅰ）证明：正实数a，b满足a+b=2，则=2（a+b）+2+2•≤6+2（a+b）+2=12，∴；（Ⅱ）解：对任意正实数a，b，有a+b≥2，所以2≤2，即ab≤1，当且仅当a=b 时取“=”；所以对任意a、b∈R+，不等式|x+1|-|x-3|≥ab恒成立，即|x+1|-|x-3|≥1恒成立；若x≤-1，则不等式化为-x-1-（3-x）≥1，即-4≥1，不等式无解；若-1＜x＜3，则不等式化为x+1-（3-x）≥1，解得≤x≤3；若x≥3，则不等式化为x+1-（x-3）≥1，即4≥1，不等式恒成立；综上，实数x的取值范围是[，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据题意，利用完全平方公式和基本不等式，即可证明；（Ⅱ）利用基本不等式得出ab≤1，把问题转化为|x+1|-|x-3|≥1恒成立，再利用分段讨论法求出不等式的解集．本题考查了基本不等式应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．。
【2019-2020高三理科数学试卷】人教A版2020届高三第二次联考 答题卡及参考答案
2020届高三第二次联考理科数学试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2xA y y ==，(){}ln 1B x y x ==-，则AB =（ ）． A ．[)0,+∞B ．()0,1C ．(),1-∞D ．[)1,+∞2．设复数z 满足1i z --=z 的最大值为（ ）．AB ．2C ．D ．43．下列关于命题的说法错误．．的是（ ）． A ．“1ω=”是“函数()π3sin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为2π”的充要条件 B ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” C ．命题“若随机变量()1,4X N ~，()0P X m ≤=，则()0212P X m <<=-”为真命题 D ．若命题0:P n N ∃∈，021000n >，则:P n N ⌝∀∈，21000n ≤4．设0.23x =，3log 2y =，cos2z =，则（ ）． A ．z y x <<B ．y z x <<C ．z x y <<D ．x z y <<5．已知平面向量()1,a m =，()2,5b =，(),3c m =，且()()a c ab +-P ，则m =（ ）．A ．3-或1B ．2或1-C ．32-± D ．32±6．已知椭圆22142x y +=上一点P ，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若12F PF △为直角三角形，则满足条件的点P 有（ ）． A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个7．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（ ）． A ．1B ．3C ．5D ．78．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）．A ．3213log 2+B ．2log 3C ．4D ．29．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如某次统计结果是28m =，那么本次实验可以估计π的值为（ ）． A ．227B ．4715C ．7825D ．531710．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P ，Q ，若2PQ QF =，60PQF ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）．AB ．1C ．2+D ．4+11．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ）． ①存在P ，Q 的某一位置，使AB PQ P②BPQ △的面积为定值③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥A ．①②④B ．①③C ．②④D ．①③④12．设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=且()()2f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则函数()()()cos πg x x f x =-在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．等比数列{}n a 中，n S 表示前n 项和，3221a S =+，4321a S =+，则公比q 为______．14．在四面体P ABC -中，3PA BC ==，2PB AC ==，PC AB ==积为______．15．国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为______． 16．设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．已知角A ，B ，C 成等差数列，C 为钝角，且满足2222sin 0a bc C b c +--=．（1）求角A ，B ，C 的大小； （2）若2a =，求ABC △的面积S 的值． 18．（本小题满分12分）如图1，PAD △是以AD 为斜边的直角三角形，1PA =，BC AD P ，CD AD ⊥，22AD DC ==，12BC =，将PAD △沿着AD 折起，如图2，使得2PC =．图1图2（1）证明：面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PB C --大小的余弦值． 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知曲线C 上的动点P 到点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线1:4l x =-的距离相等．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()1,1M 分别作射线MA 、MB 交曲线C 于不同的两点A 、B ，且M A M B⊥．试探究直线AB是否过定点？如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立． （1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值． 21．（本小题满分12分） 已知函数()()ln 01x xf x a a x =-<-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间并判断单调性；（Ⅱ）若()()()2h x x x f x =-⋅，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>．22．选修4-4：坐标系与参数方程(10分)在直线坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出1C 的普通方程和极坐标方程； （2）设A ，B 是1C 上的两点，且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值．23．选修4-5：不等式选讲(10分)已知函数()21f x m x =--，m ∈R ，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤． （1）求m 的值 ；（2）若a ，b ，c 都为正数，且111232ma b c ++=，证明：239a b c ++≥．2020届高三第二次联考理科数学试卷答题卡成绩：一、选择题（本题满分60分）二、填空题（本题满分20分）13 . 14.15.16.三、解答题（本题满分70分）班级 姓名 座号密 封 装 订 线2020届高三第二次联考理科数学试卷参考答案1．B 集合()0,A =+∞，集合(),1B =-∞，故()0,1AB =．2．C复数z 对应复平面上的点是以()1,1为圆心，为半径的圆，故z 的最大值即为圆的直径．3．A“1ω=”是“函数()π3sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期为2π”的充分不必要条件． 4．A ∵0.231>，∴30log 21<<，cos20<．5．D因为()1,3a c m m +=++，()1,5a b m -=--，而()()a c ab +-P ，∴()()153m m m +-=--，∴2320m m --=，解得m =． 6．B 7．C∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+， ∴12a =，∴45a =． 8．D 9．C∵0101x y <<⎧⎨<<⎩而满足构成钝角三角形，则需22110x y x y +>⎧⎨+-<⎩，如图．弓形面积：28π110042=-，∴78π25=．10．B如图，三角形OQF 为正三角形，QF c =，2QF a c '=+Rt FQF '△，π3QFF '∠=，∴2a c c+=1e =． 11．D①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确．②取特殊位置BPQ △的面积为变化，故错误．同理③④正确．12．C由于函数()f x 与函数()cos πy x =都为偶函数，故在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点和为0，只需求在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦零点和，而两函数都关于直线1x =对称，且1x =为零点，另外两零点和为2，故所有零点和为3． 13．3q =由3221a S =+，4321a S =+得()4332322a a S S a -=-=，∴433a a =，∴433a q a ==．14 由于三棱锥相对的棱长对应相等，构造长方体模型，相对的棱长即为长方体面的对角线长． 15．58设事件()1,2,3,4i A i =表示“该软件能通过第i 轮考核”，由已知得()156P A =，()235P A =，()334P A =，()413P A =， 设事件C 表示“该软件至多进入第三轮”，则()()()()()112123112123P C P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++15253156656548=+⨯+⨯⨯=．16．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 分析：由于()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则令π5π5x ω+=， 解得24π2π5x ω=≤，得125ω≥， 再令π6π5x ω+=，解得29π2π5x ω=>，得2910ω<． 17．解：（1）因为A ，B ，C 成等差数列，∴2B A C =+，又πA B C ++=，∴3πB =，π3B =． 由2222sin 0a bc C b c +--=和余弦定理可得222πsin cos sin 22b c a C A A bc +-⎛⎫===+ ⎪⎝⎭． ∵C 为钝角，而π2A +也是钝角， ∴π2C A =+， ① 又2π3A C +=， ② 联立①②解得π12A =，7π12C =，∴π12A =，π3B =，7π12C =为所求． （2）由2a =和正弦定理sin sin a c A C=可得1ππ7π22sin 2sin 234124πππsin sin 1234c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====+⎛⎫- ⎪⎝⎭∴(11sin 243222S ac B ==⨯⨯+⨯=+ 所以ABC △的面积S的值是3+18．解：（1）法一 证明：∵1DC =，2PC =，PD == ∴222PD CD PC +=，即CD PD ⊥．又CD AD ⊥，PD AD D =，∴CD ⊥面PAD ，CD ⊂面ABCD ，∴面PAD ⊥面ABCD ．法二 过P 作PO AD ⊥①，垂足为O ，连结OC ．∵1PA =，∴12AO =，2PO =，222134OC OD CD =+=，22213344OC PO PC +=+=， ∴PO OC ⊥， ②又AD OC O = ③，所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊂面PAD ，所以面PAD ⊥平面ABCD ．得证．（2）如图，以O 为坐标原点，垂直OD 方向为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直线坐标系．10,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0B ，31,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛ ⎝⎭． 设面BPC 的法向量为()111,,m x y z =，由00m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得112x z =，10y =，取()3,0,2m = 设面PAB 的法向量为()222,,n x y z =，由00n AB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22302x y +=，22202x y z --+=，取3,n ⎛=- ⎝ ∴13301cos ,m n m n m n ⋅==⋅，由图形可知二面角A PB C --为钝角，所以二面角A PB C --大小的余弦值为． 