广西壮族自治区普通高中2016年6月学业水平考试数学试题

2016年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数 学（全卷满分100分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上．2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效．一、单项选择题：本大题共30小题，每小题2分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效．） 1．已知集合{}5A =，{}45B =，，则A B =A ．∅B ．{}4C ．{}5D ．{}4 5，2．1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数 发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票（如图）．这 枚邮票上印有4个复数，其中的两个复数的和：=+-++)i 65()i 44( A ．110i -+ B ．29i -+ C ．92i - D ．10i - 3．直线1y x =-的斜率等于A ．1-B ．1C ．4πD ．34π4．设向量AB =a ，BC =b ，则AC = A ．a +b B ．-a b C ．--a b D ．-a +b 5．函数()f xA ．RB ．{}0x x ≥C ．{}0x x >D ．{}0x x < 6．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体是A ．棱柱B ．圆柱C．棱锥D ．圆锥7．某校高二年级共有600名学生，编号为001～600．为了分析 该年级上学期期末数学考试情况，用系统抽样方法抽取了 一个样本容量为60的样本．如果编号006，016，026在样 本中，那么下列编号在样本中的是 A ．010 B ．020 C ．036 D ．042 8．执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．3B ．9C ．27D ．649．60角的弧度数是(第2题图)（第6题图）俯视图正视图侧视图（第8题图）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π10．指数函数()01x y a a a =>≠且的图像必过定点 A ．()00， B ．()01，C ．()10，D ．()11， 11．经过点(02) P ，且斜率为2的直线方程为 A ．220x y ++= B ．220x y --= C ．220x y -+= D ．220x y +-= 12．函数2sin y x x =∈R ，的最大值为 A ．2- B ．1-C ．1D ．213．3log 9=A ．9B ．3C ．2D ．1314．命题“若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等”的逆命题是 A ．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等B ．若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积相等C ．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等D ．若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等15．在等比数列{}n a 中，已知1=2a ，2=4a ，那么4=aA ．6B ．8C ．16D ．3216．下列命题正确的是A ．1a a+的最小值是2 B ．221a a +的最小值是2C ．1a a+的最大值是2 D ．221a a +的最大值是217．设向量7 (5)=-，a ，(4) 6=--，b ，则=a b A ．58- B ．2- C ．2 D ．22 18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b 、、c ，若145b c A ===，，则a 的长为A ．1BCD ．219．已知双曲线2221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是A ．1±B ．2±C ．2D ．420．已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，那么1个这样的细胞分裂3次后，得到的细胞个数为A ．4个B ．8个C ．16个D ．32个21．棱长均为a 的三棱锥的表面积是A ．24a B2C2 D222．从某中学高三年级中随机抽取了6名男生，其身高和体重的数据如下表所示：由以上数据，建立了身高x 预报体重y 的回归方程ˆ0.8071.6yx =-．那么，根据 上述回归方程预报一名身高为175cm 的高三男生的体重是A ．80 kgB ．71.6 kgC ．68.4 kgD ．64.8 kg23．抛物线26y x =的准线方程是A ．32x =-B．32x =C ．32y =-D ．32y =24．不等式组0020x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域的面积为A ．1B ．32C ．2D ．325…的一个通项公式是 A ．n a B ．n a=C ．n aD ．n a =26．sin 75=A B C D 27．某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地．经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m 和68m ，它们的夹角是30．已知改造费用为50元/m 2，那么，这块三角形空地的改造费用为 A ． B ．C ．27200元D ．54400元28．函数()31f x x x =--的零点所在的区间是 A ．(01)， B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，29．关于函数()3log 1y x =-的单调性，下列说法正确的是 A ．在()0+∞，上是减函数 B ．在()0+∞，上是增函数C ．在()1+∞，上是减函数D ．在()1+∞，上是增函数30．由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．以下推理为归纳推理的是A ．三角函数都是周期函数,sin x 是三角函数，所以sin x 是周期函数B ．一切奇数都不能被2整除，525是奇数，所以525不能被2整除C ．由211=，2132+=，21353++=，得()()2*1321n n n N +++-=∈…D ．两直线平行，同位角相等．若A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角，则A B ∠=∠二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效．）31．