19．解：（1）设，依题意14PF x =+14x =+， 化简得2y x =，∴曲线C 的轨迹方程为2y x =．（2）直线AB 经过定点()2,1-证明：如图，依题意，直线AB 斜率不能为0，所以设直线AB 的方程为x my t =+联立2y x =得20y my t --=，240m t ∆=+> ①， 设()1,A x y 、()2,B x y ，则12y y m +=，12y y t =-．又MA MB ⊥，∴0MA MB ⋅=，即()()()()121211110x x y y --+--=， 即()()12121212110x x x x y y y y -+++-++=，又211y x =，222y x =，∴()()()2212121212320y y y y y y y y -++-++=， ∴()()()22223232120t t m m t t m m t m t m ---+=--+-=+---=， 依题意，直线AB 不经过M ，∴1m t +≠，所以，2t m =+．此时代入①式恒成立．而当2t m =+时，直线AB 方程为2x my m =++，即()()210x m y --+=， 即直线AB 过定点()2,1-．综上，直线AB 过定点()2,1-．20．解：（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+． ∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532．（2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦． 令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--． 当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =． 21．解：（Ⅰ）依题意，定义域为()()0,11,+∞，()()21ln 1x x f x x --'=- 设()1ln g x x x =--，则()11g x x'=-， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，∴()()10g x g >=，∴()0f x '>，∴()f x 在()0,1上单调递增．当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，∴()()10g x g >=，∴()0f x '>，∴()f x 在()1,+∞上单调递增．综上可得，函数()f x 的单调增区间为()0,1，()1,+∞．（Ⅱ）()()22ln 0h x x x ax ax a =-+<，∴()2ln 2h x x x x ax a '=+-+， 设()()m x h x '=，∴()2ln 23m x x a '=-+，∴()m x '在()0,+∞上单调递增， 当0x →时，()0m x '<，()1320m a '=->，∴必存在()0,1α∈，使得()0m α'=，即2ln 230a α-+=，∴()h x '在()0,α上单调递减，在(),α+∞上单调递增，又()20h a αα'=-<，()110h a '=->，设()00h x '=，则()00,1x ∈， ∴()h x 在()00,x 上单调递减，在()0.,x +∞上单调递增， 又()10h =，不妨设12x x <，则100x x <<，021x x <<，由（Ⅰ）知()()()()()()()()()()21011102202022,h x f x x x f x f x f x f x h x f x x x ⎧>-⎫⎪⎪⇒⎬⎨><-⎪⎪⎭⎩， ∴()()()()()()2202221011f x x x h x h x f x x x ->=>-，∴()()()()222211212110x x x x x x x x ---=-+->，∴121x x +>． 22．解：（1）曲线1C的参数方程为2cos y x αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 移项后两边平方可得2222cos sin 143x y αα+=+= 即曲线1C 的普通方程是22143x y +=． 因为cos x ρα=，sin y ρα=，代入上式可得1C 的极坐标方程为2222cos sin 143ραρα+=． 即2221cos sin 43ααρ=+． （2）因为A ，B 是1C 上的两点，且OA OB ⊥， 所以不妨设()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 由()1,A ρθ在曲线1C 上可知22211cos sin 43θθρ=+． 同理，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上可知222222ππcos sin 1sin cos 224343θθθθρ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+． 所以，22222222121111cos sin sin cos 11743434312OA OB θθθθρρ+=+=+++=+=．23．解：（1）()21f x m x =--，m ∈R ，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤， 即20m x -≥的解集为{}11x x -≤≤， 又因为20m x -≥解集为22m m x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭， 所以12m =，即2m =． （2）因为a ，b ，c 都为发，所以111123a b c ++=， 所以()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 232332332b a a c b c a b c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭39≥+=， 当且仅当233a b c ===时，等号成立， 即239a b c ++≥，得证．。
高考数学一轮复习 考点50 椭圆必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点50 椭圆1．（市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在某某卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．22B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（某某2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A ．32-B ．31-C ．22D ．32【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以23131c e a ===-+, 故选：B ．4．（某某省某某市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（某某省某某市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=由2AF FB =得：23AF c ABBC==32BC c ∴=，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-232B AF a ac c a ex FBa a ∴===--⋅，整理可得：223a c =213e ∴=，即3e =本题正确结果：337．（某某省某某市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与B,A ，连接12,O B O A 则1O BAB ，2O A AB ，过1O 作12O D O A 垂直于D ，连接12,O F O E ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 在12Rt O O D 中，2312DO ，22182215O D11221515cos84O O O D 128O O = 218CO O C21EO CFO C11218O C O CO E O F 解得1=2O C 222211213CFO FO C即13cos2CF O C则椭圆的离心率3cos 252cos 5154e8．（某某省某某市师X 大学某某市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=，当230t <≤时，求λ的取值X 围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……②因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（某某省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（某某省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】 （1）由2OC OB BC BA -=-，得2B A C C =，即2O A C C =，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（某某市某某区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。
海南省2019届高三第二次联合考试数学(理)试卷(含答案)
2019届海南省高三年级第二次联合考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|}A x y x ==-，{|lg }B y y x ==，则AB =（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．RD ．(,0]-∞2.已知复数(3)(1)z m m i =-+-在复平面内对应的点在第二象限，则整数m 的取值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，若向量a 与b 同向，则x =（ ） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．04.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（ ）A ．42083π+B ．42163π+C ．322083π+D ．322163π+ 6.设x ，y 满足约束条件36060360x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-37.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（ ）A ．81盏B ．112盏C ．114盏D ．162盏 8.执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．17B ．33C ．65D ．129 9.将曲线sin(2)()2y x πϕϕ=+<向右平移6π个单位长度后得到曲线()y f x =，若函数()f x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π-10.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则C 的离心率为（ ）A ．43 B ．54 C ．169 D ．251611.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ） A ．甲、乙 B ．乙、丙 C ．甲、丁 D ．丙、丁12.在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，10AB AC ==，2BC =，点G 为ABC ∆的重心，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan AGD ∠=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.13.若1x =是函数3()af x x x=+的一个极值点，则实数a = ． 14.如图，小林从位于街道A 处的家里出发，先到B 处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于C 处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为 ．15.某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X （单位：kg ）服从正态分布(25,0.04)N ，任意选取一袋这种大米，质量在24.825.4kg 的概率为 ．（附：若2(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσ-<=，(2)0.9544P Z μσ-<=，(3)0.9974P Z μσ-<=）16.已知F 是抛物线C ：212x y =的焦点，P 是C 上一点，直线FP 交直线3y =-于点Q .若2PQ FQ =，则PQ = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2sin sin cos B C B +2cos()0B C ++=，且sin 1B ≠. （1）求角C ；（2）若5sin 3sin B A =，且ABC ∆的面积为1534，求ABC ∆的周长. 18.