若函数()2100 x x f x x x +⎧=⎨>⎩，，，，≤则()2f = ．32．在等差数列{}n a 中，已知31=a ，73=a ，则公差=d ． 33．已知4sin 5x =，且x 是第一象限角，则cos x = ． 34．已知向量a =（2，1），b =（1，5），则2+a b 的坐标为 ．35．椭圆221259x y +=的离心率e = ． 36．不等式223x x -++≥0的解集为 ．三、解答题：本大题共4小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效．） 37．（本小题满分6分）赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥（图一）.若以赵州桥跨径AB 所在直线为x 轴，桥的拱高OP 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系（图二），有桥的圆拱APB 所在的圆的方程为()22220.727.9x y ++=.求OP .（第37题图）（图一）（图二）38．（本小题满分6分）在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥．证明：BC ⊥平面PAC ．39．（本小题满分8分）据相关规定，24小时内的降水量为日降水量（单位：mm ），不同的日降水量对应的降水为分析某市“主汛期”的降水情况，从该市2015年6月～8月有降水记录的监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，具体数据如下： 16 12 23 65 24 37 39 21 36 68 （1）请完成以下表示这组数据的茎叶图；12 21336765（2）从样本中降水强度为大雨以上（含大雨）天气的5天中随机选取2天，求恰有1天是暴雨天气的概率．40．（本小题满分8分）已知函数()ln 1f x x x a =-+-，()2ln 2x g x ax x x =+-，其中0a >. （1）求()f x 的单调区间； （2）当1x ≥时,()g x 的最小值大于3ln 2a -,求a 的取值范围. （第38题图）2016年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学 参考答案及评分标准说明：1．第一题选择题，选对得分，多选、错选或不选一律给0分． 2．第二题填空题，不给中间分．3．第三题解答题，本答案给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．4．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．5．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 6．只给整数分数．二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分） 31．4 32．2 33．35 34．（5 ，7） 35．4536．[]13-， 三、解答题（共4小题，共28分）37．解：在方程()22220.727.9x y ++=中，令0x =， ·································· 2分则()2220.727.9y +=， ······························································ 3分 解得17.2y =，248.6y =-（舍去）.··············································· 5分 7.2OP ∴=．··········································································· 6分 38．证明： ⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，BC PA ⊥∴. ·················· 3分又AC BC ⊥，······································································· 4分 PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，A AC PA = ，BC ∴⊥平面PAC . ································································ 6分 39．解：（1）12 6213 4367 965 8····························································· 4分（2）记降水强度为大雨的3天为a ，b ，c ，降水强度为暴雨的2天为d ，e ，从这5天中抽取2天的所有情况为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，基本事件总数为10. ··································································· 6分记“5天中抽取2天，恰有一天发生暴雨”为事件A ，可能结果为ad ，ae ，bd ，be ，cd ，ce ，即事件A 包含的基本事件数为6. ···························· 7分所以恰有1天发生暴雨的概率6()0.610P A ==． ···································· 8分40．解：（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，． ··········································· 1分 11()1x f x x x-'=-=.····················································· 2分 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.∴函数()f x 的单调递减区间是(0) 1，，单调递增区间是(1) +∞，． 4分 （2）易知()ln 1().g x x x a f x '=-+-=由（1）知，()(1)0f x f a =>≥，所以当1x ≥时，()(1)0g x g a ''=>≥.从而()g x 在[1)+∞，上单调递增， ·········································· 5分 所以()g x 的最小值()112g a =+. ············································ 6分 依题意得12a +3ln 2a >-，即ln 10a a +->. ···························· 7分 令()ln 1h a a a =+-，易知()h a 在()0+∞，上单调递增.所以()()10h a h >=，所以a 的取值范围是()1+∞，. ··················· 8分。