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下图所示.（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如下图所示：①从B 类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？满意 不满意 合计 A 类用户B 类用户合计附表及公式：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB AD =，3BD AD =，且PD ⊥底面ABCD .（1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ⋅=，求二面角Q BD C --的大小.20.在平面直角坐标系xOy 中，设动点M 到坐标原点的距离与到x 轴的距离分别为1d ，2d ，且221234d d +=，记动点M 的轨迹为Ω.（1）求Ω的方程；（2）设过点(0,2)-的直线l 与Ω相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积最大时，求AB . 21.已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--. （1）证明：直线2y x =与曲线()y f x =相切；（2）若3()(3)f x k x x >-对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：2260x y x +-=，直线1l ：0x -=，直线2l 0y -=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C 的参数方程以及直线1l ，2l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于O ，B 两点，求AOB ∆的面积.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()4f x k k ≥--恒成立，求k 的取值范围.2019年高考调研测试 数学试题参考答案（理科）一、选择题1-5: BCAAA 6-10: CDCDB 11、12：DB二、填空题13. 3 14. 9 15. 0.8185 16. 8三、解答题17.解：（1）由2sin sin cos B C B +2cos()0B C ++=，得2cos cos cos B C B -=. ∵sin 1B ≠，∴cos 0B ≠， ∴1cos 2C =-，∴23C π=. （2）∵5sin 3sin B A =，∴53b a =， 又ABC ∆的面积为4，∴1sin 244ab C ab ==，∴15ab =，∴5a =，3b =.由余弦定理得2222cos 49c a b ab C =+-=，∴7c =. 故ABC ∆的周长为53715++=. 18.解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3， 所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯186=度.（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =. ②因为2K 的观测值224(6963)1212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”. 19.（1）证明：∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥， ∴//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥. ∵PDBD D =，∴BC ⊥平面PBD .而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD . （2）解：由（1）知，BC ⊥平面PBD ，分别以DA ，DB ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，设BD =，则1AD =，令PD t =，则(1,0,0)A，B，(C -，(0,0,)P t，1(,)222t Q -， ∴(1,0,)AP t =-，1(,)22t BQ =-. ∴2112t AP BQ +⋅==，∴1t =.故11()22DQ =-，11(,)22BQ =-. 设平面QBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1102211022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 令1x =，得(1,0,1)n =.易知平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)m =，则cos ,2m n <>==，∴二面角Q BD C --的大小为4π. 20.解：（1）设(,)M x y，则1d =2d y =，则222212344d d x y +=+=，故Ω的方程为2214x y +=（或2244x y +=）. （2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得22(14)16120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，从而AB =214k=+， 又点O 到直线AB的距离d =所以AOB ∆的面积12S d AB ==，t =，则0t >，244144t S t t t==≤++， 当且仅当2t =，即274k =（满足0∆>）时等号成立， 所以当AOB ∆的面积最大时，274k =，2AB ==. 21.（1）证明：11'()11f x x x =++-，∴由'()2f x =得2221x =-，解得0x =，又(0)0f =，∴直线2y x =与曲线()y f x =相切.（2）解：设3()()(3)g x f x k x x =--，则22223(1)'()1k x g x x +-=-，当(0,1)x ∈时，22(1)(0,1)x -∈，若k ≥22)0x >，则'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上递增，从而()(0)0g x g >=.此时，(f 在(0,1)上恒成立.若23k <-，令'()0g x x =⇒(0,1)=，当x ∈时，'()0g x <；当x ∈时，'()0g x >.∴min ()g x g =(0)0g <=， 则23k <-不合题意. 故k 的取值范围为2[,)3-+∞.22.解：（1）依题意，曲线C ：22(3)9x y -+=，故曲线C 的参数方程是33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），因为直线1l ：0x -=，直线2l 0y -=，故1l ，2l 的极坐标方程为1l ：()6R πθρ=∈，2l ：()3R πθρ=∈.（2）易知曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，把6πθ=代入6cos ρθ=，得1ρ=)6A π，把3πθ=代入6cos ρθ=，得23ρ=，所以(3,)3B π，所以121sin 2AOB S AOB ρρ∆=∠13sin()3364ππ=⨯-=. 23.解：（1）因为21x a a ++≤，所以12x a a +≤-， 所以2112a x a a -≤+≤-，所以113a x a -≤≤-. 因为不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，所以12134a a -=-⎧⎨-=⎩，解得1a =-.（2）由（1）得()12f x x =--.不等式2()4f x k k ≥--恒成立，只需2min ()4f x k k ≥--，所以224k k -≥--，即220k k --≤，海南省2019届高三第二次联合考试数学(理)试卷(含答案).所以k的取值范围是[1,2]。
[精品]2019届高三数学上学期期中试题 理 人教新目标版
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2019学年度第一学期期中考试高三理数一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位4.函数21e xy x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π 6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A. 7.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y+=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 11.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. B. 2]C.D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
四川省泸州市2019届高三数学二诊考试试题 理(含解析)
四川省泸州市2019届高三数学二诊考试试题理（含解析) 一、选择题(本大题共12小题，共60。
0分）1。
已知集合,则( ）A。
B。
C。
D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，然后根据集合的交集的运算求出。
【详解】解：B=｛x｜—3＜x＜3},又∴A∩B=｛1}．故选:A．【点睛】本题考查集合列举法、描述法的定义，交集的运算，属于基础题。
2.=（）A. B。
C. D。
【答案】C【解析】【分析】先对分母实数化，然后按照复数代数形式的乘除运算法则化简.【详解】=，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3。
已知，则tan2α=（）A. B. C。
D。
【答案】B【解析】【分析】直接由正切函数的倍角公式，代入求出答案即可.【详解】由正切函数倍角公式：故选B【点睛】本题主要考查了正切倍角公式，属于基础题。
4。
是成立的（）A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.【详解】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断,解不等式，属于基础题。
5。
几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】B【解析】试题分析：由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．考点:三视图．6。
我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C。
D.【答案】D【解析】不妨设两条直角边为，故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为。
7。
在△ABC中|+|=|-|，AB=3，AC=4，则在方向上的投影是( )A. 4 B。
2019-2020年高三联考数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高三联考数学试卷（理科）含解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．对于命题p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“e m＜e n”的充分不必要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题5．在的二项展开式中，含x2的系数为（）A．B．C．D．6．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．98．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取________名．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是________．11．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为________．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为________．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=________．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R 恒成立}，则A∩（∁U B）=________．三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．16．A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．18．已知等比数列{a n}的公比q≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n；（Ⅲ）若，P n为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．已知函数（m∈R），（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣5=0垂直，求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx2+（m﹣1）x﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=1，m∈R设F（x）=f（x）+x．且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2≥﹣1．2016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A4．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．对于命题p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“e m＜e n”的充分不必要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A利用逆否命题的定义判断即可；B存在命题，应把存在改为任意，再否定结论；C根据充分不必要条件的定义判断即可；D根据且命题的真假判断依据判断即可．【解答】解：对于A，逆否命题把命题的条件和结论互换，再同时否定，故命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故正确；对于B，对于存在命题，应把存在改为任意，再否定结论，故命题p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故正确；对于C，若m，n∈R，“lnm＜lnn”，则0＜m＜n，可得“e m＜e n”，但由“e m＜e n”，m，n也可能为负值，不一定得出lnm＜lnn”，故应是充分不必要条件，故正确；对于D，且命题为假命题，p和q不能都是真命题，但也不一定都是假命题，故错误．故选：D．5．在的二项展开式中，含x2的系数为（）A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：二项展开式的通项公式为：T r+1=••=（﹣1）r•••，令12﹣=2，解得r=4；所以展开式中含x2项的系数为：（﹣1）4C62（）2=．故选：B．6．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线y2=8x上的点P满足|PF|=5，可得P（3，±2），代入双曲线方程算出m的值，即可得到双曲线的a、b之值，从而得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵点P在抛物线y2=8x上，|PF|=5，∴P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5﹣=5﹣2=3因此y02=8x0=24，得y0=±2∴点P（3，±2）在双曲线上可得9﹣=1，解之得m=3∴双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x故选：C7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．9【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用．【分析】先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．【解答】解：：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD 及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选D．8．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【考点】函数的零点．【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取15名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．【解答】解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴高一应抽取的学生数为300×=15．故答案为：15．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3侧面△ACD中，AC==5∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD∵BC⊥CD，AE∩BC=E∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6∴三棱锥的表面积是S表故答案为：30+611．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：x﹣y+6=0．曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．求出圆心到直线的距离d，即可得出曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=d﹣r．【解答】解：直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：x﹣y+6=0．曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=﹣2x+2y，配方化为：（x+1）2+（y﹣1）2=2，可得圆心C2（﹣1，1），半径r=．圆心到直线的距离d==2曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=2﹣=．故答案为：．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为．【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出平面区域A、B的面积，根据几何概型的概率公式求出对应的概率．【解答】解：如图所示，由不等式组确定的平面区域A的面积为S=3×3=9，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域B的面积为S′=×3×3﹣×1×1﹣∫13dx=4﹣ln3；根据几何概型的概率公式知，该点落在区域B内的概率为P=．故答案为：．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，可得∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°，利用直角三角形中的边角关系求得TB、BM、MP的值，由切割线定理求得MC，求得PC=MP﹣MC的值，据PQ•PB=PC2求出结果．【解答】解：由题意可得，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，∵∠BTC=120°，则∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°．TB=TC=OBtan30°=，∴BM==2．由切割线定理可得MC2=MB•MA=2（2+4）=12，∴MC=2．∵cos∠BMT====，∴MP=3，∴PC=MP﹣MC=3﹣2=，由切割线定理可得PQ•PB=PC2=3，故答案为3．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立}，则A∩（∁U B）=．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】据基本不等式求以及不等式恒成立求出集合A，B的等价条件，然后根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，∴a＞0，且对称轴﹣=，则判别式△=4﹣4ab=0，即ab=1，则==a﹣b+，∵a＞b，∴a﹣b＞0，则t=a﹣b+≥2=2，即A=[2，+∞），∵|x+1|﹣|x﹣3|≤|3﹣（﹣1）|=4，∴若|x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立，则m2﹣3m≥4，即m2﹣3m﹣4≥0，即m≥4或m≤﹣1，即B={m|m≥4或m≤﹣1}，则∁U B═{m|﹣1＜m＜4}，则A∩（∁U B）={m|2≤m＜4}，故答案为：三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=，再利用三角函数的图象与性质即可得出．（Ⅱ），由于0＜C＜π，可得：＜2C﹣，可得C．因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+2×（sinx﹣cosx）×（sinx+cosx）=cos2x+sin2x﹣cos2x=，∵，4分∴对称轴方程为：，∵x∈[﹣，]，∴∈，f（x）在区间[﹣，]上单调递增，在区间上单调递减，所以，当x=时，f（x）取最大值1又=﹣＜=，当x=﹣时，f（x）取最小值﹣．（Ⅱ），∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，∴＜2C﹣，∴=，C=，因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos，即c2=a2+b2﹣ab=3解得：a=1，b=2．16．A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“两人中所取的球颜色不同”，由此利用对立事件概率计算公式能求出两人中所取的球颜色不同的概率．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A为“两人中所取的球颜色不同”，则P（A）=1﹣=．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．甲所取的两球颜色相同的概率为=，乙所取的两球颜色相同的概率为=，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）==，P（X=2）==，X0 1EX==．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明EF⊥平面PAD；（Ⅱ）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）求出向量坐标，利用直线和平面所成角的定义和关系进行求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD∴AB⊥平面PAD，又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（Ⅱ）取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：∴O（0，0，0）A（0，﹣2，0）B（4，﹣2，0）C（4，2，0），D（0，2，0），G（4，0，0），，E（0，﹣1，），设平面EFG的法向量为，，∴，又平面ABCD的法向量为，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴，∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为．（Ⅲ）设，，∴，，∴=，即2λ2﹣3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M．18．已知等比数列{a n}的公比q≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n；（Ⅲ）若，P n为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由题意知3q2﹣4q+1=0，从而求出公比，进而求通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而利用错位相减法求其前n项和T n；（Ⅲ）化简为c n=2n﹣1，从而利用裂项求和法及拆项求和法求其前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵成等差数列，∴4a2=a1+3a3，∴3q2﹣4q+1=0，∵q≠1，∴，∴a n=•=；（Ⅱ）由（Ⅰ），∴①，②，①﹣②得，，∴．（Ⅲ）由，得c n=2n﹣1，，=，∴不超过P2016的最大的整数k是2016．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得b=1，由离心率公式和a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，再由直线的斜率不存在，不成立．即可得到所求直线的方程；（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．求得M，N的坐标，由直径式的圆的方程可得MN为直径的圆的方程，整理得一般式方程，令y=0，即可得到所求定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由短轴长为2，得b=1，由，得a2=4，b2=1．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：，E（x1，y1），F（x2，y2），由可得，∴，∴，∴；（2）当直线的斜率不存在时，|EF|=1不符合．∴直线方程为和．（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，或通过求得圆心，得到圆的方程．即，∵，∴，令y=0，则x2﹣1=0，解得x=±1．∴以MN为直径的圆过定点（±1，0）．20．已知函数（m∈R），（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣5=0垂直，求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx2+（m﹣1）x﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=1，m∈R设F（x）=f（x）+x．且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2≥﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程，解出即可；（Ⅱ）构造函数，求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性，从而求出m的最小值即可；（Ⅲ）求出F（x）的表达式，得F（x1）+F（x2）=0，令t=x1•x2＞0，得到ϕ（t）=t﹣lnt，根据函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）切线的斜率k=f'（1）=1+m，∴1+m=2，∴m=（Ⅱ）由题意，，设①当m≤0时，因为x＞0，所以G'（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立．②当m＞0时，．令G'（x）=0，因为x＞0，得，所以当时，G'（x）＞0；当时，G'（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为，，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．（Ⅲ）m=1时，，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即，整理得，令t=x1•x2＞0，则由ϕ（t）=t﹣lnt得，，可知ϕ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以ϕ（t）≥ϕ（1）=1，所以，解得，因为x1，x2为正数，所以成立．2016年9月7日。
山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题-解析版
山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x＜1}，集合B=，则A∪B=（）A. B. C. D.2.已知复数z满足i•z=3+2i（i是虚数单位），则=（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3=9，且a2-1，a3-1，a5-1构成等比数列，则S5=（）A. 15B.C. 30D. 254.已知正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，则（）A. B. C. D.5.已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.6.某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）A.B.C.D.7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 64种8.如图Rt△ABC中，∠ABC=，AC=2AB，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，设，，则向量=（）A.B.C.D.9.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面为S，且，则=（）A. 1B.C.D.10.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A. B. C. D.11.已知椭圆C：，＞＞的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，＞，，当a＜0时，方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.观察下列式子，＞，＞，＞，……，根据上述规律，第n个不等式应该为______．14.若（x+1）5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则a2=______．15.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB=1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD=1寸，则圆柱底面的直径长是______寸”．（注：l尺=10寸）16.如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将△AMN沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足=+1（n≥2，n∈N），且a1=1．（1）求数列的通项公式{a n}；（2）记b n=，T n为{b n}的前n项和，求使T n≥成立的n的最小值．18.如图在直角△ABC中，B为直角，AB=2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E-MF-C的余弦值．19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50 100女性70 100合计（）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（II）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820.抛物线C：y=x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求的取值范围．21.已知函数，（Ⅰ）当x＞0时，证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ）已知点P（x，xf（x）），点Q（-sin x，cos x），设函数，当，时，试判断h（x）的零点个数．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．23.已知函数f（x）=|x-1|+2|x-3|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）-m2-m＞0恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|0＜x＜2}，B={y|y≥0}；∴A∪B=[0，+∞）．故选：D．可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2.【答案】A【解析】解：由i•z=3+2i，得z=，∴．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题意，，解得．∴．故选：D．设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，∴设log2a=log3b=log6c=k，则a=2k，b=3k，c=6k，∴c=ab．故选：C．设log2a=log3b=log6c=k，则a=2k，b=3k，c=6k，由此能推导出c=ab．本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点M（x，y）到定点D（-1，2）的斜率，当M位于A（1，-）时，此时DA的斜率最小，此时z min==-．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点M（x，y）到定点D（-1，2）的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：，所以：外接球的半径为：R==故：外接球的表面积为：S=4π．故选：B．首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有C42=6种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有A22=2种情况，此时有2×2=4种情况，则有6×4=24种不同的安排方法；故选：C．根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC=，AC=2AB，所以∠BAC=，∠ACB=，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=，则根据圆的性质BD=CD=AB，又因为在Rt△ABC中，AB==r=OD，所以四边形ABDO为菱形，所以==．故选：C．根据Rt△ABC中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO为菱形，所以==．本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由，得4×absinC=a2+b2-c2+2ab，∵a2+b2-c2=2abcosC，∴2absinC=2abcosC+2ab，即sinC-cosC=1即2sin（C-）=1，则sin（C-）=，∵0＜C＜π，∴-＜C-＜，∴C-=，即C=，则=sin（+）=sin cos+cos sin==，故选：D．根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：令圆的半径为1，利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为P===-1．故选：C．设圆的半径为1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11.【答案】B【解析】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有=，=，可得===2，即有==2，即有e=，故选：B．连接IF1和IF2，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：令t=f（x），则方程f2（x）-2f（x）+a=0可转化为t2-2t+a=0，设方程t2-2t+a=0的解为t=t1，t=t2，则方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根等价于t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点共4个，由函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的位置关系可得：-3≤t1，设g（t）=t2-2t+a，则，解得：-15≤a＜-8，故选：A．由方程的解与函数图象交点的相互转化得：原方程可转化为t2-2t+a=0，设方程t2-2t+a=0的解为t=t1，t=t2，则方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根等价于t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点共4个，由二次方程区间根问题得：由函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的位置关系可得：-3≤t1，设g（t）=t2-2t+a，则，解得：-15≤a＜-8，得解．本题考查了方程的解与函数图象交点的相互转化及二次方程区间根问题，属中档题．13.【答案】ln（n+1）＞++……+【解析】解：根据题意，对于第一个不等式，ln2＞，则有ln（1+1）＞，对于第二个不等式，ln3＞+，则有ln（2+1）＞+，对于第三个不等式，ln4＞++，则有ln（2+1）＞++，依此类推：第n个不等式为：ln（n+1）＞++……+，故答案为：ln（n+1）＞++……+．根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．14.【答案】80【解析】解：∵（x+1）5=[（x-1）+2]5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则a2=•23=80，故答案为：80．根据（x+1）5=[（x-1）+2]5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，利用二项式展开式的通项公式求得a2的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】26【解析】解：∵AB⊥CD，AD=BD，∵AB=10寸，∴AD=5寸，在Rt△AOD中，∵OA2=OD2+AD2，∴OA2=（OA-1）2+52，∴OA=13寸，∴圆柱底面的直径长是2AO=26寸．故答案为：26．由勾股定理OA2=OD2+AD2，代入数据即可求得．考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．16.【答案】2-3【解析】解：设AM=x，∠AMN=α，则BM=1-x，∠AMB=180°-2α，∴∠BAM=2α-60°，在△ABM中，由正弦定理可得=，即，∴x=，∴当2α-60°=90°即α=75°时，x取得最小值=2-3．故答案为：2-3．设AM=x，∠AMN=α，在△ABM中利用正弦定理得出x关于α的函数，从而可得x的最小值．本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足=+1，所以：，所以：数列{}为等差数列，且，则：，即，当n≥2时，=2n-1．又a1=1也满足上式，所以：a n=2n-1；（2）由（1）知，，∴，由有n2≥4n+2，有（n-2）2≥6，所以n≥5，∴n的最小值为5．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，∵MN，EF，∴四边形EFMN是平行四边形，∵EF⊥BE，EF⊥DE，BE∩EF=E，∴EF⊥平面BDE，∴EF⊥EN，∴MF⊥MN，在△DFC中，DF=FC，又∵M为CD的中点，∴MF⊥CD，又∵MF∩MN=M，∴MF⊥平面BCD．解：（Ⅱ）∵DE⊥BE，DE⊥EF，BE∩EF=E，∴DE⊥平面BEF，以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC=2，则E（0，0，0），F（0，1，0），C（-2，2，0），M（-1，1，1），∴=（0，1，0），=（-1，0，1），=（2，-1，0），设面EMF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理，得平面CMF的法向量=（1，2，1），设二面角E-MF-C的平面角为θ，则cosθ==，∴二面角E-MF-C的余弦值为．【解析】（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，四边形EFMN是平行四边形，由EF⊥BE，EF⊥DE，得EF⊥平面BDE，从而EF⊥EN，MF⊥MN，求出MF⊥CD，由此能证明MF⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-MF-C的余弦值．本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．19.【答案】解：（1）完成列联表（单位：人）：由列联表，得：k2==＞，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×=7人，偶尔或不用网购的有10×=3人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：P==．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意X～B（10，0.6），∴随机变量X的数学期望E（X）=10×0.6=6，方差D（X）=10×0.6×0.4=2.4．【解析】（1）完成列联表，由列联表，得k2=，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×=7人，偶尔或不用网购的有10×=3人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意X～B（10，0.6），由此能求出随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X）．本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设直线l的方程为y=2x+b，联立直线l与抛物线C的方程，得x2-2x-b=0，△=4+4b=0，所以，b=-1，因此，直线l的方程为y=2x-1；（2）设直线l的方程为y=2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C的方程，得x2-2x-b=0，△=4+4b＞0，所以，b＞-1．由韦达定理得x1+x2=2，x1x2=-b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ的方程为，由，得2x2+x-5-2b=0，由韦达定理得，，所以，，所以，＞，所以，的取值范围是，．【解析】（1）设直线l的方程为y=2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△=0求出b的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y=2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：（Ⅰ）令φ（x）=f（x）-g（x）=，x＞0；则φ′（x）=．令G（x）=e x-2x（x＞0），G′（x）=e x-2（x＞0），易得G（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∴G（x）≥G（ln2）=2-2ln2＞0，∴e x-2x＞0在（0，+∞）恒成立．∵φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．∴φ（x）≥φ（1）=e-2＞0．∵f（x）＞g（x）；（Ⅱ）∵点P（x，xf（x）），点Q（-sin x，cos x），∴h（x）==-x sinx+e x cos x，h′（x）=-sin x-x cosx+e x cos x-e x sin x=（e x-x）cos x-（e x+1）sin x．①当x，时，可知e x＞2x＞x，∴e x-x＞0∴（e x-x）cos x≥0，（e x+1）sin x≤0，∴h′（x）=（e x-x）cos x-（e x+1）sin x≥0．∴h（x）在[-，0）单调递增，h（0）=1＞0，h（-）＜0．∴h（x）在[-，0]上有一个零点，②当x，时，cos x≥sin x，e x＞x，∴e x cos x＞x sinx，∴h（x）＞0在（0，]恒成立，∴在，无零点．③当，时，0＜cos x＜sin x，h′（x）=e x（cos x-sin x）-（x cosx+sin x）＜0．∴在，单调递减，＜，＞．∴h（x）在（，]存在一个零点．综上，h（x）的零点个数为2．．【解析】（Ⅰ）令φ（x）=f（x）-g（x）=，x＞0；则φ′（x）=．易得e x-2x＞，φ（x）≥φ（1）=e-2＞0．即可证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ）h（x）==-xsinx+e x cosx，分①x，②x，③时，讨论h（x）的零点个数即可．本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．22.【答案】解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得．∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，即x2+y2-4x=0．∴曲线的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4；（Ⅱ）把代入x2+y2-4x=0，得．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2=-3．不妨设t1＜0，t2＞0，∴=．【解析】（Ⅰ）由（t为参数）直接消去参数t，可得直线的普通方程，把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合ρ2=x2+y2，x=ρcosθ可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）把代入x2+y2-4x=0，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t的几何意义求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数t的几何意义是解题的关键，是中档题．23.【答案】解：（I）当x≤1时，不等式为：1-x+2（3-x）≤4，解得x≥1，故x=1．当1＜x＜3时，不等式为：x-1+2（3-x）≤4，解得x≥1，故1＜x＜3，当x≥3时，不等式为：x-1+2（x-3）≤4，解得x≤，故3≤x≤．综上，不等式f（x）≤4的解集为[1，]．（II）由f（x））-m2-m＞0恒成立可得m2+m＜f（x）恒成立．又f（x）=，，＜＜，，故f（x）在（-∞，1]上单调递减，在（1，3）上单调递减，在[3，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（3）=2．∴m2+m＜2，解得-2＜m＜1．即m的最值范围是（-2，1）．【解析】（I）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（II）根据f（x）的单调性求出f（x）的最小值，得出关于m的不等式，从而求出m的范围．本题考查了绝对值不等式的解法，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．。
精品2019届高三数学上学期第一次教学质量检查考试试题 理(含解析)
蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.2. 设是复数的共轭复数，且，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】，故.3. 若满足约束条件则的最小值为（）A. -3B. 0C. -4D. 1【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.4. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,,联立解得，则，故选B.6. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由于角为第三象限角，故，.7. 已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B【解析】，故，.8. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥和一个三棱锥组合而成.故体积为.10. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵点，关于直线对称，，又∵直线经过点，∴直线的方程为，的中点坐标为，∴，化简整理得，即，，解得，（舍去），故选C.11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.12. 定义在上的奇函数满足：当时，（其中为的导函数）.则在上零点的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】构造函数，，由于当时，，故当时，为增函数.又，所以当时，成立，由于，所以，由于为奇函数，故当时，，即只有一个根就是.【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则__________．【答案】【解析】，，解得，当时，两个是相同的向量，故舍去，所以.14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为__________．【答案】【解析】依题意有，，，故.15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点，若，则点的纵坐标为__________．【答案】【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，突破口就在题目所给条件，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得是的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.16. 已知满足，，，则__________．（用表示）【答案】【解析】依题意，与已知条件相加可得.....................三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角的对边分别为，且，（1）求的面积；（2）若，求的周长.【答案】(1) （2）的周长为【解析】【试题分析】（1）根据余弦定理，由得到，，在利用三角形面积公式可求得面积.（2）利用三角形内角和定理，有,展开后结合已知条件可求得.利用正弦定理求得，利用配方法可求得由此求得周长为.【试题解析】（1）∵，∴，即，∴；（2）∵，∴由题意，∴，∵，∴，∴∵，∴．∴的周长为．18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.【答案】(1)见解析（2）90°【解析】【试题分析】（1）由于是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明三条直线两两垂直，由此证得平面，进而得到平面平面.（2）根据（1）证明三条直线两两垂直，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用和所成角为计算出点的坐标，然后通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.【试题解析】（1）∵，且是等边三角形∴，，均为直角三角形，即，，∴平面∵平面∴平面平面（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．令，，∴，，，．设，则，．∵直线与所成角大小为60°，所以，即，解得或（舍），∴，设平面的一个法向量为．∵，，则即令，则，所以．∵平面的一个法向量为，∵，，则即令，则，，∴．∴，故二面角的大小为90°．19. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布. （1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，，，，，，，.【答案】(1) （2）①②生产线异常，需要进一步调试【解析】【试题分析】（1）依题意可知满足二项分布，根据二项分布的公式计算出，然后用减去这个值记得到的值.利用二项分布的期望公式，直接计算出的值.（2）分别计算出均值和标准差，计算的范围，发现不在这个范围内，根据原理可知需要进一步调试.【试题解析】（1）由题意知：或，，∵，∴；（2）①所以②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．20. 已知椭圆经过点，离心率.（1）求的方程；（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】【试题分析】（1）依题意可知，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立.【试题解析】（1）因为椭圆，经过点，所以．又，所以，解得．故而可得椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线的方程为，即，联立，得．设，，则所以为定值，且定值为-1．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考查直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.21. 已知函数，（其中为自然对数的底数，）.（1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1) ，（2）【解析】【试题分析】（1）依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.（2）将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值. 【试题解析】（1），．（过程略）（2）令，则，当时，单调递增，而，∴时，不合题意当时，令，则，∵为减函数，∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．故（△）式成立只能即．【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，联络点在于切点的横坐标，以此建立方程组，求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法，利用函数的最值来求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若与相交于两点，求.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）对方程两边乘以，由此求得曲线的普通方程.对的参数方程利用加减消元法可求得的普通方程.（2）将的参数方程代入，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值. 【试题解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（2）将的参数方程代入的方程，得，得：解得，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数与的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，分别求解每一段的解集.由此计算不等式的解集.（2）先求得函数的最小值，求得函数的最大值，比较这两个数值的大小，即可求得有公共点时，实数的取值范围. 【试题解析】（1）当时，，由得，；（2），该二次函数在处取得最小值，因为函数，在处取得最大值故要使函数与的图象恒有公共点，只需要，即．。
高三数学第二十次考试试题 理 新人教版
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————2019届高三第二十次考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1)2z i i -=，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+2.命题:,sin cos p x R x x ∀∈+≥:0,1xq x e -∃<<，真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3.若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+的值为（ ） A ．79- B ．79 C ．13 D ．13-4.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75,两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（ ）A ．0.85B ．0.80 C.0.60 D ．0.565.已知,,m n m n +成等差数列，,,m n mn 成等比数列，则椭圆2222+1x y m n=的离心率为（ ）A ．2 B ．12 C.23D ．3 6.执行如图所示的程序框图，若输入0,2m n ==,输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件可能是（ ）A ．1m n -<B ．0.5m n -< C. 0.2m n -< D ．0.1m n -<7.在ABC ∆中，60A ∠=，3AB =，2AC =，若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为（ ） A ．1127 B ．311 C.611 D ．798.设0ω>，函数sin()23y x πω=++的图象向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） A ．23 B ．43 C.32D ．3 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．1 10.已知二项式41(12)x x+-，则展开式的常数项为（ ） A ．49 B ．47- C.1- D ．111.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =，设点,M N 分别为线段,PD PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．163π B ．92π C.254π D ．649π12.已知函数()(1)(0)xf x e ax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数(1,2)i x i =，使得()0i f x <，则a 的取值范围为（ ）A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C.211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦ D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数21()(1)1xa f x x e +=-+为偶函数，则a = ． 14.已知双曲线2221y x b-=的离心率为2，左焦点为1F ，当点P 在双曲线右支上运动、点Q在圆22(1)1x y +-=上运动时，则1PQ PF +的最小值为 ．15.若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为 ．16.已知O 为锐角ABC ∆的外心，3,23AB AC ==AO xAB y AC =+，且，记123,,l OA OB l OB OC l OA OC =⋅=⋅=⋅，则123,,l l l 的大小关系为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2214,691n n a a S n +==++，*n N ∈各项均为正数的等比数列{}n b 满足1132,b a b a == （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若(32)n n c n b =-⋅，数列{}n c 的前n 项和n T ，求n T .18.如图，在三棱柱'''ABC A B C -中，侧面为''BB C C 菱形，'',B'C BC'O AB B C ⊥⋂=， （1）求证：平面''BB C C ⊥平面'ABC ，（2）若'AC AB ⊥，'60CBB ∠=，2AB BC ==，求异面直线'AB 与BC 所成角的余弦值.19. 某工厂每日生产一种产品(1)x x ≥吨，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为y 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过段时间的产销， 得到了,x y 的一组统计数据如下表: 日产量x 1 2 3 4 5 日销售量y512161921（1）请判断ˆˆˆybx a =+与ˆˆˆln y d x c =+中，哪个模型更适合到画,x y 之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出y 关于x 的回归方程，并估计当日产量6x =时，日销售额是多少? 参考数据：ln1ln 2ln 3ln 4ln 50.965++++≈，22222(ln1)(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5) 6.2++++≈5ln112ln 216ln319ln 421ln586,ln 6 1.8++++≈=线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，ˆˆˆay bx =-， 20. 如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F ，1F 为左焦点，椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长1PF 交1C 于点,Q M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动. （1）当2a +取最小值时，求1C 和2C 的方程； （2）若12PF F ∆的边长恰好是三个连接的自然数，求MPQ ∆面积的最大值.21.已知函数2()(4)(x f x x emx m R -=-+∈）.（1）当2x >时，()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）证明：当[)0,1a ∈时，函数22()(2)(2)x e ax ag x x x --+=>-有最小值，设()g x 最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(0,1)P -，其参数方程为1x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，(t 为参数)。
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2019届高三第二十次考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数z 满足(1)2z i i -=，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+2.命题:,sin cos p x R x x ∀∈+≥:0,1xq x e -∃<<，真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3.若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+的值为（ ） A ．79- B ．79 C ．13 D ．13-4.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75,两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（ ） A ．0.85 B ．0.80 C.0.60 D ．0.565.已知,,m n m n +成等差数列，,,m n mn 成等比数列，则椭圆2222+1x y m n=的离心率为（ ）A ．2 B ．12 C.23D ．3 6.执行如图所示的程序框图，若输入0,2m n ==,输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件可能是（ ）A ．1m n -<B ．0.5m n -< C. 0.2m n -< D ．0.1m n -<7.在ABC ∆中，60A ∠=，3AB =，2AC =，若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为（ ） A ．1127 B ．311 C.611 D ．798.设0ω>，函数sin()23y x πω=++的图象向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） A ．23 B ．43 C.32D ．39.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．1 10.已知二项式41(12)x x+-，则展开式的常数项为（ ） A ．49 B ．47- C.1- D ．111.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =，设点,M N 分别为线段,PD PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．163π B ．92π C.254π D ．649π12.已知函数()(1)(0)xf x e ax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数(1,2)i x i =，使得()0i f x <，则a 的取值范围为（ ） A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C.211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦ D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数21()(1)1xa f x x e +=-+为偶函数，则a = ． 14.已知双曲线2221y x b-=的离心率为2，左焦点为1F ，当点P 在双曲线右支上运动、点Q 在圆22(1)1x y +-=上运动时，则1PQ PF +的最小值为 ．15.若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为 ．16.已知O 为锐角ABC ∆的外心，3,23AB AC ==AO xAB y AC =+，且，记123,,l OA OB l OB OC l OA OC =⋅=⋅=⋅，则123,,l l l 的大小关系为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2214,691n n a a S n +==++，*n N ∈各项均为正数的等比数列{}n b 满足1132,b a b a == （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若(32)n n c n b =-⋅，数列{}n c 的前n 项和n T ，求n T .18.如图，在三棱柱'''ABC A B C -中，侧面为''BB C C 菱形，'',B'C BC'O AB B C ⊥⋂=， （1）求证：平面''BB C C ⊥平面'ABC ，（2）若'AC AB ⊥，'60CBB ∠=，2AB BC==，求异面直线'AB 与BC 所成角的余弦值.19. 某工厂每日生产一种产品(1)x x ≥吨，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为y 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过段时间的产销， 得到了,x y 的一组统计数据如下表: 日产量x 1 2 3 4 5 日销售量y512161921（1）请判断ˆˆˆybx a =+与ˆˆˆln y d x c =+中，哪个模型更适合到画,x y 之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出y 关于x 的回归方程，并估计当日产量6x =时，日销售额是多少?参考数据：ln1ln 2ln 3ln 4ln 50.965++++≈，22222(ln1)(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5) 6.2++++≈5ln112ln 216ln319ln 421ln586,ln 6 1.8++++≈=线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，ˆˆˆay bx =-， 20. 如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2F ，1F 为左焦点，椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长1PF 交1C 于点,Q M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当2a b+取最小值时，求1C 和2C 的方程； （2）若12PF F ∆的边长恰好是三个连接的自然数，求MPQ ∆面积的最大值.21.已知函数2()(4)(x f x x emx m R -=-+∈）.（1）当2x >时，()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）证明：当[)0,1a ∈时，函数22()(2)(2)x e ax ag x x x --+=>-有最小值，设()g x 最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(0,1)P -，其参数方程为1x ty =⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数)。
以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若曲线1C 与2C 相交于,A B 两点，求11PA PB+的值。
23.选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，其中1a >.（1）当2a =时，求不等式()44f x x ≥--的解集；（2）已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}12x x ≤≤，求a 的值.20次考试理数参考答案一、选择题1-5:CCABA 6-10:BBCDD 11、12：AB 二、填空题13. 1或1- 14.5215.9 16.231l l l << 三、解答题17.（1）21691n n a S n +=++2169(1)1n n a S n -=+-+∴22169(2)n n n a a a n +-=+≥ ∴221(3)n n a a +=+又各项为正∴13(2)n n a a n +=+≥∴{}n a 为公差为3的等差数列 ∴32n a n =-11b =34b =∴12n n b +=（2）1(32)2n n c n -=-⋅0111242...(32)2n n T n -=⋅+⋅++-⋅ 1221242...(32)2n n T n =⋅+⋅++-⋅∴12113(22...2)(32)2n nn T n --=+++--⋅116(21)(32)2n n n T n --=+---⋅ (53)25n n T n -=-⋅- (35)25n n T n =-⋅+18.解：（1）证明：∵四边形''BB C C 为菱形， ∴''B C BC ⊥∴',',,'AB B C AB B C B AB BC ⊥⋂=⊂平面'ABC ， ∴'B C ⊥底面'ABC . ∵'B C ⊂平面''BB C C ， ∴平面''BB C C ⊥平面'ABC . （2）解：连接AO ， ∵四边形''BB C C 为菱形， ∴O 为'B C 的中点. ∵'AC AB ⊥ ∴1'2AO B C =在菱形''BB C C 中，'60,2CBB BC ∠==∴'BB C ∆为等边三角形,'C 2,1,B AO BO ===∴2AB =∴222AO BO AB +=，即AO BO ⊥ ∵平面''BB C C ⊥平面'ABC ∴AO ⊥面''BB C C ∴'AO B C ⊥ ∴AO 垂直平分'B C∴'AB AC ==，∵'AO OC ⊥∴'2AC ==∵''//B C BC∴''AB C ∠是异面直线'AB 与BC 所成角（或其补角）在'C'AB ∆中，222''''cos ''2'''AB B C AC AB C AB B C +-∠===⋅， ∴异面直线'AB 与BC所成角的余弦值为419.（1）ˆˆˆln yd x c =+更适合刻画,x y 之间的关系， 理由如下: x 值每增加1，函数值的增加量分别为7,4,3,2，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的均匀增长存在较大差异，故ˆˆˆln yd x c =+更适合刻画,x y 间的关系 （2）令11ln z x =，计算知123457314.655y y y y y y ++++===所以122218650.9614.6ˆ106.250.96ni ii ni i z y nz ydz nz==--⨯⨯=≈=-⨯-∑∑ ˆ14.6100.965cy d z =-≈-⨯=.所以所求的回归方程为ˆ10ln 5yx =+ 当6x =时，销售额为ˆ10ln 6523y=+≈(万元) 20.解（1）因为c m =，12c e a ==， 则2a m =，b =，所以2a +取最小值时1m =， 此时抛物线21:4C y m =-，此时22,3a b ==，所以椭圆2C 的方程为222:143x y C +=. （2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，b =， 设椭圆的标准方程为2222143x y m m+=，00(,)P x y ，11(,)Q x y ， 由222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2316120x mx m --=， 所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y =，即2(3m P -， 于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623mF F m == 又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数， 所以3m =，此时抛物线方程为212y x =-，1(3,0),(F P --则直线PQ的方程为3)y x =+，联立23)12y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或22x =-（舍去）于是9(,2Q --.所以252PQ =，设2(,)((12t M t t -∈-到直线PQ 的距离为d ，则275(3022d t =+-当2t =-max 753024d ==，所以MPQ ∆的面积最大值为12522416⨯⨯=. 21.解：（1）因为2()(4)0x f x x e mx -=-+≥对(2,)x ∀∈+∞恒成立，等价于24x x e m x--≥-对(2,)x ∀∈+∞恒成立， 设2244()(1)x x x x e e x x ϕ---==-得2222244(2)()(1)0x x x x e e x x xϕ---=-+=≥， 故()x ϕ在(2,)+∞上单调递增， 当2x >时，由上知()(2)1x ϕϕ>=-， 所以1m -≤-， 即1m ≥.所以实数m 的取值范围为[)1,+∞；（2）对22()(2)(2)x e ax ag x x x --+=>-求导得 2233(4)()(4)'()(2)(2)(2)x x x e x a x e ax x g x x x x ---+-+==>-- 记 24()x x F x e a x--=+(2)x > 由（1）知()F x 在区间(2,)+∞内单调递增，又(2)10,(4)0,F a F a =-+<=≥， 所以存在唯一正实数(]02,4x ∈， 使得020004()0x x F x e a x --=+=， ∴当(]02,x x ∈时，()0,g'(x)0F x <<，函数()g x 在区间0(2,)x 单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0,g'(x)0F x >>，函数()g x 在区间0(,)x +∞单调递增；所以()g x 在(2,)+∞内有最小值，020020()(2)x e ax ag x x --+=-有题设即02020()(2)x e ax ah a x --+=-， 又因为02004x x a e x ---=， 所以02001()()x h a g x e x -==根据（1）知，()x ϕ在(2,)+∞内单调递增，(]020041,0x x e a x --=-∈-， 所以024x <≤，令21()(24)x u x e x x-=<≤， 则221'()0x x u x e x--=>，函数()u x 在区间(]2,4内单调递增， 所以(2)()(4)u u x u <≤，即函数()h a 的值域为21,24e ⎛⎤⎥⎝⎦.22.解（1）由1x ty =⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）可得1C10y --=，又2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=，即222cos 4cos 0ρθρθρ+-=所以2C 的直角坐标方程为24y x =, （2）1C的参数过程可化为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入2C得：234(240t t -+=，设,A B 对应的直线1C 的参数分别为12,t t ，121243t t t t +==， 所以120,0t t >>，所以12121211113243t t PA PB t t t t ++=+===+23.（1）当2a =时，26,2()42,2426,4x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤时，由()44f x x ≥--得264x -+≥，解得1x ≤； 当24x <<时，由()44f x x ≥--得无解；当4x ≥时，由()44f x x ≥--得264x -≥，解得5x ≥， 故不等式的解集{1x x ≤或}5x ≥（2）令()(2)2()h x f x a f x =+-， 则2,0()42,02,a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩由()2h x ≤，解得1122a a x -+≤≤， 又知()2h x ≤的解集为{}12x x ≤≤，所以112122aa-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩于是解得3a=。